2012年高考真题——数学文(广东卷)word版全解全析
2012年高考文科数学广东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共33页）数学试卷 第2页（共33页）数学试卷 第3页（共33页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的体积公式34π3V R =,其中R 为球的半径.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一组数据12,,,n x x x的标准差s = 其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数3+4ii= （ ）A .43i --B .43i -+C .43i +D .43i - 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U M =ð（ ）A .{2,4,6}B . {1,3,5}C . {1,2,4}D .U3. 若向量(1,2)AB =,(3,4)BC =,则AC = （ ）A .(4,6)B .(4,6)--C .(2,2)--D .(2,2) 4. 下列函数为偶函数的是（ ）A .sin y x =B .3y x =C .e x y =D.y =5. 已知变量x ,y 满足约束条件1110 x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥,则2z x y =+的最小值为（ ）A .3B .1C .5-D .6-6. 在△ABC 中,若60A ∠=,45B ∠=,BC =,则AC = （ ）A. B. CD7. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 （ ）A .72πB .48πC .30πD .24π8. 在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（ ）A. B. CD .19. 执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为（ ）A .105B .16C .15D .110. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角ππ()42θ∈，,且a b 和b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中,则=a b（ ） A .52B .32C .1D .12二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. （一）必做题（11～13题）11.函数y =_______. 12.若等比数列{}n a 满足2412a a =,则2135a a a =________.13.由正整数组成的一组数据1x ,2x ,3x ,4x ,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.（从小到大排列）（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数,π02θ≤≤）和1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3所示,直线PB 与圆O相切于点B ,D 是弦AC 上的点,PBA DBA ∠=∠.若AD m =,AC n =,则AB =_______.三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()cos()46x f x A =+,x ∈R ,且π()3f =. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,430(4π)317f α+=-,28(4π)35f β-=,求cos()αβ+的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共33页） 数学试卷 第5页（共33页） 数学试卷 第6页（共33页）17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分；（Ⅲ）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,AB CD ∥,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点且12DF AB =,PH 为PAD △中AD 边上的高. （Ⅰ）证明：PH ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若1PH =,AD 1FC =,求三棱锥E BCF -的体积； （Ⅲ）证明：EF ⊥平面PAB .19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足22n n T S n =-,*n ∈N . （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b ＞＞）的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)P 在1C 上. （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切,求直线l 的方程.21.（本小题满分14分）设1a ＜＜,集合{|0}A x x =∈>R ,2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ,D A B =.（Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.3 / 11【答案】A【解析】(1,2)AC AB BC =+=【提示】给出两向量坐标，根据向量加法公式进行计算。
2012年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U3．（5分）（2012•广东）若向量=（1，2），=（3，4），则=（）A．（4，6）B．（﹣4，﹣6）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）4．（5分）（2012•广东）下列函数为偶函数的是（）A．y=sinx B．y=x3C．y=e x D．5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣66．（5分）（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．7．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π8．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C．D．19．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．110．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义°=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（）A．B．C．1D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是．12．（5分）（2012•广东）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．（从小到大排列）14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为．15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．17．（13分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：518．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n=2S n ﹣n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．21．（14分）（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a ＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．2012年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i为虚数单位，则复数=（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．解答：解：∵，故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M=（）A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{1，2，4} D．U考点：补集及其运算．专题：集合．分析：直接根据集合的补集的定义以及条件，求出∁U M．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁U M={2，4，6}，故选A．点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．3．（5分）（2012•广东）若向量=（1，2），=（3，4），则=（）A．（4，6）B．（﹣4，﹣6）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由，，利用能求出．解答：解：∵，，∴．故选A．点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）（2012•广东）下列函数为偶函数的是（）A．y=sinx B．y=x3C．y=e x D．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：结合选项，逐项检验是否满足f（﹣x）=f（x），即可判断解答：解：A：y=sinx，则有f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx为奇函数B：y=x3，则有f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x）为奇函数，C：y=e x，则有f（﹣x）=，为非奇非偶函数．D：y=ln，则有F（﹣x）=ln=f（x）为偶函数故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶行的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣2），代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5．故选：C．点评：本题主要考查了线性规划的思想和方法，二元一次不等式表示平面区域的知识，数形结合解决问题的思想方法，属基础题6．（5分）（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项解答：解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π故选C点评：本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键8．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3B．2C．D．1考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选B点评：本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题9．