第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案(含解析)新人教A版必修4
高中数学 必修四 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案 新人教A版必修4
2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 向量AB 的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。
3．练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，如何求证：四边形ABCD 是梯形.？二、讲解新课：1、思考：（1）两个向量共线的条件是什么？（2）如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？ （不能。
人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示_含答案
2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点 共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线． 又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )， 则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)， 且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)． 又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)， 由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。
高中数学第2章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示教案含解析新人教A版必修4
2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb ．(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b≠0)共线．思考：两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示成x 1x 2＝y 1y 2吗？[提示] 不一定，x 2，y 2有一者为零时，比例式没有意义，只有x 2y 2≠0时，才能使用．1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8) D [AB →＝(1，2)，根据平行条件知选D.] 2．下列各对向量中，共线的是( ) A ．a ＝(2，3)，b ＝(3，－2) B ．a ＝(2，3)，b ＝(4，－6) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(1，2) D ．a ＝(1，2)，b ＝(2，2)D [A ，B ，C 中各对向量都不共线，D 中b ＝2a ，两个向量共线．] 3．已知a ＝(－3，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝ ． －4 [∵a ∥b ，∴6－3＝y2，解得y ＝－4.] 4．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝ ．－9 [AB →＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)，∵A ，B ，C 三点共线，即AB →∥AC →，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.]【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断． (2)判断向量AB →，CD →平行→无相关点→AB ∥CD(1)D [A 中，－2×6－3×4≠0，B 中3×3－2×2≠0，C 中1×14－(－2)×7≠0，D 中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解] ∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD →＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0， ∴AB →∥CD →.又AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A ，B ，C 不共线， ∴AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． [证明] AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b 与非零向量a 共线等价于b ＝λa (λ>0，b 与a 同向；λ<0，b 与a 反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k ，再利用b ＝λa 判定同向还是反向． [解] 法一：(共线向量定理法)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：(坐标法)由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ ． 12[由题可得2a ＋b ＝(4，2)， ∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.故答案为12.]等于( )A ．3B ．－3C ．－45D ．45(2)如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．思路点拨：(1)先由a ∥b 推出sin α与cos α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcos α.(2)要求点P 的坐标，只需求出向量OP →的坐标，由OP →与OB →共线得到OP →＝λOB →，利用AP →与AC →共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ，y )，由OP →∥OB →及AP →∥AC →，列出关于x ，y 的方程组求解．(1)C [因为a ∥b ，所以cos α×1－(－2)sin α＝0，即cos α＝－2sin α，tan α＝－12，所以2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝－45.] (2)[解] 法一：(定理法)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：(坐标法)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．[解] 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.1．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，如何求线段P 1P 2的中点P 的坐标？ 提示：如图所示，∵P 为P 1P 2的中点，∴P 1P →＝PP 2→， ∴OP →－OP 1→＝OP 2→－OP →，∴OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴线段P 1P 2的中点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.2．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则P 点坐标是什么？提示：点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，分两种情况：①当P 1P →＝13P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；②当P 1P →＝23P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋23P 1P 2→＝OP 1→＋23(OP 2→－OP 1→)＝13OP 1→＋23OP 2→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.3．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标是什么？