例题3.2
§3.2 边际分布与独立性
pj
3 5
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j C ） ） C3 ） ） （ （ （ （ 3 3 3 3
i 3
i, j 0,1, 2,3.
1 i 2 3-i Pi P(Ｘ i) C ） ） （ （ i 0， 2 3 1，，。 3 3 j 1 j 2 3-j Pj =P(Ｙ j) C3 ） ） （ （ j 0， 2 3。 1，， 3 3
FX ( x)
xi x
j1
i=1
P(X xi , Y y j )
xi x
j1
yj y
Pij
Pij
同理：Y ( y) F
yj y
P(X xi , Y y j )
i=1
2、已知(X,Y)的密度函数，求边际分布函数。
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j （ （ （ （ P(Ｘ i)P(Ｙ j) C ） ） C3 ） ） 3 3 3 3 i j 1 i j 2 6 i j i, j 0,1, 2,3. C3C3 ( ) ( )
i 3
由上面的4个例题可以看出：
1、求(X,Y)的联合分布列的方法，是按照乘法公式进行的， P(X=xi，Y=y j ) P(X=xi )P(Y=y j | X=xi )
-2y
同理
1-e FY(y)= 0
y0 y0
2e-2y y 0 PY ( y ) y0 0
4
P(（X+Y） 1 )
1 1 y
x +y）1
P( x, y )dxdy
七年级数学上册第三章用字母表示数3.2代数式典型例题
《代数式》典型例题例1 列代数式，并求值．有两种学生用本，一种单价是0.25元，另一种单价是0.28元，买这两种本的数分别是m 和n ．（1）问共需要多少元？（2）如果单价是0.25元的本和单价是0.28元的本分别买了20和25本，问共花了多少钱？例2 某城市居民用电每千瓦时（度）0.33元，某户本月底电能表显示数m ，上月底电能表显示数为n ，（1）用m 和n 把本月电费表示出来；（2）若本月底电能表显示数是1601，上月底电能表显示数为1497，问本月的电费是多少？例3 春节前夕，铁路为了控制客流，使其卧铺票票价上浮20％，春节期间按原价下浮10％，若某地到北京的卧铺票原价是x 元，如果在春节期间乘坐要比春节前少花多少钱，用x 表示出；当228=x 时，求这个代数式的值。
例4 22b a -可以解释为___________．例5 一个三位数，百位数上的数是a ，十位上的数是b ，个位上的数是c ．（1）用代数式表示这个三位数．（2）把它的三位数字颠倒过来，所得的三位数又该怎样表示？例6 选择题1．x 的3倍与y 的2倍的和，除以x 的2倍与y 的3倍的差，写成的代数式是（ ）A ．y x y x 3223-+B ．xy y x 2323-+ C ．y x y x 3223-+ D ．y x y x 2223-+ 2．如图，正方形的边长是a ，圆弧的半径也是a ，图中阴影部分的面积是（ ）A ．224a a -πB ．22a a π-C ．22a a -πD ．224a a π-例7 通过设20031413121,20021413121++++=++++= b a 来计算：).20021413121()200314131211()20031413121()200214131211(++++⋅+++++-++++⋅+++++ 例8 按给的例子，把输出的数据填上例9 对于正数，运算“*”定义为b a abb a +=*，求)333**（．参考答案例1 分析 已知单价和商品数量，求商品的总价，就是用单价乘以商品数量．解：（1）共需要n m 28.025.0+（元）；（2）把25,20==n m 代入上式，得122528.02025.028.025.0=⨯+⨯=+n m （元）所以，共花了12元钱．说明：在列代数式时经常要用到小学学过的常用数量关系，然后和小学列算式基本相似，把数量关系中的各量用已知数和表示该量的字母表示出来，就列出了代数式．例2 分析：根据电费＝电费 / 度×电量，就可以把本月的电费表示出来．解：（1）本月电费可表示为)(33.0n m -元；（2）把1497,1601==n m 代入上式，得 32.34)14971601(33.0)(33.0=-=-n m （元）．说明：本月底电能表显示的电量应包含以前的用电费，所以)(n m -才是本月的用电量．例3 分析：把春节前夕的票价和春节期间的票价分别用x 表示出来，就可求出春节期间乘坐比春节前夕乘坐少花的钱数。
MATLAB 3.2—3.6 例题
dengMATLAB 3.5例题（一）3-27（a）>> A={zeros(2,2,2),'Hello';17.35,1:100}A =[2x2x2 double] 'Hello'[ 17.3500] [1x100 double]>> B=[{zeros(2,2,2)},{'Hello'};{17.35},{1:100}]B =[2x2x2 double] 'Hello'[ 17.3500] [1x100 double]>> C={1}C =[1]>> C(2,2)={3}C =[1] [][] [3]>> isequal(A,B)ans =1>> whosName Size Bytes ClassA 2x2 1122 cell arrayB 2x2 1122 cell arrayC 2x2 144 cell arrayans 1x1 1 logical array Grand total is 243 elements using 2389 bytes（二）3-27（b）>> A=cell(1)A ={[]}>> B=cell(3,2)B =[] [][] [][] []>> C=cell(2,2,2)C(:,:,1) =[] [][] []C(:,:,2) =[] [][] []>> whosName Size Bytes ClassA 1x1 4 cell arrayB 3x2 24 cell arrayC 2x2x2 32 cell array ans 1x1 1 logical arrayGrand total is 16 