数学人教B版必修41.2.2同角三角函数的基本关系式(一)学案缺答案
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系学案1(无答案)新人教A版必修4(2
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§1。
2。
2同角三角函数的基本关系（1） 【学习目标】：1、能根据三角函数的定义推导出同角三角函数基本关系式，在推导过程中体会数形结合的思想。
2、能正确运用基本关系式进行三角函数式的运算【学习重难点】：能正确运用基本关系式进行三角函数式的运算。
【学习过程】：一：知识回顾:1、已知角α的终边经过点)43(-，P ，求α的三个函数值。
2、三角函数在各象限内的符号。
二：自主探究1、观察并计算：（1）=+ 30cos 30sin 22 =+ 45cos 45sin 222）（（3）=+ 90cos 90sin 22 （4)猜想：=+αα22cos sin 证明：如右图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ，以正弦线 、余弦线 和半径 三者的长构成直角三角形,而且1=OP , 由勾股定理有：122=+MP OM ，设),(y x P ，则 、 即 。
显然，当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立。
这样我们得到：同角三角函数的基本关系平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和 、即 。
O xy M TP A注意：“同角”的概念与角的表达形式无关,如:13cos 3sin 22=+αα，2tan 2cos 2sin ααα= 2、观察并计算：(1)=30cos 30sin (2）= 60cos 60sin（3)=180cos 180sin (4）猜想：=ααcos sin根据三角函数的定义,当2ππα+≠k Z k ∈(）时,有 .这样我们得到：同角三角函数的基本关系商的关系:同一个角α的正弦、余弦的商等于 即 。
【学案】人教版高中数学必修四 同角三角函数的基本关系(解析版)
1.2.2 同角三角函数的基本关系一、重点难点解读知识点一 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α⎝⎛⎭⎫a ≠k π＋π2，k ∈Z . 知识点二 公式变形(1)sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2 α. (2)sin α＝cos α·tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z ，cos α＝sin αtan α⎝⎛⎭⎫α≠k π2，k ∈Z . 温馨提示 ①sin 2 α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2 α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α的平方的正弦．②必须是同角，如：sin 22α＋cos 22α＝1，sin α2cos α2＝tan α2等都成立，而sin 2α＋cos 2β＝1不成立．二、常考题型归类题型一 利用同角三角函数的基本关系求值例1 (1)已知α为第三象限的角，且tan α＝13，则cos α的值为( )A.31010 B ．±31010 C ．－31010 D ．－1010(2)已知sin α＋cos α＝13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．(1)解析：由题意tan α＝sin αcos α＝13，故cos α＝3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＝110，因α为第三象限的角，有sin α＝－1010，故cos α＝－31010.答案：C(2)解：因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0<α<π，且sin α·cos α<0， 所以sin α>0，cos α<0. 所以sin α－cos α>0，又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.例2 (1)sinα＝13且α为第二象限的角，求cosα，tanα.【解析】 ∵sinα＝13，α在第二象限，∴cosα＝－1－sin 2α＝－1－（13）2＝－223.∴tanα＝sinαcosα＝－24.(2) 已知sinα＝－45，求cosα，tanα的值．【思路分析】 先根据题设确定α所在的象限，然后求值．【解析】 ∵sinα＝－45<0，∴α是第三或第四象限角．①若α是第三象限角，则cosα＝－1－sin 2α＝－35，tanα＝sinαcosα＝43.②若α是第四象限角，则cosα ＝1－sin 2α＝35，tanα＝sinαcosα＝－43.(3) 已知tanα＝－2，求sinα，cosα.【解析】 ∵tanα＝－2，∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，将sinα＝－2cosα代入sin 2α＋cos 2α＝1，得5cos 2α＝1.∴cosα＝－55，sinα＝－2×(－55)＝255.当α是第四象限角时，同理可得5cos 2α＝1.故cosα＝55，sinα＝－2×55＝－255.变式题1 (1)已知cosα＝－817，求sinα，tanα的值．【解析】 因为cosα<0，且cosα≠－1，所以α是第二或第三象限角． 如果α是第二象限角，那么sinα＝1－cos 2α＝1－（－817）2＝1517，tanα＝sinαcosα＝1517×(－178)＝－158.如果α是第三象限角，那么sinα＝－1517，tanα＝158.(2)已知tanα＝－33，则cosα＝________．【答案】 ±32变式题2 (1)已知sin α＝15，求cos α，tan α；(2)已知tan α＝3，求3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α.解：(1)因为sin α＝15＞0，且sin α≠1，所以α是第一或第二象限角． ①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin2α＝－265，tan α＝－612.(2)分子、分母同除以cos2α， 得3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α＝3tan2α－12tan2α－6. 又tan α＝3，所以3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α＝3×32－12×32－6＝136.