统计决策与贝叶斯推断概述
数学中的统计学与贝叶斯推断
数学中的统计学与贝叶斯推断在数学中，统计学是一个非常重要的分支，它研究的是如何对数据进行描述、分析和预测。
其中，贝叶斯推断是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，它在很多实际应用中都得到了广泛的应用。
一、统计学的基本概念统计学是一种利用一定的数理方法，对各种随机现象的变异性以及产生的原因、规律和发展趋势进行研究的学科。
统计学的基本任务是探索和利用数据，提供有关变量之间关系的模型和预测。
统计学研究的内容广泛，常见的有描述统计学和推断统计学。
其中，描述统计学是对数据的表现和总结，通过各种图表和指标来描述数据的分布、中心位置和分散程度等特征；而推断统计学则是从样本中推断出总体的特征，通过对样本的信息进行推断，来获取有关总体的信息。
二、贝叶斯推断的基本原理贝叶斯推断是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
它的核心思想是将已知的先验概率和新数据的似然度相结合，从而得到更新后的后验概率。
具体来说，可以将其表示为以下公式：P(θ|x) = P(x|θ)×P(θ)/P(x)其中，P(θ|x)表示在已知观测数据x的条件下，模型参数θ的后验概率；P(x|θ)表示在模型参数θ已知的条件下，观测数据x的似然度；P(θ)表示模型参数θ的先验概率；P(x)表示观测数据x的边缘概率，也就是归一化常数。
贝叶斯推断的优点在于它能够将先验知识与实际数据相结合，从而可以更准确地推断出目标参数的后验分布。
此外，贝叶斯推断还能够不断地更新后验分布，从而能够逐步提高预测的准确性。
三、贝叶斯推断在实际应用中的例子贝叶斯推断在很多实际应用中得到了广泛的应用。
例如，在互联网广告投放中，我们可以将用户的历史浏览记录作为先验知识，然后利用贝叶斯推断来预测用户会点击哪些广告。
同时，我们还可以不断地根据用户的实际点击情况来更新先验知识，从而提高预测的准确性。
另外，贝叶斯推断还可以应用于医疗诊断中。
例如，在医疗图像诊断中，我们可以将医生的先验知识作为先验概率，然后利用贝叶斯推断来预测患者的疾病类型和程度。
统计推断中的贝叶斯统计理论
统计推断中的贝叶斯统计理论统计学是一门应用学科，它是数学和科学的交叉学科。
统计学研究如何从数据中推断出有关总体特征的概率方法，并利用这些推断为决策和预测提供依据。
统计推断中的贝叶斯统计理论是一个非常重要的分支。
贝叶斯定理是贝叶斯统计理论的基础。
贝叶斯定理是一种基于先验概率和后验概率的概率推断方法。
这种方法的核心思想是：我们可以利用先验的知识来推断后验的可能性。
在统计推断中，我们通常关心参数的估计和假设检验。
当我们使用经典统计方法时，我们假设参数是固定的，并且我们可以通过样本来估计这些参数的值。
但是，在实际应用中，我们经常会遇到参数不确定的情况，这时候贝叶斯统计理论就可以派上用场了。
贝叶斯统计方法与经典统计方法的主要区别在于它对不确定性的处理方式。
在贝叶斯统计中，我们将参数看作是一个随机变量，其先验分布反映了我们对参数先前知识的不确定性。
当我们观察到数据后，我们利用贝叶斯定理来更新我们预测参数的概率分布，从而得到我们的后验分布。
在进行贝叶斯推断时，我们需要选择一个先验分布。
这是由于，即使我们知道了先验分布，我们仍需选择后验分布的形式。
不同的先验分布可以导致不同的推断结果。
因此，先验分布的选择是非常重要的。
在实际应用中，贝叶斯统计方法有很多优点。
例如，它可以在一个统一的框架中进行参数估计和不确定性分析。
同时，它的结果还可以表达为可能性，这使得结果更直观易懂。
然而，贝叶斯方法也有自己的限制。
第一个限制是计算量往往比较大。
在实际推断中，我们需要计算后验分布，这通常需要进行积分。
对于复杂的模型，这个积分可能是不可解的。
因此，我们通常需要使用近似方法来计算后验分布。
第二个限制是，选择先验分布和后验分布的形式需要经验，这可能导致结果不精确或不稳定。
总之，统计推断中的贝叶斯统计理论是一个非常有用的工具，特别是在面对参数不确定性的情况下。
它通过利用先验知识来更新我们对参数的描述，允许我们进行参数估计和不确定性分析。
统计学中的贝叶斯统计和决策理论
