(完整版)浙江职高高二数学空间几何知识点及典型习题
(完整版)高中数学空间几何体知识点总结
空间几何体知识点总结一、空间几何体的结构特征1．柱、锥、台、球的结构特征由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。
（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。
棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
注：棱锥的性质：①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。
职高数学——立体几何
平面的基本性质一、高考要求:理解平面的基本性质、二、知识要点:1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、2、平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α、(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论:推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ 、3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、三、典型例题:例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内、证明:∵a ∥b ∴a 、b 可以确定一个平面α、∵m ∩α=A,m ∩β=B, ∴A ∈α,B ∈α又A ∈m,B ∈m∴m ⊂α、 ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内、四、归纳小结:1、证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都就是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上、2、共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件、五、基础知识训练:(一)选择题:1、下列说法正确的就是( )A 、平面与平面只有一个公共点B 、两两相交的三条直线共面C 、不共面的四点中,任何三点不共线D 、有三个公共点的两平面必重合2、在空间,下列命题中正确的就是( )A 、对边相等的四边形一定就是平面图形B 、四边相等的四边形一定就是平面图形C 、有一组对边平行的四边形一定就是平面图形D 、有一组对角相等的四边形一定就是平面图形3、过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数就是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或3个4、空间四点,其中三点共线就是这四点共面的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件(二)填空题:5、空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面、6、检查一张桌子的四条腿的下端就是否在同一个平面内的方法就是 、(三)解答题:7、已知A 、B 、C 就是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线、8、已知1 ∥2 ∥3 ,且m ∩1 =A 1,m ∩2 = A 2,m ∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面、直线与直线的位置关系一、高考要求:1、掌握两直线的位置关系、掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性;2、了解异面直线概念、了解异面直线的夹角、垂直与距离的概念、二、知识要点:1、两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内、2、平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行、3、异面直线的夹角、垂直与距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角、成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b、与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线,两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离、三、典型例题:例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH就是平行四边形、思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状就是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状就是 ;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状就是、例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E就是AA1的中点、(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1与BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1与BD1间的距离、四、归纳小结:1、平行线的传递性就是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变、2、两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解、五、基础知识训练:(一)选择题:1、在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹就是圆;(3)有三个角就是直角的四边形就是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条、A、0个B、1个C、2个D、3个2、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行、A、1个B、2个C、3个D、4个3、下列关于异面直线的叙述错误的个数就是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线就是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线就是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线与这个平面内不经过该点的任意直线就是异面直线;(4)分别与两条异面直线同时相交的两条直线一定就是异面直线、A、0个B、1个C、2个D、3个4、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A、1个B、2个C、3个D、4个5、教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A、垂直B、平行C、相交D、异面6、设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系就是( )A、异面B、相交C、不相交D、相交或异面7、设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系就是( )A、平行B、平行或相交C、平行或异面D、平行或相交或异面8、(2002高职-4)已知m,n就是异面直线,直线 平行于直线m,则 