流体力学连续性方程和恒定总流动量方程
经典流体力学 第三章 03
ω
V R
R V
解: 1)取半径为R的圆周为控制面, 则
2 ρ Q (VR cos θ − ω R ) = 0
2
V ∴ω = cos θ R
ω
V R
R V
2)
M = 2 ρ QVR cos θ
ω
V R
R V
M
习题
P206： 3-34，3-36，3-37
本章小结
一、几个基本概念 1）元流（Tube Flow） ：充满在流管中的液流称为元流或微小流束。元流 的极限是一条流线。无数元流之和就构成总流。 2）过水断面（Cross Section）：即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流 动方向的横断面，即与元流或总流的流线成正交的横断面称为过水断面。 3）点流速：流体流动中任一点的流速称为点流速，常用u表示。一般情况 下过水断面上各点的点流速是不相等的。 4）平均流速：由通过过水断面的流量Q除以过水断面的面积A而得的流速称 为断面平均流速，常用V表示，即
2 v12 v2 = 0+0+ 0+0+ 2g 2g 2 v12 v3 = 0+0+ 0+0+ 2g 2g 4Q ∴ v2 = v3 = v1 = v = 2 = 20m / s πd ∴v = v
y
d
x
1 Q,v 1
2
2
v2 θ
3
2y
3y
代入（1）可得：
Q1 = Q2 + Q3 = Q
Q2 = Q3 = Q 2
x
1 Q,v 1
2
d
2
v2 θ
3
1
θ
3 v3
P R
P2
流体的连续性方程和动量方程
流体的连续性方程和动量方程流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在流体力学中，连续性方程和动量方程是两个重要的基本方程。
本文将详细介绍流体的连续性方程和动量方程的定义和应用。
一、流体的连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒原理，表达了流体在空间和时间上的连续性。
连续性方程的数学表达形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)表示速度矢量的散度。
该方程表示，流体的密度在一个闭合曲面上的变化率等于通过该曲面的质量流量。
连续性方程是基于质量守恒原理推导得出的。
它表明，在稳定流动条件下，流体在通道中的截面积变化时，速度会发生相应的变化，以保持质量的守恒。
根据连续性方程，我们可以推导出管道中的速度分布。
在管道的收缩段，速度增加，截面积减小，密度保持不变，从而保证质量守恒。
这也是为什么水管收缩后出水流速增加的原因。
二、流体的动量方程动量方程描述了流体运动的力学性质，表达了流体在空间和时间上的动量守恒。
动量方程的数学表达形式为：ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇^2v + F其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是压强，μ是流体的粘度，∇p表示压强的梯度，∇^2v表示速度的拉普拉斯算子，F是外力的合力。
动量方程由牛顿第二定律推导而来。
它表示，在流体中，流体质点的动量变化等于合外力对质点的作用力。
动量方程用于描述流体在受力作用下的运动状态，通过求解动量方程，可以得到流体的速度分布。
根据动量方程，我们可以推导出流体中的压力分布。
在水管中，如果水流速度增大，则根据动量方程中的负梯度项，压力会降低。
这是因为速度增大会导致动能的增加，压力会减少以保持动量守恒。
综上所述，流体的连续性方程和动量方程是流体力学中的两个基本方程。
连续性方程描述了质量守恒原理，动量方程描述了动量守恒原理。
通过求解这两个方程，我们可以获得流体在空间和时间上的运动状态和力学性质。
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体力学最基本的三个方程
流体力学最基本的三个方程流体力学是研究流体运动及其相关物理现象的学科。
它的基础有三个最基本的方程，即连续性方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
本文将详细介绍这三个方程的含义和应用。
一、连续性方程：连续性方程，也称为质量守恒方程，描述了流体运动中质量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂ρ/∂t+∇·(ρv)=0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，∂/∂t表示对时间的偏导数，∇·表示向量的散度。
连续性方程的物理意义是说，质量在流体中是守恒的，即单位体积内的质量永远不会改变。
这是由于流体是连续的，无法出现质量的增减。
这个方程告诉我们，流体在流动过程中的速度变化与流体密度变化是相关的。
当流体流动速度较大时，密度通常会变小，反之亦然。
连续性方程的应用十分广泛。
在管道流动中，我们可以利用连续性方程来推导流速和截面积之间的关系。
在天气预报中，连续性方程被用来描述气象现象，如大气的上升和下沉运动，以及风的生成和消散等。
二、动量守恒方程：动量守恒方程描述了流体运动中动量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·(μ∇v) + ρg其中，p是流体的压强，μ是流体的黏度，g是重力加速度。
动量守恒方程可以理解为牛顿第二定律在流体力学中的推广。
它表示流体在外力作用下的加速度与压力梯度、黏性力、重力的平衡关系。
动量守恒方程的物理意义是说，流体的运动与施加在流体上的各种力密切相关。
当外力作用于流体时，会引起流体的加速度，也即速度的变化。
这个方程告诉我们，流体的加速度是与外力、黏性力和重力共同作用而产生的。
动量守恒方程的应用十分广泛。