统计学中的贝叶斯统计和决策理论统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，而贝叶斯统计和决策理论是统计学中的两个重要分支。
贝叶斯统计理论是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，而决策理论则关注如何在面对风险或不确定性时做出最佳决策。
一、贝叶斯统计1. 贝叶斯理论的基本思想贝叶斯统计理论是以英国数学家Thomas Bayes的名字命名的，其基本思想是通过先验知识和新收集的数据来进行参数估计。
与传统频率统计不同，贝叶斯统计将概率看作是描述人们对不确定性的信念，通过更新这些信念来进行推理。
2. 先验概率和后验概率在贝叶斯统计中，先验概率是在考虑新数据之前已经拥有的关于参数的概率分布。
随着新数据的不断积累，我们可以更新先验概率，得到后验概率，从而更加准确地估计参数的值。
3. 贝叶斯公式贝叶斯公式是贝叶斯统计的核心公式。
根据贝叶斯公式，我们可以计算参数的后验概率，从而基于数据来更新我们对参数的估计。
4. 贝叶斯推断的优点和应用贝叶斯统计有一些独特的优点。
首先，它允许我们将先验知识与数据结合，从而得到更加准确的推断。
此外，贝叶斯统计还可以通过使用先验概率来处理缺乏数据的情况。
贝叶斯统计在各个领域中都有广泛的应用，包括医学诊断、金融风险评估和机器学习等。
二、决策理论1. 决策理论的基本概念决策理论是研究在面对不确定性和风险时如何做出最佳决策的学科。
决策问题涉及到选择行动和评估不同行动的后果。
决策理论包括概率理论、效用理论和风险管理等概念。
2. 概率理论在决策中的应用概率理论是决策理论中的一项重要概念，它用于描述事件发生的可能性。
决策者可以使用概率理论来估计不同决策的结果，并在不确定性下做出合理的决策。
3. 效用理论和决策权衡效用理论是决策理论中的另一个关键概念，它描述了个体对不同结果的偏好程度。
根据效用理论，决策者可以根据结果的效用来评估不同决策的价值，并选择效用最大化的决策。
4. 风险管理和决策优化决策理论还涉及到风险管理和决策优化。
贝叶斯决策理论与统计判决方法
Bayes法则－最大后验概率准则
对于两类1， 2问题，直观地，可以根据后验概率做判决：
若 p(ω1|xr ) p(ω2|xr ) 则 xr 1 若 p(ω1|xr ) p(ω2|xr ) 则 xr 2
根 P(据iB)和ay条e件s公概式率，密后度验概p率( xr
p(i / i )
r / x) 可由类i的先验概率
会骗人的测谎仪
从计算结果来看，94%的检测都是错误的。问题出在哪里呢？
问题在于先验概率P(L)。
普通人群对于测试的撒谎率是很低的，因此测谎仪的结果并不能告诉你 一个普通人是否撒了谎。
然而，如果这一检验用于罪犯（嫌疑犯），由于罪犯对于特定问题说谎 的概率很高（也许是不得不撒谎，比如警察问：你有没有干坏事？罪犯 的回答是：嗯，这个么，也许，大概，可能，是这样的……），假设 P(L)= 0.5，这时我们可以得到P(L|T)=0.86，这个概率还是可以 接受的。
则 xr 1 则 xr 2
或改写为l12 l12来自p( p( p( p(
x| x| x | x |
1 2
1 2
) ) ) )
P(2 ) P(1 )
P(2 ) P(1 )
12 12
则 x1 则 x2
l12称为似然比（likelihood ratio），12称为似然比的判决阀值。
原则：要确定x是属于ω1类还是ω2类，要看x是来自于ω1类的概率大还是 来自ω2类的概率大。
几种常用的决策规则
这里将讨论几种常用的决策规则。不同的决策规则反映了分类器设计者 的不同考虑，对决策结果有不同的影响。其中最有代表性的是基于最小 错误率的贝叶斯决策与基于最小风险的贝叶斯决策，下面分别加以讨 论。
“概率论”有关概念复习
统计学中的贝叶斯统计与决策理论
统计学中的贝叶斯统计与决策理论统计学中的贝叶斯统计学是一种基于贝叶斯公式和概率论原理的统计推断方法。
它与传统的频率主义统计学方法相比，具有许多独特的优势。
本文将介绍贝叶斯统计学的基本原理、应用领域以及与决策理论的关系。