提示：∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， ∴OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ＝11＋λ(x 1，y 1)＋λ1＋λ(x 2，y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λx 1，11＋λy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λx 2，λ1＋λy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【例4】 已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．思路点拨：点P 在直线AB 上，包括点P 在线段AB 内和在线段AB 的延长线上，因此应分类讨论．[解] 设P 点坐标为(x ，y )， |AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8， ∴P 点坐标为(－5，8)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．1．若将本例条件“|AP →|＝2|PB →|”改为“AP →＝3PB →”其他条件不变，求点P 的坐标． [解] 因为AP →＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2．若将本例条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．[解] 由题设知，A ，B ，P 三点共线，且|AB →|＝3|AP →|，设A (x ，0)，B (0，y )， ①点P 在A ，B 之间，则有AB →＝3AP →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x ，3)， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)． ②点P 不在A ，B 之间， 则有AB →＝－3AP →，同理，可求得点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)． 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)．求点的坐标时注意的问题(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．若点P 是P 1P 2的中点时，则P (x ，y )为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)求线段P 1P 2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若P 1P →＝λP 1P 2→，(λ≠0) ①0＜λ＜1时，P 在线段P 1P 2上； ②λ＝1时，P 与P 2重合；③λ＞1时，点P 在线段P 1P 2延长线上；④λ＜0时，点P 在线段P 1P 2反向延长线上．1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．下列说法不正确的是( )A ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2. B ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2≠x 2y 1，则a 与b 不共线． C ．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量． D ．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝－9.A [A 中，x 2或y 2为零时，比例式无意义，B 、C 很明显都正确；D 中AB →∥BC →，由AB →＝(－8，8)，BC →＝(11，y －2)，则－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.∴D 正确．]2．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 可以是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－2，4)D ．(－4，－8)D [由题意，得AB →＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D.]3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于 ． (－4，－8) [∵a ∥b ，∴1×m －(－2)×2＝0，∴m ＝－4，∴a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)， ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]4．设O 是坐标原点，OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 又A ，B ，C 三点共线，∴由两向量平行，得(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.即当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．。
人教版高中数学高一A版必修4导学案 平面向量共线的坐标表示
2．3.4 平面向量共线的坐标表示1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能用向量的坐标表示判定向量共线，会用向量的坐标表示证明三点共线．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当______________时，a ∥b.(1)线段中点坐标公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 中点的坐标是M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. (2)若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【做一做】 下列各组向量中，共线的是( )A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)答案：x 1y 2－x 2y 1＝0【做一做】 D1．对向量共线条件的理解剖析：(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，由x 1y 2－x 2y 1＝0成立，可判断a 与b 共线；反之，若a 与b 共线，它们的坐标应满足x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，故在x 2y 2≠0的条件下，a 与b 共线的条件可化为x 1x 2＝y 1y 2，即两向量共线的条件为相应坐标成比例． 2．三点共线问题剖析：(1)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则A ，B ，C 三点共线的条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：①直接利用上述条件，计算(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)是否为0.②任取两点构成向量，计算出两向量如AB →，AC →，再通过两向量共线的条件进行判断．3．两个向量共线条件的表示方法剖析：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0时，a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．通过这种形式较容易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．题型一 已知向量共线，求参数的值【例1】 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？分析：先由向量a ，b 求得向量k a ＋b 与a －3b ，再根据向量平行的条件列方程组求得k 的值，进而判断两向量的方向．反思：已知两向量共线，求参数的问题，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标中，二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示(如本题)，解题时需根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立方程求解．题型二 三点共线问题【例2】 求证：A (1,5)，B ⎝⎛⎭⎫12，4，C (0,3)三点共线．分析：可转化为证明AB →∥AC →.反思：证明三点共线的常见方法有：(1)证得两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度；(2)利用斜率；(3)利用直线方程即由其中两点求直线方程，再验证第三点在这条直线上；(4)利用向量共线的条件，如本题．其中方法(4)是最优解法．