无理数定义及其研究
无理数的数论和代数学
无理数的数论和代数学无理数是我们日常生活中经常使用的数，但是其数学性质却充满深奥和精妙的数论和代数学原理。
本文主要探讨无理数在数论和代数学中的应用和相关性质。
一、无理数的数学定义无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，如$\sqrt{2}$、$\pi$、$e$等。
无理数的存在可以用反证法证明，即假设所有实数都能表示为有理数，然后推导出矛盾，从而得出结论。
二、无理数的应用1.无理数在几何中的应用无理数是几何学中经常出现的数，比如勾股定理中的$\sqrt{2}$等，它们代表着某种长度的比例关系，与几何图形形态有着密切的联系。
在三角学中，正弦值、余弦值和正切值也是无理数，它们通过三角函数的定义与角度和长度之间建立了桥梁。
因此几何学中的许多问题，都可以通过无理数的分析和运算来求解。
2.无理数在密码学中的应用无理数的另一个重要应用是在密码学中，因为无理数可以作为一种随机数的生成器。
通过对某些无理数进行数学变换，可以生成随机的数字流，从而用来加密敏感信息。
这种利用无理数的方法被广泛应用于互联网通讯、数字货币等领域。
三、无理数的数论性质1.无理数的互质性如果将任意一个无理数表示为其最简分数形式$\frac{a}{b}$，那么$a$和$b$是互质的，即它们的最大公因数为1。
这个性质可以通过数论中的辗转相除法来证明。
2.无理数的无理数指数次幂对于任意的无理数$x$和$y$，$x^y$仍为无理数。
这个性质可以通过反证法来证明：假设$x^y$为有理数，那么可以将其表示为$\frac{a}{b}$的形式，其中$a$和$b$是整数，且$b \neq 0$。
然后可以将$x$表示为其最简分数形式$\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互质的整数。
将$x^y$代入原式，得到$(\frac{p}{q})^y =\frac{a}{b}$。
对原式两边取$b$次方，得到$p^y = aq^y$，由于$p$和$q$是互质的，所以需满足$q=1$或$q=-1$，则$y$是无理数，矛盾。
《认识无理数》课件
无理数的特征
无理数的小数部分是无限不循环的， 无法精确表示。
无理数是实数的一种，具有实数的所 有性质和运算规则。
无理数与有理数的区别
有理数是可以表示为 两个整数之比的数， 包括整数、分数和十 进制小数。
有理数和无理数在实 数域中是互斥的，即 它们不能相互转化。
无理数则无法表示为 分数形式，其小数部 分无限不循环。
古希腊数学家阿基米德首次使用圆内接多边形的方法近似计 算出圆周率的值。
根号2的发现
根号2是一个无限不循环小数，表示2的平方根。
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次证明了根号2的存在性，并对其进 行了近似计算。
03 无理数的应用
在几何学中的应用
勾股定理
无理数在几何学中最为著名的应 用是勾股定理，它说明了直角三 角形的两条直角边的平方和等于 斜边的平方，其中斜边长度是一
无理数在未来的发展前景
01
推动数学与其他学科的进一步融合
随着科学技术的不断发展，无理数将在更多领域发挥重要作用，推动数
学与其他学科的进一步融合。
02
深化实数理论的研究
随着数学的发展，实数理论的研究将不断深入，无理数作为实数理论的
基础之一，其研究也将得到进一步深化。
03
促进数学教育的发展
无理数是数学教育中的重要内容之一，随着教育的不断改革和完善，无
02 无理数的产生
无法精确表示的数
无法用分数精确表示的数
例如，0.333...虽然可以无限接近于1/3，但无法精确等于1/3。
无法用有限小数或循环小数精确表示的数
例如，0.1010010001...是一个无限不循环小数，无法用有限小数或循环小数来 表示。
圆周率π的发现
无理数
摘要在实数系中，无理数和有理数相比较，无理数更为抽象，但它在实数系中是不可缺少的，占着重要的枢纽地位。
同时，它也是数系扩充的重要组成部分，即有理数系扩充到实数系。
对于无理数证明的研究，一方面，极大地促进了数学演绎推理的发展；另一方面，也体现了数学研究的严谨性。
因此，在研究无理数时，对于一些常见无理数的证明是非常重要的。
文章首先归纳了方根型无理数的证明方法，然后利用幂级数展开式和定积分的知识论证了一些特殊类型的无理数，最后，验证了 ，e的超越性，并借助Lindemann-Weierstrass定理证明在一定条件下的代数数的三角函数值与反三角函数值的无理性。
关键词：无理数，有理数，超越数ABSTRACTIn the real number system, irrational number is more abstract than rational number, but irrational number are indispensable and occupies an important key position in the real number system. Meanwhile, they are an important part when the rational number system is expanded to the real number system. The study of the proof of irrational