第一章练习册答案

第一草质点运动学1」质点作曲线运动，在时刻/质点的位失为r,速度为v,速率为卩，/至（r + Ar）时间内的位移为路程为山，位失大小的变化量为（或称A|r|）,平均速度为V,平均速率为卩。

(1)根据上述情况，则必有（B ）(A)|Ar|= A J = Ar(B)|仪|工山工当M T 0时有|dr| =ds H dr(C)|A T|H\・H A5,当4-> 0 时有|dr| =dr H d$(D)|Ar| =山工Ar ,当△/ T 0 时有|dr|=dr = ds(2)根据上述情况，则必有（C ）(A) |v| = v,|v| = v (B) |v|^v,|v|^v(C) |v| = V,|v| h V(D) |v| 丰 V, |v| = V1-2 一运动质点在某瞬时位于位失r（x,y）的端点处，对其速度的大小有四种意见，即dr dr (1) _： (2)—d/ dr (3)d5d7下述判断正确的是（D ）（A）只有（1）（2）正确:（A）只有（2）（3）正确: （A）只有（2）正确（A）只有（3）（4）正确1-3质点作曲线运动, I•表示位置矢量，v表示速度，a表示加速度，s表示路程，勺表示切向加速度。

对下列表达式，即" dr ds .（1）—= a ：（ 2）—= v : （3）— = v .（4）— = cidr dr dr dr下述判断正确的是（D ）（A）只有（1）（4）是对的：（A）只有（2）（4）是对的（A）只有（2）是对的；（A）只有（3）是对的1-4 -个质点在做圆周运动时，则有（B ）（A）切向加速度一泄改变，法向加速度也改变（B）切向加速度可能不变，法向加速度一泄改变（C）切向加速度可能不变，法向加速度不变（D）切向加速度一定改变，法向加速度不变1-5有一质点作直线运动，其运动方程为x=6C2/3 （SI制），试求:（1）第二秒内的平均速度；（2）第三秒末的速度：（3）第一秒末的加速度：解：（1）先求出质点在第二秒内的位移。

由运动方程可知 匸Is, Xi=6Xf-2Xl 3=4mZ=2s, x ：=6 X 2:-2 X 23=8mdt dt把t=ls 代入上式，可得第一秒末的加速度为 «=12-12Xl=Om./s ：（4）质点作变加速直线运动。

1-6已知一质点的运动方程为F=2/f+（2-尸）了（SI 制）。

（1）求出t = \s,和/ = 2s 时质点的位矢：⑵ 求出1$末和2s 末的速度；（3）求出加速度。

解：（1） t = \s 时 n = 2/4- j m, t = 2s 时 n = 4/ —2 j m⑵质点的运动的速度八加丄加s ：（3）质点运动的加速度a= =- m/s 2丁 2j dt1-7 —质点沿y 轴作直线运动，苴速度大小v =8 + 3/2,单位为SI 制。

质点的初始位置在y 轴正方向10 m 处，试求：（1） / = 2s 时，质点的加速度：（2）质点的运动方程。

解：根据题意可知，t = Os 时，v^Sms -1» y （j= 10mdv（1） 质点在/ = 2s 时的加速度a 为£ =^6f= 12ms-2-dt（2） 质点的运动方程y 为dy = v^dt ,两边积分f\/v = [r（8 + 3r 2»因此 y = 10 + 8/ +13mJio JO ■_某质点在xoy 平而上作加速运动，加速度広=~+ - 2。

在零时刻的速度为零,位过矢=3i 2t j(m Is) 试求：（1） /时刻的速度和位矢；（2）质点在平而上的轨迹方程。

_ _ u f _ _解：（1） /时刻的速度v 为dv = adt =⑶+ 2/刀力，积分得 £ dv = £ （3i + 2fj ）dt积分得j dr = f (3ti +12j)dt ,因此 r = r + j = (5 + Lt 2)i + L j（2）由厂的表达式可得质点的运动方程第二秒内的平均速度为:F_^2-y. =S ~4 = 4/Z /^-1Ar 1（2）把位移对时间求导，即得质点的速度v = cl L=匕(6/2_2八)=⑵一 6八 dt dt把t=3s 代入上式，可得第三秒末的速度为 v=12x3-6x32=-18/n ・S 」（3）把速度对时间求导，即得质点的加速度/=ls 时 \\ = 2/ — 2 /jn/s, t = 2s 时 v^= 2/ — 4ym/s —“丄、亠亠-亦 = 12—12/\x = 5+^ t 2r1乞 1「2 严j /3 消去两式中的/,便得轨迹方程〉，=礼亍（—5” m门3 3八9 一质点具有恒左加速度a = （6f+ 4｝）（/?z=.r 2）,在/二0时，其速度为零，位置矢量为r o = lO 厂伽）。

求:（1） 在任意时刻的速度和位置矢量：（2）质点在代評上的轨迹方程，并画岀轨迹的示意图。

解：（1）Fll «-可得：dv = adt两边积分:注意到：％ = 0可得：v = （6/厂+ 4Fj ）dt （m ・L ） 产_『_ f -两边积分：dr = [ vdt = [ （6〃 + 4（/ ）df注意到：用=10厂（加）可得：尸=吒+⑶2厂+2t 2~J ） =「|_（10+ 3/2 ）厂+ It 2禅加）（2）由运动学方程可得其分量式为：x （/） = 10 + 3f2 y （t ） = 2t 2消去八得3y = 2x-20,它为直线方程，如左图所示。

