职前数学教师对无理数概念理解的调查
调查初三学生对无理数的理解
第37卷第3期2018年5月数学教学研究63调查初三学生对无理数的理解杨秀娟(江苏泗洪上塘中学223900)在调查初三学生对无理数的理解时，笔者 侧重于无理数不同的表征如何影响参与者对非 理性（irra tio n a lity)反应，作为理论角度，笔者 使用了明显和隐晦的表示之间的区别，即表示 “显示”了数字的某些特征，而它“隐藏”了其他 特征.结果表明，学生往往不依赖于给定的明显 的表示(即)来确定一个数字是有理数还是无理 数，而是倾向于依赖计算器，并且倾向于小数表 示而不是普通的分数表示.针对这种结果笔者 给出了教学建议.1问题的提出关于无理数的研究相当少，根据历史和心 理学的研究，Fischbein，Jehiam&Cohen (1994,1995)等人假设“无理数的概念面临着两 种主要障碍:不可公度性和不可数性”，并且针 对这种假设对一组高中生和职前老师关于无理 数的知识进行研究.研究发现，这些直观的困难 并没有表现在参与者的反应中，相反，他们发 现，所有学科的人都不能正确地定义有理数和 无理数，或者把给定的数字归入这两个集合中 的任何一个.得出的结论是，预期的障碍并非原 始性质，而是表明这些研究中的研究对象所没 有的某种数学成熟度.这些发现要求进行一个 更全面的研究来考察对非理性（irra tio n a lity)的理解.并注意到已确定的关切问题，有理数和 无理数的定义依赖于数字表示法，针对这种情 况，本篇文章是对无理数理解的持续研究的一 部分，具体而言，笔者在此重点关注无理数是如收稿日期：2018-03-14作者简介:杨秀娟（973)，中学高级教师，教育硕士.E-mail：158********@163. co m 何(或不能)代表的，以及不同的表征如何影响 参与者对非理性的反应.2研究方法2.1研究问题下列哪些数是无理数（(A)(3)3(03. 14(E)0. 121221222…2.2研究样本本文选取了江苏淮安、泗洪的部分初中生 122名进行调查对象.年级学校学校代码人数初三（）江苏淮安王营一中JH AW Y63初三（7)江苏泗洪育才中JSH YC592.3研究工具本文采用问卷和访谈相结合的方法.3研究结果分析从表1中可以看出，初三学生能正确识别 出无理数的达到总人数的36. 07%，错误选项 的有63. 11%.学生在判断一个数是否是无理 数，他们中不少同学对于含有稍微复杂的根号 数（3)3、三角函数s in20°30'从直觉上不好判 断是无理数;对于无理数的小数形式很容易认为是无理数，如选项F有37人选出7为无理数，占初三总人数的30. 33%.主要原因大部分 都是通过直觉把某些数误认为可以转换成无限 不循环小数形式，因此对无理数的错误表象与(B)締(D)sin 22°30'(F)-64数学教学研究第37卷第3期2018年5月形式定义表现出很大的差异，这样与无理数的 形式定义发生冲突.表1初三生选择选项结果选项选项的人数百分比八DE4436.07%八DEF1310. 66%八EF97.38%八DF6 4.92%DEF2 1.64%八E8 6.56%AD4 3.28%DE1512.30%EF5 4.10%A2 1.64%D2 1.64%E6 4.92%其它选项5 4.10%没有选项10.82%他们根据无理数的定义，通常趋向于最明 显的表现形式无限不循环小数形式，但在这个 过程中容易与分数转换成循环节比较长的小数 形式相混淆.典型的错误如JSH YC714B1与 JSH YC714G5(编码说明：前5个字母代表校 名，第1个数字代表年级，第2位数字代表班 级;下一个字母代表性别，B代表男生，G代表 女生，最后一个数字代表访谈顺序号）笔者:你能举出一些有理数、无理数的例子 吗？JSH YC714B1:有理数是正数、整数（1，2, 3 4自然数)，负数，小数，分数|，1是0.333,无理数:槡7其它的一些分数如7,槡2，槡3，槡5是无理数.笔者:刚才说有理数就是能转化成分数.JSH YC714B1:陡然想起来，对呀，但7转换成小数是无限不循环小数，但无限不循环小 数不好转换成分数.笔者:如果把83转化成小数形式你认为这 个数是无理数吗？为什么？JSH YC714B001:应该是的吧？笔者:为什么？JSH Y C714B1:从化简分数的形式来说好 象是无理数.笔者：在这几个数7,f，〇.〇乜2222…，0.121221222…中你知道哪些数是无理数吗？JSH YC714G5:—，晋，〇• 121221222...是无理数，因为它们都是无限不循环，0.121221222...感觉有规律，0.0122222…是有 理数，因为它是无限循环的，后面全是2.笔者:7你曾经计算过它的小数形式吗？JSH YC714G5:没有算过.