number greatly promotes the development of mathematical rational deductive inference. At the same time, it also shows the rigorousness of mathematics. Therefore, the proofs of some common irrational numbers are extremely important. Firstly, the article generalizes the methods to prove irrational numbers with root type. Secondly, it uses the knowledge of power series expansion and definite integral to prove some irrational numbers with special types. Finally, the article demonstrates the transcendence of and e. Moreover, it uses Lindemann-Weierstrass theorem to prove the irrationality of trigonometric function value and anti-trigonometric function value under certain conditions.Key Words:irrational number, rational number, transcendental number目录摘要 (I)ABSTRACT ............................................ I I 一引言 . (1)二有理数与无理数的定义和性质 (1)2.1有理数与无理数的定义 (1)2.2相关性质 (1)三无理数的判定方法 (3)3.1 方根型无理数的证明 (3)3.2 幂级数证明方法 (9)3.3 利用定积分证明 (12)3.4 超越数证明法 ............................................................... 错误！未定义书签。
无理数的运算与性质
无理数的运算与性质无理数是数学中的重要概念，它们具有特殊的运算和性质。
本文将从无理数的定义、运算法则和性质等方面进行探讨，以帮助读者更好地理解和应用无理数。
一、无理数的定义无理数是不能表示为两个整数之比的实数，即它们的十进制表示是无限不循环的小数。
常见的无理数有根号2、圆周率π等。
无理数与有理数共同构成了实数集，每一个实数都可以被表示为有理数和无理数的和、差、积或商。
二、无理数的运算法则1. 无理数的加法和减法无理数的加法和减法遵循相同的运算法则，即将无理数与有理数、无理数相加或相减时，保留无理数部分，有理数部分相加或相减。
例如，根号2 + 3 = 根号2 + 3，根号2 - 1 = 根号2 - 1。
2. 无理数的乘法和除法无理数的乘法和除法也遵循相同的运算法则。
无理数与无理数相乘或相除时，可以将它们的系数相乘或相除，并保留无理数部分。
例如，2倍根号3 = 2根号3，根号5除以2 = 根号5/2。
三、无理数的性质1. 无理数的无限性无理数是无限不循环的小数，它们的十进制表示没有重复的部分。
因此，无理数是无限的，无法用有限的数位表示。
2. 无理数的非周期性无理数的十进制表示不具备循环性，即它们的数位不会按照某个规律周期性地重复出现。
3. 无理数的无理性无理数不能表示为有理数的比值，它们不存在整数的比例关系。
例如，根号2不能表示为两个整数之比。
4. 无理数的稠密性无理数在实数轴上分布非常稠密，即对任意两个不相等的无理数a 和b，必然存在另一个无理数c，使得a < c < b。
5. 无理数的代数性无理数虽然无法表示为有理数的比值，但它们可以通过代数方程的根来表示。
例如，根号2是方程x^2-2=0的一个根。
四、无理数的应用无理数在数学和自然科学中有着广泛的应用。
在几何学中，无理数常常用于描述不可测量的长度，如勾股定理中的斜边长度。
在物理学中，无理数出现在自然界的各种规律中，例如圆周率在计算圆的周长和面积等方面起着重要作用。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中的一个重要概念，它指的是不能表示为两个整数的比值的数。
无理数的发展历史可以追溯到古希腊时期的毕达哥拉斯学派，而无理数的概念在数学发展中扮演着重要角色。
本文将从古希腊时期开始，介绍无理数的发展简史。
二、古希腊时期在古希腊时期，毕达哥拉斯学派是数学研究的重要力量。
然而，他们强调数的完备性和有理数的优越性，认为所有数都可以表示为两个整数的比值。
然而，当他们尝试计算直角三角形的斜边时，发现了一个问题：斜边的长度不能用有理数表示。
这个发现打破了他们对数的完备性的信念，也引发了对无理数的思考。
三、无理数的发现在毕达哥拉斯学派之后，欧几里得提出了一种新的数学方法，称为几何学。
几何学的发展推动了无理数的进一步研究。
在欧几里得的《几何原本》中，他提出了一个著名的命题：无理数存在。
这个命题的证明过程中，欧几里得使用了反证法，并给出了一个无理数的例子：边长为1的正方形的对角线长度。
