贝叶斯推断
贝叶斯网络的精确推断方法(五)
贝叶斯网络是一种用于建模概率关系的图形化工具，它能够表示变量之间的依赖关系，并且可以用于进行各种推断任务。
贝叶斯网络的精确推断方法是指通过计算准确的概率分布来得到推断结果，而不是使用近似方法。
本文将介绍几种贝叶斯网络的精确推断方法，并探讨它们的优缺点。
一、变量消除算法变量消除算法是一种常用的贝叶斯网络精确推断方法，它通过逐步消除网络中的变量来计算目标变量的概率分布。
这种方法的优点在于可以得到准确的结果，但是计算复杂度较高，在网络结构较为复杂时会变得非常耗时。
另外，如果网络中存在大量的父节点，变量消除算法的计算复杂度也会大大增加。
二、信念传播算法信念传播算法是一种基于因子图的推断方法，它通过在因子图上进行消息传递来计算目标变量的概率分布。
这种方法的优点在于可以并行计算，适用于一些较为复杂的网络结构。
然而，信念传播算法并不能保证得到全局最优解，有时会得到局部最优解或者近似解。
另外，如果网络中存在环路，信念传播算法的表现也会受到影响。
三、动态规划算法动态规划算法是一种经典的优化算法，可以用于求解贝叶斯网络中的精确推断问题。
这种方法的优点在于可以得到全局最优解，但是计算复杂度随着网络规模的增加而指数级增长。
因此，它适用于一些规模较小的网络结构，对于规模较大的网络则不太适用。
四、近似推断方法除了上述的精确推断方法外，还有一些近似推断方法可以用于处理复杂的贝叶斯网络。
比如马尔科夫链蒙特卡洛法、变分推断等方法，它们可以在一定程度上缓解计算复杂度的问题，但是无法保证得到准确的结果。
因此，对于一些对结果精度要求不高的问题，这些方法也是可以考虑的选择。
总结来看，贝叶斯网络的精确推断方法在处理一些要求准确结果的问题时非常有用，但是也存在一些局限性。
在实际应用中，需要根据具体的问题和网络结构选择合适的推断方法，并且在计算效率和结果精度之间做出权衡。
随着计算机技术的不断发展，相信贝叶斯网络的推断方法也会不断得到改进和完善。
变分贝叶斯推断 和 变分推断
变分贝叶斯推断和变分推断变分贝叶斯推断（Variational Bayesian Inference）和变分推断（Variational Inference）是两种常见的概率推断方法。
它们可以用于从观察数据中学习概率模型的参数，并进行预测。
本文将分别介绍这两种推断方法的基本原理和应用领域。
1.变分贝叶斯推断（Variational Bayesian Inference）变分贝叶斯推断是一种基于贝叶斯推断的方法，通过引入变分分布来近似真实的后验分布。
变分分布是一种简化的概率分布，其参数由一组变分参数表示。
通过最小化真实后验分布与变分分布之间的差异，可以得到变分参数的最优解。
变分贝叶斯推断的基本原理是在概率模型中引入隐变量，通过给定观察数据和先验概率，通过最大化后验概率（Posterior）来估计未观察到的变量。
然而，精确计算后验概率通常是困难的，因此引入了变分分布来近似后验分布。
变分贝叶斯推断可以看作是一种参数优化问题，通过不断迭代优化变分参数，使得变分分布与真实的后验分布尽量接近。
变分贝叶斯推断在许多机器学习和统计学问题中具有重要的应用。
例如，在主题模型和潜在狄利克雷分配（Latent Dirichlet Allocation）中，变分贝叶斯推断可以用来学习主题和文档之间的关系。
在深度学习中，变分自编码器（Variational Autoencoder）可以用于生成模型中的隐变量推断。
此外，在图模型、强化学习和贝叶斯优化等领域，变分贝叶斯推断也有广泛的应用。
2.变分推断（Variational Inference）变分推断是一种常见的非贝叶斯推断方法，用于近似未知后验分布。
与变分贝叶斯推断相比，变分推断更加灵活，因为它不依赖于特定的先验分布或模型选择。
变分推断通过最小化真实的后验分布和变分分布之间的差异，来获得变分参数的最优解。
变分推断的基本原理是通过一组变分参数来描述概率分布的近似。
这些变分参数可以通过最大化变分下界（Variational Lower Bound）来进行优化。
贝叶斯应用
阶段的后验概率，以实现检测僵尸网络。通过实验表明，该方法检测僵
尸网络是有效的，检测正确率在 90%以上，并且该方法较单机检测僵尸 网络的贝叶斯算法效率有了很大的提高。
