不等式的解法专题复习教案
高考数学专题复习不等式的解法及其应用教案
高考数学专题复习 不等式的解法及其应用一、考点要求1．熟练掌握一元二次不等式、含有绝对值的不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法． 解一元二次不等式(02>++c bx ax 或)0<，一要注意字母a 的符号；二要讨论∆的符号；三要讨论对应方程的两根1x ，2x 的大小．解分式不等式，一般是将一边转化为零，采用数轴 标 根 法可简捷地求得其解集．解含有绝对值的不等式，基本思路是去掉绝对值，应针对其不同的形式，采用适当的方法：分类讨论去绝对值；两边平方去绝对值；借助不等式的性质a x a a x <<-⇔<||，a x >||a x -<⇔或a x >去绝对值．通过解不等式体现等价转化、分类讨论、数形结合的思想方法． 2．理解不等式||||||b a -≤||b a ±≤||||b a +．3．会用不等式的知识分析和解决带有生产和生活意义的应用问题，或在相关学科中的其他数学问题． 二、基础过关1．已知非负实数x ，y 满足832-+y x ≤0且723-+y x ≤0，则y x +的最大值是（ ）．A ．73 B ．83C ．2D ．3 解：画出图像，由线性规划知识可得，选D ．2．设a x <-|2|时，不等式1|4|2<-x 成立，则正数a 的取值范围是（ ）．A ．25->aB ．a <0≤25-C ．a ≥25-D ．以上都不对 解：设}|2||{a x x A <-=，}1|4||{2<-=x x B ，则)2,2(a a A +-=，)5,3()3,5 --=B ，由题 可知B A ⊆， ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≥-,32,52a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧--≤+≤,32,52a a ∴a ≤32--，而a ≤32--与0>a 矛盾，舍去．由⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-,52,32a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤,25,32a a ∴a ≤25-，∴<0a ≤25-． 3．不等式)12(|1|-+x x ≥0的解集为（ ）．A ．x x |{≥}21B ．x x |{≤1-或x ≥}21 C ．1|{-=x x 或x ≥}21 D ．1|{-x ≤x ≤}21解：)12(|1|-+x x ≥0，则12-x ≥0或01=+，∴x ≥21或1-=x ，故选 C ． 4．若 关于x 的不等式|||2|a x x -+-≥a 在R 上 恒 成立，则a 的最大值是（ ）．A ．0B ．1C ．21D ．2 解：|||2|a x x -+-≥|2|-a ，只需|2|-a ≥a 恒成立，显然02<-a 时，a -2≥a ，a ≤1，故1max =a ．5．设P =(log 2x )2+(t-2)log 2x -t+1，若t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值，则x 的变化范围是 ．分析：要求x 的变化范围，显然要依题设条件寻找含x 的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右边的式子中含两个字母x 、t ，t 是在给定区间内变化的，而求的是x 的取值范围，能想到什么？解：设P=f (t)=(log 2x -1)t+log 22x -2log 2x +1．因为 P =f (t)在top 直角坐标系内是一直线，所以t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值的充要条件是⎩⎨⎧>>-.0)2(,0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-.01log ,03log 4log 22222x x x 解得log2x ＞3或log2x ＜1-，即x 的取值范围是),8()21,0(+∞ ．说明：改变看问题的角度，构造关于t 的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题．6．关于x 的不等式322---x x xa ＞0的解集是 ． 分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用数轴标根法解不等式的基本步骤．本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为()()()013<+--x x a x ，和比较a 与1-及3的大小，定出分类方法．解：原不等式化为：()()()013<+--x x a x ．（1）当1-≤a 时，由图1知不等式的解集为}{31<<-<x a x x 或； （2）当{}31231<<-<≤<-x a x x a 或知不等式的解集为时，由图； （3）当{}a x x x a <<-<>3133或知不等式的解集为时，由图． 三、典型例题例1 解关于x 的不等式： a x x -≤()0922>a a ． 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想．本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集．解：当a x ≥时，不等式可转化为()⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥,29,2a a x x a x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥,0299,22a ax x a x ∴a x a 6173+≤≤． 当a x <时，不等式可转化为⎪⎩⎪⎨⎧≤-<,2)(9,2a x a ax a x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<,0299,22a ax x a x ∴a x aa x <≤≤323或． ∴不等式的解集为：]6173,32[]3,(a a a+-∞ ．例2 己知三个不等式：①x x -<-542； ②12322≥+-+x x x ； ③0122<-+mx x ． (1) 若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围； (2) 若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围．