高考中常用函数模型归纳及应用

高考中常用函数模型．．．．归纳及应用 一． 常数函数y=a判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。

关于方程解的个数问题时常用。

例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+3π)=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)解析；令y=2sin(x+3π), y=a 画出函数y=2sin(x+3π)，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D二． 一次函数y=kx+b (k ≠0)函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。

常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。

有定义域限制时，要考虑区间的端点值。

例2．不等式2x 2+1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ）A ．-2≤x ≤2 B.431- ≤x ≤0 C.0≤x ≤471+ D.471-≤x ≤413- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2+1若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需⎩⎨⎧≥-≥0)2(0)2(f f ，解之可得答案D三． 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。

很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。

比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。

例3．（1）.若关于x 的方程x 2+ax+a 2-1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x 2+ax+a 2-1由题意得f(0)= a 2-1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。

一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。

也可借助韦达定理。

例4．函数f(x)= x 2-4x-4在闭区间[t,t+1] t ∈R 上的最小值记为g(t),试求g(t)的表达式。

解：f(x)=（x-2）2-8，当t ＞2时，f(x)在[t,t+1]上是增函数∴g(t)= f(t)=t 2-4t-4 当t ≤2≤t+1即1≤t ≤2时，g(t)= f(2)=-8 当t+1＜2即t ＜1时，f(x)在[t,t+1]上是减函数g(t)= f(t+1)= t 2-2t-7,从而g(t)=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<--)2(44)21(8)1(7222t t t t t t t评：二次函数在闭区间上的最值问题是历年高考的热点，它的对称轴能确定二次函数的单调区间，二次函数与对数函数的综合性题目是常考的交汇点之一。

该题中，对称轴x=2确定，而区间[t,t+1]不确定即“定轴不定区间”，二者的位置关系有三种情况。

类似问题还有“定区间不定轴”、“不定轴不定区间”问题，但方法都一样，“讨论对称轴和区间的位置关系”。

例5．①如果函数y=ax2+2a x-1(a>0且a ≠1) 在区间[-1，1]上的最大值是14，求a 的值。

②．f(x)=-sin 2x+sinx+a,若1≤f(x) ≤417对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值范围。

以上两个问题都可以利用换元法转化为二次函数来解决，换元过程中注意──等价性，即保证“旧元”和“新元”取值范围的统一。

解题过程略。

答案：①.a=3或31②3≤a ≤4 例6.已知a,b 为常数，且a>0,f(x)=x 3+23(1-a)x 2-3ax+b (1).若函数f(x)的极大值是2，求a 和b 的关系式(2).若函数f(x)的极大值是2，且在区间[0，3]上的最小值是-223，求a 和b 的值。

解答过程略。

答案：(1).3a+2b=3 （2）.a=2,b=-23 四． 绝对值函数y=│x │这是偶函数，是画y=a │x │(a ≠0)图象的基础，当a>0时,开口向上；当 a<0时，开口向下。

例7．画出函数y=︱︱︱x ︱-1︱-1│按照以下的变换的方式即可：y=│x │→ y=│x │-1 → y=︱︱x ︱-1︱→y=︱︱x ︱-1︱-1→ y=︱︱︱x ︱-1︱-1│︳， 答案如上图所示。

例8．函数y=a │x │和y=x+a 图象恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A.(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析：（ⅰ）若a=0, y=a │x │=0与y=x 只有一个交点； (ⅱ) 若0＜a ≤1,则y=a │x │和y=x+a 只有一个交点； （ⅲ）若a ＞1, 则y=a │x │和y=x+a 有两个交点； （ⅳ）若-1≤a ＜0,则y=a │x │和y=x+a 只有一个交点； （ⅴ）若a ＜-1,则y=a │x │和y=x+a 有两个交点； 选D 五． 折线函数y=︱x-a ︱+︱x-b ︱和y=︱x-a ︱-︱x-b ︱ (a ＜b)根据绝对值的定义可以先把这两个函数可以化成分段函数的形式，比如y=︱x-a ︱+︱x-b ︱=⎪⎩⎪⎨⎧<--≤≤-<-+)(2)()(2x b b a x b x a a b a x x b a 然后再画函数图象。

它们的图象分别是也可根据绝对值的意义进一步把握，y=︱x-a ︱+︱x-b ︱表示数轴上任意一点x 到a 和b 的距离的和。

例9．若不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a 有解，求a 的取值范围解析：方法Ⅰ：︱x+3︱-︱x-2︱表示数轴上的点（x ，0）到点（-3，0）和（2，0）的距离的差的最大植是5，所以，要使不等式︱x+3︱-︱x-2︱>a 有解，只需a<5。

