湖南省长沙市高二上学期数学期中考试试卷
湖南省长沙市高二上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2019高二上·砀山月考) 已知一直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为（）
A . -6
B . -4
C . 2
D . 6
2. （2分）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（）
A .
B .
C . 4
D .
3. （2分） (2016高二上·仙桃期中) 点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC=BD，且AC与BD成90°，则四边形EFGH是（）
B . 梯形
C . 正方形
D . 空间四边形
4. （2分）下列命题中：
①若A∈α，B∈α，C∈AB，则C∈α；
②若α∩β=l，b⊂α，c⊂β，b∩c=A，则A∈l；
③A，B，C∈α，A，B，C∈β且A，B，C不共线，则α与β重合；
④任意三点不共线的四点必共面．
其中真命题的个数是（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
5. （2分）直线经过点（）
A . (3，0)
B . (3，3)
C . (1，3)
D . (0，3)
6. （2分）三棱锥P-ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H一定为△ABC的（）
A . 垂心
C . 内心
D . 重心
7. （2分）已知P（﹣1，2），过P点且与原点距离最大的直线的方程是（）
A . x+2y﹣5=0
B . 2x﹣y+5=0
C . x﹣2y+5=0
D . 2x+y﹣5=0
8. （2分）下列命题不正确的是（）
A . 若如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直
B . 若一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行
C . 若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行
D . 若两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直
9. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 直线与圆相切，则的最大值为（）
A . 1
B .
C .
D .
10. （2分） (2017高一上·珠海期末) 空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）
A . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥β
B . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥β
C . 若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥b
D . 若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b
二、填空题 (共6题；共6分)
11. （1分） (2017高一下·扶余期末) 过两点A ，B 的直线l的倾斜角为45°，则m＝________．
12. （1分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P，若AB的中点为C，则|PC|=________．
13. （1分） (2016高三上·嵊州期末) 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的棱长为________．
14. （1分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，则球的表面积是________．
15. （1分）如图，在四面体ABCD中，已知AB=2，BC=1，AD=3，CD=4且AD⊥AB，BC⊥AB，则二面角C﹣AB ﹣D的余弦值为________．
16. （1分）(2016·嘉兴模拟) 如图，直线平面，垂足为，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)
的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为________．
三、解答题 (共4题；共50分)
17. （5分）在△ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB为轴将三角形旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积与体积．
18. （15分）(2018·株洲模拟) 如图，在四棱锥中，，且 .
(Ⅰ)证明：平面平面；
(Ⅱ)若 ,求二面角的余弦值.
19. （15分）(2019·广东模拟) 如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若 ,证明：平面
20. （15分） (2018高三上·酉阳期末) 已知，，动点P满足，其中
分别表示直线的斜率，t为常数，当t=-1时，点P的轨迹为；当时，点P的轨迹为．（1）求的方程；
（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线l，使得成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共4题；共50分) 17-1、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
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湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
2024年下学期期中检测试题高二数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 满足6786a a a ++=，则7a 等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质进行求解.【详解】 6787736,2a a a a a ++==∴=故选：B2.若圆224820x y x y m +-++=的半径为2，则实数m 的值为（）A.-9B.-8C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由224820x y x y m +-++=，得22(2)(4)202x y m -++=-，所以2r ==，解得8m =.故选：D.3.若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.1x =-B.1x =C.2x =D.2x =-【答案】D 【解析】【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.4.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[)0,50、[)50,100、[)100,150、[)150,200、[)200,300和[]300,500六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）．A.这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.从2日到5日空气质量越来越好C.这14天中空气质量指数的中位数是214D.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B 【解析】【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A 选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A 选项错误；B 选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B 选项正确；C 选项：这14天中空气质量指数的中位数是179214196.52+=，C 选项错误；D 选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D 选项错误；故选：B.5.已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A.220x -25y =1B.25x -220y =1C.280x -220y =1D.220x -280y =1【答案】A 【解析】【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==，又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上，所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．6.定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数22cos sin ()πcos 22x xf x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则下列表述正确的是（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π2x =对称C.()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 是最小正周期为π的奇函数【答案】C 【解析】【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出()f x 解析式，AB 选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C ；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D.【详解】由题中所给定义可知，22ππ()cos sin 2cos 222cos 223f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π(π)2cos103f ==≠，点(π,0)不是()f x 图象的对称中心，故A 错误；ππ2cos 1223f ⎛⎫=-=-≠± ⎪⎝⎭，直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，故B 错误；π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤⎢⎥-⎣-∈⎦-，2ππ,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是余弦函数的单调递增区间，所以()f x 在区间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；()f x 的最小正周期2ππ2T ==，但(0)0f ≠，所以函数不是奇函数，故D 错误.故选：C7.已知ABC V 中，6AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，则AD =（）A.25B.19C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意可得：1()2AD AB AC =+，结合向量的数量积运算求模长.【详解】由题意可得：16,4,64122AB AC AB AC ==⋅=⨯⨯=uu u r uuu r uu u r uuu r ，因为D 为BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，两边平方得，()22212194AD AB AC AB AC =++⋅=，即AD =uuu r .故选：C.8.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF F Q =，则椭圆C 的离心率为（）A.255B.2C.155D.217【答案】D 【解析】【分析】由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，解得0x 、0y ，代入椭圆方程化简即可求解．【详解】解：由2PF x ⊥轴可得：22||b PF a=，不妨设点2(,)b P c a ，设0(Q x ，0)y ，由11||4||PF F Q =，得032c x =-，204b y a =-，代入椭圆方程得：222291416c b a a+=，结合222a b c =+，化简上式可得：2237c a =，所以椭圆的离心率为7c e a ==，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设i 为虚数单位，下列关于复数z 的命题正确的有（）A.2025i 1=-B.若1z ，2z 互为共轭复数，则12=z z C.若1z =，则z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆D.若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则1m =-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复数的乘方运算得到A 正确；B 选项，设1i z a b =+，2i z a b =-，则12=z z ；C 选项，由复数的几何意义得到C 正确；D 选项，根据纯虚数的定义得到方程，求出1m =-.【详解】对于A ：()()1012101220252i i i 1i i =⋅=-⋅=，A 错；对于B ：令1i z a b =+，2i,,R z a b a b =-∈，1z =，2z =所以12=z z ，故B 正确；对于C ：1z =，故z 的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆，C 正确；对于D ：若复数1(1)i =++-z m m 为纯虚数，则10,10m m +=-≠，即1m =-，故D 正确.故选：BCD10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点（含端点）.则下列结论正确的是（）A.三棱锥11A B D E -的体积为定值B.11EB AD ⊥C.存在某个点E ，使直线1A E 与平面ABCD 所成角为60o D.二面角11E A B A --的平面角的大小为π4【答案】BD 【解析】【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；B.结合正方体的性质，由垂影必垂斜即可判断；C.结合正方体的性质即可判断；D.根据二面角的平面角定义即可判断.【详解】对于选项A ：三棱锥11E AB D -的底面积为定值，高变化，体积不为定值，故选项A 不正确；对于选项B ：1,B E 两点在平面11ADD A 上的射影分别为1,A D ,即直线1B E 在平面11ADD A 上的射影为1A D ，而11A D AD ⊥,根据三垂线定理可得11EB AD ⊥.故选项B 正确；对于选项C ：因为1A A ⊥平面ABCD ,直线1A E 与平面ABCD 所成角为1AEA ∠,当点E 和点D 重合时，1A E 在平面ABCD 射影最小，这时直线1A E 与平面ABCD 所成角θ最大值为π4，故选项C 不正确；对于选项D ：二面角11E A B A --即二面角11D A B A --，因为111DA A B ⊥，111AA A B ⊥，1DA ⊂平面11E AB ，1AA ⊂平面11AA B ，所以1DA A ∠即为二面角11E A B A --的平面角，在正方形11ADD A 中，1π4DA A ∠=，所以二面角11E A B A --的大小为π4，故选项D 正确.故选：BD.11.数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线()32222:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）A.方程()()32222160x y x y xy +=<，表示的曲线在第二和第四象限；B.曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2；C.曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；D.曲线C 上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点）.【答案】AB 【解析】【分析】本题首先可以根据0xy <判断出A 正确，然后根据基本不等式将()3222216x y x y +=转化为224x y +≤，即可判断出B 正确，再然后根据曲线C 构成的面积小于以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积判断出C 错误，最后根据曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2以及曲线C 的对称性即可判断出D 错误.【详解】A 项：因为0xy <，所以x 、y 异号，在第二和第四象限，故A 正确；B 项：因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时等号成立，所以222x yxy ≤+，()()22232222222161642x y x y x y x y ⎛⎫++=≤=+ ⎪⎝⎭，即224x y +≤2£，故B 正确；C 项：以O 为圆心、2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 构成的四叶玫瑰线面积小于圆O 的面积，故C 错误；D 项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2，所以可将()0,0、()2,0、()1,0、()1,1、()0,1、()0,2代入曲线C 的方程中，通过验证可知，仅有点()0,0在曲线C 上，故结合曲线C 的对称性可知，曲线C 仅经过整点()0,0，故D 错误，故选：AB.【点睛】本题是创新题，考查学生从题目中获取信息的能力，考查基本不等式的应用，考查数形结合思想，体现了综合性，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=的交点为A ，B ，则公共弦AB 所在的直线的方程是________.【答案】4410x y -+=【解析】【分析】两圆相减得到公共弦所在的直线的方程.【详解】由题意可知圆22250x y x +--=与圆222440x y x y ++--=相交，两圆方程相减得，2222244441025x x y x y x x y y ++=--+--+--=-，故公共弦AB 所在的直线的方程是4410x y -+=.故答案为：4410x y -+=13.若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n ∈N ，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且12202220220b b b +++= ，则12022b b 的最大值是________.【答案】100【解析】【分析】根据题设易知正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，应用等差数列前n 项和公式得1202220b b +=，应用基本不等式求12022b b 最大值.【详解】由题意，正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，则1n n d b b +=-（d 为常数），所以正项数列{}n b 为等差数列，公差为d ，则()120221220222022202202b b b b b +++==⨯+ ，则1202220b b +=，则2212022120222010022b b b b +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当0122110b b ==时等号成立），所以12022b b 的最大值是100.