江苏高考数学试卷含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

棱锥的体积13

V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．

位置上．．．．

1．（2012年江苏省5分）已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =U ▲． 【答案】{}1,2,4,6。

【考点】集合的概念和运算。

【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6A B =U 。

2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校

高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 【答案】15。 【考点】分层抽样。

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够

的代表性。因此，由3

50=15334

?

++知应从高二年级抽取15名学生。

3．（2012年江苏省5分）设a b ∈R ，，117i

i 12i

a b -+=

-（i 为虚数单位），则a b +的值为▲． 【答案】8。

【考点】复数的运算和复数的概念。

【分析】由117i

i 12i

a b -+=

-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=

+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲． 【答案】5。 【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：

是否继续循环

k

循环前

0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4

第六圈

否

输出5

∴最终输出结果k=5。

5．（2012年江苏省5分）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．

【答案】(

0。

【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

1266000112log 0log 620x >x >x x x x ≤-≥≤≤?????

?????

?????

6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲． 【答案】35

。

【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是

63=105

。 7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为▲cm 3． 【答案】6。

【考点】正方形的性质，棱锥的体积。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中BD ，BD cm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为1

23

?。由 8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22

214

x y m m -=+的离心

m 的值为▲． 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由22

214x y m m -=+得a b c

∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。

9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中

点，点F 在边CD 上，若AB AF =u u u r u u u r g AE BF u u u r u u u r

g 的值是▲．

。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由AB AF u u u r u u u r

g cos AB AF FAB ∠u u u r u u u r

g g cos =AF FAB DF ∠u u u r g 。

∵AB =DF =1DF =。∴1CF =。

记AE BF u u u r u u u r

和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-u u u r u u u r u u u r

u u u r

u u u r

u u u r

u u u r

u u u r

g g g g g g g

)

=cos cos sin sin =121AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=?=u u u r u u u r u u u r u u u r

g g g g g 。

本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

10．（2012年江苏省5分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，

0111()201

x x ax f x bx x <+-??

=+??+?≤≤≤，

，，，其中a b ∈R ，．若

1322f f ????

= ? ?????

， 则3a b +的值为▲． 【答案】10-。

【考点】周期函数的性质。

【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即2

1=2

b a +-+①。 又∵311

=1222f f a ??

??

=--+ ? ?????，1322f f ??

??

= ? ?????，

∴1

4

1=

2

3b a +-+②。 联立①②，解得，=2. =4a b -。∴3=10a b +-。

11．（2012年江苏省5分）设α为锐角，若4

cos 65απ?

?

+= ???，则)122sin(π

+a 的值为▲．

【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵α为锐角，即02

<<

π

α，∴

2=

6

6

2

6

3

<<

π

π

π

π

πα+

+

。 ∵4

cos 65απ?

?

+= ???，∴3

sin 65απ?

?

+= ??

?。∴

3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ?????

?+=++ ? ? ??????

?g g 。

∴7

cos 2325απ??+= ???。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12

343434a a a a π

π

πππππ???

?+

+

-+-+ ? ????

?

247=

2525 12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，

若直线2y kx =-

上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值

是▲． 【答案】

4

3

。 【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离

【解析】∵圆C 的方程可化为：()2

241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有 公共点；

∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。 ∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-

2≤，解得

403

k ≤≤

。 ∴k 的最大值是

43

。 13．（2012年江苏省5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若

关于x 的不等式

()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为▲．

【答案】9。

【考点】函数的值域，不等式的解集。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2

=0x ax b ++时有2

40a b =-=V ，即2

4

a b =

， ∴2

22

2

()42a a f x x ax b x ax x ??

=++=++=+ ???

。

∴2

()2a f x x c ?

?=+< ??

?解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，∴()()2622

a

a c c c ----==，解得

9c =。

14．（2012年江苏省5分）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则

b

a

的取值范围是▲． 【答案】[] 7e ，

。 【考点】可行域。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：

354a c a b

c c a b

c c

b e c

??+≥???+≤????≥?。 设==a b x y c c

，，则题目转化为：

已知x y ，满足354

00x

x y x y y e x >y >+≥??+≤?

?≥?

??

