2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷(理科)(问卷)(含解析)
2020年新疆一模理科数学答案
慕华·优策2019-2020学年高三年级第一次联考数学答案及评分说明（理科）一、选择题：1.【答案】B【解析】(2)13,i z i -=+z =∴=，故选B【命题意图】主要考查复数的概念与运算及整体化简思想。
2.【答案】D【解析】{|13},A x x =-<<{|13},B x x =<<∁U B ={}13x x x ≤≥或，A ∩(∁U B )={|11}x x -<≤，故选D【命题意图】主要考查集合的概念与运算。
3.【答案】A【解析】由于ξ服从正态分布，=2μ，(02)P ξ<<=0.3，由对称性质(24)P ξ<<=0.3，(04)P ξ<<=0.6，故选A【命题意图】主要考查正态分布的性质及应用.4.【答案】D【解析】A ;“命题p ∨q 为真命题”，则p ,q 至少有一个为真；而“命题p ∧q 为真命题”则p,q 都为真，A 错；B :命题“0,ln 0x x x ∀>->”的否定“0000,ln 0x x x ∃>-≤”,B 错；C:sin 2cos 22x x π+≤<,C 错；故选D.事实上直线1ax by +=与圆O 相离，圆心到直线的距离1d =>，则221a b +<.【命题意图】主要考查常用逻辑用语以及直线与圆的位置关系。
5.【答案】A【解析】设公差为d ,依题意2111(4)()(6)a d a d a d +=++,182852a d +=-,解得110,1a d =-=，121111a a d ∴=+=,故选A.【命题意图】主要考查数列的通项与简单求和以及方程思想.6.【答案】D【解析】设a ，b 夹角为α，5cos 2226παα-==-=⨯，a ∥c ，且20,m >a 与c 同向，b 与c 的夹角为α，故选D【命题意图】本题主要考查平面向量的运算以及逻辑推理能力.7.【答案】A【解析】设椭圆长半轴与短半轴分别为a ,b ,12PF F ∆的面积最大值为12，即121122F F b bc ==,3,5c a =又222,a b c =+解得a =5,b =4,c =3,椭圆C 的面积为20π,故选A.【命题意图】在考查圆锥曲线的性质同时渗透数学文化，介绍古希腊科学家阿基米德的数学成就.8.【答案】B【解析】即函数()y f x =为周期为4的偶函数，(2)(),f x f x +=-令x =-1,f (1)=-f (-1)=f (-1),f (1)=f (-1)=0,又(2)1f =，f (2018)+f (2019)=f (2)+f (-1)=1.故选B.【命题意图】主要考查抽象函数的图象与性质以及逻辑推理能力..9.【答案】A【解析】△ABC 中，90ACB ∠=,18ABC S ∆=,设△ABC 的外心为O ',OO ABC '⊥平面,则1183OO OO ''⨯=∴=,又球O 半径22236R O O O A ''=+=,则球O 的表面积为144π.故选A.【命题意图】主要考查球的性质及空间想象能力.10.【答案】C【解析】框图为比较三个数大小，求三个数的最大值.ln 1,ln ln 3,ln 3ln πππππππ>∴>> ，故选C.另：ln x y x =在x e >时递减，可得ln 3ln ,ln 33ln 3ππππ>>，故ln ln 33ln ππππ>>【命题意图】本题主要考查程序框图的认读与利用函数性质比较值大小以及逻辑推理能力.11.【答案】C 【解析】22sin ()1cos()sin()2636x y x x ωπππωω=+-=-+=-平移后()y f x =的图象与直线y =1相邻两个交点的距离为π，即周期为π，ω=2，()sin 22)6y f x x πϕ==--（，向右移为奇函数,26k πϕπ+=，则ϕ=512π，故选C.【命题意图】主要考查三角函数化简、图象变换与性质及推理能力.12.【答案】D【解析】当a =0时不符合条件，分别在坐标系中作出当0a >与0a <时2()(21)f x x ax =-与ln y x =图象，满足条件为0a >时111,22a a >∴<或0a <时111,22a a <-∴>-，综上故选D 【命题意图】主要考查导数在函数零点问题中的应用以及直观想象能力与推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】－1【解析】令1x =得201901232019(11)0a a a a a -=+++++= ；令x =0,a 0=1,1232019a a a a ++++ =－1【命题意图】主要考查二项式定理性质及应用与数学运算能力.14.【答案】12【解析】sin +cos tan 1311=sin cos tan 1312θθθθθθ+-+==----【命题意图】主要考查三角函数化简与求值以及数学运算能力.【解析】,OP c =△12F PF 为直角三角形，12PF PF ⊥,22121212,4,2PF PF a PF PF a == 122,PF PF a -=平方得22222212122124,3,c PF PF a F F c e a+=====【命题意图】主要考查直线与圆锥曲线位置关系、几何性质及数学运算能力.16.【答案】100201【解析】各项为正数的数列}{n a,221),1,2n S n ==≥2,,1n n S n n ===符合.2 1.n a n ∴=-111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+前100项和10011100(1)2201201T =-=【命题意图】主要考查数列的通项与求和及数学推理运算、创新能力..三、解答题：共70分。
新疆2020版高考数学一模试卷(理科)C卷(新版)
新疆2020版高考数学一模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a5＝（）A . 8B . 10C . 12D . 143. （2分）(2017·海淀模拟) 已知，设a=sinx，b=cosx，c=tanx，则（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . a＜c＜bD . b＜c＜a4. （2分）(2018·张家口期中) 已知函数，函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围为（）A . （﹣∞，）B . （0，）C . （，4]D . （﹣∞，）∪[4，+∞）5. （2分）在⊙O中,弦,圆周角则⊙O的直径等于（）A .B .C .D .6. （2分）已知，且，则的值等于（）A .B . -7C .D . 77. （2分）(2018·山东模拟) 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．设双曲线：（，）与双曲线互为共轭双曲线，它们的离心率分别为、．以下说法错误的是（）A . 、的渐近线方程都是B . 的最小值是2C .D .8. （2分） (2018高二上·佛山月考) 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A .B . 4C .D . 69. （2分） (2016高二下·上饶期中) 若a＞b，c为实数，下列不等式成立是（）A . ac＞bcB . ac＜bcC . ac2＞bc2D . ac2≥bc210. （2分） (2020高一上·金华期末) 已知对任意正实数，，且时，，则当时，（）A . ，使得的为12和18B . ，使得的为18C . ，使得的为12和18D . ，使得的为1211. （2分）从0，1，2，3，4五个数中选四个数字，组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（）A . 36B . 60C . 72D . 9612. （2分） (2019高一上·惠来月考) 有下列四个命题：（1）过三点确定一个平面；（2）矩形是平面图形；（3）三条直线两两相交则确定一个平面；（4）两个相交平面把空间分成四个区域其中错误命题的序号是（）A . （1）和（2）B . （1）和（3））C . （2）和（4）D . （2）和（3）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·鞍山期末) 若sin（α+ ）= ，则cos（﹣α）=________．14. （1分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为________15. （1分）(2017·安徽模拟) 我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为________．16. （1分） (2017高二下·海淀期中) 已知平面向量 =（x1 ， y1）， =（x2 ， y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量 =（x1 ， y1 ， z1）， =（x2 ， y2 ． z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2 ．由此推广到n维向量： =（a1 ， a2 ，…，an）， =（b1 ， b2 ，…，bn），那么• =________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2020高一上·沈阳期中) 已知函数f(x)=x+ ，g(x)=ax+5-2a(a>0).（1）判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；（2）若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g(m0)=f(m)成立，求实数a的取值范围.18. （10分）(2017·葫芦岛模拟) 已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．19. （10分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为3万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为4万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k的值及f（x）的表达式．（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20. （10分）(2018·杨浦模拟) 已知数列，其前项和为，满足，，其中，，， .（1）若，，（），求数列的前项和；（2）若，且，求证：数列是等差数列.21. （10分） (2019高三上·吉林月考) 设函数（为自然对数的底数）.（1）求函数在点处的切线方程；（2）证明： .22. （10分）(2018·河北模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是 .（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.23. （10分）(2020·咸阳模拟) 已知关于的不等式解集为（）.（1）求正数的值；（2）设，且，求证： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
新疆乌鲁木齐地区2020届高三年级第一次质量监测理科数学试题 Word版含解析
乌鲁木齐地区2020年高三年级第一次质量监测理科数学（问卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|280A x x x =--<，{}2|90B x x =-≤，则集合A B =U （ ）A. (]2,3-B. (]4,3-C. [)3,2-D. [)3,4- 【答案】D【解析】【分析】求解一元二次不等式，解得集合,A B ，再求并集即可.【详解】对集合A ：2280x x --<，解得()2,4x ∈-；对集合B ：290x -≤，解得[]3,3x ∈-，故可得[)3,4A B ⋃=-.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及集合并运算，属基础题.2.已知复数z 满足(12)|34|z i i +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i -- 【答案】A【解析】【分析】 先求34i +的模长，再利用复数除法运算求得复数z ，写出其共轭复数即可.【详解】因为345i +==， 故()()()512512121212i z i i i i -===-++-， 故其共轭复数z =12i +.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的求解，复数的除法运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.3.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，焦距为线的实轴长为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】根据渐近线垂直，可得,a b 的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果. 【详解】因两条渐近线互相垂直，故可得21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为焦距为2c =结合222a b c +=，解得3,3,a b c ===，故实轴长26a =.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】B【解析】【分析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ，因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂；同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线，因为l γ⊥，故m γ⊥.故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误.故选：B .【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5.数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则4S =（ ）A. 8B. 12C. 16D. 24 【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的定义，结合数列的公差为2，列方程即可求得数列的首项，进而利用公式求得4S .【详解】因为1a ，4a ，13a 成等比数列，故可得21134a a a ⋅=，即可得()()2111246a a a +=+，解得13a =.故4S 14324242a ⨯⨯=+=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和与通项公式基本量的计算，涉及等比中项，属综合基础题. 6.若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为r nMODm =，例如212 5MOD =.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i等于（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【解析】【分析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：7,1n i ==开始，2,9i n ==，不满足13nMOD =，故4,13i n ==，满足13nMOD =，但不满足25nMOD =，故8,21i n ==，不满足13nMOD =，故16,37i n ==，满足13nMOD =，满足25nMOD =，输出16i =.故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题. 7.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照[)0,0.5，…，[]4,4.5分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准a .使85 %的居民用水量不超过a ，按平价收水费，超出a 的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准a 的是（ ）A. 2.5吨B. 3吨C. 3.5吨D. 4吨【答案】B【解析】【分析】 根据频率分布直方图中，长方形面积表示频率，找出将面积分割为0.85和0.15的数值，即为标准a .