故答案为：10014.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD 的中心且AB =，设点M ，N 分别为线段PD ，PO 上的动点，已知当AN MN ＋取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为____________．【答案】643π.【解析】【分析】根据题意有=B AN MN N MN BM ≥＋＋,动点M 恰为PD 的中点即4BP BD ==,及可求出PO =，则可求出外接球的半径，方可求出其表面积．【详解】由题意知=B AN MN N MN BM ≥＋＋当BM PD ⊥时BM 最小，因为M 为PD 的中点，故而为PD 的中点，即=4BP BD =，2BO =PO ∴=，设外接球的半径为r ，则22)4r r =+．解得433r =.故外接球的表面积为26443r ππ=.【点睛】本题考查锥体的外接球表面积，求出其外接球的半径，即可得出答案，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，84a =，1122S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值.【答案】（1）320n a n =-（2）-57【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出117,3,a d =-⎧⎨=⎩即可得，（2）由通项公式可求得当6n ≤时，0n a <，从而可得当6n =时，n S 取到最小值，进而可求出其最小值【小问1详解】设数列 的公差为d ，则8111174115522a a d S a d =+=⎧⎨=+=-⎩，解得1173a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)320n a a n d n =+-=-.【小问2详解】令3200n a n =->，解得203n >，所以当6n ≤时，0n a <.故当6n =时，n S 取到最小值，为6161557S a d =+=-.16.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10110S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）199(1)8n n n +-++【解析】【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）29nn b n =+，利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】根据{}n a 为等差数列，设公差为0d ≠.10110S =，即11101045a d =+①，1a ，2a ，4a 成等比数列∴2214a a a =⋅，()()21113∴+=+a d a a d ②，由①②解得：122a d =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.【小问2详解】由232329n a n n n n b a n n =+=+=+，数列{}n b 的前n 项和()()122212999nn n T b b b n =++⋯+=⨯+++++++ ()1919(1)992(1)2198n n n n n n +-+-=⨯+=++-.17.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，122PA PB AD BC ====，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点，（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接AM ，EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】取PB 中点M ，连接AM ，EM ，E 为PC 的中点，//ME BC ∴，12ME BC =，又AD //BC ，12AD BC =，//ME AD ∴，ME AD =，∴四边形ADEM 为平行四边形，//DE AM ∴，DE ⊄ 平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，//DE ∴平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则//,FG BC FG ∴⊥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,,2,2,0PC CD ∴==-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n = ，设平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角为θ，1212cos5n nn nθ⋅∴==，所以平面PAB与平面PCD 所成锐二面角的余弦值55.18.已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点(,6)P m到焦点F的距离为9.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F且倾斜角为5π6的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且MA MB⊥，求MAB△的面积.（3）过点(2,0)Q的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得TC TD⋅为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由.【答案】（1）212x y=（2）（3）存在定点191,93T⎛⎫⎪⎝⎭，TC TD⋅为常数37081.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义得02pPF y=+，计算出p得抛物线方程；（2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出,A B两点坐标，利用0MA MB⋅=求出M点坐标，求出M 点到直线l的距离和弦长AB，可求MAB△的面积；（3）设()00,T x y，()33,C x y，()44,D x y，过点Q的直线为(2)y k x=-，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出TC TD⋅，求出算式的值与k无关的条件，可得TC TD⋅为定值的常数.【小问1详解】由拋物线的定义得02pPF y=+，解得692p+=，6p=.∴抛物线的方程为212x y=.【小问2详解】设()11,A x y，()22,B x y，由（1）知点(0,3)F，∴直线l的方程为0x +-=.由20,12,x x y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩可得21090y y -+=，则1210y y +=，129y y =，12121061622p p AB AF BF y y y y p ⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不妨取11y =，29y =，则点A ，B的坐标分别为，(-.设点M 的坐标为(,3)t -，则,4)MA t =-uuu r，(,12)MB t =--uuu r ，则)()4120MA MB t t ⋅=--+⨯= ，解得t =-.即(3)M --，又点M 到直线l的距离d =d =，故MAB △的面积12S d AB =⋅=；【小问3详解】设()00,T x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，过点Q 的直线为(2)y k x =-，2(2)12y k x x y =-⎧⎨=⎩联立消去y 得：212240x kx k -+=，0∆>时，3412x x k +=，3424x x k =，联立消去x 得：()22241240y k k y k +-+=，234124y y k k +=-，2344y y k =，()()()()30403040TC TD x x x x y y y y ⋅=--+-- ()()22340343403400x x x x x y y y y y x y =-++-+++()2222000024124124k x k k y k k x y =-⋅+--++()()2220000024124412x y k y k x y =-++-++要使()()2220000024124412x y k y k x y -++-++与k 无关，则00241240x y -+=且04120y -=，0199x ∴=，013y =，存在191,93T ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时TC TD ⋅ 为定值37081.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸：步骤1：在纸上画一个圆A ，并在圆外取一定点B ；步骤2：把纸片折叠，使得点B 折叠后与圆A 上某一点重合；步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕.你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A ，并在圆外取一定点,4B AB =，按照上述方法折纸，点B 折叠后与圆A 上的点T 重合，折痕与直线TA 交于点,P P 的轨迹为曲线C .（1）以AB 所在直线为x 轴建立适当的坐标系，求C 的方程；（2）设AB 的中点为O ，若存在一个定圆O ，使得当C 的弦PQ 与圆O 相切时，C 上存在异于,P Q 的点,M N 使得//PM QN ，且直线,PM QN 均与圆O 相切.（i ）求证：OP OQ ⊥；（ii ）求四边形PQNM 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）[)6,+∞.【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据双曲线定义可得双曲线方程；（2）假设存在符合条件的圆，依据条件，可得四边形PQNM 为菱形，设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k -，将直线,OP OQ 分别与双曲线方程联立求得||,||OP OQ ，通过计算O 到直线PQ 的距离可得定圆的方程.【小问1详解】以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.则()()2,0,2,0A B -.由折纸方法可知：PB PT =，所以2PB PA PT PA TA AB -=-==<.根据双曲线的定义，C 是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为()222210,0,x y a b a b-=>>则1,2a c ===，所以221,3a b ==.故C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】（i ）假设存在符合条件的圆O ，如图所示：由//PM QN 可得180MPQ NQP ∠+∠=︒，根据切线的性质可知，,MPO OPQ NQO OQP ∠=∠∠=∠,所以90OPQ OQP ∠+∠=︒，即OP OQ ⊥.（ii ）分别作,P Q 关于原点O 的对称点,N M ''，则,N M ''均在C 上，且四边形PQN M ''为菱形，所以,PM QN ''均与O 相切，所以M '与M 重合，N '与N 重合，所以四边形PQNM 为菱形.显然，直线,OP OQ 的斜率均存在且不为0.设直线,OP OQ 的斜率分别为1,k k-，则直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为1=-y x k .设()()1122,,,P x y Q x y ，则由22,13y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2233k x -=，所以230k ->，且21233x k =-，所以203k <<，且1||OP ==.同理可得：213k >，且||OQ =所以四边形PQNM 的面积2||||S OP OQ =⋅=.设241,43t k t =+<<，故S ==.设1=u t ，则1344u <<，所以S =因为216163y u u =-+-在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以(]0,1y ∈.所以[)6,S ∈+∞.所以四边形PQNM 的面积的取值范围是[)6,+∞.。
2024学年长沙市高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024学年长沙市高二数学上学期期中考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线120x y +-=的倾斜角是（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π32．已知点B 是A （3，4，5）在坐标平面xOy 内的射影，则|OB|＝（）A ．B ．C ．5D ．3．长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P 的椭圆的标准方程为（）A ．2219x y +=B ．221819x y +=C ．2219x y +=或221819y x +=D ．2219y x +=或221819x y +=4．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围为（）A ．()2,1--B ．()(),21,-∞-⋃-+∞C ．()1,2D ．()(),12,-∞+∞ 5．在正四棱锥P ABCD -中，4,2,PA AB E ==是棱PD 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值是（）A ．B ．C ．38D ．6．已知椭圆22:195x y C +=的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点(0,A ，则APF 的周长最大值为（）A ．9+B ．7+C ．14D ．157．已知()()3,0,0,3A B -，从点()0,2P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射到P 点，则光线所经过的路程为（）A ．B ．6C ．D ．8．已知,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，则点M 的轨迹方程为（）A ．()211y x x =-+≠±B ．()211y x x =+≠±C ．()211x y y =-+≠±D ．()211x y y =+≠±二、多选题（本大题共3小题）9．（多选题）已知点A (－3,－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于（）A ．79B ．13-C ．79-D ．1310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12F F ､，过点1F 的直线与C 的左支相交于,P Q 两点，若2PQ PF ⊥，且243PQ PF =，则（）A ．4PQ a=B ．13PF PQ =C ．双曲线C 的渐近线方程为y =D ．直线PQ 的斜率为411．已知椭圆221:195x y C +=，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，将1C 上所有点的横坐标沿着x 轴方向、纵坐标沿着y 轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，动点P ，Q 在1C 上且直线PQ 的斜率为12-，则（）A ．顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形B ．3C 的面积为1C 的4倍C ．3C 的方程为2244195x y +=D ．线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上三、填空题（本大题共3小题）12．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为．13．直线2y x =-与抛物线22y x =相交于,A B 两点，则OA OB ⋅=．14．设F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH △的内切圆与x 轴切于点B ，且BF OB =，则C 的离心率为．四、解答题（本大题共5小题）15．在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()1,0B ，动点P 满足PA PB ⊥．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若过点()1,2Q 的直线l 与点P 的轨迹（包括点A 和点B ）有且只有一个交点，求直线l 的方程．16．如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE BF =．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正切值．17．已知顶点为O 的抛物线212y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点．(1)若直线l 过点()5,0M ，且其倾斜角ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OAB S 的取值范围；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得FA FB ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．18．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △的边长为3E 在母线PC 上，且3,1AE CE ==.(1)求证：直线//PO 平面BDE ；(2)若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率22e =，点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ 上的中线长为32．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；(3)直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值．参考答案1．【答案】C【分析】求出直线的斜率即可求解.【详解】因为120x y +-=，所以12y x =-+，所以直线120x y +-=的斜率为1-，所以直线120x y +-=的倾斜角为3π4.故选：C.2．【答案】C【详解】解：∵点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影，∴B （3，4，0），则|OB|＝5．故选：C ．3．【答案】C【详解】当椭圆的焦点在x 轴上时，长半轴长为3，则短半轴长为1，所以椭圆的方程为2219x y +=；当椭圆的焦点在y 轴上时，短半轴长为3，则长半轴长为9，所以椭圆的方程为221819y x +=；所以椭圆方程为2219x y +=或221819y x +=.故选：C.4．【答案】B【详解】因为方程22121x y m m -=++表示双曲线，所以()()210m m ++>，解得2m <-或1m >-，故m 的取值范围为()(),21,-∞-⋃-+∞.故选：B.5．【答案】D 【详解】由题意知，4,2,PA AB ==PO ==所以(P ，()0,A ，()C ，()D ，22E ⎛- ⎝⎭，，21422AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，(PC ,所以c o 24s AE PC ⋅== 故选：D.6．