多边形内外角和
多边形的外角和
B. 6
C. 7
D. 8
解析：正多边形的每一个外角相等，为 180°-135°=45°，而多边形的外角和等于
360°，则正多边形边数为： 360 ° ÷45 ° =8
能力提升
1.若一个多边形的每一个内角都是108，
则这个多边形的边数是（ A ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
课时小结
1.多边形的外角及外角和的定义； 2.多边形的外角和等于360°； 3.在探求过程中我们使用了观察、归纳的数学
奔跑吧，少年！
傍晚，小明沿一个五边形广场周围的小路，
按逆时针方向跑步。
问题来了……
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪 个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
外角定义
已知△ABC，你能画出∠A的外角吗？
∠A的一边与另一边的反向延长线
2
1
所组成的角叫做∠A的外角
问题解决
1 ＋ 2＋ 3＝ ?结论：任意三角形角和等于360°问题解决
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝ ?
结论：任意四边形的外角和等于360°
问题解决
1 ＋ 2＋ 3 ＋ 4＋ 5 ＝ ?
结论：任意五边形的外角和等于360°
探索研究
多边形的外角和定理：
∠1和∠2有什么关系呢？ 什么叫做△ABC的外角和？ 在三角形的每一个顶点处取一个外角，他们的和叫 做三角形的外角和
外角和定义
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的
角叫做这个多边形的外角 在每个顶点处取这个多边形的一
个外角，它们的和叫做这个多边形的
外角和
一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方 向可作外角
多边形的外角和
多边形的外角和例题讲解(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°.③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°.(3)拓展理解：①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．解技巧多边形的内角与相邻外角的关系的运用同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．【例1】填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．解析：(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个内角都是120°，进而得到内角和是720°)；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但外角和不变．多边形外角、外角和公式的应用多边形外角和是360°，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360°，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数．同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换．破疑点多边形外角和与外角的关系多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，是360°，而多边形所有外角的和是360°的2倍，是720°，这点要注意．【例2】如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.解析：方法一：根据同顶点的外角和内角互为邻补角，求出已知角的邻补角．根据四边形内角和为360°，求出∠A；方法二：根据四边形外角和为360°，求出与∠A同顶点的邻补角(A点处的外角)，再求出∠A.答案：125°【例3】如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于()．A．140°B．40°C．260°D．不能确定解析：方法一：因为四边形内角和是360°，且∠B＋∠ADC＝140°，所以∠DAB＋∠DCB＝220°，∠1＋∠2＋∠DAB＋∠DCB＝180°×2，所以∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法二：可求出与∠B，∠ADC同顶点的两外角和为220°，根据四边形外角和是360°，得出∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法三：连接BD，根据三角形一个外角等于和它不相邻的两内角和，求出∠1＋∠2的度数．答案：A【例4】一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．分析：方法一：可设这个多边形的边数为n，那么内角和就是(n－2)×180°，因为每一个内角都是144°，所以内角和为144°×n，根据“表示同一个量的两个式子相等”列方程解出；方法二：因为每一个内角都等于144°，所以每一个外角都是36°.根据多边形外角和为360°，用360°÷36°＝10，也可以得出这个多边形为十边形．解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×144°，解得n＝10.答：这个多边形的边数为10.。
6.4.2多边形的外角和
巩固练习
3.如图所示,根据图中的对话回答问题. (1)内角和为2015°,小明为什么说不可能? (2)小华求的是几边形的内角和? (3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗?
从n边形的一个顶点可以引出对角线条数= n-3
一顶点引对角线可将n边形分成三角形个数= n-2
n边形的内角和=（n-2）180°
n 2 1800
正n边形每个内角的度数=
n
n≥3且 n为整数
回顾思考
1.什么是多边形的外角？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线 外角
所组成的角叫做这个多边形的外角。
巩固练习
已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2， 求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,
根据题意得 7x+2x=180°，
解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形.
