河南省2013职高对口升学数学高考一轮复习基础训练一(含答案)
河南职高对口升学数学一轮复习基础测试题二(含答案)
数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集A＝{x｜－1≤2x＋1≤3}，B＝{x｜2xx－≤0}，则A∪B＝（）A．{x｜－1≤x＜2} B．{x｜－1≤x≤2}C．{x｜0≤x≤2} D．{x｜0≤x≤1}2.设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（）A．（2，2．25）B．（2．25，2．5）C．（2．5，2．75）D．（2．75，3）3.已知α，β为不重合的两个平面，直线m α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数f （x ）＝A sin （ωx ＋ϕ）（其中A ＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2π）的图象如图所示，为了得到 g （x ）＝sin2x 的图象，则只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位5.已知{n a }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，n S 为{n a }的前n 项和， n ∈N ﹡，则S 10的值为（ ）A ．－110B ．－90C ．90D ．1106.已知x ＞0，y ＞0，若222y xm m x y8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4 C ．－2＜m ＜4 D ．－4＜m ＜27.已知向量a ＝（cos θ，sin θ），向量b ＝（3，－1）,则｜2a －b ｜的最大值与最小值的和是（ ） A ．42 B ．6 C ．4 D ．168.已知函数f （x ）＝nx ＋11n n a x--＋22n n a x--＋…＋1a x ＋0a （n ＞2且n ∈N ﹡）设0x 是函数f （x ）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是（ ）A ．0()0f x '≠B ．0()f x '＝0C ．0()f x '＞0D ．0()f x '＜09.给出下列四个命题：①命题p ：x ∀∈R ，sinx ≤1，则p ⌝：x ∃∈R ，sinx ＜1． ②当a ≥1时，不等式｜x －4｜＋｜x －3｜＜a 的解集为非空． ③当x ＞0时，有lnx ＋1ln x≥2． ④设复数z 满足（1－i ）z ＝2i ，则z ＝1－i ． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310.已知F 是双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 （ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．（1，12）D ．（2，12）11.已知n a ＝1()3n，把数列{n a }的各项排列成如下的三角形状，记A （m ，n ）表示第m 行的第n 个数，则A （10，12）＝（ ） A ．931()3B ．921()3C ．941()3D ．1121()312.在平面直角坐标系xOy 中，点A （5，0），对于某个正实数k ，存在函数f （x ）＝a 2x （a ＞0）．使得OP＝λ·（OA OA＋OQ OQ）（λ为常数），这里点P 、Q 的坐标分别为P （1，f （1）），Q （k ，f （k ）），则k的取值范围为（ ）A ．（2，＋∞）B ．（3，＋∞）C ．[4，＋∞）D ．[8，＋∞）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8(2x x＋的展开式中常数项为___________________．【答案】358【解析】试题分析：常数项为48413528C ⨯=.考点：二项式定理.14.设z＝2x＋y，其中x，y满足x yxy⎧⎪⎨⎪⎩＋≥－y≤≤≤k，若z的最大值为6，则z的最小值为_________．15.在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－2x与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y＝kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为827，则k的值为__________．【答案】1 3【解析】16.如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD （λ∈R ），｜AB ｜＝｜AD ｜＝2，｜CB －CD ｜＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形，则CB ·BA 的值为__________．【答案】4- 【解析】试题分析：因为CB －CD DB =,所以||23DB =又因为｜AB ｜＝｜AD ｜＝2，由余弦定理得，3cos 22223ABD ∠==⨯⨯，所以30ABD ∠=,又因为BC ＝λAD （λ∈R ），所以//AD BC ,故30DBC ADB ∠=∠=,而△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形，故||||43BC BD ==，所以CB ·()1||||cos 180604242BA CB AB ⎛⎫=⨯⨯-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 考点：余弦定理、平面向量数量积.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知α，β为锐角，且sin α＝35，tan （α－β）＝－13．求cos β的值．18.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{n a }满足21n a －1n n a a ＋－22n a ＝0，n ∈N ﹡，且32a ＋是a 2，a 4的等差中项． （1）求数列{n a }的通项公式；（2）若n b ＝n a 12log n a ，n S ＝b 1＋b 2＋…＋n b ，求n S 的值．19.（本小题满分12分）在△ABC 中，A 、B 、C 为三个内角，a 、b 、c 为相应的三条边，3π ＜C ＜2π，且b a b -＝sin 2sin sin 2C A C -．（1）判断△ABC 的形状；（2）若｜BA ＋BC ｜＝2，求BA ·BC 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝2ax －（a ＋2）x ＋ln x .（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）当a ＞0时，若f （x ）在区间[1，e ）上的最小值为－2，求a 的取值范围．【答案】（1）2y =-；（2）a 的取值范围为[)1,+∞.21.（本小题满分12分）已知A（－5，0），B（5，0），动点P满足｜PB｜，12｜PA｜，8成等差数列．（1）求P点的轨迹方程；（2）对于x轴上的点M，若满足｜PA｜·｜PB｜＝2PM，则称点M为点P对应的“比例点”.问：对任意一个确定的点P，它总能对应几个“比例点”?22.（本小题满分12分）设函数f （x ）＝2x ＋14，g （x ）＝12ln （2ex ）（其中e 为自然对数的底数） （1）求y ＝f （x ）－g （x ）（x ＞0）的最小值；（2）是否存在一次函数h （x ）＝kx ＋b 使得f （x ）≥h （x ）且h （x ）≥g （x ）对一切x ＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由：（3）数列{n a }中，a 1＝1，n a ＝g （1n a -）（n ≥2），求证：12＜1n a ＋＜n a ＜1且111()n k k k k a a a =-∑＋＋＜3．8。
【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 4-5(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,