欧几里得的工作为后来无理数的研究奠定了基础。
四、无理数的定义在无理数的发现之后，数学家们开始探索无理数的性质和定义。
最著名的无理数定义是由欧拉提出的。
他定义无理数为不能表示为有理数的无限循环小数的数。
这个定义在数学界得到广泛认可，并成为无理数的标准定义。
五、无理数的应用无理数的发现和研究对数学的发展产生了深远的影响，并在实际应用中发挥了重要作用。
无理数的应用领域包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：无理数的概念在几何学中得到广泛应用，例如在勾股定理的证明中，无理数的存在性是必需的。
2. 物理学：无理数的概念在物理学中也有重要应用。
例如，在波动理论中，频率和周期的关系可以用无理数来表示。
3. 金融学：金融学中的复利计算也需要用到无理数的概念。
例如，在复利计算中，无理数的近似值被广泛使用。
六、无理数的发展趋势随着数学的不断发展，无理数的研究也在不断深入。
目前，无理数的研究方向主要包括以下几个方面：1. 无理数的性质研究：数学家们正在继续研究无理数的性质，例如无理数的不可数性和无理数的逼近性等。
无理数发展简史
无理数发展简史一、引言无理数是数学中的重要概念之一，它们在数学发展史上起到了重要的推动作用。
本文将从古希腊的发现开始，逐步介绍无理数的发展历程，包括无理数的定义、性质以及应用领域等方面。
二、古希腊的发现在古希腊时期，人们已经开始研究数学，并且发现了一些无理数的存在。
最著名的例子就是勾股定理中的斜边长度与直角边长度的关系。
当直角边长度为1时，斜边长度是无理数，即√2。
这个发现震惊了当时的数学界，因为无法用两个整数的比值来表示√2。
这也是无理数这一概念的起源。
三、无理数的定义与性质无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
它们的小数部分是无限不循环的。
无理数包括无限不循环小数和无限循环小数的非循环部分。
无理数的定义使得我们能够更准确地描述实数的性质。
无理数有许多重要的性质。
首先，无理数与有理数的集合是不相交的，即不存在既是无理数又是有理数的数。
其次，无理数可以通过有理数的不断逼近来表示。
例如，可以用有理数序列逼近√2，使得逼近的精度可以任意高。
最后，无理数的运算也是合理的，可以进行加、减、乘、除等运算，结果仍然是无理数。
四、无理数的应用领域无理数在数学和其他学科中有着广泛的应用。
在几何学中，无理数的应用非常广泛，例如在勾股定理、黄金分割等方面。
在物理学中，无理数也经常出现，例如在波动现象、分子运动等方面。
在金融学中，无理数的应用可以用来计算利率、汇率等复杂的金融问题。
五、无理数的发展与未来随着数学的不断发展，无理数的研究也在不断深入。
在19世纪，无理数的性质得到了更加严格的证明，例如勒贝格定理、康托尔定理等。
同时，计算机的发展也为无理数的研究提供了更多的可能性。
未来，我们可以预见无理数的研究将会更加深入，应用领域也将会更加广泛。
六、结论无理数的发展史是数学发展史中的重要组成部分。
从古希腊的发现开始，无理数的定义与性质得到了逐步的完善。
无理数在几何学、物理学、金融学等领域中有着广泛的应用。
随着数学的不断发展和计算机的进步，无理数的研究将会更加深入，应用领域也将会更加广泛。
什么是无理数及其定义是什么
什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。
无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。
他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。
无理数定义及其研究
存档编号_ _______赣南师范学院科技学院学士学位论文无理数定义及其比较研究系别数学与信息科学系届别 2014届专业数学与应用数学学号1020151208 姓名×××指导老师×××完成日期 2014年4月目录内容摘要................................................... 1关键词..................................................... 1Abstra ct (1)K ey wor ds (1)1引言 (2)2无理数的定义 (2)2.1戴得金分割定义 (3)2.2柯西基本序列定义....................................... 4 2.3有理区间套定义.. (5)2.4十进制小数定义 (6)2.5有界单调有理数列定义................................... 9 3无理数定义对比研究.. (10)3.1无理数定义的异同点.................................... 10 3.2无理数定义的优缺点 (11)3.3无理数定义的等价性 (11)参考文献 (14)内容摘要：无理数是有理数域扩充到实数域的重要内容，也是贯穿在我们中学及大学学习过程的重要内容。
只有完全了解无理数，才能更好地掌握无理数的定义。
本文主要谈及无理数的各种定义，并且对于这些定义作出对比及研究。
通过对无理数定义的不断比较研究，发现这些定义有着我们意想不到的地方。
找到无理数的定义之后，接下来就去探索定义对于中学生的影响。
