教学设计(习题拓展案例)

“一道课本习题的变式及解法探究”教学设计
教学内容：人教版义务教育课程标准实验教程八年级数学第十二章复习题，第12题证明及拓展变式题解法探究。

教学目标：
1.知识与技能：经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，证明与等腰三角形有关的问题。

2.过程与方法：
（ 1）．通过对一道题的解法及变式的探究，培养学生的猜想、证明和合作交流能力。

（2）．通过对本节课的探究，培养学生的审题能力、分析能力，激发学生学习数学的兴趣。

3.情感与态度：
（1）.在探究过程中，培养学生善于观察，勤于思考，获得严谨认真的思维习惯和解决问题的方法。

（2）.在合作与交流活动中发展学生的思维意识和团队精神，在探究活动中感受成功的喜悦。

教学重点：怎样据题目条件构建全等三角形，证明线段之间的关系。

教学难点：怎样从基本图形中找到解决问题的途径和根据证明的需要添加辅助线。

教学过程：
出示原题：如图1，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，求证：DB=DE
师：结合平时学习，证明线段相等常常有哪些方法?
生:常常构造全等三角形或构造等腰三角形.
师：此题如何证明呢?
生:如图1，根据等边三角形ABC及D为AC的中点，
可知：∠DBC=300，∠ACB=600，又因为DC=CE，可知
∠E=300,那么，∠DBE=∠DEB,故DB=DE.
师:若在本题条件中，增加点F 点与点B 重合，BE+BF 与BC 有何数量关系? 生：BE+BF=32BC 师:很好！今天我们把以上问题作为原题并将这一问题进行拓展变形，得到如下问题。

变式1：将图1中的∠FDE 绕D 点顺时针旋转一定的角度（如图2），DF 交AB 与F 点，DE 交BC 的延长线于E 点，其中，“等边△ABC 中，D 为AC 的中点”这一条件不变，将“CD=CE 换成∠FDE=1200”则DE 与DF 有怎样的数量关系? BE+BF 与BC 有何数量关系?
师:仔细读题，画出满足条件的图形，明确已知和求证，通过量一量、猜一猜，它们有什么数量关系?（学生动手画图，教师用投影仪展示学生的作图）
生：我通过度量发现DE=DF ，猜想BE+BF=3
2BC 仍然成立。

师:这仅仅是一个猜想，还必须经过推理论证，如何证明呢?
（同学们先思考、再分组讨论）。

师:巡视各小组，参入讨论。

追问：如何构建全等三角形或寻求其它途径? 生：过D 点作DM ∥BC 并交AB 与M,再证明DE=DF.
师：怎么证明DE=DF?.
生：可证明△MDF ≌△CDE ．
师:很好！请同学们按此思路写出证明过程。

教师展示学生的证明过程。

证法1：如图2.①过D 点作DM ∥BC 并交AB 与M ，则∠AMD=∠ABC==600, ∠ADM=∠ACB=600,
∴∠DMF=∠MDC=1200,又∠FDE=1200, ∴∠MDF=∠CDE.
∵△AMD 是等边三角形，AD=DM. 又AD=CD,
∴DM=CD ，∠DMF=∠DCE,
∴△MDF ≌△CDE(ASA) ∴DE=DF.
②由①知△MDF ≌△CDE ，∴MF=CE
∴BE+BF=BC+CE+BF=BC+BM
而AM=21AC=21AB,BM=2
1BC.
故BE+BF=32BC 。

师：书写端正，条理清楚，此题还有其它的证明方法吗？（学生独立思考、小组讨论交流、展示新方法）
生：如图3，连结BD,利用角平分线的性质构造直角三角形全等。

证法2：①连结BD ，作DM ⊥BC 于M, DN ⊥AB 于N.
∵△ABC 是等边三角形,且D 为AC 的中点
∴∠ABD=∠CBD=300,∴DM=DN.
∵∠FDE+∠ABC=1800,
∴∠DFB+∠E=1800又∠DFB+∠DFN=1800
∴∠DFN=∠E, 又∠DNF=∠DMB=900
∴△DNF ≌△DME(AAS)
∴DE=DF.
②在△DMC 中，∠MDC= 300.设MC=x,则CD=2 x,BC=4 x,
∴BM=3 x, BE+BF=6 x.
故BE+BF=3
2BC 。