还有其他 解法吗？
巩固练习
∠5+∠DEA=180°，
1A
B
5
2 C3
E 4
D
∴∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5=5×180°-(5-2) ×180°=360°
活动探究
如果广场是六边形、八边形、n边形那会是什么结果？ 解： 六边形： ∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6=6×180°-(6-2) ×180°=360° 八边形： ∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6+∠7＋∠8=8×180°-(8-2) ×180°=360° n边形： ∠1+∠2＋…＋∠（n-1）＋∠n=n×180°-(n-2) ×180°=360°
初中数学：多边形的内角和与外角和题型总结
1、多边形的内角和等于（n-2）180˚，n是多边形的边数。
2、多边形的外角和等于360˚。
这两个结论的证明也比较简单，在这里简单说明一下。
1、一个多边形，边数为n，将一个顶点与其它顶点相连，可以把这个多边形分割成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是360˚，所以多边形的内角和就是（n-2）180˚。
2、一个多边形，边数为n，每一个内角和它相邻的外角构成一个平角，n条边就构成n 个平角。
外角和就等于n个平角减去多边形的内角和，也就是360˚。
这两个知识在考查时，主要有四种类型，我们来看一下。
1、考查多边形边数和内角和的关系。
这类型题主要是知道边数求出内角和，或者知道内角和求出边数。
第（1）题，知道边数，求内角和。
第（2）题，知道内角和，求边数。
第（3）题，稍微复杂，两个多边形，知道边数之比和内角和之比，列方程求出边数。
第（4）、（5）、（6）题，稍为复杂，知道边数，先求出内角和，再去求多边形中的某个内角。
这些题型都比较简单。
这里还有一道题比较复杂一点，同学们可以尝试做一下。
2、外角和与内角和相结合这类型的关键点是，要知道多边形的内角和是隐藏的已知量，它等于360˚。
这类题型都是根据多边形内角和与外角和的关系，列一个方程，求出边数。
3、多边形，少一个角，其余内角和是一定值。
这种题型，运用到了不等式，是一个难点和重点。
它的运用的知识是，多边形的一个内角，它的取值范围是大于0，小于180。
除去的这个角的度数等于内角和减去其余内角和，据此，可以列一个不等式组，进行求解。
下面有练习，大家可以试一下。
4、正多数形正多边形的内角相等，边相等。
考查类型，1、知道边数，求内角；2、知道内角，求边数；3、知道外角，求边数。
在考试中，经常考察的方式是这样的。
多边形的外角和
多边形的外角和多边形是指由若干个直线段围成的封闭图形，其中每个角都是两条相邻边之间的夹角。
除了内角之外，多边形还有一种特殊的角——外角。
在本文中，我们将探讨多边形的外角及其特性。
一、多边形的外角定义在多边形中，如果一个角的顶点在多边形的外部，而角的两条边分别与多边形的两条相邻边相交，那么这个角就是多边形的外角。
多边形的每个角都有一个对应的外角。
二、多边形外角的性质1.外角与内角的关系多边形的外角和对应内角的两条边是同一直线上的角，它们的和等于180度。
也就是说，对于任意一个多边形的外角A，它所对应的内角B满足以下关系：∠A + ∠B = 180度2.多边形外角的度数对于n边形（n≥3），它的外角度数等于360度除以n。
也就是说，对于一个n边形的每个外角A，它的度数满足以下关系：∠A = 360度 ÷ n3.多边形的所有外角之和一个n边形的所有外角之和等于360度。
也就是说，对于一个n边形，它的所有外角A1、A2、A3…An满足以下关系：∠A1 + ∠A2 + ∠A3 + … + ∠An = 360度三、多边形外角的应用举例1.正多边形的外角正多边形是指所有边的长度相等且所有角的度数相等的多边形。
对于正n边形（n≥3），它的每个外角的度数可以通过以下公式计算：∠A = 360度 ÷ n例如，对于正五边形，它的外角的度数为360度 ÷ 5 = 72度。
2.求多边形的内角已知一个多边形的外角度数为x度，要求计算该多边形的内角度数。
根据前面提到的性质，可以得到以下公式：∠B = 180度 - ∠A其中，∠B表示多边形对应外角的内角度数。
3.判断多边形类型通过多边形的外角性质，我们可以利用这一特点来判断多边形的类型。
例如，如果一个多边形的外角度数都相等，则可以判断它是正多边形。
如果一个多边形的外角度数递增或递减，则可以判断它是凸多边形或凹多边形。
四、总结多边形的外角是与多边形内角相对应并位于多边形外部的角。
多边形外角和等于360度讲解
多边形外角和等于360度讲解多边形是几何学中最基本的图形之一，它是由直线段相连而形成的封闭图形。
在多边形中，每个角可以分为内角和外角，而这两个角的和有一个很特殊的性质：无论多边形有多少边，所有外角的和始终等于360度。
要理解多边形外角和等于360度的原因，我们需要先了解一些基础概念。
多边形由直线段连接而成，而每条直线段都可以看作是形成多边形的一条边。
当我们沿着多边形的每一条边走过时，我们可以观察到一个外角形成。
接下来，让我们以一个具体的例子来讲解这个概念。