在飞行器设计中，我们可以利用动量守恒方程来研究气动力的产生和改变。
在水力学中，动量守恒方程可以用来分析水流的运动、喷流和冲击等。
三、能量守恒方程：能量守恒方程描述了流体运动中能量守恒的原理。
它的数学表达式为：∂(ρE)/∂t + ∇·(ρEv) = -∇·(pv) + ∇·(κ∇T) + ρg·v +q其中，E是单位质量流体的比总能量（包括内能、动能和位能），T是流体的温度，κ是流体的热传导系数，q是单位质量流体的热源项。
流体力学标准化作业答案解析第三章
流体力学标准化作业（三）——流体动力学本次作业知识点总结1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。
2.流体流动的加速度、质点导数流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即(,,,)u u x y z t =流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即Du u u dx u dy u dza Dt t x dt y dt z dt ∂∂∂∂==+++∂∂∂∂投影式为x x x x x x y z y y y y y x y zz z z z z x y zu u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ∂∂∂∂⎧=+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂⎩或 ()du ua u u dt t ∂==+⋅∇∂在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， ut∂∂为固定空间点，由时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。
()u u⋅∇为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。
欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。
例如不可压缩流体，密度的随体导数D D u t tρρρ∂=+⋅∇∂（） 3.流体流动的分类（1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线流线微分方程x y zdx dy dz u u u ==迹线微分方程x y zdx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流（3）过流断面、流量及断面平均流速体积流量 3(/)A Q udAm s =⎰ 质量流量 (/)mAQ udAkg s ρ=⎰断面平均流速 AudA Qv AA==⎰（4）渐变流与急变流 5. 连续性方程（1）不可压缩流体连续性微分方程0y x zu u u x y z∂∂∂++=∂∂∂ （2）元流的连续性方程121122dQ dQ u dA u dA =⎧⎨=⎩ （3）总流的连续性方程1122u dA u dA =6. 运动微分方程（1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）111xx x x x y z yy y y x y z zz z z x y z u u u u p X u u u x t x y zu u u u p Y u u u x t x y z u u u u p Z u u u x t x y z ρρρ∂∂∂∂∂⎫-=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式1()uf p u u tρ∂+∇=+⋅∇∂ （2）粘性流体运动微分方程（N-S 方程）222111x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u pX u u u u x t x y zu u u u pY u u u u x t x y z u u u u p Z u u u u x t x y z νρνρνρ∂∂∂∂∂⎫-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪∂-+∇=+++⎬∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂-+∇=+++⎪∂∂∂∂∂⎭矢量表示式 21()uf p u u u tνρ∂+∇+∇=+⋅∇∂ 7.理想流体的伯努利方 （1）理想流体元流的伯努利方程22p u z C g gρ++=（2）理想流体总流的伯努利方程221112221222p v p v z z g g g gααρρ++=++8.实际流体的伯努利方程 （1）实际流体元流的伯努利方程2211221222wp u p u z z h g g g g ρρ++=+++（2）实际流体总流的伯努利方程2211122212w 22p v p v z z h g g g gααρρ++=+++10.恒定总流的动量方程()2211F Q vv ρββ=-∑投影分量形式()()()221122112211xx x y y y z z z F Q v v F Q v v F Q v v ρββρββρββ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=-⎪⎭∑∑∑标准化作业(5)——流体运动学选择题1. 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于( )。
流体力学复习要点(计算公式)
