江苏高考数学试卷含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．．1．（2012年江苏省5分）已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲． 【答案】{}1,2,4,6。

【考点】集合的概念和运算。

【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6A B =。

2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 【答案】15。

【考点】分层抽样。

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。

将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。

因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。

3．（2012年江苏省5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为▲． 【答案】8。

【考点】复数的运算和复数的概念。

【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲． 【答案】5。

【考点】程序框图。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k循环前0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。

5．（2012年江苏省5分）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．【答案】(0。

【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲． 【答案】35。

【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105。

7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为▲cm 3． 【答案】6。

【考点】正方形的性质，棱锥的体积。

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD 中BD ，BD cm （它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）。

∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯。

由 8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心m 的值为▲． 【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

【解析】由22214x y m m -=+得a b c∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。

9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是▲．。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由2AB AF =，得cos AB AF FAB ∠cos =AF FAB DF ∠。

∵AB =22DF =，∴1DF =。

∴1CF =。

记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-()=cos cos sin sin =1221AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-=。

本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

10．（2012年江苏省5分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则3a b +的值为▲． 【答案】10-。

【考点】周期函数的性质。

【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即21=2b a +-+①。

又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴141=23b a +-+②。

联立①②，解得，=2. =4a b -。

∴3=10a b +-。

11．（2012年江苏省5分）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为▲．【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。

【解析】∵α为锐角，即02<<πα，∴2=66263<<πππππα++。

∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2427217==225225250- 12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是▲． 【答案】43。

【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离【解析】∵圆C 的方程可化为：()2241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有 公共点；∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-2≤，解得403k ≤≤。

∴k 的最大值是43。

13．（2012年江苏省5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为▲．【答案】9。

【考点】函数的值域，不等式的解集。

【解析】由值域为[0)+∞，，当2=0x ax b ++时有240a b =-=，即24a b =， ∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭。

∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a c x c -<+<，22a a c x c --<<-。

∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，∴()()2622aa c c c ----==，解得9c =。

14．（2012年江苏省5分）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是▲． 【答案】[] 7e ，。

【考点】可行域。

【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a bc c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩。

设==a b x y c c，，则题目转化为：已知x y ，满足35400xx y x y y e x >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩，，求y x 的取值范围。

作出（x y ，）所在平面区域（如图）。

求出=x y e 的切 线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥， 则00000==y ex m m e x x x ++，要使它最小，须=0m 。

∴y x的最小值在()00P x y ，处，为e 。

此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间。

当（x y ，）对应点C 时，=45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y xx --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩，∴y x 的最大值在C 处，为7。

∴y x的取值范围为[] 7e ，，即ba的取值范围是[] 7e ，。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．15．（2012年江苏省14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。

由正弦定理，得=sin sin AC BCB A，∴sin cos =3sin cos B A A B 。

又∵0<A B<π+，∴cos 0 cos 0A>B>，。

∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =。

（2）∵cos 05C <C <π=，∴sin C =tan 2C =。

∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。

∴tan tan 21tan tan A BA B+=--。

由（1），得24tan 213tan A A =--，解得1tan =1 tan =3A A -，。