与n( )A、不可能就是平行直线B、一定就是异面直线C、不可能就是相交直线D、一定就是相交直线(二)填空题:9、平行于同一直线的两直线的位置关系就是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系就是、10、若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为、11、空间两个角α与β,若α与β两边对应平行,当α=50º时,则角β= 、(三)解答题:12、、已知A、B与C、D分别就是异面直线a、b上的两点,求证:AC与BD就是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证与证明过程)13、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1、(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离、14、已知空间四边形OABC的边长与对角线长都为1,D、E分别为OA、BC 的中点,连结DE、(1)求证:DE就是异面直线OA与BC的公垂线;(2)求异面直线OA与BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离、直线与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握直线与平面的位置关系、2.了解直线与平面平行的判定与性质,理解平行投影概念、掌握空间图形在平面上的表示方法、3.掌握直线与平面垂直的判定与性质、理解正射影与三垂线定理及其逆定理、掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念、二、知识要点:1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点、2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行、用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a α,那么a∥α、直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线就与交线平行、用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b、3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍就是按或线段;(2)平行线的平行射影仍就是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比、4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图、画直观图通常用斜二测画法、5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面、用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么 ⊥α、直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行、用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b、6.斜线及其在平面内的射影:一条直线与一个平面相交但不与它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线与平面的交点称为斜足、从平面外一点向平面引垂线与斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足与垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影、这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离、斜线与它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角、定理:从平面外一点向平面引垂线与斜线、(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长、(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长、7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果与一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也与这条斜线垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA、三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果与在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也与这条斜线在平面内的射影垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO、三、典型例题:例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别就是AB、PC的中点、(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD、例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长、例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明、四、归纳小结:1、在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”,反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2、平行射影的性质就是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的、如果平行于投射线,则线段或直线的像就是一个点、3、由直线与平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个就是,到两点距离相等的点的轨迹就是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个就是,三垂线定理及其逆定理、这个定理就是判定空间线线垂直的一个重要方法,就是计算空间中两条直线的夹角与线段长度等有关问题的重要基础、它的证明的思想方法十分重要、4、在直线与平面所成的角中要重点掌握公式:cosθ=cosθ1cosθ2、在公式的基础上得到了“斜线与它在平面内的射影所成的角就是斜线与这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论、直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º、五、基础知识训练:(一)选择题:1、如图,PO⊥平面ABC,O为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的就是( )A 、 AB ⊥PD B 、 AB ⊥PCC 、 OD ⊥PC D 、 AB ⊥PO2、直线 与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围就是( )A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C 、 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3、由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形就是( )A 、半径为34cm 的圆B 、半径为24cm 的圆C 、半径为334cm 的圆 D 、半径为22cm 的圆 4、设a 、b 就是两条异面直线,在下列命题中正确的就是( )A 