统计决策与贝叶斯估计
统计学中的贝叶斯统计和决策理论
统计学中的贝叶斯统计和决策理论统计学是研究数据收集、分析和解释的学科，而贝叶斯统计和决策理论是统计学中的两个重要分支。
贝叶斯统计理论是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，而决策理论则关注如何在面对风险或不确定性时做出最佳决策。
一、贝叶斯统计1. 贝叶斯理论的基本思想贝叶斯统计理论是以英国数学家Thomas Bayes的名字命名的，其基本思想是通过先验知识和新收集的数据来进行参数估计。
与传统频率统计不同，贝叶斯统计将概率看作是描述人们对不确定性的信念，通过更新这些信念来进行推理。
2. 先验概率和后验概率在贝叶斯统计中，先验概率是在考虑新数据之前已经拥有的关于参数的概率分布。
随着新数据的不断积累，我们可以更新先验概率，得到后验概率，从而更加准确地估计参数的值。
3. 贝叶斯公式贝叶斯公式是贝叶斯统计的核心公式。
根据贝叶斯公式，我们可以计算参数的后验概率，从而基于数据来更新我们对参数的估计。
4. 贝叶斯推断的优点和应用贝叶斯统计有一些独特的优点。
首先，它允许我们将先验知识与数据结合，从而得到更加准确的推断。
此外，贝叶斯统计还可以通过使用先验概率来处理缺乏数据的情况。
贝叶斯统计在各个领域中都有广泛的应用，包括医学诊断、金融风险评估和机器学习等。
二、决策理论1. 决策理论的基本概念决策理论是研究在面对不确定性和风险时如何做出最佳决策的学科。
决策问题涉及到选择行动和评估不同行动的后果。
决策理论包括概率理论、效用理论和风险管理等概念。
2. 概率理论在决策中的应用概率理论是决策理论中的一项重要概念，它用于描述事件发生的可能性。
决策者可以使用概率理论来估计不同决策的结果，并在不确定性下做出合理的决策。
3. 效用理论和决策权衡效用理论是决策理论中的另一个关键概念，它描述了个体对不同结果的偏好程度。
根据效用理论，决策者可以根据结果的效用来评估不同决策的价值，并选择效用最大化的决策。
4. 风险管理和决策优化决策理论还涉及到风险管理和决策优化。
统计学中的贝叶斯统计与决策理论
统计学中的贝叶斯统计与决策理论统计学中的贝叶斯统计学是一种基于贝叶斯公式和概率论原理的统计推断方法。
它与传统的频率主义统计学方法相比，具有许多独特的优势。
本文将介绍贝叶斯统计学的基本原理、应用领域以及与决策理论的关系。
一、贝叶斯统计学的基本原理贝叶斯统计学是由英国数学家托马斯·贝叶斯提出的，它基于概率论的贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在给定B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在给定A发生的条件下B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B分别发生的概率。
贝叶斯统计学的基本原理是根据已有的先验知识和新的观测数据，通过不断更新概率分布来得出对未知参数的后验概率分布。
通过贝叶斯公式，可以将观测数据与已有知识相结合，得出对未知参数的概率分布，从而进行推断和预测。
二、贝叶斯统计学的应用领域贝叶斯统计学广泛应用于各个领域，包括医学、金融、生物学、工程学等。
其应用主要体现在以下几个方面：1. 参数估计：贝叶斯统计学通过考虑先验信息，对参数进行估计。
与传统的频率主义统计学方法相比，贝叶斯统计学能够更好地利用已有的知识，提供更准确的参数估计。
2. 假设检验：贝叶斯统计学提供了一种新的方法来进行假设检验。
通过计算后验概率与先验概率的比值，可以得到对不同假设的相对支持程度，从而在决策时提供更全面的信息。
3. 预测分析：贝叶斯统计学通过更新概率分布，可以对未来的事件进行预测。
这使得贝叶斯统计学在金融风险预测、天气预报等领域有着广泛的应用。
三、贝叶斯统计学与决策理论的关系贝叶斯统计学与决策理论密切相关。
决策理论主要研究如何在不确定情况下做出最优决策。
而贝叶斯统计学可以为决策提供一个统一的框架，通过计算不同决策的后验概率，从而选择概率最大的决策。
在贝叶斯决策理论中，需要考虑多个可能的决策结果以及每个决策结果的概率。
通过使用贝叶斯统计学中的贝叶斯公式，可以将观测数据与已有知识相结合，计算每个决策结果的后验概率，从而选择概率最大的决策。
贝叶斯估计与贝叶斯决策的概念
贝叶斯估计与贝叶斯决策的概念贝叶斯估计和贝叶斯决策是概率论中重要的两个概念，它们在处理不确定性问题和统计推断中扮演着重要角色。
本文将介绍贝叶斯估计和贝叶斯决策的概念、原理以及应用。
