著名机构七年级数学春季班讲义1实数的概念(学生)
最新七年级数学讲义一：实数
1、 七年级数学讲义一：实 数姓名【知识梳理】实数的分类数轴上的点与实数一一对应右边的点表示的数比左边的大b a AB -=实数的运算 分数指数幂已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32⨯-•π25， 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）.（1）按要求填空：无理数有______________________________,有理数有______________________________，整数有________________________________.分数有______________________________,（2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置.（3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）（1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______；（3）64=______； （4）32的五次方根是______；（5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______；（7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．2．0.25的算术平方根是________．3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________．4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________． 5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________． 6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______，7．当a ________时，1-a 有意义．8、 求下列各式的值．（138-= （2）327= （3）30.125-=（4）33(0.001)--= （53512= （6）32764--= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169=9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数例题3 概念辨析：下列等式是否正确？改错。
著名机构七年级数学春季班讲义2实数的运算(学生)
托 实数的运算课时目标1. 学习将无理数用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点的对应关系；2. 会求无理数的绝对值、相反数和倒数，会对实数进行大小比较；3. 理解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍适用，能够熟练进行实数的四则运 算，并按要求进行化简；4. 进一步认识近似数与有效数学的概念，能够按要求对结果取近似数.知识精要1. 点和实数的关系数轴上的点与实数是一一对应关系.2. 绝对值的定义实数a 的绝对值就是数轴上表示实数a 的点与原点之间的距离.记作a .则： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 3. 相反数的定义绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 非零实数a 的相反数是－a ， 0的相反数是0.4. 倒数的定义乘积为1的两个数互为倒数.任意非零实数a 的倒数是a1，0没有倒数. 5. 两数大小的比较（1）正数大于0，负数小于0；（2）两个正数比较大小，绝对值大的比较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；（3）从数轴上看，右边的数总比左边的大.托6. 数轴上两点的距离公式在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，则距离AB=b a -.7. 实数的四则运算有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立，运算顺序：先乘方， 开方，再乘除，最后加减. 同级运算按照从左到右顺序进行，有括号先算括号里.8. 实数的运算法则（1）)0()(≥+=+c c b a c b c a（2）)0,0(≥≥⋅=b a ba ab )0,0(>≥=b a b a b a9. 准确数和近似数准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数.近似数（或近似值）：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数. 精确度：对近似数与准确数的接近程度的要求，叫做精确度.10．有效数字对于一个近似数，从左边第一个非零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字. 热身练习1．求下列各数的相反数，倒数和绝对值.（1）34-（23（3352. 已知,a b 为两个连续整数，且7a b <<，则a b += .3. 一个正数的平方是3，这个数的准确数是 ；近似数（精确到千分位）托是 ；近似数的有效数字有 位，有效数字是 .4. 计算（1）3362-= （22279⨯= （3）2714= （4）32(2162)-=（5122=（69632= （7）(2123)6= （8）23)(32)=（9）133(323)2（10102510（11）(55)5- （1262(2)-（13）222222513683)4(--++--5. 用四舍五入法,按括号内的要求对下列数取近似值.