【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 4-5（基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导，含解析）新人教版B 版1.(文)(2011·某某某某质检)设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.33[答案] C[解析] 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)，因为β为锐角，所以sin β＋cos β≠0，所以sin α＝cos α，即tan α＝1，故选C.(理)(2012·东北三省四市联考)若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝( )A ．－145B ．－75C ．－2 D.45[答案] C[解析] ∵点P 在直线y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α， ∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1) ＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.2．设π2<θ<π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为( )A.105B ．－105 C ．－155 D.155[答案] D[解析] ∵π2<θ<π，∴cos θ<0，∴cos θ＝－15.∵π4<θ2<π2，∴sin θ2>0， 又cos θ＝1－2sin2θ2，∴sin2θ2＝1－cos θ2＝35，∴sin θ2＝155.3．在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2的值是( )A ．± 3B ．－ 3 C. 3 D.33[答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2·ta n C 2＋3tan A 2tan C2＝3，故选C.4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是()A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．5．若cos(x ＋y )cos(x －y )＝13，则cos 2x －sin 2y 等于( )A ．－13 B.13 C ．－23 D.23[答案] B[解析] ∵cos(x ＋y )cos(x －y )＝(cos x cos y －sin x sin y )·(cos x cos y ＋sin x sin y )＝cos 2x cos 2y －sin 2x sin 2y ＝cos 2x (1－sin 2y )－(1－cos 2x )·sin 2y ＝cos 2x －cos 2x sin 2y －sin 2y ＋cos 2x sin 2y ＝cos 2x －sin 2y ，∴选B.6．(2011·某某模拟)若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32[答案] B[解析] 由α、β∈(0，π2)得，α－β2∈(－π4，π2)，α2－β∈(－π2，π4)．又cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，∵α，β∈(0，π2)，∴α＝β＝π3，∴cos(α＋β)＝－12.7．已知sin α＝35，cos β＝35，其中α、β∈(0，π2)，则α＋β＝________.[答案]π2[解析] ∵α，β∈(0，π2)，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×35－35×45＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.8．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．[答案]17250[解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力， ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，又cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝1－cos2α＋π6＝35，∴sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425，cos2(α＋π6)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(45)2－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4＝2425×22－725×22＝17250. [点评] 已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．9．(2011·某某五校联考)设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2x －sin2x cos 2x＝________. [答案] －59[解析] ∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝cos x －sin x ， 由f (x )＝2f ′(x )得sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )， ∴tan x ＝13，∴sin 2x －sin2x cos 2x ＝sin 2x －2sin x cos x cos 2x ＝tan 2x －2tan x ＝(13)2－2×13＝－59.10．(文)(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f (x )＝sin x (1＋sin x )＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[－π6，2π3]上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋sin 2x ＋cos 2x ＝sin x ＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)f (x )在[－π6，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，又f (－π6)<f (2π3)，∴x ＝－π6时，f (x )有最小值f (－π6)＝sin(－π6)＋1＝12；x ＝π2时，f (x )有最大值f (π2)＝sin π2＋1＝2.(理)(2011·某某理，15)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)，(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．[解析] (1)由2x ＋π4≠π2＋kπ，k ∈Z ，得x ≠π8＋kπ2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π8＋kπ2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α得，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12. 能力拓展提升11.(2012·海淀期中练习)已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形 [答案] C[解析] 由题意得，cos A cos B ＝12·2sin 2C 2⇒ cos A ·cos B ＝1－cos C2⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos(A ＋B )⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos A ·cos B －sin A ·sin B⇒cos A ·cos B ＋sin A ·sin B ＝1⇒cos(A －B )＝1⇒A －B ＝0⇒A ＝B ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选C.12．