【详解】根据频率分布直方图，结合题意可得：()0.080.50.160.50.300.50.440.50.500.5 2.50.50.85a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=解得 2.72a =.故要满足85 %的居民用水量不超过a ，则a 比较合适的取值为3吨.故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率的计算，属基础题.8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++)A. 1.24B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得： ()211 1.25 2.5lgE lgE -=- 可得12110E lg E =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26.故选：C. 【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.9.已知函数2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ）A. ()f x 的图象关于6x π=对称 B. ()f x 为奇函数C. ()f x 的值域为[]3,1-D. ()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】A【解析】【分析】 利用降幂扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可.【详解】2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22133x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 236x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为2sin 262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭是该函数的最大值，故6x π=是函数的对称轴，故A 正确； 因为()()2sin 26f x x f x π⎛⎫-=--≠- ⎪⎝⎭，故该函数不是奇函数，故B 错误； 因为[]2sin 22,26x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]2,2-，故C 错误； 由x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，在此区间内，正弦函数不单调，故D 错误； 综上所述，正确的是A .故选：A.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及正弦型函数性质的求解，属综合性基础题.10.已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin a αα=，()cos sin b αα=，()sin cos c αα=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. b a c <<B. b c a <<C. a b c <<D. c b a << 【答案】A【解析】【分析】 因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得cos sin αα>，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得10cos sin αα>>>， 根据指数函数()(),0,1x y sin sin αα=∈是单调减函数，可得sin αcos sin sin ααα<，即可得b a <；根据幂函数(),0,1sin y x sin αα=∈是单调增函数，可得sin sin cos sin αααα>，即可得c a >综上所述：c a b >>.故选：A.【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中档题.11.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥于点N ，直线NF 交y 轴于点D ，则||MD =（ ）A. 4B.C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M 的坐标，即可得N 点坐标，进而可求得MF 的方程，容易得点D 的坐标，用两点之间的距离公式即可求得MD 的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点()1,0F ，故直线FM 的方程为)31y x =-，联立抛物线方程24y x =可得231030x x -+=，解得13x =或3x = 因为点M 在第一象限，故可得(3,23M . 又因为准线方程为1x =-，故可得(23N -. 则直线FN 的方程为)31y x =--，令0x =，解得3y =(3D . 故9323MD =+=故选：B. 【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.12.已知函数ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若αβ<且()()f f αβ=，则βα-的取值范围是（ ）A. []83ln3,6-B. )283ln3,1e ⎡--⎣C. []94ln3,6-D.)294ln 3,1e ⎡--⎣ 【答案】B【解析】【分析】根据()f x的函数图像，结合()()f fαβ=，求得β的取值范围以及,αβ之间的等量关系，将βα-表示为β的函数，求该函数在区间上的值域即可.【详解】因为ln1,1()1(2),13x xf xx x-≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，故其函数图像如下所示：令11lnx-=，解得2x e=；令11lnx-=-，解得1x=.数形结合可知，若要满足()()f fαβ=，且αβ<，则()21,eβ∈，且()1213lnαβ+=-，解得35lnαβ=-.故βα-35lnββ=-+，()21,eβ∈.令()()235,1,g x x lnx x e=-+∈，则()31g xx'=-，令()0g x'=，解得3x=，故()g x在区间()1,3单调递减，在区间()23,e单调递增，则()()()2216,3833,1g g ln g e e==-=-，故())2833,1g x ln e⎡∈--⎣.即可得βα-)2833,1ln e⎡∈--⎣.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，以及构造函数的能力，数形结合的能力，属综合性中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知单位向量a r ，b r 满足()22a a b ⋅+=r r r ，则向量a r与向量b r 的夹角的大小为__________．【答案】3π【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为a r ，b r均是单位向量，故可得1,1a b ==r r ， 故可得()222,?2a a b a a b cos a b ⋅+=+=r r rr r r r r ， 即2?,?1cos a b =r r ，解得1,?2cos a b =r r ， 又因为向量夹角的范围为[]0,π，故,a b rr 的夹角为3π.故答案为：3π. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.14.已知点N 在圆224470x y x y +-++=上，点M 在直线3460x y -+=上，则MN 的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求. 【详解】因圆方程为224470x y x y +-++=，故圆心坐标为()2,2,1r -=，则圆心到直线的距离41d ==>，则直线与圆相离.故MN 的最小值为413d r -=-=. 故答案为：3.【点睛】本题考查圆心到直线上一点距离的最值问题，属基础题.15.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y表示）的比例关系为:x y =；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张.若A4纸的面积为2624cm ，则这9张纸的面积之和等于______2cm . 【答案】19929 【解析】 【分析】根据题意，求出4A 纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前n 项和的计算公式，即可求得.【详解】由题可设，0A 纸的面积为S ， 根据题意，纸张面积是首项为S ，公比为12的等比数列， 则容易知4A 纸张的面积为416242S ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故可得9984S =， 故纸张面积是一个首项为9984，公比为12的等比数列， 故9张纸的面积之和为911219929112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-. 故答案为：19929.【点睛】本题考查实际问题中等比数列的应用，问题的关键是要构造等比数列，属中档题. 16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，有下列四个命题： ①1BC 与平面11BCD A 所成角为30°；②三棱锥1A A BD -与三棱锥11C A BD -的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，1AA 在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且仅有一个；④过1BD 作正方体的截面，设截面面积为S ，则S 的最小值为6. 上述四个命题中，正确命題的序号为______.【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据线面角的求解方法，棱锥体积的求解，正方体截面的相关性质，对选项进行逐一分析即可求得.【详解】对①：连接1C D 交1D C 与H ，连接BH ，作图如下：因为1111ABCD A B C D -是正方体，故可得BC ⊥平面11CC D D ， 又因为CH ⊂平面11CC D D ，故可得CH BC ⊥，又1CH D C ⊥， 故可得CH ⊥平面1//MN A C ，则1C BH ∠即为所求线面角. 在1Rt C BH n 中，1112,222CH C D C B ===故可得111 2CHsin C BHC B∠==，又线面角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故130C BH∠=︒，则1BC与平面11BCD A所成角为30°，故①正确；对②：因为正方体棱长为1，故可得11111111113326A A BD A ABD ABDV V S A A--==⨯=⨯⨯⨯⨯=n；而棱锥11C A BD-的体积可以理解为正方体的体积减去4个体积都和1A A BDV-相等的三棱锥的体积，故1111463A A BDV-=-⨯=.故棱锥1A A BD-与三棱锥11C A BD-的体积比为1:2，故②正确；对③：若棱1,,AD AA AB在平面α的同侧，则α为过点A且与平面1A BD平行的平面；若棱1,,AD AA AB中有一条棱与另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面有3个；故满足题意的平面α有4个.故③错误；对④：根据题意，取11,AA C C中点为,M N,则过1BD作正方体的截面如下：则过1BD的所有截面中，当截面1D MBN为菱形时，面积最小，其面积为11162322S MN D B =⨯=⨯⨯=. 故④正确.总上所述，正确的有①②④.【点睛】本题考查线面角的求解，正方体截面面积的求解，涉及棱锥体积的计算，属中档题.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是CD 中点，点F 在BC 上，且3BF FC =.（1）证明EF ⊥平面PAE ； （2）若54PA AB =，求平面PAB 与平面PEF 所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解；(2)5 【解析】 【分析】（1）根据PA ⊥平面ABCD ，可得EF PN ⊥，再证EF AE ⊥，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故可得EF PA ⊥； 设底面正方形的边长为4，故可得2216425AE AD DE =++=22145EF FC CE =+=+=221695AF AB BF =++=，故在AFEn中，满足222AE EF AF+=，故可得AE EF⊥；又,PA AE⊂平面PAE，且PA AE A=I，则EF⊥平面PAE，即证.（2）因为PA⊥平面ABCD,,AB AD⊂平面ABCD，故可得,PA AB PA AD⊥⊥，又底面ABCD为正方形，故可得AB AD⊥，故以A为坐标原点，以,,AB AD AP所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系如下图所示：设4AB=，故可得()()()()()0,0,0,0,0,5,4,0,0,2,4,0,4,3,0A PB E F设平面PEF的法向量为(),,m x y zr=，则m EFm PE⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vru u u vr，则202450x yx y z-=⎧⎨+-=⎩取2y=，则()1,2,2m=r.不妨取平面PAB的法向量()0,1,0n=r.则2,?391m ncos m nm n⋅===⨯r rr rr r.设平面PAB与平面PEF所成二面角的平面为θ，则251cos,sin m nθ=-=r r.即平面PAB与平面PEF所成二面角的正弦值为53.【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.18.已知ABC ∆的面积为3，BC 边上的高是2，tan 3A =. （1）求ABC ∆外接圆的半径； （2）求AB 和AC 的长. 【答案】(1) 2；(2) AB AC ==AB AC ==【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，再利用同角三角函数关系，求得sinA ，最后利用正弦定理，即可求得外接圆半径；（2）利用面积公式以及余弦定理，求得AB 和AC 的方程组，解方程组即可. 【详解】设三角形的边长,,BC a AC b AB c ===. （1）由面积公式1232S a =⨯=，解得3a =. 因为3tanA =，()0,A π∈，故由同角三角函数关系，容易得,1010cosA sinA ==.由正弦定理可得22aR sinA===. 故ABC n外接圆的半径为2. （2）由面积公式可得132S bcsinA ==，结合（1）中所求，可得bc =由余弦定理可得2292b c cosA bc +-==，解得2213b c +=， 即()213213b c bc +=+=+=解得b c +=bc =可得b c ==b c ==故AB AC ==AB AC ==.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形外接圆半径的求解，属综合基础题.19.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问題.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子. （1）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X 个人存在早恋的现象，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)5%；(2)分布列见详解，数学期望为21400. 