课题平面几何图形面积的求解与应用
数学公式知识：几何图形的面积与体积的计算及其应用举例
数学公式知识：几何图形的面积与体积的计算及其应用举例几何图形是我们生活中经常遇到的一种图形，它们有着各种各样的形状，如长方形、圆形、三角形等等。
其中，面积和体积是几何图形中最基本的概念。
在我们的学习中，我们需要通过这些概念来进行计算和学习，理解其应用，以帮助我们更好地理解世界和发现问题的解决方案。
一、几何图形的面积计算面积是一个物体表面所占用的空间大小。
不同的几何图形有不同的计算方法，下面我们就来看看这些常见的几何图形的计算方法。
1.矩形矩形是一种有四个内角都是直角的平面几何图形。
如果它的长度和宽度分别是L和W，则它的面积是LxW。
例如，一个长为3米，宽为4米的矩形的面积是3x4=12平方米。
2.三角形三角形是由三条边所围成的图形。
如果它的底边是b，高度是h，那么它的面积就是bh/2。
例如，一个底边长为6米，高度为4米的三角形的面积是6x4/2=12平方米。
3.圆形圆是一个几何图形，它是由位于平面上某个固定点的一组点所构成的。
它的面积是πr²，其中r是圆的半径。
例如，一个半径为3米的圆形的面积是3.14x3x3=28.26平方米。
4.梯形梯形是由两条平行的底和两条不平行的腰所形成的四边形。
如果它的上底是a，下底是b，高度是h，则它的面积是(a+b)h/2。
例如，一个上底为6米，下底为8米，高为4米的梯形的面积是(6+8)X4/2=28平方米。
二、几何图形的体积计算体积是指三维空间中物体所占用的空间大小。
计算不同几何图形体积的公式也各不相同，下面我们就来学习一下最常见的几种几何图形的计算方法。
1.立方体立方体是一个三维图形，其长、宽、高是相等的。
如果立方体的长宽高分别为a，则它的体积是a³。
例如，一个边长为3米的立方体的体积是3×3×3=27立方米。
2.圆柱圆柱是由一个圆和一个矩形所组成的几何图形。
如果它的底面积是S，高度是h，那么它的体积就是πS×h。
面积的计算与应用
面积的计算与应用面积作为一个基本的几何概念，在日常生活中具有广泛的应用。
无论是建筑设计、土地测量、科学研究还是日常购物，都需要准确计算和应用面积。
本文将从面积的计算方法和实际应用出发，探讨面积的重要性以及如何正确地计算和应用面积。
一、面积的计算方法在几何学中，面积是一个封闭图形所覆盖的平面区域的大小。
面积的计算方法主要取决于所涉及的图形类型。
以下是常见几何图形的面积计算方法：1. 矩形和正方形：矩形和正方形的面积计算非常简单，只需将宽度与长度相乘即可。
例如，一个宽度为5米，长度为10米的矩形的面积为50平方米。
2. 三角形：三角形的面积计算需要知道底边长度和高度。
公式为：面积 = 0.5 ×底边长度 ×高度。
假设一个底边长度为8米，高度为6米的三角形，其面积为24平方米。
3. 圆形：圆形的面积计算需要知道半径的长度。
公式为：面积= π ×半径的平方。
例如，一个半径为5米的圆形的面积为25π平方米。
4. 梯形：梯形的面积计算需要知道上底、下底和高度的长度。
公式为：面积 = 0.5 × (上底 + 下底) ×高度。
假设一个上底为5米、下底为10米，高度为8米的梯形，其面积为60平方米。
以上只是一些常见几何图形的面积计算方法，其他复杂图形的面积计算可能需要使用更专业的方法和公式。
二、面积的实际应用1. 建筑设计和室内装修：在建筑设计和室内装修中，准确计算建筑物和房间的面积至关重要。
建筑师和设计师需要根据房间面积确定空间布局，选择适合的家具和装饰品，以及估算建筑材料的数量和成本。
2. 土地测量和规划：在土地测量和规划中，面积的计算可以用于确定土地的使用权和价值评估。
土地测量师使用专业设备测量地块的面积，这对于土地分割、风险评估和土地规划具有重要意义。
3. 科学研究：在科学研究中，面积的计算常常用于确定物体或区域的特征。
例如，地理学家使用面积计算来研究陆地和海洋的分布；生物学家使用面积计算来估算生态系统的面积以及物种的栖息地范围。
如何应用数学解决几何体的表面积问题
如何应用数学解决几何体的表面积问题在数学中，计算几何体的表面积是一个重要的问题。
通过几何体的表面积，我们可以计算出物体所占据的空间以及它与外界的接触面积大小。
本文将介绍如何使用数学知识解决几何体表面积的问题，并提供一些实际应用的例子。
一、计算立方体的表面积立方体是最简单的几何体之一，它的表面积可以通过以下公式进行计算：S = 6a^2，其中S表示表面积，a表示立方体的边长。
例如，如果我们有一个边长为5cm的立方体，那么它的表面积就是6 × 5^2 = 150 平方厘米。