elements using 61 bytes（三）3-28（a）>> A={zeros(2,2,2),'Hello';17.35,1:100}A =[2x2x2 double] 'Hello'[ 17.3500] [1x100 double]>> B=A(1,2)B ='Hello'>> class(B)ans =cell>> whosName Size Bytes ClassA 2x2 1122 cell arrayB 1x1 70 cell arrayC 2x2x2 32 cell array ans 1x4 8 char arrayGrand total is 136 elements using 1232 bytes（四）3-28（b）>> A={zeros(2,2,2),'Hello';17.35,int16(1:10)};>> C=A{1,2}C =Hello>> class Cans =char>> whosName Size Bytes ClassA 2x2 342 cell arrayB 1x1 70 cell arrayC 1x5 10 char array ans 1x4 8 char arrayGrand total is 43 elements using 430 bytes（五）3-28（c）>> A={zeros(2,2,2),'Hello';17.35,int16(1:10)};>> D=A{1,2}(4)D =l>> E=A{2,2}(5:end)E =5 6 7 8 9 10>> class(E)ans =int16>> whosName Size Bytes ClassA 2x2 342 cell arrayB 1x1 70 cell arrayC 1x5 10 char arrayD 1x1 2 char arrayE 1x6 12 int16 array ans 1x5 10 char arrayGrand total is 51 elements using 446 bytes（六）3-30>> A={rand(2,2,2),'Hello',pi;17,1+i,magic(5)}A =[2x2x2 double] 'Hello' [ 3.1416][ 17] [1.0000+ 1.0000i] [5x5 double]>> B=cellfun('isreal',A)B =1 1 11 0 1>> C=cellfun('length',A)C =2 5 11 1 5>> D=cellfun('isclass',A,'double')D =1 0 11 1 1>> whosName Size Bytes ClassA 2x3 666 cell arrayB 2x3 6 logical arrayC 2x3 48 double arrayD 2x3 6 logical arrayE 1x6 12 int16 arrayans 1x5 10 char array Grand total is 76 elements using 748 bytesMATLAB 3.6例题（一）3-32（a）>> ='Why';>> Student.age=26;>> Student.grade=uint16(1);>> whosName Size Bytes Class Student 1x1 388 struct array Grand total is 8 elements using 388 bytes>> StudentStudent =name: 'Why'age: 26grade: 1（二）3-32（b）>> Student(3).name='Deni';>> Student(3).grade=2;>> whosName Size Bytes Class Student 1x3 540 struct array Grand total is 19 elements using 540 bytes>> Student(2)ans =name: []age: []grade: []>> Student(3).ageans =[]（三）3-33>> Student=struct('name','Way','age',26,'grade',uint16(1))Student =name: 'Way'age: 26grade: 1>> whosName Size Bytes ClassStudent 1x1 388 struct array ans 0x0 0 double arrayGrand total is 8 elements using 388 bytes>> Student=struct('name',{'Deni','Sherry'},'age',{22,24},'grade',{2,3}) Student =1x2 struct array with fields:nameagegrade>> whosName Size Bytes ClassStudent 1x2 604 struct array ans 0x0 0 double arrayGrand total is 20 elements using 604 bytes>> Student=struct('name',{},'age',{},'grade',{})Student =0x0 struct array with fields:nameagegrade>> whosName Size Bytes ClassStudent 0x0 192 struct array ans 0x0 0 double arrayGrand total is 0 elements using 192 bytes>> Student=repmat(struct('name','Way','age','26','grade',1),1,3) Student =1x3 struct array with fields:nameagegrade>> Student(3)ans =name: 'Way'age: '26'grade: 1（四）3-34Student=struct('name',{'Deni','Sherry'},'age',{22,24},'grade',{2,3},'score',{rand(3)*10,rand(3)*10} );>> StudentStudent =1x2 struct array with fields:nameagegradescore>> Student(2).scoreans =4.4470 9.2181 4.05716.15437.3821 9.35477.9194 1.7627 9.1690>> Student(1).score(1,:)ans =9.5013 4.8598 4.5647>> ans =Denians =Sherry>> Student.