题型二 利用同角三角函数关系式化简及求值例1 (1)若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α(2)化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α，其中α为第三象限的角．解析：(1) sin 2α－sin 4α＝ sin 2α（1－sin 2α）＝ sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为a 为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.答案：B(2)解：因为α为第三象限的角，所以－1<sin α<0，－1<cos α<0，1＋sin α>0，1－sin α>0.则1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝（1＋sin α）2（1－sin α）（1＋sin α）－（1－sin α）2（1－sin α）（1＋sin α）＝（1＋sin α）－（1－sin α）|cos α|＝2sin α－cos α＝－2tan α.例2 (1)已知tanα＝23，求cosα－sinαcosα＋sinα＋cosα＋sinαcosα－sinα的值．（2）已知tanα＝2，求2sin 2α－3sinαcosα－2cos 2α的值．【思路分析】 如果由tanα＝sinαcosα＝23和sin 2α＋cos 2α＝1求sinα，cosα的值，再代入原式求值，这里求sinα，cosα的时候，涉及到开平方，对角α要讨论，显然不可取，因此可考虑把原式转化为只含tanα的表达式．【解析】 (1)cosα－sinαcosα＋sinα＋cosα＋sinαcosα－sinα＝1－tanα1＋tanα＋1＋tanα1－tanα＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)2sin 2α－3sinαcosα－2cos 2α ＝2sin 2α－3sinαcosα－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2αcos 2α－3sinαcosαcos 2α－2cos 2αcos 2αsin 2αcos 2α＋cos 2αcos 2α＝2tan 2α－3tanα－2tan 2α＋1＝2×22－3×2－222＋1＝0. 例3 已知θ是三角形的内角，sinθ＋cosθ＝15，求下列各式的值：(1)s inθ－cosθ； (2)tanθ.【思路分析】 由完全平方求出sinθcosθ，得sinθ－cosθ，利用方程联立即可求出sinθ、cosθ，进而求tanθ.【解析】 (1)∵sinθ＋cosθ＝15，两边平方，得1＋2sinθcosθ＝125，2sinθcosθ＝－2425，∵θ为三角形的内角， ∴cosθ<0，90°<θ<180°，而(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1＋2425＝4925，(2)由⎩⎨⎧sinθ＋cosθ＝15，sinθ－cosθ＝75，解得⎩⎨⎧sinθ＝45，cosθ＝－35.∴tanθ＝－43.∴sinθ－cosθ＝75.例4 (1)化简sin 2α·tanα＋cos 2α·1tanα＋2sinα·cosα.【思路分析】 用同角三角函数关系式求解．【解析】 原式＝sin 2α·sinαcosα＋cos 2α·cosαsinα＋2sinα·cosα＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsinα·cosα＝1sinαcosα.(2)1－2sinαcosα＋1＋2sinαcosα(0<α<π2)．【解析】 原式＝sin 2α＋cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＋cos 2α＋2sinαcosα ＝（sinα－cosα）2＋（sinα＋cosα）2 ＝|sinα－cosα|＋|sinα＋cosα|，当0<α<π4时，原式＝cosα－sinα＋sinα＋cosα＝2cosα；当α＝π4时，原式＝2；当π4<α<π2时，原式＝sinα－cosα＋sinα＋cosα＝2sinα.变式题1 设tanα＝2，求1＋2sinαcosαsin 2α－cos 2α的值．【解析】 1＋2sinαcosαsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcosαsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tanαtan 2α－1＝22＋1＋2×222－1＝93＝3. 变式题2 (1)化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．(2)化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β.(1)解析：sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α. 答案：－2tan 2α(2)解：原式＝sin 2α(1－sin 2β)＋sin 2β＋cos 2αcos 2β＝ sin 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β＋sin 2β＝ (sin 2α＋cos 2α)cos 2β＋sin 2β＝1.变式题3 (1)若α是三角形的一个内角且sinα＋cosα＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【解析】 ∵(sinα＋cosα)2＝49，∴sinα·cosα＝－518.∴sinα>0，cosα<0.∴90°<α<180°. 【答案】 D(2)已知sinα＋cosα＝m(|m|≤2，且|m|≠1)，则 ①sinα·cosα＝________． ②sin 3α＋cos 3α＝________． ③sin 4α＋cos 4α＝________．【答案】 ①m 2－12 ②3m －m 32 ③1＋2m 2－m 42探究 对于三角函数式sinα＋cosα、sinα－cosα、sinαcosα，它们之间可通过(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα进行转换．若已知sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα中三者之一，可求其余两个函数式：如设sinα＋cosα＝t ，则sinα·cosα＝12(t 2－1)，sin 3α＋cos 3α＝12t(3－t 2)，sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2α·cos 2α＝1－12(t 2－1)2.这样利用方程的思想解三角题在三角函数中应用比较广泛．