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．解答：解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．点评：本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义°=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（）A．B．C．1D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈（0，），故m=n=1，从而求得•=的值．解答：解：∵°•=====，n∈N．同理可得°•====，m∈N．再由与的夹角，可得cosθ∈（0，），∴cos2θ=∈（0，），故m=n=1，∴•==，故选：D．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，须，解得x≥﹣1且x≠0∴函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）．点评：此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．12．（5分）（2012•广东）若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5=．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列{a n}的性质可得=，再次利用等比数列的定义和性质可得．解答：解：∵等比数列{a n}满足=，则，故答案为．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，属于基础题．13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1，1，3，3．（从小到大排列）考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由题意，可设x1≤x2≤x3≤x4，，根据题设条件得出x1+x2+x3+x4=8，，再结合中位数是2，即可得出这组数据的值．解答：解：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，，依题意得x1+x2+x3+x4=8，，即，所以（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．故答案为：1，1，3，3．点评：本题考查中位数，平均数，标准差，解题的关键是利用相关公式建立方程，作了正确判断．14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先把曲线C1和C2的参数方程化为普通方程，然后联立直线与曲线方程可求交点坐标解答：解：曲线C1的普通方程为x2+y2=5（），曲线C2的普通方程为y=x﹣1 联立方程x=2或x=﹣1（舍去），则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）点评：本题主要考查了直线与曲线方程的交点坐标的求解，解题的关键是要把参数方程化为普通方程15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．考点：弦切角；与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用题设条件，由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，故△ABD∽△ACB，，由此能求出结果．解答：解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AC•AD=mn，即．故答案为：．点评：本题考查与圆有关的线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值．分析：（1）将代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得A的值；（2）先将，代入函数解析式，利用诱导公式即可得sinα、cosβ的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得cosα、sinβ的值，最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可解答：解：（1），解得A=2（2），即，即因为，所以，，所以．点评：本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用，诱导公式、同角三角函数基本关系式的应用，特殊角三角函数值的运用，属基础题17．（13分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．解答：解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．点评：本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以ME DF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．解答：解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，∴PH⊥AB，∵PH为△PAD中AD边上的高，∴PH⊥AD，∵AB∩AD=A，∴PH⊥平面ABCD．（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，∵E是PB的中点，∴EG∥PH，∵PH⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，则，∴=（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，∵E是PB的中点，∴ME，∵，∴ME DF，∴四边形MEDF是平行四边形，∴EF∥MD，∵PD=AD，∴MD⊥PA，∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n=2S n ﹣n2，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1．由T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，能求出a1．（2）当n≥2时，S n=T n﹣T n﹣1=2S n﹣n2﹣[2S n﹣1﹣（n﹣1）2]=2S n﹣2S n﹣1﹣2n+1，所以S n=2S n﹣1+2n﹣1，S n+1=2S n+2n+1，故a n+1=2a n+2，所以=2（n≥2），由此能求出数列{a n}的通项公式．解答：解：（1）当n=1时，T1=2S1﹣1因为T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，求得a1=1（2）当n≥2时，所以S n=2S n﹣1+2n﹣1①所以S n+1=2S n+2n+1②②﹣①得a n+1=2a n+2所以a n+1+2=2（a n+2），即（n≥2）求得a1+2=3，a2+2=6，则所以{a n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列所以所以，n∈N*．点评：本题考查数列的首项和数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直线l的方程．解答：解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得，即b=1，所以a2=b2+c2=2所以椭圆C1的方程为．（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+m，由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0整理得2k2﹣m2+1=0①由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0整理得km=1②综合①②，解得或所以直线l的方程为或．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（14分）（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a ＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．考点：利用导数研究函数的极值；交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：导数的综合应用；集合．分析：（1）根据题意先求不等式2x2﹣3（1+a）x+6a＞0的解集，判别式△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3），通过讨论△＞0，△=0，△＜0分别进行求解．（2）对函数f（x）求导可得f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），由f′（x）=0，可得x=a或x=1，结合（1）中的a的范围的讨论可分别求D，然后由导数的符号判定函数f（x）的单调性，进而可求极值解答：解：（1）令g（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a，△=9（1+a）2﹣48a=9a2﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3）．①当时，△≥0，方程g（x）=0的两个根分别为，所以g（x）＞0的解集为因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=②当时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）综上所述，当时，D=；当时，D=（0，+∞）．（2）f′（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=a或x=1，①当时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）因为g（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=a（3﹣a）＞0，g（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0 所以0＜a＜x1＜1≤x2，所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，x1）（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣+f（x）↗极大值↘↗所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点．②当时，由（1）知D=（0，+∞）所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1综上所述，当时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；当时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．点评：本题主要考查了一元二次不等式与二次不等式关系的相互转化，体现了分类讨论思想的应用，函数的导数与函数的单调性、函数的极值的关系的应用．。