分析：本 例 主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x 值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在()0,∞-和[),3+∞内．不等式和与之对应的方程及函数图像有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．解：记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C ．解①得A =（1-，3）；解②得B =[]4,2()1,0 ，∴B A [)3,2()1,0 =． （1）因同时满足①、②的x 值也满足③，B A ⊆C ， 设12)(2-+=mx x x f ，由)(x f 的图像可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时， 即可满足C B A ⊆ ∴⎩⎨⎧≤<,0)3(,0)0(f f 即⎩⎨⎧≤+<-,0173,01m ∴317-≤m ．(2) 因满足③的x 值至少满足①和②中的一个，∴B A C ⊆，而]4,1(-=B A ，∴]4,1(-⊆C ，∴方程0122=-+mx x 小根大于或等于1-，大根小于或等于4，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-≥+=≥-=-,441,0314)4(,01)1(mm f m f 1431≤≤-m 解之得．说明：同时满足①②的x 值满足③的充要条件是：③对应的方程2x 2+mx 1-=0的两根分别在-∞(，)0和[3，+∞)内，因此有f (0)＜0且f (3)≤0，否则不能对A ∩B 中的所有x 值满足条件．不等式和与之对应的方程及图像是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．例 3 已知奇函数)(x f 在),0()0,(+∞-∞ 上有定义，在),0(+∞上是增函数，0)1(=f ，又知函数m m g 2cos sin )(2-+=θθθ，]2,0[πθ∈，集合|{m M =恒有}0)(<θg ，|{m N =恒有}0))((<θg f ，求N M ．分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题．解：∵奇函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，∴)(x f 在)0,(-∞上也是增函数．∵0)1(=f ，∴0)1()1(=-=-f f ，∴满足⎩⎨⎧-=<<)1(0))((,0)(f g f g θθ的条件是⎩⎨⎧-<<,1)(,0)(θθg g即），（（]201)(πθθ∈-<g ，即12cos sin 2-<-+m m θθ， 也即022cos 2<+-+-m mcor θθ令θcos =t ，则]1,0[∈t ，则0222<+-+-m mt t ． 法1 （变量分离法）222-->t t m 对 ]1,0[∈t 恒成立，设22)(2--=t t t f ，只需m 大于)(t f 的最大值即可．∵422)2(22)2(4)2(22)(22+-+-=-+-+-=--=t t t t t t t t f 4]22)2[(+-+--=tt ，]1,0[∈t ， ∴02>-t ，∴)(t f ≤224422)2(2-=+-⋅--tt ， ∴224)(max -=t f ，∴224->t ，∴}224|{->=m m N M ． 法2 （二次函数在闭区间上的最值）设22)(2+-+-=m mt t t h ，0≤t ≤1，要使0)(<t h 对]1,0[∈t 恒成立，只需使)(t h 在]1,0[∈t 内的最大值小于0即可．10当<2m0即0<m 时，22)0()(max +-==m h t h ，由不等式组⎩⎨⎧<+-<022,0m m 解得∅∈m ．20当0≤2m≤1时488)(2max +-=m m x h ，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤0488,202m m m 得m <-224≤2．30当12>m即2>m 时，1)(max +-=m t h ， 解不等式组⎩⎨⎧<+->01,2m m 得2<m ．综上：}224|{->=m m N M ．例4 已知对于自然数a ，存在一个以a 为二次项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根．求证：a ≥5．分析：二次函数的几种特殊形式：一般式：f (x )=c bx ax ++2(a ≠0)．通常如果知道二次函数图像是的三点A ))(,(11x f x 、B ))(,(22x f x 、C ))(,(33x f x ，则选用一般式，系数a ，b ，c 可由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=,)(,)(,)(323322221211c bx ax x f c bx ax x f c bx ax x f 确定．顶点式：)0)(()()(020≠+-=a x f x x a x f ．这里))(,(00x f x 是二次函数的顶点，a b x 20-=，ab ac x f 44)(20-=．两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f ．这里1x 、2x 是方程0)(=x f 的两个根，满足a b x x -=+21，acx x =21． 证明：设二次三项式为：))(()(21x x x x a x f --=，a ∈N 且0≠a ．依题意知：0＜x 1＜1，0＜x 2＜1，且x 1≠x 2．于是有f (0)＞0，f (1)＞0． 又21212)()(x ax x x x a ax x f ++-=为整系数二次三项式，所以f (0)=ax 1x 2、f (1)=a ·(1x -1)(1x -2)为正整数．故f (0)≥1，f (1)≥1． ∴ )1()0(f f ⋅≥1． ① 另一方面，)1(11x x -≤41]2)1([211=-+x x ，)1(22x x -≤41]2)1([222=-+x x ，且由x 1≠x 2知等号不同时成立，所以161)1()1(2211<--x x x x ． 222112161)1()1(a x x x x a <--． 由①、②得，2a ＞16．又a ∈N ，所以a ≥5．说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键． 四、热身演练 1．函数31)(x x f =，则不等式)()(1x f x f>-的解集是（ D ）． A ．0(，)1 B ．-∞(，0()1 -，)1 C ．1(-，)0 D ．