实数的概念及分类
七年级下册数学实数知识点
七年级下册数学实数知识点七年级下册数学实数知识点1、实数的概念及分类①实数的分类②无理数无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如√7 ,3 √2等;有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/?+8等;有特定结构的数，如0.1010010001…等;某些三角函数值，如sin60°等2、实数的倒数、相反数和绝对值①相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
②绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
|a|≥0。
0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。
③倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
0没有倒数。
④数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
⑤估算3、平方根、算数平方根和立方根①算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。
②平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
注意√a 的双重非负性：√a≥0 ; a≥0③立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。
表示方法：记作 3 √a性质：一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
实数的概念复习题
实数的概念复习题实数是数学中最基础、最广泛使用的数的集合。
它包括有理数和无理数两个部分。
在这篇文章中，我们将复习实数的概念，并做一些相关的练习题。
一、实数的定义与分类实数是数轴上的每一个点所对应的数。
它既包括有理数，又包括无理数。
1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数可以是正数、负数或零。
例如，-2，1/2和0.75都是有理数。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数，无理数的十进制表示是无限不循环小数。
例如，π和√2都是无理数。
二、练习题复习完实数的定义与分类后，让我们来做一些练习题，以巩固概念。
1. 判断下列数是否为有理数，若是，将其写成分数形式；若不是，将其写成无理数的近似值：a) 0.3b) 1/7c) -2d) √32. 将下列数按从小到大的顺序排列，并用数轴表示：a) -5，√2，0，-1，4/3b) -√5，1/2，2/3，π/4，03. 计算下列各组数的和：a) -1/3，0.2，√5b) π，1/6，-0.4，⅔4. 解决下列方程：a) |x-2| = 5b) √(x+3) = 75. 判断下列各命题的真假：a) 有理数包括整数、分数和小数。
b) 任意两个相邻整数之间必有一个整数。
三、答案1.a) 0.3是有理数，可以写成3/10。
b) 1/7是有理数，已经是分数形式。
c) -2是有理数，可以写成-2/1。
d) √3是无理数。
2.a) -5，-1，0，4/3，√2。
b) -√5，π/4，1/2，2/3，0。
3.a) -1/3 + 0.2 + √5。
b) π + 1/6 - 0.4 + 2/3。
4.a) x = -3 或 x = 7。
b) x = 48。
5.a) 真。
b) 真。
通过以上复习题的练习，我们可以更加熟悉实数的概念，并巩固相关的知识点。
实数是数学中非常重要的概念，在几乎所有数学学科中都有应用。
因此，掌握实数的概念对于进一步学习数学具有重要意义。
实数的概念简答
实数的概念简答实数是数学中一个非常重要的概念，它是数的集合中最广泛使用的一个集合，包括了整数、有理数以及无理数。
实数可以用来描述现实世界中的许多事物，它们具有很多特性和性质。
首先，实数是有序的。
这意味着实数可以按照大小顺序排列。
对于任意两个实数a和b，必然存在以下三种关系之一：a<b、a=b或者a>b。
这种有序性质可以大大拓展实数的应用范围，使得我们能够对实数进行比较和排序。
其次，实数是连续的。
实数可以沿着数轴上的任意两个点之间有无穷多个其他的实数。
这意味着在任意两个实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。
这个性质使得实数可以用来度量和描述连续的现实世界中的量，比如时间、距离等。
实数集合包括了有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
有理数的性质是可以用有限个整数和分数的和、差、积与商来表示。
无理数是不能表示成两个整数的比值的数，它们的十进制表示是无限不循环小数。
著名的无理数包括π、e和根号2等。
无理数的性质是不能用有限个有理数的和、差、积与商来表示。
实数集合具有良序性和完备性。
良序性是指实数集合中的任意非空子集都有最小值。
也就是说，对于实数集合中任意的非空子集合，必然存在一个最小的实数。
完备性是指实数集合中的任意上有界的子集都有上确界。
也就是说，对于实数集合中的任意上有界子集合，必然存在一个实数作为上确界。
实数集合上有四则运算，即加减乘除。
实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
实数的四则运算可以推广到无穷级数中，这给了我们处理许多数学问题的工具。
实数集合上还有大小比较运算符号，包括小于号、大于号、小于等于号、大于等于号以及不等号。
这些运算符号可以用来比较实数的大小关系。
实数还具有可数性和不可数性。
有理数是可数的，可以用自然数来进行一一对应。
而无理数是不可数的，不能用自然数进行一一对应。
在实数集合中，还有一些特殊的数，比如无穷大和无穷小。
第1讲实数的概念
7、 3 的绝对值等于 3 ， 2 4 的平方根等于 3 ， 9
1 3 的倒数是 2
2 7 。
8. 2的相反数是 A． 1 B．
2
9. A
1 2
2
C．-2
D．2
2的相反数是（）
2
B
C -2
1 2
D 2
10、的相反数的倒数是 .