、有且仅有一条直线与a 、b 垂直B 、有一个平面与a 、b 都垂直C 、过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D 、过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5、下列命题中正确的就是( )A 、若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B 、若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6、两条直线a 、b 与平面α成的角相等,则a 、b 的关系就是( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上三种情况都有可能7、PA,PB,PC 就是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都就是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A 、21 B 、36 C 、33 D 、23 8、直线a 就是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角就是( )A 、60ºB 、45ºC 、90ºD 、135º9、矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A 、513B 、517 C 、921 D 、12951 10、在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( )A 、5B 、52C 、53D 、5411、在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 就是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离就是( )A 、25B 、27C 、211D 、419 12、已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 就是△ABC 的外心,则( )A 、 SA=SB=SCB 、 SA ⊥SB,且SB ⊥SCC 、∠ASB=∠BSC=∠CSAD 、 SA ⊥BC(二)填空题:13、如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 、14、在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系就是 、15、两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能就是 、(三)解答题:16、证明直线与平面平行的判定定理、17、从平面外一点P 向平面引垂线PO 与斜线PA,PB 、(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长、18、一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P 、(1)P 到三角形三顶点的距离都就是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都就是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离、19、已知直角△ABC 在平面α上, D 就是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长、20、如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β、求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB 、21、已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ、求证:cos α=cos βcos γ、22、 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1、(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD 、平面与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握平面与平面的位置关系、2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质、二、知识要点:1.平面与平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线、2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行、用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β、平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行、用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b、3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面、在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角、二面角的大小可用它的平面角来度量、平面角就是直角的二面角叫做直二面角、4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直、用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β、三、典型例题:例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、例2:已知二面角α- -β的平面角就是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值、例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α、四、归纳小结:1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”,反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2.二面角θ满足0º≤θ≤180º、求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角、五、基础知识训练:(一)选择题:1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA、①与②B、③与④C、②D、④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面就是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边就是否与这个面密合就可以了、这种检查方法的依据就是( )A、平面的基本性质B、三垂线定理C、平面与平面垂直的判定定理D、直线与平面垂直的判定定理3.已知直线 ⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒ ⊥m;② ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒ ∥m;④ ⊥m⇒α∥β、其中正确的两个命题就是( )A、①与②B、③与④C、②与④D、①与③4.如果直线 ,m与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m⊂α与m⊥γ,那么必有( )A、α⊥γ且 ⊥mB、α⊥γ且m∥βC、 m∥β且 ⊥mD、α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β与直线 、m,则α⊥β的一个充分条件就是( )A、 ⊥m, ∥α,m∥βB、 ⊥m,α∩β= ,m⊂αC、 ∥m, m⊥β, ⊂αD、 ∥m, ⊥α,m⊥β6.