('name')ans =Denians =Sherry（五）3-35>> mean(Student(1).score)ans =5.9604 7.1313 4.3213>> mean(Student.score)??? Error using ==> sumDimension argument must be a positive integer scalar.Error in ==> mean at 31y = sum(x,dim)/size(x,dim);>> mean([Student.score])ans =5.9604 7.1313 4.32136.1736 6.12107.5269（六）3-36>>Student=struct('name',{'Deni','Sherry'},'age',{22,24},'grade',{2,3},'score',{rand(3)*10,rand(3)*10} );>> Class.number=1;>> Class.Student=Student;>> whosName Size Bytes ClassCLass 1x1 132 struct arrayClass 1x1 1188 struct arrayStudent 1x2 932 struct arrayans 1x6 48 double arrayGrand total is 91 elements using 2300 bytes>> ClassClass =number: 1Student: [1x2 struct]>> Class=struct('number',1,'Student',struct('name',{'Way','Deni'}))Class =number: 1Student: [1x2 struct]MATLAB 3.2—3.4例题uiopen('F:\Matlab\anzhuang\work\WZY_2011885250328',1) 注意学号A=[1,2,3];B=[4,5,6];C=A+B;whosName Size Bytes ClassA 1x3 24 double arrayB 1x3 24 double arrayC 1x3 24 double arrayGrand total is 9 elements using 72 bytesD=int16(A)+int16(B)D =5 7 9whosName Size Bytes ClassA 1x3 24 double arrayB 1x3 24 double arrayC 1x3 24 double arrayD 1x3 6 int16 arrayGrand total is 12 elements using 78 bytesE=C+D??? Error using ==> plusIntegers can only be combined with integers of the same class, or scalar doubles.A=86;B=77;C=bitand(A,B)C =68a=uint16(A);b=uint16(B);c=bitand(a,b)c =68whosName Size Bytes ClassA 1x1 8 double arrayB 1x1 8 double arrayC 1x1 8 double arrayD 1x3 6 int16 arraya 1x1 2 uint16 arrayb 1x1 2 uint16 arrayc 1x1 2 uint16 arrayGrand total is 9 elements using 36 bytesa=inf;class(a)ans =doubleb=int16(a)32767c=sin(a)c =NaNsin(c)ans =NaNclass(c)ans =doubleint64(c)ans =0 a=ia =0 + 1.0000ii=1i =1b=i+jb =1.0000 + 1.0000iclearc=i+jc =0 + 2.0000iA=[]A =[]B=ones(2,3,0)B =Empty array: 2-by-3-by-0C=randn(2,3,4,0)C =Empty array: 2-by-3-by-4-by-0whosName Size Bytes ClassA 0x0 0 double arrayB 2x3x0 0 double arrayC 4-D 0 double arrayc 1x1 16 double array (complex) Grand total is 1 element using 16 bytesA(2,2,3)=1A(:,:,1) =0 00 0A(:,:,2) =0 00 0A(:,:,3) =0 00 1A(:,:,3)=[]A(:,:,1) =0 00 0A(:,:,2) =0 00 0B=reshape(1:24,4,6)B =1 5 9 13 17 212 6 10 14 18 223 7 11 15 19 234 8 12 16 20 24 B(:,[2 3 4])=[]B =1 17 212 18 223 19 234 20 24A=eye(3);B=logical(A)B =1 0 00 1 00 0 1C=true(size(A))C =1 1 11 1 11 1 1D=false([size(A),2])D(:,:,1) =0 0 00 0 00 0 0D(:,:,2) =0 0 00 0 00 0 