「精品」中考数学第一部分考点研究复习第五章四边形第25课时矩形菱形正方形练习含解析

第五章四边形第25课时矩形、菱形、正方形基础过关1. (2016遵义)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( )第1题图A. AB＝ADB. AC⊥BDC. AC＝BDD. ∠BAC＝∠DAC2. (2016河北)关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C. 若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3. (2016黔东南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD 的长为( )A. 2B. 3C. 3D. 2 3第3题图 第4题图4. (2016荆门)如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB )，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F .在下列结论中，不一定正确的是( )A. △AFD ≌△DCEB. AF ＝12ADC. AB ＝AFD. BE ＝AD －DF5. (2016广东)如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A. 2B. 2 2C. 2＋1D. 22＋1第5题图 第6题图6. (2016郴州)如图，在正方形ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB ＝∠CFD ＝90°，AE ＝CF＝5，BE ＝DF ＝12，则EF 的长是( )A. 7B. 8C. 7 2D. 7 37. (2016宜宾)如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )A. 4.8B. 5C. 6D. 7.2第7题图第8题图8. (2016青海)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________．9. (2016成都)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．第9题图第10题图10. (2016包头)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E.若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝________度．11. (2016漳州)如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D ＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．第11题图第12题图12. (2016张家界)如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在AB 边上E 处，EQ 与BC 相交于F ，若AD ＝8 cm ，AB ＝6 cm ，AE ＝4 cm ，则△EBF 的周长是________cm.13. (2016黄冈)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝________．第13题图 第14题图14. (2016哈尔滨)如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，点E 、F 分别在边AB 、BC 上．△BEF 与△GEF关于直线EF 对称，点B 的对称点是点G ，且点G 在边AD 上. 若EG ⊥AC ，AB ＝6，则FG 的长为________．15. (2016襄阳)如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM ⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________．第15题图 第16题图16. (2016赤峰)如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N .若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm.17. (2016云南)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，BE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．第17题图18. (2016青岛)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．第18题图19. (2016杭州)如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值；(2)求线段AH的长．第19题图满分冲关1. (2016呼和浩特)如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上．若BF ＝62，则小正方形的周长为( ) A. 568 B. 566 C. 562 D. 1063第1题图 第2题图2. (2016咸宁)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A (5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D (0，1)．当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A. (0，0)B. (1，12)C. (65，35)D. (107，57)3. (2016泸州)如图，矩形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ，AF分别与DE 、DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为( )A. 225B. 9220C. 324D. 425第3题图 第4题图4. (2016雅安)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED ＝3BE ，点P 、Q 分别在BD 、AD 上，则AP ＋PQ 的最小值为( )A. 2 2B. 2C. 2 3D. 3 35. (2016淄博)如图，正方形ABCD 的边长为10，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连接GH ，则线段GH 的长为( )A. 835B. 2 2C. 145D. 10－5 2第5题图 第6题图6. (2016丽水)如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E 、F ，延长BD 至G ，使得DG ＝BD ，连接EG 、FG .若AE ＝DE ，则EGAB＝________．7. (2016温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板(如图①所示)中各块板的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图②所示)，则该凸六边形的周长是________cm.第7题图8. (2016玉林)如图，已知正方形ABCD 边长为1，∠EAF ＝45°，AE ＝AF ，则有下列结论：①∠1＝∠2＝22.5°； ②点C 到EF 的距离是2－1；③△ECF 的周长为2; ④BE ＋DF ＞EF .其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．第8题图第9题图9. (2016安徽)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG .其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)10. (2016德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图②，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD .点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明)答案基础过关1. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C错误；由∠BAC＝∠DAC可得AB＝AD，即邻边相等，所以D正确．2. C 【解析】3. D 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠ABC ＝60°，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝1，∴BO ＝AB 2－AO 2＝3，∴BD ＝2OB ＝2 3.4. B 【解析】5. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边BC ，DC 的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF ＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 6. C 【解析】设AE 的延长线交DF 于点H ，CF 的延长线交BE 于点G ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，∵AB＝CD ，AE ＝CF ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF (HL )，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵AB ∥CD ，∴BE ∥DF ，∵∠BEA ＝∠DFC ＝90°，∴∠AHF ＝∠CGE ＝90°，∴四边形FGEH 是矩形，∴∠BCG ＋∠DCF ＝∠DCF ＋∠CDF ＝90°，∴∠BCG＝∠CDF ，又∵BC ＝CD ，∴△CBG ≌△DCF ，∴CG ＝DF ＝12，CF ＝BG ＝5，∴EG ＝FG ＝CG －CF ＝7，∴矩形EGFH 为正方形，∴EF ＝7 2.第6题解图 第7题解图7. A 【解析】如解图，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E , PF ⊥BD 交BD 于点F ，连接PO ，∵AB ＝6 BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OD ＝12×AC ＝12×10＝5，又∵S △AOD ＝S △AOP＋S △DOP , ∴12×12×6×8＝12·AO ·PE ＋12·DO ·PF ，∴12＝12×5×PE ＋12×5×PF ，∴PE ＋PF ＝4.8.8. 4.8 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴AB ＝42＋32＝5，∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DH ，∴12×8×6＝5DH ，∴DH ＝4.8.9. 3 3 【解析】∵AE 垂直平分OB ，∴AB ＝AO ＝3，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ＝2AO ＝6，在Rt△BAD 中，AD ＝BD 2－AB 2＝62－32＝3 3.10. 22.5 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠EAC ＝2∠CAD ＝2∠ODA ，∵AE ⊥BD ，∴∠AEB ＝90°，∴∠EAC ＋∠CAD ＋∠ODA ＝90°，∴4∠ODA ＝90°，∴∠ODA ＝22.5°，∴∠BAE ＝90°－∠EAD ＝90°－3∠ODA ＝22.5°.11. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，DF ⊥x 轴于点F ，∵菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D 点坐标为(3＋2，1)．第11题解图12. 8 【解析】∵∠HEQ ＝∠A ＝∠B ＝90°，易知△AHE ∽△BEF ，∴AH AE ＝BE BF.在Rt △AHE 中，AE 2＋AH 2＝HE 2，又∵HE ＝HD ，AE ＝4，∴AH ＋HE ＝AD ＝8，42＋AH 2＝(8－AH )2，∴AH ＝3，BF ＝AE·BE AH ＝83；在Rt △BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF ＝103，∵BE ＝6－AE ＝2，∴△EBF 的周长为：EB ＋BF ＋FE ＝2＋83＋103＝8. 13. 23a 【解析】如解图，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，由题意知DE ＝a ，PE ＝CE ＝2a ，∴∠DPE ＝30°，∠GPF ＝60°，又∵四边形FGDC 是矩形，∴FG ＝3a ，∴FP ＝GF sin60°＝233×3a ＝23a .第13题解图14. 3 3 【解析】由题意可知，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，又∵AB ＝BC ，∴∠B ＝60°，∵EG ⊥AC ，可得△AEG 为等腰三角形，∴∠AEG ＝∠AGE ＝30°，又∵△BEF 与△GEF 关于直线EF 对称，∴∠BEF＝∠GEF ＝180°－30°2＝75°，又∵∠B ＝60°，∴∠BFE ＝180°－75°－60°＝45°，∴∠BFE ＋∠GFE＝90°，∴GF ⊥BC ，即GF 为AD 、BC 的公垂线，如解图，过点A 作BC 的垂线，垂足为点H ，则AH ＝FG ，在Rt △AHB 中，∠B ＝60°，AB ＝6，则AH ＝33，∴FG ＝AH ＝3 3.第14题解图15.55【解析】∵正方形ABCD 的边长为22，∴AC ＝BD ＝4，且AC 和BD 相互垂直平分，∴OA ＝OB ＝OC ＝2，∵AM ⊥BE ，∴∠EAM ＋∠AEM ＝90°，∵∠OBE ＋∠AEM ＝90°，∴∠OBE ＝∠EAM ，∵OA ＝OB ，∠AOB ＝∠BOE ＝90°，∴△AOF ≌△BOE (ASA)，∴OF ＝OE ＝12OC ＝1，∴BF ＝OB －OF ＝1，∴在Rt △BOE 中，BE ＝OB 2＋OE 2＝22＋12＝ 5.∵∠OBE ＝∠MBF ，∠BOE ＝∠BMF ＝90°，∴△BMF ∽△BOE ，∴BF BE ＝FM OE 即15＝FM 1，解得FM ＝55. 16.233或33【解析】根据题意画出图形如解图，过点N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∵∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵点F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM (HL)，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos30°＝132＝233 cm ；由对称性得AM ′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33cm ；综上，AM 的长等于233或33cm.第16题解图17. (1)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∠ABC ＋∠BAD ＝180°，又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33； (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵∠BOC＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形．18. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)解：四边形BEDF是菱形．