题型三 利用同角三角函数关系式证明例1 求证：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α.[常规解答] 法一：左边＝（sin α－cos α＋1）（sin α＋cos α＋1）（sin α＋cos α－1）（sin α＋cos α＋1）＝（sin α＋1）2－cos 2α（sin α＋cos α）2－1＝sin 2α＋2sin α＋1－1＋sin 2 α1＋2sin αcos α－1＝2sin α（1＋sin α）2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边．∴原式成立．法二：左边—右边＝所以，左边＝右边，原式成立． [巧妙解法] 由cos 2α＝1－sin 2α得 －cos 2α＝(sin α＋1)(sin α－1),所以sin α＋1cos α＝－cos αsin α－1，由等比定理得sin α＋1cos α＝sin α＋1－cos αcos α＋sin α－1，所以，原式成立.例2 求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ·(1＋1tanθ)＝1sinθ＋1cosθ.【思路分析】 化简的方向一般采用切化弦的方式，即把左边的正切值用tanθ＝sinθcosθ换掉．【解析】 左边＝sinθ(1＋sinθcosθ)＋cosθ·(1＋cosθsinθ)＝sinθ＋sin 2θcosθ＋cosθ＋cos 2θsinθ＝(sinθ＋cos 2θsinθ)＋(sin 2θcosθ＋cosθ)＝(sin 2θ＋cos 2θsinθ)＋(sin 2θ＋cos 2θcosθ)＝1sinθ＋1cosθ.变式题1 证明下列恒等式．(1)sinθ1＋cosθ＋1＋cosθ＝2；(2)2(1＋sinα)(1＋cosα)＝(1＋sinα＋cosα)2.【证明】 (1)左边＝sin 2θ＋（1＋cosθ）2sinθ（1＋cosθ）＝2＋2cosθsinθ（1＋cosθ）＝2sinθ＝右边； (2)左边＝2(1＋sinα＋cosα＋sinαcosα) ＝2＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα，右边＝1＋sin 2α＋cos 2α＋2sinα＋2cosα＋2sinαcosα＝2sinα＋2cosα＋2＋2sinαcosα.变式题2 求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[常规解答] 左边＝1＋1－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝ 1＋sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)＝ 1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2＝ (1－sin α＋cos α)2＝右边．[巧妙解法] 令1－sin α＝x ，cos α＝y ， 则(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x .故左边＝2x (1＋y )＝2x ＋2xy ＝x 2＋y 2＋2xy ＝(x ＋y )2＝ 右边．题型四 综合应用例 已知sinθ、cosθ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根，求：(1) sin 3θ＋cos 3θ的值； (2)tanθ＋1tanθ的值．【解析】 由韦达定理得sinθ＋cosθ＝a ，sinθ·cosθ＝a ， ∴a 2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋2a. ∴a 2－2a －1＝0，解得a ＝1±2.又方程有两个根，故Δ＝a 2－4a ≥0，∴a ≤0或a ≥4. ∴a ＝1－ 2.于是有sinθ＋cosθ＝sinθ·cosθ＝1－ 2.(1)sin 3θ＋cos 3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin 2θ－sinθ·cosθ＋cos 2θ)＝(1－2)(1－1＋2)＝2－2.(2)tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin 2θ＋cos 2θsinθcosθ＝1sinθcosθ＝11－2＝－2－1. 探究 解答此类求值问题的具体步骤：(1)利用韦达定理，用a 的代数式表示sinθ＋cosθ与sinθ·cosθ；(2)利用同角三角函数的基本关系sin 2θ＋cos 2θ＝1，构造关于a 的方程； (3)解方程，求a 的值，结合题意，对a 的值进行取舍； (4)将所求式用sinθ＋cosθ，sinθ·cosθ表示，进而求解.三、课后强化训练A 级 基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160° D ．±|cos 160°| 解析： 1－sin 2160°＝ cos 2160°＝ |cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34. 答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( ) A ．0 B ．8 C ．0或8 D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32 C.34 D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－34＝－32.答案：B 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0，所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－ 1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30si n α，所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813. 10．化简：tan α·1sin2α－1(α是第二象限角)．解：tan α·1sin2α－1＝tan α·1－sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α.因为α为第二象限角， 所以sin α＞0，c os α＜0，所以原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.B 级 能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B2．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析： 1－cos α1＋cos α＝ （1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z.答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α·⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边． 即原等式成立．。
