平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理
3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成 比例定理）。
三 练习
！
证明：因为
（平行线分线段成 比例定理）。
因为
已知：如图， ， 求证： 。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成 比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论
4.平行线分线段成比例.详解
相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗？ 的长度， B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截， 则由平行线分线段成比例可知， AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC ， . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 ， AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例一、知识要点1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或其延长线）所得对应线段的比相等.二、知识要点及典型例题精讲【知识要点1】——平行线分线段成比例定理若1l ∥2l ∥3l ，则;;AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF===. 例1 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3,则BF 等于 .【知识要点2】——平行线分线段成比例定理推论如果BC ∥DE ，则AD AE AB AC =;AD AE BD CE =;BD CE AB AC=. 例2 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC,若AD:AB=3：4 ，AE=6，则AC= .【随堂练习三】一、判断题1.三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）2.一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ）3.如图1，321////l l l ，则BFAE DF CE BD AC ==（ ） 4.如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BCDE EC AE DB AD ==（ ） 二、选择题图1 图21.如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列不能成立的比例式一定是（ ）A ．EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB EC AB AC = D ．BCDE DB AD = 2.如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 31=，AD ＝12，那么CF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．3 D ．123.如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．164.如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3图65.如图7，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ） A. 0.5 B. 2 C.32 D. 23 三、填空题 1.如图8， 则 ＝________， ＝________；2.如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________.3.如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝ . EG ＝________；4.如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________； DB ＝________.21//l l DE AD AC AB 图7 E D C B A 图3 B AC F DE 图4 图5 图11 图10 图9 图8四、解答题1.如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP 交AB 于N ， 若AB=6cm ，求AP 的值.2.如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ，求证：OA ：AN=OB ：MB3.如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ．4.如图，在△ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC ，求证：AF ·BD ＝ AD ·FD5.已知直线l 截△ABC 三边所在的直线分别于E 、F 、D 三点，且AD=BE.求证：EF ：FD=CA ：CB.OP NMC B A。
2.平行线分线段成比例定
D
（E ）
l1 l2
C
F
l3
BC BF (3) AC DF
基本图形：“A”字形
a A B C
b D E
AB AE (1) BC EF AB AE (2) AC AF BC EF (3) AC AF
l
1
l
2
F
l
3
A D E
B
C
平行于三角形一边的直线与其 他两边相交，截得的对应线段 成比例
推论2：
A B C B1 C1
推论2：
A A1 B C B1 C1 l1
l2 l3
推论2：
A
B
C
B1 C1
推论2： A B C B1 C1
推论2：
A
B C
B1
C1
推论2：（中位线） 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边. A
在△ACC1中， B AB=BC，
BB1∥CC1， ∴AB1=B1C.
数学符号语言
AD AE = AB AC
DE // BC
A
D E
B
C
思考：
平行于三角形一边的直线 截其他两边的延长线，所 得的对应线段成比例。成 立吗？ B 推论的数学符号语言：
∵ DE∥BC AD AE ∴ —— ＝ —— AB AC
E A
D
C
二、判断题 1、若AB∥CD∥EF， AC=CE， 则 BD=DF=AC=CE.
(
×
)
A
B
C
E
D
F
2、如图，若 AC=CE，BD=DF， 则AB∥CD∥EF， (
×
A
)
平行线分线段成比例定理
5
17
2 1
)
)
(3) S△AGE=( 2
4
课堂小结
作业 4
已知AD // ED // BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求EF的长
A D E
H
F
解法（一）
作AG // CD交EF于H AD // EF // BC AD=15, BC=21
B
G
C
AD = HF = GC =15 ，BG = 6 EH AE = BG AB 2AE = EB
A
3k 3m 2m
E
D
2k
G
4m 2a
F
a
B
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
3k 3m
E
6m
H
2m
D
2k
F
a
B
3a
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
y
D
x
x
E C
B
5
应用4 — 建立函数关系式
2. 已知：如图，BC = 4, AC = 2 3 ∠C=60°，P为BC上 一点，DP//AB，设BP = x，S△APD= y.