笔者:如果把83转化成小数形式你认为这个数是无理数吗？为什么？JSHYC74G5:||应该是无理数，因为8|感觉不循环的．学生把分数7，83看成无理数，主要是在程序上只注意到实施除法操作而没有利用关于 有理数的明显的表示形式结构，也就是分数与 循环小数之间的关系不能识别.对于0.121221222…初三学生有86.07% 都能识别是无理数，但判断的依据是否也正确 呢？通过访谈7位学生发现，他们都是把无理 数的小数形式看成有一种规律即每隔1之间多 一个2,但用这种方法有的与有理数的循环小 数发生冲突.笔者：在这几个数7,晋，0.0122222…，0.121221222…中你认为哪些数是无理数吗？JSH YC714B4: n,0.121221222 …，0.0122222…是无理数，0.0122222…不是一起 循环的，只有 0.012222201222222…012 把 012 看成整体循环，这样的形式才是有理数，没跟着 2循环不是循环小数.这位同学把有理数的循环小数形式当作是无理数，他把有理数的循环小数形式看成一种 共同的模式，对于后面出现的循环2不看成有 理数，也就是有理数的无限循环小数形式的特 征没有把握.无理数还有一种定义方式，即不能表示为 两个整数的比其中分母不能为零.然而教材中 缺乏这两者之间具体的联系.无理数的概念，与 有理数相比从认识论的角度来理解有一定的困 难，任何分数如果分母不能分解成2或5的倍 数，将不能写为有限小数，因此学生平时接触到 的分数在转换成小数形式时基本上都是无限小 数.使用小数形式区分有理数与无理数是比较 困难的，除非是分数的无限小数，它们是纯循环 小数，其它的无限循环小数，有的可能通过很长的除法过程，任何分数形式f，其中《A都是整数6乒0的小数都是循环的.笔者:你知道槡2是什么数吗？为什么？JSH YC714B2:T2是无理数，因为无限不循环，槡2是1.414….笔者:如果把53转化成小数形式，你认为这个数是无理数吗？为什么？JSH YC714B2:好象是有理数吧？不好判断.JH A W Y78G3:T2是无理数，因为槡2转换成小数是0.几记不得了，83转成小数肯定是无理数，根据无理数的定义.JH A W Y14B4:无理数，因为计算器算的都 是无限不循环小数．JSH YC714B4:不能确定是有理数还是无 理数？JSH YC714G5:是无理数转换成小数是无 理数，因为以前算过，怎么算得想不起来.通过学生的答题与交谈，学生对于无理数 的另一种形式定义（即采取比例说)非常陌生；对于小数说定义的无理数往往与有理数的循环 节比较长的小数形式产生冲突，造成学生直觉 上的困惑.6结论与建议通过以上问卷与访谈，初三学生对无理数 理解的障碍是对无理数的两种定义的等价关系 不能识别，原因主要对有理数的理解也不深刻.6.1加强对有理数的理解首先理解整数的除法以及何时产生循环小 数，相反，每一个循环的十进制都可以表示为两 个整数的比率.特别是，注意十进制、二进制等 和其它数字的表示(几何、符号、普通分数、甚至 连分数）之间的联系，通过引导学生明确地关 注表示和数学联系并使两者等价，这样有助于 学生对数字有更深刻的理解.6.2结合无理数的多种定义进行教学，丰富学 生的概念表象目前，中学课本定义无理数采取无理数的 小数形式，因此笔者建议采取无理数的多种定 义进行教学，比如可以结合比例说即无理数不 能表示成两个整数的比，（其分母不能为零)来 介绍无理数.并向学生指出这两者之间的等价 关系.这样当把有理数的分数形式转化为小数 时，不会再出现这个数既是有理数也是无理数 的错误表象等.6.3有理数与无理数的教学内容应紧密的安 排在一起采取并列学习由于教材编排内容的分散造成了学生对有 理数、无理数的概念表象混乱的现象，因此笔者 建议把这两个内容结合起来进行教学，并比较 这两种概念的区别与联系，这样学生对有理数、无理数的概念表象就会很清晰，不至于把有理 数的明显的分数表征误解成无理数.田万海指 出：“加强新旧知识的联系是实现正迁移的基本 规律.在数学学习中，使学习的每一个环节都注 意新旧知识之间的联系，使前面的知识为后面 的知识作准备，使后面的知识成为前面知识的 延伸和发展，促进正迁移的实现.”(下转第67页）2,于是 M (2，1).可设直线A B :；y =z +m .烄 y = x ~^m ，由烅 狓2 分别消去狔狓后，可得y =T ，狓2 —4狓一4犿=0，y 2 — (2rn +4)y +rn 2 =0.由题意知A >0,得犿>一 1.由定理得以线段A B 为直径的圆的方程是(狓2 —4狓一4犿）+ [y 2 — (2m +4)y +m 2] = 0.再由A M 丄B M ，可得M (2，1)在这个圆 上，进而可求得犿=7(舍去犿=一 1)，因而所求 直线A B 的方程是y =狓+7.