理由：如解图，连接DG，∵△ABE≌△CDF，第18题解图∴BE＝DF，∠ABE＝∠CDF，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BO＝OD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠EBO＝∠FDO.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵DG＝BG，∴△BDG是等腰三角形．又∵BO＝DO，∴GO⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．19. 解：(1)由题意易求，EC＝2，AE＝10，如解图，过点E作EM⊥AC于点M，第19题解图∴∠EMC＝90°，又∵∠ACD＝45°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE＝210＝55； (2)在△GDC 与△EDA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA (SAS)，∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°，∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12AG ·DC ＝12GC ·AH ，∴12×4×3＝12×10·AH ， ∴AH ＝6510.满分冲关1. C 【解析】∵S 正方形ABCD ＝24，∴BC ＝CD ＝26，∴CF ＝BC －BF ＝362，∴DF ＝CF 2＋CD 2＝562，∵∠EFG ＝90°，∴∠EFB ＋∠DFC ＝90°，∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°，∴∠DFC ＝∠BEF ，又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CFD ，∴EF DF ＝BF DC ，∴EF ＝568，∴正方形EFGH 的周长＝4EF ＝562.2. D 【解析】同侧两点求最短路径时，作其中一点关于点P 所在直线的对称点，连接另一点与对称点，即最短路径．如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA 交OA 于点F .点C 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，EO ＝12OB ＝25，∴OF ＝4，根据勾股定理可得EF ＝2，点E 的坐标为(4，2)，∴直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，又∵D (0，1)，∴直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立两函数方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．第2题解图3. B 【解析】如解图，延长DE 与CB 的延长线交于点G ，由四边形ABCD 是矩形可得AD ∥BC 且AD ＝BC＝3，又∵BF ＝2FC ，∴BF ＝2，FC ＝1，由勾股定理可得AF ＝AB 2＋BF 2＝22＋22＝2 2.由△ADN ∽△FBN可得AN NF ＝AD BF ＝32，∴AN ＝32NF ＝35AF ＝625，再由△ADM ∽△FGM 得AD GF ＝AMMF，又∵点E 为BA 的中点，可证△ADE ≌△BGE ，∴GB ＝AD ＝3.∴GF ＝5，∴AM MF ＝35，可得AM ＝38AF ＝324.∴MN ＝AN －AM ＝625－324＝9220.第3题解图4. D 【解析】如解图，延长AE 到点F ，使得EF ＝EA ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，交BD 于点P ，连接AP ，此时AP ＋PQ ＝FP ＋PQ ＝FQ ，即FQ 是AP ＋PQ 的最小值．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥PF ，∵∠BAE ＝∠PFE ，∠ABE ＝∠FPE ，∵AE ＝EF ，∴△AEB ≌△FEP (AAS)，∴BE ＝PE ，PF ＝AB .∵DE ＝3BE ，∴DP ＝BP ，∴AP ＝BP＝AB ，∴△APB 是等边三角形，∴∠ABP ＝60°.∵AD ＝6，∴AB ＝AD tan ∠ABD ＝23，∴PQ ＝12AP ＝12AB ＝3，∴FQ ＝33，即AP ＋PQ 的最小值为3 3.第4题解图5. B 【解析】如解图，延长DH 交AG 于点E .∵DH ＝6，CH ＝8，CD ＝10，∴DH 2＋CH 2＝CD 2，∴CH ⊥DH ，同理AG ⊥BG .∵∠ADE ＋∠DAE ＝∠BAE ＋∠DAE ＝90°，∴∠ADE ＝∠BAE ，∵∠AGB ＝∠AED ＝90°，AD ＝AB ，∴△AED ≌△BGA (AAS)，∴DE ＝AG ＝8，AE ＝BG ＝6，∴EG ＝2，同理HE ＝2，∴HG ＝2 2.第5题解图 6. 72 【解析】如解图，延长BE 到点H ，使得EH ＝BE ，连接GH ，∵DG ＝BD ，∴DE ＝12GH 且DE ∥GH ，∵BE ⊥AD ，∴BH ⊥GH .设DE ＝x ，∵AE ＝DE ，BE ⊥AD ，∴AB ＝BD .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BD ＝2x ，∴△ABD 为等边三角形．∴∠DBE ＝30°.∴GH ＝2x ，EH ＝BE ＝3x ，∴EG ＝GH 2＋HE 2＝＝7x ，∴EG AB ＝2x＝72.第6题解图7. 322＋16 【解析】如解图，在正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∴BD ＝162＋162＝162，∴OB ＝OD ＝8 2 ，∴BG ＝OG ＝OP ＝PD ＝42，BF ＝（42）2＋（42）2＝8, CF ＝8.将解图①和解图②对比，可知每一条线段的长，∴该凸六边形的周长为：82＋82＋8＋42×4＋8＝(322＋16)cm.第7题解图8. ①②③【解析】综合所述，正确的结论是①②③.9. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，∴AF ＝BF 2－BA 2＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x )2，∴x ＝3，∴GF ＝5，AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠AB AG＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．10. (1)证明：如解图①，连接BD .第10题解图①∵点E ，H 分别为边AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD ，同理得FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)猜想：四边形EFGH 是菱形．证明：如解图②，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD ，第10题解图②又∵PA ＝PB ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD (SAS)，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG ，又∵中点四边形EFGH 是平行四边形，∴中点四边形EFGH 是菱形；(3)解：当∠APB ＝∠CPD ＝90°时，中点四边形EFGH 是正方形．【解法提示】如解图②，设AC 与BD 交于点O ，AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N ， ∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP ，∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°，∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°，∵中点四边形EFGH 是菱形，∴中点四边形EFGH 是正方形．。