，，求y x 的取值范围。 作出（x y ，）所在平面区域（如图）。求出=x y e 的切 线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥， 则

00000

==y ex m m e x x x ++，要使它最小，须=0m 。 ∴y x

的最小值在()00P x y ，处，为e 。此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时，=45=205=7=7=534=2012y x y x y

y x y x y x

x --??????

?--??，

∴y x 的最大值在C 处，为7。

∴y x

的取值范围为[] 7e ，

，即b

a

的取值范围是[] 7e ，。 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或 演算步骤．

15．（2012年江苏省14分）在ABC ?中，已知3AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ．

（1）求证：tan 3tan B A =；

（2）若cos C =

求A 的值． 【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ，∴cos =3cos AB AC A BA BC B g g g g ，即

cos =3cos AC A BC B g g 。

由正弦定理，得

=sin sin AC BC

B A

，∴sin cos =3sin cos B A A B g g 。

又∵0B>，。∴

sin sin =3cos cos B A

B A

g 即tan 3tan B A =。

（2）∵cos 05C

tan tan 21tan tan A B

A B

+=--g 。

由（1），得24tan 213tan A A =--，解得1

tan =1 tan =3

A A -

，。 ∵cos 0A>，∴tan =1A 。∴=

4

A π

。

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

【解析】（1）先将3AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u r

g g 表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函

数关系式证明。

（2）由cos C =

可求tan C ，由三角形三角关系，得到()tan A B π?-+???，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A 的值。

16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．

【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。 又∵AD ?平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

又∵1AD DE CC DE ⊥?，，平面111BCC B CC DE E =I ，，∴AD ⊥平面11BCC B 。（lbylfx ） 又∵AD ?平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ?平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。 又∵111 CC B C ?，平面11BCC B ，1111CC B C C =I ，∴1A F ⊥平面111A B C 。 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

又∵AD ?平面1, ADE A F ?平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】（1）要证平面ADE ⊥平面11BCC B ，只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可。它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥证得。

（2）要证直线1//A F 平面ADE ，只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可。

17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程

221

(1)(0)20

y kx k x k =-

+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，试问它的横坐标

a 不超过多少时，

炮弹可以击中它？请说明理由． 【答案】解：（1）在221(1)(0)20y kx k x k =-

+>中，令0y =，得221

(1)=020

kx k x -+。 由实际意义和题设条件知00x>k >，。 ∴2

202020

=

==10112k x k k k

≤++，当且仅当=1k 时取等号。 ∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使221

(1)=3.220

ka k a -+成立， 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。 由()()

2

22=204640a a a ?--+≥得6a ≤。

此时，

0k （不考虑另一根）。

∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】（1）求炮的最大射程即求221

(1)(0)20

y kx k x k =-+>与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。 18．（2012年江苏省16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。 ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，

∴(1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，。 （2）∵由（1）得，3()3f x x x =-，

∴()()2

3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。 ∵当2x <-时，()0g x <'；当21'， ∴=2x -是()g x 的极值点。

∵当21时，()0g x >'，∴=1x 不是()g x 的极值点。 ∴()g x 的极值点是－2。

（3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-

当=2d 时，由（2）可知，()=2f x -的两个不同的根为I 和一2，注

意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。

当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，

(1)=(2)=20f d f d d <-----，

∴一2,－1，1，2都不是()=f x d 的根。 由（1）知()()()=311f'x x x +-。

①当()2x ∈+∞，

时，()0f'x >，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，

无实根。 ②当()1 2

x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。 又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1,2）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2，一I ）内有唯一实根。

③当()1

1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。 又∵(1)0f d >--，(1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，

∴()=f x d 在（一1，1）内有唯一实根。

因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，

；当2d <时

()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x

。 现考虑函数()y h x =的零点：

(i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，

。 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有

5个零点。

(11）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足

2 =3, 4, 5i t

而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9个零点。 综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5个零点；当2c <时，函数

()y h x =有9个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。

（3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数

()y h x =的零点。

19．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的

左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ? ??

都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．

（i

）若12AF BF -=

1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．

【答案】解：（1）由题设知，222==c

a b c e a

+，，由点(1)e ，在椭圆上，得

22222222222

22222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b

+=?+?+??，∴22=1c a -。

由点2e ?

