平面几何形体的面积
平面几何中的圆锥台和圆锥台的表面积和体积
平面几何中的圆锥台和圆锥台的表面积和体积圆锥台是一个非常有趣的几何形体，它既有圆锥的尖锐，又有圆柱的整洁。
它的表面积和体积的计算方法也很特殊，今天我们就来深入了解一下圆锥台。
一、圆锥台的定义和结构圆锥台是由一个圆锥和一个平行于圆锥底面的截头圆柱组成的几何形体。
它有一个尖端和一个底面，底面是一个圆，而侧面是由直线段和圆弧构成的。
二、圆锥台的表面积公式要计算圆锥台的表面积，我们需要分别计算出它的底面积、侧面积和全面积。
1.底面积圆锥台的底面积是一个圆的面积，可以用公式S=πr²来计算，其中r是底面圆的半径。
2.侧面积圆锥台的侧面积是由直线段和圆弧构成的。
我们可以将它展开成一个扇形和一个梯形，然后分别计算它们的面积，最后将它们相加即可。
扇形的面积可以用公式S=½rl来计算，其中r是圆锥台的斜高线长，l是圆锥台的母线长。
梯形的面积可以用公式S=½h(a+b)来计算，其中h是梯形的高，a和b分别是它的上下底边长度。
3.全面积圆锥台的全面积就是底面积和侧面积的和了。
它的公式可以写作S=πr²+½rl+½h(a+b)。
三、圆锥台的体积公式要计算圆锥台的体积，我们需要用到它的底面积和高。
它的公式可以写作V=⅓S×h，其中S是底面积，h是圆锥台的高。
四、应用实例那么，圆锥台的表面积和体积公式有什么实际应用呢？下面我们就以一个具体的案例来说明它们的应用。
例：现有一根高为20cm的木棒，通过加工制成一个高为10cm、上底面半径为4cm、下底面半径为2cm的圆锥台。
求木棒剩余的长度。
首先，我们可以用圆锥台的体积公式V=⅓S×h来计算它的体积。
令底面圆的半径r1=2cm，顶面圆的半径r2=4cm，高h=10cm，则圆锥台的体积为：V=⅓π(2²+2×4²+4²)×10≈448.8cm³接下来，我们可以用勾股定理计算出圆锥台的斜高线长r：r=√(20²+(4-2)²)≈20.1cm然后，我们可以用圆锥台的表面积公式S=πr²+½rl+½h(a+b)来计算它的表面积：S=π×4²+½×20.1×5.656+½×10(2+4)≈136.9cm²最后，我们可以用木棒的长度减去圆锥台的高和底面圆的直径（即4cm）来计算木棒剩余的长度：l=20-10-4=6cm因此，木棒剩余的长度为6cm。
《长方形和正方形的面积》教案（范文5篇）
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第一篇：《长方形与正方形》教案教学内容：义务教育课程标准实验教科书一年级下第16-18页。
教学目标：1、通过观察长方体、正方体的某一个面和圆柱的底面，以及用这些几何形体的面画图形等活动中，直观认识长方形、正方形和圆；知道这些平面图形的名称，并能识别这些图形，初步体会这些图形在日常生活中的应用。
2、在观察、操作、画图等数学活动中发展空间观念，体验学习数学的乐趣，积累对数学的兴趣。
教学重、难点：让学生经历描、分、找、围、画和玩的学习活动，引导学生从物体表面抽象出平面图形。
教学资源：情境图、小组准备适量的积木教学过程一、搭一搭，画一画1、出示情境图，谈话：小朋友，你们喜爱搭积木吗？今天每组同学都准备了一些积木，我们一起来搭一搭，好吗？请每组的同学一起搭一搭，搭好后互相说一说：你们用了哪些形状的积木？学生分组活动。
全班交流：每组汇报用了哪些形状的积木。
（教师适时把长方形、正方形和圆柱的积木各粘一个在黑板上）2、出示主题图，谈话：图中的小朋友在干什么？你也想试一试吗？学生活动，教师巡视。
小组交流：你画的图形分别用了哪一种形状的积木？画的是哪个面？全班交流：你的图形是怎么画的？把你画的图形贴到黑板上相应的位置。
（学生把图形贴在相对应的立体图形的后面）3、揭示课题，谈话：同学们刚才画了这么多的图形，今天，我们就一起来认识这些图形。
（板书课题：认识图形）二、摸一摸，认一认1、认识长方形。
教师指着贴在长方体后面大小不一的长方形问：这些图形都是用哪一种形状的积木画出来的？在积木的面上还能找到这样的图形吗？请同学们自己找一找、摸一摸。
学生活动后反馈：指名说一说、摸一摸。
提问：你们知道这样的图形叫什么吗？（在图形后面板书：长方形）2、认识正方形和圆。
五年级下册数学课件-6.5 总复习：图形与几何(平面图形的认识) ▏沪教版 (共52张PPT)
A．无数条 B．一条
C．三条
（3）圆的半径扩大2倍，则它的直径扩大（ ）， 面积扩大（ ）。
A．2倍 B．4倍
C．8倍
填空
（1）三角形的一个内角正好等于其余两个内角的和，这是 一个（ ）三角形。
（2）一个等腰三角形，它的顶角是72º，它的底角是（ ） 度。