【解析】 【分析】（1）先计算出摸两个球，出现同色和异色的概率，据此计算出回答第一个问题和第二个问题的人数，再根据学籍号最后一位是奇数的概率为12，计算出回答第一个问题选择“是”的同学个数，从而算出回答早恋选择“是”的同学个数，据此估算百分比即可；（2）根据题意可知，X 服从二项分布，结合（1）中所求，写出分布列，计算出数学期望即可.【详解】（1）从10个球中随机摸取两个球，摸到两球同色的的概率2246210715C C P C +==. 故回答第一个问题的人数为730014015⨯=人，则回答第二个问题的人数为160人； 又学籍号最后一位是奇数还是偶数，是等可能的，故回答第一个问题，选择“是”是的同学个数为1140702⨯=人， 则回答第二个问题，选择“是”的同学个数为8人， 则中学生早恋人数的百分比为85%160=. （2）根据（1）中所求，可知1~2,?20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，且X 可取值为0,1,2， 故可得()020211902020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111211912020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22211922020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故X 的分布列如下所示：故()36119121012400400400400E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的特点，以及二项分布分布列的求解和数学期望的计算，属综合性中档题.20.已知函数2()ln f x ax x x x =--（a R ∈）. （1）当1a e=时，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程； （2）若()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)y x =-；(2) ,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 分析】（1）对函数求导，解得函数在点()(),e f e 处切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；（2）构造函数()22lnx g x x+=，利用导数求解其值域，再根据()f x '与()g x 之间的关系，求解恒成立问题即可得参数的范围.【详解】（1）当1a e =时，()2x f x xlnx x e=--，故()22f x x lnx e '=--；故可得()()1,f e f e e -'==-，故切线方程为：()y e x e +=--，整理得y x =-. 故曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为y x =-.（2）因为()2ln f x ax x x x =--，故可得()22f x ax lnx '=--.若()f x 在定义域内为单调函数，则()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立. 构造函数()22lnx g x x +=，故可得()()‘212lnx g x x-+=， 令()’0g x =，解得1x e=， 故()g x 在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故()12max eg x g e ⎛⎫==⎪⎝⎭，且当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞. 故(),2e g x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 若要保证()0f x '≥在定义域内恒成立，即220ax lnx --≥恒成立， 即22lnx a x +≥在定义域内恒成立，则只需()2max ea g x ≥=； 若要保证()0f x '≤在定义域内恒成立，则220ax lnx --≤恒成立， 则22lnx a x+≤在定义域内恒成立，但()g x 没有最小值，故舍去. 综上所述，要保证()f x 在定义域内为单调函数，则,2e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及根据函数单调性，利用导数求参数的范围，属综合中档题.21.点(,)P x y 与定点(1,0)F -的距离和它到直线:3l x =-P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C ，D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且CO OM λ=u u u r u u u u r（0λ>），求四边形ACBD 面积的取值范围.【答案】(1)22132x y +=；(2) 4,⎡⎣. 【解析】 【分析】（1）设出点P 的坐标，根据题意，列出方程，整理化简即可求得动点的轨迹方程； （2）设出直线AB 的方程，利用弦长公式求得AB ，再利用OC OM λ=u u u r u u u u r，建立直线CD 与AB 之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的值域即可.【详解】（1）设动点(),P x y ，则P 到直线:3l x =-的距离3d x =+，由题可知：PFd ==，两边平方整理可得：22132x y +=故曲线E 的方程为：22132x y +=.（2）因(0)OC OM λλ=>u u u r u u u u r，故,O M 两点不可能重合，则直线AB 的斜率不可能为0， 故可设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程22132x y +=，可得()2223440m y my +--=，设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则可得12122244,2323m y y y y m m -+==++， 则()121226223x x m y y m +=+-=-+ 故可得2232,2323m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为(0)OC OM λλ=>u u u ru u u u r，故可得,,0,C M D 四点共线，故可得2222233323CDmm m k m +==--+. 不妨设直线CD 方程为y kx =，23m k =-， 联立直线y kx =与椭圆方程22132x y +=可得()22236kx+=，设()()3344,,,C x y D x y ，则33x y ==-C ⎛- ⎝则44x y ==D 则点,C D 到直线AB 的距离为：1d =2d =将23mk =-代入上式即可得：1d ==，2d =故212223m d d ++=又根据弦长公式可得：22123m AB m +==+ 故四边形面积()221222231112223m m S AB d d m ++=+=⨯+== 因为23322m +≥，则21120,?332m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，21221,1332m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭+3⎫⎪⎪⎣⎭故4,⎡⎣.故四边形ACBD 面积的取值范围为4,⎡⎣.【点睛】本题考查椭圆轨迹方程的求解，以及椭圆中四边形面积的范围问题，计算量相对较大，属综合性困难题.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为2ρ=，四边形ABCD 的四个顶点都在曲线E 上. （1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）若AC ，BD 相交于点()1,1P ，求||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅的值.【答案】(1)224x y +=；(2)4 【解析】（1）将2ρ=两边平方，利用公式，即可转化为直角坐标方程；（2）写出直线,AC BD 的参数方程，根据直线参数的几何意义，即可求得. 【详解】（1）将2ρ=两边平方，即可得24ρ=， 即可得224x y +=.（2）因为直线,AC BD 都经过点()1,1P ，故直线AC 的参数方程为：1(1x tcos y tsin ααα=+⎧⎨=+⎩为参数)； 直线BD 的参数方程为：1(1x tcos y tsin θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)； 联立直线AC 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t αα++-=，设,A C 两点对应的参数为12,t t ，故可得122t t =-； 同理联立直线BD 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t θθ++-=，设,B D 两点对应的参数为34,t t ，故可得342t t =-； 根据直线参数方程中t 的几何意义可知：||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅12344t t t t ==.即为所求.【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及利用直线参数方程中参数几何意义，求解线段长度的乘积，属基础题. 23.已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[] 3,2-；(2)[]1,1-.【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得. 【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤， 解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立， 解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤， 解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立. 则只需()22g x x ax =--满足：()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤， 解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。
2020年新疆高考数学一模试卷(理科)(问卷) (含答案解析)
2020年新疆高考数学一模试卷(理科)(问卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=1−i(1+i)2(i为虚数单位)，则z−=()A. −12−12i B. 12−12i C. −12+12i D. 12+12i2.已知集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x2−x−2≤0}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}3.若函数f(x)的导函数的图像关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A. f(x)=3cosxB. f(x)=x3+x2C. f(x)=1+sin2xD. f(x)=e x+x4.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为()A. √13B. 8C. 8√55D. 8√13135.已知双曲线C:x2a2−y24=1的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于()A. 1B. 13C. 4或10D. 1或136.7.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，若(a2+c2−b2)tanB=√3ac，则角B的值为()A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π37.某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审，四人的口供如下：甲：作案的是丙；乙：丁是作案者；丙：如果我作案，那么丁是主犯；丁：作案的不是我．如果四人口供中只有一个是假的，那么以下判断正确的是()A. 说假话的是甲，作案的是乙B. 说假话的是丁，作案的是丙和丁C. 说假话的是乙，作案的是丙D. 说假话的是丙，作案的是丙8.书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 169.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=π6，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. √33B. √32C. √36D. √6610.函数f(x)=2sin(2x−π6)的一个单调递减区间是()A. (−π3,π6) B. (π6,2π3) C. (π3,5π6) D. (π2,π)11.若对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x+2013)=−f(x+2012)，且f(2013)=−2013，则f(0)=()A. 1B. −1C. 2013D. −201312.已知F1，F2是椭圆与x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，且满足|AF1|=2|BF1|，|AB|=|BF2|，则该椭圆的离心率是()A. 12B. √33C. √32D. √53二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=ex−e，则f′(1)=______ ．14.若x，y满足约束条件{y≥2xy≥−2xx+y≤2，则z=−x+y的最大值为_________．15.在四面体P−ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°则该四面体P−ABC的外接球的表面积为______ ．16.已知函数f(x)=e xx+k(lnx−x)，若x=1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列的前n项和为S n，且S4=30，，的等差中项为10．(1)求数列的通项公式；(2)求．18.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PB=PD．(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若PA与底面ABCD所成的角为30∘，PA⊥PC，求二面角B−PC−D的正弦值．19.五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．(假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次)指针所在的区域及对应的返劵金额见表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．(1)已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望Eξ=125，方差Dξ=992500，求n、p的值；(2)顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η(元).求随机变量η的分布列和数学期望．20.已知函数f(x)=1x−alnx(a∈R).当a=−1时，(1)求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)设g(x)=xf(x)−1，求函数g(x)的极值；21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为2√2的等腰直角三角形．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．(ⅰ)当m=1时，求线段PQ的长度；(ⅰ)是否存在m，使得S△OPQ=43？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22.