若异面直线a、b, a⊂α, b⊂β,则平面α、β的位置关系一定就是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行或相交或重合7.下列命题中,正确的就是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A、(1)(2)B、(2) (3)C、(3)(4)D、(2)(3)(4)8.过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A、1个B、2个C、3个D、4个4,PA⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C的大小为( ) 9.设正方形ABCD的边长为6A 、3πB 、4πC 、2πD 、32π (二)填空题:10. 已知二面角就是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都就是a,则两个垂足间的距离就是 、11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离就是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数就是 、12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件就是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件就是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件就是β内有一条直线与直线a 平行、 其中正确命题的序号就是 、13. 设m 、 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则 ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β,则 ⊥β;④若m ⊂α, ⊂β,且 ⊥m,则α⊥β;⑤若m ⊂α, ⊂β,且α∥β,则m ∥ 、其中正确的命题就是(只写序号) 、14. 已知直线 与平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出您认为正确的一个命题 、15. α、β就是两个不同的平面,m 、n 就是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出您认为正确的一个命题: 、16. 设X,Y,Z 就是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的就是 、①X,Y,Z 就是直线; ②X,Y 就是直线,Z 就是平面; ③X,Y 就是平面,Z 就是直线; ④X,Y,Z 就是平面、设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系就是 、17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长就是 ,EF 的长就是 、18. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2π),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A ´B ´C ´, △ABC 的面积为S,则△A ´B ´C ´的面积S ´= 、(三)解答题:19. 已知一个二面角就是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都就是3,求两个垂足间的距离、20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B,AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长、翻折问题一、高考要求:掌握立体几何中图形翻折问题的解法、二、知识要点:解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题、三、典型例题:例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º、(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值、例2:已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离、四、归纳小结:1、折叠前一般就是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后就是立体图形,要用立体几何知识解答;2、未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答、五、基础知识训练:(一)选择题:1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A 、30ºB 、45ºC 、60ºD 、90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离就是( ) A 、a B 、a 26 C 、a 33 D 、a 415 3. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( )A 、a 22B 、a 23C 、a 23 D 、a 2 (二)填空题:4. E 、F 分别就是正方形ABCD 的边AB 与CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= 、5. 如图,ABCD 就是正方形,E 就是AB 的中点,如将△DAE 与△CBE 分别沿虚线DE 与CE 折起,使AE 与BE重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD所成的二面角为 度、(三)解答题:6.一个直角三角形的两条直角边各长a与b,沿其斜边上的高h折成直二面角,试求此时a与b两边夹角α的余弦、7.把长宽各为4与3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,试求顶点B与D的距离、8.已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成90º的二面角,求B、D两点之间的距离、空间图形性质的应用一、高考要求:掌握空间图形的性质在测量与实际问题中的应用、二、知识要点:1、空间图形的性质在测量中的应用;2、空间图形的性质在实际问题中的应用、三、典型例题:例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果您手中只有测角器与皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离、请说出您的测量方法,并求出该距离、例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚 成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结:空间图形的性质在测量与实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题、五、基础知识训练:(一)填空题:1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离就是、2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线与CP垂直、(二)解答题:3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达、在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度、。