（3）6时整，时针与分针组成的角的度数是（
4. 等底等高的圆柱 如果梯形（图1）的面积是18平方米，高
（5）用３根长度分别是８厘米、１２厘米、３厘米的小棒，能围成一个三角形。
是个圆。
和圆锥，圆锥的体积 按角分：按角分成几类？每类三角形的三个角各是什么角？你能用集合圈的形式表示一下它们之间的关系吗？
面
棱
顶点
（3）想一想三角形的高指的是什么，怎样画一个三角形的高？在自己所画的三角形中画出高。
梯形
a.圆的各部分名称是什么？什么是半径？什 么是直径？字母如何表示？
b.在一个圆里半径、直径的特点是什么？半 径、直径的关系有是什么？
c.通过画圆你们发现圆的大小与什么有关？ 圆的位置又与什么有关呢？
③和圆关系最密切的是圆环，你对圆环有哪 些了解呢？
1.判断： （1）大于90°的角叫钝角。（ ） （2）角的两条边越长,角就越大。（ ） （3）钟表的分针旋转一周,时针旋转30°。
三角形的特性：三角形具有什么特性？日常生活中哪些地方用到这一特性？
①根据角的度数,可以把角分成哪几类？每一类的名称是什么？
是圆柱体积的 1 。 （正方形、平行四边形）。
如果梯形（图1）的面积是18平方米，高 按边分：按边分把三角形分成几类？ 每类三角形边和角有什么特点？（特殊三角形：等边三角形） 圆的各部分名称是什么？什么是半径？什么是直径？字母如何表示？ 那么（图3）的底长多少米？ 的高。
专题9简单几何体的直观图与表面积体积11月19日终稿
专题9简单几何体的直观图与表面积体积第一讲.基本立体图形知识点一多面体、旋转体的定义多面体：由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体知识点二棱柱的结构特征1.棱柱的概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点2.棱柱的分类(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.知识点三棱锥的结构特征1.棱锥的概念有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥棱锥S—ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.知识点四棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台棱台ABCD—A′B′C′D′上底面：平行于棱锥底面的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点知识点五圆柱的结构特征定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱圆柱O O'圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边知识点六圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体圆锥SO圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点七圆台的结构特征用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台圆台O O'圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 知识点八 球的结构特征半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球球O球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 知识点九 简单组合体的结构特征1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 知识点十 空间几何体直观图的画法 1.斜二测画法利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤如下:(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交干点O.画直观图时，把它们画成对应的x '轴和y '轴，两轴相交于点O '，且使45x O y '''∠=︒(或135︒)，它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段.(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.