一、贝叶斯统计学的基本原理贝叶斯统计学是由英国数学家托马斯·贝叶斯提出的，它基于概率论的贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在给定B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在给定A发生的条件下B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B分别发生的概率。
贝叶斯统计学的基本原理是根据已有的先验知识和新的观测数据，通过不断更新概率分布来得出对未知参数的后验概率分布。
通过贝叶斯公式，可以将观测数据与已有知识相结合，得出对未知参数的概率分布，从而进行推断和预测。
二、贝叶斯统计学的应用领域贝叶斯统计学广泛应用于各个领域，包括医学、金融、生物学、工程学等。
其应用主要体现在以下几个方面：1. 参数估计：贝叶斯统计学通过考虑先验信息，对参数进行估计。
与传统的频率主义统计学方法相比，贝叶斯统计学能够更好地利用已有的知识，提供更准确的参数估计。
2. 假设检验：贝叶斯统计学提供了一种新的方法来进行假设检验。
通过计算后验概率与先验概率的比值，可以得到对不同假设的相对支持程度，从而在决策时提供更全面的信息。
3. 预测分析：贝叶斯统计学通过更新概率分布，可以对未来的事件进行预测。
这使得贝叶斯统计学在金融风险预测、天气预报等领域有着广泛的应用。
三、贝叶斯统计学与决策理论的关系贝叶斯统计学与决策理论密切相关。
决策理论主要研究如何在不确定情况下做出最优决策。
而贝叶斯统计学可以为决策提供一个统一的框架，通过计算不同决策的后验概率，从而选择概率最大的决策。
在贝叶斯决策理论中，需要考虑多个可能的决策结果以及每个决策结果的概率。
通过使用贝叶斯统计学中的贝叶斯公式，可以将观测数据与已有知识相结合，计算每个决策结果的后验概率，从而选择概率最大的决策。
贝叶斯方法(估计,推断,决策)
一 、统计推断中可用的三种信息
美籍波兰统计学家耐曼(E.L.Lehmann1894－1981) 高度概括了在统计推断中可用的三种信息： 1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们的信 息。譬如“总体视察指数分布”或“总体是正态分 布”在统计推断中都发挥重要作用，只要有总体信 息，就要想方设法在统计推断中使用 2．样本信息，即样本提供我们的信息，这是任一种 统计推断中都需要
p( x , , x
1
nห้องสมุดไป่ตู้
) ( )d
这就是贝叶斯公式的密度函数形式，其中 ( x1,, xn )称为θ 的后验密度函数，或 后验分布。而
p ( x1 , , xn ) p ( x1 , , xn ) ( )d
是样本的边际分布，或称样本 X1 ,, X n 的无条件分布，它的积分区域就是参数θ 的取值范围， 随具体情况而定。 前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ 已有一个认识，这个认识就是先验分布π （θ ）。 通过试验，获得样本。从而对θ 的先验分布进行调 整，调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整 的结果就是后验分布 ( x1,, xn ) 。后验分布是三种 信息的综合。获得后验分布使人们对θ 的认识又前 进一步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ 的认识由π （θ ）调整到 ( x1,, xn ) 。所以对θ 的 统计推断就应建立在后验分布 ( x1,, xn ) 的基础上。
1,0 1 ( ) 0, others
样本X与参数的联合分布为
h( x, ) Cnx x (1 )nx , x 0,1,, n,0 1
此式在定义域上与二项分布有区别。再计算X的边际密 度为
统计决策与贝叶斯估计
统计决策与贝叶斯估计
一、统计决策
统计决策理论是指从统计上分析和评估各种可能的决策结果，取得最佳决策并做出正确的选择。
是将统计学和模型评估与管理决策整合使用的一种科学技术。
统计决策理论(SDT)是一种决策理论，其基本思想是应用统计学方法来分析和评估管理决策的决策潜力，以及各种可行决策结果的后果，从而使得经理能够从最优的角度决策，实现企业的最佳管理效果。
SDT有三个主要特点：
1、科学性：统计决策理论是以科学的方式来分析经济管理决策，使用统计学、经济学、模型评估等方法。