【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，||4||AF AF =='，||||26PF PF a +'==，利用||||||PA PF AF -'' ，即可得出．【详解】如图所示设椭圆的左焦点为F '，||4||AF AF =='，则||||26PF PF a +'==，||||||PA PF AF -'' ，APF ∴△的周长||||||||||6||AF PA PF AF PA PF =++=++-'46||||10||10414PA PF AF =++-'≤+'=+=，当且仅当三点A ，F '，P 共线时取等号．APF ∴△的周长最大值等于14．故选：C ．7．【答案】C【详解】直线AB 的方程为3y x =+，设点()0,2P 关于3y x =+的对称点为()1,P a b ，则212322b ab a -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩，得1,3a b =-=，即()11,3P -点()0,2P 关于x 轴的对称点为()20,2P -，由题意可知，如图，点12,P P 都在光线CD 上，并且利用对称性可知，1DP DP =，2CP CP =，所以光线经过的路程211226PC CD DP P C CD DP PP ++=++==故选：C 8．【答案】A【详解】设(),M x y ()1x ≠±，则211AM BM y yk k x x -=-=+-，整理得()211y x x =-+≠±，所以动点M 的轨迹方程是()211y x x =-+≠±.故选：A.9．【答案】BC【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等，由点A 和点B 到直线的距离公式，可得2234163111a a a a --+++++化简得3364a a +=+，所以()3364a a +=±+，解得79a =-或13-，故选：BC .10．【答案】BC【详解】由243PQ PF =，设3PQ m =，24PF m =，由2PQ PF ⊥，得25QF m =，则142PF m a =-，152QF m a =-，而11||||||PF QF PQ +=，解得23am =，因此12||3a PF =，14||3a QF =，对于A ，2PQ a =，A 错误；对于B ，显然112F F P Q = ，则13PF PQ =，B 正确；对于C ，令12||2F F c =，在12PF F 中，由2221212PF PF F F +=，得222464499a a c +=，则22179c a =，222289b c a =-=，即b a C的渐近线方程为3y x =±，C 正确；对于D ，由2121tan 4PF PF F PF ∠==，结合对称性，图中,P Q 位置可互换，则直线PQ 的斜率为4±，D错误.故选：BC 11．【答案】ABD【详解】椭圆221:195x y C +=的焦点为()2,0-，2,0，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，则椭圆2C 的焦点为()0,2-，0,2，所以顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形，故A 正确；将1C 上所有点的横坐标沿着x 轴方向、纵坐标沿着y 轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，所以3C 与1C 为相似曲线，相似比为2，所以3C 的面积为1C 的面积的224=倍，故B 正确；且3C 的方程为2222195x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即2213620x y +=，故C 错误；设1,1，2,2，则1212,22x x y y R ++⎛⎫⎪⎝⎭，又2211195x y +=，2222195x y +=，所以2222121209955x x y y -+-=，即()()()()12121212095x x x x y y y y +-+-+=，所以1212121259y y y y x x x x -+⋅=--+，即59PQ OR k k ⋅=-，所以109OR k =，所以线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上，故D 正确；故选：ABD12．【答案】x ＋4y －4＝0【解析】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．【详解】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.故答案为：x ＋4y －4＝0.13．【答案】0【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+，由222y x y x=-⎧⎨=⎩，解得2240y y --=或2640x x -+=，所以124x x =，124y y =-，所以1212440OA OB x x y y =+=-+=．故答案为：0．14．【答案】【分析】由双曲线C 的右焦点(c,0)F 到渐近线的距离为FH b =，得到直角FOH △的内切圆的半径为r ，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，结合BF OB =和BF MH FH +=，列出方程求得a b =，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，又由双曲线C 的右焦点(c,0)F 到渐近线的距离为FH b =，所以OH a ==，则直角FOH △的内切圆的半径为2a b cr +-=，如图所示，设FOH △的内切圆与FH 切于点M ，则2a b cMH r +-==，因为BF OB = ，可得12FM BF c ==，所以122a b cBF MH c FH b +-+=+==，可得a b =，所以双曲线C 的离心率为c e a ==故答案为：.15．【答案】(1)()2210x y y +=≠(2)3450x y -+=或1x =【详解】（1）法一：设s ，因为PA PB ⊥，所以由0PA PB ⋅= ，得()()221,1,10x y x y x y +⋅-=-+=，所以动点P 轨迹方程为()2210x y y +=≠.法二：由题2,AB PA PB =⊥，所以P 点的轨迹是以AB 中点O 为圆心,半径为1的圆去掉A 、B 得到的，所以P 点的轨迹方程为()2210x y y +=≠（2）因为直线l 与点P 的轨迹（并上点A 和点B ）有且只有一个交点（如图），①若斜率不存在，此时直线l 方程为：1x =，与圆221x y +=切于点B ，②当直线l 与圆相切斜率存在时，设():12l y k x =-+，即20kx y k -+-=，根据圆心到切线距离等于半径可得1=，得34k =，所以此时直线l 方程为3450x y -+=.综上，直线l 方程为1x =或3450x y -+=.16．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）构建空间直角坐标系，令AE BF m ==且0m a ≤≤，应用向量法求证C E A F ''⊥垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△BEF 面积最大求出参数m ，再标出相关点的坐标，求平面B EF '与平面BEF 的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF m ==且0m a ≤≤，所以(0,,)C a a '，(,0,)A a a '，(,,0)E a m ，(,,0)F a m a -，则(,,)C E a m a a '=-- ，(,,)A F m a a '=-- ，故2()0C E A F am a m a a ''⋅=-+-+=，所以C E A F ''⊥，即A F C E ''⊥.（2）由（1）可得三棱锥B BEF '-体积取最大，即BEF △面积()22112228BEF a a S m a m m ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 最大，所以当2a m =时()2max 8BEF a S = ，故E 、F 为AB 、BC 上的中点，所以,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(,,)B a a a '，故0,,2a EB a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭ ，,0,2a FB a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，若(,,)m x y z = 为平面B EF '的法向量，则022am EB y az a m FB x az ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=''+=⎪⎩ ，令1z =-，故(2,2,1)m =- ，又面BEF 的法向量为(0,0,1)n =，所以11cos ,313m n m n m n ⋅-===⨯ ，设平面B EF '与平面BEF 的夹角为θ，由图可知θ为锐角，则1cos 3θ=，所以22sin 3θ==，所以sin tan cos θθθ==所以平面B EF '与平面BEF的夹角正切值为17．【答案】(1)⎡⎣(2)存在，9y x =-+或9y x =--【详解】（1）由题可知()3,0F ，且直线l 的斜率不为0，设1,1,2,2．设直线l 的方程为50kx y k --=，因为ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3k ∈⎣，因此点O 到直线l的距离为d =联立212,15,y x x y k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩则212600y y k --=，显然Δ0>，所以121212,60y y y y k +==-，则AB =，所以12OAB S d AB == 当213k =时，OAB S取得最大值为，当23k =时，OABS 取得最小值为，所以OABS的取值范围为⎡⎣．（2）设直线方程为y x b =+，即x y b =-，联立212,,y x x y b ⎧=⎨=-⎩得212120y y b -+=，故144480b ∆=->即3b <,又121212,12y y y y b +==，易知()()11223,,3,FA x y FB x y =-=-，因为FA FB ⊥，则0FA FB ⋅=，因为1122,x y b x y b =-=-，所以()()2121223(3)0y y b y y b -++++=，即218270b b +-=，解得9b =-+9b =--，故存在斜率为1的直线l，使得FA FB⊥，此时直线l的方程为9y x=-+9y x=--18．【答案】(1)证明见解析(2)14【详解】（1）设AC BD F⋂=，连接EF，ABD为底面圆O的内接正三角形，2πsin3AC∴==，F为BD中点，2221,,AE CE AE CE AC AE EC==∴+=∴⊥，又3312,2,12223AF CF AO AF==∴=-===.AF AEAE AC=，且,,,EAF CAE AEF ACE AFE AEC EF AC∠∠∠∠=∴∴=∴⊥∽.PO⊥平面,ABD AC⊂平面,ABD PO AC∴⊥，//EF PO∴，PO⊄平面,BDE EF⊂平面BDE，//PO∴平面BDE.（2）1,2OF CF F==∴为OC中点，又//PO EF，E∴为PC中点，2PO EF=，2EF==，PO∴=，则2PC=，以F为坐标原点，,,FB FC FE方向为,,x yz轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则3110,,0,,0,0,0,0,,,0,0,0,,0,0,,222222A B E D O P⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛----⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(3313,0,0,,,0,0,,0,,02222AB AE OP DO DA⎫⎛⎛⎫⎛⎫∴=====⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设()()101,2OM OP DM DO OMλλ⎫==≤≤∴=+=-⎪⎪⎝⎭.设平面ABE的法向量 =s s，则30,230,22AB n x y AE n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩令1y =-，解得x z n =∴=-，设直线DM 与平面ABE 所成夹角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴===⋅ ，令32t λ=+，则[]22,5,3t t λ-∈∴=，2222222(2)1314717431(32)33t t t t t t t λλ-++-+⎛⎫∴===-+ ⎪+⎝⎭，111,,52t ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦ 当127t =，即12λ=时，22min31311449(32)74λλ+⎡⎤+==⎢+⎣⎦，max (sin )1θ∴=，此时1,0,1,2DM MA DA DM ⎛=-∴=-=- ⎝⎭⎝⎭ ，∴点M 到平面ABE的距离12MA n d n ⋅=.19．【答案】(1)2212x y +=；(2)220x y -+-或220x y ++=；.【分析】（1）根据POQ 的边PQ上中线为PQ =，再联立2222,2c e a b c a ===+即可求解；（2）设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立直线AB 与椭圆方程得1212,x x x x +，再由11AF BF ⊥，即110AF BF ⋅=，最后代入即可求解；（3）设直线1l 的方程为(1)y k x =+,则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.【详解】（1）由题意，因为(,0),(0,)P a Q b ，POQ为直角三角形，所以PQ ==又22222c e a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）由（1）知，1(1,0)F -,显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(2)(0)y k x k =+≠，1122()A x y B x y ,,(,)，联立2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，2222(12)8820k x k x k +++-=，所以22222(8)4(12)(82)8(12)0k k k k ∆=-+-=->，即2102k <<.且22121222882,1212k k x x x x k k -+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，所以1122(1,)(1,)0x y x y ------=，即12121210x x x x y y ++++=，所以1212121(2)(2)0x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得2221212(12)()(1)140k x x k x x k ++++++=，即22222228(1)(82)(12)()1401212k k k k k k k +-+-+++=++，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为1(2)2y x =+或1(2)2y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=；（3）由题意，2(1,0)F ,设直线1l 的方程为(1)y k x =+,3344(,),(,)C x y D x y ，则直线2l 的方程为1(1)2y x k=-+，5566(,),(,)E x y F x y ，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得2222)202142(-=+-+x k x k k ，所以22343422422,1212k k x x x x k k -+==++，所以23422,212M x x k x k+==+2(1)12M M k y k x k =-=-+，所以2222(,)1212k kM k k -++，同理联立22121(1)2x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得222(12)2140k x x k +-+-=，所以2565622214,1212k x x x x k k -+==++所以5621,212N x x x k +==+21(1)212N Nky x k k =--=+所以221(,1212k N k k ++，即MN 的中点1(,0)2T .所以221121||112||||12412212282||||OMN M N k k S OT y y k k k k =-==⨯=⨯≤+++ ，当且仅当12||||k k =，即22k =±时取等号，所以OMN的面积最大值为【思路导引】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线12,l l 与椭圆方程，求出,M N 的坐标，观察坐标知，MN 的中点坐标1(,0)2T 在x 轴上，则1||||2OMN M N S OT y y =- 整理后利用基本不等式得到面积的最值.。
