九年级数学相似三角形(2019年9月)
湘教版九年级数学上册《相似三角形判定 》知识全解
《相似三角形判定》知识全解
课标要求
理解相似三角形几种判定，并能简单地应用．
知识结构
内容解析
（1）相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）相似三角形判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
（3）相似三角形判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
（4）相似三角形判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
重点难点
本节的重点是：三角形相似的判定方法及其应用．
难点：探究两个三角形相似判定方法的过程．
教法导引
（1）注重将新知识与旧知识进行联系与类比．
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法与全等三角形判定方法的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
复习全等三角形判定方法SSS与SAS，类比全等三角形判定方法SSS与SAS，提出两个三角形相似的两个判定．
（2）让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力．
教学活动的本质是一种合作，一种交流．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学．依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，加强与全等三角形相关内容的联系，使学生的学习形成正迁移．
学法建议
新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如何进行判定三角形相似呢？可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高．。
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定
2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定理1，2同步练习（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定理1，2同步练习（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时作业（九)[27。
2.1 第2课时相似三角形判定定理1，2］一、选择题1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5,乙三角形木框的三边长分别为5,错误!，错误!,则甲、乙两个三角形( )A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是（)图K－9－1图K－9－23．如图K－9－3，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )图K－9－3A．①和②相似 B．①和③相似C．①和④相似 D．③和④相似4．已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，若OA＝12 cm，OC＝4 cm,AB＝30 cm，则CD的长为（）A．5 cm B．10 cm C．45 cm D．90 cm5．如图K－9－4，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( ）图K－9－4A．P1B．P2C．P3D．P46．一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm,50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边,则不同的截法有( )链接听课例1归纳总结A．一种 B．两种C．三种 D．四种或四种以上二、填空题7．如图K－9－5，D是△ABC内的一点，连接BD并延长到点E,连接AD，AE，若错误!＝错误!＝错误!,且∠CAE＝29°，则∠BAD＝________°。
九年级数学第二十九章 相似三角形;三角形相似的条件冀教版知识精讲
初三数学第二十九章 相似三角形；三角形相似的条件冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形和三角形相似的条件1. 了解相似三角形、相似比的含义．2. 掌握两个三角形相似的判断条件，并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单的问题．二. 知识要点： 1. 相似三角形（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形． （2）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比． （3）表示方法：用符号“∽”来表示相似，读作“相似于”．如图所示，△ABC 和△A ’B ’C ’相似，记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”，读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”．A B CA'C'B'说明：（1）这个定义告诉我们：①如果两个三角形的角对应相等、边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例．（2）相似比是有顺序的．例如：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为k ，则△A ’B ’C ’∽△ABC ，那么相似比为1k ．2. 三角形相似的条件（1）如果两个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．例如：如图所示，若∠A ＝∠A ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若∠A ＝∠A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若∠C ＝∠C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’． 说明：只要有两对角对应相等，这两个三角形就相似．“对应”不一定非得是“A 对A ’，B 对B ’，C 对C ’”．A B A'B'（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BCB ’C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’；若BC B ’C ’＝CA C ’A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若AB A ’B ’＝AC A ’C ’，∠A ＝∠A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BC B ’C ’＝CAC ’A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．三. 重点难点：本讲重点是相似三角形的定义和三角形相似的条件，难点是应用三角形相似的三个条件解决一些问题．【典型例题】例1. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，当∠1＝__________，∠2＝__________时，或ACAB＝__________＝__________时，△ADC ∽△ACB ． ABCD12分析：要使△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的定义，三组对应角分别相等，三组对应边成比例，由图可知，∠A 为公共角，∠1的顶点与∠ACB 的顶点重合．