题型三 求点或向量的坐标【例3】 已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标．分析：设出点M 的坐标，利用待定系数法求得．利用A ，B ，M 三点共线且|AM →|＝3|MB→|，结合图形确定AM →＝λMB →中λ的值，利用向量相等的条件列方程组求解．反思：在求点或向量的坐标时，要充分利用两个向量共线的条件，要注意方程思想的应用，建立方程的条件有向量共线、向量相等等．题型四 易错辨析【例4】 已知a ＝(3,2－m )与b ＝(m ，－m )平行，求m 的值．错解：由题意，得3m ＝2－m －m，解得m ＝5. 错因分析：本题中，当m ＝0时，b ＝0，显然a ∥b 成立．错解原因在于利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m ·(－m )≠0，由于疏忽了这一前提，造成了转化不等价．反思：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a 与b 共线的条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.要注意与条件x 1x 2＝y 1y 2的区别，应用x 1x 2＝y 1y 2时，分母应不为零．答案：【例1】 解：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )，即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行． 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， ∵λ＝－13＜0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 【例2】 证明：由A (1,5)，B ⎝⎛⎭⎫12，4，C (0,3)，得AB →＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，AC →＝(－1，－2)． 又－12×(－2)－(－1)×(－1)＝0， ∴AB →与AC →共线且有一个公共点A .∴A ，B ，C 三点共线．【例3】 解：设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|，则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x ，9－y )．当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得x ＝214，y ＝8. 当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x ，9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得x ＝152，y ＝11. ∴点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫214，8或⎝⎛⎭⎫152，11. 【例4】 正解：∵a ∥b ，∴3(－m )－(2－m )m ＝0，解得m ＝0或m ＝5.1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A ．13B ．－13C ．9D ．－92．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．若向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则当x ＝________时，a 与b 共线且方向相同．4．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且1||PP ＝22||3PP .求点P 的坐标．5．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件．答案：1．D AB ＝(－8,8)，BC ＝(11，y －2)，则AB ∥BC ，所以－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.2．D a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，则3(4x －2)－6(1＋x )＝0，解得x ＝2.3．2 ∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ∥b ，则x 2－4＝0，即x 2＝4，∴x ＝±2.当x ＝－2时，a 和b 方向相反．当x ＝2时，a 与b 方向相同．4．解：设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有1PP ＝223PP . 又1PP ＝(x －2，y ＋1)，2PP ＝(－1－x,3－y )， 由题意得22(1),321(3),3x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩解得4,53,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P 坐标为43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 5．分析：转化为求A ，B ，C 不共线时m 满足的条件．解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线．又AB ＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，故知3(1－m)≠2－m，∴m≠12.∴m满足的条件为m≠12.。
课堂设计2020高中数学2.3.4平面向量共线坐标表示学案新人教A版必修4
平面向量共线的坐标表示自主学习(1)知识梳理(2)1．两向量共线的坐标表示(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(4)当a∥b时，有________________．(5)当a∥b且x2y2≠0时，有__________．即两向量的相应坐标成比率．→→2．若P1P＝λPP2，则P与P1、P2三点共线．当λ∈__________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；当λ∈__________时，P位于线段P1P2的延伸线上；当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延伸线上．自主研究设P(x，y)为线段P1P2上的一点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．→→当P1P＝λPP2(λ≠－1)时，求P点的坐标．对点讲练知识点一平面向量共线的坐标运算例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为什么值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向仍是反向？回首概括此类题目应充足利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．变式训练→→1已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD能否共线？假如共线，它们的方向同样仍是相反？知识点二平面向量的坐标运算例2已知点A(3，－4)与点B(－1,2)→＝2|→，求点P ，点P在直线AB上，且|AP|PB|的坐标．回首概括在求有向线段分点坐标时，不用过分重申公式记忆，能够转变为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类议论．变式训练2已知点(1，－2)，若向量→与＝(2,3)同向，|→|＝213，求点B的A AB a AB坐标．知识点三利用共线向量求直线的交点例3如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．回首概括本例中的两个方法，在充足理解向量共线的性质定理的基础上从不一样的侧面给出了已知四边形四个极点坐标求对角线交点坐标的一般解法．并且更加重要的是给我们提供了求直线与直线交点的向量方案．变式训练→3平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC＝1→→1→2BC，连结DC，点E在CD上，且CE＝4ED，求E点坐标．1．两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)当b≠0，a＝λb.x1y2－x2y1＝0.x1y1当x2y2≠0时，x2＝y2，即两向量的相应坐标成比率．2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．已知两个向量的坐标判断两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，能够证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意划分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依照.