2、系统性：它充分考虑决策要素之间的关系，通过逻辑推理运用现代决策理论，系统地分析和评估决策内容，按照各种可行决策的潜力和可能性，从而使管理者能够选择最佳决策方案。
3、决策性：取决于决策者的主观能力，经过深入的分析评估后，最后从几种可行的决策中，根据客观情况，选择最有利的方案。
贝叶斯估计是一种概率模型，是用来估计未知参数的概率分布，它可以利用已经观察到的数据来改变我们对未知参数的概率的看法，并且可以进一步用来作出预测，从而进行概率预测。
统计决策与贝叶斯估计
参数估计
第16页
3)贝叶斯公式的密度函数形式(后验分布）
➢ 设总体X 的分布密度函数P (x ; )在贝叶斯统计中 记为P (x | )，它表示在随机变量θ取某个给定值 时总体的条件概率密度函数； P (x ; )= P (x | )
➢ 根据参数 的先验信息确定先验分布( )；
➢ 样本 x1, x2 , …, xn 的联合条件分布密度函数为
第12页
（1）总体信息:总体分布提供的信息。
（2）样本信息:抽取样本所得观测值提供的信息。
（3）先验信息:人们在试验之前对要做的问题在经 验上和资料上总是有所了解的，这些信息对 统计推断是有益的。先验信息即是抽样（试 验）之前有关统计问题的一些信息。一般说 来，先验信息来源于经验和历史资料。先验 信息在日常生活和工作中是很重要的。
在决策函数类D中存在一个决策函数 d*(X)，使得对决策函数类D中的任一决 策函数d(X )，均有
则称为d*(X )参数 的贝叶斯估计量
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参数估计
第30页
定理3.2 设 的先验分布为( ) ，损失函数为 L( ,d) =( -d)2 ,则 的贝叶斯估计是
其中h( |x)为参数 的后验密度。
➢ 这个分布综合了总体信息和样本信息；
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参数估计
第17页
➢ 0 是未知的，它是按先验分布( )产生的。为 把先验信息综合进去，不能只考虑0，对的
其它值发生的可能性也要加以考虑，故要用
( )进行综合。这样一来，样本x1 , …, xn和参 数 的联合分布为:
f (x1, x2 , …, xn, ) = q(x1, x2 , …, xn )( )，
简记为 f (x, ) = q(x )( )
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sup R( , d*) inf{sup R( , d)}
dD
则称 d*为该统计决策问题的最小最大决策函数， 相应的风险称为最小最大风险。
3、贝叶斯决策准则
先验信息与先验分布
无论是在统计决策问题还是在统计推断问题中总 会包含未知量 。为了对 作统计决策或者作统 计推断，样本信息是必不可少的，因为它包含 的 最新信息。除此之外，一些非样本信息也可用于统 计决策和统计推断。这些非样本信息主要来源于经 验或历史资料。由于此类经验或历史资料大多存在 于（获取样本的）试验之前，故称这些非样本信息 为先验信息。
：d3肯定不买 那么，什么是这位收藏家的最小最大决策？
（20）.75如，果根发2 据生卖的画概者率以为往0的.25资，料那得么知这，位1收发藏生家的是概否率应为买
下这幅画呢？
（3）在（2）的条件下，这位收藏家为稳妥起见，聘请一 位鉴赏家做鉴定。已知鉴赏家以概率0.95识别一幅真画， 以概率0.7识别一幅假画。如果鉴赏家说这幅画是真品， 那么这位收藏家是否应买下这幅画呢？
R( , d*) R(, d),
则称 d*()为决策函数类D 的一致最小风险决策 函数，或称为一致最优决策函数。
2、最小最大（Minimax）决策准则
定义 对于一个统计决策问题，设D {d()}表示定义 在样本空间H 上取值于行动空间A 的某一决策 函数类。若有决策函数 d*()D ，使得
决策问题的分类
一1、、损基失本函数概念
描述当未知量处于状态 而采取行动 时所引起 的损失，记为
线性损失函数
L(
,
a)
K K
0 1
(
(a
a),
),
a a
常数K
0和K
的选取反映行动
1
a低于状态
和高
于状态的相对重要性。