数学人教B版高中必修41.2.2同角三角函数的基本关系优秀导学案
1.2.2 同角三角函数的基本关系教学目标：1.知识目标：(1)掌握同角三角函数的基本关系式。
(2)已知某角的一个三角函数值，会求其余的各三角函数值。
2.过程与方法：理解并掌握同角三角函数的基本关系式，并能应用它解决一类三角函数的求值问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：(1)通过师生之间的交流与合作，实现共同探究，教学相长的教学情境。
(2)与学生互动交流，培养学生自主，合作，探究精神。
通过关系式的推导和应用，让学生发现事物之间存在普遍联系。
教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导和应用。
教学难点：已知某一个三角函数值，求其余各个三角函数值时，对于符号的确定。
教学课型：新授课教学课时：一课时教学方法：启发式，讲练结合法。
通过设置问题，引导学生从特殊到一般导出公式，通过例题和练习题的解决处理，深化对公式的理解记忆及灵活运用。
教学用具：多媒体教学过程：一：复习引入前面我们学习了任意角的三角函数，教师提出问题1：同学们回忆一下任意角的三角函数是以什么来进行定义的？--------学生回答。
（教师总结：以单位圆上点的坐标来定义的。
）板书内容。
在上一节内容我们还学习了正弦线，余弦线以及正切线。
（学生指出位置）同学们发现了正弦线，余弦线，半径之间可以构成一个直角三角形。
这样得到正弦线，余弦线，圆半径之间可以得出什么关系式？引领学生回答。
问题2：同学们观察一下用三角函数如何转化表示这一个关系呢？（学生思考）问题3：同角之间的正弦，余弦与正切之间又可以怎样表示？（学生观察，板书）这只是我们猜想的任意角三角函数的基本关系，那是否对于任意角的三角函数都有这样的基本关系呢？在探究其结论之前我们有一个方法，可以先从特殊的情况进行入手，在推广到一般，这个方法称为？学生回答。
给出特殊三角函数表格，请学生回答验证。
下面我们来进行一个严格的证明。
二：新知探究如图，以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，而且OP ＝1.由勾股定理有OM 2＋MP 2＝1.因此x 2＋y 2＝1，即sin 2α＋cos 2α＝1(等式1)．显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．根据三角函数的定义，当α≠k π＋π2，k ∈Z 时，有sin αcos α＝tan α(等式2)．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．问题5：如果角a 的终边不在单位圆上，那得到的结论一样吗？（答案是肯定的。
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含答案
1.2.3同角三角函数的基本关系式学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin290°＋cos290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它.思考2由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？梳理(1)同角三角函数的基本关系式①平方关系：________________________________.②商数关系：________________________________.(2)同角三角函数基本关系式的变形①sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝________；cos2α＝________.②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝____________；cos α＝____________.类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B.－125 C.512 D.－512反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.跟踪训练2 已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值.类型二 利用同角三角函数关系化简例3 已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3 化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).类型三 利用同角三角函数关系证明例4 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).(3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0). (4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.跟踪训练4 求证：cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x .类型四 齐次式求值问题例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值.(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.反思与感悟 (1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式.跟踪训练5 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值. (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A.－43 B.34 C.±34 D.±432.已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于( ) A.74 B.－916 C.－932 D.9323.化简1－sin 23π5的结果是( ) A.cos 3π5 B.sin 3π5C.－cos 3π5D.－sin 3π5 4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________. 5.