2023-2024学年湖南省长沙二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√173．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．94．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝45．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π37．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．238．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．4311．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√312．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 ． 14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ ．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝ ．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．18．（12分）已知函数F(x)=log a (1−x 2)(a ＞0，且a ≠1）． （1）判断函数F （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）若F(m +1)＞F(12−2m)，求m 的取值范围．19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 20．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且3acosC +√3csinA =3b ． （1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AB ＝1．点D ，E ，F 分别在棱AA 1，BB 1，CC 1上，A 1D =CF =23，BE ＝1．M 为AC 中点，连接BM ． （1）证明：BM ∥平面DEF ；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2023-2024学年湖南省长沙二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |1＜x ＜5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |2＜x ＜5}B ．{x |1＜x ＜5}C ．{x |2＜x ＜6}D ．{x |1＜x ＜6}解：因为M ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣6）＜0}＝{x |2＜x ＜6}，N ＝{x |1＜x ＜5}， 所以M ∩N ＝{x |2＜x ＜5}． 故选：A ．2．已知复数z 满足（1+i ）z ＝3+5i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．√17解：复数z =3+5i1+i =(3+5i)(1−i)(1+i)(1−i)=8+2i2=4+i ，有|z|=√17． 故选：D ．3．国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）：7，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（ ） A ．7B ．8C ．8.5D ．9解：将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10， 因为10×70%＝7，所以第70百分位数为8+92=8.5，故选：C ．4．过点（4，0）的直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，则直线l 的方程为（ ） A ．3x +4y ﹣12＝0或y ＝0 B ．3x +4y ﹣12＝0或x ＝4C ．4x +3y ﹣12＝0或y ＝0D ．4x +3y ﹣12＝0或x ＝4解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0化为标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝4，得圆心（2，4），半径为2， 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝4，此时直线l 与圆x 2+y 2﹣4x ﹣8y +16＝0相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），即kx ﹣y ﹣4k ＝0， 圆心（2，4）到直线l 的距离为d =√k +1=√k +1，由相切得d ＝r ＝2， 所以√k 2+1=2，平方化简得k =−34，求得直线方程为3x +4y ﹣12＝0，综上，直线l 的方程为3x +4y ﹣12＝0或x ＝4． 故选：B ．5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 是阳马，P A ⊥平面ABCD ，且PM →=2MC →，若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=（ ）A ．13a →+23b →−13c → B ．23a →+23b →−12c →C ．−13a →+23b →−12c →D ．−13a →+23b →+13c →解：PM →=2MC →，则PM →=23PC →， 若AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则BM →=BP →+PM →=BP →+23PC →=AP →−AB →+23(AC →−AP →)=13AP →+23AC →−AB → =13AP →+23(AB →+AD →)−AB →=13AP →−13AB →+23AD → =−13a →+23b →+13c →．故选：D ．6．已知圆锥的侧面积是16π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（ ）A ．2√15π3B ．4√15π3C ．8√15π3D ．16√15π3解：设圆锥母线长为a ，底面半径为r ，侧面积是16π，则π•r •a ＝16π，有ar ＝16， 侧面展开图顶角为π2=2πr a，有a ＝4r ，解得r ＝2，a ＝8，则圆锥的高ℎ=√a 2−r 2=√82−22=2√15， 故V =13Sℎ=13πr 2ℎ=13⋅π⋅22⋅2√15=8√15π3． 故选：C ．7．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√34的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23解：由题意可知：A （﹣a ，0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 直线AP 的方程为：y =√34（x +a ），由∠F 1F 2P ＝120°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，则P （2c ，√3c ）， 代入直线AP ：√3c =√34（2c +a ），整理得：a ＝2c ， ∴离心率e =ca =12． 故选：C ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33]B ．[13，12]C ．[√34，√33]D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1PA 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)=sin(2x +2π3)，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）的图象关于直线x =7π12对称 C ．f(x +π3)是偶函数D ．f （x ）的单调递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12](k ∈Z)解：对于A ，由三角函数的性质，可得f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，所以A 正确； 对于B ，当x =7π12时，可得f(7π12)=sin(2×7π12+2π3)=sin 11π6≠±1， 所以f （x ）的图象不关于直线x =7π12对称，所以B 错误； 对于C ，由f(x +π3)=sin[2(x +π3)+2π3]=sin(2x +4π3)，此时函数f(x +π3)为非奇非偶函数，所以C 错误； 对于D ，令π2+2kπ≤2x +2π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，即函数的递减区间为[kπ−π12，kπ+5π12]，k ∈Z ，所以D 正确． 故选：AD ．10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形，则实数m 的取值可能为（ ） A ．2B ．−43C ．−23D ．43解：因为三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0能构成三角形， 所以直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行， 且直线mx ﹣y ﹣1＝0不过2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点，直线mx ﹣y ﹣1＝0与2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0都不平行时，m ≠23，且m ≠−43， 联立{2x −3y +1=04x +3y +5=0，解得{x =−1y =−13， 即直线2x ﹣3y +1＝0与4x +3y +5＝0的交点坐标为(−1，−13)， 代入直线mx ﹣y ﹣1＝0中，得m =−23，结合题意可知m ≠−23， 对照各个选项，可知实数m 的取值可以为2或43，故选：AD ．11．如图，两条异面直线a ，b 所成的角为60°，在直线a ，b 上分别取点A ，O 和点C ，B ，使AO ⊥OC ，OC ⊥CB ．已知AO ＝4，CB ＝3，AB ＝7，则线段OC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．2√3D ．√3解：因为AB →=AO →+OC →+CB →，平方得AB →2=(AO →+OC →+CB →)2=AO →2+OC →2+CB →2+2AO →⋅OC →+2OC →⋅CB →+2CB →⋅AO →． 因为a ，b 所成的角为60°，所以〈CB →，AO →〉=60°或〈CB →，AO →〉=120°．当〈CB →，AO →〉=60°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32+2×4×3×12， 所以OC →2=12，所以|OC →|=2√3；当〈CB →，AO →〉=120°时，AO →⊥OC →，OC →⊥CB →， 代入数据可得：72=42+OC →2+32−2×4×3×12， 所以OC →2=36，所以|OC →|=6．综上所述，|OC →|=2√3或|OC →|=6，即OC 的长为6或2√3． 故选：AC ．12．已知双曲线C ：x 28−y 24=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．C 的渐近线方程为y =±√22xB ．若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|≥√22C ．点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D ．当点P 与A ，B 两点不重合时，直线P A ，PB 的斜率之积为2 解：双曲线C ：x 28−y 24=1，则a =2√2，b =2， 对于A ，C 的渐近线方程为y =±b a x =±√22x ，A 正确； 对于B ，由双曲线的渐近线方程为y =±√22x 可知， 若直线y ＝kx 与双曲线C 有交点，则|k|＜√22，B 错误； 对于C ，设点P （x ，y ），则x 28−y 24=1⇒x 2−2y 2=8，点P 到C 的两条渐近线的距离之积为√2y|√12+(√2)2√2y|√12+(√2)2=|x 2−2y 2|3=83，C 正确；对于D ，易得A(−2√2，0)，B(2√2，0)，设P （x ，y ），则y 2=4(x 28−1)(x ≠±2√2)， 所以直线P A ，PB 的斜率之积为x+2√2×x−2√2=y 2x 2−8=4(x 28−1)x 2−8=12，D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点A （1，2），B （3，4），则线段AB 的垂直平分线的方程是 x +y ﹣5＝0 ． 解：因为A （1，2），B （3，4），所以线段AB 的中点为（2，3），垂直平分线的斜率k =1−k AB =−1，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ﹣3＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣5＝0． 故答案为：x +y ﹣5＝0．14．已知cos(π4−α)=√210，α∈(π2，π)，则cos α＝ −35 ． 解：因为cos(π4−α)=√210，又α∈(π2，π)， 所以π4−α∈(−3π4，−π4)，所以sin(π4−α)=−√1−cos(π4−α)2=√1−150=−7√210， cosα=cos[π4−(π4−α)]=cos π4cos(π4−α)+sin π4sin(π4−α) =√22×√210+√22×(−7√210)=−35． 故答案为：−35．15．如图，棱长为1的正方体A 1A 2A 3A 4﹣A 5A 6A 7A 8的八个顶点分别为A 1，A 2，⋯，A 8，记正方体12条棱的中点分别为A 9，A 10，⋯，A 20，6个面的中心为A 21，A 22，⋯，A 26，正方体的中心为A 27．记m j =A 1A →7⋅A 1A →j ，j ∈{1，2，…，27}，其中A 1A 7是正方体的体对角线．则m 1+m 2+…+m 27＝812．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，0），A 2（1，0，0），A 3（1，1，0），A 4（0，1，0），A 5（0，0，1），A 6（1，0，1），A 7（1，1，1），A 8（0，1，1）， 设向量A 1A j →=(x ，y ，z)，而A 1A 7→=(1，1，1)， 故m j =A 1A j →⋅A 1A 7→=x +y +z ，故m 1+m 2+…+m 27表示各点的坐标和的和，现各点的横坐标之和为X ，纵坐标之和为Y ，竖坐标之和为Z ， 根据对称性可得X =Y =Z =1×9+12×9+0×9=272， 故m 1+m 2+⋯+m 27=3×272=812， 故答案为：812．16．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|MN |﹣|MF 1|的最小值为 4√2−5 ． 解：如图，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：（x ﹣5）2+（y ﹣4）2＝1上任意一点， 则|MF 1|+|MF 2|＝4，|MN |≥|ME |﹣1（当且仅当M 、N 、E 共线时取等号）， ∴|MN |﹣|MF 1|＝|MN |﹣（4﹣|MF 2|）＝|MN |+|MF 2|﹣4≥|ME |+|MF 2|﹣5≥|EF 2|﹣5， ∵F 2（1，0），E （5，4），则|EF 2|=√(5−1)2+(4−0)2=4√2， ∴|MN |﹣|MF 1|的最小值为：4√2−5． 故答案为：4√2−5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，该中位数为30+0.10.4×(40−30)=32.5；（2）由频率分布直方图可知，违章车次在（30，40]的路口有10×0.04×10＝4个，设为a，b，c，d，违章车次在（40，50]的路口有10×0.02×10＝2个，A，B，现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，共有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15个，其中抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的事件为：aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，共8个，故抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在（40，50]的概率为：815．18．（12分）已知函数F(x)=log a(1−x2)(a＞0，且a≠1）．（1）判断函数F（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若F(m+1)＞F(12−2m)，求m的取值范围．解：（1）F（x）为偶函数，理由如下：由1﹣x2＞0得﹣1＜x＜1，即函数F（x）的定义域为（﹣1，1），可知F（x）的定义域关于原点中心对称．又F(−x)=log a(1−x2)=F(x)，故F（x）为偶函数；（2）因为F（x）为偶函数，所以不等式F(m+1)＞F(12−2m)即F(|m+1|)＞F(|12−2m|)，由复合函数的单调性可知，当a＞1时，y＝log a t在（0，+∞）上单调递增，而t＝1﹣x2在（0，1）上单调递减，故F（x）在（0，1）内单调递减，则F（x）在（﹣1，0）内单调递增；当0＜a ＜1时，y ＝log a t 在（0，+∞）上单调递减，而t ＝1﹣x 2在（0，1）上单调递减，故F （x ）在（0，1）内单调递增，则F （x ）在（﹣1，0）内单调递减；（i ）当a ＞1时，由已知有{−1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＜|12−2m|，解得−14＜m ＜−16；（ii ）当0＜a ＜1时，由已知有{ −1＜m +1＜1−1＜12−2m ＜1|m +1|＞|12−2m|，解得−16＜m ＜0，故当a ＞1时，m 的取值范围为(−14，−16)；当0＜a ＜1时，m 的取值范围为(−16，0)． 19．（12分）已知圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0． （1）求证：直线l 恒过定点；（2）直线l 被圆C 截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a 的值以及最短弦长． 解：（1）直线l ：（2+a ）x +（1+a ）y +a ＝0，即a （x +y +1）+（2x +y ）＝0， 联立{x +y +1=02x +y =0，解得{x =1y =−2，所以不论a 取何值，直线l 必过定点P （1，﹣2）；（2）由C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝25，知圆心C （﹣1，2），半径为5．当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长， 当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短． 直线l 的斜率为k =−2+a1+a ，k CP =−2−21−(−1)=−2， 有−2+a1+a ⋅(−2)=−1，解得a =−53． 此时直线l 的方程是x ﹣2y ﹣5＝0．圆心C（﹣1，2）到直线x﹣2y﹣5＝0的距离为d=|−1−4−5|5=2√5，所以最短弦长是2√r2−d2=2√25−20=2√5．20．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3acosC+√3csinA=3b．（1）求A；（2）若a＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围．解：（1）由已知和正弦定理得3sinAcosC+√3sinCsinA=3sinB，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A，∴√3sinCsinA=3sinCcosA，又sin C≠0，∴√3sinA=3cosA，有tanA=√3，又A∈（0，π），∴A=π3；（2）∵a＝2，且A=π3，∴由正弦定理有bsinB =csinC=2sinπ3=4√33，从而b=4√33sinB，c=4√33sinC，∵sinC=sin(A+B)=sin(π3+B)，∴b+c=4√33[sinB+sin(π3+B)]=4√33(32sinB+√32cosB)=4sin(B+π6)，又△ABC为锐角三角形，有B∈(0，π2)，且A+B=π3+B∈(π2，π)，∴B∈(π6，π2)，∴B+π6∈(π3，2π3)，有sin(B+π6)∈(√32，1]，故b+c∈(2√3，4]，从而△ABC周长的取值范围为(2+2√3，6]．21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝1．点D，E，F分别在棱AA1，BB1，CC1上，A1D=CF=23，BE＝1．M为AC中点，连接BM．（1）证明：BM∥平面DEF；（2）点P 在棱BB 1上，当二面角P ﹣DF ﹣E 为30°时，求EP 的长．