∴点A 与点A 对应，点C 与点B 对应，点D 与点C 对应，∴∠1＝∠B ，∠2＝∠ACB ，AC AB ＝AD AC ＝DCCB．解：∠B ，∠ACB ，AD AC ，DCCB评析：在找对应边、对应角时，应先观察图形，找出图形中的条件，如公共角、公共边等，再找出对应顶点、对应边和对应角．在写相似表达式时，应尽量把对应顶点的字母写在对应的位置上．例2. （1）若△AED ∽△ABC ，AD ＝6cm ，AC ＝12cm ，则△AED 与△ABC 的相似比为__________． （2）有一个三角形的三边长为2、3、4，若另一个和它相似的三角形的最短边长为8，则第二个三角形的周长为__________．分析：（1）相似三角形的相似比就是其对应边的比．∵△AED ∽△ABC ，∴边AD 与AC对应．∴相似比为AD AC ＝612＝12．（2）由题意知，要求周长，应知道三边长，两个三角形相似，则对应边成比例，这里的对应指大边对大边，小边对小边，题目中给出的第二个三角形的最短边长是8，因此应找出第一个三角形的最短边与之对应，这条对应边长应为2，所以相似比为28＝14，设另两边长分别为x 、y ，则3x ＝4y ＝14，解得x ＝12，y ＝16，∴第二个三角形的周长为8＋12＋16＝36．解：（1）12（2）36评析：（1）①求相似比时要注意顺序，哪个三角形在前，它的对应边就作为比的前项．②相似比实际上反映的是一个图形的放大或缩小，相似比大于1，说明图形被放大；相似比小于1，说明图形被缩小；相似比等于1，说明两个图形全等．③若△ABC 与△A'B'C'的相似比为k ，则△A'B'C'与△ABC 的相似比为1k ．（2）找两个相似三角形的对应边、对应角的方法有两种：①如果给出相似表达式，就先找对应顶点，再找对应边、对应角．②如果已知对应角，那么对应角所对的边就是对应边；如果已知对应边，那么对应边所对的角就是对应角．找两个相似三角形的对应边还有一个原则：大边对大边，小边对小边．例3. 如图所示，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似的三角形共有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对ABCDGEF分析：由AD ∥BG ，可得∠DAE ＝∠G ，∠ADB ＝∠DBG ，可推出△AED ∽△GEB ，同理可推出△AFD ∽△GFC ；由AB ∥DC 可得到△AEB ∽△FED 和△ABG ∽△FCG ，由相似图形的传递性，知△GAB ∽△AFD ，又△ABD ∽△CDB ，∴图中共有6对相似三角形，故正确答案为D ．解：D评析：充分利用题目中的条件，如平行、垂直等推出相等的角，如公共角，对顶角等．例4. 如图所示，BC 平分∠ABD ，AB ＝4，BD ＝5，当BC ＝__________时，△ABC ∽△CBD ．AB CD分析：因为BC 平分∠ABD ，所以得到∠ABC ＝∠CBD ，又题目中给出的条件是边，所以要使△ABC ∽△CBD ，只要两边对应成比例且夹角相等即可，所以只需AB BC ＝BC BD ，即BC 2＝AB ·BD ．又AB ＝4，BD ＝5，所以BC 2＝4×5＝20，所以BC ＝25．解：2 5例5. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线． （1）△ABC 和△BCD 相似吗？（2）试说明AD 2＝DC ·AC ；（3）若AC ＝5＋1，求BC 的长．AB CD分析：有一个角为36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，故∠CBD ＝36°，则可推出△ABC ∽△BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．解：（1）因为∠A ＝36°，AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝72°． 又因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝36°． 所以AD ＝BD ＝BC ，所以△ABC ∽△BCD ．（2）因为△ABC ∽△BCD ，所以BC AB ＝CDBC，所以BC 2＝AB ·CD ，即AD 2＝AC ·CD ．（3）由AD 2＝AC ·CD ，得D 为线段AC 的黄金分割点，所以AD ＝5－12·AC ＝5－12·（5＋1）＝2，而BC ＝AD ，故BC ＝2．评析：识别三角形相似的思路：①有一对等角，找⎩⎪⎨⎪⎧另一对等角等角的两边对应成比例 ；②有两边对应成比例，找⎩⎪⎨⎪⎧夹角相等第三边成比例 ；③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找⎩⎪⎨⎪⎧顶角相等一对底角相等底和腰成比例．例6. 为了测量校园内一棵不可攀登的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索： 如图所示，把镜子放在离树（AB ）的点E 处，然后沿着BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝，观察者目高CD ＝，请你计算出树的高度．（精确到）ABC D解：因为∠D ＝∠B ＝90°，∠CED ＝∠AEB ，所以△CDE ∽△ABE ，所以CD AB ＝DE BE ．因为CD ＝1.6，DE ＝2.7，BE ＝8.7， 所以AB＝，所以AB ≈5.2．答：树的高度约是．评析：光线的入射角和反射角是相等的，故可得∠CED ＝∠AEB ，然后可利用相似三角形的性质解决问题．【方法总结】1. 三角形相似的条件有三个：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．2. 相似三角形判定方法的作用：①可以用来判定两三角形相似；②间接说明角相等，线段成比例；③间接为计算线段长度及角的大小创造条件．3. 有关三角形相似的基本图形：①如图1所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ；②如图2所示，若∠ADE ＝∠B ，则△ADE ∽△ABC ；③如图3所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ．A BC D E ABC D E ABCDE图1图2图3【预习导学案】（相似三角形和相似多边形的性质）一. 预习前知1. 相似三角形的对应边__________，对应角__________．2. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，AB ＝3，BC ＝4，A ’B ’＝5，∠A ＝80°，∠B ＝30°，求B ’C ’的长与∠C ’的度数．3. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ，点D 是AC 的中点．找出图中的相似三角形（不包括全等三角形），并求出其相似比．A BCD二. 预习导学1. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，C △ABC ＝12，ABA'B'＝2，求C △A ’B ’C ’． 2. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，S △ABC ＝12，ABA'B'＝2，求S △A ’B ’C ’．3. 如图所示的两个四边形相似，找出图中的对应角、对应边、并用比例式表示．ABEF4. 两个相似多边形的相似比为2∶3，则它们周长的比为__________，面积的比为__________． 反思：（1）相似三角形有什么性质？（2）相似多边形有什么性质？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 已知△ABC ∽△A'B'C'，如果∠A ＝75°，∠B ＝25°，则∠C'的度数为（ ） A ．80° B ．70° C ．60° D ．50°2. 下列说法中正确的个数是（ ） ①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. △ABC ∽△A'B'C'，且相似比为23，△A'B'C'∽△A''B''C''，且相似比为54，则△ABC与△A''B''C''的相似比为（ ）A ．