初数学平行线分线段成比例定理

初数学平行线分线段成比例定理
初二数学
【教学进度】
几何第二册第五章§5.2
[教学内容]
平行线分线段成比例定理
[重点难点剖析]
一、主要知识点
1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于
三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析
1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。

定理的基本图形
∵l 1∥l 2∥l 3 ∴EF
BC DE
AB DE
AB =
==
应。

② 为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式： EF
DE
BC AB =
， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE
AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF
EF
AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等
L L L 图1-（1）
C
F
A B E D F
C
图1-（2）3
E D 12B A F
3
L C 图1-（3）
2L L 1B
E A 图1-（4）
F
L 3
C
L 2L 1B D A 3
L 2L L 1(D)(E)
称为“X ”型 ② 推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线
3． 三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。

（1） （2） 个定理的前提：得对应线段成比例。

4． 的逆命题：它是一个假命题，如图3，其中AB=BC ，
A B
C
D
E
F
图6
去。

[典型例题] 例1、如图5，在△ABC 中，D 是BC 上的点， E 是AC 上的点，AD 与BE 交于点F ，若AE:EC=3:4， BD:DC=2:3，求BF:EF 的值。

分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图形本身并没有平行线，故需添加辅助线——平行线去构造比例线段，进而求出比值。

解：过E 作EG ∥BC 交AD 于G ，则在△ADC 中，AC
AE
DC GE =
又∵4
3
=EC AE ∴ 7
3
=AC AE ∴7
3
=DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则
∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 314
73232=⨯= ∴
9
14
3314
==x x
EG BD
又 ∵EG ∥BC ， ∴9
14
==EG BD FE BF 分析 根据条件可知BDEF 为平行四边形，由EF ∥BC ，应用相似三角形的预备定理，得BC
EF
AB AF =再应用比例性质，即可求出EF 即BD 。

∴ 四边形BDEF 为平行四边形， ∴ BD=EF
又∵ EF ∥BC ， ∴BC
EF
AB AF =
∴DC BD BD BF AF AF +=+ ∴2
355+=
+BD BD
解之，得BD=3
10（cm ） 例3、如图7，A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两
边上的点，且AB ∥ED 、BC
求证：AF//CD
分析 要证明AF//CD 线段，
由题中图形可知，应证明OD
OF
OC OA =
BC//FE ，容易得到此关系。

证明：∵AB//ED ∴OD OB OE OA = ①②
比，
例4 点，
分别连结AB 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于 E ，DB 与MC 交于F ，求证EF//CD
分析：要证EF//CD ，可根据三角形一边平行线的判
定定理证明，
首先观察EF 、CD 截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。

证明：∵AB//CD ∴EM
DE AM CD =
，FM CF
MB CD = 又∵AM=BM ∴FM
CF
EM DE =
∴EF//CD 点评 利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：
（1）首先观察欲证平行线截哪个三角形 （2）再观察它们截这个三角形的哪两边
（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可 当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其它相等线段）的比作为中间比
例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC
上
或其延长线上，且C C B B A A '''//// 求证：C C B B A A '='+'111 分析 题，
证明：∵A A C C ''// ∴BA C B A A C C '='' ∵C C '// ∴1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C ∴A A '1 点评 对于线段倒数和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式，再利用平行线或相似三角形有
关性质进行求解，如本题中，要证C C B B A A '
=
'+'1
11，只需证1='
'
+''B B C C A A C C ，即将倒数和的形式化为线段比的形式。

F C 图11
B D
E
A
M N
例6 如图10 四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BD 于E ，
EF//CD 交BC 于F ，求证：1==AB
AD BF BC 分析 结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段
证明：∵AE 平分∠BAD ∴BE
DE AB AD = ① 在△BCD CB
DB ②—①得 1=-=-BE
BE AB BF ∴
1=-AB
AD
BF BC 例7 如图11，AD 为△ABC 的角
平线， BF ⊥AD 的延长线于F ，AM ⊥AD 于A
交BC 求证：AE=EM
分析 要证AE=EM ，可利用比例缎来证明，而由BF ⊥AF ，
可延长BF 交AC 延于N ，构造等腰三角形， 利用等腰三角形性质有BF=FN ，再由BN//AM ， 得比例线段，即可得出结论。

证明：延长BF 交AC 的延长线于N ∵AF ⊥BF ∴∠BFA=∠NFA=900 又∵∠BAF=∠NAF ，AF=AF ∴△ABF ≌△ANF ∴BF=NF ∵BF ⊥AF AM ⊥
AF ∴BF//AM ∴EC FC EM BF =，CE
FC
AE EN = F
图10
C B
E
A
D
∴AE
FN
EM BF = 又∵BF=FN ∴EM=AE 点评（1）有和角平分线垂直线段时常把它延长，构造且DE//BC ，EF//AB ，AD=9，EF=6，CF=5，
N
E
F
A D
B C （第13题（2）—③）
M
11． 已知，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边，在AB 的同侧作两个等边三角形ACD 和BCE ，
AE 交CD 于F ，BD 交CG 于G ，求证FG//AB
交AB 于E ，求证：DE
BC AB 111=+ 13．已知，如图（1），梯形ABCD 中，
AD//BC ，E 、F 分别在AB 、CD 上，
且EF//BC ，EF 分别交BD 、
AC 于M 、N 。

① 求证ME=NF
② 当EF 向上平移 图（2）各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。

[练习与测试参考解答或提示]
1．215；2．18cm ； 3．5
2,35； 4．9：4； 5．9； 6．10，18； 7．9：1； 8．2； 9．6
10．提示，过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH
AE GD AG =，DH EC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB ，即可得结论。

11．略证，由∠DCA=∠EBA=600，有CD//BE ，则CG
EG CD BE =，同理AD
CE AF EF =，而EB=CE ，CD=AD ，
则AF
EF CG EG =，所以FG//AB 12．略证，由DE//BC ，有∠EDB=∠DBC ，AB
AE BC DE =，又∠ABC=∠DBC ，所以∠EDB=∠ABD ，则BE=DE ， 所以1==+=+AB
AB AB AE AB BE BC DE AB DE 13．①由AD//EF//BC ，有AD NF CD CF AB BE AD
EM =
==，EM=NF ②仍成立，证明同①。