0whose??? Undefined function or variable 'whose'.whosName Size Bytes ClassA 3x3 72 double arrayB 3x3 9 logical arrayC 3x3 9 logical arrayD 3x3x2 18 logical arrayc 1x1 16 double array (complex)Grand total is 46 elements using 124 bytesa=truea =1isnumeric(a)ans =b=1;isnumeric(b)ans =1a=eye（3）；??? a=eye（3）；|Error: Missing variable or function.a=eye(3);b=a;b(3,1)=1;a&&b??? Operands to the || and && operators must be convertible to logical scalar values. a&bans =1 0 00 1 00 0 1whosName Size Bytes ClassA 3x3 72 double arrayB 3x3 9 logical arrayC 3x3 9 logical arrayD 3x3x2 18 logical arraya 3x3 72 double arrayans 3x3 9 logical arrayb 3x3 72 double arrayc 1x1 16 double array (complex) Grand total is 73 elements using 277 bytesa=[1 0 1;1 0 0;1 1 0;1 1 1]a =1 0 11 0 01 1 01 1 1all(a)ans =1 0 0any(a)ans =1 1 1A=reshape(1:9.3,3);??? Error using ==> reshapeSize vector must have at least two elements.A=reshape(1:9,3,3);B=magic(3);A>Bans =0 1 10 0 10 0 1ans =0 0 00 1 00 0 0 A=reshape(-4:4,3,3) A =-4 -1 2-3 0 3-2 1 4 B=~(A>=0)B =1 1 01 0 01 0 0 C=(A>0)&(A<3)C =0 0 10 0 00 1 0 diary offa=127a =127class(a)ans =size(a)ans =1 1b='127'b =127class(b)ans =charsize(b)ans =1 3whosName Size Bytes ClassA 3x3 72 double arrayB 3x3 9 logical arrayC 3x3 9 logical arrayD 3x3x2 18 logical arraya 1x1 8 double arrayans 1x2 16 double arrayb 1x3 6 char arrayc 1x1 16 double array (complex) Grand total is 52 elements using 154 bytesa='This is No.3-16 Example!'a =This is No.3-16 Example! b=a(1:4)b =Thisc=a(12:15)c =3-16d=a(17:end)d =Example!a='hello'a =hellob='MOTO!';length(a)==length(b) ans =1c=[a,' ',b]c =hello MOTO!d=[a;b]d =MOTO!size(c)ans =1 11size(d)ans =2 5a='Hello MOTO!';b=double(a)b =72 101 108 108 111 32 77 79 84 79 33='您好!';??? ='您好!';|Error: The expression to the left of the equals sign is not a valid target for an assignment.c='您好!';d=double(c)d =24744 22909 33char(d)ans =您好!a='Hello';b='MOTO!';c=strcat(a,b)HelloMOTO!d =strvcat(a,b,c)d =HelloMOTO!HelloMOTO!whosName Size Bytes ClassA 3x3 72 double arrayB 3x3 9 logical arrayC 3x3 9 logical arrayD 3x3x2 18 logical array a 1x5 10 char array ans 1x3 6 char arrayb 1x5 10 char arrayc 1x10 20 char arrayd 3x10 60 char array Grand total is 98 elements using 214 bytesa='The fist string';b='The second string';c=strcmp(a,b)c =d=strncmp(a,b,4)d =1whosName Size Bytes ClassA 3x3 72 double arrayB 3x3 9 logical arrayC 3x3 9 logical arrayD 3x3x2 18 logical array a 1x15 30 char array ans 1x3 6 char arrayb 1x17 34 char arrayc 1x1 1 logical arrayd 1x1 1 logical array Grand total is 82 elements using 180 bytesdiary off。
中职数学拓展模块一(上册)3.2双曲线
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 已知双曲线的方程,求焦点坐标和焦距.