方法二；图象法，略 六．函数y=ax+xb(a ≠0,b ≠0) 当a ＞0,b ＞0时，函数图象如下图所示，从图象可以知道它的单调性，在（-∞，-ab ）和ab ， +∞）单调递增，在（-ab ，0）和（0，ab ）单调递减；这种情形下的图象最好记住，在平常练习题中常用。

当a ＞0,b ＜0时，函数在（-∞，0）和（0，+∞）单调递增；当a ＜0,b ＞0时，函数在（-∞，0）和（0，+∞）单调递减；当a ＜0,b ＜0时，函数在（-∞，-ab ）和（ab ，+∞）单调递减，在（-ab ，0）和（0，ab ）单调递增。

其中最简单最常用的函数是y=x+x1，能利用均值不等式求最值的，可利用均值不等式，不能利用的常借助于函数的单调性解决。

函数y=ax+xb的渐进线是y=ax ，可以辅助做图。

例10．某大型企业的员工每天的用餐需要消耗大米4000kg ，该企业采购大米的市场价格是每千克3元，企业仓库最多储存56000kg 的大米，一次采购大米超过32000kg ，而不超过56000kg,需付运费256元，大米的保管费用是每1000kg 每天2元，（该企业规定不使用当天的采购的大米）设企业一次采购的大米可供员工用餐的天数为x ，企业平均每天所付的大米费用（包括买米费，运费，保管费）之和为y 元。

（1） 试写出y 与x 的函数关系式。

（2） 该企业一次采购多少天所需的大米，使每天所付的大米费用最少？ 解：企业x 天所需大米4000xkg ，其保管费用为10002（x+x-1+……+2+1）=4x(x+1) (1) Ⅰ当0＜x ≤8, x ∈N 时， y=x 1[4x(x+1) +196]+3*4000=x196+4x+12004Ⅱ当9≤x ≤14 x ∈N,时， y= [4x(x+1) +256]+3*4000=x256+4x+12004所以y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++≤++14812004425680120044196x x xx x x〈 x ∈N(2) Ⅰ.当0＜x ≤8, x ∈N 时，y=x 196+4x+12004≥2x x 4*196+12004=12060(元)当且仅当x196=4x 即 x=7时取等号，y 的最小值为12060元。

Ⅱ.当9≤x ≤14 x ∈N,时， y=x 256+4x+12004 利用函数的单调性定义易证函数在[9,14]上为增函数，当x=9时，函数有最小值1206894元。

因为12060＜1206894，故该企业一次采购7天所需的大米，能使平均每天所付的费用最少。

七． 指数函数y=a x(a>0且a ≠1) 熟记函数y=2x和y=(21)x的图象，因为它们分别代表着0<a<1和a>1两种情况，根据图象可以归纳函数的性质，并且也是题目中出现次数较多的指数函数。

这组图象都关于y 轴对称。

熟记函数值的分布。

例11．已知函数y=(32)1162+-x x○1求函数的定义域和值域 ○2确定函数的单调递增区间解析；○1设t=x 2-6x+11, y=(32)t ,根据指数函数的定义域知该函数的定义域为R,函数t=x 2-6x+11在R 上的值域是[2，+∞），所以，y=(32)t 的值域是（0，94]○2结合○1，t=x 2-6x+11在R 上的单调递减区间是（-∞，3），y=(32)t 在[2，+∞）上单调递减，故原函数的递增区间是（-∞，3）。

点评：复合函数y=(32)1162+-x x 通过换元转化成两个比较熟悉的函数t=x 2-6x+11, y=(32)t ，结合它们各自的单调性和复合函数的单调性“同增异减”，就比较容易地解决这类问题。

八． 对数函数y= log a x (a>0且a ≠1)类似于指数函数，对数函数应该熟记y=log 21x 和y=log 2x 的函数图象和性质，二者图象关于x 轴对称。

与指数函数不同的是定义域（0，+∞），这一点极易忽略。

熟记函数值的分布，有利于比较数的大小及判断对数值的正负例12．函数y=log a (2-ax)在区间[0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围。

解：要使函数有意义需满足2-ax>0，有ax<2 ∵a>0,a ≠1∴x<a 2∴函数的定义域是(-∞, a2)∵函数的递减区间[0，1]必在定义域内 故2-a>0, 即a<2若1<a<2,在x ∈[0，1]时u=2-ax 单减 ，y= log a u 单增，从而函数y=log a (2-ax) 在[0，1]上单减； 若0<a<1，在x ∈[0，1]时u=2-ax 单减 ，y= log a u 单减，从而函数y=log a (2-ax) 在[0，1]上单增。