1(-，1()0 ，)∞+ 解：（反函数、图像法）)()(1x f x f>-，∴313x x >，画出3x y =和31x y =，由图像可知∈x 1(-，1()0 ，)∞+，故选 D ．2．（2003年 春 北京）若不等式6|2|<+ax 的解集为1(-，)2，则实数a 等于（ ）．A ．8B ．2C ．4- 8-[分析] 本题考查含有绝对值不等式的解法，含参数不等式的解法、分类讨论的思想等基础知识和方法． 解：法1 由6|2|<+ax ，得48<<-ax ．当0>a 时，则a x a 48<<-，∵21<<-x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-24,18a a无解，∴0>a 不成立． 当0<a 时，则a x a 84-<<，∵21<<-x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=28,14aa得4-=a ．法2 根据不等式的解集与相应相方程有根的关系知方程0|2|=+ax |的根为1-，2，∴,6|22|,6|2|=+=+-a a 解得4-=a ，故选C ．3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|33,0xx x x x 的解集是（ ）．A ．}20|{<<x xB ．}250|[<<x x C ．}60|{<<x x D ．}30|{<<x x 解：选C ．4．若不等式012>++bx ax 的解集为}121|{<<-x x ，则（ ）．A ．1,2-==b aB ．1,2==b aC ．1,2-=-=b aD ．1,2=-=b a 解：选D ．5．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--=是减函数． 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．a ≤1B ．2<aC ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥2解：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数a x x ++22的判别式a 44-=∆≥0，从而a ≤1；命题q 为真时，125>-a ，∴2<a ．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题． 若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1<a <2，故选C ．6．已知)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上是减函数，0)(=a f )0(>a ，那么不等式0)(<x xf 的解集是（ ）．A ．}0|[a x x <<B ．0|{<<-x a x 或}a x >C ．}|{a x a x <<-D ．a x x -<|{或}0a x << 解：选B ．7．若)2(log )(221++=kx x x f 的值域为R ，则实数k 的取值范围是 ．解：（令22++=kx x ，则t 能取到所有的实数是关键）．要使)(x f 的值域为R ，则必须有真数22++kx x 能取到一切的正数，即∆≥0，即82-k ≥0，∴k ≥22，或k ≤22．8．当m a (∈，)n 时，不等式31222<+---xx x ax 对任意实数x恒成立，则=+n m ． 解：（意分母012>+-x x 恒成立．）∵分母012>+-x x 恒成立，∴原不等式等价于)1(3222x x x ax +-<--， 即01)3(42>+-+x a x 对∈x R 时 恒成立，∴016)3(2<--=∆a ， 解得71<<-a ，∴1-=m ，7=n ，∴6=+n m ．9．当∈x R 时，不等式12sin 23cos 2+++<+m x x m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 解：（变量分离，对于无理不等式，考纲是不作要求的，但04年各地高考卷中还是出现了一些简单的无理不等式，这里结合变量分离，让学生接触一次简单的无理不等式，结合这个问题向学生简单介绍一些简单无理不等式的解法．）原不等式可转化为2sin 2sin 122++<+-x x m m ，对∈x R 时 恒成立， 只须12+-m m 小于x x x f sin 2sin )(22+=+的最小值即可，∵1)1(sin )(2++=x x f ≥1，∴12+-m m 1<，即121+<-m m ． 当21-≤1<m 时，不等式 恒成立，当m ≥1时，两边平方解得1≤4<m ， ∴21-≤4<m ，即为m 的取值范围． 10．若二次函数y =f (x )的图像经过原点，且1≤)1(-f ≤2，3≤f (1)≤4，则)2(-f 的取值范围是 ．分析：要求)2(-f 的取值范围，只需找到含人f (-2)的不等式(组)．由于y =f (x )是二次函数，所以应先将f (x )的表达形式写出来．即可求得)2(-f 的表达式，然后依题设条件列出含有)2(-f 的不等式(组)，即可求解．解：因为y =f (x )的图像经过原点，所以可设y =f (x )=bx ax +2．于是 ⎩⎨⎧≤≤≤-≤,4)1(3,2)1(1f f 即⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.43,21b a b a （1）法1 (利用基本不等式的性质)不等式组（1）变形得⎩⎨⎧≤≤≤-≤,624,4222a b a ∴6≤b a 24-≤10，即6≤)2(-f ≤10． 其中等号分别在⎩⎨⎧==,1,2b a 与⎩⎨⎧==1,3b a 时成立，且⎩⎨⎧==,1,2b a 与⎩⎨⎧==1,3b a 满足（1）∴)2(-f 的取值范围是[6，10]． 法2 (数形结合)建立直角坐标系aOb ，作 出不等式组（1）所表示的区域，如图中的阴影部分．因为b a f 24)2(-=-，所以0)2(24=---f b a 表示斜率为2的直线系．如图，当直线0)2(24=---f b a 过点A (2，1)，B (3，1)时，分别取得)2(-f 的最小值6，最大值10．即)2(-f 的取值范围是：6≤)2(-f ≤10． 法3 (利用方程的思想)∵⎩⎨⎧-=-+=,)1(,)1(b a f b a f ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=)].1()1([21)],1()1([21f f b f f a又∵)1()1(324)2(f f b a f +-=-=-，而1≤)1(-f ≤2，3≤)1(f ≤4， ① ∴3≤)1(3-f ≤6． ② ①+②得4≤)1()1(3f f +-≤10，即6≤)2(-f ≤10．