[1]邵秀丽 ，刘一伟 ，耿梅洁 ，韩健斌．检测僵尸网络的贝叶斯算法的MapReduce 并行化实
现[J]．只能系统学报，2014，9( 1) : 1－ 7
练样本的类标签构成的向量；测试样本T的属性构成的向量
A=[a1,a2,„,aM]。 输出 测试样本的类标签。
步骤如下 1. 对训练样本属性矩阵D按列进行归一化； 2. 得到最优向量x； 3. 计算测试样本类标签。
12
实验环境及结果
采用加州大学欧文分校提供的机器学习公开数据集中的德国信用数据
集和澳大利亚信用数据集对本文方法进行验证。为了评估算法的性能，
16
判别函数的结果及检验
采用自身检验法及交叉验证法来检验判别函数模型的诊断能力，结果见表２
再将检验组42例（20％）患者共307枚淋巴结的数据代入诊断模型以验证 模型的诊断能力，结果见表3
17
判别函数的结果及检验
对上述检验模型进行验证，结果显示全部1217枚淋巴结，对 1003枚 非转移淋巴结共判对898枚，正确率为89.5％（即特异度）；214枚转移淋 巴结中，判对169枚，正确率为79.0％（即敏感度），诊断模型的诊断符 合率为87.7％，共误判150枚，误判率为12.3％。交叉检验法与自身检验法 所得结果相近。 由于自身检验法及交叉验证法常常低估误判率，从而夸大判别效果， 因此我们采用验证样本对诊断模型作前瞻性误判概率的估计，这种方法所 得的误判概率比较客观。非转移淋巴结组共251枚淋巴结，判对223枚，正 确率为 88.8％（即特异度）；转移淋巴结组共56枚，判对37枚，正确率为
贝叶斯推断
(
P (θ ∈Cn | X n ) →1−α
22
f (θ | X n ) ∝ Ln (θ ) f (θ ) 禳 镲 镲 ? exp睚 Ln (q) log f (q) log 1 4444444 2 4444444 3 4 4 镲 镲 镲 铪 分别展开
l (q)= l $ + q- $ l ' $ + q q q
机器学习和数据挖掘更偏爱贝叶斯推断
4
贝叶斯方法
贝叶斯推断的基本步骤如下： 选择一个概率密度函数 f (θ )，用来表示在取得数据之 前我们对某个参数 θ的信念。我们称之为先验分布。 选择一个模型 f (x | θ ) （在参数推断一章记为 f (x;θ ) ）
来反映在给定参数 θ 情况下我们对x的信念。 当得到数据 X1, X2,…Xn 后，我们更新我们的信念并且 计算后验分布 f (θ | X1,..., Xn ) 。 从后验分布中得到点估计和区间估计。
其中 p0 = a (a + b )为先验的均值。 先验和后验为相同的分布族：共轭
如例子中的Beta分布
14
例：正态分布
令 X1,..., Xn ~ N q, s 2 ，为简单起见，假设 s 已知，并 假设先验为 q : N a, b2
(
n n
(
)
)
骣1 ÷ 禳 1 2 镲 ç Ln (q | x )= ç ÷ exp睚 2 å (xi - q) ç 2ps ÷ 镲 2s 桫 镲 铪
13
例：Bernoulli II
现在假设先验不是均匀分布，而是 p : Beta(a , b ) 则后验为Beta分布，参数为 a + s 和 b + n - s ， 即 p | xn : Beta(a + s, b + n- s) 后验的均值为
基于inla的贝叶斯推断
基于inla的贝叶斯推断引言：贝叶斯推断是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，通过将先验信息与观测数据相结合，得到后验分布，进而对未知参数进行推断。
然而，传统的贝叶斯推断方法在处理复杂模型时面临计算难题。
为了解决这个问题，一种名为Integrated Nested Laplace Approximations（INLA）的方法被提出并广泛应用于贝叶斯推断。
一、INLA的基本原理INLA是一种基于拉普拉斯近似的贝叶斯推断方法，它通过将后验分布近似为一个解析形式的分布，从而避免了传统贝叶斯推断中需要进行大量的蒙特卡洛采样。
INLA通过将参数分解为固定效应和随机效应，并利用高斯马尔科夫随机场的性质，将贝叶斯推断问题转化为求解高斯马尔科夫随机场的近似问题。