?

?

，

在椭圆上，得 ∴椭圆的方程为2

212

x y +=。

（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴设1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，

()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，。

∴(

)

2

2122

111111

1221=022=1

x y m y my y m my x ?+=??+--??+?+?。 ∴

)21212

m AF m ++=

+。

①

同理，)2221=

2

m BF m +-+。②

（i ）由①②得，12AF BF

-=

得2m =2。

∵注意到0m >，∴m 。

∴直线1AF

的斜率为

1=

2

m 。 （ii ）证明：∵1AF ∥2BF ，∴

2

11

BF PB PF AF =

，即21211111

11BF PB PF BF AF PB

PF AF PF AF +++=+?=

。 ∴1

1112

=

AF PF BF AF BF +。

由点B

在椭圆上知，12BF BF +=

()

1

1212

=

AF PF BF AF BF -+。

同理。()

2

2112

=BF PF AF AF BF +。

∴

(

)(

)

122

1221121212

2+=

AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF -+=+++g

由①②得，)2121=2

m AF BF m +++，2

21

=2

m

AF BF m ++g ，

∴12+PF PF 。 ∴12PF PF +是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。 【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e ，和2e ?

??

，

都在椭圆上列式求解。 （2

）根据已知条件12AF BF -=

20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：

2

2

1n

n n n n b a b a a ++=

+，*N n ∈，

（1）设n n n a b b +=+11

，*N n ∈，求证：数列2

n n b a ????

??

?? ?

??

????

是等差数列；

（2）设n

n

n a b b ?

=+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +

=+11

，∴1n a +=。

∴

11

n n b a ++=

()2

22

2111*n n n n n n b b b n N a a a ++??????-=-=∈ ? ? ???????

。

∴数列2

n n b a ??????

?? ???????

是以1为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴()

()2

2

222

n n n n n n a b a b

∴11n

设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q 若1,q >

则212=

a a

≤

1log q n >

时，11n n a a q +=（﹡）矛盾。 若01,

1a a >a >q ，∴当1

1

log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。 ∴综上所述，=1q 。∴()1*n a a n N =∈

，∴11

又∵11

n n n n b b b a +=()*n N ∈，∴{}n b

1的等比数列。

若1a ≠

1

1，于是123b

2

1n

n n n n b a b a a ++=

+

即1a =

，得11

n b a -。

∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b

矛盾。∴1a 。

∴()()

()

2

2

22

22

=

=221

n b ±

-

-。

∴12==2a b 。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。 【解析】（1）根据题设2

2

1n

n n n n b a b a a ++=

+和n n n a b b +=+11

，求出2

111n n n n b

b a a ++??=+ ???

，从

而证明2

2

111n n n n b b a a ++????

-= ? ?????

而得证。

（2）根据基本不等式得到12

2

12n n n n n

≤+，用反证法证明等比数列

{}n a 的公比=1q 。

从而得到()1*n a a n N =∈的结论，再由11

22=n n n n b b b a +=??知{}n b 是公比是12的等

比数列。最后用反证法求出12==2a b 。

]数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．

作答．．．．

若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．[选修4-1：几何证明选讲]（2012年江苏省10分）如图，A

B 是圆O 的直径，,D E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点

C ，使B

D DC =，连结

,,AC AE DE ．

求证：E C ∠=∠． 【答案】证明：连接AD 。

∵AB 是圆O 的直径，∴090ADB ∠=（直径所对的圆周角是直角）。 ∴AD BD ⊥（垂直的定义）。

又∵BD DC =，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）。

∴AB AC =（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。 ∴B C ∠=∠（等腰三角形等边对等角的性质）。 又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴B E ∠=∠（同弧所对圆周角相等）。 ∴E C ∠=∠（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。 【解析】要证E C ∠=∠，就得找一个中间量代换，一方面考虑到B E ∠∠和是同弧所对圆周角，相等；另

一方面由AB 是圆O 的直径和BD DC =可知AD 是线段BC 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到B C ∠=∠。从而得证。

本题还可连接OD ，利用三角形中位线来求证B C ∠=∠。

B ．[选修4-2：矩阵与变换]（2012年江苏省10分）已知矩阵A 的逆矩阵

1

13441122-??-??=??