职业高中高二数学知识点
职业高中高二数学知识点职业高中高二数学是数学学科的进阶阶段，学生将进一步学习和掌握更加复杂和深入的数学知识和技巧。
以下是高二数学中的一些主要知识点：一、二次函数及其图像1. 二次函数的定义和性质2. 二次函数的标准形式和一般形式3. 二次函数图像的性质和变化规律4. 二次函数与一次函数、线性函数的关系5. 二次函数的最值和零点求解二、三角函数与三角恒等式1. 三角函数的定义和性质2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和变化规律3. 三角函数的特殊角和周期性4. 三角函数的和差化积和倍角公式5. 三角函数的倒数关系和解三角方程三、平面向量和解析几何1. 平面向量的定义和性质2. 平面向量的加减法和数量积3. 平面向量的数量积的应用，如共线、垂直等概念4. 解析几何中的点和直线的表示5. 二次曲线的方程及其性质四、概率与统计1. 随机事件的概念和概率计算2. 条件概率和独立事件3. 离散型和连续型随机变量及其概率分布4. 统计方法和统计图表的应用5. 样本调查和总体参数估计五、导数与微分1. 函数的极限和连续性2. 导数的定义和性质，包括可导性、导数的和差、函数乘积和函数商的导数运算法则3. 导数的应用，如函数的单调性、极值、凹凸性等4. 高阶导数和隐函数求导5. 微分的概念和微分中值定理六、数列与数学归纳法1. 数列的定义和常见数列的表示2. 数列的递推公式和通项公式3. 等差数列和等比数列的性质与求和公式4. 数学归纳法的原理和应用5. 递归数列和数列极限以上仅是高二数学中的主要知识点，通过学习掌握这些知识点，学生能够进一步提升数学思维能力和问题解决能力，为高考和未来的职业发展打下坚实的数学基础。
高中数学空间几何体知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)
（ 7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征： ①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） 俯视图（从上向下）
；侧视图（从左向右） 、
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
B．
C． D．
29．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A． 1 B． C． D． 30．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 是（ ）
，则正视图中的 x 的值
A． 2 B． C． D．3
31．将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD=a，则三棱锥 D﹣ ABC 的体积为（ ）
设三棱锥 F﹣ADE 的体积为 V 1，三棱柱 A 1B1C1﹣ ABC 的体积为 V 2，则 V 1：
V2=
．
39．如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，
记圆柱 O1O2 的体积为 V 1，球 O 的体积为 V 2，则 的值是
．
40．若某几何体的三视图（单位： cm3．
（ 1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角 α的最大值是多少； （ 2）现需要倒出不少于 3000cm3 的溶液，当 α=60°时，能实现要求吗？请说明 理由． 47．如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线 EG， E1G1 的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、 玻璃棒粗细均忽略不计） （ 1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1 上，求 l
中职高二数学知识点总结大全
中职高二数学知识点总结大全数学是一门理论性和实践性相结合的学科。
在中职高二阶段的学习中，数学是一门重要的学科之一。
为了帮助学生更好地掌握和应用数学知识，以下是中职高二数学知识点的全面总结。
一、代数与函数1. 多项式和因式分解2. 分式与分式方程3. 二次函数与一元二次方程4. 指数与对数5. 不等式与绝对值二、平面几何1. 直线与角2. 三角形与相似三角形3. 三角函数与三角恒等式4. 圆与圆的性质5. 平行线与比例三、立体几何1. 空间几何体的性质2. 空间几何体的计算3. 空间几何体的相交关系4. 空间几何体的投影与视图四、概率与统计1. 随机事件与概率2. 离散型随机变量与分布3. 连续型随机变量与分布4. 统计图与数据分析五、导数与微分1. 导数的概念与性质2. 平均速率与瞬时速率3. 极限与连续4. 微分与微分中值定理六、积分与不定积分1. 不定积分的定义与性质2. 牛顿—莱布尼兹公式3. 定积分的定义与性质4. 积分的应用七、解析几何1. 平面直角坐标系和向量2. 空间直角坐标系和向量3. 线性方程组与矩阵4. 空间平面与线面平行垂直关系八、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质2. 等差数列与等比数列3. 通项公式与求和公式4. 数学归纳法及其应用九、复数与二次型1. 复数的概念与性质2. 复数的运算3. 二次型的概念与性质4. 二次型的应用十、三角变换与解三角形1. 三角函数的基本关系2. 三角函数的图像与性质3. 三角恒等变换与解三角方程4. 三角变换的应用以上是中职高二数学知识点的全面总结。
在学习中，建议同学们要注重理解概念，掌握基本方法和技巧，并灵活运用于解题过程中。
希望这篇知识点总结对你的数学学习有所帮助！。
中职高一高二数学知识点
中职高一高二数学知识点一、函数与方程1. 直线函数：y = kx + b2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c3. 指数函数：y = a^x4. 对数函数：y = loga(x)5. 三角函数：sin(x), cos(x), tan(x)二、数列与数学归纳法1. 等差数列：an = a1 + (n-1)d2. 等比数列：an = a1 * r^(n-1)3. 通项公式与求和公式4. 数学归纳法的原理与应用三、圆的相关知识1. 圆的面积：S = πr^22. 圆的周长：C = 2πr3. 弧长与扇形面积4. 圆心角与弧度制5. 切线与切点四、三角函数与三角方程1. 三角函数的定义与性质2. 三角函数的图像和周期性3. 三角函数的基本关系式4. 三角方程的解法与特殊角解五、概率与统计1. 随机事件与概率2. 事件的独立性与互斥性3. 排列与组合4. 离散型随机变量与概率分布5. 统计图表的制作与数据分析六、立体几何1. 二维图形的面积与周长计算2. 三维几何体的表面积与体积计算3. 平行线与平面的性质4. 空间几何体的相交关系5. 空间中的投影与旋转七、解析几何1. 坐标系与坐标变换2. 直线与曲线的方程3. 平面与空间中的点、直线、面的位置关系4. 椭圆、双曲线与抛物线的性质5. 参数方程与极坐标方程八、指数与对数1. 指数的运算规律与性质2. 对数的定义与性质3. 指数方程与对数方程的解法4. 指数增长与指数衰减5. 对数函数与指数函数的图像与性质九、导数与微分1. 函数的极限与连续性2. 对函数的导数定义与计算3. 导数的几何与物理意义4. 基本函数的导数与常用导数公式5. 高阶导数与隐函数微分十、不等式与线性规划1. 线性不等式与线性规划的基本概念2. 一元一次不等式与一元一次线性规划3. 一元二次不等式与一元二次线性规划4. 多元不等式与多元线性规划5. 不等式与线性规划的实际问题应用以上是中职高一高二数学的主要知识点，通过系统学习和练习这些知识，能够建立起对数学的基本理解和应用能力，为更高年级的学习打下坚实的基础。
职高几何知识点总结大全