绝对损失函数：L( , a) a
加权线性损失函数：
L(
,
a)
K（0 ）( K（1 ）(a
d D
则称 d* 为决策函数类 D 在贝叶斯（先验）风险准则 下的最优决策函数，简称贝叶斯决策函数或贝叶斯 解。
定义2： 在给定的统计决策问题中，设L(, d(X ))为决 策函数d(X )的损失函数， ( x)为 的后验分布，则条 件期望风险
R(d x) E x[L( , d (x))]
L(, d(x)) ( x)d
称为决策函数 d()的贝叶斯后验风险。若在决策函数 类D 中存在d*() ，使得
R(d* x) inf R(d x), x H
dD
则称 d*为决策函数类 D 在贝叶斯后验风险准则下的 最优决策函数，或称其为贝叶斯后验型决策函数。
例6.1 一位收藏家拟收购一幅名画，这幅画标价为 5000元。若这幅画是真品，则值10000元；若是赝品， 则一文不值。此外，买下一幅假画或者没有买下一幅 真画都会损害这位收藏家的名誉，其收益情况如下表
( ) p(x )d
称 ( x) 为 的后验分布。
先验风险准则与后验风险准则
定义1： 在给定的统计决策问题中，设 R(, d)为决策 函数d() 的风险函数， ( )为 的先验分布，则平均风 险
B(d ) E [R( , d )] R( , d ) ( )d
称为决策 d()的贝叶斯风险。若在决策函数类D 中存 在 d*()，使得 B(d*) inf B(d )
a a
一、基本概念
2、决策函数
由样本空间 到行动空间 的 可测映射 d称( x为) 决
策函数。
3、风险函数
设 d()是一个决策函数，则损失函数 L( , d( X )) 关于样本分布F ( x / ) 的数学期望
R( , d ) ˆ Ex| [L( , d( X ))]
X L( , d( X ))dF ( x / )
采取的行动 画的状态
真品
赝品
买 +5000 -6000
不买 -3000 0
现在，这位收藏家需要决定是买还是不买这幅画？
(1) 如果收藏家有以下三种决策可供选择： ：d1以概率0.5买下这幅画； ：d2请一位鉴赏家进行鉴定（已知该鉴赏家以概率0.95 识
别一幅真画，以概率0.7识别一幅假画），如果鉴赏家鉴 定为真品就买下这幅画；
第6章 统计决策与贝叶斯推断
在数理统计学中存在两大学派：
经典学派、频率学派或抽样学派
贝叶斯学派：贝叶斯统计，其核心是贝叶斯推断
6.1 统计决策
统计学家瓦尔德(A.Wald)把关于假设检验 和参数估计的经典统计理论加以概括，将不确定 意义下的决策科学也包括在统计学范围之内，于 1939年创立了统计决策理论，该理论弥补了过 去统计理论的缺陷。
统计决策的显著特点是： ➢ 统计决策建立在统计分析和统计预测的基础 上，是一种定量决策 。 ➢ 统计决策是在不确定情况下，应用概率来进 行决策的计算和分析，是一种概率决策。
状态集
行动集 行动空间
决策问题的 三个基本要素
损失函数
依统计决策论的观点，对决策有用的信息
先验信息
样本信息
无数据
贝叶斯
（无样本信息） 决策问题 统计决策问题 决策问题
a),
),
a a
Hale Waihona Puke 平方损失函数：L( , a) （ a）2
加权平方损失函数： L( , a) (（) a）2
凸损失函数：L( , a) ( )C( a )
( ) 0且有限， C()是定义在x 0上的单调非降
凸函数且C(0) 0.
0
1损失函数： L(
,
a)
0,
1,
其中 0
统计学中有两个主要学派：经典（频率）学派与 贝叶斯学派。经典学派认为 是未知参数；贝叶斯 学派认为 是随机变量，应该用一个概率分布去描 述 的未知状况。这个概率分布在抽样之前就已存 在，它是关于 的先验信息的概率陈述。这个概率 分布就称为先验分布，用 ( )来表示。
贝叶斯公式与后验分布
( ) p(x ) ( x)
这是一个决策问题，状态集 {1,2} ，1 为真品，2
称为决策函数 d() 的风险函数。 风险函数 R( ,描d )述在未知量处于状态 而
采取决策 时d所蒙受的平均损失。 平均损失愈小，决策函数愈好。
二、常用的决策准则
1、一致最优决策准则
定义 设D {d()}表示定义在样本空间H 上取值于行 动空间 A 的某一决策函数类，若存在一个决 策函数 d*()D ，使得对任意d()D ，都有