二、INLA的优势与传统的贝叶斯推断方法相比，INLA具有以下几个优势：1. 计算效率高：INLA使用拉普拉斯近似的方法，避免了传统方法中需要进行大量的蒙特卡洛采样，因此计算速度更快。
2. 精度高：INLA在保持高计算效率的同时，对后验分布进行了较精确的近似，因此可以得到准确的推断结果。
3. 灵活性强：INLA可以适用于多种不同的模型，包括线性模型、广义线性模型、非线性模型等，具有较强的灵活性。
三、INLA的应用领域INLA广泛应用于各个领域的贝叶斯推断问题，包括但不限于以下几个方面：1. 空间统计模型：INLA可以用于处理空间统计模型，如地理信息系统中的空间插值、地质学中的空间建模等。
2. 医学统计模型：INLA可以用于医学领域的统计模型，如流行病学中的疾病传播模型、药效学中的药物反应模型等。
3. 环境统计模型：INLA可以用于环境领域的统计模型，如气象学中的气象预测模型、生态学中的物种分布模型等。
4. 社会统计模型：INLA可以用于社会科学领域的统计模型，如经济学中的经济增长模型、社会学中的人口统计模型等。
四、INLA的局限性尽管INLA在处理复杂模型时具有较高的效率和精度，但仍存在一些局限性：1. 依赖模型假设：INLA对模型的假设较为严格，要求模型满足高斯马尔科夫随机场的性质，因此不适用于所有类型的模型。
贝叶斯网络的概率推断技巧(五)
贝叶斯网络的概率推断技巧贝叶斯网络是一种用来描述随机变量之间依赖关系的图模型，它的基本思想是利用已知的信息来推断未知的信息。
贝叶斯网络在人工智能、生物信息学、医学诊断等领域有着广泛的应用，其概率推断技巧是其核心所在。
一、贝叶斯网络的基本原理贝叶斯网络由节点和有向边组成，节点表示随机变量，有向边表示变量之间的因果关系或者依赖关系。
贝叶斯网络中的节点和边构成了一个有向无环图（DAG）。
节点之间的依赖关系通过条件概率分布来描述，在给定父节点的情况下，每个节点的概率分布可以由其父节点的概率分布推导出来。
贝叶斯网络可以看作是一种概率推断的工具，它可以用来计算在给定一些证据的情况下，某个节点的概率分布，或者计算某些节点的联合概率分布。
二、贝叶斯网络的概率推断技巧1. 传统的概率推断方法在贝叶斯网络中，我们经常需要计算给定证据的情况下某个节点的概率分布。
传统的方法是通过贝叶斯定理来计算后验概率。
假设我们要计算节点A的后验概率分布，已知节点B的取值，我们可以通过以下公式来计算：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中P(A|B)表示在给定B的情况下A的概率分布，P(B|A)表示在给定A的情况下B的概率分布，P(A)和P(B)分别表示A和B的先验概率分布。
这种方法虽然简单直接，但是在贝叶斯网络中，节点之间的依赖关系复杂，计算量很大，而且很难找到一个高效的计算方法。
2. 基于变量消元的推断方法为了解决传统方法的计算复杂性，人们提出了许多用于概率推断的技巧。
其中一种常用的方法是基于变量消元的推断方法。
变量消元是一种用来简化概率计算的方法，它通过消除概率分布中的一些变量，从而降低计算复杂度。
在贝叶斯网络中，变量消元可以用来计算给定一些证据的情况下，某些节点的概率分布。
这种方法通过变量消元和边界推断来计算后验概率分布，可以显著降低计算复杂度，提高计算效率。
3. 近似推断方法除了基于变量消元的推断方法，人们还提出了许多用于近似推断的方法。
贝叶斯方法
贝叶斯方法贝叶斯方法，也被称为贝叶斯推断或贝叶斯统计，是一种用于根据观察到的数据来推断参数或未知量的方法。
这一方法以18世纪英国数学家Thomas Bayes的名字命名，Bayes方法的核心思想是结合先验知识和新观测数据进行推断。
本文将详细介绍贝叶斯方法的原理和应用领域。
首先，我们来看一下贝叶斯方法的原理。
贝叶斯定理是贝叶斯方法的基础，它描述了在已知某些条件下，新观测数据对此条件具有的影响。
数学上，贝叶斯定理可以表示为：P(A|B) = (P(B|A) * P(A))/P(B)其中，P(A|B)表示在观测到事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的先验概率。
贝叶斯方法的核心思想是通过观察到的数据来更新先验概率，从而得到更新后的概率。