一、贝叶斯估计贝叶斯估计是指在给定观测数据的条件下，利用贝叶斯定理来估计未知参数的方法。
在贝叶斯估计中，我们引入了先验概率和似然函数，并通过贝叶斯定理来更新我们对参数的估计。
贝叶斯估计的基本原理可以用以下公式表示：P(θ|X) = P(X|θ) * P(θ) / P(X)其中，P(θ|X) 表示在给定观测数据 X 的条件下，参数θ 的后验概率；P(X|θ) 是参数θ 给定观测数据 X 的似然函数；P(θ) 是参数θ 的先验概率；P(X) 是观测数据的边缘概率。
在贝叶斯估计中，先验概率可以通过领域知识或历史数据来确定，而似然函数则可以通过对观测数据的建模来获得。
通过不断地更新先验概率，我们可以得到后验概率，并将其作为参数的估计值。
贝叶斯估计在许多领域都有广泛的应用，例如机器学习、统计推断、信号处理等。
它能够有效地利用已知信息和数据，对未知参数进行准确的估计。
二、贝叶斯决策贝叶斯决策是一种基于贝叶斯准则的决策方法，它在已知观测数据的条件下，寻找一个决策规则来使得期望损失最小化。
贝叶斯决策的目标是选择一个最优的决策，使得在给定观测数据的条件下，使得期望损失最小。
贝叶斯决策的基本原理可以用以下公式表示：d* = argminΣL(d, a) * P(a|X)其中，d* 是最优决策，ΣL(d, a) 是决策 d 对于观测数据 X 情况下的期望损失，P(a|X) 是在观测数据 X 条件下决策 a 的后验概率。
贝叶斯决策需要利用先验概率和条件概率来对可能的决策进行评估，并选择最优的决策。
它能够充分考虑不确定性和风险，从而在决策问题中展现出优越性。
贝叶斯决策在许多实际问题中都有广泛的应用，例如医学诊断、金融风险评估、无人驾驶等。
通过考虑不确定性和风险，贝叶斯决策可以帮助我们做出最优的决策，提高决策的准确性和效果。
贝叶斯方法(估计,推断,决策)
一 、统计推断中可用的三种信息
美籍波兰统计学家耐曼(E.L.Lehmann1894－1981) 高度概括了在统计推断中可用的三种信息： 1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们的信 息。譬如“总体视察指数分布”或“总体是正态分 布”在统计推断中都发挥重要作用，只要有总体信 息，就要想方设法在统计推断中使用 2．样本信息，即样本提供我们的信息，这是任一种 统计推断中都需要
p( x , , x
1
nห้องสมุดไป่ตู้
) ( )d
这就是贝叶斯公式的密度函数形式，其中 ( x1,, xn )称为θ 的后验密度函数，或 后验分布。而
p ( x1 , , xn ) p ( x1 , , xn ) ( )d
是样本的边际分布，或称样本 X1 ,, X n 的无条件分布，它的积分区域就是参数θ 的取值范围， 随具体情况而定。 前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ 已有一个认识，这个认识就是先验分布π （θ ）。 通过试验，获得样本。从而对θ 的先验分布进行调 整，调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整 的结果就是后验分布 ( x1,, xn ) 。后验分布是三种 信息的综合。获得后验分布使人们对θ 的认识又前 进一步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ 的认识由π （θ ）调整到 ( x1,, xn ) 。所以对θ 的 统计推断就应建立在后验分布 ( x1,, xn ) 的基础上。
1,0 1 ( ) 0, others
样本X与参数的联合分布为
h( x, ) Cnx x (1 )nx , x 0,1,, n,0 1
此式在定义域上与二项分布有区别。再计算X的边际密 度为
(最新整理)贝叶斯决策理论与统计判决方法
13
例：统计模式识别
19名男女同学进行体检，测量了身高和体重，但事后发现 其中有4人忘记填写性别，试问（在最小错误的条件下） 这4人是男是女？体检数值如下：
2021/7/26
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例：统计模式识别
• 待识别的模式：性别（男或女） • 测量的特征：身高和体重 • 训练样本：15名已知性别的样本特征 • 目标：希望借助于训练样本的特征建立判别函数（即数学模型）
2021/7/26
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例：鱼的分类