师：把原题再作如下变形。

变式2：将图1中的∠FDE 绕D 点逆时针旋转一定的角度（如图4），DF 交AB 的延长线于F 点，DE 交BC 的延长线于E 点，其中，“等边△ABC 中，D 为AC 的中点”这一条件不变，将“CD=CE 换成∠FDE=1200”,则原题中的结论成立吗？如果不成立，请写出新的结论，并说明理由。

师：与变式1一样，要重新画图，再做分析。

生：我通过度量发现DE=DF 仍然成立。

，猜想BE-BF=3
2BC 。

师：这只是一个猜想，还必须经过证明，哪位同学能证明呢？（学生积极思考、交流，书写证明过程，学生举手，要求展示）
师：展示学生的证明过程。

证法1：如图4.①过D 点作DM ∥BC 并交AB 与M ，
则∠AMD=∠ABC=600, ∠ADM=∠ACB=600,
∴∠DMF=∠MDC=1200,又∠FDE=1200,
∴∠MDF=∠CDE,∠DMF=∠DCE
∵△AMD 是等边三角形，AD=DM. 又AD=CD,
∴DM=CD,
∴△MDF ≌△CDE(ASA) ∴DE=DF.
②由①知△MDF ≌△CDE ，∴MF=CE BE-BF=BC+CF-(MF-BM)=BC+BM=32BC.
师：很好！还有其它证明方法吗？
生：同样可利用角平分线的性质构造直角三角形全等来证明。

学生展示新的证法。

证法2：如图5.①连结BD ，作DM ⊥BC 于M, DN
⊥AB 于N.设DF 交BE 于O 点
∵△ABC 是等边三角形,且D 为AC 的中点
∴∠ABD=∠CBD=300,∴DM=DN.
∵∠FDE =1200,∴∠DOE+∠E =600,
∵∠F+∠BOF=600,又∠DOE=∠BOF
∴∠E=∠F ，又∠DNF=∠DME=900
∴△DNF ≌△DME(AAS)
∴DE=DF.
②在△DMC 中，易知∠MDC= 300.设MC=x,则CD=2 x,BC=4 x,
∴BE-BF=6 x ，∴BE-BF=32
BC 。

师：变式1与原题的两个结论相同，变式2中的第2结论与原题的第2结论不相同，做题时要据条件准确画出图形，仔细观察，正确猜想并弄清理由。

课堂小结：学生交流，谈一谈本节课的收获，教师及时总结评价。

布置作业：
A组：完成变式1和变式2。

B组：将以上三题中的等边三角形变为等腰直角三角形，将“D为AC的中点”
换成“BD为∠ABC的角平分线”将“CD=CE换成∠FDE=1350”,其它条件不变。

C组：：将以上三题中的等边三角形变为顶角为1200的等腰三角形，将“D为的中点”换成“BD为∠ABC的角平分线”“CD=CE换成∠FDE=1500“其它条件不变。

请同学们分别证明DE=DF，并判断BE、BF与BC的数量关系。

其中A组为原题变式题，要求成绩尚差或中等成绩的同学完成；B、C组为较难的题，由成绩较好的同学完成。

由于学生的学习基础不尽相同，设计三种类型的课外作业，由不同层次的学生完成，这样也有利于分层教学，为了调动学生的学习积极性及部分学有余力的学生，由教师单独找部分成绩较好的同学，在独立思考的基础上，适当辅导，要求完成C组题。

设计说明：
在教学过程中用多种方法，从不同角度和不同的途径去寻求解决问题的方案，培养学生思维的变通性，提高学生分析问题、解决问题的能力和发散思维能力，让学生动手画图，用自己学过的知识，多方观察、纵横联系、积极探索、大胆猜想得出可能的结论，这有助于培养学生的探索精神和创造性的思维能力，这也是教学主线。

只有探索，才能有发现，它体现了新课程理念下的学生动手实践、自主探索、合作交流的思想，把原题设计成开放题，即是符合当今教学研究的趋势，符合课改减负的要求，又能让学生展开想象的翅膀，有利于培养学生的创新精神和创新能力。

武汉经济技术开发区第二中学
2011年11月李本杰。