已知直线l：x−√3y=0与曲线C：x2+(y−3)2=9，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°，得到的直线lˈ，这两条直线与曲线C分别交于异于极点的P，Q，两点，求△OPQ的面积．23.已知函数f(x)=|x+1|+|x−2|−m．(1)当m=5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵z =1−i(1+i)2， ∴z(1+i)2=1−i ， ∴2zi =1−i ，则−2z =i(1−i)=1+i ， ∴z =−12−12i ，则z −=−12+12i ． 故选：C ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2.答案：B解析：解：B ={x|−1≤x ≤2}； ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：B ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 本题考查交集的运算，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查由部分图象确定其解析式，先对逐项求导数，根据导函数的图象来判断即可． 解：A 项中，f′(x)=−3sinx ，是奇函数，图像关于原点对称，不关于y 轴对称； B 项中，f′(x )=3x 2+2x =3(x +13)2−13，其图像关于直线x =−13对称；C 项中，f′(x)=2cos2x ，是偶函数，图像关于y 轴对称；D项中，f′(x)=e x+1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y轴对称．故选C．4.答案：D解析：本题考查平面向量的数量积的坐标运算、向量的投影定义，考查运算能力，属于基础题．求出m⃗⃗⃗ ，n⃗的数量积和n⃗的模，再由m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |，代入数据计算即可得到．解：m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，，则m⃗⃗⃗ ·n⃗=1×2+2×3=8，|n⃗|=√22+32=√13，则向量m⃗⃗⃗ 在向量n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |=√13=8√1313．故选D．5.答案：D解析：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|.解：由双曲线的渐近线方程可得2a =23，∴a=3，由双曲线的定义可得||PF2|−7|=2a=6，∴|PF2|=1或13，故选：D．6.答案：D解析：本题考查正余弦定理的应用，属于基础题目．化简所给条件得出(a2+c2−b2)2ac =√32cosBsinB，由余弦定理得cosB=√32cosBsinB，最后求出角B即可．解：由(a2+c2−b2)tanB=√3ac∴(a2+c2−b2)2ac =√32cosBsinB，即cosB=√32cosB sinB∴sinB=√32，又在△中所以B为π3或2π3故选D．7.答案：B解析：本题主要考查了推理与论证，属于基础题．先判断乙和丁的口供相反，得到甲和丙的口供是真话，即可得到结果．解：由于乙和丁的口供相反，故假口供只可能是乙或丁，则甲的口供正确，故丙是作案者，丙的口供正确，故丁是主犯，故丁说的是假话．此时符合逻辑，即说假话的是丁，作案的是丙和丁．故选：B．8.答案：C解析：书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n=C62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m=C32=3，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的恰好都是数学书的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．解：书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n =C 62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m =C 32=3，∴取出的恰好都是数学书的概率p =m n=315=15．故选：C ．9.答案：D解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =a ，则A(1,0，0)，D(0,0，0)，B 1(1,a ，1)， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−a,−1)，B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a,−1)，∵∠AB 1D =π6，∴cos π6=|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a 2+1√a 2+2⋅√a 2+1，解得a =√2，B 1(1,√2,1)，B(1,√20)，C 1(0,√2,1)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设直线AB 1与BC 1所成角为θ， 则cosθ=|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3⋅√2=√66． ∴直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√66．故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：C解析：本题考查复合三角函数的单调性，求得正弦函数的递减区间是关键，由正弦函数的单调性可求得正弦函数的递减区间，继而可得答案．解：由2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2(k∈Z)得：kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈Z∴函数y=2sin(2x−π6)的单调递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z．当k=0时，函数y=2sin(2x−π6)的一个单调递减区间是[π3,5π6].故选C．11.答案：C解析：本题考查抽象函数，函数的周期性，属于基础题．由题可得f(2012)=−f(2013)=2013，f(t+2)=f(t)，进而得出f(0)的值．解：f(x+2013)=−f(x+2012)，取x=0可得f(2012)=−f(2013)=2013，令t=x+2012，可得f(t+1)=−f(t)，f(t+2)=f(t)，∴f(0)=f(2012)=2013．故选C．12.答案：B解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题利用已知条件，画出图形，通过三角形的边长关系，结合余弦定理，求解椭圆的离心率即可．解：作出图形，如下：由题意可得：|F1B|+|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=a，|AF2|=a，|AB|=|BF2|=32a，|F1F2|=2c，在△ABF2中，由余弦定理得cos∠BAF2=94a2+a2−94a22×32a×a=13，在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠BAF2=a2+a2−4c22×a×a =1−2(ca)2，所以13=1−2(ca)2，所以e=ca=√33．故选：B．13.答案：e解析：本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．根据切点处的导数为切线斜率可求出f′(1)的值，解：∵函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=ex−e，∴f′(1)=e，故答案为：e．14.答案：6解析：本题主要考查了线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z =−x +y 得y =x +z ，平移直线y =x +z ，由图象可知当直线y =x +z 经过点A 时，直线y =x +z 的截距最大，此时z 最大． 由{y =−2x x +y =2，得{x =−2y =4，即A (−2,4)，代入目标函数z =−x +y 得z =−(−2)+4=6． 即目标函数z =2x +y 的最大值为6． 故答案为6．15.答案：3π解析：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P−ABC外接球的表面积．解：由题意，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球．∵长方体的对角线长为√3，∴球直径为√3，半径R=√32，因此，三棱锥P−ABC外接球的表面积是4πR2=4π×(√32)2=3π，故答案为：3π．16.答案：(−∞,e]解析：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于较难题．由f(x)有唯一极值点x=1，得y=k与g(x)=e xx的图象除在x=1处外无其他贯穿而过的交点，求出g(x)即可得解．解：由函数f(x)=e xx +k(lnx−x)，可得f′(x)=e x x−e xx2+k(1x−1)=x−1x(e xx−k)，∵f(x)有唯一极值点x=1，∴f′(x)=0有唯一根x=1，∴y=k与g(x)=e xx的图象除在x=1处外无其他贯穿而过的交点，可得g′(x)=e x(x−1)x2，由g′(x)>0得，g(x)在(1,+∞)上递增，由g′(x)<0得，g(x)在(0,1)上递减，∴g(x)min=g(1)=e，∴k≤e，即实数k的取值范围是(−∞,e]．故答案为(−∞,e]．17.答案：解：(1)等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，且S4=30，a2，a4的等差中项为10，可得a1(1+q+q2+q3)=30，a2+a4=20，即a1q+a1q3=20，解得a1=q=2，则a n=2⋅2n−1=2n；(2)S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2，2n S n S n+1=2n(2n+1−2)(2n+2−2)=14(12n−1−12n+1−1)，可得求T n=2S1S2+22S2S3+⋯+2nS n S n+1=14(1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n−1−12n+1−1)=14(1−12n+1−1)=2n−12(2n+1−1)．解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，主要考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．(1)等比数列{a n}的公比设为q，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；(2)运用等比数列的求和公式，可得S n，求得2nS n S n+1=14(12n−1−12n+1−1)，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．18.答案：(1)证明：连接BD，与AC的交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵PB=PD，OB=OD，∴BD⊥OP，又∵OP∩AC=O，OP，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．(2)解：∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，过点P作PE⊥AC，垂足为E，PE⊂平面PAC，∴PE⊥平面ABCD，∵PA与底面ABCD所成的角为30°，∴∠PAC=30°，又PA⊥PC，设PC=2，则AP=2√3，PE=√3，AE=3，AC=4，AD=2√2，如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0,0，0)，B(2√2,0，0)，C(2√2,2√2,0),D(0,2√2,0),P(3√22,3√22,√3)， 设平面PBC 法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2√2,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−√22,√3)， ∴{2√2y =0√22x +√22y −√3z =0，令z =1，则y =0，x =√6，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(√6,0,1)，同理平面PCD 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,1)， ∵cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7×√7=17，∴二面角B −PC −D 的正弦值为4√37.解析：本题考查面面垂直的判定及利用空间向量求二面角，属于中档题．(1)连接BD ，与AC 的交点为O ，可证AC ⊥BD 以及BD ⊥OP ，即可证明BD ⊥平面PAC ，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，求出两个平面的法向量即可求出二面角的余弦值，得到正弦值．19.答案：解：(1)依题意知，ξ服从二项分布ξ～B(n,p)，∴Eξ=np =125，(1分) 又Dξ=np(1−p)=992500，(2分) 联立解得：n =4,p =1100.(4分)(2)设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则P(A)=16,P(B)=13,P(C)=12．由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量η的可能值为0，30，60，90，120.(5分)P(η=0)=12×12=14，P(η=30)=12×13×2=13，P(η=60)=12×16×2+13×13=518，P(η=120)=16×16=136，(10分)∴随机变量η的分布列为：其数学期望Eη=0×14+30×13+60×518+90×19+120×136=40.(12分)解析：(1)依题意知，ξ服从二项分布ξ～B(n,p)，由此利用二项分布的性质能求出n、p的值．(2)设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C.则P(A)=16,P(B)=13,P(C)=12.由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量η的可能值为0，30，60，90，120，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量η的分布列和数学期望．本题考查二项分布的性质的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20.答案：解：(1)由题意可得函数解析式为：f(x)=1x+lnx，求导可得f′(x)=−1x2+1x=x−1x2，∴k=f′(1)=0,f(1)=1，切线方程为：y=1．(2)g(x)=xlnx(x>0)，求导可得g′(x)=1+lnx，故而函数在(0,1e )上递减，在(1e,+∞)上递增，∴g(x)极小=g(1e)=−1e，无极大值．解析：本题考查了导数的几何意义以及由导数判断原函数的单调性来研究极值，属于较易得题目．(1)考察函数的切线方程，把握住函数在某点处的导数值为切线的斜率，通过求导求斜率即可得到方程;(2)将g(x)解析式求解后，通过求导判断单调性即可得到极值．21.答案：解：(Ⅰ)∵△AF1F2是斜边长为2√2的等腰直角三角形，∴a=2，b=c=√2，∴椭圆标准方程为x24+y22=1．