例3 (017年高考全国卷H 理科第20题)已知抛物线C :y 2=2x ，过点（2,0)的直线Z 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段A B 为直径 的圆(1) 证明:坐标原点0在圆M 上；(2) 设圆M 过点P (4，一2)，求直线Z 与圆M 的方程解（1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.故可设直线/:狓=犿y + 2.烄狓=犿y +2，由y=2狓，(上接第65页）参考文献[1] RinaZazkis and Natasa Sirotic : 2004，4 Makingsense of irrational numbers ： Focusing on repre sentation ? ^ Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology Math ematics Education Vol . 4pp . 49. 7-504.[2] Fischbein ，E .，Jehiam ，R ，& Cohen ，C . (1994).The irrational numbers and the corresponding e pistemological obstacles . In da Ponte J . P . & Ma tos ^J . F . (Eds . ) Proceedings of the 18th Interna -分别消去y 狓后，可得狓2 —（2犿 2+4)狓+4 = 0，y 2 一 2m y 一 4 = 0 .可得A >0恒成立，所以直线/与抛物线C 总 有两个不同的交点.由定理可得以线段A B 为直径的圆M 的 方程是[狓2 —（2 犿 2+4)狓+4]+ (y 2—2 犿 y —4)=0,进而可得坐标原点0在圆M 上.注:此问的一般情形是以下经典结论： 若直线/与抛物线y 2 = 2^r 交于A ，B 两 点，0是坐标原点，则0A 丄0B G 直线Z 过点(2^0).(2)圆M 过点P (4，一2)及第1问的解答中求得的圆M 的方程，可求得犿=—2或1.当犿=—|时，可得直线/的方程是2 狓+y 一4 = 0，圆 M 的方程是〇r —4)2 + (y +1)2=1|.当犿=1时，可得直线/的方程是狓一y 一2 = 0，圆 M 的方程是(狓一3)2 + (y —1)2 = 10.tional conference for Psychology of Mathematics Education ，Vol . 2(pp . 352-359). Lisbon ，Portu - gal[3] Zazkis^R & Gadowsky ^K . (2001). Attending totransparent features of opaque representations of natural numbers . In A CuocoCEd . )T h e roles of representation in school mathematics (pp . 146165). Reston ，V A :N C T M [4] 冯璟，陈月兰.无理数的认识—对64名职前数学老师的调查研究[J ].中学数学月刊，2010(2).。
21认识无理数(教师)
课题2.1 认识无理数课型新授授课日期主备人温亚玲审核人杨海东授课人使用班级学生姓名学号学习目标①通过探究活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；②能判断三角形的某边长是否为无理数；③学生亲自探究，培养学生的自主学习能力和探索精神；④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；学习重点能判断三角形的某边长是否为无理数；学习难点能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解教具及实验设计教学活动知识与方法第一环节：课题引入【想一想】一个边长为1的正方形，对角线长为多少？第二环节：自主探究1．【算一算】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，请问：x是整数（或分数）吗？2．【做一做】（1）图1—1中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？221（2）设该正方形的边长为b，b满足个什么条件？（3）b是有理数吗？