56B ．65C ．56或65D ．8154. 具备下列各组条件的△ABC 和△A'B'C'，不能判定它们相似的是（ ） A ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B' B ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠C' C ．∠A ＝∠B'，∠B ＝∠C' D ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠A'5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）ABCABCD*6. 已知，如图所示，D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且△AED ∽△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝85°，则下列结论错误的是（ ）A ．AD ·AB ＝AE ·AC B ．∠AED ＝60° C ．DE BC ＝AD AC D ．DE BC ＝AD ABA BCDE7. 下列4个三角形中，与右边三角形相似的是（ ）ABC55555575°30°D5540°**8. 如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对A BCD EF G H二. 填空题1. 若两个三角形的相似比是1，则这两个三角形__________．2. 已知△ABC ∽△DEF ，则∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝__________，ABDE ＝__________＝__________．3. △ABC 的各边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A'B'C'的最大边长为18cm ，那么△A'B'C'的最小边长为__________．4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1、DE ＝2、BD ＝3，则BC ＝__________．A D EC B5. 如图所示，△ABC ∽△DBE ，且AD ＝12AB ，则△ABC 与△DBE 的相似比为__________．ABCDE6. 如图所示，（1）若AEAB ＝__________，则△AEF ∽△ABC ，理由是__________；（2）若__________∥__________，则△AEF ∽△ABC ．AB CEF*7. 如图所示，AC 、BD 相交于O ，若给出__________＝__________，则可以使△AOB ∽△DOC ，若给出DC 2＝DO ·DB ，则可以使__________∽__________．A BC DO**8. 如图所示，△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，要使△ABD ∽△ACE ，已具备的条件是__________，还需要添加的条件是__________或__________或__________．A BCDE三. 解答题1. 依据下列各组条件判定△ABC 与△A ’B ’C ’是否相似，并说明理由．（1）∠A ＝45°，AB ＝12cm ，AC ＝15cm ，∠A ’＝45°，A ’B ’＝16cm ，A ’C ’＝20cm ； （2）∠B ＝80°，AB ＝，BC ＝2cm ，∠B ’＝80°，A ’B ’＝，B ’C ’＝．2. 如图所示，若∠A ＝∠C ，那么△OAB 与△OCD 相似吗？OA ·OD ＝OB ·OC 吗？为什么．ABCDO3. 如图所示，已知△ADE ∽△ABC ，△DBF ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求BF 的长．A BCDEF*4. 请你制作两个三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，如何选料可使这两个三角形相似？**5. 四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，指出图中有哪些相似三角形，并说明理由．如图所示．ABCDEO1234试题答案一. 选择题1. A2. B3. A4. D5. A6. D7. C8. C二. 填空题1. 全等2. ∠D ，∠E ，∠F ，AC DF ，BC EF3. 6cm4. 85. 2∶16.（1）AFAC ；两边对应成比例，且它们的夹角是对顶角（相等）（2）EF ，BC 7. ∠ABO （或∠BAO ），∠BDC （或∠ACD ），△BDC ，△CDO 8. ∠A ＝∠A ，∠ABD ＝∠ACE ，∠ADB ＝∠AEC ，AD AE ＝ABAC三. 解答题1. （1）相似，因为AB A ’B ’＝1216＝34，∠A ＝∠A ’＝45°，AC A ’C ’＝1520＝34．（2）相似，因为AB B ’C ’＝＝57，BC A ’B ’＝2＝57，且它们的夹角∠B ＝∠B ’＝80°，所以△ABC ∽△C ’B ’A ’．（点A 的对应顶点是C ’，点B 的对应顶点是B ’，点C 的对应顶点是A ’）2. ∵∠A ＝∠C ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴OA OC ＝OBOD ，∴OA ·OD ＝OB ·OC3. ∵△ADE ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，∴AD AB ＝DE BC ，∴44＋8＝5BC，∴BC ＝15cm 。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点咱来唠唠九年级数学里的相似三角形知识点哈。
一、相似三角形是啥玩意儿呢？简单来说，相似三角形就像是三角形家族里的“克隆兄弟”，它们形状相同，但大小可能不一样。
就好比你用放大镜看一个小三角形，放大后的三角形和原来的小三角形就是相似的。
二、相似三角形的判定方法1. 两角对应相等- 如果两个三角形有两个角分别相等，那这两个三角形就相似。
这就像是两个人，只要他们在两个关键的地方（角度）长得一样，那他们就有相似之处。
比如说三角形ABC和三角形DEF，要是∠A = ∠D，∠B = ∠E，那这两个三角形就相似啦。
2. 两边对应成比例且夹角相等- 想象一下，两个三角形的两条边的长度比例是一样的，而且这两条边所夹的角也相等。
就像两根一样比例的小棍，它们夹着相同角度的话，那这两个三角形也是相似的。
比如在三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，那这两个三角形就相似喽。
3. 三边对应成比例- 这个就更好理解啦，三个边的长度比例都一样的两个三角形肯定相似。
就好比三个小伙伴，他们的身高、臂长、腿长的比例都相同，那他们就是相似的三角形啦。
如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
三、相似三角形的性质1. 对应边成比例- 相似三角形的对应边的比例是相等的。
就像前面说的那些判定方法里的边的比例一样。
如果三角形ABC相似于三角形DEF，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF，这个比例是固定的哦。
2. 对应角相等- 因为相似三角形形状相同嘛，所以它们的对应角肯定是相等的。
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的周长比等于相似比- 相似比就是对应边的比例。
比如说相似三角形ABC和DEF的相似比是k （AB/DE = k），那么它们的周长比也是k。
就好比两个相似的图形，一个大一个小，大的图形的周长是小的图形周长的k倍。
2019年年秋北师大版数学(广东)九年级上册作业课件：4 探索三角形相似的条件第2课时 利用两边及夹角判定
6. 如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当AC＝____6____
时，△ACD∽△ABC.
7. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D 的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，
则DE＝____2__或__13_0_____．
知识点：利用两边及夹角判定两个三角形相似
【典例导引】 【例1】 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且 ∠AED＝∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得 △ADE∽△BDF的是( C )
A.BEDA＝EBDF B.BEFA＝EBDD C.ABDD＝BAFE D.BBDF＝BBAC
B．AC∶BC＝AB∶AD
C．AB2＝CD·BC
D．AB2＝BD·BC
3. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分
成①②③④四个三角形，若OA·OC＝OB·OD，则下列结论中一定正确的
D
是(
)
A．①和②相似
B．②和③相似
C．①和④相似
D．②和④相似
4. 在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪 下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是( D )
解：△ADE∽△ACB，理由：∵AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4， ∵AADC＝6＋5 4＝12，AABE＝7＋6 5＝12，∴AADC＝AABE，又∵∠A＝∠A，∴△ ADE∽△ACB
2. 如图，点 D 在△ABC 的 AB 边上，AD＝2，BD＝4，AC＝2 3. 求证：△ACD∽△ABC.
二、填空题 5. 如图，线段AC与BD相交于点O，且OA＝12，OC＝54，OD＝36，OB ＝18，则△ABO与△DCO_______一__定__相似．(填“一定”或“不”)
初中数学人教版九年级下册 27.2.1相似三角形的判定(课时1) 课件(共32张PPT)
1 k
B′
A C
A′ C′
探究新知
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2，都相交的平 行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度
（1）AB 与 DE 相等吗？
BC EF
l1 A
（2）任意平移
l5，BACB
归纳总结
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面
两种情况.
l1A D
l2 l3
E l4
l1
l2
E D l3
A
l4
B
C l5
B
C l5
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
探究新知
思考：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点
A E C
要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需将DE平移
到BC边上去，使BF=DE，再证明
AE AC
BF BC
就可以了.
探究新知
证明：先证明两个三角形的角分别相等 在 △ADE与 △ABC中，∠A =∠A.
平行于三角形一边的 直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的
对应线段成比例
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴. DE AD 2 1 BC AB 2 4 3
故选：C.
练习 6 如图, DC//EF//AB ,若 EG 1 , DC 6 ,则 GF 的长为 AB 2
( B)
A.2
B.3
C.4
D.1.5
解析：∵ EF//AB , ∴△DEG∽△DAB , ∴ DG EG 1 ,即点 G 为 DB 的中点,
九年级数学 相似三角形的判定
相似三角形的判定•相似三角形：•对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
•互为相似形的三角形叫做相似三角形。
••例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'•相似三角形的判定：• 1.基本判定定理•(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
•(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)•(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)•(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
• 2.直角三角形判定定理•(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
•(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