课时作业一、选择题1．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)→→D点坐标是()，若AB和CD是相反向量，则A．(1,0)B．(－1,0)C．(1，－1)D．(－1,1)2．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为()9A．－1B．3 C.2D．53．已知向量m＝(－7,2＋k)，n＝(k＋13，－6)，且m∥n，则k的值等于()A．1B．－2C．－16D．1或－164．已知、、三点在一条直线上，且(3，－6)，(－5,2)，若C点的横坐标为6，A BC A B则C点的纵坐标为()A．－13B．9C．－9D．13二、填空题5．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.6．已知向量→＝(k,12)，→＝(4,5)，→＝(10，)，假如、、三点共线，则实数k＝________.OA OB OC k ABC7．已知点(－1，－3)，(1,1)，直线AB 与直线x＋－5＝0交于点，则点C的坐标A B y C 为________．三、解答题→ → →8．已知点A (2,3)、B (5,4)、C (7,10)，若AP ＝AB ＋λAC (λ∈R)，试求λ为什么值时，点P 在第三象限内？9．线段AB 的端点坐标分别为A (－1,1)，B (－2,0)，且|AC |＝2|CB |，当A 、B 、C 三点共线时，求C 点的坐标．平面向量共线的坐标表示答案知识梳理1．(1)2－2x 1 y 111＝0(2)＝xyxyx 2 y 22．(0，＋∞) (－∞，－1)(－1,0)自主研究解 → →→ →→OP ＝OP ＋PP ＝OP ＋λPP1 112→→→ →→→＝OP ＋λ(OP －OP)＝OP ＋λOP －λOP1212→→→1λ∴ ＝ OP 1＋λOP 2x 1， x 2，2)1＋λ ＝(1)＋(OP1＋λ y1＋λ y1 1 λλx 1＋λx 1，1＋λy 1＋1＋λx 2，1＋λy 2 xi 1＋λx 2y 1＋λy 2 ＝ 1＋λ，1＋λ. ＝ x 1＋λx 2y 1＋λy 2＝ P 1＋λ，1＋λ.＝ 对点讲练 ＝ 例1 解 方法一 ka ＋b ＝k (1,2) ＋(－3,2) ＝ (k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当ka ＋b 与a －3b 平行时，存在独一实数使ka ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， k －3＝10λ，λ，∴2k ＋2＝－4λ.1解得k ＝λ＝－3.1 当k ＝－3时，ka ＋b 与a －3b 平行，这时 ＋ ＝－ 11－3 b )，＋＝－(kab3ab3 a1∵λ＝－3<0，∴ka ＋b 与a －3b 反向．方法二 由方法一知 ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵ka ＋b 与a －3b 平行，1∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－3. 1 2 1此时ka ＋b ＝－3－3，－3＋2＝－3(a －3b )，1 ∴当k ＝－3时，ka ＋b 与a －3b 平行，并且反向．→ ＝(－2,3) ， 变式训练1解AB ＝(0,4)－(2,1)→ ，－3)－(1,3)＝(4，－6)． CD ＝(5 方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，∴ →与→共线且方向相反．ABCD方法二 →→→→∵CD ＝－2AB ，∴AB 与CD 共线且方向相反． 例2解设P 点坐标为(x ，y )．→ →→→→→∵|AP |＝2|PB |，∴AP ＝2PB 或AP ＝－2PB .→当AP ＝2PB 时，(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )， 1x －3＝－2－2x x ＝∴，解得 3，y ＝01∴P 点坐标为 3，0. → →当AP ＝－2PB 时， 则(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，x －3＝2＋2x x ＝－5 .∴，解得 y ＝8 y ＋4＝－4＋2y ∴P 点坐标为(－5,8)．1综上，点P 的坐标为3，0或(－5,8)．变式训练2→ → 解设AB ＝(x ，y )，因AB 与a 同向，→λ>0) ，即(x ，y )＝λ(2,3)， ∴AB ＝λa ( x ＝2λ， 又 → 13，∴ |AB |＝2y ＝3λ， x 2＋y 2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2(λ>0)．→．∴点B 的坐标为(5,4)． 即AB ＝(4,6) 例3解 方法一 由O ，P ，B 三点共线，→ →λ，4λ)，可设OP ＝λOB ＝(44．C→→ →则AP ＝OP －OA ＝(4λ－4,4λ)， →→ → ， AC ＝OC －OA ＝(－2,6) → →由AP 与AC 共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解之得 3 ＝ 3 ，λ ＝，∴→ →＝(3,3)4 OP 4OB∴(3,3) 即为所求．P方法二→设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，且→＝(4,4)，又 → 与→共线，因此 x ＝ .OBOPOBy→(x －→→ →又AP ＝ 4，y )，AC ＝(－2,6)，AP 与AC 共线， 则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0， 解之得x ＝y ＝3.∴P 点坐标为(3,3)变式训练3解 ∵ → ＝ 1→ → → ，，∴2＝ AC 2BCACBC → → ＝ → ＋ → ，∴2＋ACCABCCA→→∴AC ＝BA ，设C 点坐标为(x ，y )． 则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)，∴x ＝－5，y ＝－2.→ 1→→→∴ C (－5，－2)，∵CE ＝4ED ，∴4CE ＝ED→ → → → →∴4CE ＋4ED ＝5ED ，∴4CD ＝5ED . ∴设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．1620－5x ′＝36 x ′＝－5∴，∴.－15－5y ′＝－411y ′＝－511E 点坐标为－5，－5. 课时作业1．C 2.B 3.D[设C 点坐标为(6，y )， →，AC ＝(3，y ＋6)．y ＋68，∴y ＝－9.]λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，λ＋ 2 2λ＋3∴－4＝－7，∴λ＝2.6．－2 或 11分析 → →，k －5)． BA ＝(k －4,7)，BC ＝(6 A 、B 、C 三点共线，∴(k －4)(k －5)－6×7＝0.解得k ＝－2或k ＝11.7．(2,3)分析设→＝ →＝ λ(2,4)＝(2λ ，4)．AC λABλ∵A 、B 、C 三点共线，∴－8＝3→则AB ＝(－8,8)5．2分析→→→∴OC＝OA＋AC＝(2λ－1,4λ－3)．把C点坐标(2λ－1,4λ－3)代入直线x＋y－5＝0.3解得λ＝2.∴C点坐标为(2,3)．8．解设点P的坐标为(x，y)，→则AP＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，→→AB＋λAC＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)](3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．→→→∵AP＝AB＋λAC，∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．x－2＝3＋5λ，x＝5＋5λ，∴则y－3＝1＋7λ，y＝4＋7λ.由点P在第三象限内，得5＋5λ<0，∴λ<－1. 4＋7λ<0，∴当λ<－1时，点P在第三象限内．9．解→→设C(x，y)，当C为内分点时，AC＝2CB.∴(x＋1，y－1)＝2(－2－x，－y)x＋1＝－22－2x x＝2－3∴，∴y＝2－1.y－1＝－2y∴C(2－3，2－1)．→→当C为外分点时，AC＝－2CB.∴(＋1，y －1)＝－2(－2－x，－y)．xx＋1＝22＋2x＝－2－3x.∴，∴y＝－2－1 y－1＝2y∴C(－2－3，－2－1)．。
高中数学必修四(人教新A版)教案20共面向量共线的坐标表示
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
（一）创设情景，揭示课题
1．平面向量的坐标运算公式
2．向量的数乘运算
3.平面向量的共线定理
4.请说出下列各组中两向量的位置关系(共线或不共线),并指出它们的特点.