通过这个方法，我们可以计算出任意边长的立方体的表面积。
二、计算长方体的表面积长方体也是常见的几何体，它的表面积可以通过以下公式进行计算：S = 2(ab + ac + bc)，其中S表示表面积，a、b、c分别表示长方体的三个相邻面的边长。
例如，如果我们有一个长方体，其三个相邻面的边长分别为3cm、4cm、5cm，那么它的表面积可以通过以下计算得出：S = 2(3 × 4 + 3 ×5 + 4 × 5) = 94 平方厘米。
三、计算球体的表面积球体是一种圆形的几何体，它的表面积可以通过以下公式进行计算：S = 4πr^2，其中S表示表面积，r表示球体的半径。
例如，如果我们有一个半径为10cm的球体，那么它的表面积可以通过以下计算得出：S = 4 × 3.14 × 10^2 = 1256 平方厘米。
四、计算圆柱体的表面积圆柱体是由两个圆和一个矩形所围成的几何体，它的表面积可以通过以下公式进行计算：S = 2πrh + 2πr^2，其中S表示表面积，r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高。
例如，如果我们有一个底面半径为6cm，高为8cm的圆柱体，那么它的表面积可以通过以下计算得出：S = 2 × 3.14 × 6 × 8 + 2 × 3.14 ×6^2 = 376.8 平方厘米。
玩转小学数学中的面积问题认识面积的计算和应用方法
玩转小学数学中的面积问题认识面积的计算和应用方法在小学数学学习的过程中，面积是一个重要的概念，它广泛应用于各种实际问题中。
了解面积的计算和应用方法，将有助于我们更好地理解和运用数学知识。
本文将介绍一些有趣的面积问题和解决方法，帮助学生玩转小学数学中的面积问题。
一、矩形的面积计算矩形是最基本的平面图形之一，计算它的面积非常简单。
矩形的面积公式为：面积=长×宽。
例如，一块长为5米，宽为3米的矩形地毯，面积就是5×3=15平方米。
除了直接使用公式计算面积，我们还可以通过绘制等面积的长方形来进行比较。
比如，如果有一块面积为15平方米的地毯，我们可以绘制多个长、宽不同的长方形，分别计算它们的面积，找出与之相等的。
二、三角形的面积计算三角形是常见的平面图形，计算它的面积可以使用以下公式：面积=底边长×高÷2。
其中，底边是三角形的底部边，高是从底边到顶点的垂直距离。
例如，一块底边长为6米，高为4米的三角形地板，面积就是6×4÷2=12平方米。
有时，我们也可以利用矩形的面积来计算三角形的面积。
以底边为矩形的底边，高为矩形的高，绘制一个等面积的矩形，然后计算矩形的面积，再除以2即可得到三角形的面积。
三、圆的面积计算圆是一个特殊的图形，它没有边界线，但有一个重要的属性——半径。
计算圆的面积需要使用到圆的半径，面积的计算公式为：面积=π×半径的平方。
其中，π是一个无理数，近似值为3.14或22/7。
例如，如果有一个半径为5米的圆形花坛，面积就是3.14×5×5=78.5平方米（或22/7×5×5=78.57平方米，取近似值）。
不仅如此，我们还可以利用圆的面积计算周长。
圆的周长也称为圆周，可以使用公式：周长=2π×半径。
例如，前面提到的半径为5米的圆，周长就是2×3.14×5=31.4米（或2×22/7×5=31.43米，取近似值）。
面积与周长的应用问题
面积与周长的应用问题面积和周长是与几何图形相关的重要概念。
无论是平面图形还是立体图形，计算其面积和周长都是基本的数学技能之一。
在现实生活中，面积和周长的应用十分广泛，涉及到各个领域。
一、平面图形的面积与周长应用在平面图形中，计算面积和周长是最基本的运算之一。
以矩形为例，设其长度为a，宽度为b，则矩形的面积为S=a*b，周长为P=2a+2b。
通过计算矩形的面积和周长，可以帮助我们解决各种实际问题。
例如，我们需要铺设房间的地板，而所选用的地板材料按照每平方米的价格计算。
如果我们知道房间的长度和宽度，就可以根据矩形的面积公式计算出所需的地板面积，从而估算出所需的地板材料的成本。
另外，对于园区的规划和设计，面积和周长的计算也十分重要。
比如一个花坛的设计，如果我们已知花坛的形状为圆形，通过计算出其面积，可以确定所需的花坛土地和植物数量，从而有针对性地进行规划。
二、立体图形的面积与周长应用在立体图形中，除了计算表面积和周长外，还涉及到体积的计算。
例如，计算一个长方体的体积，可以通过将其底面积与高相乘得到。
应用方面，例如我们需要存储物体时，需要将其放入一个容器中，那么我们就需要计算容器的体积是否足够。
通过计算物体的体积，可以选择合适大小的容器，以确保物体能够被完整地放置。