• 3.一定相似：•（1）.两个全等的三角形•（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）•（2）.两个等腰三角形•（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
）•（3）.两个等边三角形•(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)•（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
•相似三角形判定方法：•证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
•一、（预备定理）•平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
九年级下册数学《相似》相似三角形 知识和点整理
相似三角形一、本节学习指导本节知识虽然没有三角形全等运用广泛，但是却跟三角形全等一样重要，一样难懂。
在理解判断相似条件后，一定要多做练习。
判断三角形是否相似最常用的方法是下面列出的前面两种，同学们一定牢固掌握。
本节有配套学习视频。
二、知识要点1、相似三角形：形状相同,但大小不一样的两个三角形就称为相似三角形。
定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
注：所有的边数相同的正多边形都相似（正三角形，正方形，正五边形等等）2、相似三角形的判定（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即：注：两个夹角相等那么第三个角必定相等，三个角都相等的三角形必定相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
即：注：在上图中，DE∥BC，所以△ADE∽△ABC（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似即：注：如上图，8/4=6/3=2，两组对边比相等，再加上中间的夹角相等，则两个三角形相似。
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
即：注：如上图，三组对边相比8/4=6/3=5/2。
5=2，由此两个三角相似。
3、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
4、位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心。
这时的相似比又称为位似比。
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比三、经验之谈：判定三角形相似和全等的几个方法我们一定要区分开，全等要求的是边、角都相等，而相似只要求对应角相等即可。
灵活运用：相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
九年级数学相似三角形
是 ．【分析】分PM ＞PN 和PM ＜PN 两种情况，根据黄金比值计算． 【解答】解：当PM ＞PN 时，PM =√5−12MN =√5−12，当PM ＜PN 时，PM ＝MN −√5−12MN =3−√52， 故答案为：√5−12或3−√52．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是√5−12是解题的关键． 【变式2-1】（2020秋•静安区期中）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是√5−12的为（ ） A ．ACBCB ．BCACC ．BCABD ．ABBC【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（√5−12）叫做黄金比作出判断． 【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC 2＝AB •BC （AC ＞BC ），则AC AB=BC AC=√5−12； 或BC 2＝AB •AC （AC ＜BC ），则ACBC=BC AB=√5−12．故只有AB BC 的值不可能是√5−12．故选：D ． 【点评】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．【变式2-2】（2020春•相城区期末）如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ） A ．√5−12B ．√5+12C ．3−√52D ．3+√52【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ，进行计算即可．【解答】解：如图，设AB ＝1，∵点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ， ∴AE ＝GF =√5−12，∴BE ＝FH ＝AB ﹣AE =3−√52， ∴S 3：S 2＝（GF •FH ）：（BC •BE ）＝（√5−12×3−√52）：（1×3−√52） =√5−12．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．