(Ⅱ)分别设为P(x1,y1)，Q(x2,y2)将y=x+m代入椭圆x24+y22=1中，消y可得3x2+4mx+2m2−4=0，∵△=16m2−12(2m2−4)>0，解得m2<6，∴x1+x2=−4m3，x1x2=2m2−43，∴|PQ|=√1+1⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√16m29+16−8m23=43⋅√6−m2，(i)当m=1时，|PQ|=4√53，(ii)原点到直线y=x+m的距离d=√2，∴S△POQ=12|PQ|⋅d=12×43⋅√6−m22=43，整理可得m4−6m2+8=0，解得m2=4，或m2=2，解得m=±2，或m=±√2故m的值存在，为±√2，±2解析：本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由△AF 1F 2是斜边长为2√2的等腰直角三角形，可得a =2，b =c =√2，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)分别设为P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，将y =x +m 代入椭圆x 24+y 22=1中，消y 可得3x 2+4mx +2m 2−4=0，根据韦达定理和弦长公式可得|PQ|=43⋅√6−m 2， (i)代值计算即可；(ii)根据点到直线的距离公式求出d ，再根据三角形的面积公式和三角形的面积可得S △POQ =12|PQ|⋅d =12×43⋅√6−m 2√2=43，求出m 的值即可．22.答案：解：(1)直线l ：x −√3y =0转换为极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2曲线C ：x 2+(y −3)2=9，转化为极坐标方程为ρ=6sinθ．(2)将直线l 绕极点O 逆时针方向旋转30°，得到θ2=π3． 设OP =ρ1，OQ =ρ2，则ρ1=6sin π6=3，ρ2=6sin π3=3√3． 所以S △OPQ =12×ρ1×ρ2×sin π6=12×3×3√3×12=9√34．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由题设知：|x +1|+|x −2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：{x ≥2x +1+x −2>5或{−1≤x <2x +1−x +2>5或{x <−1−x −1+2−x >5， 即x >3或x ∈⌀或x <−2，解得f(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)； (2)不等式f(x)≥2即|x +1|+|x −2|≥m +2，∵x ∈R 时，恒有|x +1|+|x −2|≥|(x +1)−(x −2)|=3， 当且仅当(x +1)(x −2)⩽0时等号成立，∵不等式|x+1|+|x−2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，可得m的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．(1)当m=5时，原不等式可化为|x+1|+|x−2|>5，分三种情况去绝对值，对不等式加以讨论，最后综合即得到f(x)>0的解集；(2)关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，根据绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x−2|的最小值为3大于或等于m+2，由此可得实数m的取值范围．。
2020年新疆乌鲁木齐高三一模数学试卷(理科)
2020年新疆乌鲁木齐高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若集合，，则集合（ ）．A. B. C. D.2.已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（ ）．A. B. C. D.3.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为，则该双曲线的实轴长为（ ）．A. B. C. D.4.已知，为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）．A.若，，则B.若，且，则C.若，，，，则D.若，，，则5.数列是公差为的等差数列，为其前项和，且，，成等比数列，则（ ）．A.B.C.D.6.若正整数除以正整数的余数为，则记为，例如，如图程序框图的算法源于我国古代著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的等于（ ）．开始否？？否是是输出结束A.B.C.D.7.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，分成组，绘制了如图所示的频率分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准，使的居民用水量不超过，按平价收水费，超出的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准的是（ ）．月均用水量吨频率组距A.吨B.吨C.吨D.吨8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（）．已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（当较小时，）（ ）．A.B.C.D.9.已知函数，则下列判断正确的是（ ）．A.的图象关于对称B.为奇函数C.的值域为D.在上是增函数10.已知，，，，则，，的大小关系是（）．A.B.C.D.11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），于点，直线交轴于点，则（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，若且，则的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知单位向量，满足，则向量与的夹角的大小为 ．14.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为 ．15.造纸术是我国古代四大发明之一．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸，现在我国采用国际标准，规定以、、、；、、、等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，，如此对开至规格．现有、、、、纸各一张．若纸的面积为，则这张纸的面积之和等于 ．16.如图，正方体的棱长为，有下列四个命题：①与平面所成角为；②三棱锥与三棱锥的体积比为 ;③过点作平面，使得棱，，在平面上的正投影的长度相等，则这样的平面有且仅有一个；④过作正方体的截面，设截面面积为，则的最小值为．上述四个命题中，正确命题的序号为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，在四棱锥中，平面，是正方形，是中点，点在上，且．证明平面．若，求平面与平面所成二面角的正弦值．（1）（2）18.已知的面积为，边上的高是，.求外接圆的半径．求和的长．19.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题．例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等．更要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出名学生，调查中使用了两个问题．①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有个红球，个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球，摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了个小石子．【答案】解析:∵集合（1）（2）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？若从该地区中学生中随机抽取一个班（人），设其中恰有个人存在早恋的现象，求的分布列及数学期望．（1）（2）20.已知函数（）．当时，求曲线在点处的切线方程．若在定义域内为单调函数，求实数的取值范围．（1）（2）21.点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，设点的轨迹为曲线．求曲线的方程．过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，，两点为曲线上关于原点对称的两点，且（），求四边形面积的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，四边形的四个顶点都在曲线上．求曲线的直角坐标方程．若，相交于点，求的值．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．若不等式的解集包含，求实数的取值范围．D1.,,∴即．故选．解析:∵，∴．，故正确．故选．解析:∵双曲线，两条渐近线垂直，令，则，∴，则，又∵双曲线焦距为，则，，∴，所以该双曲线长轴长为，故正确．解析:数列为公差为的等差数列，A 2.B 3.B 4.D 5.∵，，成等比数列，则，，解得：，∴，，所以．故选．解析:如图程序框图中，初始值，，第次循环：，，，则？不成立；第次循环：，，，则？成立；，则？不成立；第次循环：，，，则？不成立；第次循环：，，，则？成立；，D 6.则？成立；循环终止，输出．故正确．解析:如频率分布直方图中，此位居民月均用水量在各组间频率为：在频率为，频率为， 频率为， 频率为， 频率为， 频率为， 频率为， 频率为， 频率为，由在频率为，在频率为，则吨比较适合做为标准．故选．解析:∵，而，，∴，∴，又天津四为，则心宿二为，∴．B 7.C 8.故选．解析:，，，，，由，则，则,，，如图可得，则，综上所述，．故选．解析:A 9.A 10.C 11.Ｄ＝－１由抛物线定义知，∴为等腰三角形，∵， ∴点为中点，又∵， ∴直线方程为，联立得，即，∵，∴，即，∴，．∴．故选．解析:若且，时，即与矛盾，舍．②时，即与矛盾，舍．③时，即，∵，则，则，，令，，则，时，，单调递减；时，，单调递增，故，又，，且，∴，∴，B 12.即．故选．13.解析:设单位向量与夹角为，∵，，∴．则，故．故答案为：．14.解析:圆，变形为，圆心为，半径，则圆心到直线距离为，由题意最小值为．15.解析:设纸张长度为，（），则又∵，∴纸张宽度为，又纸面积为，∴，∴，，，又，∴，，∴，又，∴，∴，故这张纸面积之和构成一个以为首项，为公比的等比数列，∴面积之和为．解析:对于①：连接，∵平面，设与交于点，连接，则即为直线与平面的夹角，则，故①正确；对于②：连接，设与交于点，①②④16.∵平面，，平面，，又，平面，故，，，故点为线段 的三等分点，则，故②正确；对于③：由②知，平面符合要求，注意到： ，，（1） ，则平面、平面、平面也符合要求，只需将四个平面平移至点即可，∴一共有这样的平面个，故③错误；对于④：设 ，作交于点，则平面，作，则有，连接，平面，，∵， ，即 ，，则，由柯西不等式有：，“”当且仅当 时取得，故，故④正确．综上，命题①②④正确．解析:∵平面，（1）证明见解析．（2）．17.（2）（1）（2）∴，又∵是正方形，是中点，，∴﹐∴，∴，∴，∴，∴，∴平面．建立如图空间直角坐标系，不妨设，则，由题意得，，，，，设平面的法向量为，∴，得，易得平面的法向量为，∴，∵二面角的正弦值为．解析:设角 ，，的对边分别为 ，， ， 由，得由， 求出，．设外接圆的半径为 ， 由 ，求得．由，得…①（1）（2），，或，18.（1）（2）（1）（2）由，得，∴…②由①②联立可解得，或∴，，或，．解析:摸到同色球的概率为，摸到异色球的概率为，据此可估计人中有人摸到同色球，人摸到异色球，因此有人回答了问题①，人回答了问题②；因为学生学籍号的后四位是序号，最后一位数是奇数的概率为，因此回答问题①的人有人回答了“是”，据此估计有人在问题②中回答了“是”，∴估计中学生的早恋人数的百分比为．依题意，分布列为，，∴．解析:由，∴，∴，，∴，∴切线方程为，即．由，（1）．（2）分布列为，；．19.（1）．（2）．20.（1）（2）设，则．①当时，，∴递减，由，，∴在不恒正或恒负，∴在不为单调函数，不符合．②当时，，，显然不能恒正或恒负，不符合．③当时，，得，且在上递增，在上递增，∴，，∴要使恒成立，则，即，∴，即时，在定义域不单调：时，在定义域内为单调递增．综上：从如成两为单调函数，则．解析:由题意得，即，∴曲线的方程为．①当直线斜率为零时，点与点重合，不满足，∴直线不与轴重合．②当直线斜率不为零时，设，代入得，整理得设，，，，则，，∴，（1）．（2）．21.（1）（2）（1）∵，∴，又点在曲线上，代入，即，化简得，①点到的距离为，设四边形的面积为，的面积为，∴，∴，由①得，∵，当时取得最小值，∴，四边形的取值范围为．解析:曲线的直角坐标方程为．设直线的倾斜角为，则该直线的参数方程为，其中为参数．与联立得，，则，设方程的根为，，则由直线参数方程的几何意义可得，同理．∴．解析:不等式可化为，或，或，解得，或，或，（1）曲线的直角坐标方程为．（2）．22.（1）的解集为.（2）实数的取值范围为．23.（2）所以的解集为.由题可知，即当时，不等式恒成立，即，即时，恒成立，令，所以，即，所以实数的取值范围为．。
乌鲁木齐地区2020年高三年级第一次质量监测理科数学高三
乌鲁木齐地区2020年高三年级第一次质量监测理科数学问卷（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合}082|{2<--=x x x A ，}09|{2≤-=x x B ，则集合=B A .A ]3,2(- .B ]3,4(- .C )2,3[- .D )4,3[-2. 已知复数z 满足|43|)21(i i z +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z = .A i 21+ .B i 21- .C i 21+- .D i 21--3. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线互相垂直，焦距为26，则该双曲线的实轴长为.A 3 .B 6 .C 9 .D 124. 已知m,n 为两条不同的直线，γβα，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是.A 若αα//,//n m ，则n m //.B 若βγβα⊥⊥,且m =γα ，则β⊥m .C 若αα⊂⊂n m ,，ββ//,//n m ，则βα// .D 若βαβα⊥⊥,//,n m ，则n m ⊥5. 数列}{n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且1341,,a a a 成等比数列，则=4S.A 8 .B 12 .C 16 .D 246. 若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为m n r mod =，例如5mod 122=，如图程序框图的算法源于我国古代著名的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的i 等于 .A 2 .B 4 .C 8 .D 167. 为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将该数据按照]5.4.4[),1,5.0[),5.0,0[ 分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准a ，使85%的居民用水量不超过a ，按平价收水费，超出a 的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准a 的是.A 2.5吨 .B 3吨 .C 3.5吨 .D 4吨8. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。
2020年新疆高考数学一模试卷(理科)
23. 设函数 f（x）=|x-2|+|3x-4|． （Ⅰ）解不等式 f（x）＞5x；
（Ⅱ）若 f（x）的最小值为 m，若实数 a，b 满足 2a+3b=3m，求证：a2+b2 ．
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1.【答案】A
答案和解析
【解析】【分析】 本题主要考查集合的简单运算及导数的运算．属于基础题．先求出函数的导数后，解两 个不等式化简集合 M、N，后求补集 CUN，最后求交集 M∩CUN 即得． 【解答】 解：∵f（x）=x2-3x+2， ∴f′（x）=2x-3， 由 x2-3x+2≤0 得 1≤x≤2，
由 2x-3＜0 得 x＜ ，
∴CUN=[ ，+∞），
∴M∩CUN=
.