课时训练
1、把下列各数填在相应的大括号内： 5 , , 3.14, 0 , 3. 3 3 3, 3, tg 300 , 1, 7
cos600 ,
3
64, 2.1010010001 .
3
-1，0， 64 整数集合：{ ……}； -1 奇数集合：{ ……}； 5 有理数集合：{ -1，，3.14，0， . 3 3 3，cos60°， 3 64 }； 3
1
；
（2） 3 －2的绝
（3）若 x 1, y 2 ，且xy>0，x+y=
3 ; 8; 3 27; 例2、把下列各数填到相应的集合里: 22 ; 3.14; 0.100110001 ; sin 300 ; 7 0 tan45 3; 0.3 21; 3.2
整数集合：{ 3 27 ;tan45°; － 3 }； 3-1；3.14；22/7;sin30°；｜-3.2｜；-0.32· 1· 分数集合：{ }； 有理数集合： 3-1；3 27 ；3.14；22/7；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜ ； 无理数集合：{
4、下列运算正确的是
A.
1 1 5 5
2
B. ( 2) 2
1 3 1 D. ( ) 2 8
实数的概念
实数的概念
实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n 为正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
[1]相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数）实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。
[2]绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变），a是它本身；
②a为0时，|a|=0，a也是它本身；
③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值），-a是a的相反数。
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负数。
)
[3]倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a （a≠0）
[4]数轴
定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）数轴上的点与实数一一对应。
特别规定0的算术平方根是根号0
实数分类
按性质分类是：正数、0、负数；
按定义分类是：有理数、无理数。
实数的相关概念
实数的相关概念实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
性质封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab,a=b,ab。
传递性实数大小具有传递性，即若ab,bc,则有ac。
阿基米德性实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若ba0,则存在正整数n，使得nab。
稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
实数的相关概念 2实数的相关概念 2：实数是有理数和无理数的总称。
实数包括有理数和无理数，实数集通常用字母R表示。
实数集与数轴上的点有着一一对应的关系，任一实数都对应着数轴上的唯一一个点。
实数是什么1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。
整数和小数的集合也是实数，实数是有理数和无理数的集合。
而整数和分数统称有理数，所以整数和小数的集合也是实数。
小数分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数(即无理数)，其中有限小数和无限循环小数均能化为分数，所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即实数。
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。
什么是实数？实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
实数集通常用黑正体字母R表示。
实数概念例题和知识点总结
实数概念例题和知识点总结一、实数的概念实数，是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
例如，π（圆周率）约等于 31415926就是一个无理数，因为它的小数部分是无限不循环的。
再比如√2（根号 2）约等于 141421356也是无理数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。
有理数又可以分为整数和分数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。
无理数就是无限不循环小数。
2、按正负分类实数可以分为正实数、0、负实数。
正实数包括正有理数（正整数、正分数）和正无理数。
负实数包括负有理数（负整数、负分数）和负无理数。
三、实数的性质1、实数的相反数实数 a 的相反数是 a，0 的相反数是 0。
例如，5 的相反数是－5，π 的相反数是π。
2、实数的绝对值正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。
例如，｜5| ＝ 5，｜－5| ＝ 5 ，｜0| ＝ 0 。
3、实数的倒数若实数 a 不为 0，则 a 的倒数为 1/a 。
例如，5 的倒数是 1/5 ，－2 的倒数是－1/2 。
4、实数的运算实数的运算遵循加、减、乘、除、乘方、开方等运算规则。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：ab ＝ ba乘法结合律：（ab)c ＝ a(bc)乘法分配律：a(b ＋ c) ＝ ab ＋ ac在进行实数运算时，要注意先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的。
四、实数的大小比较1、数轴比较法在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
2、差值比较法设 a、b 是两个实数，若 a b ＞ 0，则 a ＞ b；若 a b ＝ 0，则 a ＝ b；若 a b ＜ 0，则 a ＜ b 。
第1课时实数的有关概念
第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A．33--=B．3)31(1-=-C3=±D3=-例）A．B C．2-D．2例3.2的平方根是（）A．4 B C．D．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．107.2610⨯元B．972.610⨯元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使： a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．16 B ．16- C ．18 D ．18- 2.2-的倒数是（ ） A ．12- B ．12 C ．2 D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<<4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ） A ．32 B ． 23 C ．23- D ．32-第2课时 实数的运算第4题图0 例5图【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________例4.下列运算正确的是（） 9 0 -4 国际标准时间（时）-5 例2图 ……例3图A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=-例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-.【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）AB． C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)10112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时 整式与分解因式第4题图【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1=-（a≠0，n 为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ．3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．。
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6.3 《实数的概念及分类》导学案
教学目标：
认知目标：1.了解无理数和实数的概念，会对实数进行分类，
2.了解实数与数轴上点的一一对应关系。
过程目标：1.在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，
2.通过实数与数轴上点的对应关系的探究，体验“数形结合”思想。
情感目标：经历探索从有理数到实数的扩充过程，培养探究精神，激发求知热情；通过实数的分类，培养分类思想，发展分类意识。
教学重点：无理数，实数的概念及实数的分类；
教学难点：无理数概念及实数与数轴上点的一一对应关系
教学过程：
【知识回顾，创设情境】
1、把下列各数按要求填在横线上：
整数；分数；正数
2、有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准？请与他人交流。
【合作交流，探究新知】
有理数包括整数和分数，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3= ，
3
5
= ，
47
8
= ，
9
11
= ，
11
9
=
5
9
=
我们发现，上面的有理数
归纳：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。
猜想：有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗？
验证：下列有限小数能化为分数吗？5、2.3、0.25、1.334
无限循环小数能转化为分数吗？
阅读下列材料
设x=0.3=0.333…①
则10x＝3.333…②
则②－①得９x=3,解得x=1/3，即0.3=1/3
结论：有限小数或无限循环小数都能转化为分数
拓展：有限小数或无限循环小数就是有理数
【活动1】无理数的概念
问题：我们在求一个数的平方根或立方根时，发现有些数的平方根或立方根是这样的小数，如=3.1415926552374…，1.101001000100001.…，
2=1.414213562373…
这些小数有什么共同点？它们是有理数吗？如果不是，它们是什么数呢.