解 （2）将双曲线的方程化为标准方程,为
因为含y的项的系数为正数,所以双曲线的焦点在y轴上,并且
a²=8,b²=8.于是有
c²=a²+b²=16，
从而可得
c=4,2c=8.
所以,双曲线的交点坐标分别为(0,-4)、(0,4),焦距为8.
3.2 双曲线
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
我们可以通过一个实验来完成.
（1）取一条拉链,把它拉开分成两条,将其中一条剪 短.把长的一条的端点固定在点F1出,短的一条的端点固 定在点F2处；
（2）将笔尖放在拉链锁扣M 处,随着拉链的拉开或 闭合,笔尖 就画出一条曲线(图中右边的曲线)；
（3）再把拉链短的一条的端点固定在点F1处,长的 一条的端点固定在点F2处.类似地,笔尖可面出另一条曲 线(图中左边的曲线).
3.2 双曲线
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
拉链是不可伸缩的,笔尖(即点M )在移动过程中,与两个点 F1、F2 的距离之差的绝对值始终保特不变.
3.2双曲线
3.2 双曲线
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
广州塔是目前世界上已经建 成的最高的塔桅建筑,广州塔的 两侧轮廓线是什么图形？有什 么特点？
3.2 双曲线
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出,广州塔两侧的轮廓 线是关于塔中轴对称的两条曲线, 它们分别从塔的腰部向上下两个 方向延伸,人们称这样的曲线为双 曲线．那么,如何画出双曲线呢？
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4(2021学年)
高中数学第三章三角恒等变换3．２倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换 3.２倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为高中数学第三章三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式例题与探究新人教B版必修4的全部内容。
3.２ 倍角公式和半角公式典题精讲例1 求下列各式的值:(１)c ｏｓ12πc ｏs 125π； （2)(ｃos 12π－s ｉn 12π）（c ｏs 12π+sin 12π);(3）21－ｃos 28π；（４)-32+34cos 215°．思路分析：本题考查倍角公式的变形及应用。
(1）题添加系数２，即可逆用倍角公式;（2）题利用平方差公式之后再逆用倍角公式;（3）中提取系数21后产生倍角公式的形式;(4）则需提取系数32. 解:(1)cos 12πc ｏｓ125π=cos 12πsin 12π＝21×2cos 12πsin 12π=21s ｉn 6π=41; (2)(cos12π—s ｉn 12π)（co ｓ12π+s ｉn 12π)＝ｃos 212π-si ｎ212π=c ｏs 6π=23； （3)21-ｃos28π＝－21(2c ｏｓ２8π－1)=—21co ｓ4π=—42；(4）-32+34cos 215°=32(2cos 215°-1）＝32ｃos ３0°=33。
绿色通道：根据式子本身的特征,经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征。
§3.2 柯西积分定理与原函数
外面的闭曲线C 按逆时针进行,
内部的闭曲线C1 按顺时针进行,
(即沿 的正向进行时, 的 内部总在 的左手边),
那末
A
D1
C
F
A
F E
E
C1
B
B
f ( z )dz 0.
D
解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理
19
2. 复合闭路定理 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 ,
2
i
1 1 1 2 2 2 sin( ) sin . sin z 2 2 2 0
(使用了微积分学中的“凑微分”法)
15
例5 解
求 z cos zdz 的值.
0
i
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
依题意知,
在 内作两个互不包含也互 不相交的正向圆周 C1 和 C 2 ,
o
1
x
22
C1 只包含奇点z 0,
C2 只包含奇点 z 1,
根据复合闭路定理,
2z 1 dz 2 z z
2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 z z z z C1 C2
i 0 0 i
i
i
i [ z sin z cos z ]0 e 1 1.