(2011·某某某某质检)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin2αcos α－π4等于()A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255[答案]A[解析]由已知得tan α＋11－tan α＝12，解得tan α＝－13，即sin αcos α＝－13，cos α＝－3sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，结合－π2<α<0，可得sin α＝－1010， 所以2sin 2α＋sin2αcos α－π4＝22sin αsin α＋cos αsin α＋cos α＝22sin α＝22×(－1010)＝－255，故选A. 13．(2012·某某某某模拟)设α为△ABC 的内角，且tan α＝－34，则sin2α的值为________．[答案] －2425[解析] ∵tan α＝－34，∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×－34－342＋1＝－2425. 14.(文)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan2θ2＝________.[答案] 13[解析] 设OC ＝r ，∵AD ＝3DB ，且AD ＋DB ＝2r ， ∴AD ＝3r 2，∴OD ＝r 2，∴CD ＝32r ，∴tan θ＝CDOD＝3，∵tan θ＝2tanθ21－tan2θ2，∴tan θ2＝33(负值舍去)，∴tan2θ2＝13. (理)3tan12°－34cos 212°－2sin12°＝________.[答案] －4 3 [解析]3tan12°－34cos 212°－2sin12°＝3sin12°－3cos12°2cos24°sin12°cos12°＝23sin 12°－60°12sin48°＝－4 3.15．(文)已知A 、B 、C 是三角形ABC 的三个内角，向量m ＝(－12，32)，n ＝(cos A ，sin A )，且m ·n ＝12.(1)求角A ；(2)若sin2B ＋3cos2B ＝－1，求tan C .[解析] (1)m ·n ＝(－12，32)·(cos A ，sin A )＝－12cos A ＋32sin A ＝sin(A －π6)＝12，又在△ABC 中，－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)∵sin2B ＋3cos2B ＝－1，∴2sin B cos B ＋3(cos 2B －sin 2B )＝－(sin 2B ＋cos 2B )， ∴sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，∵cos B ≠0，∴方程两边同除以cos 2B 得tan 2B －tan B －2＝0.∴tan B ＝－1或tan B ＝2， 1°若tan B ＝－1，则B ＝3π4，这时A ＋B ＝3π4＋π3>π，这与A ＋B <π矛盾．2°若tan B ＝2，这时tan C ＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－3＋21－23＝8＋5311.(理)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值．[解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.16．(文)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36. (理)(2012·某某文，18)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．[解析] (1)由题设图象知，周期T ＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin2x －2(12sin2x ＋32cos2x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .[点评] 本题考查了正弦型函数解析式求法，周期、单调区间求法、两角和与差的正弦公式等基础知识．由图象求解析式的一般步骤是：确定周期求ω――→代入特殊点结合φ的X 围求φ――→代入特殊点求A ―→确定解析式．1．(2012·某某理，6)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32][解析] 由题意知，f (x )＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x )＝3sin(x －π6)，∴f (x )∈[－3，3]． 2．(2012·大纲全国文)若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3 [答案] C[解析] 本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，即φ＝3π2＋3k π， 又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2适合．本题也可用偶函数定义求解． 3．已知tan α2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.415 D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B. 4．(2012·某某某某模拟)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)上单调递增 B ．f (x )在(0，π2)上单调递减 C ．f (x )在(π4，3π4)上单调递减 D ．f (x )在(π4，3π4)上单调递增[解析] ∵f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ＋π4)，∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，又∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，故选B. 5．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R 因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73.。
【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 2-6(基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导,
【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 2-6（基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导，含解析）新人教版B 版1.已知点(33，3)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．是非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 [答案] A[解析] 设f (x )＝x α，则(33)α＝3，即3－12 α＝312 ，故α＝－1，因此f (x )＝x－1，所以f (x )是奇函数．故选A.2．(文)函数y ＝x 35在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数 [答案] A[解析]∵35的分子分母都是奇数，∴f (－x )＝(－x )35 ＝－x 35 ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又35>0，∴f (x )在第一象限内是增函数， 又f (x )为奇函数，∴f (x )在[－1,1]上是增函数．(理)设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且该函数为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 [答案] A[解析] 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1或3.3．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b [答案] C[分析] a 、b 的指数相同，可以构建幂函数，使用幂函数的单调性比较大小，再构造对数函数以确定c 与1的大小关系，然后综合作出判断．[解析] 根据幂函数y ＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上单调递减，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .故选C.4．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x 、y ＝1、x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 32的图象经过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，②D ．⑤，① [答案] C[解析]y ＝x 32是增函数，∵32>1，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.5．给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 12，f 4(x )＝1x.若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )有两个零点的幂函数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] 函数g i (x )的零点就是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也就是函数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.6．(2011·某某一中模拟)函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] A[解析] 由题意知m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，又由题意知m 2－2m －3<0，得m ＝2.故选A.7．(文)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f ′(8)的值为________．[答案] －264[解析] 设f (x )＝x α，由条件知12＝4α，∴α＝－12，∴f (x )＝x －12 ，∴f ′(x )＝－12x －32，∴f ′(8)＝－264.(理)若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，设它在A 点处的切线为l ，则过点A 与l 垂直的直线方程为________．[答案] 4x ＋4y －3＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x 12 ，∴f ′(x )＝12x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，故切线的斜率为1，从而与l 垂直的直线斜率为－1， 故过A 与l 垂直的直线方程为y －12＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x ＋4y －3＝0.8．已知函数f (x )＝x 1－a3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a ＝________.[答案] 3[解析]∵f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}， ∴1－a3<0，∴a >1. 又∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x )为偶函数，∵a ∈N ，∴a 的最小值为3.9．(文)(2011·某某模拟)已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值X 围是________．[答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a <0，a ＋1>10－2a ，∴a <－1或3<a <5. (理)若函数f (x )＝dax 2＋bx ＋c(a 、b 、c ，d ∈R )，其图象如图所示，则a :b :c :d ＝________.[答案] 1:(－6):5:(－8) [解析] 由图象知，x ≠1且x ≠5， 故ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1,5.∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝6，c a ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6a ，c ＝5a ，又f (3)＝2，∴d ＝18a ＋6b ＋2c ＝－8a . 故a :b :c :d ＝1:(－6):5:(－8)．10．函数f (x )＝2x和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a 、b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f (8)、g (8)、f (2012)、g (2012)四个数按从小到大的顺序排列．[解析] (1)C 1对应函数g (x )＝x 3，C 2对应函数f (x )＝2x.(2)由于交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )，显然有h (1)＝f (1)－g (1)＝1>0，h (2)＝f (2)－g (2)＝－4<0，h (9)＝29－93＝－217<0，h (10)＝24>0，∴x 1∈[1,2]，x 2∈[9,10]，∴a ＝1，b ＝9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f (8)<g (8)<g (2012)<f (2012).能力拓展提升11.(文)y ＝|x －13|的图象为( )[答案] A[解析]y ＝|x －13|为偶函数，故选A.(理)(2012·潍坊市高三模拟)定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b ，b a <b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x ＋1)的大致图象是( )[答案] B[解析] 如图．在同一坐标系内分别作出y ＝2x与y ＝3－x 的图象，据已知函数f (x )的定义知，相同x 对应的上方图象即为函数f (x )的图象(如实线部分所示)，然后将其图象左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象，故选B.12．(文)幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定 [答案] A[解析] 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， ∴13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α，23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13β，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13αβ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13βα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＝13，∴αβ＝1.故选A. (理)函数y ＝a x＋b 的图象如图所示，则函数y ＝b ＋1x ＋a的大致图象为( )[答案] C[解析] 由函数y ＝a x＋b 的图象知0<a <1，b <－1， ∵函数y ＝b ＋1x ＋a 的图象可视作函数y ＝1x的图象，向左平移a 个单位，向下平移－b 个单位得到的图象，即其中心(－a ，b )应位于第三象限，故选C.13．(2012·某某重点中学联考)已知a ＝ln 12010－12010，b ＝ln 12011－12011，c ＝ln 12012－12012，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a [答案] A [解析] 记f (x )＝ln x －x ，则 f ′(x )＝1x －1＝1－xx ，当0<x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1>12010>12011>12012>0，∴a >b >c ，选A.14．(文)函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1x ≤0，x 12x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值X 围是________．