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存档编号_ _______ 赣南师范学院科技学院学士学位论文无理数定义及其比较研究系别数学与信息科学系届别 2014届专业数学与应用数学学号 **********姓名×××指导老师×××完成日期 2014年4月目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1引言 (2)2 无理数的定义 (2)2.1戴得金分割定义 (3)2.2柯西基本序列定义 (4)2.3有理区间套定义 (5)2.4十进制小数定义 (6)2.5有界单调有理数列定义 (9)3无理数定义对比研究 (10)3.1无理数定义的异同点 (10)3.2无理数定义的优缺点 (11)3.3无理数定义的等价性 (11)参考文献 (14)内容摘要：无理数是有理数域扩充到实数域的重要内容，也是贯穿在我们中学及大学学习过程的重要内容。
只有完全了解无理数，才能更好地掌握无理数的定义。
本文主要谈及无理数的各种定义，并且对于这些定义作出对比及研究。
通过对无理数定义的不断比较研究，发现这些定义有着我们意想不到的地方。
找到无理数的定义之后，接下来就去探索定义对于中学生的影响。
关键词：无理数定义研究Abstract: irrational number is a rational number domain extension to the important content of the real number, is run through our secondary and university education an important part of the learning process. Only fully understand irrational numbers, in order to better grasp the definition of irrational numbers. This concerns mainly the various definitions of the irrational number, and these definitions for comparison and study. Continually through the definition of the irrational number a comparative study, found that those definitions had never imagined. After you find the definition of the irrational number, next to explore the definition of influence of middle school students.Key words：irrational number definition study1 引言1．1研究意义无理数是有理数系扩展到实数系的重要内容，在实数系中起着重要的枢纽地位。
我国的全日制义务教育数学课程标准(实验稿)指出:1、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
2、能用有理数估计一个无理数的大致范围。
可以知道无理数是中学数学教学的重要内容之一。
所以无理数的定义是一个必不可少的研究领域。
1.2无理数的发展历史公元前500年，古希腊的毕达哥拉斯学派的弟子希帕苏斯发现了一个惊人的事实，一个正方形对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指可公度量数即有理数）的哲理大相径庭。
希帕苏斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限延伸直线等同看待，有理数并没有布满数轴上所有的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。
而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的算术连续系统的设想彻底地破灭了。
不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机。
由无理数引发的第一次数学危机一直延续到19世纪下半叶。
1872年，德国著名的数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并将实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了在数学史上持续2000多年的第一次大危机。
2 无理数的定义形式上不同的实数理论也就因为确定空隙的方法不同而互相区分，它们主要有：戴德金用有理数的分割的方法，康托尔用有理数的基本列的方法，魏尔斯特拉斯用无穷（非循环）十进小数的方法，以及用端点为有理数点的闭区间套和有界单调有理数列的方法。
2．1戴德金分割定义2.1.1戴德金方法定义 2.1 设，与A A 都是有理数集Q 的子集，且满足下列条件：()Φ≠A Φ≠A =A ⋃A ，，且Q ,1 (),a a a a 2<A ∈A ∈，有与任意对任意，，。
(),a c a 3c <A ∈A ∈，使，总存在对任意 称为有理数集Q 的分划，简称有理分划，表为(),,A A ，称A 为有理分划的下组，,A 为有理分划的上组。