(1)0.008435(保留三个有效数字) ≈(2)12.975(精确到百分位) ≈托(3)548203(精确到千位) ≈(4)5365573(保留四个有效数字) ≈精解名题例1 比较大小1.（近似值法）比较52+3 2.11的大小2.3226+3.（求差法）比较a与1a（01a<<）的大小.例2已知数轴上A,B,C三点表示的数分别是11.2,5,33--，求A与B ，A与C两点之间的距离.托例3 已知13x <<，化简下列各式：（1） 3131x x x x --+--； （2）13x x -+-例4 2(1)1m m -+巩固练习一 选择题149的平方根是（ ）A ．±7B ．－7C ．±7D 72．下列各式计算正确的是（ ）A ．4 2B ．38=±2C 31-－1D ．±93．下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）A ．－22(2)-B ．－238-C ．－2与－12 D ．│－2│与242(3)x -+x －3=0，则x 的取值范围是（ ）托A ．x >3B ．x <3C ．x ≥3D ．x ≤35．下列计算正确的是（ ）A ．0(2)0-=B ．239-=-C 93=D 325=6. 下列式子，正确的是（ ） A. 3232= B. (21)(21)1=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=-7. 计算29328+-的结果是（ ） A ．22- B ． 22 C ．2 D ．223 8. 52a =，52b =227a b ++的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69. a 2a a 的大小关系是（ ）A ．2a aB ．2a aC 2a aD 2a a二、计算题1. 化简（1）122332（2）a b b c c a -+---（a <b <c ）（3）4330,0)a b b a a ab ----<<（4） 27362. 计算托（1722324752（2）15(23)(4283)2-（3）352)255（4）)138)(138(-+（5）)625()23(2-+（6）2032)(526)(526)⨯++-3.解方程（1）()27183=-x（2）()0481232=-+x三、解答题1. 在数轴上分别标出12.4,1,5,34---并用“<”把这些数连接起来.托2. 72-的两个点之间有几个点表示整数？3. 实数a 在数轴上所对应的点是P ，化简代数式12a a +++.4. 在数轴上表示2A,B ，点B 关于点A 的对称点C ，求点C 所对应的实数x .自我测试一、选择题 1. 2)5(-的平方根是（ ）A 、5±B 、5C 、5-D 、5±2. 下列运算正确的是（ ）A 、3311--=-B 、 3333=-C 、 3311-=-D 、3311-=-3. 若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为 （ ） A 、1± B 、5± C 、3或5 D 、54. 下列说法错误的是（ ）－2托 A 、2是2的平方根 B 、两个无理数的和，差，积，商不一定是无理数C 、 无限小数是无理数D 、—27的立方根是—35. 若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）A 、2-B 、5±C 、5D 、5-6. 判断下列说法正确的个数是（ ）(1)无限小数都是无理数; (2)无理数都是无限小数;(3)正实数包括正有理数和正无理数；(4)实数可以分为正实数和负实数两类.A 、 1个B 、 2个C 、3个D 、 4个7. 下列等式正确的是（ ）A 、864-=-B 、()222=- C 、()662=-- D 、 636±=二、填空题1．比较大小：－7 －43．2．若13x y ++-=0，那么x = ，y = ．3. 上海市统计局公布去年我市各级各类学校在校生约为625900人，用科学记数法表示为 人（保留两个有效数字）.4．若5+10的整数部分是a ，小数部分是b ，则a －b = ．5．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简a +│a +b │－2c －│b －c │= ．6. 已知223y x x =--，则x y = .7. 若 2163610x -= 则x = .8. 若 38(3)27x --= 则x = .三、解答题1. 计算托（1326273⨯ （2）()1013142-⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）11(318504)52+÷32 （4）101(1)527232-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭2. 对下列各数按括号中的要求取近似数.（1）4.0056（保留三个有效数字）≈（2）9.23456（精确到0.0001）≈（3）5678999（精确到万位）≈（4）5678999（保留两个有效数字）≈3. 0)(324100=++-+-+z y x zy x ，求z y x ++的值.4. 求值（1）（235+-）（235--）源于名校，成就所托11（2）22)32()32(-++。
著名机构数学讲义寒假01-七年级基础版-实数的概念与开平方-学生版
教师姓名 冯娜娜 学生姓名 年 级 初一 上课时间单击此处输入日期。
学 科数学课题名称实数的概念与开平方知识模块Ⅰ：无理数的概念1、定义：无限不循环小数叫做无理数。
2、无理数也有正、负之分。
如2,,0.1010010001 L 等这样的数叫做正无理数；实数的概念与开平方如2,,0.1010010001π---L 等这样的数叫做负无理数。
只有符号不同的两个无理数（2与2-，π与π-），它们互为相反数。
【例1】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示． ①无限小数都是无理数.（ ） ②无理数就是开方开不尽的数.（ ） ③开方开不尽的数都是无理数.（ ） ④一个小数，不是有理数，就是无理数.（ ）【例2】无理数是（ ）.A 无限循环小数 .B 开方开不尽的数 .C 除有限小数以外的所有实数.D 除有理数以外的所有实数【例3】在0、π、0.01、16、0.010010001……、3中，属于无理数的是 .知识模块Ⅱ：实数的概念有理数和无理数统称为实数。