（二）研探新知
1.向量共线定理的坐标形式
学生回忆概念
学生完成
高中数学必修四课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
如果用坐标表示，可写为
消去 可得
思考：若 ，能得到 与 共线吗？
（三）质疑答辩，排难解惑
例1.பைடு நூலகம்
例2.已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，
(x2，y2).⑴当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
是什么?
（三） 巩固练习：
4． 4、5
在充分独立思考的基础上，进行小组讨论.
教
学
小
结
（1）根据向量的坐标，判断向量是否共线
（2）能用平面向量共线解决平面几何问题.
课后
反思
高中数学必修四课时教案
备课人
授课时间
课题
§2.3.4平面向量共线的坐标表示
课标要求
平面向量共线的坐标表示
教
学
目
标
知识目标
会用坐标表示平面向量共线条件
技能目标
通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用
情感态度价值观
新人教A版必修4高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示学案
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A 版必修4【学习目标】1、理解平面向量的坐标的概念；2、掌握平面向量的坐标运算；3、会根据向量的坐标,判断向量是否共线.【重点难点】教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。
【学习内容】平面向量的坐标运算一、预习导航：预习时完成下列题目,试试你的身手.(一)温故而知新：1、平面向量基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a = .(1) 我们把 向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一,关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ,2e 的条件下进行分解；(4) 基底给定时,分解形式 . λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量.(二)阅读课本,完成下列题目1)若11(,)a x y =22(,)b x y =,则a b += ,a b -= 语言叙述：(2)若),(y x a = 和实数λ,则=a λ(3) 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=语言描述：(三)试试你的自学能力1、已知向量a ,b 的坐标,求b a +,b a -的坐标：(1)、)4,2(-=a ,)2,5(=b(2)、)3,4(=a ,)8,3(-=b2、已知)2,3(=a ,)1,0(-=b,求b a 42+-,b a 34+的坐标3、已知A (1,2)、B (－1,3)两点的坐标,求AB ,BA 的坐标二、课堂听评：你能掌握要领,提高能力吗？例1： 已知a =(2,1),b =(－3,4),求a +b ,a －b ,3a +4b 的坐标.例2： 已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C (3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4：已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AC AB AP λ+=(λ∈R),试求λ为何值时,点P 在第三象限内?。
人教版数学高一A版必修4学案 平面向量共线的坐标表示
2.3.4 平面向量共线的坐标表示问题导学一、向量共线的坐标运算活动与探究1已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？迁移与应用1．已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，则3a ＋2b ＝( )A ．(－1,7)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(1，－2)2．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，－4)，判断AB 与CD 是否共线．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0．当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．对条件的理解有两方面的含义：由x 1y 2－x 2y 1＝0，可判定a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则x 1y 2－x 2y 1＝0．二、三点共线问题活动与探究2向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？迁移与应用1．若点A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，C (x,1)共线，则x ＝__________． 2．已知OA ＝(1,1)，OB ＝(3，－1)，OC ＝(a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．三、向量共线坐标表示的应用活动与探究3在△AOB 中，已知点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．迁移与应用1．已知a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)，若a ∥b ，则tan θ＝__________．2．已知向量a ，b ，满足a ＋b 平行于x 轴，a ＝(2，y )，b ＝(2，－2)，则a 与b 的夹角为__________．关于解决点共线或向量共线问题，主要是求出相关向量的坐标，利用向量共线的坐标表示列出方程(方程组)来解决．当堂检测1．已知向量a ＝(x,5)，b ＝(5，x )，两向量方向相反，则x ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．12．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( )A ．a －c 与b 共线B ．b ＋c 与a 共线C ．a 与b －c 共线D ．a ＋b 与c 共线3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,0)，λa ＋μb 与a －2b 共线，则λμ＝( ) A ．12B ．2C ．－12D ．－2 4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝______．5．已知向量a ＝(2x,7)，b ＝(6，x ＋4)，当x ＝__________时，a ＝b ；当x ＝__________时，a ∥b 且a ≠b ．答案：课前预习导学【预习导引】x 1y 2－x 2y 1＝0 x 1x 2＝y 1y 2预习交流：提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：先计算出k a ＋b 与a －3b 的坐标，然后利用向量共线的坐标表示即可求k ，再根据符号确定方向．解：因为a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，又∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴－4(k －3)＝10(2k ＋2)，∴k ＝－13． 