另外，在建筑设计中，计算墙壁的面积可以帮助我们确定所需的建材和涂料数量。
同样地，计算圆柱的体积可以决定容器的容量，以满足特定需求。
三、实际生活中的应用问题除了平面图形和立体图形，面积和周长的应用问题在实际生活中还有诸多例子。
1. 车辆行驶里程计算在汽车维修行业中，为了保证汽车的正常运行，需要定期更换轮胎。
每当行驶一定里程，轮胎的胎纹会磨损，这时就需要更换。
通过计算车辆行驶的周长，可以估算出轮胎的磨损程度。
2. 游泳池的容积计算游泳池通常呈矩形或圆形，通过计算游泳池的体积，可以确定池中所需的水量，以便进行清洁和消毒。
3. 围栏材料的购买在围墙修建过程中，需要购买围栏的材料。
如何用面积法解决平面形问题
如何用面积法解决平面形问题面积法是一种解决平面形问题的常用方法，通过计算形状的面积来求解各种几何问题。
本文将介绍面积法的基本原理，并通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。
一、面积法的基本原理在平面几何中，面积是一个重要的概念。
面积法利用几何形状的面积性质来解决问题。
首先，我们需要熟悉各种常见几何形状的面积公式，如矩形的面积为长乘以宽，三角形的面积为底边乘以高再除以2等等。
其次，我们可以通过分割和组合的方法来求解复杂形状的面积。
二、如何用面积法解决问题下面通过几个例子来说明如何用面积法解决平面形问题。
例一：矩形问题问题描述：一个矩形的长是8cm，宽是5cm，求其面积和周长。
解决思路：根据矩形的定义，我们知道矩形的面积为长乘以宽，周长为长两边加宽两边的和。
所以，通过面积法，我们可以直接计算出矩形的面积和周长。
解决步骤：面积 = 长 ×宽 = 8cm × 5cm = 40cm²周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (8cm + 5cm) = 26cm例二：三角形问题问题描述：一个底边是10cm，高是6cm的等腰三角形，求其面积。
解决思路：根据三角形的定义，我们知道三角形的面积为底边乘以高再除以2。
所以，通过面积法，我们可以直接计算出三角形的面积。
解决步骤：面积 = 底边 ×高 ÷ 2 = 10cm × 6cm ÷ 2 = 30cm²例三：复杂形状问题问题描述：如图所示，一个形状由一个正方形和一个等腰梯形组成，已知正方形的边长为4cm，梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为8cm，求整个形状的面积。
解决思路：将形状分割为正方形和梯形两个部分，分别求解它们的面积，然后将两个面积相加即可得到整个形状的面积。
解决步骤：正方形面积 = 边长的平方 = 4cm × 4cm = 16cm²梯形面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2 = (6cm + 10cm) × 8cm ÷ 2 = 64cm²整个形状的面积 = 正方形面积 + 梯形面积 = 16cm² + 64cm² = 80cm²通过以上几个例子，我们可以看到面积法在解决平面形问题中的灵活性和简便性。
课题平面几何图形面积的求解和应用
课题：平面几何图形面积的求解与应用（二）教学目的：知识与技能：会应用函数思想表示几何图形的面积；已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.过程与方法：让学生经历观察、交流、计算等过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯和合作与交流的能力.情感态度与价值观：通过观察、交流、归纳等学习活动，感受合作交流的学习方式，增强学生学习数学的信心. 教学重点与难点：重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变量的取值围. 教学用具：直尺、多媒体 教学容： 一、引入在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数容丰富、二、例题例1、 如图1中正比例函数和反比例函数的图象相交于A 、B 个圆，若点A 的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和.分析：由反比例函数的对称性可求点 B 的坐标,个圆,再由坐标轴与圆相切可求得两圆的半径,从而求得阴影的面积.解：∵⊙ A 与y 轴相切，且坐标为（1，2），∴ ⊙A 的半径等于1.