职高几何知识点总结大全第一部分：平面几何1. 点、线、面的基本概念2. 直线、线段、射线的定义、性质和表示方法3. 角的概念、度量和分类4. 三角形的分类及性质5. 四边形的分类及性质6. 多边形的分类及性质7. 圆的基本属性和相关定理8. 平行线与平行四边形的性质9. 等腰三角形、等边三角形的性质10. 相似三角形的性质和判定方法第二部分：立体几何1. 空间几何体的基本概念2. 正方体、长方体、正方体、三棱柱的特征及性质3. 圆柱、圆锥、球的特征及性质4. 空间图形的投影5. 空间几何体的表面积和体积计算方法6. 空间几何体的展开图和几何体展开式第三部分：向量与坐标1. 向量的定义、相等与相反、共线与平行2. 向量的加法、减法和数乘运算规律3. 向量的数量积与夹角4. 向量的坐标表示及性质5. 直角坐标系和极坐标系的相互转化6. 坐标平移、旋转和对称变换第四部分：解析几何1. 直线的方程及性质2. 圆的方程及性质3. 解析几何中的平移、旋转和对称变换4. 直线与圆的位置关系5. 直线与直线的位置关系6. 圆与圆的位置关系7. 画图题的解题方法第五部分：几何证明1. 几何定理的证明方法2. 几何定理的综合运用3. 几何定理的举例说明4. 几何证明题的分析和解题方法第六部分：几何辅助工具1. 三角尺、圆规、量角器的使用2. 分度尺的使用3. 图示纸的使用4. 几何画图中的注意事项和方法总结一下，以上就是职业高中几何知识点的一个详尽总结。
通过对这些知识点的学习和掌握，我们可以对平面几何、立体几何、向量与坐标、解析几何、几何证明和几何辅助工具等方面有一个更加深入的了解，为我们的学习和工作打下坚实的基础。
希望以上内容对各位同学有所帮助，祝大家在学习中取得好成绩！。
职高数学第九章立体几何习题和答案解析
职高数学第九章立体几何习题和答案解析立体几何是数学中的一个重要分支，也是职高数学课程中的一大门类。
在职高数学的第九章中，我们将学习关于立体几何的基本概念、性质以及应用。
为了帮助同学们更好地掌握这一章节的知识，本文将提供一些与立体几何相关的习题，并对每个习题的答案进行详细解析。
1. 问题描述：已知一个正方体的棱长为5cm，求其表面积和体积。
解析：正方体的表面积等于六个面的面积之和，每个面的面积等于边长的平方。
所以正方体的表面积为6 * (5cm)^2 = 150cm^2。
正方体的体积等于边长的立方，所以正方体的体积为(5cm)^3 = 125cm^3。
2. 问题描述：一个圆柱体的底面半径为3cm，高为8cm，求其体积和侧面积。
解析：圆柱体的体积等于底面积乘以高。
底面积等于圆的面积，即π * r^2，其中π取近似值3.14。
所以圆柱体的体积为3.14 * (3cm)^2 *8cm ≈ 226.08cm^3。
圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高，底面周长等于圆的周长，即2 * π * r。
所以圆柱体的侧面积为2 * 3.14 * 3cm * 8cm ≈ 150.72cm^2。
3. 问题描述：一个圆锥的底面半径为4cm，高为6cm，求其体积和侧面积。
解析：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3。
底面积等于圆的面积，即π * r^2。
所以圆锥的体积为1/3 * 3.14 * (4cm)^2 * 6cm ≈100.48cm^3。
圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线的长度，底面周长等于圆的周长，即2 * π * r，母线的长度可以用勾股定理计算，即√(r^2 + h^2)。
所以圆锥的侧面积为3.14 * 4cm * √((4cm)^2 + (6cm)^2) ≈97.44cm^2。
4. 问题描述：一个球体的半径为5cm，求其体积和表面积。
解析：球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方，即4/3 * 3.14 * (5cm)^3 ≈ 523.33cm^3。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常考知识点及相应习题汇总一、棱锥1、正三棱锥定义：正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
性质：1． 底面是等边三角形。
2． 侧面是三个全等的等腰三角形。
3． 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。
4. 常构造以下四个直角三角形（见图）：说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。
在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。
其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。
练习1：1、三棱锥A—BCD 的棱长全相等, E 是AD 中点, 则直线CE 与直线BD 所成角的余弦值为( ) (A)63 (B)23 (C)633 (D)212、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ( ) A ． B ．2 C D ．3、侧棱长为2a 的正三棱锥其底面周长为9a ，则棱锥的高为 （ ）A 、 aB 、 2aC 、 2aD 、27a4、如图为正三棱柱的平面展开图，该正三棱柱的各侧面都是正方形，对这个正三棱柱有如下判断：①11//BC AB ； ②1AC 与BC 是异面直线； ③1AB 与BC 所成的角的余弦为42；④1BC 与C A 1垂直. 其中正确的判断是_______.5、在正三棱锥P ABC -中，6,5AB PA ==。
（1）求此三棱锥的体积V ；（2）求二面角P AB C --的正弦值。
6、正三棱锥V-ABC 的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。
求（1）棱锥的侧棱长 （2）侧棱与底面所成的角的正切值。
2、正四面体定义：正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。
它有4个面，6条棱，4个顶点。
正四面体是最简单的正多面体。
正四面体与正三棱锥的关系：正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四个面全等且都是等边三角形。
因此，正四面体又是特殊的正三棱锥。
性质：练习2：1、在正四面体ABC P -中，如果E F 、分别为PC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与PA 所成的角为 ( ) (A)090 (B)060 (C)045 (D)0303、正四棱锥定义：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形且有公共顶点，顶点在底面的投影是底面的中心。
三角形的底边就是正方形的边。
性质： （1）正四棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）； （2）正四棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；（3）正四棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等； （4）正四棱锥的侧面积：如果正棱锥的底面周长为c ，斜高为h’，那么它的侧面积是 s=1/2ch‘练习3：1、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为2:6，则侧面与底面的夹角为（ ）。
（A ）12π（B ）6π（C ）4π（D ）3π2、 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( )(A) 各侧面是正三角形 (C) 各侧面三角形的顶角为45度(B)底面是正方形 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 3、如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4、在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成 角的正切值为 ；5、若正四棱锥所有棱长与底面边长均相等，求①斜高与棱锥高之比②相邻两个侧面所成二面角的大小。