??-????

A ，求矩阵A 的特征值． 【答案】解：∵1-A A =E ，∴()1

1--A =A 。

∵1

13441122-??

-??=????

-????

A ，∴()11 2 32 1--??=????A =A 。 ∴矩阵A 的特征多项式为()2

2 3==342 1 f λλλλλ--??--?

?--??

。 令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1

=4λλ-，。 【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值。

C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆C 经过点(

)

24P π，

，圆心为直线3sin 3ρθπ?

?-=- ??

?与极轴的交点，求圆C 的极坐标方

程．

【答案】解：∵圆C 圆心为直线3

sin 3ρθπ?

?

-=- ???与极轴的交

点，

∴在3sin 3ρθπ?

?

-=- ???

中令=0θ，得1ρ=。

∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。 ∵圆C 经过点(

)24

P

π

，

，∴圆C 的半径为()

2

22

1212cos

=14

PC π

=+-??。

∴圆C 经过极点。∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。 【考点】直线和圆的极坐标方程。

【解析】根据圆C 圆心为直线3

sin 3ρθπ?

?

-=- ???与极轴的交点求出的圆心坐标；根据

圆C 经过点(

)

24

P

π

，

求出圆C 的半径。从而得到圆C 的极坐标方程。 D ．[选修4-5：不等式选讲]（2012年江苏省10分）已知实数x ，y 满足：

11|||2|36x y x y +<

-<，，

求证：5

||18

y <． 【答案】证明：∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-， 由题设1

1|||2|3

6

x y x y +<-<，，∴1153||=366

y <+。∴5||18

y <。 【考点】绝对值不等式的基本知识。 【解析】根据绝对值不等式的性质求证。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答

时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（2012年江苏省10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．

【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有238C 对相交棱。

∴232128834

(0)=6611

C P C ξ?==

=。 （2）若两条棱平行，则它们的距离为1

的共有6对，

∴2

12661(6611P C ξ===

，416

(1)=1(0)(=111111

P P P ξξξ=-=-=--。 ∴随机变量ξ的分布列是：

1

∴其数学期望61()=11111E ξ?

+ 【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P ξ=。 （2

的共有6

对，即可求出(P ξ=，从而求出(1)P ξ=（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量ξ的分布列，求出其数学期望。

23．（2012年江苏省10分）设集合{12}n P n =，，，

…，*N n ∈．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数：

①n A P ?；②若x A ∈，则2x A ?；③若A C x n p ∈，则A C x n

p ?2。

（1）求(4)f ；

（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．

【答案】解：（1）当=4n 时，符合条件的集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，， ∴(4)f =4。

(2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数．再除以2，···经

过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m 。于是=2k x m g ，其中m 为奇数*k N ∈。

由条件知．若m A ∈则x A k ∈?为偶数；若m A ?，则

x A k ∈?为奇数。

于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确定。

设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数。 当n 为偶数〔或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n

（

1

2

n +）。 ∴()()2

122()=2n

n n f n n +?????

为偶数为奇数

。 【考点】集合的概念和运算，计数原理。

【解析】（1）找出=4n 时，符合条件的集合个数即可。 （2）由题设，根据计数原理进行求解。

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡

相印位置上。

1．函数)4

2sin(3π

+=x y 的最小正周期为．

【答案】π

【解析】T ＝||＝||＝π．

2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为． 【答案】5

【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，|z |＝

＝5．

3．双曲线19162

2=-y x 的两条渐近线的方程为． 【答案】x y 4

3

±=

【解析】令：091622=-y x ，得x x y 4

31692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有个子集．

【答案】8

【解析】23＝8．

5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是． 【答案】3

【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4．

6

【答案】2

【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：905

92

88919089=++++=x ．

方差为：25

)9092()9088()9091()9090()9089(2

22222

=-+-+-+-+-=

S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则

n m ，

都取到奇数的概率为．

【答案】63

20

【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9

共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63

20

9754=

??． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ． 【答案】1：24

【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：

2，故体积之比为1：8．