说明：（1）在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得⎩⎨⎧≤≤≤≤,321,624b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,2321,32b a而b a f 24)2(-=-，8≤a 4≤12，3-≤b 2-≤1-，所以 5≤)2(-f ≤11．同向不等式可以相加，但是一般情况只可使用一次，若多次使用往往会把范围扩大，如果一定需要多次使用，那么一定要注意范围是否被扩大，注意等号是否同时成立即可．（2）对这类问题的求解关键一步是，找到)2(-f 的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．11．求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx +a 2-1≤0的解集分别是：（1）]2,1[-；（2）}2{；（3）),1[+∞-．分析：方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．解：（1）由题意可知，a ＞0且1-，2是方程ax 2+bx +a 2-1≤0的根，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⨯--=+->,121,21,02a a a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.21,21b a（2）由题意知，2是方程ax 2+bx +a 2-1=0的根，所以4a +2b +a 2-1=0． ①又{2}是不等式ax 2+bx +a 2-1≤0的解集，所以⎩⎨⎧=--=∆>.0)1(4,022a a b a ② 解①，②得52+=a ，548--=b ．（3）由题意知，a =0，b ＜0，且1-是方程bx +a 2-1=0的根，即-b +a 2-1=0，所以a =0，b =1-． 说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换． 12．设函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与两直线y =x ，y =x -，均不相交．试证明对一切∈x R 都有||41||2a c bx ax >++． 分析：因为x ∈R ，故|f (x )|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)．证明：由题意知，a ≠0．设f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，则aacb x f 44)(20--=．又二次方程ax 2+bx +c =±x 无实根，故Δ1=(b +1)2-4ac ＜0， Δ2=(b -1)2-4ac ＜0．∴(b +1)2+(b -1)2-8ac ＜0，即2b 2+2-8ac ＜0，即142-<-ac b ，∴1|4|2>-ac b ，∴||41||4|4||44||)(|220a a ac b a ac b x f >-=--=．由0142<-<-ac b 可知当∈x R 时，|)(|x f ≥|)(|0x f ，∴||41|)(|a x f >， 即||41||2a c bx ax >++成立． 说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．13．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高5.4米，隧道全长5.2千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？ （半个椭圆的面积公式为S =,4lh π柱体体积为：底面积乘以高，414.12=，646.27=，本题结果均精确到1.0米．）分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力． 解：（1）建立如图所示直角坐标系，则11(P ，)5.4．设椭圆方程为：12222=+by a x ，将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程得7744=a ，此时3.3377882≈==a l ，故隧道 拱 宽 约为3.33米． （2）由椭圆方程12222=+b y a x 得15.4112222=+b a ．∵22225.411b a +≥ab5.4112⨯⨯，∴ab ≥99， ∴24ablh S ππ==≥299π，当S 最小时有215.4112222==b a ，∴211=a ，229=b ，此时1.312≈=a l ，4.6≈=b h ， 故当拱高约为4.6米，拱 宽约为1.31米时，土方工程量最小．。
人教版中职数学基础模块上册《不等式的解法》教案 (一)
人教版中职数学基础模块上册《不等式的解法》教案 (一)人教版中职数学基础模块上册《不等式的解法》是一本专注于了解和掌握不等式解法的教材。
这本教材通过讲解不等式解法的概念以及应用，帮助学生深入了解不等式的解题方式和方法，提高他们解决实际问题的能力和应用能力。
在本篇文章中，我们将介绍这本教材的教案，以及说明它对于教师和学生的重要性。
教案概述本教材的教案主要分为以下几个部分。
1、知识点复习：引导学生在课前通过做练习题等方式对已学知识点进行复习，加深对基础知识的认知。
2、方案讲授：通过理论讲解、实例演示等方式详细介绍不等式解法的相关知识点和方法，让学生具有全面、深入的理解。
3、分组讲解：将学生分成不同的小组，让每个小组对所学知识进行讲解，增强学生的口头表达能力和团队合作精神。
4、课后作业：通过布置一定数量的作业题，来加强学生对于知识点的巩固，提高他们的解题能力和分析问题的能力。
教学重点在教授此教材时，教师应该注重以下几个教学重点。
1、引导学生理解概念：在讲解不等式解法的概念时，教师需要尽可能的直观化，让学生能够更好的理解不等式解法的基本概念。
2、注重实例演示：在讲解不等式解法的方法和技巧时，教师应该举一些具体的例子，让学生能够直观的了解方法的使用和效果。
3、重视课堂互动：让学生参与到课堂中来，鼓励他们提出问题、分享看法，增强教学的互动性。
4、复习强化：在教学结束后，让学生对所学内容进行回顾、总结，帮助他们深入理解不等式解法的知识点。
教学效果这本教材教案的使用，可以取得不错的教学效果。
1、提高学生的学习兴趣：通过生动有趣的讲解和丰富多彩的教学方式，让学生更好的理解不等式解法的概念和方法，激发他们学习的兴趣和热情。
2、提升学生的应用能力：通过实例演示和大量的习题训练，增强学生的应用能力，让他们更好的将解题方法应用于实际问题中。
3、促进团队合作：通过分组讲解，培养学生的团队合作精神和口头表达能力，增强他们的社交能力和人际交往能力。