（1）证明：取DF 中点N ，连接EN ，MN ， 又M 为AC 中点，所以MN 为梯形ADFC 的中位线， 所以MN ∥AD ，MN =AD+CF2=1， 又BE ∥AD ，故MN ∥BE ，且MN ＝BE ， 故四边形BMNE 为平行四边形，则BM ∥NE ， 因为NE ⊂平面DEF ，BM ⊄平面DEF ， 故BM ∥平面DEF ；（2）解：以M 为坐标原点，BM 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，MN 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系M ﹣xyz ，如图所示：则D(0，−12，43)，E(√32，0，1)，F(0，12，23)，设P(√32，0，a)， 可得DE →=(√32，12，−13)，DF →=(0，1，−23)，DP →=(√32，12，a −43)， 设平面DEF的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则n 1→⊥DE →，n 1→⊥DF →，则有{n 1→⋅DE →=0n 1→⋅DF →=0，即{√32x 1+12y 1−13z 1=0y 1−23z 1=0， 取z 1＝3，则y 1＝2，x 1＝0，得n 1→=(0，2，3)， 设平面PDF的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)，由n 2→⊥DP →，n 2→⊥DF →，则有{n 2→⋅DP →=0n 2→⋅DF →=0，即{√32x 2+12y 2+(a −43)z 2=0y 2−23z 2=0， 取z 2＝3，则y 2＝2，x 2=2√3−2√3a ，得n 2→=(2√3−2√3a ，2，3)，由二面角P ﹣DF ﹣E 为30°，得|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√32， 即√13⋅√12a 2−24a+25=√32，解得a =1±√136， 故|EP|=√136．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点A （2，0），且右焦点为F （√3，0）．（1）求C 的标准方程；（2）过点（1，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线x ＝4分别交直线AM ，AN 于点 E ，F ，以EF 为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 解：（1）由题意知，a ＝2，c =√3， 所以b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣3＝1， 所以C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为x ＝ty +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =ty +1x 24+y 2=1，得（t 2+4）y 2+2ty ﹣3＝0， 所以y 1+y 2=−2t t 2+4，y 1y 2=−3t 2+4， 因为A （2，0），所以直线AM 的方程为y =y1x 1−2（x ﹣2），令x ＝4，则y E =2y 1x 1−2，即E （4，2y 1x 1−2），同理可得，F （4，2y 2x 2−2），由对称性知，若定点存在，则定点在x 轴上，设为P （x 0，0），则PE →⋅PF →=0， 所以（4﹣x 0，2y 1x 1−2）•（4﹣x 0，2y 2x 2−2）＝0，即（4﹣x 0）2+2y 1x 1−2•2y 2x 2−2=0， 因为（x 1﹣2）（x 2﹣2）＝（ty 1﹣1）（ty 2﹣1）＝t 2y 1y 2﹣t （y 1+y 2）+1＝t 2•（−3t 2+4）﹣t （−2t t 2+4）+1=4t 2+4， 所以（4﹣x 0）2+4⋅(−3t 2+4)4t 2+4=0，即（4﹣x 0）2＝3，所以x0＝4±√3，故以EF为直径的圆过定点，定点坐标为（4−√3，0）或（4+√3，0）．。
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u →=（1，2，﹣1），v →=（﹣3，﹣6，3），则（ ） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确2．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．1163．若直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直，则k ＝（ ） A ．3B ．13C ．﹣3D ．−134．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√3010 B ．√306C ．√3010D ．√225．双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．x 24−y 2=1 B ．y 29−x 236=1C ．x 29−y 236=1 D ．y 24−x 2=16．已知抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，过点F 作直线l 与上述两曲线自左而右依次交于点A ，C ，D ，B ，则|AC |与|BD |的乘积为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．√27．已知数列{a n }满足2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)且a 1＞0．若{a n }是递增数列，则a 1的取值范围是（ ） A ．(0，12) B ．(12，1)C ．（0，1）D ．(0，√2−1)8．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈（π4，π3），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．(√22，√3−1) B ．(√22，1)C ．(√22，√32)D ．(√33，√63)二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝010．已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．{1a n}B ．{a n a n +1}C ．{lg （a n 2）}D ．{a n +a n +1}11．已知p ∈R ，直线l 1：x ﹣py +p ﹣2＝0过定点A ，l 2：px +y +2p ﹣4＝0过定点B ，l 1与l 2交于点M ，则下列结论正确的是（ ） A ．l 1⊥l 2B ．MA •MB 的最大值是25C ．点M 的轨迹方程是x 2+y 2﹣5x ＝0D ．MA +2MB 的最大值为5√512．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是（ ） A ．若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切B ．若直线l 经过焦点F ，且OA →⋅OB →=−12，则p ＝4C ．若AF →=3FB →，则直线l 的倾斜角为π3D ．若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则|AB||MN|的最小值为√2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙M 的圆心为M （3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆C 的面积为 ． 14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝OC ＝3，OB ＝2，则直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为 ．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，则当C 的离心率e ＝ 时，满足sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2．16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推． （1）这个数列的第100项为 ；（2）整数N 满足条件：N ＞1000且该数列的前N 项和为2的整数幂，则最小整数N ＝ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ．（1）证明：{a n }为等差数列，并求出通项公式； （2）设b n =(−1)n a n ，求b 1+b 2+b 3+⋯+b 20．18．（12分）四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥AD ，BC ⊥平面P AB ，P A ＝AB ＝BC ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，且PE ⊥EC ．（1）求证：BD ⊥平面PEC ； （2）求二面角E ﹣PC ﹣D 的正弦值．19．（12分）已知圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． （1）求四边形QAMB 面积的最小值； （2）若|AB |=4√23，求Q 点的坐标．20．（12分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '，定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2． （1）求抛物线的方程；（2）当KA →=λKB →（λ∈R 且λ≠1）时，是否存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知数列{a n}，a1＝2，a n+1=2−1a n ，数列{b n}满足b1＝1，b2nb2n−1=b2n+1b2n=a n．（1）求证：数列{1a n−1}为等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求b2n+1的表达式；（3）求证：1b2+1b4+⋯+1b2n＜1．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，上、下顶点分别为B1、B2，A为椭圆上的点，且满足k AB1⋅k AB2=−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围．2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u →=（1，2，﹣1），v →=（﹣3，﹣6，3），则（ ） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解：∵v →=−3u →，∴v →∥u →．故α∥β． 故选：A ．2．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．116解：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列， 使较大的三份之和的17是较小的两份之和，设分的面包，从小到大依次为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5， 依题意得17(a 3+a 4+a 5)=a 1+a 2，故3a 1+9d ＝7（2a 1+d ），2d ＝11a 1， 由S 5＝5a 3＝5（a 1+2d ）＝100， 得a 1+2d ＝12a 1＝20， 解得a 1=53． 故选：A ．3．若直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直，则k ＝（ ） A ．3B ．13C ．﹣3D ．−13解：∵直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直， ∴3k ＝﹣1，解得k =−13．故选：D ．4．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√3010B ．√306C ．√3010D ．√22解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°， M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 如图，BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥B 1C 1且MN =12B 1C 1＝OB ，则MNOB 是平行四边形， BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵BC ＝CA ＝CC 1，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，∴CO ＝1，AO =√5，AN =√5，MB =√B 1M 2+BB 12=√(√2)2+22=√6， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO =AN 2+NO 2−AO 22AN⋅NO =62×√5×√6=√3010．故选：C ． 5．双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．x 24−y 2=1 B ．y 29−x 236=1C ．x 29−y 236=1D ．y 24−x 2=1解：由题意双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，知c =√5，设双曲线的方程为x 2﹣4y 2＝λ（λ＞0），∴x 2λ−y 2λ4=1，∴λ+λ4=5，∴λ＝4．则双曲线C 的标准方程为x 24−y 2=1．故选：A ．6．已知抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，过点F 作直线l 与上述两曲线自左而右依次交于点A ，C ，D ，B ，则|AC |与|BD |的乘积为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．√2解：由抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，可知抛物线焦点为F （0，1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线的方程为x ＝m （y ﹣1），由{x =m(y −1)x 2=4y ，得m 2y 2﹣（2m 2+4）y +m 2＝0， 则y 1y 2＝1，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1+1，|BF |＝y 2+1， ∴|AC |＝y 1，|BD |＝y 2， ∴|AC |×|BD |＝y 1y 2＝1，当且仅当y 1＝2y 2，即y 1=√2，y 2=√22时取等号．故选：A ．7．已知数列{a n }满足2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)且a 1＞0．若{a n }是递增数列，则a 1的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．（0，1）D ．(0，√2−1)解：根据2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)， 可得a n+1=3a n2a n +1， 所以1a n+1=13⋅1a n+23，所以1a n+1−1=13⋅(1a n−1)，从而可得数列{1a n+1−1}是以1a 1−1为首项，13为公比的等比数列，所以1a n−1=(1a 1−1)⋅(13)n−1，整理有a n =11+(1a 1−1)(13)n−1，因为a n +1＞a n ＞0， 所以11+(1a 1−1)(13)n＞11+(1a 1−1)(13)n−1＞0，整理得：(1a 1−1)⋅13＜1a 1−1，即0＜a 1＜1， 故选：C ． 8．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈（π4，π3），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(√22，√3−1) B ．(√22，1)C ．(√22，√32) D ．(√33，√63)解：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，设左焦点为F ′．所以|AF ′|+|AF |＝2a ，根据对称关系：四边形AF ′BF 为矩形． 所以|AB |＝|FF ′|＝2c ， 由于AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α， 所以|AF |＝2c sin α，|AF ′|＝2c cos α， 所以2c sin α+2c cos α＝2a ， 所以ca =1sinα+cosα=√2sin(α+π4)，由于α∈（π4，π3），故α+π4∈(π2，7π12)， 所以√2+√64＜sin(α+π4)＜1， 所以√2sin(α+π4)∈(√22，√3−1)，即离心率的范围． 故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝0解：根据题意，m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，若l ∥α，则m →⊥n →，则有m →⋅n →=0，即1+2（a +b ）+3（a ﹣b ）＝0，即5a ﹣b +1＝0，A 正确，B 错误； 若l ⊥α，则m →∥n →，则有11=a+b 2=a−b 3，变形可得a +b ﹣2＝0且a ﹣b ﹣3＝0，C 、D 正确． 故选：ACD ．10．已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．{1a n}B ．{a n a n +1}C ．{lg （a n 2）}D ．{a n +a n +1}解：根据题意，{a n }为等比数列，设其公比为q （q ≠0）； 对于A ，1a n =1a 1q n−1=1a 1⋅(1q)n−1，∴数列{1a n}是以1a 1为首项，1q为公比的等比数列，故A 正确；对于B ，a n+1a n+2a n a n+1=a n+2a n=q 2，∴数列{a n a n +1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，故B 正确；对于C ，当a n ＝1时，lg(a n 2)=0，数列{lg(a n 2)}不是等比数列，故C 错误；对于D ，当q ＝﹣1时，a n +a n +1＝0，数列{a n +a n +1}不是等比数列，故D 错误． 故选：AB ．11．已知p ∈R ，直线l 1：x ﹣py +p ﹣2＝0过定点A ，l 2：px +y +2p ﹣4＝0过定点B ，l 1与l 2交于点M ，则下列结论正确的是（ ） A ．l 1⊥l 2B ．MA •MB 的最大值是25C ．点M 的轨迹方程是x 2+y 2﹣5x ＝0D ．MA +2MB 的最大值为5√5解：对于A ，1•p +（﹣p ）•1＝0，∴l 1⊥l 2，A 正确； 对于B ，l 1恒过定点A （2，1），l 2恒过定点B （﹣2，4），由选项A 正确可推得，MA 2+MB 2＝AB 2＝25≥2MA •MB ，MA ＝MB 时等号成立，∴MA •MB 的最大值是252，B 错误；对于C ，设M （x ，y ），则MA ⊥MB ，MA 2+MB 2＝AB 2＝52，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（x +2）2+（y ﹣4）2＝25，化简有x 2+y 2﹣5y ＝0，C 错误；对于D ，设∠MAB ＝θ，θ∈(0，π2)，则MA ＝5cos θ，MB ＝5sin θ，∴MA +2MB =5(cosθ+2sinθ)=5√5sin(θ+φ)≤5√5，即MA +2MB 的最大值为5√5，D 正确． 故选：AD ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是（ ） A ．若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切B ．若直线l 经过焦点F ，且OA →⋅OB →=−12，则p ＝4C ．若AF →=3FB →，则直线l 的倾斜角为π3D ．