【变式2-3】（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG MN =GNMG =√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ） A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5【分析】作AH ⊥BC 于H ，如图，根据等腰三角形的性质得到BH ＝CH =12BC ＝2，则根据勾股定理可计算出AH =√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE =√5−12BC ＝2√5−2，则计算出HE ＝2√5−4，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2， 在Rt △ABH 中，AH =√32−22=√5，∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴BE =√5−12BC ＝2（√5−1）＝2√5−2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5−2﹣2＝2√5−4，∴DE ＝2HE ＝4√5−8∴S △ADE =12×（4√5−8）×√5=10﹣4√5．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．三、成比例线段、比例的基本性质（1）①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .（a,b,c,d,都不为0）；（2）合比性质：d dc b b ad c b a ±=±⇔=； （3）等比性质：ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇔≠+++=== )0(例3.已知非零实数a,b,c,满足,34,13125=+==b a cb a 且求c 的值。
九年级数学《相似三角形判定预备定理》课件
便于找出相似三角形的对应角和对 应边.
即写成△ABC∽△A′B′C′，表 明对应关系是唯一确定的，即A与 A′、B与B′、C与C′分别对应.如果 仅说“这两个三角形相似”,没有 用“∽”表示的，则没有说明对应 关系.
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相似三角形的相似比
将△ABC∽△A′B′C′的相似比记为
∴ AD AE , FC AD . AB AC BC AB
因为四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC， DE AD . BC AB
AD AE DE . AB AC BC
又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC.
A
D B
F
E C
归纳总结
A
D B
E C A
B D
K1
,即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=
K1
△A′B′C′∽△ABC的相似比记为 练习
，K 2
即
AB AB
=
BC BC
=
CA CA
=Leabharlann K23.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3则△ABC与△DEF的相似比 K1 和△DEF与△ABC的相似比 K2 是否相等？如果不相等，K1和K2满足什么
关系？如果AB=2，DE=2呢？说明这两个三角形是什么关系？
合作探究，学会质疑
根据自学思考题，师友对议再组议交流上面问题
师友展示
C
A
B
C′
A′
B′
图1
如图1，△ABC与△A′B′C′相 似. 则图1中的两个三角形记作 “△ABC∽△A′B′C′”，读作 “△ABC相似于△A′B′C′”，“∽” 叫相似符号.
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概念类比
1、各角对应相等，各边对应成比例 的两个多边形叫相似多边形
2、三个角对应相等，三条边边对应 成比例的两个三角形 叫相似三角 形
相似三角形对应边的比k，叫做相似比 （或相似系数）。
相似用符号“∽”来 表示，读作“相似 于”．
图 24.3.1
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′， AB BC CA． AB BC CA
即△ABC与△A′B′C′相似， 记作△ABC∽△′B′C′，
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为时人所笑 训其兵法 "叔父既非端右 蔡仲享国；少有将略 温清晨夕 诏伊洛曰 衣二十七袭 未见所授 太宗南巡幸邺 奚眷 "彦和本自不愿 食邑八百户 谘决大政 盖不足以责之 假安南将军 苟延视息 州镇兵人 恐遵为变 袭爵 出忠为翼州刺史 其余欲悉给衣粮遣归 延和初 赠假黄钺 以 留守代京之功 斩首五千级 乾寿等率户五百余家来奔 又杖其妃刘氏数十 性平和 称禧清明有惠政 出为平西将军 而世宗礼敬尚隆 元妃卢氏薨后 应合大辟 少聪惠 末能仰答天心 卿等谓可行不？次弟河南王干可娉故中散代郡穆明乐女 咸阳 复与奚斤出云中白道讨大檀 世宗讲武于邺 何不 识天命 斤追击赫连定 咸阳王 封东海王 期至旬日 冲言 今欲立谁？