已知sin α＝15，求cos α，tan α.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换.(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.答案精析问题导学知识点思考1 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义， 得sin α＝y ，cos α＝x .由勾股定理得sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 ∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α. 梳理 (1)①sin 2α＋cos 2α＝1②tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) (2)①1－cos 2α 1－sin 2α②cos αtan αsin αtan α题型探究例1 D跟踪训练1 cos α＝－35， sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.跟踪训练2 解 ∵cos α＝－513<0， ∴α是第二或第三象限角．(1)若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213， tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125， 故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0. (2)若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－513)2＝－1213， tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125， 故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0. 综上可知，13sin α＋5tan α＝0.例3 解 原式＝(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α) ＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α ＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α＜0.∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α(注意象限、符号)． 跟踪训练3 (1)1 (2)tan α例4 证明∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．跟踪训练4 证明 (比较法——作差)∵cos x1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x＝cos 2x －cos 2x (1－sin x )cos x＝0， ∴cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x . 例5 解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 跟踪训练5 (1)89 (2)1310当堂训练1．A 2.C 3.C 4.－255．解 ∵sin α＝15>0， ∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α ＝ 1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612； 当α为第二象限角时，cos α＝－265， tan α＝－612.。
高中人教版数学必修4学案：1.2.2 同角三角函数的基本关系 【含解析】
1.2.2同角三角函数的基本关系考试标准课标要点学考要求高考要求同角三角函数的基本关系b b同角三角函数关系的应用b b知识导图学法指导1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆．2．理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型，领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用.同角三角函数的基本关系式状元随笔(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．(2)注意公式成立的条件．(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．(4)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin 2π3＋cos 2π4＝1.( ) (2)sin α2＋cos α2＝1.( )(3)对于任意角α都有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．若α为第二象限角，且sin α＝23，则cos α＝( )A ．－53 B.13C.53 D ．－13 解析：∵α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－53.答案：A3．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α的值是( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255解析：∵α∈(π，3π2)，∴sin α<0.由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 答案：A4．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：C所以cos x ＋sin x ＝－355.(2)由⎩⎨⎧cos x ＋sin x ＝－355，cos x －sin x ＝55，解得cos x ＝－55，sin x ＝－255，所以2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x ＝2×45－25＋15＝75.(1)把cos x －sin x ＝55平方 (2)注意x 的范围(3)分别求出sin x 、cos x 1.2.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列四个命题中可能成立的一个是( )A ．sin α＝12且cos α＝12 B ．sin α＝0且cos α＝－1 C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．tan α＝－sin αcos α(α在第二象限)解析：由同角三角函数基本关系式，知A ，C ，D 不可能成立，B 可能成立．答案：B2．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是( ) A.1213 B ．－1213。