(1)求y关于x的函数关系式; (2)若S△APD =
2 S△APB，求：BP的长. 3
A
D
H
B
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。
2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。
具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。
这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。
平行线分线段成比例
L5
L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1
L2 L3
L5
E A B
L4 D
L1
L2
C
L3Biblioteka 二、讲授新知A D
E C
E A B D
3、平行于三角形一边的直线 截其他两边(或两边的延长 线），所得的对应线段成比例。
B
推论的数学符号语言：
∵ DE∥BC
AD AE ∴ —— ＝ —— （推论） AB AC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF AB CB
2 CF 16 , 即CF 3 8 3
16 8 BF 8 - 3 3
DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E， 4、已知： A AD AE DE 求证： = = . AB AC BC E AD DE D 分析： 只要证明 AB = BC ， 过D作AC的平行线 B F C 以转移AD：AB，
DF DE ？, AC EF AB DE ？, AC DF BC EF 2、平行线分线段成比例定理： ？ , AC DF 三条平行线截两条直线，所
得的对应线段的比相等。
m Bm m m Cm
A
n n E l 2 n n n F l3
D
l1
L4 L5
A B C
D E F
L1
L2 L3
L4 L5
C
例题解析
1、已知：DE∥BC，AB＝15，BD＝4，AC＝ 9， 求：AE的长？
A
B D
平行线分线段成比例定理
左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC
平行线分线段成比例
A
E C
成功用学： 3.如图点E为平行四边形 ABCD的边CD延长线
上的一点,连接BE,交AC于点O,交AD于点F.
求证: BO EO
FO BO
证明： AF // BC, BO CO
FO AO AB // CE, EO CO
BO AO BO CO
FO AO
例5、已题知2：BE平分∠ABC，DE//BC. AD=3,
E
C:—AA—DC ＝ —AA—EB (ᵡ ) D: —AA—DE ＝ —AA—BC(√ B)
2、填空题:
E
如图:DE∥BC,
2
已知:
AE 2 AC 5
则: —AADB— ＝ —5—
A B
C D
C
练习
1、如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 AB，AC，BC 上，且 DE
∥BC，EF∥AB．若 AD=2BD，则 CF 的值为（ ）
火眼金睛：考考你
如图：DE//AF//BC，根据以上结论，试 找出图中的比例线段，比一比看谁找的 最快、最多。
D
E
A
F
B
C
例题
2、已知：DE//BC, AB=15,AC=9,
A
BD=4 . 求：AE=?
B
C
D
E
练习
A
1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A:•—AA—DB ＝ —AAEC—( √ )B: —ABDD—＝ —AC—EE (√ ) D
结论：
D
E
l2
= = AD
AE 上
DB
EC 下
上 下
B
= = AD
AE 上
(完整版)平行线分线段成比例
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
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做一做 选择作业本上不相邻的三条平行线
m A
D n F
E
指出 AD、DB、FE、EC这 四条线段的长度有什么关系?
D
B
AD DB
1 3
FE 1 ED 3
FE DB ED
我们发现： AD
思考：我们还可以发现哪些线段成比例？
AD FE 1 DB FD 4
DB ED 3 AB FD 4
所得的对应线段成比例.来自平行线 对应线段成比例.
A
D E
∵DE∥BC，
上 下 下 上
上 下 下 上
左 右
左 右
B
C
“A”字图形
上 全
下 全
上 全
下 全
全 上
全 下
全 上
全 下
平行线 对应线段成比例.
E
D A
∵DE∥BC，
∴
C
DA EA AB AC
B
DA EA DB EC AB AC DB EC AB AC DB EC
回顾
4 12 75 1、 若 ，x ________ . 填空： 25 x 5 5 3 a 2 ab ab 3 2 2、 若2a 3b 0, 则 ________, _______, ____ b b a x y z x yz 3 3、 若 , 则 _______, 2 3 4 y
平行线分线段成比例定理推论:
A B D E F
l1 l2
l3
A D B C E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边 的直线截其他两边
(或两边的延长线)，
所得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例定理推论:
A D E
E
D A
B
C
B
C
“A”字图形
“8”字图形
平行于三角形一边的直线 (或两边的延长线)， 截其他两边
做一做 教材p53
已知：DE // AF // BC 找出图中成比列的线段
B
D
E
A
F
C
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段 成比例（简称平行线分线段成比例）
m A D n F E
几何语言：
l1 // l2 // l3
D
B
AD FE DB EC
上 上 下 下
想一想，还有哪些线段成比例？
AD FE AB FC
上 上 全 全
DB EC AB FC
下 下 全 全
m A B C
n D E F
打开作业本，每一页是 有一些间距相等的平行 线组成的，在作业本上 任意画一条直线m，与 相邻的三条平行线交予A、 B、C三点
测量线段AB和线段BC 的长度，你发现什么？
AB=BC DE=EF
所以我们可以得到
AB DE = BC EF
DE AB = DF AC
EF BC = DF AC