又∵反比例函数函数关于原点中心对称,∴点B 坐标为（-1，-2），两阴影的面积和为一个圆的面积.∴21S ππ=⨯=阴影.设计意图：让学生认识到求解与反比例函数图象有关的面积问题时,通常都要用到反比例函数图象关于原点中心对称这一特征.另外,体会数形结合思想是解决和函数有关问题的常用方法.例2、已知：如图，直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P （(,)x y 在直线6y x =-上运动，且0,0x y ><.求四边形AOBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值围．分析：本题要求四边形AOBP 的面积S ，可以用△O AP 的面积与△O BP 的面积之和来表示，还可以过P 点作x 轴或y 轴的垂线，将这个不规则的四边形拆成一个梯形和一个直角三角形的和或差的方法来解决．求自变量x 的取值围时应注意结合函数图象思考． 解：解法一：连接OP ．∵ 直线122y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴ A (4，0)，B (0，-2)． 设P (,)x y ，0,0x y ><，1122OBP OAPS SSOB x OA y =+=⋅+⋅1124(6)1222x x x =⨯-⨯-=-+． ∵ 0,0x y ><， 即 60x -<，∴6x <．∴ 自变量x 的取值围是06x <<．解法二：设6y x =-交x 轴于M (6，0)，交y 轴于N (0，6)，则MONBNPAMPS SSS=--．y=21-x解法三：作PG ⊥ x 轴于G ，则PGA PBOG S S S =+梯形．解法四：作PQ ⊥ y 轴于Q ，则PBQ PQOA S S S=-梯形．设计意图：通过解此题让学生体会在平面直角坐标系中遇上面积问题时，寻找解决问题的突破口时经常要利用点的坐标所起的作用,方法多是采取“靠轴”分割图形求面积的方法．例3、 已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分．(1)若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值； (2)若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值． 分析：直线y kx b =+与x 轴的交点坐标是(,0)bk-，与y 轴的交点坐标是(0，b )，因此可得A(2，0)，B(0，2)．(1)中C 是OA 的中点．（如图），因此可知BC 将△AOB 分成的两部分面积相等，设直线BC 的解析式为2y kx =+，代入点C 的坐标即可；(2)中应注意对可能出现的情况进行分类讨论．解：(1) 直线2y x =-+与x 轴交点A(2，0)，与y 轴交点B(0，2)， ∵直线BC 经过B(0，2)， C(1，0), ∴ 2,0.b k b =⎧⎨+=⎩ ∴2,2.b k =⎧⎨=-⎩经过B 、C 两点的直线解析式为22y x =-+． ∴ 所以2,2k b =-=．(2)设y kx b =+与y 轴交于M(0，h )，△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，∴16OMCAOB S S =．∴21×1×h =61×21×2×2，可得 h =32． ∴ M ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0．经过点M 作直线MN ∥OA ，交AB 于N ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,a ．∴ OMCCANSS=．∵ N ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,a 在直线2y x =-+上，∴ a =34，所以N ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,34． ∴ y kx b =+经过M ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0、C (1，0)或N ⎪⎭⎫⎝⎛32,34、C (1，0)． 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=;32,3211b k 或⎩⎨⎧-==.2,222b k 点拨：C (1，0)恰为OA 边的中点，为应用“三角形的中线平分面积”提供了条件，“等底同（等）高的两个三角形面积相等”，“平行线间距离处处相等”都是求解和面积相关问题常用的知识．