不等式的解法举例教案
不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本性质，能够熟练地解一元一次不等式。
2. 培养学生运用不等式的解法解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 不等式的基本性质2. 一元一次不等式的解法3. 不等式应用题的解答三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质，一元一次不等式的解法。
2. 教学难点：不等式应用题的解答。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解不等式的基本性质和一元一次不等式的解法。
2. 运用案例分析法讲解不等式应用题的解答。
3. 运用讨论法引导学生探讨不等式解法的规律。
五、教学过程1. 导入：通过复习相关知识点，引入不等式的概念和基本性质。
2. 讲解：讲解一元一次不等式的解法，并列举典型例题进行分析。
3. 练习：让学生独立解一些一元一次不等式，并及时给予指导和反馈。
4. 应用：运用不等式的解法解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
5. 总结：总结不等式的解法步骤和注意事项，强调解题方法的重要性。
6. 作业布置：布置一些不等式的练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，观察学生对不等式解法的掌握程度。
2. 作业批改：对学生的作业进行批改，了解学生对不等式解法的熟练程度。
3. 学生提问：鼓励学生提问，及时解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。
七、教学拓展1. 对比等式和解不等式的异同，让学生理解不等式的解法实质。
2. 引导学生探讨不等式的解法规律，提高学生的逻辑思维能力。
3. 引入更复杂的不等式类型，如绝对值不等式、分式不等式等，让学生尝试解决。
八、教学反思1. 反思教学过程，检查教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 反思教学内容，确保教学内容完整、系统，便于学生掌握。
3. 反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学质量。
九、教学评价1. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，总结收获和不足。
不等式的解法举例教案
不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本解法，包括加减法、乘除法、移项、合并同类项等。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的基本解法2. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的解法及应用。
2. 教学难点：不等式在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用案例分析法，以实际问题引导学生学习不等式的解法。
2. 运用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。
3. 采用问答法，激发学生思考，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：以一个实际问题引入，如“某商品打八折出售，原价大于折扣价吗？”引导学生思考不等式的解法。
2. 基本不等式解法讲解：讲解加减法、乘除法、移项、合并同类项等基本解法。
3. 案例分析：分析实际问题，运用不等式解法解决问题。
如：“甲、乙两人赛跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑70米，问乙多少分钟可以追上甲？”4. 小组讨论：让学生分组讨论，总结不等式解法在实际问题中的应用。
5. 问答环节：教师提问，学生回答，巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调不等式解法在实际问题中的应用。
7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂表现评估：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题评估：对课后作业和课堂练习进行批改，了解学生对不等式解法的掌握情况。
3. 小组讨论评估：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、问题解决能力等。
七、教学拓展1. 引入不等式的应用领域，如经济、物理、化学等，让学生了解不等式在实际生活中的重要作用。
2. 介绍不等式的发展历史，让学生了解不等式的起源和演变。
3. 引导学生探索不等式与其他数学知识的联系，如函数、方程等。
八、教学资源1. 教案、PPT等教学资料。
2. 练习题、案例分析等教学案例。
3. 数学软件或工具，如GeoGebra等，辅助教学。
方程和不等式的解法复习课教案
方程和不等式的解法复习课教案一、教学目标1. 回顾和巩固方程和不等式的解法，提高学生解决实际问题的能力。
2. 培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力。
3. 激发学生的学习兴趣，培养合作意识和创新精神。
二、教学内容1. 回顾一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法。
2. 分析实际问题，运用方程和不等式解决生活中的问题。
三、教学重点与难点1. 重点：方程和不等式的解法及其应用。
2. 难点：如何将实际问题转化为方程和不等式，并灵活运用解法求解。
四、教学方法与手段1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究方程和不等式的解法。
2. 利用多媒体课件，展示实际问题，帮助学生理解和运用方程和不等式。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。
五、教学过程1. 导入：回顾方程和不等式的基本概念，引导学生思考实际问题与方程不等式之间的关系。
2. 自主学习：学生通过阅读教材，回顾一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法。
3. 课堂讲解：讲解方程和不等式的解法，结合实例进行分析，引导学生理解解法的原理和步骤。
