平行线分线段成比例及证明78079

截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形
的三边对应成比例.
已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
求证：AD ? AE ? DE AB AC BC
A
D
E
DE//BC EF//AB
AD ? AE AB AC
AE ? BF AC BC
DE=BF
B
F
C
AD ? AE ? DE AB AC BC
// l2
// l3 ，
求证： AB DE
?
BC EF
?。AC DF
证明：因为 l1 // l2 // l3
? AB BC
?
DE EF
（平行线分线段成 比例定理）。
A
D
l1
? AB ? BC DE EF
因为
BC AC
?
EF （平行线分线段成 DF 比例定理）。
BE FC
l2
l3
? BC ? AC EF DF
L2
D
G
L3
AB ? BE BC EF
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.
AB ? BE BC EF
上?下? 全 上下全
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条
直线, 所得的线段对应成比例. AMD
上 上
?
下 下
?
全 全
B
E
A (D)
C
F 平移
BE
平移
CF
DA
BC=8.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分
别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
? AD ? AE ? 4 ? 2 AB AC 6 3
DFra Baidu bibliotek
E
∵DF //AC
? AD ? CF AB CB
BF
C
? 2 ? CF ,即CF ? 16
38
3
? BF ? 8 - 16 ? 8 33
例3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.
? 把这个定理运用于三角形中就得 到它的重要推论。
BM E
C
N
F
因为 l1∥l2∥l3
AB ? BE
所以 BC
EF
L2 L3
ab
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
AB ? BE BC EF
基本图形：“A”字形
ab
AD
L1
B
（E）
L2
C
F
L3
AB ? BE BC EF
基本图形：“x”字形
ba
A
BE
L1
C
F
分析: 分别在△ABC及△ADC中利
用平行线分线段成比例定理的推论
A
证明 在? ABC中,? DE//BC, AB ? AC
F
AD AE D
E
在? ADC中,? EF//CD, AD ? AC AF AE
B
C
AB ? AD AD AF
∴AD2=AB?AF,即AD是AB和AF的比例中项
三 练习
已知：如图，l1
(1)如果 AE ? 1 ，求证 ：3EF ? BC ? 2 AD
EB 2
( 2)如果 AE ? 2 ， 求证 ：5 EF ? 2 BC ? 3 AD
EB 3
(3)请你探究一般结论 ，即如果
AE
?
m，那么
EB n
可以得到什么结论 。
两条直线被三条平行线所 截，如果在一直线上所截 得的线段相等，那么在另 一直线上所截得的线段也 相等。
F
L3
AB ? BE BC EF
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
AD
B
E
当 AB ? 1
A
D
BC
B
E
C
F
当 AB ? 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线
A
D
L1
BM
E
L2
C
N
F
L3
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？
A
D
L1
? “对应”是数学的基本概念，】
? 图1-1中， ? 在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推
出如下结论之一：
? （1）简称“上比下”等于“上 比下”
? （2）简称“上比全”等于“上 比全”
? （3 简称“下比下”等于“下比 下”
? AB ? BC ? AC DE EF DF
！ 上?下?全 上下全
已知：如图， l1 // l2 // l3 ，AC=8，DE=2 ，EF=3 ，
求AB。
方法一 解：因为 l1 // l2 // l3
AD BE
C
F
? l1
l2
? l3
AB BC
?
DE EF
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X，则BC=8—X
∵l1∥l2∥l3
∴AM =DE MN=EF
在△ACN中，有
AB ? SV ABM BC SVBCM
AM ? SVABM MN SVBMN
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴ AB ? AM
BC MN
亦即 AB ? BE BC EF
平行线分线段成比例定理 ：
三条平行线截两条直线所得的
线段对应成比例
2、如图，在△ ABC 中，作平行于 BC的直线交AB 于D，
交AC 于E，如果 BE 和CD相交于 O，AO 和DE相交于 F，
AO 的延长线和 BC 交于G。
证明：（
1）
BG GC
? DF FE
（2）BG=GC
3、如图，梯形ABCD中，点E、F分别在
AB、CD上，EF∥AD，假设EF作上下平
行移动，
B NE
C
F
D
A
平移
(E) B
CF
! 注意:应用平行线分线段成比例定理得到的
比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关 !
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的线段对应成比例.
l l?
A
l1
l
l?
E
D l1
D
E l2
A
l2
B
C
l3
B
C l3
ab
A
D
L1
B
E
L2
C
平行线等分线段定理：
l1
ll32
平行线分线段成比例定理 ：
三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例 如图
A
D
l1
已知l1∥l2∥l3 求证 AB ? DE
BC EF
B C
E
l2
F
l3
或 AB ? DE
AC DF
或
BC ? EF AC DF
定理的证明过A点作AN ∥ DF，交l2于M，交l3
于N 点，连接 BN 、CM（如图(1-2）
X ?2 8-X 3
? X ? 16
5
即：AB ? 16
5
方法二 解：因为 l1 // l2 // l3
?
AB AC
?
DE （平行线分线段成 DF 比例定理）。
即： AB ? 2
? AB ? 16
8 2?3
5
作业
1、已知AB 、CD为梯形ABCD 的底，对角线 AC 、 BD 的交点为O，且AB=8 ，CD=6,BD=15 ，求 OB 、OD 的长。
例1 已知：如图 l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
EF=4 。求BC。
AD BE
C
F
l1 l2
l3
练习：已知：如图， EF=c. 求DE。
l1 // l2 // l3
，AB= a, BC= b,
A B
C
D E
F
l1
l2
l3
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2,