具体而言，通过观察到的数据，我们可以计算出给定数据下的条件概率，然后根据贝叶斯定理，将条件概率与先验概率进行结合，得到更新后的概率。
贝叶斯方法在实际应用中有广泛的应用。
其中，最常见的领域之一是机器学习。
在机器学习中，我们经常需要根据观测到的数据来估计模型参数。
贝叶斯方法可以提供一种概率框架，用于估计参数的不确定性，并进行模型的选择和比较。
此外，贝叶斯方法还可以应用于图像处理、自然语言处理、数据挖掘等领域。
贝叶斯方法的优点之一是能够处理小样本问题。
在小样本情况下，传统的频率统计方法可能无法得到可靠的估计结果。
而贝叶斯方法可以利用先验知识来弥补数据不足的问题，从而得到更加准确的推断结果。
此外，贝叶斯方法还能够处理不确定性。
在现实世界中，很多问题都伴随着不确定性。
贝叶斯方法通过引入概率的概念，可以量化不确定性，并提供了一种合理的方式来处理不确定性。
然而，贝叶斯方法也存在一些限制。
首先，在计算上，贝叶斯方法需要计算复杂的积分或求和，这可能导致计算困难。
其次，贝叶斯方法对先验概率的选择比较敏感，不同的先验概率可能导致不同的推断结果。
贝叶斯定理及其应用
贝叶斯定理及其应用贝叶斯定理是概率论中的重要理论，它指出了如何在已知一些数据的情况下，更新推断某一事件的概率。
在统计学、机器学习、人工智能等领域，贝叶斯定理都有着广泛的应用。
本文将介绍贝叶斯定理的原理和应用，并探讨它在现代科技中的重要性。
一、贝叶斯定理的原理贝叶斯定理是指，在已知某个假设下某个事件发生的概率，以及该事件的先验概率，如何更新该事件的后验概率。
这种方法被称为贝叶斯推断。
假设我们有一个颜色瓶子的实验。
我们知道，有70%的瓶子是红色的，30%的瓶子是蓝色的。
假设我们在这些瓶子中随机抽出一个瓶子，然后在瓶子内找到一支笔芯，颜色是黄色的。
那么，现在我们可以使用贝叶斯定理来推断此瓶子是红色的概率。
首先，我们需要定义以下术语：- A：要推断的事件。
在此例中，A是“抽中的瓶子为红色”。
- B：已知条件。
在此例中，B是“笔芯的颜色是黄色”。
- P(A)：A的先验概率。
在此例中，P(A)是“抽中的瓶子为红色”的概率，即0.7。
- P(B|A)：在A成立的条件下，B发生的概率。
在此例中，P(B|A)是“在红色瓶子中找到黄色笔芯”的概率，我们假设为0.2。
- P(B|~A)：在A不成立的情况下，B发生的概率。
在此例中，P(B|~A)是“在蓝色瓶子中找到黄色笔芯”的概率，我们假设为0.8。
根据贝叶斯定理，我们可以推导出：P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)其中，P(A|B)是A的后验概率，即已知B后A的概率；P(B)是B的概率，即黄色笔芯出现的概率，可以用全概率公式计算出：P(B) = P(A) * P(B|A) + P(~A) *P(B|~A) = 0.7 * 0.2 + 0.3 * 0.8 = 0.38。
最终，我们可以得到：P(A|B) = 0.7 * 0.2 /0.38 ≈ 0.37。
也就是说，根据黄色笔芯的出现，我们可以把红瓶子的概率从先验的0.7调整为后验的0.37。
这个例子简单易懂，但是在实际应用中，贝叶斯定理可能会涉及到多个事件，需要考虑更多的先验概率以及条件概率。
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log P(X j | j ) log P(xi | j )N ji i
N j P(xi | y j ) log P(xi| j )= -N j H ( X | j ) i
Conditional Sampling distribution Likelihood function Generalized KL information:
❖ Two steps: ❖ Step I: Obtain prediction tool
P(yj|X) from a sample or sampling distribution P(X,Y); ❖ Step 2： For given P(X) or P‘(X) and yj, make probability prediction:
❖ So, Fisher developed the likelihood method.