4. 案例分析：出示实际问题，让学生运用方程和不等式进行解答，培养学生的应用能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，互相学习，提高解题能力。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，及时发现并解决学习中存在的问题。
7. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施。
8. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固方程和不等式的解法。
六、教学评价1. 评价学生对方程和不等式解法的掌握程度。
2. 评价学生在解决实际问题中的应用能力和创新精神。
3. 采用课堂练习、小组讨论、课后作业等多种形式进行评价。
七、教学资源1. 教材：提供相关章节，方便学生复习和自学。
2. 多媒体课件：展示实际问题，辅助教学。
3. 练习题：供学生课堂练习和课后巩固。
4. 小组讨论材料：提供案例，促进学生交流和合作。
不等式的解法-教案
不等式的解法(1)教学目标：1.掌握分式不等式、绝对值不等式的解法；2.能用序轴标根法解简单的高次不等式。
.（一）复习：1．若|3|2x -=，则x =_____________；若|3|2x -≥，则x ∈_____________________；2．若|23|2x +=，则x =____________；若|23|2x +≤，则x ∈____________________； 说明：（1）当()f x 为一次函数时，不等式|()|f x a ≤，|()|f x a ≥的解集与方程|()|f x a =的解的关系；联想不等式一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的解的关系；（2）绝对值不等式的基本解法：转化为一元一次不等式或一元二次不等式。
当0a >时，|()|f x a ≤()a f x a ⇔-≤≤；|()|f x a ≥()f x a ⇔≥或()f x a ≤-．（二）新课讲解：例1．解不等式2|55|1x x -+<．解：原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩ 由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<． 说明：（1）求交集，要注意用数轴；（2）利用图形说明方程2|55|1x x -+=的解与不等式2|55|1x x -+<的解集的关系。
【练习】解下列不等式： （1）2|31|5x x -+>； （2）22|56|56x x x x -+>-+．例2．解不等式0322322<--+-x x x x ． 解法一：下列两个不等式组的解集的并集：（Ⅰ）22320230x x x x ⎧-+>⎨--<⎩， （Ⅱ）22320230x x x x ⎧-+<⎨-->⎩． 由（Ⅰ）得1213x x x <>⎧⎨-<<⎩或， ∴11x -<<或23x <<， 由（Ⅱ）得1213x x x -<<⎧⎨<->⎩或，∴x φ∈，∴原不等式的解集是{|11x x -<<或23}x <<． 解法二：（序轴标根法）作数轴、标根、画曲线、定解， 原不等式化为(1)(2)0(1)(3)x x x x --<+-，等价于(1)(1)(2)(3)0x x x x +---<，将方程()(1)(1)(2)(3)0f x x x x x =+---=的根1,1,2,3-标在x 轴上，从右到左画出()f x 的示意图， ∴原不等式的解集是{|11x x -<<或23}x <<．说明：（1）在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的序轴标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式；（2）序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内x 的系数为正.【练习】解下列不等式：（1）62323+>+x x x ；（2）22320712x x x x -+>-+； （3）(3)(1)(2)0x x x x -+->．五．小结：1．绝对值不等式的基本解法；2．分式不等式和高次不等式的解法；3．使用序轴标根法，分解因式后，必须使各括号内x 的系数为正，作图宜从最右端开始。
方程和不等式的解法复习课教案
方程和不等式的解法复习课教案一、教学目标1. 回顾和巩固方程和不等式的解法，提高解题技能。
2. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学内容1. 方程的解法：因式分解法、提取公因式法、配方法、求根公式法等。
2. 不等式的解法：同向相加、反向相减、乘除运算、绝对值不等式等。
三、教学重点与难点1. 重点：各种方程和不等式的解法及其应用。
2. 难点：解复杂方程和不等式，以及灵活运用解法。
四、教学方法1. 采用问题导入法，引导学生回顾和复习方程和不等式的解法。
2. 通过例题讲解和练习，让学生巩固解法，提高解题技能。
3. 利用小组讨论和互动，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：提问学生关于方程和不等式的解法，引导学生回顾已学知识。
2. 讲解：讲解各种方程和不等式的解法，结合例题进行解释和演示。
3. 练习：布置练习题，让学生独立解答，进行讲解和解析。
4. 互动：组织小组讨论，让学生分享解题心得和经验，互相学习和交流。
6. 作业：布置作业，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，观察学生对方程和不等式解法的掌握程度。
2. 小组讨论：通过小组讨论，了解学生在解决问题时的合作能力和思维过程。
3. 作业批改：通过作业批改，评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学资源1. PPT课件：制作课件，展示方程和不等式的解法，方便学生理解和记忆。
2. 练习题库：准备一定数量的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3. 教学视频：搜集相关教学视频，用于为学生提供更多的学习资源和参考。
八、教学进度安排1. 第1-2周：回顾和复习一元一次方程、一元二次方程的解法。
2. 第3-4周：讲解不等式的解法，包括同向相加、反向相减等。
3. 第5-6周：讲解二元一次方程组的解法，以及应用问题。
4. 第7-8周：讲解不等式组的解法，以及应用问题。
5. 第9-10周：讲解函数与方程的关系，以及函数图像的应用。
有关不等式的解法教案设计
有关不等式的解法教案设计教案标题：不等式的解法教案设计教案目标：1. 学生能够理解不等式的概念和性质。