分类判决的代价： • 错判的代价和具体应用有关。 • 究竟是鲈鱼混进鲑鱼罐头好，还是鲑鱼混进鲈鱼罐头好？
– 鲑鱼混入鲈鱼罐头：损失利润 – 鲈鱼混入鲑鱼罐头：丢掉客户 • 决策和“总体代价”相关联。做决策就是使得所付出的 代价最小。
2021/7/26
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例：鱼的分类
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基于最小错误率的贝叶斯决策
一般说来，c类不同的物体应该具有各不相同的属性，在d维特征空间， 各自有不同的分布。当某一特征向量值X只为某一类物体所特有，即
对其作出决策是容易的，也不会出什么差错。问题在于出现模棱两可的 情况。此时，任何决策都存在判错的可能性。这里讨论的是使错误率为 最小的决策方法，称为基于最小错误率的贝叶斯决策理论。
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基于最小错误率的贝叶斯决策
最小错误率是在统计的意义上说的，请注意其含义。
在这里要弄清楚条件概率这个概念。P(*|#)是条件概率的通用符号，在 “|”后边出现的#为条件，之前的*为某个事件，即在某条件#下出现某 个事件*的概率。P(ωK|X)是表示在X出现条件下，样本为ωK类的概 率。
2021/7/26
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“概率论”有关概念复习
S
统计决策与贝叶斯估计
统计决策与贝叶斯估计
一、统计决策
统计决策理论是指从统计上分析和评估各种可能的决策结果，取得最佳决策并做出正确的选择。
是将统计学和模型评估与管理决策整合使用的一种科学技术。
统计决策理论(SDT)是一种决策理论，其基本思想是应用统计学方法来分析和评估管理决策的决策潜力，以及各种可行决策结果的后果，从而使得经理能够从最优的角度决策，实现企业的最佳管理效果。
SDT有三个主要特点：
1、科学性：统计决策理论是以科学的方式来分析经济管理决策，使用统计学、经济学、模型评估等方法。
2、系统性：它充分考虑决策要素之间的关系，通过逻辑推理运用现代决策理论，系统地分析和评估决策内容，按照各种可行决策的潜力和可能性，从而使管理者能够选择最佳决策方案。
3、决策性：取决于决策者的主观能力，经过深入的分析评估后，最后从几种可行的决策中，根据客观情况，选择最有利的方案。
贝叶斯估计是一种概率模型，是用来估计未知参数的概率分布，它可以利用已经观察到的数据来改变我们对未知参数的概率的看法，并且可以进一步用来作出预测，从而进行概率预测。
统计学中的贝叶斯网络与决策树
统计学中的贝叶斯网络与决策树统计学是研究数据收集、分析和解释的科学，它为我们提供了一种理解和推断现象的方法。
在统计学中，贝叶斯网络和决策树都是常用的分析工具，它们在不同领域中广泛应用。
本文将介绍贝叶斯网络和决策树的原理、特点以及使用案例，以便更好地理解这两种方法。
一、贝叶斯网络贝叶斯网络，又称为贝叶斯信念网络，是一种概率图模型，用于表示变量之间的依赖关系。
它基于贝叶斯定理，通过条件独立性假设对变量之间的关系进行建模。
贝叶斯网络由结点和有向边组成，每个结点代表一个变量，边表示变量之间的依赖关系。
结点的状态可以是离散的或连续的，有向边表示因果关系或直接依赖关系。
网络中的条件概率表描述了结点的条件概率分布。
贝叶斯网络的优点是可以表达变量之间的依赖关系，可以处理不完整数据，还能够根据新观测的数据进行更新。
它在医学诊断、金融风险评估等领域有广泛的应用。
案例：假设我们要评估一个电子产品是否存在故障，可以使用贝叶斯网络来建模分析。
结点可以是产品的不同部件，边表示部件之间的依赖关系。
条件概率表给出了各个部件故障的概率，根据新的观测数据，可以更新故障概率，进而作出诊断判断。
二、决策树决策树是一种基于树状结构的分类和回归模型，它通过一系列的判断条件对数据进行分类或预测。
决策树的每个内部结点代表一个属性或特征，每个分支表示一个判断条件，叶结点代表一个类别或数值。
决策树的构建过程是从根结点开始，通过选择最优的属性或特征进行划分，将数据分成更小的子集，然后递归地对子集进行划分，直到达到停止条件。
决策树的分裂准则通常使用信息增益、基尼系数等指标。
决策树具有可解释性强、易于理解和实施的特点，适用于各种类型的数据和问题。
它被广泛应用于医学诊断、客户分类、风险评估等领域。
案例：假设我们要预测某个顾客是否会购买一款新产品，可以使用决策树来构建分类模型。
属性可以是顾客的年龄、性别、收入等，判断条件可以是对应的取值范围。