这时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－103，43，且a －3b 与－13a ＋b 的对应坐标异号， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且是反向的． 迁移与应用 1．D 解析：a ∥b ⇒y ＝－4，∴3a ＋2b ＝(－3,6)＋(4，－8)＝(1，－2)．2．解：AB ＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)， CD ＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)．∵4×(－8)－4×(－8)＝0，∴AB ∥CD ，即AB 与CD 共线．(或CD ＝－2AB ，AB ∥CD ，∴AB 与CD 共线) 活动与探究2 思路分析：根据向量共线的充要条件，若A ，B ，C 三点共线，只要满足AB ＝λBC (或AC ＝λAB )，就可以列方程求出k 的值或利用向量平行的充要条件求出k 的值．解：方法一：∵AB ＝OB －OA ＝(4,5)－(k,12)＝(4－k ，－7)， BC ＝OC －OB ＝(10，k )－(4,5)＝(6，k －5)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝λBC ，即(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)＝(6λ，(k －5)λ)．∴46,7(5).k k λλ-=⎧⎨-=-⎩ 解得k ＝11，或k ＝－2．方法二：同方法一，∵A ，B ，C 三点共线，∴(4－k )(k －5)＝6×(－7)，解得k ＝11，或k ＝－2．迁移与应用 1.9 解析：∵AB ＝⎝⎛⎭⎫7，72，AC ＝(x －1，4)，AB ∥AC ，∴7×4－72×(x －1)＝0，∴x ＝9．2．解：(1)由题意知，AB ＝OB －OA ＝(2，－2)，AC ＝OC －OA ＝(a －1，b －1)，若A ，B ，C 三点共线，则AB ∥AC ，即2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，故a ＋b ＝2．(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴14,14,a b -=⎧⎨-=-⎩∴5,3,a b =⎧⎨=-⎩即C (5，－3)． 活动与探究3 思路分析：充分利用向量共线的坐标表示，列出方程组求解．解：∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA ＝(0,5)，OB ＝(4,3)．∵OC ＝(x C ，y C )＝14OA ＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，54． 同理可得点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，从而AD ＝⎝⎛⎭⎫2，－72． 设点M 的坐标为(x ，y )，则AM ＝(x ，y －5)．∵A ，M ，D 三点共线，∴AM 与AD 共线．∴－72x －2(y －5)＝0， 即7x ＋4y ＝20．①易知CM ＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB ＝⎝⎛⎭⎫4－0，3－54＝⎝⎛⎭⎫4，74． ∵C ，M ，B 三点共线，∴CM 与CB 共线．∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20．② 由①②得x ＝127，y ＝2． ∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2．迁移与应用 1．14解析：∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14． 2．90° 解析：由已知得a ＋b ＝(4，y －2)，∵a ＋b 与x 轴平行，∴y －2＝0，y ＝2．在坐标系中以原点为起点，画出向量a ，b ，则由图知，a 与b 夹角为90°．【当堂检测】1．A 解析：当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反．易知选A ．2．C 解析：由已知得b －c ＝(3,3)，∵a ＝(6,6)，∴6×3－3×6＝0．∴a 与(b －c )共线．3．C 解析：λa ＋μb ＝(λ－μ，λ)，a －2b ＝(3,1)，由共线条件可得，λ－μ＝3λ即λμ＝－12，故选C ．4．1 解析：a －2b ＝(3，1)－(0，－2)＝(3，3)，∵a －2b 与c 共线，∴存在实数λ使λ(3，3)＝(k ，3)，即(3λ，3λ)＝(k ，3)，∴,3k λ==⎪⎩∴1,k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩5．3 －7 解析：若a ＝b ，则26,74,x x =⎧⎨=+⎩⇒x ＝3． 若a ∥b ，则2x (x ＋4)－42＝0，解得x ＝－7或x ＝3．当x ＝3时，a ＝b ，∴x ＝－7时，a ∥b 且a ≠b ．。
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.3.4平面向量共线的坐标表示
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.4
→ 2 → → → → → 2 → ②当P1P＝ P1P2时，OP＝OP1＋P1P＝OP1＋ P1P2 3 3
→ 2 → → 本 ＝OP1＋ (OP2－OP1) 3
课 时 栏 1→ 2→ 目 ＝ OP1＋ OP2 3 3 开 关
2.3.4
2.3.4
【学习要求】
平面向量共线的坐标表示
1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
本 课 3．掌握三点共线的判断方法． 时 【学法指导】 栏 目 1．应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点 开 在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且 关
答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
本 课 时 栏 目 开 关
∴x2，y2 不全为 0，不妨假设 x2≠0. ∵a∥b，∴存在实数 λ，使 a＝λb，
x1＝λx2， 即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，∴ y1＝λy2，
x1 ∵x2≠0.∴λ＝x . 2 x1 x1y2 将 λ＝x 代入 y1＝λy2 得 y1＝ x ，即 x1y2－x2y1＝0. 2 2
x1 x1 ∴(x1，y1)＝x1，x y2＝x (x2，y2) 2 2
x1 令 λ＝x ，则 a＝λb.所以 a∥b. 2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.4
探究点二
共线向量与中点坐标公式
问题 1 设 P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段 P1P2 的中点 P 的坐标．
∵G 为△ABC 的重心， ∴D 为 BC 的中点，
高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案含解析新人教A版必修
学习资料2．3.4 平面向量共线的坐标表示内容标准学科素养1。
理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2。
能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3。