2012年高考数学广东文解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：球的体积34=3V R π，其中R 为球的半径.锥体的体积公式为1=3V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.一组数据x 1，x 2，…，x n 的标准差s ，其中x 表示这组数据的平均数.一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 为虚数单位，则复数34i i +=A. 43i --B. 43i -+C. 43i +D. 43i -【答案】D 【解析】22343443i i i i ii++==-【点评】此题主要考查了复数的有关运算，属于较为容易题. 2.设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则U C M =A.{2.4.6}B.{1.3.5}C.{1.2.4}D.U 【答案】 A【解析】{}2,4,6U C M =【点评】此题主要考查了集合的有关运算，属于较为容易题.3.若向量(1,2)A B = ，(3,4)B C =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2） 【答案】A【解析】(3,4)(1,2)(4,6)AC AB BC =+=+=【点评】本题主要考查了向量的加法运算，属于较为容易题，通过该题给我们的启示在今后的备考中要注重基础知识的落实. 4.下列函数为偶函数的是.sin A y x = 3.B y x = .xC y e =.l D y = 【答案】D【解析】本题主要考查了函数奇偶性，判断的切入点在于利用定义法判断即可.对于s in y x =，3y x =是奇函数，对于xy e =为指数函数模型为非奇非偶函数，由偶函数定义可判断函数ln y =为偶函数.【点评】函数的性质应该是每年的高考试题中常考查的，问题的考查主要以中学阶段所接触的几类常见函数模型为载体，也是我们今后备战2013年高考中所应引起重视的知识点. 5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为A ．3 B.1 C.-5 D.-6 【答案】C【解析】画出平面区域可知，当目标函数z=x+2y 表示的直线经过()1,2--时，z=x+2y 取得最小值为5-，故选C.【点评】本题考查线性规划的知识，属基础题 6.在A B C ∆中，若A ∠=60°, ∠B=45°，BC=3，则AC=A ．4 BC. D2【答案】B【解析】由正弦定理得sin 60sin 45AC =，解得AC =B【点评】本题考查解三角形，属于容易题. 7．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π 【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体为一倒立的圆锥上面加一个半球，所以体积为3214133430233πππ⋅⋅+⋅⋅=，故选C 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图及体积的求解，属于容易题.8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A ．3 B2 D 1 【答案】B【解析】由点到直线距离公式可弦心距1d =，又由圆的几何性质可得2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故弦AB ==，故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.9．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．1 【答案】C【解析】由程序框图可知，当1i =时，计算出1s =；当3i =时，计算出3s =；当5i =时，计算出15s =；当7i =时，输出15s =，故选C 【点评】本题考查了算法中的循环结构，属于中档题 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ⋅⋅ . 若两个非零的平面向量a ，b满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则a b =A ．52B ．32C ．1D ．12【答案】D【解析】借助于已知定义可知：22cos cos ,,a b a a b b a b b a b a b aθθ⋅⋅⋅⋅====又因为平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，故可取3πθ=，a b = 可得12a b =【点评】本题属于创新性题目，理解给定的信息借助于向量的有关知识是解决本题的关键 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11~13题） 11.函数y x=的定义域为 .【答案】[)()1,00,-⋃+∞【解析】要使函数有意义,须满足10x +≥且0x ≠,解得定义域为[)()1,00,-⋃+∞. 【点评】本题考查函数的定义域,属容易题.12.若等比数列{a n }满足241,2a a =则2135a a a =.【答案】14【解析】因为是等比数列,所以21524312a a a a a ===，所以2135a a a =14【点评】本题考查等比数列的性质, 属容易题.13.由正整数组成的一组数据1234,,,,x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列） 【答案】1,2,2,3【解析】由题意知：23144,4,x x x x +=+=容易得答案.【点评】本题考查平均数与中位数及标准差的求解.，属于中档题 （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x x θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，(0)2πθ≤≤122x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 . 【答案】()2,1【解析】有参数方程可知：曲线1C 和2C 的普通方程分别为()2250,0,10x y x y x y +=≥≥--=，联立方程可求得交点坐标为()2,1【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程与普通方程的互化，以及如何求两曲线的交点坐标的问题.15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B,D 则弦AC 上的点，PBA D BA ∠=∠.若AD=m,AC=n,则AB= .【解析】由弦切角定理知: ∠PBA=∠ACB,又因为∠PBA=∠DBA ，所以∠DBA =∠ACB,所以ABD ACB ∆∆与相似,故m A B A Bn=,解得AB =.【点评】本题考查几何证明选讲内容，侧重于考查三角形相似与弦切角定理.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()cos(),()463x f x A x R f ππ=+∈=，且（1）求A 的值； （2）设430280,,(4),(4)23173 5.f f πππ⎡⎤α,β∈α+=-β-=⎢⎥⎣⎦求cos()α+β的值.【解析】（1）()cos 2.34f A A ππ=⇔=⇔= （2）43015158(4)cos()sin ,cos .3172171717f ππαααα+=-⇔+=-⇔==2843(4)cos ,sin 3555f πβββ-=⇔==,4831513c o s ()c o sc o s s i n s i n .51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 【点评】本题考查三角函数的化简求值，三角函数诱导公式以及两角和的三角函数等公式的应用，考查了考生的运算能力.分析近几年的的高考三角试题，易发现，两角和与差的三角函数在高考中仅占有一定的份量；在考查利用三角公式进行三角恒等变换时加强了三角函数图像与性质的考查力度；三角公式与解斜三角形结合起来应引起足够的重视；三角函数与向量等内容的结合会将成为新的命题热点. 17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分; （3）若这100名学生语文成绩某些份数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.【解析】（1）(20.020.030.04)1010.005a a +++⨯=⇔=. （2）平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）数学成绩在[50,90)内的人数为145(0.0050.040.030.02)1010090234+⨯+⨯+⨯⨯⨯=人;数学成绩在[50,90)外的人数为1009010-=人.答：（1）0.005a =,（2）这100名学生语文成绩的平均分为73, （3）数学成绩在[50,90)外的人数为10人.【点评】本题考查了频率分布直方图的基础知识，解决该类问题时，应正确理解图表中各量的意义，通过图表掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布指的是样本数据在各个范围内所占的比例大小，一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.据近几年的各地高考试题来看文科试题概率与统计的综合题是一类重要的考查的方向，此类问题一般是将概率的计算与统计中的频率分布直方图、茎叶图、平均数等结合考查，考查综合运用知识的能力.18（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P A B C D -中，AB PAD ⊥平面,//A B C D ,PD AD =,E 是P B 的中点，F 是C D 上的点且12D F A B =,P H为PAD ∆中A D 边上的高.（1）证明：PH ABCD ⊥平面；（2）若11P H A D F C ===，，求三棱锥E B C F -的体积；（3）证明：EF PAB ⊥平面.【解析】（1）AB ⊥平面PAD ，P H ⊂面PAD P H A B ⇒⊥.又,PH AD AD AB A PH ⊥=⇒⊥ 面A B C D . （2）E 是P B 中点⇒点E 到面BC F 的距离1122h P H ==,三棱锥E B C F -的体积1111113326212BC F V S h FC AD h ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=（3）取P A 的中点为G ，连接,DG EG .PD AD D G PA =⇒⊥，又AB ⊥平面PAD ⇒面P A D ⊥面P A B D G ⇒⊥面P A B , 点,E G 是棱,PB PA 的中点11//,//////22E G A B DF A B EG D F D G E F ⇒⇒⇒.所以E F ⊥平面P A B .【点评】本题考查了空间线线、线面的平行与垂直的推理与判断以及三棱锥体积的求解.在解决该类问题时，首先要熟悉空间线面位置关系的判定定理，其次要树立转化意识.历年高考考查的形式有两种：一种是线面平行与垂直的判断与性质的应用；一种面面平行与垂直的判断与性质的应用，可以预测该考点仍将是2013年高考考查的重点.19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n N ∈. (1)求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.【解析】（1）在2*2n n T S n n N =-∈，中，令111121 1.n a a a =⇒=-⇔= （2）221122(1)n n n n T S n T S n ++=-=-+，，相减得：12(21).n n S S n +=++12(21)n n S S n +=++，212(23)n n S S n ++=++，相减得：212 2.n n a a ++=+ 12121234a S S a =⇒=+⇔=，得12 2.n n a a +=+112222(2).n n n n a a a a ++=+⇔+=+得：数列{2}n a +是以123a +=为首项，公比为2的等比数列，11232322.n n n n a a --+=⨯⇔=⨯-【点评】本题主要考查了考生数列的通项公式的求解，属于中档题.