第三环节：获取新知【议一议】：已知22a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【释一释】：1．满足22a=的a为什么不是整数？2．满足22a=的a为什么不是分数？【忆一忆】：回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长Array度不是有理数的线段第四环节：应用与巩固1．如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？A2hDB C2. 下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。
此正方形的边长是有理数吗？为什么？815第五环节：课堂小结1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？第六环节：课后反思课时作业2.1. 认识无理数1.下面各正方形的边长不是有理数的是（ ）A.面积为25的正方形B.面积为169的正方形C.面积为27的正方形D.面积为1.44的正方形2. 在右1的正方形网格中，画出两条线段： (1)长度是有理数的线段(2)长度不是有理数的线段（右1） 3. 在右2的正方形网格中画出四个三角形(1)三边长都是有理数 (2)只有两边长是有理数 (3)只有一边长是有理数 (4)三边长都不是有理数（右2）。
无理数教案：详解无理数的概念及运算方法
无理数教案：详解无理数的概念及运算方法详解无理数的概念及运算方法一、引言数学作为一门科学，其研究范畴广泛，无理数是其中的一个重要内容。
无理数的概念及运算方法是数学学习中的基础知识之一。
本教案主要从无理数的概念、性质及其运算方法等方面详细讲解。
二、无理数的概念无理数是指不能表示为两个整数之商的数。
具体来说，无理数是实数中不是有理数的数。
以π 为例，它是一个无理数，我们可以用小数表示它，但无论我们用多少位小数去表示它，都无法精确地表示出它的值，因为它是无限不循环的。
三、无理数的性质1、无理数是实数的一个子集，也就是说，所有无理数都是实数，但并非所有实数都是无理数。
2、每个无理数都是无限小数，并且是无限不循环小数。
这就意味着，一个无数无法表示为一个有限的小数或者一个有限的分数。
3、无理数和有理数一样，都是可以进行加减乘除等运算的。
4、无理数的平方不能是有理数，即若 x 是无理数，则 x^2 也是无理数。
5、无理数的相反数和绝对值也是无理数。
6、两个不相等的无理数的和是无理数。
四、无理数的运算方法1、加法和减法无理数的加法和减法运算与有理数的加法和减法运算基本相同，只需要把无理数看成有理数的形式来进行运算即可。
例如，设有两个无理数 a、b，它们的加法和减法运算规则如下：a +b = （a 的有理部分 +b 的有理部分）+ （a 的无理部分 +b 的无理部分）a -b = （a 的有理部分 - b 的有理部分）+ （a 的无理部分 -b 的无理部分）2、乘法无理数的乘法运算也可以采用有理数的运算方法，例如：a ×b = （a 的有理部分× b 的有理部分 + a 的无理部分×b 的无理部分）+ （a 的有理部分× b 的无理部分 + a 的无理部分× b 的有理部分）由此可见，无理数的乘法运算不仅要考虑有理部分，还要考虑无理部分。
3、除法无理数的除法运算与有理数的运算稍微有些不同。
了解无理数和实数教案反思
了解无理数和实数教案反思教案标题：了解无理数和实数教案反思教案目标：1. 通过本节课的学习，学生能够理解无理数和实数的概念；2. 学生能够区分有理数和无理数；3. 学生能够应用无理数和实数的概念解决实际问题。
教学内容：1. 无理数的定义和性质；2. 实数的分类：有理数和无理数；3. 无理数和实数的应用。
教学准备：1. 教师准备黑板、白板或投影仪等教学工具；2. 准备无理数和实数的示例和练习题；3. 准备与无理数和实数相关的实际问题。
教学过程：引入（5分钟）：1. 教师可以通过提出一个问题或者给出一个有趣的数学谜题来引起学生的兴趣，例如：“有没有一个数字可以表示圆周率的精确值？”2. 引导学生思考这个问题，并鼓励他们分享自己的想法。
概念讲解（15分钟）：1. 教师简要介绍无理数的定义，即不能表示为两个整数的比值的数，例如：π和√2。
2. 教师解释实数的分类，即有理数和无理数的区别，有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数则不能。
3. 通过示例和图示来帮助学生理解无理数和实数的概念。
概念巩固（10分钟）：1. 教师给出一些无理数和实数的示例，要求学生判断它们属于哪一类。
2. 教师可以设计一些小组活动或者让学生进行讨论，以加深他们对无理数和实数的理解。