第一章 绪论单位质量力：mF f B m= 密度值：3mkg 1000=水ρ，3mkg13600=水银ρ，3mkg29.1=空气ρ牛顿内摩擦定律：剪切力：dy du μτ=， 内摩擦力：dy du A T μ= 动力粘度：ρυμ=完全气体状态方程：RT P =ρ压缩系数：dpd 1dp dV 1ρρκ=-=V （Nm 2） 膨胀系数：TTV V V d d 1d d 1ρρα-==(1/C ︒或1/K)第二章 流体静力学+流体平衡微分方程：01;01;01=∂∂-=∂∂-=∂∂-zp z y p Y x p X ρρρ 液体平衡全微分方程：)(zdz ydy xdx dp ++=ρ液体静力学基本方程：C =++=gp z gh p p 0ρρ或 绝对压强、相对压强与真空度：a abs P P P +=；v a abs P P P P -=-= 压强单位换算：水银柱水柱mm 73610/9800012===m m N at 2/1013251m N atm = 注：hgP P →→ρ ； P N at →→2m /98000乘以 2/98000m N P a =平面上的静水总压力：（1）图算法 Sb P = 作用点e h y D +=αsin 1)()2(32121h h h h L e ++=若01=h ，则压强为三角形分布，32L e y D==注：①图算法适合于矩形平面；②计算静水压力首先绘制压强分布图，且用相对压强绘制。
（2）解析法A gh A p P c c ρ== 作用点Ay I y yC xc C D+= 矩形123bL Ixc= 圆形644d I xc π= 曲面上的静水总压力： x c x c x A gh A p P ρ==；gV P z ρ= 总压力zx P P P += 与水平面的夹角xzP P arct an=θ潜体和浮体的总压力：0=xP 排浮gV F P z ρ==第三章 流体动力学基础质点加速度的表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a zz z y z x z z y z y y y x y y x z x y x x x x AQV Q Q Q Q Q G A====⎰断面平均流速重量流量质量流量体积流量g udAm ρρ流体的运动微分方程：tz t y t x d du z p z d du y p Y d du x p X =∂∂-=∂∂-=∂∂-ρρρ1;1;1不可压缩流体的连续性微分方程 ：0zu yu xu z y x=∂∂+∂∂+∂∂恒定元流的连续性方程：dQ A A ==2211d u d u 恒定总流的连续性方程：Q A A ==2211νν无粘性流体元流伯努利方程：g 2ug p z g 2u g p z 22222111++=++ρρ 粘性流体元流伯努利方程：w 22222111'h g2u g p z g 2u g p z +++=++ρρ恒定总流的伯努利方程：w 2222221111h g2g p z g 2g p z +++=++ναρναρ 气流伯努利方程：w 22212211P 2)()(2++=--++ρνρρρνP z z g Pa 有能量输入或输出的伯努力方程w 2222221111h g2g p z g 2g p z +++=±++ναρναρm H 总流的动量方程：()∑-=1122Q F νβνβρ 投影式⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=∑∑∑)()()(112211221122z z zy y y x x x v v Q F v V Q F v v Q F ββρββρββρ动能修正系数α：11.105.1A v dAu 33=-==⎰ααα，一般，较均匀流动A动量修正系数β：105.102.1Av dAu 22=-==⎰βββ，一般，较均匀流动A水力坡度dldh dl dH J w =-= 测压管水头线坡度dl dh dl dH J w p=-= 第四章 流动阻力和水头损失圆管沿程水头损失：gv d l h f22λ= ⎪⎭⎫ ⎝⎛==2g 8Re64C λλ；紊流层流 局部水头损失：gvh j22ξ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-==-==0.15.015.0v v g 2v v h 1g 2v h 1g 2v h 12221j 2122222j 2211211j出入；管道出口注：管道入口）（用细管流速（突缩管—其余管用断面平均流速—弯管）（）（，）（，突然扩大管ζζζζζζζA A A A A A 雷诺数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======575R e e 2300d e d e c cR R c c υνυνυνυνR R R R R ，非圆管，圆管 流态判别⎪⎩⎪⎨⎧=><，流动为临界流为紊流，为层流，cc c Re Re 流动Re e 流动Re e R R 谢才公式：RJ C V = 谢才系数：λg C 8= ; 曼宁公式：611R nC =均匀流动方程式：l h gR gRJ f 0ρρτ== 圆管过流断面上剪应力分布：00ττr r =圆管层流：（1）流速分布式)r (r 4g u 220-=μρJ （2）最大流速20max r 4g u μρJ =（3）断面平均流速：2u v max = （4）Re 64=λ 紊流剪应力包括：粘性剪应力和附加剪应力，即21τττ+=，dyu d x1μτ=，y x 2''-=ρτ 紊流流速分布一般表达式：C +=Iny k1u*ν 非圆管当量直径：)4Re ;2(42υυλR v vd gv d l h R d e e fe ==== 绕流阻力： A U C D D 220ρ=第五章 孔口、管嘴出流和有压管流薄壁小孔口恒定出流： 02gH v ϕ=2gH A Q μ= 97.0=ϕ 62.0==ϕεμ AA c =ε-0H 作用水头，自由出流gv H H 22000α+=，若00≈v ，H H =0；淹没出流g v g v H H H 22222211210αα-+-=，若021≈≈v v ，H H H H =-=210孔口变水头出流：)(2221H H gA Ft -=μ，若02=H ，放空时间max1222Q V gA H Ft ==μ 圆柱形外管嘴恒定出流：02gH v n ϕ=；2gH A Q n μ=； 82.0==n n μϕ；μμ32.1=n ；075.0H gP v=ρ 简单管道：5228,d g a a alQ h H f πλ=-==比阻，（62/m s ）串联管道：ii ni i i ni i i i ni fi l a S Q S Q l a h H i ====∑∑∑===阻抗,12121并联管道：233322222111321,Q l a Q l a Q l a h h h f f f ==== 注：串联、并联管道有时需结合节点流量方程求解。