对于数列考点一般以考查数列的通项公式和前n 项和公式为主，同时考查方程思想、整体思想及分类讨论的思想，同时一般以解答题的形式出现，属于中等偏上的题目，从能力要求上看，侧重于考查基本技能和基本方法，分析和解决问题的能力. 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C :22221x y ab+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1)P 在1C .（1） 求椭圆1C 的方程；（2） 设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :24y x =相切，求直线l 的方程.【解析】（1）由题意得：1,1 1.b c a b c ===⇔===故椭圆1C 的方程为：221.2xy +=（2）①设直线:l x m =，直线l 与椭圆1C 相切m ⇔=，直线与抛物线22:4C y x =相切0m ⇔=，得：m 不存在；②设直线:l y kx m =+，直线l 与椭圆1C 相切222(12)4220k x km x m ⇔+++-=两根相等221021,m k ⇔∆=⇔=+直线与抛物线22:4C y x =相切2222(2)0k x k m x m ⇔+-+=两根相等20 1.km ⇔∆=⇔=解得：2k m ==或:2).22k m l y x =-=⇒=±+【点评】每年高考都有一道解析几何题，难度较大，而本题考查了椭圆与抛物线的方程，同时考查了直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，主要考查解析几何的基本运算与基本推理.由于解析几何问题的特点，往往将运算作为考查的重点，所以一定要注意基本运算与基本推理在解题中的应用.同时解析几何也有“几何”的特点，解题时一定要注意数形结合思想的应用.从近几年的高考试题来看这是一种倾向，要引起高度重视. 21.（本小题满分14分）设01a <<，集合2{|0},{|23(1)60},A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>D A B =⋂.(1) 求集合D (用区间表示)(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.【解析】（1）方程223(1)60x a x a -++=的判别式29(1)483(3)(31).a a a a ∆=+-=-- 因为1a <，所以30.a -< ① 当113a >>时，0∆<，此时B R =，所以D A =；② 当13a =时，0∆=，此时{|1}B x x =≠，所以(0,1)(1,)D =+∞ ；当13a <时，0∆>，设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <，则14x =24x =12{|}.B x x x x x =<>或③ 当103a <<时，123(1)02x x a +=+>，1230x x a =>，所以120,0.x x >>此时，12(,)(,)D x x x =+∞).44=+∞（2）2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--，1,a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数，在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数。
2012年广东高考文数试题版后面带答案
广东2012文科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i - 2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2) 4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e = D．y =5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6- 6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =AC A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交 于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．B ．C ．D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 A ． 105 B ． 16 C ． 15 D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．52 B ． 32 C ． 1 D ． 12二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列) （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y tx （t为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,AD mA C n ==，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ． （1） 求A 的值； （2） 设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．17．（本小题满分13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积； （3） 证明：EF ⊥平面PAB ．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈． （1） 求1a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．20． （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上． （1） 求椭圆1C 的方程；（2） 设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．21． （本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D A B =．(1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．选择题参考答案：1-5：DAADC 6-10：BCBCD 第10解析： 由定义知：,2cos 21cos ||||2||||cos ||||)1(cos 2||||2||||cos ||||2nn b a n b b b a b b b a b a nb a n a a a b a a a b a b ∈∙⇒∈∙∙=∙∙==⇒=∙∙=∙∙=θθθθθ）代入得：将（因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案21填空题答案：12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分}0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x13:41 14: 1 1 3 315: 参数方程极坐标：)1,2(几何证明选做题：mn16, 解：分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ （2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f17. 解 (1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为： 人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分 60-70段语文成绩的人数为： 人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分 70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯ 90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯分8735.7100595208530754065555 =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x (3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分 60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18（1）：A B C DP H P AD P AD AB P AD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆A AD AB AB PH PH ADPHPH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线ABCD )1(平面知：由⊥PHABCD 平面⊥∴EMBCF 平面ＥＭ⊥∴即EM 为三棱锥BCF -E 底面上的高BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ2121=PH ＥＭ＝12221223131=⨯⨯=∙∙=-EMS V BCF BCF ENFN EN FN AB NADF AB21DF //EN P AB EN P AD P AD AB P AD ,//=⋂⊥∴∴=⊥∴∴∆⊥∴⊂⊥∴⊥是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面 ENAB PAPAAB PA CD CD AB…………………………………………………………………………………………………………………13分19解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分 11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分 的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分NEFAB N NE NF NF AB NADF ABEF NEF EF NEF AB 平面是距形四边形平面又平面⊥∴=⋂⊥∴∴⊥∴⊂⊥∴ 22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：1122=++by b x ………………………………………………………………3分 将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分 所以211122=+=+=b a故椭圆方程为：1222=+y x ……………………………（2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y xmkx y 消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：1222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：⎩⎨⎧=+=xy mkx y 42消除y 得：0)42(222=+-+m x km x k04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：22,221(,2122-==-==k k k k 或者舍去），故 21,21-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分 0)22(4)12(222=-+++m kmx x