这里由；=10/~可得：t = 0,也=10 （〃7）, vo = 0 1・10 一汽艇以速率巾沿直线行驶。

发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度” 加速度-妁，英中£为常数。

求发动机关闭后，（1）在时刻/汽艇的速度：（2）汽艇能滑行的距离。

解：本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。

dvdv v 小,‘（1）因为 a =_ = -kv, dt，1J— = -kdt,所以积分得li 丄=-kt ♦即： v =町円Jv dv ds dvu $（2）因为一= ------- =卩一 =_kv ,所以 dv = -k ds , v 0 = ksdt ds dt ds 九 J （）发动机关闭后汽艇能滑行的距离为$==%k如利用=讥“进行计算，/的积分上下限取s 与0,可得同样结果。

想一想其合理性。

1-11 —物体沿X 轴作直线运动，其加速度a = -kv 2, R 是常数。

在/ = 0时，v = v 0, x = 0 » （1）求速率随坐标变化的规律：（2）求坐标和速率随时间变化的规律。

解：本题注意变疑变换。

（1）因为“=匸=匸仝=卩匸=一加2,所以[叟=_鸟匸必 得in[ = -总’即 vdt dx dt dx Jo vJ//v == +1/M又由忌”可得df= \~cbdt成正比且方向相反的dv rdv 1(2)因为a= — = ^kv 2,所以J —h 〃可得v = v 0/(v^+l)dtv/2 0dx ”1又因为 v=* 所以 Y ^v= vdt = v 0 dt > 可得 x= ln(v kt+\) 亦J 。

Jo Jo v/t +1 I 01J2潜水艇在下沉力不大的情况下，自静止开始以加速度么=皿」竖直下沉（A, B 为恒虽：），求任一时 刻的速度和运动方程。

小、解：以潜水艇开始运动处为坐标原点，竖直向下为正方向。

按质点运动的加速度的左义式。

=_dtdv=adt=Ae' l dt根据题目的初始条件，积分^dv=^Ae~'dt可得潜水艇在任意时刻的速度为得潜水艇在任意时刻的位置坐标，即运动方程为x = —f —l ）+A/21-13已知质点作半径为/? = 0.10 m 的圆周运动，其角位置与时间的关系为=2 + 4八（其中的单位为rad, F 的单位为s ）。

试求：（1）当/ = 2s 时，角速度 和角加速度：（2）当/ = 2s 时，切向加速度务和法 向加速度a n o解：（1）质点的角速度及角加速度为='112,2,=〃 =24/dtjT当/ = 2s 时， =12x22rad^s~l= 4Srad=s~[,=24x2rad=s~2= 48“〃廿’（2）质点的切向加速度和法向加速度为a,=R =24&, “ =/?2=144/?/4当 / = 2$ 时，a = R = 24 x 0」x 2/? As~2= 4.8/??^s -2a n = 144 xO.lx24 /n=.r 2 = 230.4/n=r 21-14 -球以30m. s'1的速度水平抛岀.试求5s 钟后加速度的切向分量和法向分量。

解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为再根据速度的上义式得 dx v =— dt dx = vdt = — 0 ~1 ,y = _gi ・ 2将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为 $（吋）=%atd 八 “ 万（尹）W 因而小球在［时刻速度的大小为+ y = J%2 + (g/)2故小球在/时刻切向加速度的大小为J '、由因为小球作加速度d 二£的抛体运动,所以在任意时刻，它的切 尿 +(0)2向加速度与法向加速度满足：g=a n +d 且互相垂直。

由三角形的关系，可求得法向加速度为: 4严Jg?-宀=十肌 代入数据，得+ (g/)2 9.82X 5-2, 9.8x30_2q = / = 8.36/M - S a … = , = 5.12m SV3O 2 + (9.8x 5)2 ^O 2 + (9.8 x 5)2在讣算法向加速度时，可以先写出它的轨迹方程，再算岀曲率半径和速度大小，最后算出法向加速度。

但 是这样讣算是相半复杂的。

在本题中，已经知道总的加速度和切向加速度，可以利用它们三者之间的关系求 解。

】-15如图所示，一卷扬机的鼓轮自静止开始作匀角加速度转动，水平绞索上的A 点经3s 后到达鼓轮边缘B点处。

已知~AB = 0.45 m,鼓轮的半径为/? = 0.5m”求A 到达最低点C 时的速度与加速度。

解：4点的加速度也为卷扬机边缘的切向加速度4，由以及S = AZF 可得：a =^=o.iom. s-2" rT 设到达最低点的速度为u ,于是:v = j2aS =』2g （S + R ）=0.636 m. s 方向为沿点C 的切向方向向左。

a n = — = 0.808 m. sRa = Ja ： + a ： = 0-841 m. s"-, = arctg 心=82；57’ 1-16 -质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m 的圆形轨道运动。