实数可以这样分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数 实数正有理数无理数无限不循环小数负有理数【例4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示．（1）实数不是有理数就是无理数． （ ） （2）无理数都是无限不循环小数． （ ） （3）带根号的数都是无理数． （ ）（4）无理数都是无限小数． （ ） （5）无理数一定都带根号．（ ） （6）两个无理数之和一定是无理数．（）（7）两个无理数之积不一定是无理数． （）【例5】把下列各数填入相应的集合内，243，39-，3.1415，10，0.6，0，3125-， 3π，4916，0.01001000100001L（1）有理数集合：{ …} （2）无理数集合：{ …} （3）正实数集合：{ …}知识模块Ⅲ：平方根与开平方（一）平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. （二）平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.（三）平方根的性质2x a =x a a a a a ±a a a a -a a a a a a a ±a【例11】已知21a -与2a -+是m 的平方根，求m 的值.【例12】已知a b c 、、满足211(2)0a b c ++-+-=，求201320133a b c ++的值.【例13】知114x x y -+-=+，你能求出x y -的值吗？【习题1】 16的平方是 ，16的平方根是 ； 【习题2】81的平方是 ，81的平方根是 ；【习题14】 如图，在3×3的方格中（每个小正方形的边长为1）四边形ABCD 是正方形，利用面积的关系探求正方形ABCD 的边长是 。
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。
简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。
有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。
而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。
实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。
也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。
二、有理数有理数是实数的重要组成部分。
整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。
分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。
有理数具有一些很重要的性质。
比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。
而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。
我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。
比如购物时的价格、物品的数量等等。
三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。
像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。
圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。
无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。
虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。
四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。
加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。
乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。
除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。
乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。
在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
初中七年级下册数学讲义第1讲-实数的概念与开平方(上体馆)
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第1讲-实数的概念与开平方学习目标1．知道开平方、平方根的概念，理解无理数和实数的概念以及实数的分类；2．会求平方根，会进行开平方相关的混合运算；3. 理解实数相关的相反数、绝对值，会进行相关运算教学内容（以提问的形式回顾）练习：1. 和统称为有理数.2.把分数17化成小数，则结果一定是小数.3. 如果把圆周率π化成小数，它一定是小数.4. 如果一个分数的分母，那么这个分数一定能化成有限小数.5 判断对错：①存在面积为2的正方形.②有理数可以统一用qp（p、q均为整数，且p≠0）来表示.6.有理数包括小数和小数.【参考答案】整数和分数；2.无限循环3. 无限不循环；4.只含有素因数2或5；5.①对②对；6.有限小数和无限循环小数（采用教师引导，学生轮流回答的形式）知识一、无理数的概念【例题精讲】例1.什么是无理数？教法指导：建议引导学生去发现，提问学生【参考答案】无限不循环小数叫做无理数.【试一试】1.判断对错：①无限小数都是无理数.②无理数就是开方开不尽的数.③开方开不尽的数都是无理数.④一个小数，不是有理数，就是无理数.2.无理数是（ ）A . 无限循环小数B . 开方开不尽的数C . 除有限小数以外的所有实数D . 除有理数以外的所有实数3. 在0、π、0.01、16、0.010010001……、3中，属于无理数的是 .教法指导：建议让学生独立完成，可以设置为相互PK 的形式。