若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则|AB||MN|的最小值为√2解：由抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，对于A ，当以AB 为直径作圆M ，且AB 经过焦点F 时，|MN|=12(|AF|+|BF|)=12|AB|，此时圆M 与准线相切，当直线l 不经过焦点F 时，圆M 不一定与准线相切，故A 错误；对于B ，过F 的直线l 的方程设为x =my +p2，把直线方程与抛物线方程联立，可得y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y 1y 2=−p 2，x 1x 2=(y 1y 2)24p2=14p 2，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=14p 2−p 2=−12(p ＞0)，解得p ＝4，B 正确；对于C ，AF →=(p2−x 1，−y 1)，FB →=(x 2−p2，y 2)，AF →=3FB →，可得p 2−x 1=3(x 2−p2)，﹣y 1＝3y 2，又y 1y 2=−p 2，x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=14p 2，可求出A(3p 2，√3p)，B(p6，−√3p 3)，k 1=y 1−y 2x 1−x 2=√3p+√3p33p 2−p 6=√3，∴直线l 的倾斜角为π3，C 正确；对于D ，设AF ＝a ，BF ＝b ，由抛物线的定义可得|MN|=12(|AF|+|BF|)=12(a +b)，以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，∴AF ⊥BF ，|AB|=√a 2+b 2，|AB||MN|=√a 2+b 212(a+b)=√(a+b)2−2ab12(a+b)≥√(a+b)2−(a+b)2212(a+b)=√2，当且仅当a ＝b 时，即AF ＝BF 时等号成立，D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙M 的圆心为M （3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆C 的面积为 32π ． 解：因为圆M 与直线．x ﹣7y +2＝0相切，所以点M （3，﹣5）到直线：x ﹣7y +2＝0的距离即为圆M 的半径， 所以r =|3−7×(−5)+2|√1+(−7)=405√2=4√2，圆C 的面积为π×(4√2)2=32π． 故答案为：32π．14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝OC ＝3，OB ＝2，则直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为3√1717．解：如图所示，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （0，0，3），B （2，0，0），C （0，3，0）， 直线OB 的方向向量OB →=(2，0，0)， 由于AB →=(2，0，−3)，AC →=(0，3，−3)， 若m →=(x ，y ，z)是平面ABC 的一个法向量，则{AB →⋅m →=2x −3z =0AC →⋅m →=3y −3z =0， 据此可得m →=(32，1，1)， ∴|cos ＜OB →，m →＞|=|OB →⋅m →|OB →||m →||=32×172=3√1717， 故直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为3√1717． 故答案为：3√1717． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，则当C 的离心率e ＝ √72时，满足sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2． 解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，由sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2得|PF 1|＝3|PF 2|， 由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ；因为∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝9a 2+a 2﹣2×3a •a •cos60°， 整理可得4c 2＝7a 2，所以e 2=c 2a 2=74，即e =√72．故答案为：√72． 16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推． （1）这个数列的第100项为 256 ；（2）整数N 满足条件：N ＞1000且该数列的前N 项和为2的整数幂，则最小整数N ＝ 1897 ． 解：对数列进行分组如下： 第一组：20，1个数， 第二组：20，21，2个数， 第三组：20，21，22，3个数， ……，第k +1组：20，21，22，…，2k ，k +1个数； （1）由1+2+3+⋯+k =k(k+1)2≤100可得k ≤13，且1+2+3+⋯+13＝91，所以该数列的第100项在第14组的第9个数，即28＝256． （2）该数列前k 组的项数和为1+2+3+⋯+k =k(k+1)2， 由题意可知N ＞1000，即k(k+1)2＞1000，解得k ≥45，n ∈N *，即N 出现在第44组之后． 又第k 组的和为20+21+⋯+2k−1=1×(1−2k)1−2=2k −1，所以前k 组的和为1+（1+2）+⋯+（1+2+⋯+2k ﹣1）＝（21﹣1）+（22﹣1）+⋯ +（2k ﹣1）＝（21+22+⋯+2k ）﹣k ＝2k +1﹣k ﹣2， 设满足条件的N 在第k +1（k ∈N *）组（k ≥44）， 且第N 项为第k +1组的第m （m ∈N *）个数， 第k +1组的前m 项和为1+2+22+⋯+2m ﹣1＝2m ﹣1，要使该数列的前N 项和为2的整数幂， 即2m ﹣1与﹣k ﹣2互为相反数， 即2m ﹣1＝2+k ， 所以k ＝2m ﹣3，由k ≥44，所以2m ﹣3≥44，解之得m ≥6， 取最小值m ＝6，此时k ＝26﹣3＝61， 对应满足的最小条件为N =61(61+1)2+6=1897． 故答案为：256；1897．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ．（1）证明：{a n }为等差数列，并求出通项公式； （2）设b n =(−1)n a n ，求b 1+b 2+b 3+⋯+b 20．解：（1）证明：因为a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ， 所以a n+12−a n 2=(a n+1−a n )(a n+1+a n )=2(a n+1+a n )，因为数列{a n }各项均为正数，即a n +1+a n ＞0， 所以a n +1﹣a n ＝2，即数列{a n }为等差数列，公差为d ＝2，首项为a 1＝2． 所以a n ＝2+（n ﹣1）×2＝2n ；（2）由（1）知a n＝2n，其公差为d＝2，所以b n=(−1)n a n=(−1)n⋅2n，所以b1+b2+b3+⋯+b20＝（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+⋯+（﹣a19+a20）＝10d＝20．18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC⊥平面P AB，P A＝AB＝BC＝2AD＝2，E为AB的中点，且PE⊥EC．（1）求证：BD⊥平面PEC；（2）求二面角E﹣PC﹣D的正弦值．（1）证明：因为BC⊥平面P AB，PE⊂平面P AB，所以BC⊥PE，因为PE⊥EC，EC∩BC＝C，EC，BC⊂平面BCD，所以PE⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，所以PE⊥BD，因为tan∠ABD=ADAB=12，tan∠BCE=BEBC=12，所以∠ABD＝∠BCE，因为∠BCE+∠CEB＝90°，所以∠ABD+∠CEB＝90°，即BD⊥CE，又PE∩CE＝E，PE，CE⊂平面PEC，所以BD⊥平面PEC．（2）解：由（1）得PE⊥AB，因为E为AB的中点，且P A＝AB＝2，所以PB＝2，以E为坐标原点，EB，EP所在直线分别为x轴，z轴，过点E作BC的平行线为y轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，则E （0，0，0），P(0，0，√3)，C （1，2，0），D （﹣1，1，0），B （1，0，0）， 所以PC →=(1，2，−√3)，PD →=(−1，1，−√3)，PE →=(0，0，−√3)， 设平面PCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)， 由PC →⋅m →=0，PD →⋅m →=0得，{x +2y −√3z =0−x +y −√3z =0，令x ＝1，则y ＝﹣2，z =−√3，所以m →=(1，−2，−√3)， 由（1）知，平面PCE 的一个法向量为BD →=(−2，1，0)， 所以cos ＜m →，BD →＞=m →⋅BD →|m →||BD →|=8×5=−√105，所以二面角E ﹣PC ﹣D 的正弦值为√155． 19．（12分）已知圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． （1）求四边形QAMB 面积的最小值； （2）若|AB |=4√23，求Q 点的坐标．解：（1）∵圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，∴MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB =|MA|⋅|QA|=|QA|=√|MQ|2−|MA|2=√|MQ|2−1≥√|MO|2−1=√3． ∴四边形QAMB 面积的最小值为√3．（2）设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP|=√1−(223)2=13．在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1=13|MQ|， ∴|MQ |＝3，设Q （x ，0），则x 2+22＝9， ∴x =±√5， ∴Q(±√5，0)．20．（12分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '，定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2． （1）求抛物线的方程；（2）当KA →=λKB →（λ∈R 且λ≠1）时，是否存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）不妨设抛物线焦点为F ， 此时F(p2，0)，因为A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '， 所以|AA '|＝|AF |，又定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2， 此时|KA|+|AA′|=|KA|+|AF|≥|KF|=√2， 即|KF|=√(p 2−0)2+(0−1)2=√2， 解得p ＝2或p ＝﹣2（舍去）， 则抛物线的方程为y 2＝4x ； （2）因为KA →=λKB →， 所以K ，A ，B 三点共线，不妨设直线AB 方程为x ＝t （y ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 1，y 1），T （m ，n ）， 联立{y 2=4x x =t(y −1)，消去x 并整理得y 2﹣4y +4t ＝0，此时Δ＝（4t ）2﹣4×4t ＞0， 解得t ＜0或t ＞1，由韦达定理得y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝4t ， 所以x 1＝t （y 1﹣1），x 2＝t （y 2﹣1），此时TA →⋅TB →=(x 1−m)(x 2−m)+(y 1−n)(y 2−n)，因为TA →⋅TB →=[ty 1﹣（m +t ）][ty 2﹣（m +t ）]+（y 1﹣n ）（y 2﹣n ） ＝（t 2+1）y 1y 2﹣[t （m +t ）+n ]（y 1+y 2）+（m +t ）2+n 2 ＝4t （1﹣4m ）2﹣4t [t （m +t ）+n ]+（m +t ）2+n 2 ＝（1﹣4m ）t 2+2（2﹣2n +m ）t +m 2+n 2， 若存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值， 此时1﹣4m ＝0且2﹣2n +m ＝0， 解得m =14，n =98，此时T(14，98)，此时TA →⋅TB →=8564． 21．（12分）已知数列{a n }，a 1＝2，a n+1=2−1a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 2n b 2n−1=b 2n+1b 2n=a n ．（1）求证：数列{1a n −1}为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）求b 2n +1的表达式； （3）求证：1b 2+1b 4+⋯+1b 2n＜1．（1）证明：由a 1＝2，a n+1=2−1a n 可知a n+1−1=a n −1a n ， ∴1a n+1−1=a n a n −1=1+1a n −1故1a n+1−1−1a n −1=1，又1a 1−1=1，∴数列{1a n −1}是以1为公差，1为首项的等差数列，∴1a n −1=n ，即a n =n+1n ． （2）解：由b 2n b 2n−1=b 2n+1b 2n=a n ，有b 2n+1b 2n−1=a n2=(n+1n)2，∴b2n+1=b2n+1b2n−1×b2n−1b2n−3×...×b3b1×b1=(n+1n)2×(nn−1)2×⋯×(21)2×1＝（n+1）2，∴b2n+1=(n+1)2．（3）证明：由（2）可得：b2n=b2n+1a n=(n+1)2n+1n=n(n+1)，∴1b2+1b4+⋯+1b2n=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1＜1．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，上、下顶点分别为B1、B2，A为椭圆上的点，且满足k AB1⋅k AB2=−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围．解：（1）由于焦距为2，则c＝1，设A（x0，y0），则x02a2+y02b2=1，又B1（0，b），B2（0，﹣b），k AB1⋅k AB2=−34，则k AB1⋅k AB2=y0−bx0⋅y0+bx0=y02−b2x02=−b2a2=−34，∴a2=43b2=43(a2−1)，∴a＝2，b=√3．即椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）由对称性可知，四边形PQNM 为平行四边形， 设MN ：x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将直线MN 的方程与椭圆方程联立得：（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0． 由根与系数的关系可得，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 则|MN|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4， 设点F 2（1，0）到直线l 1的距离为d ，则d =2√1+m 2，所以四边形PQNM 面积为：S =|MN|d =24√1+m 23m 2+4．设√m 2+1=t ≥1，则S =24t 3t 2+1=243t+1t在t ∈[1，+∞）单调递减，所以S 的取值范围为（0，6]．。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y−12=0的倾斜角是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|等于A. 5B. 34C. 41D. 523.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1 B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1 D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是( )A. 612B. 68C. 38D. 56246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A(0,23)，则▵APF的周长的最大值为A. 9+21B. 14C. 7+23+5D. 15+37.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 210B. 6C. 26D. 268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=−x2+1(x≠±1)B. y=x2+1(x≠±1)C. x=−y2+1(y≠±1)D. x=y2+1(y≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. −13B. 13C. −79D. 7910.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )A. |PQ|=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=±223x D. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为−12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|x2+x﹣2＜0，x∈R}，B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜2}2．“m＝﹣2”是“直线l1：mx+4y+2＝0与直线l2：x+my+1＝0平行”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为[0，50）、[50，100）、[100，150）、[150，200）、[200，300）和[300，500]六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（）A．这14天中有5天空气质量为“中度污染”B．从2日到5日空气质量越来越好C．这14天中空气质量指数的中位数是214D．连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日4．在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣4＝0与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（）A．x2+y2+6y﹣16＝0B．x2+y2﹣6y﹣16＝0C．x2+y2+8y﹣9＝0D．x2+y2﹣8y﹣9＝05．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．x220−y25=1B．x25−y220=1C．x280−y220=1D．x220−y280=16．抛物线y2＝2px（p＞0）焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4√3，则抛物线方程为（ ） A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2=152x 7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞0．给出以下四个结论：①f （0）＝0；②f （x ）可能是偶函数；③f （x ）在[m ，n ]上一定存在最大值f （n ）；④f （x ﹣1）＞0的解集为{x |x ＜1}．共中正确的结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在焦点在x 轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是[72b 2，92b 2]，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．[√297，√659]B ．[√317，√679] C ．[√337，√659] D ．[√347，√699] 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市数学高二上学期理数期中考试试卷