k故切线方程为：222222--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分 21, 解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a xa a 624)]1(3[2⨯⨯-+-=∆)3)(13(3--=a a (1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D （2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D （3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为：4)3)(31(3)131a a a x ---+=（=2x 4)3)(31(3)13a a a --++（很明显，0,31012>><<x x a 时 故此时的),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(,(),0(21+∞--++⋃---+=+∞⋃=⋂=a a a a a a x x B A D （（）综上所述： 当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 0)1)((=--x a x此时方程的两个根为：121==x ax （ⅰ）当=<<D ,310时a ),(),0(21+∞⋃x x),4)3)(31(3)13(4)3)(31(3)130+∞--++⋃---+=a a a a a a D （）（，（即： ax a a a a a a a a a a a ax >∴>-∴<<-=--------=-1210)3(8310)3(8)3)(31(3)34)3)(31(33 （将分子做差比较：故当，是一个极值点a x ==-11x 4)3)(31(3)1(314)3)(31(3)13a a a a a a ----=----+（分子做差比较：所以11<x又=-12x 14)3)(31(3)13---++a a a（4)31()3)(31(3a a a ----=分子做差比较法：0)31(8)31()3)(31(32>-=----a a a a ， 故12>x ,故此时1=x 时的根取不到， （ⅱ） 当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D ，此时，极值点取不到x=1极值点为(31,)2716-0)13(8)3)(31(3)13(2<-=----a a a a（ⅲ） 当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D ,极值点为：1 和a 总上所述： 当,310时≤<a )(x f 有1个,a 极值点 当时131<<a ，)(x f 有2个极值点分别为1 和a当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D(2)极值点，即导函数的值为0的点。
2012年广东高考数学文科试卷带详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考公式：1、球的体积公式34π3V R =，其中，R 为球的半径； 2、锥体体积公式13V sh =，其中s 为底面积，h 为高；3、一组数据1234n x x x x x ，，，，，的标准差；s =，其中x 是这组数据的平均数． 一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的．1．设i 是虚数单位．则复数34ii+= （ ） A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数，根据2i 1-=对其进行化简. 【参考答案】D 【试题解析】34i (34i)(i)43i i i (i)++⨯-==-⨯-． 2．设集合{123456}U =，，，，，，{135}M =，，．则U M =ð （ ） A ．{246}，， B ．{135}，， C ．{124}，， D ． U 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】A【试题解析】U 中除M 以外的元素所构成的集合.3．向量(12)AB = ，，向量(34)BC =，，则AC = （ ） A ．(46)，B ．(46)--，C ．(22)--，D ．(22)， 【测量目标】平面向量的坐标运算.【考查方式】给出两向量坐标，根据向量加法公式进行计算. 【参考答案】A【试题解析】(12)(34)(46)AC AB BC =+=+=，，，．4．下列函数是偶函数的是 （ ）A ．sin y x =B ．3y x = C ．e xy = D ．y = 【测量目标】函数奇偶性的判断.【考查方式】根据12,x x x x ==-时12,y y 之间的关系进行判断.若12y y =，则为偶函数；若12y y =-，则为奇函数；否则既不是奇函数，也不是偶函数. 【参考答案】D【试题解析】选项A 、B 为奇函数，选项C 既不是奇函数，也不是偶函数．5．已知变量不等式组的解法.满足约束条件1110x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩，，，………则2z x y =+的最小值为 （ ）A ．3B ．1C ．5-D ．6- 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出一组不等式，利用图象法求出z 的最小值. 【参考答案】C【试题解析】在平面直角坐标系中画出不等式范围图象，再画出直线22x zy -=+，求出z 2x y =+的最小值5-. （步骤1）不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+，可化为直线1122y x z =-+， （步骤2） 第5题图则当该直线过点(1,2)A --时，z 取得最小值， （步骤3）min 12(2)5z =-+⨯-=-. （步骤4）6．在ABC △中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =则AC = （ ）A．．【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出两角一边，利用正弦定理求出另一边. 【参考答案】B【试题解析】根据正弦定理：sin sin BC ACA B=，得sin sin 45sin sin 60BC B AC A ⋅===第7题 7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为 （ ） A ．72π B ．48π C ．30π D ．24π 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积. 【参考答案】C【试题解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积23114π34π330π323V V V =+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体．8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A B ，两点，则弦A B 的长等于 （ ）A ．．．1【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线与圆的方程，求弦长AB . 【参考答案】B【试题解析】∵圆心(00)，到直线3450x y +-=的距离为1d ==，∴AB ===9．执行如图所示程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 第9题图 （ ）A ．105B ．16C ．15D ．1 【测量目标】流程图.【考查方式】给出程序框图，输入值，求输出值. 【参考答案】C【试题解析】13515s =⨯⨯=． 10．对任意两个非零平面向量α和β，定义∙=∙αβαβββ．若两个非零平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角ππ(,)42θ∈，且 a b 和 b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中，则 a b = （ ）A ．52 B ．32 C ．1 D ．12【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出两平面向量之间的关系，求值. 【参考答案】D 【试题解析】2cos cos θθ⋅∙==∙a b a a b a b =b b b b， 2cos cos θθ⋅∙==∙b a b b a b a =a a a a， a b 和 b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数， 取π3θ=，则a b 和b a 是整数，则1==a b b a，则= a b 12． 二、填空题：本大题共5小题，考生答4小题，每小题5分，满分20分．11．函数y x=的定义域为 ． 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】由分母定义和根式定义求出其定义域. 【参考答案】[1,0)(0,)-+∞【试题解析】10100x x x x +⎧⇒-≠⎨≠⎩且……，即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞ ． 12．等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = ． 【测量目标】等比数列.【考查方式】由等比数列的性质求解. 【参考答案】14【试题解析】224312a a a ==，则24135314a a a a ==． 13．由正整数组成的一组数据1234x x x x ，，，，其平均数和中位数都是2，且标准差为1，则这组数据为 ．（从小到大排列）【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】给出样本数字特征，进而求解总体数字. 【参考答案】1,1,3,3 【试题解析】不妨设1234x x x x 剟?，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s =， 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，∴43x …，则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3． （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，，（θ为参数，π02θ剟）和=1=2x y ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，，（t为参数）．则曲线1c 和2c 交点坐标为 ． 【测量目标】参数方程与普通方程的互化.【考查方式】将曲线的参数方程转化为普通方程，求其交点坐标. 【参考答案】(2,1)【试题解析】由x y θθ⎧⎪⇒⎨⎪⎩曲线1C 的方程为225x y +=（0x剟），由=12=x y ⎧-⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎩曲线2C的方程为1y x =-，2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去）， 则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1)．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，直线PB 与圆O 相切于B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠，若AD m =，AC n =，则=AB . 【测量目标】圆的切线的判定与性质定理.【考查方式】由线、圆相切关系，求圆内切三角形的边长AB .