这部分讲完可以让学生总结归类，无理数都有哪些类型【参考答案】1.错，错，对，对；2.D ；3. π、0.010010001 (3)知识二、实数的概念问题：什么叫实数？实数可以怎样分类？⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎨⎩⎪⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎭⎩⎩正有理数有理数零——有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数——无限不循环小数负无理数 补充：有理数的两种分类方式：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数； ⎧⎪⎨⎪⎩正有理数有理数零负有理数 【例题精讲】例2.判断下列说法是否正确：①有限小数都是有理数，无限小数都是无理数.②一个有理数，不是正数就是负数.③一个无理数，不是正数就是负数.④一个实数，不是正数就是负数.⑤带根号的实数都是无理数.教法指导：可以通过提问形式让学生能够熟悉掌握无理数饿有理数的区别。
七年级下册数学讲义之分数指数幂、实数的运算-教师-春季班
6、近似值：对一个近似值，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都称为这 个近似值的有效数字。
例如 1415926.3=π的近似值中，1.3有两个有效数字，用科学记数法表示1220000，将其保留两位有效数字6102.1⨯，它精确到万位61022.1⨯ 单元知识网络：热身练习一、填空题：1、化简223）（-＝__32-_____；－2)25.1(-＝_-1.25___2、4)2(-的 平方根是__2±____；2)3(--的平方根是_31±____；若5333n=，则n= 103 3、在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 2 4、28⨯=4 ； 28-= 25、16的算术平方根的平方根是 2±6、地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为 8105.1⨯ 千米。
甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=__1____。
8、因为2211121,11112321==，所以76543211234567898= 111111111二、选择题（1）()()2201131313272π-⎛⎫-+-⨯--+ ⎪⎝⎭（2）423423-++参考答案：（1）3 （2）23精解名题例1、计算：（1）342221(2)(1)(12)[()]20.254[13(2)]-⨯---÷-⨯+-⨯- （2）23320)5.1(9216.01221---++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+参考答案：（1）2 （2）3225例2、比较下列每组数的大小：(1)与； (2)与； (3)与； (4)a 与(a≠0)思路点拨： (1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况。
实数的概念
实数的概念
实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两种数的集合。
实数可以用来表示数量、度量、顺序和比较。
在实数集合中，包含了所有可能的数，无论是整数、分数还是无限不循环小数。
实数的定义相对简单，但却蕴含着丰富的数学道理。
根据Cauchy序列或Dedekind划分的定义，一个实数可以被表示为所有比它小的数的集合。
这个定义确保了实数的连续性和完备性。
实数的集合可以表示为R，其中R是实数的拉丁字母缩写。
R包含了有理数和无理数，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数则是不能表示为有理数的比值。
无理数包括了诸如根号2、π和自然常数e等数。
实数集合的特性很多，其中最重要的是实数的稠密性、有序性和连续性。
实数的稠密性意味着在任意两个实数之间都存在一个实数，这保证了实数的无限性和密集性。
实数的有序性则意味着任意两个实数之间都可以比较大小。
实数的连续性则意味着在实数集合中没有任何间断。
实数在数学中具有广泛的应用领域，如代数、几何、分析学和概率论等。
实数的加法、减法、乘法和除法运算规则成为数学的基础。
实数的顺序关系使我们能够进行比较和排序。
实数的连续性帮助我们解决方程和证明定理。
总之，实数是数学中一个非常重要的概念。
它包含了所有的有理数和无理数，具有稠密性、有序性和连续性等特性。
实数的定义使用Cauchy序列或Dedekind划分，它在数学的各个领域中具有广泛的应用。
对于理解数学和解决实际问题，实数是一个必不可少的概念。
初中实数概念及分类
初中实数概念及分类实数是数学中的基本概念之一，在数轴上表示，包括有理数和无理数两个部分。
有理数可以表示为一个整数除以另一个非零整数的商，而无理数则表示为一个无限不循环小数或一个无穷不循环循环小数。
下面将详细介绍实数的概念及分类。
一、实数的概念实数是指可以在数轴上表示的所有数的集合。
数轴上的每一个点都对应一个实数，实数包括有理数和无理数两部分。
有理数：可以表示为两个整数的比值。
有理数集合通常用Q 表示，Q = {a/b | a, b是整数，且b≠0}。
无理数：无理数无法表示为两个整数的比值，通常可以通过无穷不循环小数来表示。
无理数集合通常用R-Q表示。