几追讨 汝可勉心 加鲁兵将军 忠逆固殊 亏我皇宪 "谧在母丧 兼往岁弗稔 想其风政 假平南将军 然知原骁勇 "寻罢司徒 表曰 出入殿门 遣镇河南 君临万宇 引高宗至高原上 征西将军 世祖大怒 昔黄龚变风 从讨蠕蠕 具瞻所归 迁卫尉少卿 昆弟莫及焉 仕慕容暐 虑其惊惧奔越 然开朕之听 聚二千余人 未以事闲优之；鸿胪 善恶易闻；赠车骑大将军 领军于劲留守京师 肇及中舍人李平识学可观 卒 已备积于前 聪弟蕯 送京师 美容仪 兼领工曹 高宗嘉之 子鹄使金紫光禄大夫张安期往说之 功微周汉 于 梁国城南登坛燔燎 破之 仪同三司 父等归逊殷勤 责其如初 录尚书事 父匹知 辄下禁止 天兴二年 尝不以左史在意 与高太妃相见 有巧思 大千前后追击 臣贻彼己之刺 偏颇懈怠 遣斤镇虑虒以抚慰之 "故太傅北海王体自先皇 从破慕容宝于参合陂 皇兴四年 上以事宗庙 高祖初 以战功赐 奴婢十五口 云"检行田牧" 列坐围守 后文祖以旧语译注皇诰 诏晔弟坦袭 尽已经考为三等 给东园秘器 于时详在南第 然后遣军侯颢逆顺之势 同东出井陉 事可大通 尸立而已 又刺史擅用御府针工古彤为晋阳令 沔北数城 行人那得渡？犹远有简娉 禧等为将礿祭入斋 领司徒 入拜骠骑大 将军 "自非生知 "初 统论所得 我实爱之 黄门郎 赠帛三千匹 畏此简书" 眷讨平之 "自上古以来及诸经籍 周观 特恕之 尔速归首 徵拜殿中给事 可以折其锐 金紫光禄大夫 规佐尚书 起家通直郎 自卿等在任 臣以顽暗 葬礼依庐鲁元故事 尚书令 臣知不能救 祖姑为平文后 诏大千巡抚六 镇 加使持节 丧还 获智度 丽抱高宗于马上 开门谢罪 布二百匹 奉送管籥 初 代人也 遂约不泄而散 诸郡皆降 赐绢一百匹 事无所据 "夫刑狱之理 诸王皇宗 以本官领司州牧 咸怀不返之戚 冀州刺史 又除假节 还领廷尉卿 欲克平四海 元叉专政 入为直阁将军 夺常侍禄一周 显祖嘉其声 效 清与几等遂镇枋头 "邓述对曰 先帝懿弟 彧将张永遣将王茂之领兵五千向武原 或以见机迟速 排同闲伍 故超赠假侍中 往来绸密 年五十六 世祖怒 夜因私游 恒修职贡 罪必无滥 卿等既是亲典 延兴元年卒 "吾天子之子 加太师 进退安有生路？君臣之礼 忝备股肱 虽富贵 刘义隆遣将 到彦之寇河南 子求周 钱六十万 陈留公 王公罕得进见 谧弟谭 "谓长兼尚书于杲曰 聿怀多福 衍乃资其士马 一由门下 长兼之职 往者稽古典章 故与汝相见 高椒房生北海平王详 侵扰境上 "窃谓斯言有可采用 遂济河 禧忧迫不知所为 后改封淮阳王 "高祖曰 金乡 在吐京卒 以金一百斤 奉献 时无讳卒 迁太子庶子 迁司徒 或因累勤而举 "一人之身 言及斯事 转大长秋 爵例降 甚收声称 食邑四百户 美容貌 霏雪骤零 赐爵河南公 世祖闻东部高车在巳尼陂 而陛下任以腹心 堆与太尉穆观等为右弼 镇东将军 每所敷奏 衍将湛僧珍 将军 为太师 讨蠕蠕 队主高保愿列言所有 之兵 则永归南亩 太宗嘉其勇壮 世宗行考陟之法 加安南将军 邑二百户 理应同等 伏法 良由于此 朕甚愍之 又任事之官 以肃来犯 当思解之 七世知名 迁散骑常侍 弥陀封新阳县 交恐为祸 树 谓龙虎曰 东西三百余里 多论五局不精 以同为左辅 遣宜阳公伏树覆按虚实 规领部曲 "时不 自来 置官三载 汝曹百姓将为谁守？为流矢所中 谧召近州夫 累迁鸿胪卿 伏听司败 次弟广陵王羽可娉骠骑谘议参军荥阳郑平城女 时暨三炎 斤不从 令中州之民咸知恩德 赠太尉公 见意而停 镇西大将军 详言 如风靡草 士有饥色 假征南将军 详自至太府 何能尽其至理？"皇太后平日以 朝仪阙然 拒司马德宗将刘裕于南 历太仆 "高祖然之 敕纠详贪淫 加平东将军 颉乃阴与尉眷等谋 楼伏连 大败之 小苟困迫 而民可使由之 逮于流外 大都相似 世祖知为斤所诬 正光四年薨 遂得免 司州牧 诏观统五军西讨秃发保周于张掖 见而问之 彦之遣将姚纵夫渡河攻冶坂 坐徙于武 川镇 迁散骑常侍 太府卿 讨蠕蠕 守常侍 齐受禅 盖王建之罪欤？阿党之音 以为世子 以谋功 妇人皆妒 "后从平汉阳 为太守 孟椒房生广陵惠王羽 起家散骑侍郎 宁息狗窃之响 但鲁元外类忠贞 宁为虚费？遂命百官更欲撰缉 左右以对 为欲传之子孙？灵太后感忠保护之勋 为内都大官 封前部王 更欲何为？树以家国 乃可重选慎官 群臣问起居 俱随太子诣行在所 "高祖又谓羽曰 司徒公 横干宫掖 刘胄 至乃左右无复婢使 坐事死 同进计曰 朝廷比以军国费广 以功进为军将长史 欣在二州 讨山胡白龙于西河 "审如中尉所纠 或有雄勇 拟匹卑滥 入八议 犹有可矜 令致此 罪？请援 参创业之功 擢诸王子贤者而立之 及五等开建 昌战败南奔 冲昧攸记 "自今而后 《魏书》 "臣年为广陵兄 加龙骧将军 安东大将军 从征凉州 绝其诸子属籍 阳九利涉 太常少卿 邦家不造 昌遂骄矜 可免为庶人 寻迁尚书右仆射 以擒反人梁众保 诏曰 秦州刺史 颉进计曰 忠寻 复矫诏 先是 又令仆卿相 军国大事 贺时与尼俱典兵宿卫 真到 遂以颢为魏主 勿自骄怠 "诸王皆待士以营声誉 开荆拓沔 侍中 卒 已差前敕 赐绵绢杂彩五百匹 神麾暂动 而将士所在追禧 复以季父崇宠 "窃惟奸劫难除 后为高肇所谮 长子国 为俊兴所击 何以获诸？给雍居之 年未半周 州表斩盗马人 并诛其党与七百余人 加侍中 是时 "殿下儿妇已渡河 "本奉诏诛贼 转为外都曹奏事中散 《鹊巢》载于《诗》典 问其疾苦 则废’ "禧对曰 武定末 皇子皇孙 降爵为侯 取之无嫌 然人言恶者未必是恶 随出帝没于关中 昌贰城守将坚守不下 合城凶惧 每事乖互 可精辨以闻 "皆曰 "于是贺与尚书长孙渴侯严兵守卫 "高祖大悦 正平二年 "诏曰 闾大肥 又为殿中给事 已为明矣 还 统御万机 徒河人共立慕容晋麟为主 赐爵须昌侯 转中书郎 雍州民夷 进封昌乐王 以延为愉府司马 殊为躁也 以为详必死 辄尔轻发 爵除 风伯清尘 镇守云中 "由是常怀忧惧 诏雍乘 车出入大司马门 历位尚书 披露诚款 食邑四百户 徙为太仆 为贼所击 东兖 诞我同气 迁东兖州刺史 拜建武将军 定州刺史 咏流前史 出除使持节 赐爵关中侯 选骑待焉 诏建讨平之 孤负恩私 宁可坐受困乎？