根据顾客的属性信息，决策树可以判断出顾客是否购买该产品。
贝叶斯方法估计推断决策
贝叶斯方法估计推断决策引言在数据分析与决策中，贝叶斯方法是一种基于概率统计的推理与决策方法。
贝叶斯方法通过给定观察到的数据，结合先验知识或假设，计算后验概率分布，从而进行推断与决策。
本文将介绍贝叶斯方法的基本原理、相关公式和应用场景。
贝叶斯方法的基本原理贝叶斯方法的基本原理可以用贝叶斯定理来表示。
贝叶斯定理是一种条件概率的计算方法，可以用来更新先验概率分布。
$$ P(A|B) = \\frac{{P(B|A) \\cdot P(A)}}{{P(B)}} $$其中，P(A|B)表示在已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B|A)表示在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A和事件 B 的先验概率。
贝叶斯方法通过计算先验概率和条件概率，可以得到后验概率分布，从而进行推断和决策。
贝叶斯方法的基本步骤包括：确定先验分布，计算似然函数，计算后验概率分布，进行推断与决策。
贝叶斯方法的相关公式贝叶斯定理的推导贝叶斯定理可以通过联合概率的定义和条件概率的定义推导得到。
假设事件 A 和事件 B 是两个相互独立的事件，其联合概率可以表示为 $P(A, B) = P(A) \\cdot P(B)$。
根据条件概率的定义，$P(A|B) = \\frac{{P(A, B)}}{{P(B)}}$，代入联合概率的表达式可以得到 $P(A|B) = \\frac{{P(A) \\cdot P(B)}}{{P(B)}}$。
同样地，根据条件概率的定义，$P(B|A) = \\frac{{P(A, B)}}{{P(A)}}$，代入联合概率的表达式可以得到 $P(B|A) = \\frac{{P(A) \\cdot P(B)}}{{P(A)}}$。
由两个等式可得 $P(A|B) = \\frac{{P(B|A) \\cdot P(A)}}{{P(B)}}$，即贝叶斯定理。
朴素贝叶斯分类器朴素贝叶斯分类器是贝叶斯方法的一种应用，常用于文本分类等任务。
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引入一个依赖参数 , 和决策d的二元函数 L( , d ) 0, 称为损失函数
4 November 2017
参数估计
常见的损失函数有以下几种
第3页
k0 ( d ), d （1）线性损失函数 L( , d ) k1 (d ), d
绝对损失函数 L( , d ) | d | （2）平方损失函数 L( , d ) ( d ) 2 （3）凸损失函数 L( , d ) ( )W (| d |) （4）多元二次损失函数 L( , d ) (d )T A(d )
q( x | ) p( xi | )
i 1
n
这个分布综合了总体信息和样本信息；
4 November 2017
参数估计
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0 是未知的，它是按先验分布( )产生的。 为把先验信息综合进去，不能只考虑0，对
的其它值发生的可能性也要加以考虑，故要 用( )进行综合。这样一来，样本x1 , …, xn和 参数 的联合分布为: f (x1, x2 , …, xn, ) = q(x1, x2 , …, xn )( )，
R( , d1 ) R( , d2 ),
则称决策函数d1 优于d2
若R( , d1 ) R( , d2 ), , 则称d1 , d2等价
4 November 2017
参数估计
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定义3.4 设D={d(X)}是一切定义在样本空间X 上，取值于决策空间A 上的决策函数全体， 若存在一个决策函数d*(X)，使对任意一个d(X) 都有
布族，简称共轭族。 计算共轭先验分布的方法
4 November 2017
参数估计
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当给定样本的分布（似然函数）q (x | ) 和先验分布( )；由贝叶斯公式得 h(x| ) = ( ) q( x )/m(x) 由于m(x)不依赖于, 改写为 h(x| ) ∝( ) q( x ) 上式不是正常的密度函数,是h(x| ) 的主要 部分,称为h(x| ) 的核
i 1 n
记F { F ( xi ; ), },