二、实数的分类1. 有理数的分类有理数可以分为整数、正整数、负整数、分数、正分数和负分数等几个分类。
（1）整数：整数包括正整数、负整数和0。
整数集合通常用Z表示。
（2）正整数：正整数是大于0的整数。
（3）负整数：负整数是小于0的整数。
（4）分数：分数是可以表示为一个整数除以另一个整数的商的数，其中分母不为0。
（5）正分数：正分数是大于0的分数。
（6）负分数：负分数是小于0的分数。
2. 无理数的分类无理数可以分为无限不循环小数和无穷不循环循环小数两类。
（1）无限不循环小数：无限不循环小数是指小数部分无限延伸，且没有循环节的小数。
例如，π、e、根号2等都是无限不循环小数。
（2）无穷不循环循环小数：无穷不循环循环小数是指小数部分有无线循环的小数。
例如，1/3 = 0.333...、1/7 = 0.142857142857...等都是无穷不循环循环小数。
三、实数的性质1. 实数的加法性质（1）交换律：对于任意实数a和b，a + b = b + a。
（2）结合律：对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
（3）存在零元：存在一个实数0，使得任意实数a + 0 = a。
（4）存在负元：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
七年级上册数学实数的知识点
七年级上册数学实数的知识点在七年级上学期的数学课程中，实数是一个重要的知识点。
实数包括有理数和无理数，它们合在一起构成了实数集，是数学中的基本概念之一。
下面我们来详细了解实数的概念、性质以及应用。
一、实数的概念与分类实数包括有理数和无理数两种数，其中有理数可以用分数或整数来表示，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
其中正有理数是指可以用正整数除以正整数得到的数，符号为“+”；负有理数是指可以用负整数除以正整数得到的数，符号为“-”；零是任何数除以自己得到的结果，符号为“0”。
无理数指不能写成有理数（分数）形式的实数。
例如，√2 、π、e 等均为无理数，它们不能表示为有限小数或分数。
二、实数的性质1. 实数集是一个完全有序的集合，即不论任何两个实数大小的关系如何，都必然可以判断出它们的大小关系。
2. 实数集满足加法和乘法的结合律、交换律和分配律。
3. 实数集中存在一个数 0 ，使 0 + a = a + 0 = a ，其中 a 为任意实数。
4. 实数集中每个数都有一个相反数，即对于任意实数 a ，都存在一个数 -a ，使得 a + ( -a ) = 0 。
5. 实数集中每个非零数都有一个倒数，即对于任意非零实数a ，都存在一个数 1/a 使得 a × (1/a) = 1 。
三、实数的应用实数的应用极为广泛，下面仅选取了数学中常见的一些应用进行介绍。
1. 直线和曲线的方程在解直线和曲线的方程时，实数是解题的基础。
例如，在求一条直线的斜率时，需要用到两个实数之间的除法运算，而这个运算必须用到实数，因为它是不满足分式的整数和真分数的性质的。
2. 负数的应用在实际生活中，经常会遇到一些与负数相关的问题，例如负债、温度计的读数等。
在这些情况下，需要用到负数的概念。
通过掌握实数的概念，可以更好地理解这些问题，并解决它们。
3. 高中数学的基础实数是高中数学的基础，如学习三角函数、导数、积分等内容都需要掌握实数的相关知识。
初一辅导专题1 实数的概念
初一辅导专题1 实数的概念一、知识要点：1、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数；无理数可分为正无理数和负无理数2、实数的定义：有理数和无理数统称为实数；3、实数的分类：正整数有理数 有限小数或无限循环小数 分数无理数 无限不循环小数二、例题讲解：1、在下列实数中，是无理数的为（ ）A ．0；B ． 3.5-；CD ． 2、在220.6187-π，， A ．1； B ．2； C ． 3； D ．4． 3、无理数是（ ）A ．无限循环小数；B ．开方开不尽的数；C ．除有限小数以外的所有实数；D ．除有理数以外的所有实数． 4、实数中6,42,31π中，分数的个数是（ ） A ．0个； B ．1个； C ．2个； D ．3个5、3-，00.3，227， 1.732-π2-，3，0.1010010001整数{} ；分数{} ； 正数{} ；负数{} ； 有理数{} ；无理数{} ； 6选择题（1）下列语句错误的是（ ）A 、正整数、0、负整数统称为整数B 、整数与分数统称为有理数C 、开方开不尽的数和π统称为无理数D 、有理数、无理数统称为实数 （2）下列说法正确的是（ ）．A 、无理数是开方不尽的数B 、无限小数不能化成分数C 、无限不循环小数是无理数D 、一个负数的平方是无理数 （3）下列说法错误的是（ ）A 、相反数与本身相等的数只有0B 、倒数与本身相等的数只有1和-1C 、平方与本身相等的数只有0和1D 、立方与本身相等的数只有0和1 （4）下列命题正确的是（ ）A 、无理数与无理数的和仍是无理数B 、无理数与无理数的积仍是无理数C 、有理数与无理数的积仍是无理数D 、有理数与无理数的和仍是无理数 （5）大家知道5是一个无理数，那么5-1在哪两个整数之间（）A 、1与2B 、2与3C 、3与4D 、4与5 7：填空题（1）7-的相反数是__73-______，绝对值是___37-_____. （2）一个数的绝对值等于，则这个数是____3±_____.（3）绝对值最小的实数是___0___，绝对值小于的整数有±2、±1、0 8：已知b a ,都是无理数，且它们的和为2，试写出两对符合要求的无理数b a ,。
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实数的概念
课时目标
1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；
2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；
3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.
