2020年初三数学中考复习：不等式(组)的概念和解法 讲义

引入大家好！今天我们对《不等式（组）的概念与解法》进行基础复习．不等式是现实世界中不等关系在数学上的表现形式，也是研究方程、函数和其它数学分支的重要工具，因此不等式已然成为中学数学中最重要的内容之一．•那么，不等式（组）有什么特征？•重点和难点分别是什么？•需要注意哪些关键问题？•典型题目又有哪些？针对以上的若干问题，下面分为三个部分展开讨论．•第一部分：知识概要；•第二部分：关键内容；•第三部分：典型例题．一、知识概要本章的知识体系可以和《一元一次方程（组）》进行类比．•这两章都是基于《实数》和《代数式》；•在“数量关系”上前者研究“相等关系”，而后者研究“不等关系”；•在“数学模型”上前者是建立“方程（组）”，而后者是建立“不等式（组）”；•在“程序步骤”上，前者是通过“解方程（组）”得到“解”，而后者是通过“解不等式（组）”得到“解集”．接下来，看一看本章的知识内容．“不等式的概念”包括“定义”，“解”以及“解集”．•不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式；•不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；•不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．“不等式的基本性质”包括3条．•基本性质①：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；•基本性质②：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；•基本性质③：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．“一元一次不等式的解法”通常分为5步骤：•分别是去分母，去括号，移项，合并同类项，以及系数化为1．“利用一元一次不等式（组）解决问题”通常分为6步骤：•分别是审题（这一步需要注意表示不等关系的关键词），设未知数（这一步注意不能出现“至多”、“至少”等词汇），列不等式（组），解不等式（组），检验（这一步既要检验代数意义，也有检验实际意义），最后是答题．•其中，重点为“一元一次不等式的性质与解法”，难点为“以不等式（组）为模型分析问题、解决问题．”二、关键内容这部分的内容在北京市中考中的考查方式主要分为3个类别．•第一个类别为“不等式的基本性质”，本节课安排了例1、例2、例3，共3道；•第二个类别为“不等式（组）的解法”，本节课安排了例4至例9，共6道；•第三个类别为“不等式（组）的应用”，本节课安排了例10、例11、例12，共3道.•接下来，说一说本章所涉及到的思想方法有哪些．三、典型例题下面，我们一起做一做典型例题．•例1、下列结论：•①若a＞b，则a c2＞b c2；•②若a c2＞b c2，则a＞b．•其中正确的有__________．➢解：①若c=0，则a c2=b c2，所以错；➢②若a c2＞b c2，则c不为0，所以a＞b．➢故选②．•设计意图：本题涉及的知识点有“不等式的基本性质”和“非负性”．需要注意的是，题干中所隐含着的条件，即②中的字母C不为零．•例2、已知x＜y＜0，比较x2与y2之间的大小关系．➢解：x2-y2=(x+y)(x-y)．➢∵x＜y＜0，➢∴x+y＜0，x-y＜0．➢∴(x+y)(x-y)＞0，➢∴x2-y2>0，即x2＞y2．•设计意图：本题涉及的知识点有“不等式的基本性质”和“因式分解”．在比较两个代数式的大小关系时，如果直接比较困难的话，可以考虑使用作差比较法．•例3、已知0＜x＜1，比较1x、x、x2的大小关系．➢❶解：∵0＜x，即x为正数，➢∴在不等式x＜1的两边同乘以x，得x2＜x ，➢在不等式x＜1的两边同除以x，得1＜1x．➢∴x2＜x＜1＜1x ，即x2＜x＜1x．•本题除了利用“不等式的基本性质”之外，还可以通过构造函数，结合函数图象的位置关系来分析。

