2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第4章 平面向量 4-2a

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向答案 D解析 ∵c ∥d ，∴(k a ＋b )∥(a －b )，∴存在λ使k a ＋b ＝λ(a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1.∴c ＝－a ＋b ，∴c 与d 反向．故选D.2．(2018·襄樊一模)已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12 C ．k ＝1 D ．k ＝－1 答案 C解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →与AC →共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．所以1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1，故选C.3．(2018·怀化一模)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D.4．(2017·河南高三质检)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝4，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝5，则|BD →|等于( )A ．6B ．4C ．2D ．1 答案 C解析 设AD →＝λAB →，∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝λAB →2－AB →·AC →＝5，可得25λ＝15，∴λ＝35，∴|BD →|＝25|AB →|＝2，故选C.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )解析 由题意知OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，排除B ；取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，排除C ，D ，故选A.6．(2018·茂名检测)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A ．24B ．8 C.83 D.53 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3，又x ，y >0，∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝⎛⎭⎪⎫12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．∴3x ＋2y 的最小值是8.故选B.7．(2017·济南二模)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，N 为OB 中点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( )A.425B.25C.49D.23 答案 A解析 因为点C ，M ，N 共线，则OC →＝λOM →＋μON →＝23λOA →＋12μOB →，λ＋μ＝1，由OC →＝xOA →＋yOB →， x ＝23λ，y ＝12μ＝12(1－λ)，x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ2＋14(1－λ)2＝2536λ2－λ2＋14， 设g (λ)＝2536λ2－λ2＋14，由二次函数的性质可知：当λ＝925时，g (λ)取最小值，最小值为g ⎝⎛⎭⎪⎫925＝425，所以x 2＋y 2的最小值为425，故选A.8．(2017·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1 D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.故选A.9．(2018·安徽十校联考)已知A ，B ，C 三点不共线，且AD →＝－13AB →＋2AC →，则S △ABDS △ACD＝( )A.23B.32 C ．6 D.16 答案 C解析 如图，取AM →＝－13AB →，AN →＝2AC →，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD →＝－13AB →＋2AC →.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ， 而S △AMD ＝S △AND ，∴S △ABDS △ACD＝6.故选C.10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bB ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22bC ．－2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22bD.2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－22b答案 B解析 根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°.以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形．由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1＋22，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1＋22.令AD →＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎨⎧－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得⎩⎨⎧λ＝－2，μ＝1＋22，∴AD →＝－2a ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22b .故选B.二、填空题11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．答案 (2,4)解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4－x,2－y )，AB →＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为________．答案 60°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，整理， 得b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12. 又0°<C <180°，∴C ＝60°.13．(2017·太原三模)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________．答案2133解析 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ ∴y ＝3(x －2)，①直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP |＝499＋13＝2133.14．(2018·江西南昌一模)已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103解析 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋34BC → ＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433·cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103， 即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.三、解答题15．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3. 如图所示，点C 在以O 为圆心的上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3， 则C (cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. 16．(2018·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．解 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|2最小，最小值为22.(2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )，则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x＝1－cos2x －sin2x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。