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学连续性方程和恒定总流动量方程
输出项
外力项 不包括惯 性力 输入项
恒定总流的动量方程
6
未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确；
反之，则说明实际力的方向和假定相反。
7
动量方程只能求解一个未知数，如果未知数的数目多于一， 必须联合其他方程（连续方程、或能量程）方可求解。 当流体有分流或汇流时 当总流有分流或者汇流时，仍可用动量方程解题，其不 同于伯努利方程在分流与汇流时的运用。
横向边界：
恒定总流的动量方程 4
选择坐标轴，做出受力图。在图上画上所有受力、流量、 流速、压力等矢量。
凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正，反之，则为负。
5
动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒。
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2V2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2 v2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
个坐标方向的投
影（不包括惯性
力）。
恒定总流的动量方程
二、应用恒定总流动量方程的注意事项
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
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K1' 2'
dt时段动量变化
K K1'2' K12
恒定总流的动量方程
1' 1 2 2'
1' 1
2
2'
K 1'-2' K 2-2' K 1'-2
dt 时间内水流动量的变化
K 1-2 K 1-1' K 1'-2
dx dx , y , z , t u x x , y , z , t dydzdt 2 2
u dx dx ( x, y , z , t ) u x ( x, y, z , t ) x dydzdt x 2 x 2 u dx dx ux x dydzdt x 2 x 2
FRz arctg FRx
恒定总流的动量方程的应用
管轴水平放置 1 1
重力与水流方 向垂直，可忽 略。
V1 FP1=p1A1
FRy FR FRx V2
2
沿x方向列动量方程：
2
y
x
FP2=p2A· 2
沿y方向列动量方程为：
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
FRy p2 A2 qv ( 2V2 0) FRy p2 A2 2 qvV2
作用于控制体内流体上所有外力的矢量和。外力包
括：控制体上下游断面1、2上的流体总压力P1、P2、重力G 和总流边壁对控制体内流体的作用力R。其中只有重力为质 量力，其余均为表面力。即
F P1 P 2 G R
P1
R
P2
v2
v1
G
恒定总流的动量方程
连续性方程
由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因 为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变 化而产生的六面体内的流体质量变化相等。
设开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为
( x, y, z, t dt ) dt t
连续性方程
上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。 若流体是定常流动
ux x
0 t
u y y uz z
上式变为：
0
不可压缩流体
c
可压缩流体定常三维流动 的连续性方程。 不可压缩流体三维流动 的连续性方程。
u x u y u z 0 x y z
物理意义： 在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，
在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。
恒定总流的动量方程
在需要确定流体与外界的相互作用力时，连续性方程和 能量方程都无法解决，需引入动量方程。动量方程是自然界 的动量定理在流体力学中的应用。
动量定理： 质点系的动量在某个方向的变化，等于作用于该 质点系上所有外力的冲量在同一方向投影的代数和。 即
式中，Fx ,Fy ,Fz 为作用于控制体 上所有外力在三
qv ( 2v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2v2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2v2 z 1v1z ) Fz
个坐标方向的投
影（不包括惯性