一个有理分划(),,A A 满足三条：第一条是说，将有理数集Q 分为两个子集，与A A ，且，与A A 都是非空集。
第二条是说，下组A 中的数都小于上组，A 中的数，即按照有理数集的序将有理数集分为两组，与A A 。
第三条是说，下组A 中任意一个有理数a ，A 中总存在比a 大的有理数c ，即A 中不存在最大的有理数。
有下面定义： 定义2.2 对任意有理分划()，与B B ，若上组,B 中不存在最小数，称分划()，与B B 是一个无理数集。
有理数集与无理数集的并集称为实数集，实数集与有理数分划集是一一对应的。
任意实数s 都对应一个有理分划()，与E E ，即(),,E E =s 。
若上组,E 中存在最小数，则s 是有理数；若上组,E 中不存在最小数，则s 是无理数。
2.1.2举例例1.设r 是任意一个有理数，下组A 与上组,A 分别是 {}{},,与,,r q Q q q A r p Q p p A ≥∈=<∈= 验证(),,A A 是一个有理分划。
事实上，不难验证，条件()1与条件()2成立。
对任意有理数r a 即,a <∈A ，由有理数Q 的稠密性，总存在有理数r.c a 使,c <<显然，()成立。
3条件.c A ∈有理分划(),,A A 的上组，A 中有最小数，最小数是r 。
2.1.3定义的分析讨论 从逻辑上说，任意一个有理分划()，与A A 的上组，A 只有两种可能：一种是上组中存在最小数；一种是上组中不存在最小数。
显然，任意有理数a 都对应唯一一个上组，A 有最小数a 的有理分划()，与A A ，反之任意上组，A 有最小数a 的有理分划()，与A A 都对应唯一一个有理数a 。
有理数集Q 与上组,B 中有最小数的有理分划﹛()，与A A ﹜是一一对应的。
如果有理分划()，与B B 的上组,B不存在最小数，那么有理分划()，与B B 就不对应有理数。
2.2柯西基本序列定义[][]中其他元称为无理数。
理数，中的元仍被称为有的有理数子集，为的映射像并称c c R Q R ψψψQ 2.2.2举例{}{}中收敛。
R 在a 中的一个柯西列，则R 为a 若c N n n c N n n ∈∈{}[]{}{}[][]()。
n a 并且R ，则a ；记R 是个基本列，则a 不难验证.1a a 使,a ，存在R a 是柯西列，则对每个a ncn c N n n n n n c n n ∞→→∈=∈<-∈∈∈ααααn Q[][][],a a 所以。
2a 时，n n 当n ，Q 故对n n n n n 00εααααεαε<-+-≤-<-≥∃∈+ ()∞→→n n αα2.2.3定义的分析讨论不难从定义之中看出，Q 是一个单射。
有理数集ψ的性质通过映射[].Q ψψ可完全传递给从运算与结构的角度看[]Q Q ψ与是没有什么区别的，它们只是表示形式上不同。
对于[]()().00,,c r r Q r ==∈ψψ特别地，记记2.3有理区间套序列定义2.3.1 区间套方法有理点在实轴上是是稠密的，并且在任何两个实数之间总是存在着有理数。
这使我们有可能完全依据有理数的顺序关系来严格地定义实数。
定义2.6有理区间套序列，乃是具有有理数端点n n b a ，的闭区间序列n J ，而每一个区间都包含在前一个区间之中，这些区间的长度构成序列：1-n n n 1-n b b a a ≤≤≤，并且()0.a -b n n n lim =∞→因为区间套序列中的每一个区间[]n n n b a J ，=都包含后面所有的区间，所以位于任何区间n J 之外的有理数r 也位于后面所有区间之外，并且在同一侧。
因此，有理区间套序列将一切有理数分割为三类。
第一类是由位于n 足够大时的那些n J 区间左侧，或者对于几乎所有的n 来说有n a r <的有理数r 组成的。
第二类是由包含在所有区间n J 中的有理数r 组成的。
这一类最多只含有一个数，因为当n 增加时区间n J 的长度趋近于零。
第三类是由对于几乎所有的n 有n b r >的有理数r 组成的。
如果第二类不是空的，那么它就是由唯一的有理数r 组成的。
在这种情况下，第一类是由小于r 的有理数组成的，第三类是由大于r 的有理数组成的。
于是我们就说，区间套序列n J 代表有理数r 。
如：区间套序列⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n r n r 1,1代表数r 。
如果第二类是空的，那么区间套序列就不代表有理数；这时这些区间套序列便用来代表无理数。
2.3.2举例n n n n b a 有n ，并且对于每一个b b lim ，a a lim 如果≤== b a 则≤。
即使严格地假定，b a n n <我们只能说b a ≤， （1，都具有极限a n11b 和n 21a 例如，两个序列n n n >-=-=），而不能排除极限相等的可能性。
关于极限，可借助有理数的零序列来表述。
有理数的零序列是这样的有理数序列，，a ，a 21 它满足.0a lim n n =∞→ 任何正的有理数ε，不等式ε<n a 对于几乎所有的n 都成立。
显然，序列n1a n =是零序列。
2.3.3定义的分析讨论对于上述目的，区间套序列中的特定的区间[]n n b a ,的选择并不重要；本质只在于用此序列把有理数分割为三类这一点。
因为它告诉我们无理数在何处插入到有理数中去。