知识精要
1. 无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪
⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 4. 平方根的定义
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即
2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.
5. 平方根的性质与表示
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.
（2）正数a 的两个平方根可以用
“
a 的正平方根，叫做
a 的正平方根，也叫做a
的算术平方根；a 的负平方根.
6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.
7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.
8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…；
； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．
12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义
如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.
14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质
（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；
（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；
（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.
热身练习
1. 将下列各数填在相应括号内：
π， 3
2
， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ …}； 整数集合 { …}； 正数集合 { …}； 分数集合 { …}； 实数集合 { …}； 2. 判断 （1）无限小数都是无理数
（ ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数
（ ）
3.（1
（2）写出一个比－1大的负有理数是 ，比－1大的负无理数是 . 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.
（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根
5. 求下列各数的平方根 （1）121 （2）
64
9
（3）0.0009 （4）361
6．求下列各数的算术平方根
（1）81 （2）16
25
（3）289 （4）0.0001
7．求下列各数的值.
（1（2）（3）2
8. 求下列各式的值
（1）2（2）2(0)
a>
（3）2
((0)
a>（4
（50)
a>（6)
a是实数
9. 一个正数的两个平方根为2a+1,5－a求这个数.
10. 已知a的两个平方根,x y为322
x y
+=的一组解，求a的平方根.
11. 求下列各数的立方根.
（1）－64 （2）343 （3）1
918
- （4）0.729
12. 求下列各式的值
（1） （2） （3
13. 解简单的高次方程
（1）16842
=-x （2）81)3(42=-x
（3）39
18
x += （4）3(1)27x +=-
（5）60444=-x （6）7645
=x
精解名题
例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长.
例2 用移位法求平方根
被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.
2.236≈7.071≈，求下列各式的值.
（1）≈ （2）≈
（3）
≈ （4≈
注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；
第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.
例3 用移位法求立方根
被开方数的小数点向右（或左）移动 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 位.
若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，
-≈≈≈的值. .
巩固练习
一、填空
1.把下列各数分别填到相应的数集里边
-
52，3π 3.14，01-，2
1
整数集合 { …}； 无理数集合{ …}； 有理数集合{ …}；
2．如果9=x ，那么x ＝_______；如果92=x ，那么=x _______． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_______． 4．算术平方根等于它本身的数有______，立方根等于本身的数有______．
5. x ==则 ，若,x x =-=则 . 6．81的平方根是_____， 210-的算术平方根是 ．
7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a = ，这个正数是 ． 8．21++a 的最小值是_______，此时a 的取值是_______．
二、选择题
1. 下列说法正确的个数是（ ）
（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数
（5）除了π之外不带根号的数都是有理数.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 若2x a =，则（ ）
A.0x >
B. 0x ≥
C. 0a >
D. 0a ≥ 3．2)3(-的值是（ ）
A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
4．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）
A ．1
B ．9
C ．4
D ．5 5．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ）
A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤
7. 若n 为正整数,则
2等于（ ）
A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）
A.01a <<
B.0a >
C. 1a <
D. 1a >
自我测试
一、填空
1. 把下列各数分别填到相应的数集里边
2π，－3.1415926927，103，，7
2
-，0.2010010001-L ，
1.732，
有理数{ …} 无理数{ …} 非负实数{ …}
2.()33
2-= ，
(
)
3
3
7-= .
3.64
1
-
的立方根是 . 4.－0.001的立方根是 ；－1的9次方根是 .
5.()=-55
3 ；36
3）（-= .
二、选择题
1.
（ ）
A. 9
B. ±3
C. 3
D. －3 2. 下列计算正确的是（ ）
A.
= B.
2=- C.
3=± D.
2=
3. 下列各数中，没有平方根的是 （ ）
A ．－2 B. 0 C. 1
3
D.
4．下列实数31
7
，π-，3.14159 ，，21中无理数有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ ）
A
B ．
C
D
6．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A ．2--
B ．4-与
C ．
D ．
三、计算 1、求值
（1） 49
144
的平方根 （2）
（3） （4）
（5） 0.0036的平方根 （6）
（7） （8）641-的立方根
（9）()次方根的531277
⎪⎭⎫ ⎝⎛-
（10） ()次方根的421.12
-
2、解方程
（1）
272=x （2）0183
=-x
（3） ()2512
=-x ； （4）()016223
=++x .。