应用实践（15分钟）：1. 教师提供一些与无理数和实数相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题。
2. 学生可以以小组形式合作解决问题，并向全班展示他们的解决方法和答案。
总结（5分钟）：1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调无理数和实数的重要性；2. 鼓励学生积极参与数学学习，提出问题和思考问题。
教案反思：本节课的教学目标是帮助学生了解无理数和实数的概念，并能够应用这些概念解决实际问题。
通过引入问题和谜题，可以激发学生的学习兴趣。
在概念讲解环节，通过示例和图示帮助学生理解无理数和实数的定义和分类。
在概念巩固和应用实践环节，学生可以通过小组合作和讨论来加深对知识的理解和应用能力。
无理数定义及其研究
存档编号_ _______赣南师范学院科技学院学士学位论文无理数定义及其比较研究系别数学与信息科学系届别 2014届专业数学与应用数学学号1020151208 姓名×××指导老师×××完成日期 2014年4月目录内容摘要................................................... 1关键词..................................................... 1Abstra ct (1)K ey wor ds (1)1引言 (2)2无理数的定义 (2)2.1戴得金分割定义 (3)2.2柯西基本序列定义....................................... 4 2.3有理区间套定义.. (5)2.4十进制小数定义 (6)2.5有界单调有理数列定义................................... 9 3无理数定义对比研究.. (10)3.1无理数定义的异同点.................................... 10 3.2无理数定义的优缺点 (11)3.3无理数定义的等价性 (11)参考文献 (14)内容摘要：无理数是有理数域扩充到实数域的重要内容，也是贯穿在我们中学及大学学习过程的重要内容。
只有完全了解无理数，才能更好地掌握无理数的定义。
本文主要谈及无理数的各种定义，并且对于这些定义作出对比及研究。
通过对无理数定义的不断比较研究，发现这些定义有着我们意想不到的地方。
找到无理数的定义之后，接下来就去探索定义对于中学生的影响。
由“无理数”在教材中的安排引发的思考
“ 数 轴” 之 前安排 无理数 ， 是为 了让与实 数对应 的点 “ 布
２ ０ １ ５ 年１ ０ 月
满” 数轴而达到严密性．
２ ． 教 师 教 学 之 困 惑 ２ ． 比较 后 的 结 论
教材点
从 以上七种版本教材看 ， 人 教版 、 华师大版 、 湘教 版
“ 无理数 ” 产 生的来源很 多 ， 初 中阶段 主要是 开方运 算 的结果 、 圆周率 等 ， 三角 函数 产生 的“ 无理数 ” 也 有开 方运 算 的原 因 ， 其 源头 是勾股 定理 和开 平方运 算 ． 苏科 修订 版教材通 过拼 图方 式得到 等式ａ ２ ＝ ２ ， 似乎巧 妙地 回 避 了开方运算 ， 但“ 无理数 ” 的概念引入存在 两个 方面 的 困惑 ： 第一 ， 由于七年级学 生还不具备相关 知识 ， 学生对
“
和浙教版都是在平方根 之后引入无理数概念 ， 进而完 善
实数 概念 ， 符合知识 逻辑 ， 但 都是从数 值计算 出发引 入 概念 ， 学生仍然缺少体验 与感悟 ； 北师大版 、 苏科实验 版
则是在勾 股定理 学习中 ， 已知两边求第三边 时出现开 平
方运算 ， 进而顺势 引出无 理数概念 ， 这种 由形到数 、 从 直
的安排具有合理性． ．
２ ． 从有理数 、 无 理 数 与数 轴 的 关 系 来 论证
限小数 和循环小数 都是有理数 ． 接 着进行操作 活动 ： 如 图１ ， 将两个边长 为１ 的小正方形 ， 沿 图中虚线剪开 ， 重新 拼成一 个大 的正方形 ， 它 的面积 为２ ， 进而 提 出问题 ： 如 果设大正方形 的边长 为ａ ， 那么ａ ２ ＝ ２ ， ｎ 是有理数吗？ 接着，
一
图 １
引入无理数概念的数学探索
引入无理数概念的数学探索在数学领域中，有理数一直以来都是我们熟知的概念，无论是整数、分数还是小数，都可以归类为有理数。
然而，人们逐渐发现有些数无法用两个整数的比值来表示，这些神秘的数被称为无理数。
本文将探索无理数的引入及其在数学中的应用。
一、无理数的引入无理数最早由古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前5世纪提出。