此方法使用了微积分中“分部积分法”
16
例6 解
求
1 i
1
ze dz 的值.
z
利用分部积分法可得
ze z 的一个原函数为( z 1)e z ,
3.2熔化和凝固(知识点+例题)(解析版)
人教版八年级物理上册第3章《物态变化》第2节熔化和凝固讲义（知识点总结+例题讲解）序号知识点难易程度例题数变式题数合计一熔化★ 6 616二凝固★ 2 2一、熔化：1.定义：物体从固态变成液态叫熔化。
2.特点：吸收热量；（或者：遇到高温物体，从高温物体那里吸收热量）3.晶体与非晶体;(1)晶体：熔化时，温度不变的物质；例如：金属、海波、冰、石英水晶；(2)非晶体：熔化时，温度不断升高的物质；例如：松香、石蜡、玻璃、沥青、蜂蜡、食盐、明矾、奈；4.熔点：晶体熔化时的温度。
（非晶体是没有熔点的）5.晶体熔化的条件：①达到熔点；②继续吸热。
6.常见融化现象：冰融化成水、蜡烛燃烧时滴泪、铸造金属构件将金属熔化成液态；【例题1】谚语“雪水化成河，粮食千万箩”中，雪水化成河发生的物态变化是（）A．液化 B．凝固 C．凝华 D．熔化【答案】D【解析】解：雪化水是由固态变成液态的过程，是熔化现象。
故选：D。
【变式1】下列物态变化现象中属于熔化的是（）A．冰雪的消融 B．雾凇的形成 C．云海的形成 D．白雾的消散【答案】A【解析】解：A、冰雪的消融是物质从固态到液态的过程，属于熔化，故A符合题意；B、雾凇的形成是物质由气态直接变为固态的过程，属于凝华，故B不符合题意；C、云海的形成是物质从气态变为液态的过程，属于液化，故C不符合题意；D、白雾的消散是物质从液态变为气态的过程，属于汽化，故D不符合题意。
故选：A。
【例题2】如图所示，在1个标准大气压下，冰熔化成水的过程中，其温度保持在（）A．100℃B．37℃C．20℃D．0℃【答案】D【解析】解：冰是晶体，在1标准大气压下冰的熔点是0℃，所以冰熔化成水的过程中吸热，温度保持熔点温度不变，此时的温度是0℃。
故选：D。
【变式2】雪天为了使积雪尽快熔化，环卫工人在路面上撒盐，这是因为（）A．盐使积雪的熔点降低B．盐使积雪的温度升高到0℃而熔化C．盐使积雪的熔点升高D．撒盐后的雪不再属于晶体，不需要达到熔点就可以熔化【答案】A【解析】解：寒冷的冬季，空气温度低于雪的熔点，为了使雪尽快熔化，向积雪撒盐，是在其它条件相同时，在积雪上洒盐水相当于掺杂质，使雪的熔点降低，从而使积雪熔化，交通方便，故A正确。
3.2负载获得最大功率的条件
电源电动 电源内阻 负载电阻
势E/V
r/Ω
Rr/Ω
3
0.5
0.1
15
3
0.5
0.5
9
3
0.5
ห้องสมุดไป่ตู้
2.5
3
12.5
2.5
4.5
4.5
0.5
2.5
3.2 负载获得最大功率的条件
负载功率随电阻变化的曲线
3.2 小知识
获得最大功率时，由于R＝r，所以负载上和内阻上消耗的功
率相等，这时电源的效率不高，只有50%。在电子技术中，有 些电路主要考虑负载获得最大功率，效率高低是次要问题，
One is always on a strange road, watching strange scenery and listening to strange music.