湖南省长沙市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“若则”及其逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数可能是（）A . 1B . 2C . 3D . 都有可能2. （2分）已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x（0，），tanx＞sinx下列是真命题的是（）A . （﹣p）∧qB . （﹣p）∨（﹣q）C . p∧（﹣q）D . p∨（﹣q）3. （2分）已知，若，则m=（）A . -B . ﹣2C .D . 24. （2分）已知， =（x，3）， =（3，1），且∥ ，则x=（）A . 9B . ﹣9D . ﹣15. （2分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与DC1所成角的大小为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高二上·林芝期末) 抛物线 x2=-2y 的准线方程为（）A .B .C .D .7. （2分）经过抛物线y=x2的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（）A . x+48y﹣3=0B . x+80y﹣5=0C . x+3y﹣3=0D . x+5y﹣5=08. （2分） (2017高二下·襄阳期中) 已知椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线与l1的交点的轨迹为曲线C2 ，若点Q是C2上任意的一点，定点A（4，3），B（1，0），则|QA|+|QB|的最小值为（）B . 3C . 4D . 59. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 命题p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，命题q：0＜a＜1，则p 是q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2018高二上·长安期末) 已知正四棱柱中，，为的中点，则直线与平面的距离为（）A . 1B .C .D . 212. （2分）椭圆的两个焦点为,，过作垂直于X轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=A .B .C .D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·嘉峪关期末) 已知线段AB的端点B的坐标是（8，6），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为________．14. （1分） (2017高三下·深圳月考) 直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是________．15. （1分）(2018·如皋模拟) “ ”是“两直线和平行”的________条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空)16. （1分）设双曲线﹣y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段（2≤x≤2，y≥0）上的点，线段|PkF|的长度为ak ，（k=1，2，3，…，n）．若数列{an}成等差数列且公差d∈（，），则n 最大取值为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2015高三上·潍坊期中) 设p：A={x|2x2﹣3ax+a2＜0}，q：B={x|x2+3x﹣10≤0}．（1）求A；（2）当a＜0时，若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．18. （5分） (2018高二上·大连期末) 已知椭圆：的离心率为，右顶点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，设直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值.19. （15分）(2017·霞浦模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．（1）求证：AE∥平面PCD；（2）记平面PAB与平面PCD的交线为l，求二面角C﹣l﹣B的余弦值．20. （10分） (2019高二上·南宁月考) 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点得，求实数的取值范围.21. （10分）(2018·上海) 设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：，l与x轴交于点A，与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动点。
湖南省长沙市高二上学期期中数学试卷
湖南省长沙市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，x等于（）A . 11B . 12C . 13D . 142. （2分） (2019高二上·上杭期中) 数列的通项公式为，则的第5项是（）A . 13B .C .D . 153. （2分） (2018高二上·阜阳月考) 在△ABC中，已知 ,则B等于（）A . 30°B . 60°C . 30°或150°D . 60°或120°4. （2分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 等腰三角形D . 不能确定5. （2分）已知函数在[−1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是（）A . −8≤a≤−6B . −8<a<−6C . −8<a≤−6D . a≤−66. （2分）的三个内角所对的边分别为，（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高三上·金山期中) 在公差不为零的等差数列{an}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且a7=b7 ，则log2（b5b9）的值为（）A . 2B . 4C . 8D . 18. （2分） (2017高二下·衡水期末) 设等差数列{an}满足3a8=5a15 ，且，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为（）A .B . S24C . S25D . S269. （2分） (2018高二上·会宁月考) 已知等比数列的前项和为，且为等差数列，则等比数列的公比（）A . 可以取无数个值B . 只可以取两个值C . 只可以取一个值D . 不存在10. （2分）等轴双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点为F（c，0），方程的实根分别为和，则三边长分别为｜｜，｜｜，2的三角形中，长度为2的边的对角是（）A . 锐角B . 直角C . 钝角D . 不能确定11. （2分）已知x,y满足线性约束条件，则的取值范围是（）A .B .C . [1,2]D .12. （2分）已知不等式对任意正实数x ， y恒成立，则正实数a的最小值为（）A . 2B . 4C . 8D . 16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·佛山期中) 若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于________．14. （1分） (2016高二上·宾阳期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3 ，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为________．15. （1分） (2015高二上·天水期末) 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣2，Sn=2an+2，则an=________．16. （1分）(2017·南通模拟) 已知a，b∈R，a＞b，若2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，则2a﹣b的最小值为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2017高二下·瓦房店期末) 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， cos＝．（1）求cosB的值；（2）若，b＝2 ，求a和c的值．18. （5分）(2017·运城模拟) 如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC= DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2 ，求DC的长．19. （5分） (2019高三上·丽水月考) 已知数列，，，．记．求证：（Ⅰ）当时（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）20. （5分）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b（万吨）c（百万元）A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用．21. （10分） (2016高一下·辽源期中) 解答（1）解不等式＜0．（2）若关于不等式x2﹣4ax+4a2+a≤0的解集为∅，则实数a的取值范围．22. （10分） (2015高二上·淄川期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，当n≥2时，Sn=2an ．（1）求证数列{an}为等比数列，并求出an的通项公式；（2）设若bn=an+1﹣1，设数列{an•bn}的前n项和为Tn，求Tn．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题
湖南省长沙市四校2022-2023学年度第一学期期中联考高二数学第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.点()3,5,7A -关于y 轴的对称点的坐标为（ ） A.()3,5,7--- B.()3,5,7-- C.()3,5,7-- D.()3,5,7--2.若圆224x y +=与圆222210x y mx m +-+-=相外切，则实数m =（ ） A.3- B.3 C.3± D.13.已知圆22:(2)4,M x y M ++=为圆心，P 为圆上任意一点，定点()2,0A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（ ）A.()2212412x y x -=≤-B.221412x y -=C.()22113y x x -=≤- D.2213y x -=4.已知空间向量()()3,4,0,3,1,4a b ==-，则b 在a 上的投影向量坐标是（ ） A.()3,4,0-- B.34,,055⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭D.()3,1,4-- 5.已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ）A.1 C.326.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ，若11C M xAB yAD z AA =++，则(),,x y z =（ ）A.11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭B.11,,122⎛⎫⎪⎝⎭C.11,,122⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.11,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭7.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P 为空间中一点.下列论述正确的是（ ）A.若112AP AD =，则异面直线BP 与1C D 所成角的余弦值为3B.若[]()10,1BP BC BB λλ=+∈，三棱锥1P A BC -的体积不是定值C.若[]()110,12BP BC BB λλ=+∈，有且仅有一个点P ，使得1A C ⊥平面1AB P D.若[]()10,1AP AD λλ=∈，则异面直线BP 和1C D 所成角取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.已知椭圆2222:1(0),x y C a b C a b+=>>的上顶点为A ，左右焦点为12,F F ，离心率为12.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于,D E 两点，6DE =，则ADE 的周长是（ ）A.19B.14C.252D.13 二､多选题､4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列说法正确的有（ ）A.若14t <<，则曲线C 为椭圆B.若曲线C 为双曲线，则1t <或4t >C.曲线C 不可能是圆D.若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<10.在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()(),a a b b a b ⊥⨯⊥⨯，且,a b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,,a b a b a b ⨯=（,a b 表示向量,a b 的夹角）.在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论，正确的有（ ）A.11AB AC AD DB ⨯=⨯B.111AC A D ⨯与1BD 共线C.AB AD AD AB ⨯=⨯D.6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆22:(3)(4)4E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A.椭圆C 的焦距为1B.椭圆C 的短轴长为C.PQ PF +的最小值为D.过点F 的圆E 的切线斜率为43- 12.如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ，点P 为半圆弧AD 上一动点（点P 与点A ，D 不重合），下列说法正确的是（ ）A.三棱锥P ABD -的四个面都是直角三角形B.三棱锥P ABD -的体积最大值为1254C.异面直线PA 与BC 的距离是定值D.当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面面积为4第II 卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13.已知，空间直角坐标系xOy 中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.经过点()000,,P x y z 且方向向量为(),,n A B C =的直线方程为000x x y y z z A B C---==.用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为2210x y z -++=，直线l 的方程为12231x y z --==-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为__________. 14.若12,F F 是椭圆22:194x yC +=的两个焦点，点,P Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PF QF 的面积为__________.15.已知圆22:(1)(2)1C x y ++-=，点()()1,0,1,0A B -.设P 是圆C 上的动点，令22||||d PA PB =+，则d 的最小值为__________.16.已知椭圆C ：22143x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ 的外心为G ，则2||AB GF 的值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知△ABC 的三个顶点分别为A （2，1），B （-2，3），C （0，-3），求： （1）若BC 的中点为D ，求直线AD 的方程； （2）求△ABC 的面积.18.在锐角ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a bC A B+=+ （1）求角C 的大小；（2）若c =A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围. 19.如图，斜三棱柱111ABCA B C的体积为1A BC的面积为AB BC ⊥，1AA AB ==1A BC ⊥平面11ABB A ，D 为线段1A C 上的动点（包括端点）.（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）求直线AD 与平面1A BC 所成角的正弦值的取值范围.20.已知圆C 的圆心C 在直线1l ：210x y --=上，且与直线2l ：40x y +-=相切于点()2,2P . （1）求圆C 的方程；（2）过点()2,3的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且90MCN ∠=︒，求直线l 的方程.21.如图，1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D ，E 分别是1AA ，1CB 的中点，DE ⊥面1CBB .（1）证明：DE //平面ABC ；（2）若1BB BC =，求平面11A B C 与平面1BB C 的夹角余弦值.22.已知直线():b l y x m m a =+∈R 与椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>交于点A ，B ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D.当直线l 经过椭圆E 的左顶点时，椭圆E 两焦点到直线l 的距离之比为5:1.（1）求椭圆E 的离心率；（2）若2214AC BC +=，求22AD BD +的值.