当时，他们发现无法用有限的小数或分数来准确表示某些长度、面积或体积，这些不可表示为有理数的数被称为无理数。
二、无理数的定义与性质无理数并不是简单地用分数表示，而是用无限不循环小数来表示。
无理数中最著名的代表是π（圆周率）和√2（根号2）。
这两个数是无限不循环的小数，无法准确表示为有理数。
值得一提的是，无理数是无限不循环小数的一种特殊形式。
三、无理数在几何中的应用无理数在几何中起到了重要的作用。
以√2为例，我们知道正方形的对角线和边长之间的关系为√2倍。
这一关系使得以边长为有理数的正方形，其对角线的长度成为无理数，且无法用有限的小数或分数表示。
另外，无理数也有着广泛的应用，例如在测量中的误差分析、三角函数等领域。
四、无理数与实数的关系无理数是实数的一部分，实数包括有理数和无理数。
实数的定义是包含所有有理数和无理数的数集。
有理数和无理数都是构成实数集的重要组成部分。
五、无理数的证明无理数的证明是数学中的一个重要问题。
盖尔丹·哥尔丹（Georg Cantor）通过构造一种集合，使得该集合中元素的数量无限且无理数构成，从而证明无理数的存在。
这一证明方法奠定了无理数的数学地位，深刻影响着数学研究与应用。
结论无理数的引入为数学领域带来了新的发展方向，打破了人们对数的认知局限。
无理数的定义、性质以及在几何和实数中的应用，都为我们提供了更广阔的数学思维空间。
无理数的研究不仅深化了数学理论，也对其他科学领域的发展起到了积极的推动作用。
通过对无理数概念的数学探索，我们可以更好地理解数学的奥秘，拓展数学的应用领域，促进科学技术的不断发展。
数学概念的教与学——从无理数的概念的教学谈起
数学概念的教与学——从无理数的概念的教学谈起作者：郭海民来源：《读写算·教研版》2013年第01期摘要：对无理数概念的教学过程进行分析，加深对概念教学方法和策略的理解以及认清概念教学的重要性，对教师概念教学及学生概念学习都有很好的积极作用。
关键词：概念；概念教学；概念属性；教学策略；无理数中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2013）01-062-01一、数学概念教与学的研究意义概念可以使人们在没有直接经验的条件下获抽象观念，而这些观念可以用于新的情景分类，也可以用做同化或发现新知识的固着点，同时概念之间可以组成具有潜在意义的命题，因此，概念的学习是最重要的学习课题之一。
二、无理数概念教与学案例分析在无理数的教学过程中，在引入无理数的概念时候，先通过计算√2的值，用计算器计算√2=1.414213562，用平方关系验算所得结果为1.999999999，所以计算得的是近似数，用计算机算的√2是个无限不循环的小数。
那么√2到底是怎样的一个数呢？有没有具体的数值呢？可以说悬念的设置也是教学中很技巧的一个环节。
无理数是新名词，在给出无理数的概念前可先讲无理数的典故，更有利于激发学生的学习兴趣。
2500多年前，古希腊有一位伟大的数学家——毕达哥拉斯。
在数学史上，毕达哥拉斯最伟大的贡献就是发现了“勾股定理”。
其后不久，希巴斯通过勾股定理，发现边长为1的正方形，其对角线长度并不是有理数。
这下可惹祸了。
因为毕达哥拉斯一向认为“万物兼数”，而他所说的“数”，仅仅是整数与整数之比。
当希巴斯提出他的发现之后，毕达哥拉斯大吃一惊，原来世界上真的有“另类数”存在。
毕达哥拉斯无法承受自己的理论将被推翻，于是他下令：“关于另类数的问题，只能在学派内部研究，一律不得外传，违者必究。
”可是希巴斯出于对科学的尊重，并没有根据老师的指令严守秘密，而是把他的发现公之于众了。
这一举动，令毕达哥拉斯怒不可遏，他下令严惩希巴斯。
无理数的认识——对64名职前数学教师的调查研究
质 一 探 究正 弦函数 的性质 一 ＋类 比探究 余弦 函数
察、 实验 、 想 、 析 和整 理 的过 程 中去 理解 一个 猜 分 数学 问题是 怎样 提 出 的 ， 一个 数 学 概念 是 如 何形
的性质 一 正 、 弦 函数性质 的 比较 一 正 、 弦函 余 余
数性 质 的应 用 一 回顾 反思 、 总结提 高．
形 式 定 义 记 忆 得 比较 好 ， 对 无 理 数 的概 念 表 象 在 但
早 期 比较 匮 乏 且 比 较 单 一 ； 于 无 理 数 的直 觉 与 形 关
式 知 识 、 算 法则 之 问存 在 不 一 致 ； 无 理 数 性 质 的 运 对 认 识 受 到 有理 数 知 识 负 迁 移 的 影 响 ， 用 水 平 偏低 ． 应
・
６ ・
中学 数学月 刊
２１ ０ ０年第 ２期
３ １ 设 计 思 路 ．
供 给学 生的外 部思 维 材 料 充分 体 现 出探 索性 ， 要