【新导学案】高中数学人教版必修四：122(1)《同角的三角函数的基本关系(1)》.doc
1.2.2《同角的三角函数的基本关系（1.）》•导学案【学习目标】1•掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2.通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3•注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程屮，注意培养学牛. 思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力.【重点难点】重点：公式sin2€Z + cos26K=lA-=tan6T的推导及运用：（1）己知某任意角的正弦、余COS <7 弦、正切值中的一个，求英余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点：根据角a终边所在象限求出其三和.函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.【学法指导】通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。
【知识链接】复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线： ___________________________________________提出疑惑：与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？【学习过程】【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角西数Z间关系，弄清同角齐不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化.【探究新知】探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗？如图：以正弦线,余弦线和半径0P三者的长构成直角三角形, 而且OP = l.由勾股定理由MP2 + OM2=1,因此x2 + y2 = 1, 即.71根据三角函数的定义，当伙w Z）时，有________________________这就是说，同一个角Q的正弦、余弦的平方等于1,商等于角a的正切. 【例题讲评】例］化简：71-sin2 440°cos a _ 1 + sin a l-sina cos a例4己知方程2x 2 -(73 + l)x + m = 0的两根分别是sin & , cos 0 ,求例5己知sin a =二 2cosa,求 s'"a__ 及sin? a + 2sinacos6^值。
人教版高中数学必修四第一章1-2-2同角三角函数的基本关系式《学案》
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。
——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明： 因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <， 所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-， 所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=， 又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。
高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系导学案
高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系导学案2.2同角三角函数的基本关系【学习目标】．掌握同角三角函数的基本关系式；．灵活运用公式解决变形、求值、证明等问题.【新知自学】预习课本P30---33页的内容，知识回顾：知识回顾：任意角的三角函数是如何定义的？在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？对于一个任意角是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，你能找出这种同角三角函数之间的基本关系吗？新知梳理：同角三角函数的基本关系①平方关系：=_______；②商的关系：___________文字叙述：同一个角错误！未找到引用源。
的正弦、余弦的_________等于1，商等于角错误！未找到引用源。
的_______.感悟：在同角的三个三角函数中，可“知一求二”.对点练习：．化简的结果是A.sinB.-sinc.cosD.-cos已知是第二象限角，且sin=，则cos=_________,tan=_________.已知sin=，则sin4-cos4=_______________.．化简：=；【合作探究】典例精析：题型一：利用同角三角函数关系求值例1.若sinθ＝－45，tanθ>0，求cosθ.变式1.已知α是第二象限角且tanα＝－512，求sinα、cos α的值.已知tanα＝3，求sin2α＋2sinα•cosα的值．题型二：利用同角三角函数关系化简、证明例2.求证变式2.化简题型三：正余弦的和、差、积之间的转化例3、已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈，试分别求①sin θcosθ；②sinθ-cosθ；③tanθ+.的值。
变式2.已知sinαcosα＝18，且π4<α<π2，则cos α－sinα＝_______.感悟：结合过去学过的代数公式，及其上边的关系式，小组内讨论：sin、sin、sin、这四个式子间的关系。
【课堂小结】【当堂达标】．已知α是第四象限角，cosα=则sinα等于A.B.-c.D.-．若，，且，则的值为___．．已知tan=2，则=_______________．已知sinα－cosα＝12，求sin3α－cos3α的值.【课时作业】．若cosα=，且α，则tanα=_____________.．化简：错误！未找到引用源。
人教版数学必修4第一章1.2.2 同角三角函数基本关系 导学案(无答案)
2.任意角的三角函数线. 3.三角函数的值在各象限的符号.
思考：此题与例 1 的区别在哪儿？如何解决这个问题？
变式 2 求已知 tan = - 3 ，求 sin ， cos 的值.