参考答案一､单选A ：由112AP AD =，即P 为1AD 中点，连接1,,BP BC BD ，若,E O 分别是1,BC BD 中点，连接1,OE ED ，则1OE C D ∥，又1BE PD =且1BE PD ∥，即1BED P 为平行四边形，所以1BP ED ∥， 所以异面直线BP 与1C D 所成角，即为1OED ∠或其补角，而112OE DC ==1ED =1OD =，故1cos OED ∠==，错误；B ：由[]()10,1BP BC BB λλ=+∈知：P 在11B C （含端点）上移动，如下图示，△PBC 面积恒定，1A 到面PBC 的距离恒定，故1P A BC -的体积是定值，错误； C ：若,E F 分别是11,BB CC 中点，由[]()110,12BP BC BB λλ=+∈知：P 在EF （含端点）上移动，由CD ⊥面11ADD A ，CD ⊂面1DCA ，则面11ADD A ⊥面1DCA ， 由11AD A D ⊥，面11ADD A ⋂面11DCA A D =，1AD ⊂面11ADD A ，所以1AD ⊥面1DCA ，1A C ⊂面1，则1AD ⊥1A C ，同理可证：1AB ⊥1A C ， 由1AD ⋂1AB A =，1AD ､1AB ⊂面11AB D ，故1A C ⊥面11AB D ，而面1AB P ⋂面111AB D AB =，要使1A C ⊥面1AB P ，则P 必在面11AB D 内， 显然EF ⊄面11AB D ，故错误； D ：由[]()10,1AP AD λλ=∈知：P 在1AD （含端点）上移动，如下图建系1(2,2,0)C ，(0,2,2)D ，(2,0,2)B ，则1(2,0,2)C D =-， 设(0,,2),[0,2]P a a a -∈，则(2,,)BP a a =--， 所以122422cos ,224222a a BP C D aa--<==+>+，令2[0,2]a x -=∈，当=2a ，即=0x 时，1cos ,0BP C D <>=，此时直线BP 和1C D 所成角是π2； 当2a ≠，即2(]0,x ∈时，则12211cos ,641112126()33BP C D x xx <==-+->+，当112t x ==，即=0a 时，1cos ,BP C D <>取最大值为2， 直线BP和1C D所成角的最小值为π4，正确.8.【详解】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以2a c =，b ==，如图，2160AF F ∠=︒，所以12AF F △为正三角形，又因为直线DE 过1F 且垂 直于2AF ，所以1230DF F ∠=︒，直线DE 的方程为：)y x c =+， 设点D 坐标()11,x y ，点E 坐标()22,x y ，将直线方程与椭圆方程2222143x y c c+=联立，得22138320x cx c +-=，则12813c x x +=-，2123213c x x =-，所以48613c DE ===，得138c =，134a =. 由图，直线DE 垂直平分2AF ，所以ADE 的周长等于2F DE △的周长，等于413a =.二､多选题对于A ，∵四边形ABCD 为正方形，∴△BAD 为直角三角形；∵AD 为直径，P 为半圆弧AD 上一动点，∴PA PD ⊥，△APD 为直角三角形；∵平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，AB AD ⊥，∴AB ⊥平面APD ，∵PA ⊂平面APD ，∴AB PA ⊥，△PAB 为直角三角形；∵AB ⊥平面APD ，PD ⊂平面APD ，∴AB PD ⊥， 又∵PA PD ⊥，ABPA A =，AB ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ，∵PB ⊂平面PAB ，∴PD PB ⊥，△BPD 为直角三角形； 因此，三棱锥P ABD -的四个面都是直角三角形，故A 正确；对于B ，过点P 在平面APD 内作PE AD ⊥于点E ，∵平面APD ⊥平面ABCD ，平面平面ABCD AD =，PE ⊂平面APD ，∴PE ⊥平面ABCD ，PE 为三棱锥P ABD -的高， ∴三棱锥P ABD -的体积13P ABD ABD V S PE -=⋅△ ∵△ABD 的面积1255522ABDS =⨯⨯=△为定值， ∴当PE 最大时，三棱锥P ABD -的体积最大，此时点P 为半圆弧AD 的中点，1522PE AD ==， ∴三棱锥P ABD -体积的最大值为125512532212⨯⨯=，故B 错误； 对于C ，由A 选项解析可知，AB PA ⊥， 又∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥，∴异面直线PA 与BC 的距离为线段AB 的长，5AB =， ∴异面直线PA 与BC 的距离是定值，故C 正确；对于D ，由B 选项解析知，PE ⊥平面ABCD ，EB 为PB 在平面ABCD 内的射影，∴PBE ∠为直线PB 与平面ABCD 所成角，当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，cos PBE ∠取最小值，以D 为原点，建立空间直角坐标系如图，设DE a =，()0,5a ∈，PE h =，则5AE a =-∴在直角三角形APD 内，2PE AE ED =⋅，即2(5)h a a =-，∴(),0,0E a ，(),0,P a h ，()5,5,0B ，()5,5,BP a h =--，()5,5,0BE a =--()()()2222525cos cos ,525525a BP BEPBE BP BE BP BEa h a -+⋅∠=<>==-++⋅-+=======∵()0,5a ∈，∴100a ->≥=∴当且仅当1010510a a-=-，即10a =-cos PBE ∠取最小值，直线PB 与平面ABCD 所成角最大，此时，()2222525505252PB BPa h a ==-++=-= ∵P ，A ，B 三点均为四棱锥P ABCD -的顶点，∴平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面为△PAB 的外接圆面， ∵直角三角形PAB 外接圆半径12r PB =， ∴截面面积22ππ44PB S r ===，故D 正确. 三、填空题13.714.815.14- 16.4 16.【详解】由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得22(34)690m y my ++-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， ∴AB 的中点坐标为2243(,)3434mm m -++，∴212212(1)|||34m AB y y m +=-==+.∵G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为2234()3434m y m x m m +=--++， 令0y =，得2134x m =+，即21(,0)34G m +，∴2222133|||1|3434m GF m m +=-=++ ∴()222221213443334m ABm m GF m ++==++. 四、解答题17.【详解】解：（1）∵B （-2，3），C （0，-3）， ∴D （-1，0）. ∴直线AD 的方程为120112y x --=---， 整理得：x -3y +1=0；（2）∵B （-2，3），C （0，-3）， ∴|BC|==又直线BC 的方程为3x +y +3=0，则A 点到直线BC的距离为d ==∴△ABC的面积为1122ABCS BC d =⋅⋅=⨯ 18.【详解】（1）∵cos cos cos c a bC A B+=+， 由正弦定理可得，sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+， 整理可得：sin cos sin cos sin cos sin cos C A C B A C B C +=+，即sin cos sin cos sin cos sin cos C A A C B C C B -=-， 即：()()sin sin C A B C -=-， 又因为锐角ABC ，所以ππ,22C A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以C A B C -=-，即2A B C +=，又πA B C ++=，所以3C π=；（2）由题意可知2π3ADB ∠=，设DAB α∠=，所以π3ABD α∠=-，又π022α<<，πππ20,32B α⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,124α⎛⎫∈⎪⎝⎭， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AB ADADB ABD=∠∠，即2ππsin sin 33ADα=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以π2sin 3AD α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以11πsin 2sin sin 223ABDSAB AD ααα⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭23πsin cos 222264αααα⎛⎫=⋅-=+-⎪⎝⎭， 又ππ,124α⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以ππ2π2,633α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 2,162α⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，π26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝⎦ 即ABD △面积的取值范围为⎝⎦.19.【详解】 （1）1111133V A ABC A BC A A BCS d --=⋅=⨯所以11A A BC A BC d S -===即A 到平面1A BC. （2）如下图取1A B 的中点M ，连接AM ，AD ，MD 1AA AB =1AM A B ∴⊥又平面1A BC ⊥平面11ABB AAM ∴⊥平面1A BC则ADM ∠即为直线AD 与平面1A BC所成的角，且1A A BC AM d -==于是有BM ==，12A B BM ==AM ⊥平面1A BC AM BC ∴⊥ 又AB BC ⊥BC ∴⊥平面1A AB1BC A B ∴⊥1122A BCSBC A B∴==3AC ∴==，14AC == 在1AAC △中由等面积法求得A 到1A C的距离为22AD∴≥又3AD AC ≤=2AD ⎤∴∈⎢⎥⎣⎦sin 311AM ADM AD AD ∴∠==∈⎢⎣⎦. 20.【详解】（1）由题意设圆心C 为(,21)a a -，半径为R ， 因为圆C 与直线2l ：40x y +-=相切于点()2,2P ，R ==，所以()()()222352223a a a ⎡⎤-=-+-⎣⎦，化简得2210a a -+=， 解得1a =，所以圆心C 为(1,1)，半径R =所以圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=， （2）因为90MCN ∠=︒，所以2MN ==，所以圆心C 到直线l 的距离为1，①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，此时满足条件，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=， 因为圆心C 到直线l 的距离为1，1=，解得34k =， 所以直线l 的方程为33042x y -+=，即3460x y -+=， 综上，直线l 的方程为2x =或3460x y -+=.21.【详解】（1）取1BB 中点F ，连接DF ，EF ，如图所示：因为,,D E F 分别为1AA ，1B C ，1BB 的中点， 所以//DF AB ，//EF BC ，又因为DF ⊄平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以DF ∥平面ABC ，EF ∥平面ABC ， 又因为DFEF F =，,DE EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ∥平面ABC ，又因为DE ⊂平面DEF ， 所以DE //平面ABC .（2）连接,EO AO ，如图所示：因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//EO BB ，11=2EO BB ， 又因为D 为1AA 的中点，所以1//DA BB ，112DA BB =， 所以EO DA =，//EO DA ，即四边形AOED 为平行四边形，即//DE AO . 因为DE ⊥面1CBB ，所以AO ⊥面1CBB .又因为BC ⊥面1CBB ，所以AO BC ⊥，即AB AC =.以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 设12BB BC ==，则AB AC ==)12B =，()C =，()10,0,2=，()0,0,1D =，E ⎫=⎪⎪⎝⎭， 22,,022DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()112,0,0A B =，()10,2,2AC =-， 设平面11A B C 的法向量为(),,n x y z =，则11120220n A B x nACy z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令y =得()0,2,1n =.则13cos ,3112122n DE ==+⋅+， 所以平面11A B C 与平面1BB C 22.【详解】 （1）当直线:bl y x m a=+经过椭圆E 的左顶点(),0a -时，m =b ，此时l 的方程为0bx ay ab -+=.∴椭圆E 的左焦点(),0c -与右焦点(),0c 到直线l.5ab bc -=5ab bcab bc+=-，解得：3c =2a ，∴椭圆E 的离心率23c e a ==. （2）∵3c =2a ，∴22259a c a -=，即2259b a =， ∴3b a =.∴直线l 的方程为3y x m =+①， ∴C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,D m . 设椭圆E 的方程为()221095x y n n n+=>②，()11,A x y ，()22,B x y.将①代入②并化简得，222109155m x x n n n++-=.∴2281095m n n ⎛⎫∆=--> ⎪⎝⎭⎝⎭，125x x +=-，21299102m n x x =-. ∵2214AC BC +=，∴2222112214x x m x x m ⎫⎫⎛⎛++++++=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎝⎭， ∴()))2212121212142821495m x x x x x x x x ⎡⎤+-+++=⎣⎦， ∴2222214991828921495555m m m m n m ⎛⎫-+--+=⎪⎝⎭， ∴14n =14，即n =1，∵()()2222221122AD BD x y m x y m +=+-++-∴()222222211221212141429143399AD BD x x x x x x x x n ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=+-=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 即2214AD BD +=.。
湖南省长沙市高二上学期期中数学试卷
湖南省长沙市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共27分)1. （2分）(2018·河南模拟) 设集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）命题怕：，命题q:，则p是q的（）．A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不不要条件3. （2分） (2017高三上·湖南月考) 某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为，且直线与以为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·晋中模拟) 下列命题中，真命题的个数为①对任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；③非零向量，若，则向量与向量的夹角为锐角；④．（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （5分） (2019高二下·大庆期末) 如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（）．A．－1 B．0 C．2 D．46. （2分）右边的程序运行后输出的结果的是（）A . 32B . 64C . 128D . 2567. （2分） (2016高一下·珠海期末) 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列事件是对立事件的为（）A . 恰好一个白球和全是白球B . 至少有一个白球和全是黑球C . 至少有一个白球和至少有2个白球D . 至少有一个白球和至少有一个黑球8. （2分） (2020高一下·鹤岗期末) 已知数列满足．设，为数列的前n项和．若（常数），，则的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·沙坪坝期中) 中心在原点的椭圆长轴右顶点为（2，0），直线y=x﹣1与椭圆相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·龙岩模拟) 在棱长为2的正方体中，P是正方形内（包括边界）的动点，M是CD的中点，且，则当的面积最大时，的值为（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A . x=B . x=C . x=D . x=12. （2分）(2017·鞍山模拟) 已知函数f（x）= ，若f（x）﹣f（﹣x）=0有四个不同的根，则m的取值范围是（）A . （0，2e）B . （0，e）C . （0，1）D . （0，）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二上·凯里期中) 二进制数101 0（2）化为十进制后为________．14. （1分）已知双曲线的其中一条渐近线的倾斜角是，则该双曲线的离心率________．15. （2分）某锥体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________ 表面积为________16. （1分） (2020高二下·浙江期中) 已知椭圆，为y轴上一动点.若存在以点P 为圆心的圆P与椭圆C有四个不同的公共点，则m的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）设函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，若b=5，且，求△ABC面积的最大值．18. （5分）某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量.19. （10分）(2020·南通模拟) 如图，在四棱锥中，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若E为的中点，求证：平面 .20. （10分）已知椭圆的离心率为，经过点，且椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与直线交于点，与椭圆交于两点（点在第一象限），满足 .（1）求椭圆的方程；（2）若四边形的面积为，求实数的值.21. （15分） (2016高二上·乾安期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn=2﹣an ， n=1，2，3，…．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an ，求数列{bn}的通项公式；（3）设cn=n（3﹣bn），求数列{cn}的前n项和为Tn ．22. （5分） (2016高二下·普宁期中) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在说明理由．参考答案一、选择题： (共12题；共27分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、第11 页共11 页。