掌握三点共线的判断方法. 应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第60页[基础认识］知识点平面向量共线的坐标表示阅读教材P98～99,思考并完成以下问题根据向量的坐标运算,向量共线如何表示？已知下列几组向量：①a＝（0，3），b＝（0,6）；②a＝(2,3），b＝(4，6);③a＝(－1，4)，b＝(3,－12）;④a＝错误!，b＝错误!.（1)将每组向量画在坐标系中，发现a与b有什么关系？提示：①②中a与b同向，③④中a与b反向．(2)每组中的a与b共线吗？提示:共线．知识梳理(1）设a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2），其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb。
(2)如果用坐标表示,可写为(x1，y1)＝λ（x2,y2），当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b（b≠0）共线．注意:对于(2）的形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式,可简记为：纵横交错积相减．思考若a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2),a∥b时，一定有错误!＝错误!吗？提示:不一定，当y1＝0或y2＝0时，不成立．[自我检测］1．已知向量a＝(2，－1），b＝（x－1，2)，若a∥b，则实数x的值为(）A．2B．－2C．3D．－3答案:D2．与a＝（12，5)平行的单位向量为(）A.错误!B。
错误!C。
错误!或错误!D.错误!答案:C授课提示：对应学生用书第60页探究一向量共线的判定与证明［教材P101习题第6题]已知A(－2，－3），B(2，1)，C(1，4）,D(－7,－4)．试问错误!与错误!是否共线?解析:错误!＝(2,1)－（－2，－3)＝（4，4),错误!＝(－7，－4）－（1，4)＝（－8，－8)，∵44＝错误!.∴错误!与错误!共线．[例1］（1)下列各组向量中，共线的是(）A．a＝（－2，3），b＝(4，6)B．a＝（2，3)，b＝(3，2）C．a＝（1，－2)，b＝(7,14）D．a＝(－3，2）,b＝（6，－4）(2）在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7）表示出来的是（）A．e1＝（0，1)，e2＝(0，－2)B．e1＝（1，5),e2＝(－2,－10）C．e1＝(－5,3），e2＝(－2，1）D．e1＝（7，8）,e2＝（－7，－8)［解析](1）利用x1y2－x2y1＝0判定．（2)只有C不共线，可作为基底．[答案］(1）D（2）C方法技巧向量共线的判定方法跟踪探究1。
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2．3.4 平面向量共线的坐标表示[已知下列几组向量：(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；(4)a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？ 提示：(1)(2)中b ＝2a ；(3)中b ＝－2a ；(4)中b ＝－a . 问题2：以上几组向量中，a ，b 共线吗？ 提示：共线． [导入新知]平面向量共线的坐标表示[向量共线的坐标表示的推导 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)≠0， 则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R)．上式若用坐标表示，可写为a ∥b ⇔(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即a ∥b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[例1] (1)a －2b )，则λ的值等于( )A.12B.13 C ．1D ．2(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)，判断AB 与CD是否共线．如果共线，它们的方向是相同还是相反？[解] (1)A(2)AB＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD共线．又∵CD ＝－2AB ，∴AB ，CD方向相反．综上，AB 与CD共线且方向相反．[类题通法] 向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b . (2)利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解． [活学活用]1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0答案：C2．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 为何值时，(ka ＋b )∥(a －3b )？这两个向量的方向是相同还是相反？答案：当k ＝－13时，(ka ＋b )∥(a －3b )，并且它们的方向相反.[例2] (1)若点A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2，C (x,1)共线，则x ＝________. (2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．[解] (1)9(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC共线，则存在实数λ，使得AB＝λAC .∵AB ＝OB－OA ＝(4－k ，－7)， AC ＝OC －OA＝(10－k ，k －12)．∴(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，即⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ 10－k ，－7＝λ k －12 ，解得k ＝－2或k ＝11.∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线． [类题通法]三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成： ①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． [活学活用]已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB 与CD共线；(2)当向量AB 与CD共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？答案：(1)x ＝±2(2)当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在一条直线上[例3] 的坐标．[解] 由O ，P ，B 三点共线，可设OP ＝λOB ＝(4λ，4λ)，则AP ＝OP－OA ＝(4λ－4,4λ)．连接OC ，则AC ＝OC －OA＝(－2,6)．由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP ＝34OB ＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．[类题通法]向量共线在几何中的应用及注意事项 向量共线在几何中的应用，可分为两个方面： (1)已知两向量共线，求点或向量的坐标； (2)证明或判断三点共线、直线平行．