例4、已知ABC △中，3,90AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D 处．（1）如图1-1，若BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F ，求出重图1-1图1-2叠部分的面积（直接写出结果）（2）如图1-2，若BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F ，设AE x =，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围； （3）若2BD CD =，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ，设(1)CF x x =>，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值围．分析: 解此题关键是用含有x 的代数式表示三角形的底和相应的高，另外第（3）问中条件“使一条直角边交AC 于点F ，另一条直角边交射线AB 于点E ”应分两种情况分类讨论：①12,x <≤②23x <≤．解: (1) 94AEDF S =四边形． (2) 如图1-3,过点D 作DM ⊥AB 于M ．∵3,90AB AC BAC==∠=︒， ∴ BC==∵ BD CD =， ∴ 12BD BC ==． ∴ 11133sin 45(3)(3)(03)22224y BE DM BE BD x x x =⋅=⋅⋅︒=-⋅=-≤≤．图1-4图1-5(3) (i)如图1-4,连结AD,过D 点分别作AB 、AC的垂线，垂足分别为M 、N ． ∵3,90AB AC BAC ==∠=︒， ∴BC ==．∵ 2BD CD =，∴BD CD ==．∴sin 12DN DC C =⋅==，sin 22DM BD B =⋅==． 易证 12∠=∠．∵ ∠DME=∠DNF=90°， ∴ △DME ∽△DNF ． ∴ME DMFN DN=． ∵ (1)CF x x => ， ∴ 22(1)ME FN x ==-． ∴ 1131(21)2(3)1(12)2222ADE ADFy SSx x x x =+=-⋅+-⋅=+<≤． (ii) 如图1-5, 过D 点作AC 的垂线，垂足为N ． 91911(23)2222ABC CDFy SSx x x =-=-⋅=-<≤．∴ 31(12),2291(23).22x x y x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩三、练习1． 函数(0)y kx k =-≠与xy 2-=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为C ，则△BOC 的面积为多少？2．求直线24y x =+和直线26y x =--与y 轴围成的三角形的面积.3．直线28y x =+交x 轴，y 轴于A 、B ，直线l 过原点交AB 于点C ，分△AOB 的面积为1∶3两部分，求直线l 的解析式.4.如图，点B 在直线1y x =-+上，且点B 在第四象限，点A(2,0)、O(0,0),△ABO 的面积为2，求点B 的坐标. 5.直线1y x =+ 与x 轴，y 轴分别交点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限作等腰直角△ABC,AB=2,∠BAC=90度,点P 1(,)2a 在第二象限，△ABP 面积与△ABC 面积相等，求a 的值.简要答案： 1.1 2.2523．6y x =-或23y x =- 4.（3,2-）5.2a =-四、总结本节课要求学生掌握两种基本技能：（1）会应用函数思想表示和求解几何图形的面积；（2）已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.在教学中让学生经历观察、交流、计算等过程，多动手动脑动口，发表自己的见解，体会数形结合、分类讨论、和转化思想的数学思想.建议例题由教师引导学生完成，练习题学生尽可能独立完成，必要时也可以小组合作。
面积的测量与计算
面积的测量与计算面积是指平面图形所占据的空间大小，是一个重要的数学概念。
在日常生活和各个领域中，我们经常需要测量和计算面积。