注： (1)斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy 变为斜坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=︒(或135︒);“二测”是指画直观图时，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半.(2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出. (3)斜二测画法的度量特征与位置特征简记为:横不变、纵折半，平行位置不改变。
融通让梯形面积计算公式变成“万能”
融通:让梯形面积计算公式变成“万能”作者：雷清兰来源：《广东教育·综合》2011年第04期复习与总结，不是对原有的知识进行线性的重复，不是对原有的知识点重新讲解一遍，而是要有所创新，要让学生有新的领悟、新的收获．正是基于此，在学生学习完小学阶段平面图形面积计算的时候，我们就可以来一个创新，来一次总结，来一次融通，让学生的思维来个飞跃．1. 与三角形面积相融通如图1，梯形的面积计算公式是：S＝（a＋b）·h÷2．当上底b＝0时，这时梯形就变成了三角形，面积计算公式也成了：S＝（a＋b）·h÷2＝（a＋0）·h÷2＝a·h÷2．这也就是三角形的面积计算公式，可见梯形面积计算公式与三角形面积计算公式是相融通的．2. 与平行四边形面积相融通如图2，梯形的面积计算公式是：S＝（a＋b）·h÷2．当上底与下底相等，即b＝a时，这时梯形就变成了平行四边形，面积计算公式也成了：S＝（a＋b）·h÷2＝（a＋a）·h÷2＝2a·h÷2＝a·h．这不正是平行四边形的面积计算公式吗？从变换过程可知梯形面积与平行四边形面积是相融通的．3. 与圆面积相融通如图3，从图形的渐变过程我们是否可以这样去看：扇形（近似三角形）逐渐变大（圆心角变大），当变化到一定程度，就成了圆．我们试着用梯形面积计算公式进行推导，这里需要注意的就是，近似三角形（扇形）的底逐渐变成圆周的长度，即b＝0，a＝2πr，h＝r，于是有S＝（a＋b）·h÷2＝（2πr ＋0）·r÷2＝2πr·r÷2＝πr2．从上面的推导过程来看，我们也可以用梯形面积的计算公式来推导圆面积的计算公式，并且，不见得就是晦涩难解，只要让学生理解了图3中的渐变过程，问题就迎刃而解了．4. 与圆环面积相融通如图4，把环形沿环宽剪开，就得到一个近似的梯形，这一环节如果能够让学生自己动手操作一下，问题就更简单了．我们来看看，梯形的上底就是里面小圆的周长，梯形的下底就是外面大圆的周长，梯形的高就是环宽．圆环的面积＝“梯形的面积”＝（上底＋下底）×高÷2，即S＝（a＋b）·h÷2＝（2πr＋2πR）·（R－r）÷2＝2π（R＋r）·（R－r）÷2＝π（R2－r2）＝πR2－πr2．这就是圆环的面积计算公式．可见，用梯形面积计算公式，也完全可以把圆环的面积推导出来，并且一点也不难理解，学生会觉得“豁然开朗”．另外，这里也让学生明白了：如果已知一个圆环内外圆的周长以及环宽，要求圆环的面积，完全可以直接套用梯形面积计算公式进行计算．也许，我们会觉得用梯形面积计算公式去推导三角形、平行四边形的面积，犯了逻辑错误．其实这是一种误解，从根本上说，梯形的面积计算公式与诸图形之间的面积计算公式的互相推导，并不存在逻辑的矛盾关系，因为平面图形的面积度量，都是用面积单位去量度的，只要测量出平面图形包含几个面积单位，则可以得出该平面图形的面积是几，因此它们之间并不存在什么逻辑必然的关系．因此，我们在教学中融汇这些几何形体的面积计算公式是必要的，也是可行的，并不相悖，它能够让学生对这些计算公式有个新的认识，有个全面的把握，在理解上应该是更高的一个层次，同时也给学生渗透一种“融通”的数学思维，一种新的认知方式，让学生的认识来个质的飞跃．相信经过这样的“融会贯通”，经过这样的“洗礼”，学生对一些几何形体的面积计算公式一定会有“顿悟”之感．本栏责任编辑罗峰。
空间几何体的表面积与体积公式大全,DOC
空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）1、①棱柱②圆柱2、①②3、①②4、①球：②③二、1、①棱柱②圆柱2、①棱锥②圆锥3、①棱台②圆台4、①球：②③三、1、2、则+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式：)(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。