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．[活学活用]已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)， CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB 与CD共线．∵AD＝(－1,2)，BC ＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD 与BC不共线．∴四边形ABCD 是梯形．∵BC ＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC |＝5＝|AD|，即BC ＝AD .故四边形ABCD 是等腰梯形．9.错用两向量共线的条件致误[典例] 已知P 1(2，－1)，P 2(－1,3)，P 在直线P 1P 2上，且|1P P |＝23|2PP|.则P 点的坐标为________．[解析] (1)当1P P 与2PP 同向时， 则有1P P ＝232PP ，设P 点坐标为(x ，y )， 1P P ＝(x －2，y ＋1)，2PP＝(－1－x,3－y )．∴(x －2，y ＋1)＝23(－1－x,3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋23× －1 1＋23，y ＝－1＋23×31＋23，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.(2)当1P P与2PP 反向时， 则有1P P ＝－232PP ，设P 点坐标为(x ，y )， ∴(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x,3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－23× －1 1－23，y ＝－1－23×31－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故P 点坐标为(8，－9)．综上可得，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35或(8，－9)．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35或(8，－9) [易错防范]1．本题易由|1P P |＝23|2PP |只得出1P P ＝232PP 的结论，从而得出P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35的错误答案．2．解决两向量共线问题时，要注意两非零向量a 与b 共线有同向共线和反向共线两种情况，不要发生遗漏．[成功破障]平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC ＝12BC ，连接DC 延长至E ，使|CE |＝14|ED|，则点E 的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7[随堂即时演练]1．下列各组的两个向量，共线的是( ) A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14) C ．a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2) D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4) 答案：D2．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)答案：D3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案：124．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 答案：235．已知A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF∥AB .证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB＝(4，－1)．∵AE ＝13AC ，∴AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23.∵BF ＝13BC ，∴BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF ∥AB .[课时达标检测]一、选择题1．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( ) A ．a －c 与b 共线 B ．b ＋c 与a 共线 C ．a 与b －c 共线 D ．a ＋b 与c 共线答案：C2．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝ka ＋b (k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 答案：D3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则mn等于( ) A ．－12 B.12C ．－2D ．2答案：A4．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－73 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－73 答案：C5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60° 答案：A 二、填空题6．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，若BC ∥DA，则x ＋2y 的值为________．答案：07．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案：－18．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________.答案：(－6,21) 三、解答题9．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2) ＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)． (2)∵a ＝mb ＋nc ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.10．已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB 与CD共线且方向相反．11．如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC ＝14OA ，OD ＝12OB，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解：∵OC ＝14OA ＝14(0,5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.∵OD ＝12OB ＝12(4,3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM＝(x ，y －5)， CM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.∵AM ∥AD ，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①∵CM ∥CB ，∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.。