4、棱锥定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
概念：棱锥的底面、棱锥的侧面、棱锥的侧棱、棱锥的顶点、棱锥的高、棱锥的对角面; （棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面）性质：1．棱锥截面性质定理及推论定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。
推论1：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。
推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。
2．一些特殊棱锥的性质侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心（外心），同时侧棱与底面所成的角都相等。
侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心（内心），且各侧面上的斜高相等。
如果侧面与底面所成角为α，则有S 底=S 侧cosα。
练习41、三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，ABC ∆是直角三角形，则三棱锥的三个侧面中直角三角形有 （ ） (A)２个 (B)３个 (C)至多２个 (D)２个或３个2、正n 棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面所成二面角的度数为 （ ） (A)3π (B)2π (C)6π(D)与n 的取值有关 3、如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三部分体积（自上而下）为1:8:27，则这时棱锥的高被分成上、中、下三段之比为 （ ） （A ） 1:)12(3-:)23(33- (B) 1:32:33 (C)1:21:31(D)1:1:1 4、已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为 ( )A.2∶ 1B.2∶ 1C.1∶ (2-1)D.1∶ (32-1)5、三棱锥V-ABC 的三条侧棱两两为300角，在VA 上取两点M 、N ，VM ＝6，VN ＝8，用线绳由自M 向N 环绕一周，线绳的最短距离是 .6．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 为PC 中点．（1）求证：PA ∥平面EDB ．（2）求EB 和底面ABCD 成角正切值．7．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=2a ，AB=a ，∠ABC=60°（1）求证平面PDC ⊥平面PAC ． （2）求异面直线PC 与BD 所成的角的余弦值．8、AB 为圆O 的直径，圆O 在平面α内，SA ⊥α，∠ABS=30o,P 在圆周上移动（异于A 、B ），M 为A 在SP 上的射影，(Ⅰ)求证：三棱锥S —ABP 的各面均是直角三角形； （Ⅱ）求证：AM ⊥平面SPB ；9、三棱锥V －ABC 的底面是腰长为5底边长为6的等腰三角形，各个侧面都和底面成450的二面角，求三棱锥的高．PDABCEA BCDP习题答案：练习1：1.A 2.C 3.A 4. ②③ 5.3936、解：（1）过V 点作V0⊥面ABC 于点0，VE ⊥AB 于点E∵三棱锥V —ABC 是正三棱锥 ∴O 为△ABC 的中心则OA=a a 332332=⨯，OE=a a 632331=⨯ 又∵侧面与底面成60°角 ∴∠VEO=60° 则在Rt △VEO 中；V0=OE ·tan60°=2363aa =⨯ 在Rt △VAO 中，VA=6211273422222aa a a AO VO ==+=+ 即侧棱长为a 621 练习2：1.C练习3：1.D 2.A 3.C 4. 2 5、（1）3∶2 ；（2）π-arccos31； 练习4：1、D 2、A 3、D 4、D 5．10 6、（2）55arctan 7．（2）73arccos 8、略9、解：过点V 作底面ABC 的垂线，垂足为O∵各个侧面和底面成450的二面角 ∴点O 为三角形ABC 的内心 设OD ＝x ，则有4621)655(21⨯⨯=++x ∴x ＝23∴三棱锥的高VO 为23CAV二、棱柱定义：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面。
分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，画斜棱柱时，一般将侧棱画成不与底面垂直。
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。
画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂直。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。
直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。
长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体。
对角线的求法：由棱柱的三条棱长的平方的和的开方。
性质： 1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。
2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。
3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
4）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。
练习题：1．如图：在正三棱柱111C B A ABC -中，1BB E ∈，截面11AC EC A 侧面⊥.① 求证：1EB BE =；② 若111B A AA =，求平面EC A 1与平面111C B A 所成锐二面角的度数.2．已知三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为1的正三角形，ο451111=∠=∠C AA B AA ，顶点A 到底面111C B A 和侧面C B 1的距离相等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积．3、在正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AA 1=AB=a ，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点.(Ⅰ)求证：DF ‖平面ABC ；（Ⅱ）求证：AF ⊥BD ；4． 已知：如图，直棱柱ABC －A’B’C’的各棱长都相等，D 为BC 中点，CE ⊥C’D 于E （1）求证：CE ⊥平面ADC’ (2)求二面角D －AC’－C 的平面角的大小E DA'B'C'AB5、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=23，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ； （2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.6、在直三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，BC=A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点。