➢❷解：首先，建立平面直角坐标系．➢在第一象限内分别作出一次函数y=x，反比例函数y=1x，以及二次函数y=x2的图象．➢通过观察不难发现，3个函数的对应图象交于一点，该点的坐标为(1,1)．➢当x在0和1之间时，抛物线的位置最低，双曲线在第一象限内的分支的位置最高，➢所以，二次函数的函数值x2最小，反比例函数的函数值1x最大．➢即，x2＜x＜1x．➢•设计意图：本题涉及的知识点有“不等式的基本性质”和“函数图象”．在比较两个代数式的大小关系时，除了从数量关系上使用作差比较法之外，还可以通过构造函数图象从位置关系上比较大小．• 例4、关于x 的不等式3x －2a ≤－2的解集如下图所示，则a 的值是______． •➢ 解：由不等式3x －2a ≤－2，解得x ≤2a−23．➢ ∵由图可知，不等式3x －2a ≤－2的解集为x ≤-1➢ ∴2a−23=-1，解得a =−12． • 设计意图：本题涉及的知识点有“不等式的解法”和“一元一次方程”．首先，解一元一次不等式得到它的解集，再结合数轴列出关于a 的一元一次方程，求出a 的值．• 例5、已知关于x 的分式方程a+2x+1=1的解是非正数，则a 的取值范围是__________．➢ 解：由a+2x+1=1，解得x =a ＋1，➢ ∵方程的解是非正数， ➢ ∴a ＋1≤0，即a ≤-1． ➢ ∵x ＋1≠0，即x ≠-1， ➢ ∴a ＋1≠-1，即a ≠-2． ➢ 综上所述，a ≤-1且a ≠-2． • 设计意图：本题涉及的知识点有“不等式的解法”和“分式方程”．特别要注意的是分式有意义的条件，即分母不为零．• 例6、已知不等式组{2x －1>3(x －1)x <m 的解集是x ＜2，那么m 的取值范围是__________．➢ 解：由2x －1>3(x －1)，解得x <2．➢ ∵x <m ，➢ ∴m ≥2．➢• 设计意图：本题涉及的知识点有“不等式组的解法”和“数轴”．这类问题可以分为4个步骤操作：• 第一步、解不等式组；• 第二步、在数轴上画出解集；• 第三步：对所有可能的情况分类讨论；• 第四步：确定未知数的取值范围．• 例7、关于x 的不等式2x -a <0只有两个正整数解（其中，a 为奇数），则a 的值为______．➢ 解：由原不等式2x -a <0，解得x <a 2．➢ ∵解集中只有两个正整数解，➢ ∴这两个正整数解是1和2．➢ ∴{a 2>2a 2≤3，解得{a >4a≤6． ➢ ∵a 为奇数，➢ ∴a =5．➢• 设计意图：本题涉及的知识点有“不等式的解法”和“正整数解”．由题干中的“正整数解”列出“不等式组”并求a 的取值范围，再结合“a 为奇数”这一限制条件得到a 的确定值．• 例8、关于x 的不等式组{x −a ≤02x +3a ＞0的解集中至少有5个整数解，求正数a 的最小值．➢ 解：∵由{x −a ≤02x +3a ＞0，解得{x ≤a x ＞−32a ， ➢ ∴不等式组的解集是-32a ＜x ≤a ．➢ 不妨设a =2k ，则-3k <x ≤2k ．➢ ∵不等式至少有5个整数解，➢ ∴2k -(-3k )≥5，解得k ≥1，即a 的最小值是2． ➢ • 设计意图：本题涉及的知识点有“不等式组的解法”和“最值”．首先，解不等式组得到它的解集，再结合数轴分类讨论．特别地，当题干中的限制条件为“整数解”时，可以通过设置参数k 的方法巧妙地解决问题．• 例9、已知a 、b 、c 是非负数，并且满足3a +2b +c =5 , 2a +b -3c =1．设m =3a +b -7c ，求m 的最小值．➢ 解：由{3a+2b=5-c 2a+b=1+3c，解得{a=7c-3b=7-11c ． ➢ ∵a、b 、c 是非负数，➢ ∴{7c −3≥07−11c ≥0，解得37≤c ≤711． ➢ 又∵m =3a +b -7c =3c -2，➢ ∴-57≤m ≤-111，即m 的最小值为-57． • 设计意图：本题涉及的知识点有“不等式组的解法”和“方程组”．本题的关键在于如何利用“非负数”这一条件列出不等式组，从而求出c 的取值范围，最终得到m 的取值范围．当然，也可以先求a （或b ）的取值范围，再求m 的取值范围．• 例10、如图，l 1∥l 2，α=3m －1°，且2°＜m ＜40°，求β的取值范围．•➢解：∵2°＜m＜40°，➢∴6°＜3m＜120°，➢∴5°＜3m－1°＜119°，即5°＜α＜119°．➢又∵l1∥l2，➢∴α=180°－β，➢∴5°＜180°－β＜119°➢∴－175°＜－β＜－61°，即61°＜β＜175°．•设计意图：本题涉及的知识点有“不等式组的解法”和“平行线的性质”．本题的难点是在不转化为不等式组的形式的情况下，通过不等式链直接求出取值范围．另外，要利用平行线的性质推导出α与β之间的数量关系．•例11、已知函数y=kx-b的图象如图所示，则关于x的不等式k(x-3)-b>0的解集为( )•• A. x<2 B.x>2 C. x<5 D.x>5➢❶解：∵一次函数y=kx-b经过点(2，0)，➢∴2k-b=0，即b=2k．➢∴代入得k(x-3)-2k>0，整理得kx>5k．➢∵函数值y随x的增大而减小，➢∴k<0．➢∴两边同时除以k，得x<5．➢故选C．•本题除了直接解不等式之外，也可以结合函数图象的平移变换分析。

➢❷解：首先，构造另一个一次函数y=k(x-3)-b．➢通过比较发现，新函数的解析式是由原函数解析式中的自变量x减去3得到的，➢所以，新函数的图象是由原函数图象向右平移3个单位长度得到的，➢所以，新函数的图象与x轴的交点坐标为（5，0）．➢因为不等式k(x-3)-b>0的解集对应的部分为直线y=k(x-3)-b位于x轴上方的部分，➢所以，自变量x的取值范围是x<5．➢•设计意图：本题涉及的知识点有“不等式的解法”和“一次函数”．本题的常规思路是解不等式求出x的解集，也可以通过平移“一次函数的图象”，巧妙地解决问题．•例12、在一次知识竞赛中，共有25道试题，每道题的答案都有4个选项，其中只有一个选项是正确的．选对一道得4分，不选或选错扣2分．如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么该生至少选对了几道题?➢解：设选对x道题，则不选或选错(25－x)道．➢由题意，列不等式得4x－2(25－x)≥60，．➢解得x≥1813➢由于x为整数，所以x的最小值为19．➢答：该生至少选对了19道．•设计意图：本题涉及的知识点有“不等式”和“实际应用”．通过题干中蕴含着的不等关系建立数学模型，利用解不等式组得到解集．需要注意的是题目中x的实际意义，所以x的最小值要对取值范围的临界值向上取整．小结通过上面的分析和讲解，可以归纳出以下几点注意事项：•在不等式的两边同乘（或除）以一个负数时，不等号的方向改变；•在求不等式（组）的整数解时，既不能多求，也不能漏求；•能够在不等式（组）解集的代数表达和几何表示之间正确转换；•正确理解“至多”、“至少”、“不超过”、“不低于”等关键词的含义；•在利用不等式（组）解决实际问题时，不要忽略限制条件．本节课的讲解到此为止，谢谢大家！。