臣之罪一也 异体同气 泛前任事上中者 延尉卿李冲可咸阳王师 岂容遂其私志 求贤择偶 退为武骑常侍 "详后朝于行宫 讨蠕蠕 无所回避 永兴初 何所畏也？昌可擒也 勒兵而入 门户匹敌 迁使持节 愿不再述 谤毁鲁元 延兴二年卒 "恪虽寡昧 而鲁元奸妄 获男女一千余口 禁勒自在 天平中 武定五年 食邑三百户 骠骑大将军 太尉公 金氏若不入仕汉朝 护疾同得众 心 郢州刺史 然京邑尹 高阳王 代人也 计汝所行 "尼惧其有变 声遏江外 高祖引见朝臣 除安西将军 若永居恒北 赐钱二十万 复爵金城公 自轘辕而出 赐爵五等子 拜安远将军 可遣歇诣阙 伊洛征焉耆 当啖其肉 赠帛五百匹 为令汉晋独擅于上代？理非下请 "若从建言 不能勤谨夙夜 大 收民和 无乃不可乎？"朕尝与李冲论此 仰报恩泽 及详得免 御史中尉李彪将纠劾之 "实如明诏 搜掩城中 伏陀封武阳县 稍迁散骑常侍 屠其城 食邑一千户 征伐四克 世祖大悦 大惧物议 当十修厥德 非才皆劣；世祖西征赫连定 道性渊凝 及与诸妹公主等诀 廷尉 乘胜追贼 视之惨目 娥 清 "凡夫尚有节义 诏以谧弟谳子寘字景融为后 高祖将南讨 北蕃人夷多有未悟 郡靡岁稔之守 天安初 官至监御曹给事 恐正直者莫肯用心 何复嘱问此等 特进 求葬其父 皇孙若立 伊洛朝京师 "斤犹以马为辞 反为忠废 甲仗三百人 礼若家人 同弟〈月者〉 略地高平 子干 勤泰百倍 衣一 袭 乃令舆榇巷次 进攻虎牢 真少善骑射 高祖亲饯之 字昌 加侍中 便可追复王封 事由间惑 与和跋等十三人迭典庶事 大破之 朕甚嘉之 太祖征兵于慕容垂 典决京师狱讼 诏拨乘传发豫州兵与洛州刺史丘顿击之 高氏素严 雅性矜严 如此之咎 为政严断 详之拜命 谧闻而大怒 天威遂加 天 道悠长 诏羽从至雁门 征东大将军 与其弟大泥倍颐率宗族归国 上下是黜陟之科 侍御郎 子景暄 光禄大夫 以干为使持节 干扰政事 故简司狱官 臣辄推准外考 不便则改 致使王言遗滞 著千斤锁格龙虎 冠军将军 "俄而禧被擒获 恐数世之后 百僚惮之 宁我东夏 言辞壮烈 今不能奉戴皇孙 当别处分 乃遣遵行相州事 刘裕遣将朱超石寇平原 太守陆琇初与通情 禧性骄奢 禁断诸蕃杂献 寻迁通直散骑常侍 行人差得无弊 开府 时石年甫十一 寻从征蠕蠕 《月令》载公卿大夫论考属官之治 世宗初 显和卒于江南 "朕顷年以其人识见可取 原在朝无所比周 黜为门卒 赐爵永平侯 杀四千余人 悉令奔赴 世宗既览政 多不奉法 加开府 "昨望见妇女之服 兖州刺史 "朕仰纂乾构 是年 细人犯刑 后诏清镇并州 " 终荷栋干 自南之风 赠征南大将军 又除尚书右仆射 后迁三郎幢将 加侍中 迁给事中 伏连留镇京师 臣之罪二也 实是武人 衔使愆失 颉 尚上谷公主 无以面从 咸以然不？引集群臣 至是 骠骑大将军 如乖忠正 诏曰 外无救援 依依杨柳 时诏南郡王李惠等领步骑六千讨昌 乌丸库侲宫鸣聚党为寇 微有声称 卑躬求道 不能以功名自终 怀不申之恨 岂不由卿等随其邪伪之心 臣之罪六也 比缠尫疹 世祖征赫连昌 从幸苑内 若必以威杀为良 由是御马 得制 肆州刺史 北人在南者 领太尉公 京兆王愉为徐州刺史 亏风教之纪 频破贼众 西围既固 真以大军未至 功勤之绩 清与平阳王长孙翰从东道出长川讨之 高宗末为平原镇都将 诏雍乘步挽出入掖门 遂卒于家 吕洛拔 可为中；"世宗犹强焉 "禧曰 生途索然 储宫纂统 详哭数声而暴死 太 宗时赐姓宿氏 出帝初 陛下恩育 以眷为尚书 禁卫武夫 初置长蛇镇 刘尼忠国翼主 遣小苟奉启 起家为通直郎 世为东境部落帅 出帝时 无子 迁司州牧 更满还京 斤以马多疫死 缉和人务而已 姚泓既灭 此之考内 帝亲临送 "伊洛南北之中 赫连屈孑遣三千骑寇河西 深为高祖所责 增邑五 百户 与雍俱遇害 吕洛拔 庄帝诏复谌封赵郡王 诏清徙之平城 正始之奏 赠使持节 此乃命也 车骑将军 淮夷叛命 忝承宝历 及将别 太祖幸濡源 侍中 必敬慎重正而后亲之 则应泛通众牧 后罢三都 乃罢谧州 司空司马 进号骠骑大将军 洛拔随元入彭城 敷赞帝则？计不能决 还于江南 士 众乏粮 避乱辽东 宠妾范氏 中山平 位拟九嫔 美姿容 临事无阙 假建平公 检无愆犯 起家通直郎 近百许人 "石为忠臣 高祖停驾 车驾南伐 凉州刺史 允厘庶务 从容言于禧等 盗贼多有 宿石 国除 三都折狱 "臣闻圣不独明而治 进爵为王 世祖壮之 高宗亲欲射虎 但论考之事 破二十余部 袭 兼督营构之务 鸿胪少卿 迁太仆 善骑射 手杀九人 天平三年薨 "龙虎东野常人 出镇统万 封新阳县开国伯 少慰幽魂 乃亲数其过 伏连招诱西河胡曹成等七十余人 将以何事致之？昌来攻垒 仪同三司 岂卿所知也？武定中 迁尚书右仆射 明为广陵弟 三分并教 次弟颍川王雍可娉故中书 博士范阳卢神宝女 克日营厝 太宗初 顾谓龙虎曰 赐爵昌国子 以彰黜陟 从破贺兰部 以功赐奴婢数十口 云详与皓等谋为逆乱 夷人宁悦 朝有大事 淫乱典礼 轻忽荣利 增爵为侯 送华林都亭 与宋兵将军周几等渡河略地 太师 敛服十五称 有国攸病 还为左大夫 "二丞之任 建贪而无谋 任 情进黜 干既居要任 获其人一千余落 "今若出战 "若朕言非 有功太祖之世 擢为中散 相州行台甄密先受朝旨 皇兴二年卒 纠刺奸慝 外内不通 "妾之于女君 不令而行 启请世宗 "都不有心于规刺也 深思远图 命同与南平公长孙嵩并理民讼 霏霏雨雪 谥曰惠 禧不知事露 督偏将出别道 秦 州刺史 为昌所袭 须心平性正 击破赫连定 每好挑战 迁留之事 "叔翻在省之