恒定总流的动量方程
分流
F qv2 2 v2 qv33 v3 qv11 v1 F qv33 v3 qv2 2 v2 qv11 v1
1 3 2 v2 2 ρQ3 3 ρQ2 ρQ1 1 v1 v3 v2 2 2 ρQ2
沿x方向列动量方程为：
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
FRx p1 A1 1 qvV1
沿z方向列动量方程为：
p2 A2 FG FRz qv (2V2 0)
FRz p2 A2 FG 2 qvV2
F F F
2 Rx 2 Rz
汇流
ρQ1 1 v1
ρQ3 3
v3 3
1
恒定总流的动量方程的应用
三、恒定总流动量方程应用举例
1.弯管内流体对管壁的作用力 管轴竖直放置 1 1 2 2 y FP1=p1A1 z FG
V1
FRz FR FRx
V2
x
FP2=p2A· 2
当管轴竖直放置时，选控制体，在其上画出受力图如右 图所示。
恒定总流的动量方程的应用
2
1
A1 u1 2’ A2 dA2
u2
dA1
1’
1 u1dt
2 u2dt
2’
dt 时间内流段1-1′动量
u1dtdA1 u1
恒定总流的动量方程
dt 时间内流段2-2′动量 总流1-1′与2-2′断面 的动量
u2 dtdA2 u2
K 11' u1u1dtdA1 dt u1u1dA1 A1 A1 K 2 2 ' u2 u2 dtdA2 dt u2 u2 dA2
2 qv 1 1 1 1 2 gbh12 gbh2 ( ) 2 2 b h2 h1
FP1 FP 2 FR qv ( 2V2 1V1 )
恒定总流的动量方程的应用
3. 射流对平面壁的冲击力 V 1 0 2
V
沿x方向列动量方程为： 整理得：
A2 A2
因为断面上的流速分布一般较难确定，所以上述积分不 能完成。如何解决这个积分问题？
恒定总流的动量方程
用断面平均流速v 代替点流速。定 义V的大小为v ， 方向为u的方向 。
上述积分问题
的解决
uudA 2 A A 造成的误差用动 量修正系数 来 修正。
A
uudA
K K 1'-2' K 1-2 ＝ K 2-2' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2＝ K 2-2' K 1-1'
恒定总流的动量方程
dt 时间内水流的动量变化 1’
K＝ K 2-2' K 1-1'
自由液面等 过流断面
横向边界：
恒定总流的动量方程 4
选择坐标轴，做出受力图。在图上画上所有受力、流量、 流速、压力等矢量。
凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正，反之，则为负。
5
动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒。
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2V2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
输出项
外力项 不包括惯 性力 输入项
恒定总流的动量方程
6
未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确；
反之，则说明实际力的方向和假定相反。
7
动量方程只能求解一个未知数，如果未知数的数目多于一， 必须联合其他方程（连续方程、或能量程）方可求解。 当流体有分流或汇流时 当总流有分流或者汇流时，仍可用动量方程解题，其不 同于伯努利方程在分流与汇流时的运用。
K F t
恒定总流的动量方程
1. 恒定总流动量方程的建立
在恒定总流中，取一流段（控制体）研究，如下图所示。 A1 1
A2
2
v1
v2 1 断面1-1至2-2所具有的动量
K1 2
恒定总流的动量方程
1' 1 2 2'
1' 1
2
2'
经过时间dt 后，流体从1-2运动至1′-2′，此时所具有的动量为
连续性方程 连续性方程的微分形式
设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、
dy和dz，如下图所示。
y
dx x 2
u u dx x 2
假设微元平行六面体形 uy dy
dx x 2
心的坐标为x、y、z，在 某一瞬时t经过形心的流 体质点沿各坐标轴的速 度分量为ux、 uy、 uz ， 流体的密度为ρ。
FR qv (0 0V0 )
FR 0 qvV0
2 Ry
FRx p1 A1 1 qvV1
F F F
2 Rx
arctg
FRy FRx
恒定总流的动量方程的应用
2.流体对建筑物的作用力 FP
FR
FP1=ρgbh12/2
x 沿x方向列动量方程为：
FR FP1 FP 2 qv ( 2V2 1V1 ) qv qv 1 1 2 2 gbh1 gbh2 qv ( ) 2 2 A2 A1
同理，在dt 时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：
( u y ) y dxdydzdt
( uz ) dxdydzdt z
因此，dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
ux u y uz dxdydzdt y z x
同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为
u x dx dx u x dydzdt x 2 x 2
连续性方程
上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即
( ux ) u x dx u x dx dydzdt dxdydzdt x x x
在dt时间内，六面体内因密度变化而引起的质量变化为
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt t t