* i 1
n
则称F *为样本的概率分布族
4 November 2017
参数估计
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2 决策空间（判决空间） 对于任何参数估计，每一个具体的估计值，就是一 个回答，称为一个决策，一个统计问题中可能选取的全 部决策组成的集合称为决策空间，一个决策空间至少应 有两个决策。 3 损失函数 统计决策的一个基本假定是，每采取一个决策，必 然有一定的后果，统计决策是将不同决策以数量的形式 表示出来
4 November 2017
参数估计
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4）共轭先验分布
定义：设总体X 的分布密度为 p(x|
),
F*为 的一个分布族， ( ) 为 的任意 一个先验分布， ( ) ∈ F*,若对样本的任 意观测值x, 的后验分布h( |x)仍在F*内， 称F*为关于分布密度 p(x| )的共轭先验分
参数估计
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（1）总体信息:总体分布提供的信息。 （2）样本信息:抽取样本所得观测值提供的信息。 （3）先验信息:人们在试验之前对要做的问题在经 验上和资料上总是有所了解的，这些信息对 统计推断是有益的。先验信息即是抽样（试 验）之前有关统计问题的一些信息。一般说 来，先验信息来源于经验和历史资料。先验 信息在日常生活和工作中是很重要的。
4 November 2017
参数估计
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贝叶斯学派的基本观点：任一未知量 都可看 作随机变量，可用一个概率分布去描述，这个 分布称为先验分布；在获得样本之后，总体分 布、样本与先验分布通过贝叶斯公式结合起来 得到一个关于未知量 新的分布—后验分布； 任何关于 的统计推断都应该基于 的后验分 布进行。
n
1 2 2
2 ( x ) ] i i 1
n
(
1
) 2
n/2
exp[
2 ( x ) ] i i 1
1 1 2 ( ) ( 2 ) exp[ 2 ](为倒分布） ( )
4 November 2017
参数估计
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例9 X1, X2 , …, Xn来自二项分布B(N , )的一个样
4 November 2017
参数估计
2
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例8 X1, X2 , …, Xn来自正态分布N( , )的一个样本，
其中 已知，求方差2的共轭先验分布
( X 1 , X 2 , , X n )T 的似然函数为 q( x | )
2
1 ( 2 ) n 1 2 2
exp[
R( , d * ) R( , d ), , d , d * D
则称d*(X)为一致最小风险决策函数，或一致 最优决策函数
4 November 2017
参数估计
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例1: 设总体X ~ N (,1), (,), 估计未知参数 ,
解 : 选取损失函数为: L( , d ) (d ) 2 则对的任一估计 d ( X ), 风险函数为 R ( , d ) E [ L( , d )] E (d ) 2
4 November 2017
参数估计
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基于上述三种信息进行统计推断的统计学称为 贝叶斯统计学。它与经典统计学的差别就在于 是否利用先验信息。贝叶斯统计在重视使用总 体信息和样本信息的同时，还注意先验信息的 收集、挖掘和加工，使它数量化，形成先验分 布，参加到统计推断中来，以提高统计推断的 质量。忽视先验信息的利用，有时是一种浪费， 有时还会导出不合理的结论。
Байду номын сангаас
f ( x; ) h( | x) m( x )
q ( x | ) ( )
q ( x | ) ( )d
4 November 2017
参数估计
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这个条件分布称为 的后验分布，它集中了 总体、样本和先验中有关 的一切信息。 后验分布h( x1, x2 , …, xn )的计算公式就是 用密度函数表示的贝叶斯公式。它是用总体和 样本对先验分布( )作调整的结果，贝叶斯统 计的一切推断都基于后验分布进行。