记忆：他们不能转化为分数形式，它们不是有理数
定义： 叫无理数（板书：无限不循环小数叫无理数） 常见的无理数有哪些主要类型
①开不尽方的数，但比如 则不是；
②有一定的规律，但不循环的无限小数;
③圆周率及一些含有π的数
【活动2】无理数与数轴上点的对应关系
问题：我们知道有理数能用数轴上的点来表示，那么无理数是否也能用数轴上的点来表示呢？
探究1：.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点O 沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，点O ′的坐标是
探究2：如图，在数轴上，以一个单位长度为边长画正方形，则对角线的长度就是2，以原点为圆心，以对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就是 。
归纳：每一个无理数都可以用数轴上的 点表示出来。
但是，数轴上的点有些表示____，有些表示___。
理解：下列说法对吗？不对的请改正。
(1)无理数都是无限小数.
(2)带根号的数是无理数.
(3)数轴上的点表示的数不是有理数就是无理数.
应用：在这些数5，3.14，0，3 ，34
- ， 0.57 ，4- ， - π，0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中．
有理数是 ；无理数是 ；整数有 ：分数有
【活动3】实数的概念及分类
定义： 统称为实数（板书：有理数和无理数统称实数）
分类：按照定义分类如下：
B A
C 按照正负分类如下： 实数
活动4．实数与数轴上点的对应关系
1、每一个无理数都可以用数轴上的__表示出来，
每一个有理数都可以用数轴上的 __表示出来
2、这就是说，数轴上的点有些表示____，有些表 示___。
3、因此，当数从有理数扩充到实数以后，每一个 实数都可以用数轴上的 来表示；反过来， 数轴上的 都是表示一个实数。
也就是说实数与数轴上的点就是 的关系。
【应用举例，巩固拓展】
例1、把下列实数按要填在相应的集合中
①有理数集合：｛ …｝；
②无理数集合：｛ …｝；
③正实数集合：｛ …｝；
④整数集合：｛ …｝．
点拨：无理数的特征①开不尽方的数，但比如16则不是；
②有一定的规律，但不循环的无限小数：
③圆周率及一些含有的数
例2、写出一个3到4之间的无理数
点拨1：按无理数的概念来构造：
点拨2:利用算术平方根的意义3=9，4=16
例3、如图，数轴上表示1 、2 的对应点 分别为A 、B ，点B 关于点A
的对称点为点C ，则C 点表示的数是
3215416270.157.5π0 2.33
•
--，，，，，，，，．
点拨：①计算AB 两点间的距离②利用点的对称性得AC 两点间的距离
【知识小结，反思提高】
１．通过今天的学习,用你自己的话说说你对下列三个问题的理解？
问题1 举例说明无理数的特点是什么？
问题2 实数是由哪些数组成的？
问题3 实数与数轴上的点有什么关系？
２．你的困惑是什么？请与同学们交流。
【课堂检测，提升能力】
１．判断正误，并说明理由．
⑴无限小数都是无理数；
⑵无理数都是无限小数；
⑶带根号的数都是无理数；
⑷有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；
⑸实数包括正实数、0、负实数；
2、把下列各数分别填在相应的括号里： ， ， ， ， ， ， ，0 ，
， ①有理数（ ）； ②分数（ ）；
③正实数（ ）；
④非负整数（ ）．
3、观察数据，按规律填空2,2, 6, 22, 10 …, (第n 个数)
4、满足—3＜x ＜5的整数X 是
【课堂作业，巩固提高】
教材第57页： 习题6.3: 1,2
9-3564π•6.043-313.0。