* 思考
我们知道在电路中，电源所提供的功率，一部分 消耗在电源内部电阻r上，另一部分消耗在外部负 载上，那怎么才能提供一个条件，在这个条件下 使负载获得最大的功率？
3.2 负载获得最大功率的条件
3.2 例题1
已知电源电动势E=3V，内阻r=0.5Ω，当外接负载 分别为0.1Ω，0.5Ω，2.5Ω时，将空白部分补充完 整。
因而电路总是工作在R＝r附近，这种工作状态一般称为“阻
抗匹配状态”。而在电力系统中，希望尽可能减少内部损失，
提高供电效率，故要求R>>r。
3.2 例题2
如下图所示电路中，电源电动势E＝6V，内阻r＝0.5， R1＝2.5，R2为变阻器，要使变阻器获得功率最大，R2 应为多大？R2获得的最大功率是多少？
3.1 总结练习
当电源给定而负载可变时，负载获得最大功率的条件是____R_=_r _，负载获得的最 大功率为_______ ，在电工电子技术中，一般把这种状态称为___阻__抗__匹__配__状__态__ ， 此时电源效率只有___5_0_％__ 。而在电力系统中，希望尽可能减少内部损失，提高 供电效率，故要求R__>_>_ r。
必修二第三章3.1-3.2知识点及例题
必修二第三章3.1-3.2节直线与方程的知识点及例题 一、知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在 当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合.当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有： （1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.特例：两条直线中一条斜率不存在，另一条斜率也不存在，若它们平行，都垂直于x 轴直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0.0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B=--，斜率为A B -，纵截距为CB -2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=； 与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：05432121212112212112212112211221211*********=+⇔=⇔≠⇔⎩⎨⎧==⇔⎩⎨⎧≠=⇔B B A A l l BA B A l l B A B A l l C B C B B A B A l l C B C B B A B A l l 垂直与）（不相交与）（相交与）（重合与）（平行与）（免漏解）一般求参数时使用（避（注意相交特例垂直）相交，与）（重合，与）（平行，与）（时使用一般判断直线位置关系（注意适用条件）直线方程中21212121212121212121213210B B A A l l C C B B A A l l C C B B A A l l ABC ≠==≠=≠二、例题例1．求与直线3x+4y+1=0平行且过点（1，2）的直线l 的方程．解法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x+4y+1=0平行，∴34k =-．又∵l 过点（1，2），可得所求直线方程为32(1)4y x -=--，即3x+4y―11=0．解法二：设与直线3x+4y+1=0平行的直线l 的方程为3x+4y+m=0，∵l 过点（1，2），∴3×1+4×2+m=0，解得m=―11．∴所求直线方程为3x+4y―11=0．【总结升华】（1）一般地，直线Ax+By+C=0中系数A 、B 确定直线的斜率，因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0，这是常采用的解题技巧． 我们称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程．参数m 可以取m≠C 的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线． 当m=C 时，Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合．（2）一般地，经过点A （x 0，y 0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x―x 0)+B(y―y 0)=0．（3）类似地有：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程设为Bx―Ay+m=0（A ，B 不同时为零）．【变式1】 求经过点A （2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线l 的方程．【解析】因为直线l 与直线2x+y―10=0垂直，可设直线l 的方程为20x y m -+=， 把点A （2，1）代入直线l 的方程得：0m =，所以直线l 的方程为：x －2y=0．例2．已知直线l 的倾斜角的正弦值为35，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．解法一：设l 的倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±． 设l 的方程为34y x b =±+，令y=0，得43x b =±．∴直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为4,03b ⎛⎫± ⎪⎝⎭，（0，b ）．∴2142||6233S b b b ∆=±⋅==，即b 2=9，∴b=±3． 故所求的直线方程分别为334y x =±或334y x =-±． 解法二：设直线l 的方程为1x y a b +=，倾斜角为α，由3sin 5α=，得3tan 4α=±．