故选 A.
2.【答案】B
【解析】解：∵z=-1+2i，
∴=
．
故选：B．
把 z=-1+2i 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
B. [-3，-1]
C. （-∞，-3]
D. （-∞，-1]
10. 已知点 A 是抛物线 C：x2=4y 的对称轴与准线的交点，过点 A 作抛物线 C 的两条切
线，切点分别为 P，Q，则△APQ 的面积为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11. 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直，AA1=2，BC=2，∠BAC= ，则三棱柱
19. 港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目大桥建 设需要许多桥染构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取 100 件测量这些桥梁构件的 质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55 ，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为 4：2：1． （Ⅰ）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[75，85]内的频率； （Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取 3 件，记这 3 件桥梁构件中质量指标值位于区间[45，75）内的桥梁构件件数为 X，求 X 的分布 列与数学期望．
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷(理科)
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B =I ) A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z = )A ．2B ．3CD ．43．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有( ) A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．（5分）已知向量,a b r r 满足||2,||3a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-=r r r r) A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A ．2B C ．32D 7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n = )A ．3B ．4C ．5D ．68．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是( ) A ．15B ．25 C ．35D ．459．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S = ) A ．16B ．31C ．32D ．6310．（5分）将奇函数()3)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是( ) A ．5(,)1212ππ-B ．5(,)1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,)1212ππ 11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00(,66)()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为( ) A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩…，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x +…，则实数m 的取值范围是( ) A ．[4，)+∞B ．[23,)+∞C ．[3，)+∞D ．[22,)+∞二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩„…„，则32z x y =+的最大值为 ．14．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α= ．15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n n n a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩…，2，)⋯，若33a =，则1a = ． 16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值274；③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ； ④存在唯一一点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =． 其中正确的命题是 （填写所有正确的序号）三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若2c =ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2)，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+． 选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C 的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率． 23．函数()|22||3|f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()25f x x +…的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++…．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B =I ) A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)【解答】解：Q 集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<， {|14}B x x =<<，{|13}(1,3)A B x x ∴=<<=I ．故选：D ．2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z = )A ．2B ．3CD ．4【解答】解：21(1)233321(1)(1)2i i iz i i i i i i i ++=-=-=-=---+，则|||2|2z =-=． 故选：A ．3．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知： 在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确．。
2020届新疆乌鲁木齐一模数学(理科)试卷及答案
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．43．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．68．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．459．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．6310．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x=B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为．14．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=．15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n nn a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是（填写所有正确的序号）三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2)，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C 的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)【解答】解： 集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|14}B x x =<<，{|13}(1,3)A B x x ∴=<<= ．故选：D ．2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．4【解答】解：21(1)233321(1)(1)2i i iz i i i i i i i ++=-=-=-=---+，则|||2|2z =-=．故选：A ．3．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确．故选：D ．4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【解答】解：0.621a => ，0.3log 0.6(0,1)b =∈，3log 0.60c =<，则有c b a <<．故选：A ．5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解： ||2,||3,,3a b a b π==<>=，∴221(2)(2)223242932312a b a b a b a b +-=-+=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-．故选：B ．6．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，可得c b =，22233c a c -=，2ce a===．故选：D ．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：模拟程序的运行，可得0S =，1n =2S =，2n =满足条件30S <，执行循环体，246S =+=，3n =满足条件30S <，执行循环体，6814S =+=，4n =满足条件30S <，执行循环体，141630S =+=，5n =此时，不满足条件30S <，退出循环，输出n 的值为5．故选：C ．8．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，从五个数中随机抽取2个不同的数有25C 种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到25442105P C ===，故选：B ．9．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．63【解答】解：14a ，22a ，3a 依次等差数列，可得21344a a a =+，显然公比q 不为1，则211144a q a a q =+，即为2440q q -+=，解得2q =，则551(1)12531112a q S q --===--．故选：B ．10．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ【解答】解： 奇函数())cos(2)2sin[(2)]6f x x x x πϕϕϕ=+-+=+-，06πϕ∴-=，6πϕ∴=，()2sin 2f x x =．把()f x 的图象向右平移6πϕ=个单位长度后得到函数()2sin(23y g x x π==-的图象，令3222232k x k πππππ+-+ ，求得5111212k x k ππππ++，故函数()g x 的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈，故选：D ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=【解答】解：如图所示，过M 点作CM ⊥直线22p px ==，垂足为C ，交准线于D ，∴5sin 7MCMFA MF∠==，由抛物线定义可得：MF MD =，∴005272px MC p MF x -==+00575722x p x p +=-03x p∴=点00()2pM x x >是抛物线上一点，∴202px =23666p ⨯=6p ∴=212y x∴=故选：C．12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞【解答】解：22,0()(),0x x f x f x x x ⎧--==-⎨<⎩ ，∴函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩，为R 上的奇函数，又0x 时，2()f x x =为增函数，()f x ∴为定义域R 上的增函数．又3f =，()3())f x m f x f ∴+= ， 对任意[,3]22m mx ∈+，()3())f x m f x f += ，()f x 为定义域R上的增函数，1)]1)(3)2max mm x ∴-=+ ，即13(11)22m ---=，解得：m ．即实数m的取值范围是，)+∞，故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=，故答案为：614．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=310+．【解答】解：因为4cos()35πα+=-，α为锐角，所以13sin()35απ+=，故11111sin sin()))33233ααππαπαπ=+-=+-+=故答案为：310+15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n n n a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =34．【解答】解：由1112,2,n n n nn a a a a a a a +⎧=⎨+<⎩ ，①若31a a ，则3232a a ==，232a =，又21a a <与212a a =+相矛盾，21a a ∴ ，21322a a ==，得134a =；②若31a a <，则322a a =+，21a ∴=，由2112a a ==，112a =，与31a a <不符．∴134a =．故答案为：34．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是①②③④（填写所有正确的序号）【解答】解：①由题意可得1//D F BE，1111111111111111111[](543543)2032232B BED F B BED B BFD D BEB D BFB V V V V V BB BC AB BBD A AB -----=+=+=+=⨯⨯+⨯⨯= ，所以①正确；②将长方体展开，如图所示，恰好过B 点时，截面的周长为12BD ，而在1BDD ∆中，1BD ==，所以最小值为1BED F 为平行四边形，且E 为展开图中唯一的点所以②正确；③E 嗲不与C ，1C 重合，则F 不会为A ，即CG 不在面1EBD 内，可作出CG 的平面与1EBD 平行，所以在棱AD 上均有相应的G ，使得//CG 面1EBD ，故③正确；④因为1BB BD =，可得对角面11BB D D 为正方形，可得11B D BD ⊥，若1BE B C ⊥时，由三垂线定理可得1B D BE ⊥，即有1B D ⊥面1EBD ，在矩形11BB C C 中，1BE B C ⊥，所以1CE BC BC CC =，所以1165BC BC CE CC ==，故④正确综上可得：正确为①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．【解答】解：()I 由题意结合正弦定理可得，22()3a b ab c +=+，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，(0,)C π∈ ，故13C π=，()II 由余弦定理可得，222a b ab =+-，所以，2222a b ab ab +=+ ，故2ab ，则1sin 22ABC S ab C ∆=，当且仅当a b ==时，面积取得最大值2．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取AD 中点N ，连结MN ，CN ，M 为PD 的中点，//MN AP ∴，2AD BC = ，AN BC ∴=，//BC AD ，∴四边形ABCN 是平行四边形，//AB CN ∴，CN NM N = ，BA AP A = ，∴平面//CMN 平面PAB ，CM ⊂ 平面MNC ，//CM ∴平面PAB ．（Ⅱ）解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，PBD ∆ 为等边三角形，AB AD AP ∴==，设2AB =，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0D ，2，0)，∴(2BD =- ，2，0)，(2BP =-，0，2)，设平面BDP 的法向理(n x =，y ，)z ，则220220n BD x y n BP x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(1n = ，1，1)，AD ⊥ 平面PAB ，∴平面PAB 的法向量(0n =，1，0)，||3cos ||||3n m n m θ∴== ．∴二面角A PB M --的余弦值为3．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-【解答】解：（Ⅰ）设2012年的快递业务量为a ，则9261%aa-=，解得57.1a ≈；即2012年的快递业务量为57.1亿件；（Ⅱ）由题意列表得，t12345y6152485128计算1(12345)35t =⨯++++=，1(6152485128)485y =⨯++++=，512222222515(161252348451528)5348ˆ 6.712345535ii i i it ytybtt==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===-++++-⨯-∑∑，ˆˆ48(6.7)368.1ay bt =-=--⨯=，所以y 关于t 的线性回归方程是ˆ 6.768.1yt =-+；（Ⅲ）令6t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7668.127.9(%)y=-⨯+=；所以2018年快递业务增长量为399.9(127.9%)511.5⨯+≈（亿件）；令7t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7768.121.2(%)y=-⨯+=；所以2019年快递业务增长量为511.5(121.2%)619.9⨯+≈（亿件）．