本文将介绍常见平面图形的测量和计算方法，并提供一些实际应用的例子。
一、正方形的面积测量与计算正方形是一种边长相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长。
例如，假设一块正方形地板的边长为5米，我们可以通过将地板划分为1米乘1米的小方块，然后将这些小方块的数量相加，来测量地板的面积。
在这种情况下，地板的面积为5米 × 5米 = 25平方米。
二、长方形的面积测量与计算长方形是一种两对边分别相等的四边形，它的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
例如，假设一块长方形花坛的长度为6米，宽度为3米，我们可以直接将长度和宽度相乘，来计算花坛的面积。
在这种情况下，花坛的面积为6米 × 3米 = 18平方米。
三、三角形的面积测量与计算三角形是一种有三个边和三个角的多边形，它的面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。
例如，假设一个三角形的底边长度为8米，高为4米，我们可以将底边长度和高相乘，再除以2，来计算三角形的面积。
在这种情况下，三角形的面积为（8米 × 4米）÷ 2 = 16平方米。
四、圆的面积测量与计算圆是由一条闭合曲线围成的平面图形，它的面积计算公式为：面积= π × 半径 ×半径（其中π的近似值为3.14）。
例如，假设一个圆的半径为5米，我们可以将半径的平方乘以π，来计算圆的面积。
在这种情况下，圆的面积为3.14 × 5米 × 5米 = 78.5平方米（近似值）。
五、实际应用例子面积的测量和计算在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些实际应用例子：1. 建筑业：在房屋建设中，建筑师需要测量房间的面积，以确定合适的家具和装饰品。
2. 农业：农民需要测量农田的面积，以确定种植作物的数量和施肥的比例。
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∴⊙A的半径等于1.
又∵反比例函数函数关于原点中心对称,
∴点B坐标为（-1，-2），两阴影的面积和为一个圆的面积.
∴ .
设计意图：让学生认识到求解与反比例函数图象有关的面积问题时,通常都要用到反比例函数图象关于原点中心对称这一特征.另外,体会数形结合思想是解决和函数有关问题的常用方法.
解：(1)直线 与 轴交点A(2，0)，与 轴交点B(0，2)，
∵直线BC经过B(0，2)，C(1，0),
∴ ∴
经过B、C两点的直线解析式为 ．
∴所以 ．
(2)设 与 轴交于M(0， )，△AOB被分成的两部分面积比为1
：5，
∴ ．
∴ ×1பைடு நூலகம் = × ×2×2，可得 = ．
∴M ．
经过点M作直线MN∥OA，交AB于N ．
二、例题
例1、如图1中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和.
分析：由反比例函数的对称性可求点B的坐标,可得两部分阴影图形和正好拼接为一个圆,再由坐标轴与圆相切可求得两圆的半径,从而求得阴影的面积.
例2、已知：如图，直线 与 轴交于点A，与 轴交于点B，点P（ 在直线 上运动，且 .求四边形AOBP的面积 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
分析：本题要求四边形AOBP的面积S，可以用△OAP的面积与△OBP的面积之和来表示，还可以过P点作 轴或 轴的垂线，将这个不规则的四边形拆成一个梯形和一个直角三角形的和或差的方法来解决．求自变量 的取值范围时应注意结合函数图象思考．
5.直线 与 轴， 轴分别交点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,AB=2,∠BAC=90度,点P 在第二象限，△ABP面积与△ABC面积相等，求 的值.
简要答案：
1.1 2. 3． 或 4.（ ） 5. .
四、总结
本节课要求学生掌握两种基本技能：（1）会应用函数思想表示和求解几何图形的面积；（2）已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.在教学中让学生经历观察、交流、计算等过程，多动手动脑动口，发表自己的见解，体会数形结合、分类讨论、和转化思想的数学思想.建议例题由教师引导学生完成，练习题学生尽可能独立完成，必要时也可以小组合作完成，最后教师引导学生进行归纳总结.