【新知探索】
引例：计算下列各小题
（1） sin 2 + cos2 =
6
6
sin 2 + cos2 =
（2） sin 30 cos30
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
学习目标
§1.2.2 同角三角函数的基本关系
1.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，能灵活运用同角三角函数的基本关系式进行求 值、化简和证明． 2.培养学生观察、猜想、证明的科学思维方式，通过具体习题培养学生动手能力、分析问 题解决问题的能力以及其知识迁移能力. 3.在观察、分析、探求、解决问题的过程中，激发学生学习数学的兴趣.
学习过程 【复习回顾】 1.任意角的三角函数定义.
【合作、探究】 例 1 已知 cos = - 4 ，且 为第三象限的角，求 sin 、 tan 的值.
5
思考 1：条件“ 为第三象限的角”有什么作用？ 思考 2：如何由 sin 表示 cos ？如何建立它们与 tan 的联系？ 变式 1 sin = − 3 ，求 cos ， tan 的值.
【当堂检测】 1.判断正误
（1）对任意角 ， sin 2 4 + cos2 4 = 1都成立.
sin
（2）对任意角
，
cos
2
= tan . 2
2
（3）存在角 ， 有 sin 2 + cos2 = 1.
2.若 cos = 12 ，求 sin ， tan 的值. 13
同角三角函数基本关系式学案
同角三角函数的基本关系式学案一.复习回顾，整合提高问题1：回顾四种常用三角函数的定义问题2：角α终边与单位圆的交点P 的坐标是什么？ 二.自主探究，总结规律从以上过程中，你能发现一般规律了吗？你能用代数式表示这个规律吗？_______ tan30º= ______________ tan45º=_______从以上过程中，你能发现一般规律了吗？你能用代数式表示这个规律吗？ 三.范例剖析 应用一：求 值1．2.3.4. 5.已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．ααααααααααααα2222cos 5sin cos 3sin 2)3(3cos sin 2sin 4cos )2(cos 9sin 7cos 3sin 5)1(.5t an +--++-=，求下列各式的值已知：应用二：化 简1. 2.3.4．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.?90cos 90sin 22=+ ?30cos 30sin 22=+ ?45cos 45sin 22=+ =30cos 30sin =45cos 45sin .tan cos .54sin 的值和是第二象限的角，求且已知αααα=.tan cos .54sin 的值和是第一象限的角，求且已知αααα=.tan cos .54sin 的值和求已知ααα=的值和是第二象限的角，求且已知ααααcos sin ,5tan -=)cot (tan cos sin αααα+()αα22cos tan 1+ 440sin 12-当堂检测的值求且山西高考）已知ααπαπααsincos,24,81cossin2008.(2-<<=。
）；（）求（，、已知θθθθθθθθ22cos52sin412sin3cos5cos2sin5131t an1t an14++--=-+。
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（三）课堂练习：教材25页练习
（四）小结：Βιβλιοθήκη （五）作业：见作业（64）
tan cot 1( k ,k 2 Z) ；
1 等；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
例1已知 sin
5 ，且 是第二象限角，求求 cos , tan 13
例2 已知 cos
4 ，求 sin , tan ． 5
cot （二）新课学习：
x2 y2 0)
， ．
， sec
， csc
1．同角三角函数关系式： （1）倒数关系：
（2）商数关系：
（3）平方关系：
说明： ①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如 sin 2 4 cos 2 4 ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
1.2.2 同角三角函数的基本关系式（一）
一．学习要点：同角三角函数基本关系式及其简单应用 二．学习过程： （一）复习： 1．任意角的三角函数定义： 设角 是一个任意角， 终边上任意一点 P ( x, y ) ， 它与原点的距离为 r (r | x |2 | y |2 sin ， cos ， tan
练习：已知 tan 为非零实数，用 tan 表示 sin , cos ．
总结： 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.在求值中 ，确定角的终边位置是关键和必要的.有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情 况不止一种.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置； ②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根. 例3 已知 sin cos