❖ Tool: likelihood function P(X|θj)
❖ Step 1: For a sample sequence: x(1), x(2),…, x(n) under IID assumption
研究经历 Research Experience
• In 1990s, studied semantic information theory, color vision, portfolio • Recently combined semantic information method and likelihood
I (X ; j ) -
i
P(xi
|
y
j
)
log
P(xi| j
P(xi )
)
C
1 Nj
log(X| j )
5
Bayesian Inference: Advantages and Disadvantages 贝叶斯主义推断: 优点和缺点
• Tool:Bayesian posterior
Predictions by both sides should be compatible for 2 huge samples
Classical Bayes’ Prediction
经典的贝叶斯预测
❖ Tool：transition probability function P(yj|X) or Shannon’s channel P(Y|X): P(yj|X), j=1,2,…
Maximum Likelihood Criterion = Maximum Generalized KL Information Criterion
最大似然准则=最大广义KL信息准则
• Likelihood =Negative Cross-entropy： Assume Nj->∞ and IID assumption is tenable，there is
Tool: P(X|θj)
Tools: P(θ), P(X|θ)->P(θ|X)=P(θ)P(X|θ)/Pθ(X)
Max: logP(X|θj)
Max: logP(θ|X) for MAP
Logical Bayesian Inference Tool: truth or membership function T(θj|X) Max: log[T(θj|X)/T(θj)] = log[P(X|θj)/P(X)]
method for machine learning： • Maximum mutual information classification • Mixture models，Multi-label learning • Improved Bayesian inference to Logical Bayesian inference (group A1) • 最早研究色觉和美感等哲学问题，因色觉模型涉及模糊数学，当了汪培
❖ Advantage: When P(X) becomes P’(X), the tool P(yj|X) still works.
P '( X | y j ) P( y j | X )P '( X ) / P( y j | xi )P '(xi )
i
❖ Disadvantage: If samples are small, we cannot obtain continuous P(yj|X)
庄教授的访问学者，完成《广义信息论》。 后来研究投资组合理论，下海搞投资。 最近在汪老师鼓励下重新搞研究, • 结合语义信息方法和似然度方法 研究机器学习：最大互信息分类， 混合模型，贝叶斯推断，多标签 分类(也是这次会议交流B1组）。
1
Bayes’ Reasoning and Bayesian Inference 贝叶斯推理和贝叶斯(主义)推断
P( X | y j ) P( y j | X )P( X ) / P( y j | xi )P(xi )
i
Note: P(yj|X) is not normaliz3ed
From Classical Bayes’ Prediction to Likelihood Prediction 从经典的的贝叶斯预测到似然预测
• 我的理解
Bayes’ Reasoning
Inference using θ
Probability reasoning without θ
including classical Bayes’ prediction
Likelihood Inference
Байду номын сангаас
Bayesian Inference
P(X | yj ) P( yj | X )P(X ) / P( yj )
❖ we maximize likelihood
to get optimized θj*.
P(X | j ) P(xi | j )Nji
i
❖ Step 2: Using P(X|θj*) to make probability prediction.
❖ Disadvantage: when P(X) becomes P’(X), P(X|θj*) will be invalid. 4