延长两侧棱相交于一点P 。
则∴V 即：)(33)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S S S S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n ），n 越大，每一层越近似于圆柱，+∞→n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。
这些圆柱的高为nr，则：每个圆柱的体积h S V i i ==nrr i 2π……=2r nr ⨯π=[3r n n π=[3r n n π当→n ∴V 半球5、 ∴S =球6、（1则其体积为：a V 3=正方体四个角上切下的每一个三棱锥体积为：中间剩下的正四面体的体积为：a a a a hSV 322231]60sin 21[3131)32232()2()2(=-⨯︒⨯⨯⨯==⨯⨯正三棱锥这样一个即：61（2 (a)(b)(c)(d)(e)（3（a ） 正方体内切球直径=正方体棱长（b ） 正方体内切球与正四面体的四条棱相切。
（c ） 与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半 （d ） 设正四面体棱长为a ，则与其棱都相切的球半径为r 1有：aar 422211=⨯= 7、利用祖暅原理推导球体体积。
构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物体体积相等。
证明：作如下构造：在底面半径和高都是r 的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。
如图：R ，∴S 1π=即：S 1 8、 正方体与球（1） 正方体的内切球正方体的棱长=a 球体的直径d （2） 正方体的外接球正方体的体对角线=a 3球体的直径d（3） 规律：①正方体的内切球与外接球的球心为同一点； ②正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上； ③正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：3:1 ④正四面体内切球与外接球体积之比为：1：339（∴a h r 12641==即：a a r V 33321663434)126(πππ===球∴π3:18=V V 球正四机体： （2）正四面体的外接球 外接球的半径=)2332(224343a a⨯-⨯=⨯高=a 46 ∴2:33122:86:33ππ==aaV V 正四面体球 （310、 （1 球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。
基本形体的视图及尺寸标注
基本形体的视图及尺寸标注各种机械设备及其零件，虽然形状结构各异，一般都可看作由若干个基本几何形体组成的组合体；而任何基本形体又都可以看作是由一个或若干个面围成的。
根据这些表面性质，几何体可分为两类：平面立体——由若干个平面围成的几何体，如棱柱、棱锥体等；曲面立体——由曲面或曲面与平面形所围成的几何体，最常见的是回转体，如圆柱、圆锥、圆台、圆球、圆环等。
一、平面立体的投影平面立体主要有棱柱、棱锥等，在投影图上表示立体就是把组成立体的平面和棱线表示出来，然后判断其可见性。
看得见的棱线投影画成粗实线，看不见的棱线的投影画成细实线。
1．棱柱在一个平面立体中，若各棱面互相平行，则该平面立体称为棱柱，如图2—36所示为一正四棱柱，它由四个棱面、顶面和底面组成。
（1）分析投影其顶面和底面为水平面，该两面的水平投影反映实形；正面、侧面投影分别积聚成直线；棱柱的前、后棱面为正平面，该两面的投影反映实形，水平面、侧平面投影积聚成直线；棱柱的左、右两棱面为侧平面，该两面的侧面投影反映实形，水平面、正平面积聚成直线。
棱线EC 、FD 为铅锤线，水平投影积聚成一点c （e ）、d （f ），正面投影、侧面投影反映实长，即：e c ''=e c ''''=CE ，f d ''=f d ''''=DF ，其它各棱线的投影分别与此类似。
画图时，应先画出三个视图的中心线作为投影图的基准线，先画出反映实形的那个投影图（注意放高位置），再根据投影规律画出其他两个投影。
画完底稿后一般应检查各投影图是否符合点、直线、平面形的投影规律，最后擦去不必要的作图线，加深需要的各种图线，使其符合国家标准，如图2—36。
图2—36四柱的投影、三视图及表面求点（2）棱柱表面上求点立体表面上的点，其投影一定位于立体表面的同面投影上。