2. 学生能够运用不等式的解法方法解决实际问题。
3. 学生能够在解决不等式问题时运用适当的推理和推导方法。
教案步骤：引入（10分钟）：1. 引导学生回顾等式的概念和解法方法，并提问是否了解不等式的概念。
2. 通过举例让学生感知不等式的特点，例如：2 < 3，4 > 1。
3. 引导学生思考不等式与等式的区别，并总结不等式的定义。
讲解不等式的性质（15分钟）：1. 讲解不等式的基本性质，包括加减性、乘除性和倒置性。
2. 通过具体的例子让学生理解和运用不等式的性质，例如：若a > b，则a + c >b + c。
3. 引导学生思考不等式性质的运用条件和限制。
解决不等式的方法（20分钟）：1. 介绍常见的不等式解法方法，包括图像法、试值法和代数法。
2. 通过示例演示不同解法方法的应用，让学生理解各自的优缺点。
3. 引导学生思考何时选择何种解法方法，并培养灵活运用的能力。
练习与应用（25分钟）：1. 分发练习题，包括基础题和应用题，要求学生用不同的解法方法解答。
2. 引导学生在解答过程中思考解法的合理性和有效性。
3. 针对应用题，鼓励学生将数学概念与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。
总结与反思（10分钟）：1. 总结不等式的解法方法和性质，强调解题思路和策略的重要性。
2. 引导学生回顾本节课所学内容，思考不足之处并提出问题。
3. 鼓励学生积极参与讨论，互相学习和提供建议。
教学辅助工具：1. PowerPoint演示文稿。
2. 不等式练习题。
3. 黑板/白板和粉笔/马克笔。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和问题解决能力。
2. 教师收集学生的练习作业，评估他们对不等式解法的理解和应用能力。
3. 学生之间互相交流和讨论，提供反馈和建议。
备注：教案的具体内容和时间分配可以根据教学实际情况进行调整。
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27、设不等式f(x)≥0的解集是[1，2]，不等式g(x) ≥0的解集为，则不等式
的解集是 ( )
(A) (B)) (C)[1，2] (D)R
28、关于x的不等式＞0的解集为{x|－3＜x＜－1或x＞2}则a的值为（
）
(A)2 (B)－2 (C) (D)－
一元二次不等式的解法同步达纲练习
一、选择题
≥0 f(x).g(x)≥0且
g(x)≠0
＜0 f(x).g(x)＜0
≤0 f(x).g(x)≤0
且g(x)≠0
然后用“穿根法”或化为不等式组求解．
(5)无理不等式：转化为有理不等式求解，常见类型有
(6)指数不等式：转化为代数不等式． (7)对数不等式：转化为代数不等式． (8)含有绝对值符号不等式． 对于含有参数的不等式，要能正确地运用分类讨论方法求 解．
A． B．
C．
D．
7、不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
8、不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9、不等式的解集为，那么（ ）
A．， B．， C．， D．，
10、设，且，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
11、若，则不等式的解是（ ）
A． B．
C．或 D．或
12、不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
(A) {x|－1＜x＜5｝
(B){x|x＜－1或x＞5}
(C) {x|0＜x＜5}
(D) (x|－1＜x＜0}
21、若不等式5－x＞7与不等式ax2＋bx－2＞0的解集相同,则a,b的值分
别是
( ) (A) a=－4,b=－9 (B) a=－1,b=9 (C) a=
－8,b=－10 (D) a=－1,b=2
【素质优化训练】 1.解关于x的不等式x2-x-a2+a＞0
2.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k 的取值范围.
3.已知A=｛x｜x2-3x+2≤0｝,B=｛x｜x2-(a+1)x+a≤0｝. (1)若A B，求a的取值范围； (2)若B A，求a的取值范围； (3)若A∩B为仅含有一个元素的集合，求a的值.
）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
14. 不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不
等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于（ ）
（A）－3
（B）1
（C）－1
（D）3
15. 不等式(2―a)x2―2(a―2)x＋4>0对于一切实数x都成立，则（ ）
（A）{a| －2<a<2} （B）{ a| －2<a≤2} （C）{a| a<－2} （D）{a|
22、的解集是 ( )
(A) (－2,0) (B) (－2,0) (C) R (D) (－∞,－2)∪(0,+ ∞)
23、对任意实数x,若不等式|x+1|+|x－2|＞k恒成立,则k的取值范围是 (
)
(A) k ＜3 (B) k＜－3 (C) k≤3 (D) k≤－3
24、若不等式|x－2|－|x＋3|＜a无解,则 ( )
x>log23} （D）{x| 0<x<log32}
6. 不等式（ ）
（A）{x| 0<x<2} （B）{x| 0<x<} （C）{x| 0<x<} （D）{x|
0<x<3}
7. 不等式|x2-4|<x+2的解集为（ ）
（A）{x| x<3} （B）{x| 1<x<3} （C）{x| -2<x<3} （D）{x|
x>3或x<-2}
8. 不等式|x+1|+|x-3|>5解集为（ ）
（A）{x| x<-或x>}
（B）{x| -<x<}
（C）{x| x<-}
（D）{x| x>}
9. 当0<a<1时，不等式loga(1-)>1的解集为（ ）
（A）{x| x>1或x<}
（B）{x| 0<x<}
（C）{x| <x<1}
（D）{x| 1<x<}
10. 设A＝{x||x－2｜<3}，B＝{x||x－1｜>1}，则A∩B等于( )
（A）{x| －1<x<5}（B）{x| x<0或x>2}（C）{x| －1<x<0或2<x<5}
（D）{x| －1<x<0}
11. 一元二次不等式x2－7x＋12<0, －2x2＋x－5>0, x2＋2>－2x的解集分
1.已知集合A=｛x｜x2-2x-3＜0 ，B=｛x｜｜x｜＜a ，若B A，则实
数a的取值范围是( )
A.0＜a≤1；
B.a≤1；
C.-1＜
a≤3；
D.a＜1.