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -，可得2c =，2a =a =，2b =，可得椭圆的方程为22184x y +=；（Ⅱ）D 点的横坐标为定值3-．理由如下：直线l 的斜率不为0，设:2AB x my =-，联立椭圆方程2228x y +=，可得22(2)440m y my +--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1y ，20y ≠，12242m y y m +=+，12242y y m=-+，两式相除可得1212y y m y y +=-，由1(4,)N y -，可设BN 的方程为2112(4)4y y y y x x --=++，令0y =，可得121122122021212144(2)44y x y y x y y my y x y y y y y y -------=-==---12121212122121212424333my y y y y y y y y y y y y y y y -+-++--===----．则D 点的横坐标为定值3-．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．【解答】解：2221()()x ax I f x x -+'=，0x >，对于221y x ax =-+，△28a =-，对称轴为4a x =，当△0时，即[a ∈-时，()0f x ' ，()f x 在(0,)+∞递增；当△0>时，即(a ∈-∞，-⋃，)+∞，方程有两个不同的根84a a m =，n =m n <，由于(0)1y =，当a <-，m ，0n <，函数在(0,)+∞递增；当a >，m ，0n >，函数()f x 在(0,)m ，(,)n +∞递增，(,)m n 递减；综上，a - 时，()f x 在(0,)+∞递增；a >时，()f x 在8(0,4a a --，8(4a a +-，)+∞上递增；在递减；()II 令1()()2g x f x x alnx x=-=--，0x >，方程()2f x x =有两个不相等的实数根，相当于函数()g x 由两个零点，222111()a ax axg x x x x x--'=-=-=，当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞递增，则()g x 至多只有一个零点，不成立；当0a >时，1(0,)x a ∈时，()g x 递增；1(x a ∈，)+∞递减，所以1()()min g x g a alna a==-+，由0a alna -+>，又0a >，所以a e >，因为1a是()g x 的极大值点，由11a>，g （1）10=-<，由a e >，a e a >，1a e a -<，21()a a a a g e alne e a e---=--=-+，对于2x y e x =-，易知y 在(,)e +∞递增，因为指数函数比幂函数增长的快，所以20a e a ->，()0a g e -<，所以函数()g x 在1(,)a e a -与1(a，1)各有一个零点，所以a e >，要证明2()2a f a e <+，即证明a e >时，211(22a alna e a---<成立，设h （a ）211(2()a alna a e e a =--->，h'（a ）22111lna a e =+--，由于h '（a ）在(,)e +∞递减，所以h '（a ）h '<（e ）0=，所以h （a ）在(,)e +∞递减；所以h （a ）h <（e ）22e e=-<，故原命题成立．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．【解答】解：（Ⅰ）曲线221:40C x y x +-=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=．直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为tan y x α=，(0,6πα∈．（Ⅱ）由已知可得：θα=，则||4cos AB αα=-，1||tan 4sin AM ραα==，由于|||AM AB =，所以4sin )ααα=-，解得tan k α==所以直线的斜率为23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．【解答】解：（Ⅰ）31,1()|22||3|5,3131,3x x f x x x x x x x +>⎧⎪=-++=-+-⎨⎪--<-⎩．()25f x x + ，∴31251x x x ++⎧⎨>⎩ 或52531x x x -++⎧⎨-⎩ 或31253x x x --+⎧⎨<-⎩，4x ∴ 或30x - 或3x <-，0x ∴ 或4x ，∴不等式的解集为{|0x x 或4}x ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()4min f x k ==．()4a b c k ∴+==，4ab ac ∴+=，22222222()()228a b c a b a c ab ac ∴++=++++= ，当且仅当a b c ===22228a b c ∴++ ．。
2020届新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测数学(理)试题(解析版)
2020届新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测数学（理）试题一、单选题1．若集合{}2|280A x x x =--<，{}2|90B x x =-≤，则集合A B =U （ ） A ．(]2,3-B ．(]4,3-C ．[)3,2-D ．[)3,4- 【答案】D【解析】求解一元二次不等式，解得集合,A B ，再求并集即可.【详解】对集合A ：2280x x --<，解得()2,4x ∈-；对集合B ：290x -≤，解得[]3,3x ∈-，故可得[)3,4A B ⋃=-.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及集合并运算，属基础题.2．已知复数z 满足(12)|34|z i i +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i -- 【答案】A【解析】先求34i +的模长，再利用复数除法运算求得复数z ，写出其共轭复数即可.【详解】因为345i +==， 故()()()512512121212i z i i i i -===-++-， 故其共轭复数z =12i +.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的求解，复数的除法运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.3．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，焦距为则该双曲线的实轴长为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】根据渐近线垂直，可得,a b 的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果.【详解】 因为两条渐近线互相垂直，故可得21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为焦距为2c =结合222a b c +=，解得3,3,a b c ===，故实轴长26a =.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.4．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD ．若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥【答案】B【解析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ，因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂；同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线，因为l γ⊥，故m γ⊥.故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误.故选：B.【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5．数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则4S =（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】D【解析】根据等比中项的定义，结合数列的公差为2，列方程即可求得数列的首项，进而利用公式求得4S .【详解】因为1a ，4a ，13a 成等比数列，故可得21134a a a ⋅=， 即可得()()2111246a a a +=+，解得13a =.故4S 14324242a ⨯⨯=+=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和与通项公式基本量的计算，涉及等比中项，属综合基础题. 6．若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为r nMODm =，例如212 5MOD =.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：==开始，7,1n i==，不满足13i n2,9=，nMOD故4,13i n ==，满足13nMOD =，但不满足25nMOD =，故8,21i n ==，不满足13nMOD =，故16,37i n ==，满足13nMOD =，满足25nMOD =，输出16i =.故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题. 7．为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照[)0,0.5，…，[]4,4.5分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准a .使85 %的居民用水量不超过a ，按平价收水费，超出a 的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准a 的是（ ）A ．2.5吨B ．3吨C ．3.5吨D ．4吨【答案】B 【解析】根据频率分布直方图中，长方形面积表示频率，找出将面积分割为0.85和0.15的数值，即为标准a .【详解】根据频率分布直方图，结合题意可得：()0.080.50.160.50.300.50.440.50.500.5 2.50.50.85a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯= 解得 2.72a =.故要满足85 %的居民用水量不超过a ，则a 比较合适的取值为3吨.故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率的计算，属基础题.8．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++)A ．1.24B ．1.25C ．1.26D ．1.27【答案】C【解析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得： ()211 1.25 2.5lgE lgE -=- 可得12110E lg E =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26.故选：C.【点睛】 本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.9．已知函数2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于6x π=对称 B ．()f x 为奇函数C ．()f x 的值域为[]3,1-D ．()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】A 【解析】利用降幂扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可.【详解】2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22133x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 236x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为2sin 262f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭是该函数的最大值，故6x π=是函数的对称轴，故A 正确； 因为()()2sin 26f x x f x π⎛⎫-=--≠- ⎪⎝⎭，故该函数不是奇函数，故B 错误； 因为[]2sin 22,26x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]2,2-，故C 错误； 由x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，在此区间内，正弦函数不单调，故D 错误； 综上所述，正确的是A .故选：A.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及正弦型函数性质的求解，属综合性基础题.10．已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin a αα=，()cos sin b αα=，()sin cos c αα=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得cos sin αα>，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小.【详解】因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得10cos sin αα>>>， 根据指数函数()(),0,1x y sin sin αα=∈是单调减函数，可得sin αcos sin sin ααα<，即可得b a <；根据幂函数(),0,1sin y x sin αα=∈是单调增函数，可得sin sin cos sin αααα>，即可得c a >综上所述：c a b >>.故选：A.【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中档题.11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥于点N ，直线NF 交y 轴于点D ，则||MD =（ ） A ．4B ．23C ．2D ．3【答案】B【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M 的坐标，即可得N 点坐标，进而可求得MF 的方程，容易得点D 的坐标，用两点之间的距离公式即可求得MD 的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点()1,0F ，故直线FM 的方程为)31y x =-，联立抛物线方程24y x =可得231030x x -+=，解得13x =或3x = 因为点M在第一象限，故可得()3,23M . 又因为准线方程为1x =-，故可得()1,?23N -. 则直线FN 的方程为()31y x =--，令0x =，解得3y =，即可得()0,3D . 故9323MD =+=.故选：B.【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.12．已知函数ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若αβ<且()()f f αβ=，则βα-的取值范围是（ ）A ．[]83ln3,6-B ．)283ln3,1e ⎡--⎣C ．[]94ln3,6-D ．)294ln 3,1e ⎡--⎣ 【答案】B【解析】根据()f x 的函数图像，结合()()f f αβ=，求得β的取值范围以及,αβ之间的等量关系，将βα-表示为β的函数，求该函数在区间上的值域即可.【详解】 因为ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，故其函数图像如下所示：令11lnx -=，解得2x e =；令11lnx -=-，解得1x =.数形结合可知，若要满足()()f f αβ=，且αβ<，则()21,e β∈，且()1213ln αβ+=-，解得35ln αβ=-. 故βα-35ln ββ=-+，()21,e β∈. 令()()235,1,g x x lnx x e=-+∈，则()31g x x '=-，令()0g x '=，解得3x =， 故()g x 在区间()1,3单调递减，在区间()23,e单调递增， 则()()()2216,3833,1g g ln g ee ==-=-， 故())2833,1g x ln e ⎡∈--⎣. 即可得βα-)2833,1ln e ⎡∈--⎣. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，以及构造函数的能力，数形结合的能力，属综合性中档题.二、填空题 13．已知单位向量a r ，b r 满足()22a a b ⋅+=r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角的大小为__________． 【答案】3π 【解析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为a r ，b r 均是单位向量，故可得1,1a b ==r r ，故可得()222,?2a a b a a b cos a b ⋅+=+=r r r r r r r r ， 即2?,?1cos a b =r r ，解得1,?2cos a b =r r ， 又因为向量夹角的范围为[]0,π， 故,a b r r 的夹角为3π.故答案为：3π. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.14．