例题1：已知CDEF 棱面上B 点的正面投影b '，求：它的水平投影b 和侧面投影b ''。
格点与面积公式
格点与面积公式数学是一门美妙的学科，它以精密的符号和准确的逻辑构成了一幅绚丽的画卷。
格点与面积公式便是其中的亮点之一，它们可以让我们对平面几何的结构和形式进行深入的探究。
在接下来的文章中，我们将对这两个概念进行详细的介绍和解析。
一、格点格点是平面上的一个十字交叉点，它的坐标通常用整数来表示。
我们可以将平面上的许多点组成一个格点图形，其中每个小正方形都是一个单独的格点。
这样的图形拥有明显的规则性和对称性，从而更容易被我们处理和分析。
在许多数学问题中，格点的定位和计算是非常重要的。
例如，在计算多边形内部的点数时，我们需要使用格点计数法，在寻找最短路径时，也需要用到最短路算法中的格点概念。
二、面积公式面积公式是平面几何中最基础和最重要的概念之一。
在不同的情境下，我们有多种面积公式可以使用。
其中最常见的有以下几种：1. 三角形面积公式： S = 1/2 * b * h，其中b为底边长，h为高。
2. 矩形面积公式：S = a * b，其中a和b分别为矩形的两条相邻边长。
3. 梯形面积公式：S = (a + b) * h / 2，其中a和b为梯形的两个底边长，h为高。
4. 圆的面积公式：S = π * r^2，其中π为圆周率，r为半径。
这些面积公式在我们日常生活和学术研究中都经常运用，它们是对平面几何形体面积的基本刻画和描述。
三、格点与面积公式的关系格点与面积公式可以相互结合，从而给我们带来更多的数学启示和理解。
例如，在计算一个多边形内部格点数时，我们既可以使用格点计数法，也可以根据多边形的面积和边界轮廓来计算。
此外，格点与面积公式也常常应用于数学竞赛中的难度较高的题目。
在解决这些问题时，我们需要有系统的数学思维和灵活的运算能力，从而才能得出正确的结论。
总之，格点与面积公式是平面几何中极具特色和魅力的概念，它们为我们开启了一扇通向无限数学世界的大门。
希望读者可以在这些概念的引领下，不断深入探究，开拓思维，从而更好地理解和应用数学知识。
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平面几何形体的面积
在平面几何中，面积是一个常见而重要的概念。
无论是研究图形的性质还是解决实际问题，对形体的面积进行计算都是必不可少的。
本文将介绍平面几何中常见形体的面积计算方法和相关概念。
一、矩形的面积计算方法
矩形是最基本的一种形体，其面积计算公式很简单。
假设矩形的长为a，宽为b，那么矩形的面积S等于长乘以宽，即S=a*b。
这个计算公式非常直观，并且容易理解。
二、三角形的面积计算方法
三角形是另一种常见的形体，计算其面积需要用到底和高的概念。
假设三角形的底边长为a，高为h，那么三角形的面积S等于底乘以高再除以2，即S=(a*h)/2。
这个公式也是比较简单的，计算时只需要确保底和高的长度单位一致。
三、圆的面积计算方法
圆是一种特殊的形体，其面积计算方法和矩形、三角形有所不同。
圆的面积计算需要用到半径的概念。
假设圆的半径为r，那么圆的面积S等于π乘以半径的平方，即S=π*r^2。
其中，π是一个常数，约等于
3.14159。
这个公式是由欧几里得在几何学中首次提出的。
四、正方形的面积计算方法
正方形是矩形的一种特殊形式，其面积计算方法与矩形相同。
正方
形的面积S等于边长的平方，即S=a^2。
这个公式也是非常简单的，计算正方形的面积时只需要边长的值即可。
五、梯形的面积计算方法
梯形的面积计算方法与三角形类似，也需要用到底和高的概念。
假
设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，那么梯形的面积S等于上
底和下底之和的一半乘以高，即S=((a+b)*h)/2。
这个公式稍微复杂一些，但只要确保各边长度单位一致，计算时仍然比较容易。
通过以上几个常见形体的面积计算方法，我们可以解决很多与面积
相关的问题。
当然，在实际应用中还会遇到一些更复杂的图形，例如
椭圆、扇形等，它们的面积计算方法稍微复杂一些，需要用到更多的
概念和公式。
但总的来说，平面几何形体的面积计算并不难，只需要
了解每个图形的特点和对应的计算公式，就能够轻松解决问题。
总结起来，平面几何形体的面积计算方法有矩形的长乘以宽，三角
形的底乘以高再除以2，圆的π乘以半径的平方，正方形的边长的平方，梯形的上底和下底之和的一半乘以高。
通过熟练掌握这些计算方法，
并在实际问题中加以灵活应用，我们能够更好地理解和运用平面几何
的知识。
面积的计算不仅是理论学习的基础，也是解决实际问题的必
备技能。