例3、 已知直线 与 轴、 轴分别交于点A和点B，另一直线 经过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分．
(1)若△AOB被分成的两部分面积相等，求 和 的值；
(2)若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求 和 的值．
分析：直线 与 轴的交点坐标是 ，与 轴的交点坐标是(0， )，因此可得A(2，0)，B(0，2)．(1)中C是OA的中点．（如图），因此可知BC将△AOB分成的两部分面积相等，设直线BC的解析式为 ，代入点C的坐标即可；(2)中应注意对可能出现的情况进行分类讨论．
课题：平面几何图形面积的求解与应用（二）
教学目的：
知识与技能：会应用函数思想表示几何图形的面积；已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.
过程与方法：让学生经历观察、交流、计算等过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯和合作与交流的能力.
情感态度与价值观：通过观察、交流、归纳等学习活动，感受合作交流的学习方式，增强学生学习数学的信心.
∴ ．
∵N 在直线 上，
∴a= ，所以N ．
∴ 经过M 、C (1，0)或N 、C(1，0)．
解得 或
点拨：C (1，0)恰为OA边的中点，为应用“三角形的中线平分面积”提供了条件，“等底同（等）高的两个三角形面积相等”，“平行线间距离处处相等”都是求解和面积相关问题常用的知识．
例4、已知 中， ，点 为 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在 处．
（1）如图1-1，若 ，将三角板绕点 逆时针旋转，两条直角边分别交 、 于点 、点 ，求出重叠部分的面积（直接写出结果）
（2）如图1-2，若 ，将三角板绕点 逆时针旋转，使一条直角边交 于点 、另一条直角边交 的延长线于点 ，设 ，两块三角板重叠部分的面积为 ，求出 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
解: (1) ．
(2)如图1-3,过点D作DM⊥AB于M．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
(3) (i)如图1-4,连结AD,过D点分别作AB、AC的垂线，垂足分别为M、N．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ， ．
易证 ．
∵∠DME=∠DNF=90°，
∴△DME∽△DNF．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
(ii) 如图1-5, 过D点作AC的垂线，垂足为N．
教学重点与难点：
重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变量的取值范围.
教学用具：直尺、多媒体
教学内容：
一、引入
在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数内容丰富、涉及的数学知识较多，是初中函数的重要内容之一．特别是与函数图象有关的面积问题，已成为近年中考园中一支鲜艳的奇葩．下面举例说明．
（3）若 ，将三角板绕点 逆时针旋转，使一条直角边交 于点 ，另一条直角边交射线 于点 ，设 ，两块三角板重叠部分的面积为 ，求出 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
分析: 解此题关键是用含有 的代数式表示三角形的底和相应的高，另外第（3）问中条件“使一条直角边交 于点 ，另一条直角边交射线 于点 ”应分两种情况分类讨论：① ② ．
解：解法一：连接OP．
∵直线 与 轴、 轴分别交于点A、B，
∴A(4，0)，B(0，-2)．
设P ， ，
．
∵ ，
即 ，
∴ ．
∴自变量 的取值范围是 ．
解法二：设 交 轴于M(6，0)，交 轴于N(0，6)，则 ．
解法三：作PGx轴于G，则 ．
解法四：作PQy轴于Q，则 ．
设计意图：通过解此题让学生体会在平面直角坐标系中遇上面积问题时，寻找解决问题的突破口时经常要利用点的坐标所起的作用,方法多是采取“靠轴”分割图形求面积的方法．
．
∴
三、练习
1．函数 与 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则△BOC的面积为多少？
2．求直线 和直线 与 轴围成的三角形的面积.
3．直线 交 轴， 轴于A、B，直线 过原点交AB于点C，分△AOB的面积为1∶3两部分，求直线 的解析式.
4.如图，点B在直线 上，且点B在第四象限，点A(2,0)、O(0,0),△ABO的面积为2，求点B的坐标.