【试题解析】∵直线PB 与圆O 相切于B ，∴PBA ACB ∠=∠，（步骤1） 第15题图 ∵PBA DBA ∠=∠，∴ACB DBA ∠=∠， （步骤2） ∵BAD CAB ∠=∠，∴ABD △∽ACB △， （步骤3） ∴AD AB AB AC=，∴2AB AD AC mn =⋅=， （步骤4）∴AB =．（步骤5）三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分） 已知函数π()cos()46xf x A =+，x ∈R，且π()3f = （1）求A 的值；（2）设α，π[0]2β∈，，4π30(4)317f α+=-，2π8(4)35f β-=，求cos()αβ+的值． 【测量目标】三角函数、三角恒等变换. 【考查方式】由函数解析式，直接求解.【试题解析】（1）∵ππππ()cos()cos 312642f A A A =+===2A =．（步骤1） （2）由（1）知π()2cos()46x f x =+∵4ππ30(4)2cos()2sin 3217f ααα+=+=-=-，∴15sin 17α=，（步骤2） ∵2π8(4)2cos 35f ββ-==，∴4cos 5β=，（步骤3） ∵ π[0]2αβ,∈，，∴8cos 17α==，3sin 5β==，（步骤4）∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-841531317517585=⨯-⨯=-．（步骤5）17．（本题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩频率分布直方图，如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．第17题图 【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】由频率分布直方图，求未知数a 的值，样本数据的平均数及某一样本数据. 【试题解析】（1）由频率分布直方图中各个矩形的面积之和等于1， ∴(0.020.030.04)101a a ++++⨯=，∴0.005a =．（步骤1） （2）∵在区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100] 的概率分别为0.05，0.4，0.3，0.2，0.05． ∴这100名学生语文成绩的平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（步骤2）（3）∵语文成绩在这些分数段的人数人别为5,40,30,20,5,∴数学成绩在前四段分数段的人数人别为5,20,40,25,(步骤3) ∴数学成绩在[50,90)之外的人数为10人．（步骤4）18．（本题满分13分） 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC上的点，且12DF AB =，PH 为PAD △中AD 边上的高． （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1PH =，AD 1FC =，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB ．【测量目标】点、线、面之间的位置关系，三棱锥的体积.【考查方式】给出线面垂直，线线平行，线线相等，线线成比例等关系，线段长度，求证线面垂直，三棱锥的体积.【试题解析】（1）证明：∵AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ， 第18题图第18题图 19．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n n =-∈*N ，． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．【测量目标】数列的通项公式与前n 项和.【考查方式】由前n 项和的等式关系，直接求解. 【试题解析】（1）当1n =时，21121T S =-，∵111a S T ==，∴21121a a =-，∴11a =， （步骤1） (2)当2n …时，2211(22(1)]n n n n n S T T S n S n --=-=---)-[12()21n n S S n -=--+221n a n =-+， （步骤2）∵当n ≤2时，11(22122(1)1]n n n n n a S S a n a n --=-=-+--+)-[ （步骤3）∴122n n a a -=+， （步骤4） ∴122(2)n n a a -+=+， （步骤5）∴数列{2}n a +是以123a +=为首项，2为公比的等比数列， （步骤6） ∴1232n n a -+=⋅，∴1322n n a -=⋅-， （步骤7） ∵1111322a -==⋅-，∴1322n n a -=⋅-，n ∈*N ． （步骤8）20．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(10)F -，，且点(01)P ，在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆、抛物线的位置关系.【考查方式】由椭圆的焦点坐标及点P 直接解得椭圆标准方程，直线方程分别与椭圆方程、抛物线方程联立，求解.【试题解析】（1）∵椭圆1C 的左焦点1(10)F -，，∴1c =， （步骤1） ∵点(01)P ，在1C 上，∴2222011a b+=，∴1b =， （步骤2） ∴2222a b c =+=， （步骤3）∴椭圆1C 的方程为2212x y +=． （步骤4）（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， （步骤5） ∵直线l 与椭圆1C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=， （步骤6） 整理得22210k m -+= ①24y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=， （步骤7） ∵直线l 与抛物线2C 相切，∴222(24)40km k m ∆=--= （步骤8） 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ （步骤9） ∴直线l的方程为y x =或y x =（步骤10）21．（本题满分14分）设01a <<，集合{}0A x x =∈>R ，2{23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B = ．（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【测量目标】集合的基本运算，函数的极值点.【考查方式】给出两集合，利用图象法求其交集，并求在此区间内某已知函数的极值点. 【试题解析】（1）方程223(1)60x a x a -++=， ∵229(1)489309a a a a ∆=+-=-+23(3103)3(31)(3)a a a a =-+=--，又01a << ， ∴当103a <…时，0∆…， （步骤1）∴223(1)60x a x a -++=有两个根1x =，2x =， （步骤2）∴3(1)3(1)(,()44a a B ++=-∞+∞ （步骤3）∴3(1)(0,4a D A B +==3(1)()4a ++∞ ，（步骤4） ∴当113a <<时，0∆<， （步骤5） ∴223(1)60x a x a -++>一定成立， （步骤6）∴ (,)B =-∞+∞， （步骤7）∴ (0,)D A B ==+∞ ． （步骤8）∴当103a <…时，D=)+∞ ；（步骤9） 当113a <<时，(0,)D =+∞． （步骤10） （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =， （步骤11）① 当103a <…时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ （步骤12） ∵3222()23(1)6(3)0f a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310f a a a =-++=-…∴1201a x x <<<…， （步骤13） ∴(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：（步骤14）∴()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点； （步骤15）② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞∴(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：（步骤16） ∴()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =； （步骤17） 综上所述，当103a <…时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点；当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =． （步骤18）。
2012年广东省高考数学试题(文科)-标准答案和解析
绝密★启用前 试卷类型：B２012年普通高等学校招生全国统一试卷(广东卷）数学(文科）本试题共4页，２1小题,满分1５0分,考试用时12０分钟。
注意事项：1．答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用２B 铅笔将试卷类型(A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后,用２B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
４．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径. 锥体体积公式13V Sh =,其中Ｓ为锥体的底面积，ｈ为锥体的高． 一组数据12,,,n x x x 的标准差()++-n s x x =， 其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题:本大题共１0小题，每小题5分，满分５０分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数3+4i i= A.43i -- B ．43i -+ Ｃ.43i + ﻩ D.43i -2.设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,3,5}M =,则U C M =A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U3．若向量()1,2AB =，向量()3,4BC =,则AC =Ａ.(4,6) B ．(4,6)-- C ．(2,2)-- D ．(2,2)４．下列函数为偶函数的是A.sin y x =B.3y x = C ．xy e = D ．2+1y x =５.已知变量,x y 满足约束条件11+10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最小值为A ．3B ．１C ．5- D.6-6．在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,32BC =，则AC =Ａ.3 B.3 3ﻩ 37．某几何体的三视图如图１所示,它的体积为Ａ.72π B.48π C ．30π D ．24π8.在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦 AB 的长等于A ．33 B.23 3 D.19．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为６，则输出s 的值为A ．105 Ｂ.１6 C.15D ．1１0.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若两个非零的平面向量,a b 满足 图2 图1。