给 我 们 的 学 生 留 有 足 够 的 教 学 设 计 的 思 路 是 ： 习 函 数 的 有 关 性 复
义的 表 述 形 式较 单一 ； 多数 人 在 无 理 数 的表 达 形 式 方 面 的 认 识 还 存 在 误 区 ； 们 对 无 理 数 与 数 轴 他
的 关 系理 解 并 不 深刻 ， 对 所 学 知 识 缺 乏 整 体 性 运 用． 且 最后 基 于 调 查 结 果 对 职 前 数 学教 师 的 培 养
解更 难 以讲 授。 本研 究从 无 理 数 的 概 念 定 义 、 念 意 象 以及 无 理 数 在 数 轴 上 的 表 示 三 个 维 度 的 内 、 概
容对 ６ ４名数 学 专业 职 前 教 师 进 行 了调 查 ， 现 ： 前数 学教 师 虽 然对 无 理 数 的 定 义 掌握 较 好 ， 定 发 职 但
《认识无理数》教学反思
《认识无理数》教学反思《认识无理数》教学反思身为一名到岗不久的老师，课堂教学是我们的任务之一，对学到的教学新方法，我们可以记录在教学反思中，怎样写教学反思才更能起到其作用呢？下面是小编收集整理的《认识无理数》教学反思，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
本节课是借助寻找正方形边长这一现实生活中的实例，让学生体会数不够用的现实场景，通过讨论等途径，无限逼近的数学思想得到无理数的概念，从中体会数学学习的乐趣。
可能在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生，探索时间和探索过程所需时间较长，会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必须的，所以不能淡化，让学生在数学学习中能将抽象的知识具体化、复杂知识体系化。
同时，引导学生回顾旧知识，探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实基础。
但对概念的理解掌握，一些学生还不是很到位，只能在以后的教学过程中不断加深，另外，由于学生对有理数和无理数的'概念具体感知不够，所以在知识分类整理环节，学生自主整理和接受有一定困难。
其次，在学习时，需让学生注意有理数和无理数的分类，有的同学认为无限小数是一定是有理数，这是错误的。
事实上，无限小数由无限循环小数和无限不循环小数两部分组成，其中无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数。
还有部分学生对有理数掌握不牢固，认为有限小数和无限循环小数不是分数，这是错误的，因为有限小数和无限循环小数可以化成分数，所以有限小数和分数也应划分到有理数中，总之，通过一系列讨论，使学生记住，整数、分数、有限小数、无限循环小数、百分数都是有理数；而在具体的实例中，无理数包含：1.一般地无限不循环小数；2.有规律但不循环的小数，如：0.1010010001……（每个1之间0的个数依次加1）；3.某些含л的数；4.开方开不尽的数（后讲）。
总结这节课知识点不多，更需要同学们理解记忆，多做题，多见题型，多总结。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ｌｌｌ ｌ —ｌｌ ３０
段浩 ，等 ：２ 个 本原有 向图的 ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数及广 义 ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ 指数
５
［ ３ ］ Ｈｕ ａ ｎ ｇ Ｙ，Ｌ ｉ ｕ Ｂ ．Ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｉ ｃ ｅ ｓ ｏ ｆ ｐ ｒ ｉ ｍ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，２ ０ １ ０（ ４ ３ ３ ） ：
Ｉ ｌｌ ０ —１１ ２６
［ ８ ］ Ａ ｋ ｅ ｌ ｂ ｅ ｋ Ｍ，Ｆ ｉ ｔ ａ ｌ Ｓ ，Ｓ ｈ ｅ ｎ Ｊ ．Ａ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｏ ｆ ａ ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍ ａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ Ｂ ｏ ｏ ｌ ｅ ａ ｎ ｒ ａ ｎ ｋ ［ Ｊ ］ ．Ｌ ｉ ｎ ｅ ｒ Ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ
１ ． ３ 职前数 学教 师不能正确认识 不可公度与无理数 的关 系 了解不可公度 ，对理解 无理数来 说是十分必要 的 ，问卷 显示 ， 大多数职前教师只 了解表 面 ，但 不清楚概念的来源．
１ ． ４ 职前数 学教 师没有从 高等数学 角度去看待初 等数 学相关概念
２ 建 议
许多职前数学教 师对无理数 四则运算 的掌握 只是 停留在
７０ ６－７ ２１
［ ５ 】 Ｈ ｗ ａ Ｋ Ｋ ．Ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｓ ｅ ｔ ｏ ｆ ｐ ｒ ｉ ｍ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，２ ０ １ ３（ ４ ３ ９） ：１ ８ ８ ６ － １ ８ ９ ３ ［ ６ Ｊ Ａ ｋ ｅ ｌ ｂ ｅ ｋ Ｍ， Ｋ ｉ ｒ ｋ ｌ ａ ｎ ｄ Ｓ ． Ｐ ｒ ｉ ｍｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｓ ｔ ｓ ｃ ｒ ａ ｍｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ［ Ｊ ］ ． Ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ， ２ ０ ０ ９ （ ４ ３ ０ ） ：
表面．对于无理数集与有理 数集 这 ２个无限集合 中元素个数 的比较存在一定 困难 ．
１ 调 查 结 果 分 析
通 过 对 问 卷 的整 理 和分 析 ，得 出 了以 下 结 论 ：
１ １ 职前数 学教 师对无理数 的概念理 解仅停 留在表 面
本 质 区 别 ，不 能 利 用 有 理 数 的 表 征 形 式 证 明 相 关 问 题 ．
被测者 大多数只注重无理数 的形式定 义 ，不 了解有理数 与无 理州城市学院数学学院 ２ ０ １ ｌ 级、 ２ ０ １ ２ 级、 ２ ０ １ ３ 级的 １ ５ ０名师 范生作 为调查 对象 ， 共发放 问卷 １ ５ ０ 份 ，收 回有效 问卷 １ ４ ２ 份 ，回收率是 ９ ４ ． ７ ％，找出职前数学教师在理解无理数 时存 在的问题 和误 区，并提 出相关的建议．
１ ０ ９９ －ｌ１ ｌ ０
［ ７ ］ Ｃ ｈ ｅ ｎ Ｓ ，Ｌ ｉ ｕ Ｂ ．Ｔ ｈ ｅ ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｏ ｆ ｓ ｙ ｍｍ ｅ ｔ ｒ ｉ ｃ ｐ ｒ ｉ ｍ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｃ ｅ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，２ ０ １ ０（ ４ ３ ３） ：
１ ７ ９８ —１ ８ ０８
【 ４ ］ Ｌ ｉ ｕ Ｂ，Ｈ ｕ ａ ｎ ｇ Ｙ ．Ｔ ｈ ｅ ｓ ｃ ｒ ａ ｍ ｂ ｌ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎ ｄ ｅ ｘ ｏ ｆ ｐ ｒ ｉ ｍ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｉ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ［ Ｊ ］ ．Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ｓ ａ ｎ ｄ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，２ ０ １ ０（ ６ ０） ：
Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ，２ ０ ０ ９（ ４ ３ １） ：１ ９ ２ ３ —１ ９ ３１
职前数学教师对无理数概念 理解 的调查
陈加强 ，陈婷 。
数的概念先后经历 了多次重 大的变化 ， 到了近代 ， 数不再 只是 单个 的量的表示 ， 数系发展为一个完备化 的运算系统… ．尽 管无理数是实数系 的重要组成部 分 ， 但在 中学数学教学过程 中 ， 对 于无理数 的相关 教学重视不够 ，职前 数学教师对无理数的
１ ． ２ 应 用无理数 定义水平偏低
职前数 学教师对无理数 的本质 没有真正掌握 ，应用无理数定 义的水平偏低．对相关人数进
行 统 计 发 现 ，绝 大 部 分 的被 测 者 给 了 根 式 型 、 型 、ｅ 型 的无 理 数 ，并 没 有 其它 如 三 角 型 无 理 数 和 对 数 型 无 理 数 的 出 现 ．