∴1||||6234a b b a⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-=±⎪⎩，解得43a b =±⎧⎨=±⎩．故所求的直线方程为143x y +=±或143x y -=±．【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．【变式2】已知直线m ：2x ―y ―3=0，n ：x +y ―3=0．（1）求过两直线m ，n 交点且与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程； （2）求过两直线m ，n 交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．【解析】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即两直线m ，n 交点坐标为（2，1），设与直线l ：x +2y ―1=0平行的直线方程为x +2y +c =0，则2+2×1+c =0，解得c =―4， 则对应的直线方程为x +2y ―4=0； （2）设过（2，1）的直线斜率为k ，（k ≠0），则对应的直线方程为y ―1=k (x ―2)，令x =0，纵截距y =1―2k ，令y =0，横截距1212k x k k -=-=，则△AOB 的面积121|||12|42k S k k-=⨯-=， 即2(21)8k k -=，即244810k k k --+=， ①若k ＞0，则方程等价为241210k k -+=，解得k =k = ②若k ＜0，则方程等价为24410k k ++=，解得12k =-． 综上直线的方程为11(2)2y x -=-- ，或12)y x -=-，或12)y x --即122y x =-+，或2y =--2y =-+例3．光线从点A （2，3）射出，若镜面的位置在直线l ：x +y +1=0上，反射光线经过B （1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A 到B 所走过的路线长．【解析】设点A 关于l 的对称点A ＇（x 0，y 0），∵AA ＇被l 垂直平分，∴0000231022312x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得0043x y =-⎧⎨=-⎩∵点A ＇（―4，―3），B （1，1）在反射光线所在直线上， ∴反射光线的方程为341314y x ++=++，即4x ―5y +1=0， 解方程组451010x y x y -+=⎧⎨++=⎩得入射点的坐标为21(,)33--．由入射点及点A 的坐标得入射光线方程为1233123233y x ++=++，即5x ―4y +2=0， 光线从A 到B所走过的路线长为|'|A B ==．【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分．例4．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到1 m 2）【解析】 建立坐标系，则B （30，0），A （0，20）． ∴由直线的截距方程得到线段AB 的方程为13020x y +=（0≤x≤30）．设点P 的坐标为（x ，y ），则有2203y x =-． ∴公寓的占地面积为2(100)(80)(100)(8020)3S x y x x =-⋅-=-⋅-+2220600033x x =-++（0≤x≤30）． ∴当x=5，503y =时，S 取最大值，最大值为222205560006017(m )33S =-⨯+⨯+≈． 即当点P 的坐标为50(5,)3时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m 2．【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A 、P 、B 三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求x 与y 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．。
3.2 定轴转动中的功能关系
A= ∫
θ2
2.恒力 矩的功
M与ω 方向相同 A > 0 M与ω 方向相反 A < 0
A = M∆θ
P = Mω
θ1
内容 Mdθ 小结
3.力矩的功率 3.力矩的功率
作者 杨 鑫
3.2 定轴转动中的功能关系
20 第3章 刚体的定轴转动 20
二、转动动能
三、动能定理
1 2 1 2 1 2 Ek = Iω A = Iω2 − Iω1 2 2 2 四、机械能守恒定律 c m hc 1.刚体重力势能 1.刚体重力势能 EP = mgh c
作者 杨 鑫
内容 回顾
① 各质点都绕转轴 作 圆 周 运 动 ②运 动 的 角 量 (∆θ, ω, β)都一样
O
ω
定轴
3.2 定轴转动中的功能关系
第3章 刚体的定轴转动
33
4.刚体定轴转动的角量描述 4.刚体定轴转动的角量描述 (1)角 (1)角 量 ①角位置
转动平面
ωO 。 θ = θ (t ) A θ ②角位移 ∆θ = θ −θ 2 1 x ③角速度 ω = d θ dt ω
作者 杨 鑫
I = mr
2
dm = λdx dm = σds 2 dI = r dm dm = ρdV
I = I1 + I2 +⋯+ In
I = ∫ r dm
2 m
I =∑ ∆m r
2 i i
3.2 定轴转动中的功能关系
11 第3章 刚体的定轴转动 11
2 . 物 理 意 义 量度刚体转动惯性的物理量 3 . 决定转动 ①与物体的总质量有关 惯 量 的 ②与转轴的位置有关 三 个 因 素 ③与物体的质量分布有关 4 . 平 行 轴 刚体对任意轴的转动惯量等 定 理 于刚体对通过质心轴的转动 惯量加上 加上刚体的质量与两平 惯量加上刚体的质量与两平 m 行轴之间距离平方的乘积 Od C