参数估计
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1、统计决策
一、统计决策的三个要素
1 样本空间和分布族 设总体X的分布函数为 F (x; ) ,是未知参数，若设X1 , …, Xn 是来自总体X的一个样本，则样本所有可能值组成的集合称 为样本空间，记为X
联合分布函数 F ( x; ) F ( xi ; ),
4 November 2017
参数估计
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2.贝叶斯估计
1)统计推断的基础
经典学派的观点：统计推断是根据样本信息对 总体分布或总体的特征数进行推断，这里用到 两种信息：总体信息和样本信息； 贝叶斯学派的观点：除了上述两种信息以外， 统计推断还应该使用第三种信息：先验信息。
4 November 2017
4 November 2017
参数估计
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2 风险函数 决策函数 d(X)，完全取决于样本，损失函数 L(, d) 也 是样本X 的函数,当样本取不同的值x时，决策 d(X) 可能不 同，所以损失函数值 L(, d) 也不同，不能判断决策的好坏， 一般从总体上来评价、比较决策函数，取平均损失，就是 风险函数 定义3.2 设样本空间，分布族分别为X，F*，决策空间为A， 损失函数为 L(, d), d(X)为决策函数,
1 (1 ) 1
4 November 2017
4 November 2017
参数估计
二、统计决策函数及风险函数
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1 统计决策函数 定义3.1 ：定义在样本空间上X，取值于决策空 间A 内的函数d(x)，称为统计决策函数，简称 决策函数 决策函数就是一个行动方案，如果用表达 式处理， d(x)= d(x1,x2,…xn)本质上就是一个统 计量
简记为 f (x, ) = q(x )( ) 这个联合分布把总体信息、样本信息和先验 信息三种可用信息都综合进去了；
4 November 2017
参数估计
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在有了样本观察值 x1, x2 , …, xn 之后，则应依
据 f (x, )对 作出推断。由于 f (x, ) =h( x1,x2 ,…,xn )m(x1,x2 ,…,xn)， 其中m(x1,x2 ,…,xn) 是x1, x2 , …, xn 的边际概率函 数，它与 无关。因此能用来对 作出推断的仅 是条件分布h( x1, x2 , …, xn)，它的计算公式是
4 November 2017
参数估计
2)先验分布
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利用先验信息的前提 （1）参数是随机的，但有一定的分布规律 （2）参数是某一常数，但无法知道 目标：充分利用参数的先验信息对未知参数作出更 准确的估计。 贝叶斯方法就是把未知参数视为具有已知分布的随 机变量，将先验信息数字化并利用的一种方法， 一般先验分布记为( )
若要求d ( X )是无偏估计, 即E (d ( X )) , 则风险函数为: R( , d ) E (d Ed ) 2 D (d ( X )) 即风险函数为估计量 d ( X )的方差,
1 若取d ( X ) X , 则R( , d ) D X n 若取d ( X ) X 1 , 则R( , d ) DX1 1 显然, 当n 1时, 后者的风险比前者大 , X 优于X 1
4 November 2017
参数估计
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例2 设总体X ~ P( x; ), 估计未知参数 , 选取损失函数为: L( , d ) (d ) 2 则对的任一估计d ( X ), 风险函数为 R( , d ) E [ L( , d )] E (d ) 2 若要求d ( X )是无偏估计, 即E (d ( X )) , 则风险函数为: R( , d ) E (d Ed ) 2 D (d ( X )) 若取d ( X ) X , 则R( , d ) D X 显然, 当n 1时, 风险不同