造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系为:x y =A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张.若A4纸的面积为2624cm ，则这9张纸的面积之和等于______2cm . 【答案】19929【解析】根据题意，求出4A 纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前n 项和的计算公式，即可求得. 【详解】由题可设，0A 纸的面积为S ，根据题意，纸张面积是首项为S ，公比为12的等比数列， 则容易知4A 纸张的面积为416242S ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故可得9984S =， 故纸张面积是一个首项为9984，公比为12的等比数列， 故9张纸的面积之和为911219929112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-. 故答案为：19929. 【点睛】本题考查实际问题中等比数列的应用，问题的关键是要构造等比数列，属中档题. 15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，有下列四个命题： ①1BC 与平面11BCD A 所成角为30°；②三棱锥1A A BD -与三棱锥11C A BD -的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，1AA 在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且仅有一个；④过1BD 作正方体的截面，设截面面积为S ，则S的最小值为62. 上述四个命题中，正确命題的序号为______.【答案】①②④【解析】根据线面角的求解方法，棱锥体积的求解，正方体截面的相关性质，对选项进行逐一分析即可求得. 【详解】对①：连接1C D交1D C 与H ，连接BH ，作图如下：因为1111ABCD A B C D -是正方体，故可得BC ⊥平面11CC D D ， 又因为CH ⊂平面11CC D D ，故可得CH BC ⊥，又1CH D C ⊥， 故可得CH ⊥平面1//MN A C ，则1C BH ∠即为所求线面角. 在1Rt C BH n 中，111222CH C D C B === 故可得1112CH sin C BH C B ∠==，又线面角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故130C BH ∠=︒，则1BC 与平面11BCD A 所成角为30°， 故①正确；对②：因为正方体棱长为1， 故可得11111111113326A A BD A ABD ABD V V S A A --==⨯=⨯⨯⨯⨯=n ； 而棱锥11 C A BD -的体积可以理解为正方体的体积减去4个体积都和1A A BD V -相等的三棱锥的体积， 故1111463A A BD V -=-⨯=. 故棱锥1 A A BD -与三棱锥11 C A BD -的体积比为1:2， 故②正确；对③：若棱1,,AD AA AB 在平面α的同侧，则α为过点A 且与平面1A BD 平行的平面； 若棱1,,AD AA AB 中有一条棱与另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面有3个；故满足题意的平面α有4个. 故③错误；对④：根据题意，取11,AA C C 中点为,M N ,则过1BD 作正方体的截面如下：则过1BD 的所有截面中，当截面1D MBN 为菱形时，面积最小， 其面积为11162322S MN D B =⨯==. 故④正确.总上所述，正确的有①②④. 【点睛】本题考查线面角的求解，正方体截面面积的求解，涉及棱锥体积的计算，属中档题.三、解答题16．已知点N 在圆224470x y x y +-++=上，点M 在直线3460x y -+=上，则MN的最小值为______. 【答案】3【解析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求. 【详解】因为圆方程为224470x y x y +-++=，故圆心坐标为()2,2,1r -=，则圆心到直线的距离226864134d ++==>+，则直线与圆相离.故MN 的最小值为413d r -=-=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查圆心到直线上一点距离的最值问题，属基础题.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是CD 中点，点F 在BC 上，且3BF FC =.（1）证明EF ⊥平面PAE ； （2）若54PA AB =，求平面PAB 与平面PEF 所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解；(2)5 【解析】（1）根据PA ⊥平面ABCD ，可得EF PN ⊥，再证EF AE ⊥，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故可得EF PA ⊥；设底面正方形的边长为4，故可得2216425AEAD DE =+=+=，22145EF FC CE =+=+=，221695AF AB BF =+=+=，故在AFE n 中，满足222AE EF AF +=，故可得AE EF ⊥； 又,PA AE ⊂平面PAE ，且PA AE A ⋂=， 则EF ⊥平面PAE ，即证.（2）因为PA ⊥平面ABCD ,,AB AD ⊂平面ABCD ，故可得,PA AB PA AD ⊥⊥， 又底面ABCD 为正方形，故可得AB AD ⊥，故以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：设4AB =，故可得()()()()()0,0,0,0,0,5,4,0,0,2,4,0,4,3,0A P B E F 设平面PEF 的法向量为(),,m x y z =r，则00m EF m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，则202450x y x y z -=⎧⎨+-=⎩ 取2y =，则()1,2,2m =r.不妨取平面PAB 的法向量()0,1,0n r =.则2,?391m n cos m n m n ⋅===⨯r rr rr r . 设平面PAB 与平面PEF 所成二面角的平面为θ， 则251cos ,3sin m n θ=-=r r. 即平面PAB 与平面PEF 所成二面角的正弦值为53. 【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题. 18．已知ABC ∆的面积为3，BC 边上的高是2，tan 3A =. （1）求ABC ∆外接圆的半径； （2）求AB 和AC 的长. 【答案】(1)；(2) AB AC ==或AB AC ==【解析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，再利用同角三角函数关系，求得sinA ，最后利用正弦定理，即可求得外接圆半径；（2）利用面积公式以及余弦定理，求得AB 和AC 的方程组，解方程组即可. 【详解】设三角形的边长,,BC a AC b AB c ===. （1）由面积公式1232S a =⨯=，解得3a =. 因为3tanA =，()0,A π∈，故由同角三角函数关系，容易得cosA sinA ==.由正弦定理可得2aR sinA===. 故ABC n. （2）由面积公式可得132S bcsinA ==，结合（1）中所求，可得bc =由余弦定理可得229210b c cosA bc +-==，解得2213b c +=， 即()213213b c bc +=+=+=解得b c +=bc =可得b c ==b c ==故AB AC==AB AC ==.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形外接圆半径的求解，属综合基础题.19．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问題.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子.（1）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X个人存在早恋的现象，求X的分布列及数学期望.【答案】(1)5%；(2)分布列见详解，数学期望为21 400.【解析】（1）先计算出摸两个球，出现同色和异色的概率，据此计算出回答第一个问题和第二个问题的人数，再根据学籍号最后一位是奇数的概率为12，计算出回答第一个问题选择“是”的同学个数，从而算出回答早恋选择“是”的同学个数，据此估算百分比即可；（2）根据题意可知，X服从二项分布，结合（1）中所求，写出分布列，计算出数学期望即可.【详解】（1）从10个球中随机摸取两个球，摸到两球同色的的概率2246210715C CPC+==.故回答第一个问题的人数为730014015⨯=人，则回答第二个问题的人数为160人；又学籍号最后一位是奇数还是偶数，是等可能的，故回答第一个问题，选择“是”是的同学个数为1140702⨯=人，则回答第二个问题，选择“是”的同学个数为8人，则中学生早恋人数的百分比为85% 160=.（2）根据（1）中所求，可知1~2,?20X B⎛⎫⎪⎝⎭，且X可取值为0,1,2，故可得()020211902020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111211912020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22211922020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故X 的分布列如下所示：故()36119121012400400400400E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的特点，以及二项分布分布列的求解和数学期望的计算，属综合性中档题.20．已知函数2()ln f x ax x x x =--（a R ∈）. （1）当1a e=时，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程； （2）若()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)y x =-；(2) ,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）对函数求导，解得函数在点()(),e f e 处切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程； （2）构造函数()22lnx g x x+=，利用导数求解其值域，再根据()f x '与()g x 之间的关系，求解恒成立问题即可得参数的范围. 【详解】（1）当1a e =时，()2x f x xlnx x e=--，故()22f x x lnx e '=--；故可得()()1,f e f e e -'==-，故切线方程为：()y e x e +=--，整理得y x =-.故曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为y x =-.（2）因为()2ln f x ax x x x =--，故可得()22f x ax lnx '=--.若()f x 在定义域内为单调函数，则()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立. 构造函数()22lnx g x x +=，故可得()()‘212lnx g x x -+=， 令()’0g x =，解得1x e=， 故()g x 在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故()12maxeg x g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞. 故(),2e g x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.若要保证()0f x '≥在定义域内恒成立，即220ax lnx --≥恒成立， 即22lnx a x +≥在定义域内恒成立，则只需()2max ea g x ≥=； 若要保证()0f x '≤在定义域内恒成立，则220ax lnx --≤恒成立， 则22lnx a x+≤在定义域内恒成立，但()g x 没有最小值，故舍去. 综上所述，要保证()f x 在定义域内为单调函数， 则,2ea ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及根据函数单调性，利用导数求参数的范围，属综合中档题.21．点(,)P x y 与定点(1,0)F -的距离和它到直线:3l x =-，设点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C ，D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且CO OM λ=u u u r u u u u r（0λ>），求四边形ACBD 面积的取值范围.【答案】(1)22132x y +=；(2) 4,⎡⎣. 【解析】（1）设出点P 的坐标，根据题意，列出方程，整理化简即可求得动点的轨迹方程；（2）设出直线AB 的方程，利用弦长公式求得AB ，再利用OC OM λ=u u u r u u u u r，建立直线CD与AB 之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的值域即可. 【详解】（1）设动点(),P x y ，则P 到直线:3l x =-的距离3d x =+，由题可知：PFd ==，两边平方整理可得：22132x y +=故曲线E 的方程为：22132x y +=.（2）因为(0)OC OM λλ=>u u u r u u u u r，故,O M 两点不可能重合，则直线AB 的斜率不可能为0， 故可设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程22132x y +=，可得()2223440m y my +--=， 设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则可得12122244,2323m y y y y m m -+==++， 则()121226223x x m y y m +=+-=-+ 故可得2232,2323m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为(0)OC OM λλ=>u u u r u u u u r，故可得,,0,C M D 四点共线，故可得2222233323CDm m m k m +==--+. 不妨设直线CD 方程为y kx =，23m k =-， 联立直线y kx =与椭圆方程22132x y +=可得()22236kx+=，设()()3344,,,C x y D x y ，则33x y ==-C ⎛- ⎝则44x y ==D 则点,C D 到直线AB 的距离为：1d =2d =将23mk =-代入上式即可得：1d ==，2d =故212223m d d ++=又根据弦长公式可得：22123m AB m +==+故四边形面积()221222231112223m m S AB d d m ++=+=⨯+==因为23322m+≥，则21120,?332m⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，21221,1332m⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭+⎫⎪⎪⎣⎭故4,⎡⎣.故四边形ACBD面积的取值范围为4,⎡⎣.【点睛】本题考查椭圆轨迹方程的求解，以及椭圆中四边形面积的范围问题，计算量相对较大，属综合性困难题.22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为2ρ=，四边形ABCD的四个顶点都在曲线E上.（1）求曲线E的直角坐标方程；（2）若AC，BD相交于点()1,1P，求||||||||PA PB PC PD⋅⋅⋅的值.【答案】(1)224x y+=；(2)4【解析】（1）将2ρ=两边平方，利用公式，即可转化为直角坐标方程；（2）写出直线,AC BD的参数方程，根据直线参数的几何意义，即可求得.【详解】（1）将2ρ=两边平方，即可得24ρ=，即可得224x y+=.（2）因为直线,AC BD都经过点()1,1P，故直线AC的参数方程为：1(1x tcosy tsinααα=+⎧⎨=+⎩为参数)；直线BD的参数方程为：1(1x tcosy tsinθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)；联立直线AC 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t αα++-=，设,A C 两点对应的参数为12,t t ，故可得122t t =-； 同理联立直线BD 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t θθ++-=，设,B D 两点对应的参数为34,t t ，故可得342t t =-； 根据直线参数方程中t 的几何意义可知：||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅12344t t t t ==.即为所求.【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及利用直线参数方程中参数的几何意义，求解线段长度的乘积，属基础题. 23．已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[] 3,2-；(2)[]1,1-. 【解析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得. 【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤， 解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立， 解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤， 解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立. 则只需()22g x x ax =--满足：()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤， 解得[]1,1a ∈-. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。