2012年广东省高考文科数学试题Word版和答案详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科数学试题和答案（详细解析版）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh=，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.球的体积343V Rπ=，其中R 为球的半径。
一组数据12,,,nx x x 的标准差2s =其中x 表示这组数据的平均数。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数34ii +=A. 43i i --B. 43i i -+C. 43i +D.43i-2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则U M ð=A.{2.4.6}B.{1.3.5}C.{1.2.4}D.U3.若向量(1,2)A B = ，(3,4)B C =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2） 4.下列函数为偶函数的是.sin A y x =3.B y x=.xC y e=.l 1D y = 5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为A ．3 B.1 C.-5 D.-6 6.在A B C 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，，则AC=A ．4B C.D 27．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π 8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．3D 19．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．1 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则.a b =A ．52B ．32C ．1D ．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2012年广东高考试题(文科数学,word解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 球的体积343V R π=，其中R 为球的半径。
一组数据12,,,n x x x L 的标准差s =其中x 表示这组数据的平均数。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位，则复数34i i +=( ) ()A 43i -- ()B 43i -+ ()C i 4+3 ()D i 4-3【解析】选D 依题意：234(34)43i i i i i i ++==- 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( ) ()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U【解析】选A U C M ={,,}246 3. 若向量(1,2),(3,4)AB BC ==u u u r u u u r ；则AC =u u u r ( )()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2()D (,)22 【解析】选A (4,6)AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r4. 下列函数为偶函数的是( )()A sin y x = ()B 3y x = ()C x y e = ()D y =【解析】选D sin y x =与3y x =是奇函数,，x y e =是非奇非偶函数5. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )()A 3 ()B 1 ()C 5- ()D 6-【解析】选C 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：(1,0),(1,2),1,2)A B C ---则2[5,3]z x y =+∈-6. 在ABC ∆中，若60,45,32A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =( )()A 43 ()B 23 ()C 3 ()D 32【解析】选B由正弦定理得：3223sin sin sin 60sin 45BCACAC AC A B ︒︒=⇔=⇔=7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 72π ()B 48π ()C π30 ()D π24【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为3222141335330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯-=8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A 33 ()B 23 ()C 3 ()D 1【解析】选B圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -==弦AB 的长22223AB r d =-=9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为()A 105 ()B 16 ()C 15 ()D 1s 11 3 15 i1 3 5 78. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=g o g ；若两个非零的平面向量,a b r r 满足， a r 与b r 的夹角(,)42ππθ∈，且,a b b a r r r r o o 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =r r o ( ) ()A 12()B 1 ()C 32 ()D 52 【解析】选A 21cos 0,cos 0()()cos (0,)2a b a b b a a b b a b aθθθ=>=>⇒⨯=∈r r r r r r r r r r o o o o r r ,a b b a r r r r o o 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中得：*12121()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=r r r r r r o o o二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (文科) 解析版
绝密★启用前 试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -1. D. 34(34)()43()i i i i i i i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A. U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2) 3. A. (4,6)AC AB BC =+=.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x = C. xy e =D. y = 4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z =-+，则当该直线过点(1,2)A --时，x +z 取得最小值，min 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =A.B.C.D.6. B. 根据正弦定理，sin sin BC ACA B=，则sin sin BC B AC A ⋅===.7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.B.C.D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==，则222()32AB r d =-=，即AB =9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 9. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，图2图1正视图 俯视图侧视图且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=a bA.52 B. 32 C. 1 D. 1210. D. =⋅⋅a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a b b，同理有cos θ=b b a a a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数， 取3πθ=，则a b和b a是整数，则1==a b ba，则=a b 12.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11 ~ 13题）11. 函数y =的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞. 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞.12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = . 12. 14. 224312a a a ==，则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s ==， 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（0x ≤≤），曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则AB = .15.由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB，AB AD AC AB=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值； （2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.16. 解：（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A = （2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15s i n 17α= 图3PABCDO。
2012年广东高考文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：球的体积343V πR =，其中R 为球的半径。
锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一组数据x 1，x 2，…，x n的标准差s =，其中x 表示这组数据的平均数。