我们来看一个三角形，它是由三条边相连而成的多边形。
在三角形中，我们可以观察到三个不同的外角。
假设这三个外角的度数分别为A、B、C。
根据性质，我们知道这三个外角的和等于360度。
为了证明这一点，我们可以通过以下步骤进行计算：首先，我们将三角形平移到一个平面上，并将其中一个角放到原点，然后我们用一条直线将剩余的两条边延长，形成两个角。
通过测量这两个角的度数，我们可以得出它们的和，假设为α和β。
接下来，我们观察到三角形的每个角与外角的度数之和等于180度（即补角定理）。
因此，假设另外两个角的度数分别为γ和δ，则我们可以得出以下等式：α+γ=180度，β+δ=180度。
再根据我们的假设，三个外角的度数之和为A+B+C=360度。
我们可以得到两个等式：α+β+A=360度，γ+δ+B=360度。
接着，我们将这两个等式合并，并利用前面的等式α+γ=180度和β+δ=180度，可以得到以下结果：(α+γ)+(β+δ)+A+B=360度+360度。
最后，根据等式α+γ=180度和β+δ=180度，我们可以继续简化等式，得到以下结果：180度+180度+A+B=360度+360度。
通过合并项，我们可以得到最后的结果：360度+A+B=360度×2。
进一步化简，我们可以得到：360度+A+B=720度。
最后，通过转换，我们得到了A+B=360度。
通过上述步骤的分析，我们可以看到，即使在三角形中，所有外角的和也等于360度。
多边形的外角和
• 解:因为∠1= ∠A+∠B, ∠2= ∠C+ ∠D,
• ∠3= ∠E+ ∠F,
• ∠4= ∠G+ ∠H, • 所以∠A+ ∠B+ ∠C+
∠D+ ∠E+ ∠F+∠G+ ∠H= ∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4=360o
7.如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15度，
1 3
2
1
2
4
3
1
2
5
34
1
2
6
3
5
4
多边形的外角和
多边形的外角和
3×180o-(3-2)×180o=360o 4×180o-(4-2)×180o=360o
5×180o-(5-2)×180o=360o
6×180o-(6-2)×180o=360o
n×180o-(n-2)×180o=360o
多边形外角和公式 • 多边形的外角和等于360°
0
• 5. 若多边形的每个内角与相邻外角的比都
是3∶2，求这个多边形的每个外角为多少 度？它是几边形？
解:设这个多边形的每个内角与相邻外角的度数
分别为 3x˚、2x˚.
则 3x+2x= 180. x=36
∴
2x=72.
360˚÷72˚ = 5
答 : 这个多边形的每个外角为72˚，它是五边形。
6.如图，求出∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+
• 8.是否存在一个多边形，它的每个外角 都等于相邻内角的1\5？为什么？
解：设它的外角为X度.则它的内角为5X度 依题意得：
什么是多边形的内角和外角和
什么是多边形的内角和外角和？
多边形是指由多个线段连接而成的封闭图形。
每个多边形都由一系列顶点和边组成。
在多边形中，内角和外角是两个重要的概念。
下面将分别介绍多边形的内角和外角的定义、性质和计算方法。
1. 多边形的内角：
多边形的内角是指多边形内部两条相邻边所夹的角度。
在一个n边形中，内角的总和等于(n-2) * 180°。
具体地，每个内角的度数可以通过以下公式计算：
内角度数= (n-2) * 180° / n
多边形的内角性质：
-内角和定理：在一个n边形中，内角的和等于(n-2) * 180°。
-内角的平均值：在一个n边形中，每个内角的平均值等于(n-2) * 180° / n。
2. 多边形的外角：
多边形的外角是指多边形内部一条边的延长线与另一条边所夹的角度。
在一个n边形中，外角的总和等于360°。
具体地，每个外角的度数可以通过以下公式计算：
外角度数= 360° / n
多边形的外角性质：
-外角和定理：在一个n边形中，外角的和等于360°。
-外角与内角关系：在一个n边形中，外角和对应的内角之和等于180°。
多边形的内角和外角计算方法：
-已知内角求外角：通过内角和定理，可以根据内角的个数计算外角的度数。
-已知外角求内角：通过外角和定理，可以根据外角的个数计算内角的度数。
通过掌握多边形的内角和外角的定义、性质和计算方法，我们可以在几何中计算多边形的内角和外角，并在实际问题中应用这些概念进行推导和解题。
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，（
2.如果一个多边形的内角和等于它的外角和， n 这个多边形的边数是（ B ）． A．3 B．4 C．5 D．6 3.如果一个多边形的每一个内角都相等，且内角与 外角之比为5：1，那么这个多边形的边数是（ B） A．10 B．12 C．14 D．15
4．凸五边形的内角中最少应有（ B ）钝角. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7, 一个多边形的各个内角都相等，每个内角与每个外角 的差为，那么这个多边形是（ ）． A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