2.集合A=｛x｜x2-3x-10≤0，x∈Z｝，B=｛x｜2x2-x-6＞0，
x∈Z｝，则A∩B的子集的个数为( )
A.16；
B.8；
C.15；
(A)a＞－5 (B)a≥－5 (C)a＜－5 (D)a≤－5
25、|x－4|＋|3－x|＜a总有解时，a的取值范围是 ( )
(A)0＜a＜ (B)＜a＜1 (C)0＜a≤1 (D)a＞1
26、如果对于xR,不等式|x＋1|≥kx恒成立,则k的取值范围是 ( )
(A)(－∞,0) (B)[－1,0] (C)[0,1] (D)[0,∞]
9、
10、
11、
12、
13、
14、
15、|
16、 |x－5|－|2x＋3|＜1
17、|x2－3x－4|＜x+1
18、
二、选择题
19、不等式≥1的解集是 ( )
(A){x|≤x≤2}
(B){x|≤x ＜2｝
(C){x|x＞2或x≤})(x2＋9)＜0的解集是 ( )
（4）；
（5）
4．一元二次方程x2＋4x－m=0的两个实根之积的平方不大于36，试求m 的取值范围
5．k取何值时，不等式(k＋1)x2―2(k―1)x＋3(k－1)≥0对于任何x∈R都 成立？
6．解关于x的不等式：x2－ax－2a2＜0
不等式的解法·巩固练习2
1、 解下列不等式 1、(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)>0
别是M、N、P，则有（ ）
（A）NMP （B）MNP （C）NPM （D）MPN
12. 抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为(－, 0), (, 0)，则ax2＋bx＋
c>0的解集是（ ）
（A）－<x<（B）x>或x<－ C）x≠±（D）不确定，与a的符号有关
13. 若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x| －7<x<－1}，那么a的值是（
【生活实际运用】 1.如下图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千 米.现要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与 公路每吨千米的运费之比为3∶5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运 费最少，D点应选在何处?
2.要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户(如下图所 示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应 设计成怎样的尺寸?
2、 解答题
1． 解含绝对值的不等式
(1)｜3x＋4｜>－1； （2）｜3x＋4｜>0； （3）｜5x－3｜<10； （4）
1≤｜1－2x｜≤7
2．解下列一元二次方程
（1）2x2＋x－3<0； （2）4x－x2＋12≥0； （3）2x－x2－3≥0
3．解下列分式不等式 （1）； （2）≤0； （3）
等式ax2-bx+c＞0的解集为
.
三、解答题
1.求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.
2.求m，使不等式｜
｜＜3恒成立.
3.关于x的不等式
它的解集为｛x｜x1≤x≤x2｝,且1≤｜x1-x2｜≤3，(m-2)x2-mx1≥0，求实数m的取值范围.
Image
4.已知a＞1解关于x的不等式组
5.解不等式
5.考察下列集合：(1)｛x｜｜x-1｜＜1 ；(2)｛x｜x2-3x+2≤0｝；
(3)｛x｜ ≤0｝；(4)｛x｜ ≥0｝，其中是集合A=｛x｜1＜x≤2
的子集的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.在下列各不等式(组)中，解集为空集的是( )
A.x2+x+1≤ ； ≤1；
Image
C.
(其中0＜a＜1 ；
B.｜x-1｜+｜x-2｜ D.x2-(a+ )x+1≤0(其中a＞
0). 二、填空题
Image
1.使函数y=
+
有意义的x的取值范围是
.
2.不等式ax2+bx+2＞0的解集是｛x｜- ＜x＜ ,则a+b= .
3.不等式 ≤1的解集是
.
4.不等式-4≤x2-3x＜18的整数解为
.
5.已知关于x的方程ax2+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜-1或x＞2｝.则不
不等式的解法·内容简析
(1)一元一次不等式ax＞b
③当a=0时 （i）b≥0，解集为 ；（ii）b＜0，解集为R。 (2)一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x1，x2是二次三 项式ax2+bx+c的两实根，且x1＜x2．