一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、设i 为虚数单位，则复数34i i+= （ D ）A ．－4－3iB ．－4+3iC ．4+3iD ．4－3i 2、设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}， M ＝{1,3,5}，则U C M ＝ （ A ） A ．{2,4,6} B ．{1,3,5} C ．{1,2,4} D ．U3、若向量AB＝（1，2），BC ＝（3，4），则A C ＝ （ A ） A ．（4，6） B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2，2) 4、下列函数为偶函数的是 （ D ）A ．y ＝sin xB ．y ＝3xC ．y ＝xe D ．y ＝5、已知变量x ，y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则z ＝x ＋2y 的最小值为 （C ）A ．3B ．1C ．-5D ．－66、在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC＝AC ＝（C ）A． B． CD27、某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 （C ）A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π 8、在平面直角坐标系x O y 中，直线3x ＋4y －5＝0与 圆x ²＋y ²＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于（B ）A． B． CD ．19、执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 （C ）A ．105B ．16C ．15D ．110、对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且b a 和a b 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = （D ） A ．52B ．32C ． 1D ．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx @ ）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.球的体积343V R π=，其中R 为球的半径。
一组数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 表示这组数据的平均数。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位，则复数34i i+=( )()A 43i -- ()B 43i -+()C i 4+3()D i 4-3【解析】选D 依题意：234(34)43i i i i ii++==-2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =( )()A {,,}246 ()B {1,3,5} ()C {,,}124 ()D U【解析】选A U C M ={,,}2463. 若向量(1,2),(3,4)A B B C ==；则AC = ( )()A (4,6) ()B (4,6)-- ()C (,)-2-2()D (,)22【解析】选A (4,6)AC AB BC =+=4. 下列函数为偶函数的是( )()A sin y x = ()B 3y x= ()C xy e =()D lny =【解析】选D sin y x =与3y x =是奇函数,，x y e =是非奇非偶函数 5. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为( )()A 3 ()B 1 ()C 5- ()D 6-【解析】选C 约束条件对应A B C ∆边际及内的区域：(1,0),(1,2),1,2)A B C ---则2[5,3]z x y =+∈-6. 在A B C ∆中，若60,45,A B B C ︒︒∠=∠==A C =( )()A ()B ()C ()D 2【解析】选B由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC AC AC AB︒︒=⇔=⇔=7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 72π ()B 48π ()C π30()D π24【解析】选C 几何体是半球与圆锥叠加而成它的体积为321413330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点， 则弦A B 的长等于( )()A ()B ()C ()D 1【解析】选B圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -==弦A B的长AB ==9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为()A 105 ()B 16 ()C 15 ()D 1C8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ= ；若两个非零的平面向量,a b满足，a 与b 的夹角(,)42ππθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b = ( )()A 12()B 1 ()C 32()D 52【解析】选A21cos 0,cos 0()()cos (0,)2a b a b b a a b b a b aθθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中得：*12121()()(,)42n n a b b an n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
(一）必做题（11-13题） 9. 函数y x=_________【解析】定义域为______[1,0)(0,)-+∞ y x=中的x 满足：10100x x x +≥⎧⇔-≤<⎨≠⎩或0x >10. 等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a =_____【解析】2135a a a =_____142242431353111,224a a a a a a a =⇔===11. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1， 则这组数据为__________。
（从小到大排列） 【解析】这组数据为_________1,1,3,3不妨设1234x x x x ≤≤≤得：231234144,84x x x x x x x x +=+++=⇒+= 2222212341(2)(2)(2)(2)420,1,2i s x x x x x =⇔-+-+-+-=⇒-=①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意 ②只能取21i x -=；得：这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为2:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数，02πθ≤≤）和212:(2x C ty ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______.【解析】它们的交点坐标为_______(2,1)2212:5(,0),:1C x y x y C y x +=≥=- 解得：交点坐标为(2,1)15.(几何证明选讲选做题）如图3所示，直线P B 与圆O 想切于点B ，D 是弦A C 上的点，PBA D BA ∠=∠，若,AD m AC n ==，则A B =_______。
【解析】A B =,PBA DBA ACB BAD CAB BAD CAB ∠=∠=∠∠=∠⇒∆∆得：2A B A D A B A C A D m n A B A CA B=⇔=⨯=⇔=三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16. (本小题满分12分) 已知函数()cos()()46x f x A x R π=+∈，且()3f π=。
（1）求A 的值；（2）设,[0,]2παβ∈，43028(4),(4)31735f f ππαβ+=--=；求cos()αβ+的值【解析】（1）()cos 234f A A ππ=⇔=⇔=（2）43015158(4)cos()sin ,cos 3172171717f ππαααα+=-⇔+=-⇔==2843(4)cos ,sin 3555f πβββ-=⇔==4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17. (本小题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数。
【解析】（1）(20.020.030.04)1010.005a a +++⨯=⇔=（2）平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）数学成绩在[50,90)内的人数为145(0.0050.040.030.02)1010090234+⨯+⨯+⨯⨯⨯=人数学成绩在[50,90)外的人数为1009010-=人 答：（1）0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为73 （3）数学成绩在[50,90)外的人数为10人。
18.(本小题满分13分)如图5所示，在四棱锥P A B C D -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是P B中点，F 是D C 上的点，且12D F A B =，P H 为PAD ∆中A D 边上的高。
（1）证明：PH ⊥平面A B C D ；（2）若1,2,1PH AD FC ===，求三棱锥E B C F -的体积； （3）证明：E F ⊥平面P A B ．【解析】（1）AB ⊥平面PAD ，P H ⊂面PAD P H A B ⇒⊥ 又,PH AD AD AB A PH ⊥=⇒⊥ 面A B C D （2）E 是P B 中点⇒点E 到面BC F 的距离1122h P H ==三棱锥E -的体积11111213326212BC F V S h FC AD h ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=（3）取P A 的中点为G ，连接,DG EGPD AD D G PA =⇒⊥，又AB ⊥平面PAD ⇒面P A D ⊥面P A B D G ⇒⊥面P A B 点,E G是棱,P B P A 的中点11//,//////22E G A B DF A B EG D F D G E F ⇒⇒⇒得：E F ⊥平面P A B19.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*2n n T S n n N =-∈，．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。
【解析】（1）在2*2n n T S n n N =-∈，中，令1111211n a a a =⇒=-⇔= （2）221122(1)n n n n T S n T S n ++=-=-+，，相减得：12(21)n n S S n +=++12(21)n n S S n +=++，212(23)n n S S n ++=++，相减得：2122n n a a ++=+ 12121234a S S a =⇒=+⇔=，得122n n a a +=+ 112222(2)n n n n a a a a ++=+⇔+=+得：数列{2}n a +是以123a +=为首项，公比为2的等比数列11232322n n n n a a --+=⨯⇔=⨯-20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xo y 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>的左焦点1(10)F -，， 且在(01)P ，在1C 上。