1，如果一 个多边形的 边数增加1， 1 它的内 角和增加 ，求这个 10 多边形 的边数？ 2，一个多 边形除一个 内角外， 其余内 角和是2570 ，求这个 内角？ 3，多边形 每个内角都 等于120， 则从此 多边形一个 顶点出发可 引的 对角线 有几条？
(1)有一张长方形的桌面，它的内角和为 3600，现在锯掉它的一个角，剩下残余 桌面所有的内角和是多少度？ (2) 一个多边形截去一个角（截痕不过 顶点）后，形成的新多边形的内角和 为25200，求原多边形的边数。
(3)．一个同学在进行多边形内角和计算时， 求得的内角和为 ，当发现错了之后， 重新检查，发现少加了一个内角. 问：这个内角是多少度？多边形的边数是多少？
解：设一个外角为x°， 则内角为（x＋36）° 根据题意得： x+x+36＝180 x＝72 360÷72＝5 答：这个正多边形为正五边形。
小结： 1、本节课我们通过把多边形划分
为若干个三角形，用三角形内角和去求 多边形内角和，从而得到多边形的内角 和公式为（ｎ－２）× 180°。这种化 未知为已知的转化方法，必须在学习中 逐渐掌握。 2、多边形的边数每增加一边，内角 和增加180度，而外角和不变。由于多 边形外角和数值较小且固定不变，所以 常用多边形外角和来解决有关问题。
解答：设这个角为 有： 而 ∴ ∴ ∴ ∴ 这个内角为 ，这个多边形为9边形 ， ，这个多边形为n边形，根据题意，
，
20
5,若凸多边形的边数由3增加到
n
）． D．不能确定
n 是正整数），则其外角和的度数（
A．增加 B．减少 C．不变
6, 一个多边形的各个内角都相等，并且多边形的内角和 是，那么这个多边形的每一外角是（ ）． A．20 0 B．400 C．600 D．800
多边形的表示方法
A D E
A
B 四边形ABCD C B
D
C …
五边形ABCDE
多边形的分类：
凸多边形；凹多边形
正多边形：
正三角形：
如果三角形的各边都相等，各内角都相 等，则称为正三角形（等边三角形）。
正多边形：
如果多边形的各边都相等，各内角都 相等，则称为正多边形。
四边形的内角、外角、对角线
内 外 B C E 那么: 五边形的内角、外角、对角线 分别是什么情况呢？ n边形呢? F 角: ∠A、 ∠B、 ∠C、 ∠D 共有4个内角 角: ∠BCE、 ∠ DCF、 ···· ··· 共有8个外角
练习
1、填空：
1440° (1)十边形的内角和是________，
外角和是_________； 360° 如果十边形的各个内角都相等，
144° 那么它的一个内角是_________.
(2)已知一个多边形的内角和是2160°， 14 则这个多边形的边数是_______. （3）十边形共有 35 条对角线。
第四章
§7.2 多边形的内 角和与外角和
大贾中学
毛炳强
多边形的概念
四边形:
由不在同一直线上的 四条线 段首位顺次连结组成的平面图 形叫四边形
五边形:
由不在同一直线上的五 条线段首位顺次连结组 成的平面图形叫五边形
什么叫多边形？
由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组 成的平面图形，记为n边形，又称为多边形
多边形的边数 ３ ４ ５ ６ ７ … … ｎ
n× 180°
多边形的内角与 外角的总和
多边形的内角和
540° 720°900°1080° 1260° 180° 360° 540°720°900° 360° 360°360°360°360°
… （n－2）×180° …
360°
多边形的外角和
任意多边形的外角和都为 360°
解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°
＝1080°
答：八边形的内角和为1080°。
例2：一个多边形的内角和等于 2340°，求它的边数。
解：设这个多边形边数为n， 根据题意得： （n－2）×180＝2340 所以 n＝15 答：这个多边形为15边形。
例3：一个正多边形的一个内角为150°，
思考：n边形的n个外角中最多有几个钝角？
n边形的n个内角中最多有几个锐角？
多边形的对角线
H A G
观察：
1、n边形共有几个顶点？ 2、过n边形的一个顶点共 F 可以作几条对角线？
B C
D
E
(8－3)×8÷2＝20
八边形的对角线条数为 n 边形的对角线条数为
n(n 3) 2
例1：求八边形的内角和的度数。
你知道它是几边形吗？
解：设这个多边形为n边形，根据题意得： （n－2）×180＝1５0n n＝12 答：这个多边形是12边形。 另解：由于多边形外角和等于360°
而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°，
所以这个正 多边形的边数等于
360°÷30°＝12。
例4：一个正多边形的每个内角都比相邻 外角大36°求这个多边形的边数。
A
D
对角线: AC、BD两条
多边形的内角和
多 边 形 的 边 数 从一个顶点引对角线 分成三角形的个数 多边形的内角和
3 1
4 2
5 3
பைடு நூலகம்6 4
7 5
… …
n n－2
180°360°540° 720° 900°
… （n－2）
×180°
n边形的内角和＝（n－2）· 180°
多边形的外角和:
多边形的外角和