[答案] x 0<－1或x 0>1[解析] 当x 0≤0时，不等式可化为2－x 0－1>1，即2－x 0>2，解得x 0<－1；当x 0>0时，不等式可化为x 120>1，解得x 0>1，故x 0的取值X 围是x 0<－1或x 0>1.(理)在y ＝(12)x ，y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝x 23四个函数中，当0<x 1<x 2<1时，使f (x 1＋x 22)>f x 1＋f x 22恒成立的函数个数是________．[答案] 2个[解析] 当0<x 1<x 2<1时，使f (x 1＋x 22)>f x 1＋f x 22恒成立，说明函数图形是向上凸的，而所考查函数图象只有y ＝log 2x ，y ＝x 23两个符合要求．15．已知f (x )＝x α(其中α＝1－n 2＋2n ＋3，n 是偶数)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．[解析] 由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.又n 是偶数，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13.∴f (x )在R 上单调递增． ∴f (x 2－x )>f (x ＋3)转化为x 2－x >x ＋3， 解得x <－1或x >3，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 16．(文)已知函数f (x )＝x 13 －x -13 5，g (x )＝x 13 +x -135.(1)证明f (x )是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，并由此概括一个涉及函数f (x )、g (x )的对所有非零实数x 都成立的等式，并证明．[解析] (1)证明：因为f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝＝－x 13 －x -13 5＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 设x 1<x 2，x 1，x 2∈(0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝，∵，∴f (x 1)－f (x 2)<0.故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，由此可得对所有非零实数x 都成立的一个等式是f (x 2)－5f (x )g (x )＝0.证明如下：(理)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立， 当x ＝1时，f (1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝1，∴1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1.(2)证明：∵f (1)＝1，f (－1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立， ∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac ≥116.∴c >0，故a >0，c >0.(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f (x )＝14x 2＋12x ＋14.∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m x ＋14＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]．∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，∴2m －1≤－1或2m －1≥1，∴m ≤0或m ≥1.1．(2011·某某某某调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1[答案] B[解析]y ＝x 2为偶函数，对应②；y ＝x 12 定义域x ≥0，对应③；y ＝x －1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 13均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 13增长率大，故①对应y ＝x 3.2．有min{a ，b }表示a 、b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 [答案] D[解析] 如图，要使f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t ＝1.3．(2011·新课标全国文，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 [答案] A[解析] 由y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象(如图)可知，选A.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1x ≤0，f x －1x >0.若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值X 围是________．[答案] (－∞，1)[解析] 在同一直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和y ＝x ＋a 的图象如图可知a <1.5．(2012·某某余姚中学模拟)已知实数a 、b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个关系式：①a >b >1；②b >a >1；③a <b <1；④b <a <1；⑤a ＝b .其中可能的关系式是________．[答案] ②④⑤[解析] 由已知log 2a ＝log 3b ，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x 的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能成立．6．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)且幂函数g(x)＝xm2－m－2(m∈Z)的图象与x 轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)当x为何值时①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．[解析](1)设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(2，2)，∴2＝(2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2；又g(x)＝xm2－m－2的图象与x轴、y轴都无公共点，∴m2－m－2≤0，∴－1≤m≤2.∵m∈Z，∴m＝0或±1或2，当m＝0或1时，g(x)＝x－2是偶函数，图象关于y轴对称，当m＝－1或2时，y＝x0也满足，故g(x)＝x－2或g(x)＝x0.(2)若g(x)＝x0＝1，则由f(x)>g(x)得，x2>1，∴x>1或x<－1.故x>1或x<－1时，f(x)>g(x)，x＝±1时，f(x)＝g(x)，－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．若g(x)＝x－2，则由f(x)>g(x)得，x2>1x2，∴x4>1，∴x>1或x<－1，故当x>1或x<－1时，有f(x)>g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．综上知，x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；x＝±1时，f(x)＝g(x)；－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．。
2013高考数学第一轮复习配套课时作业 阶段检测评估(一) 新人教B版
阶段检测评估（一）(时间:120分钟,满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.设全集U 是实数集R ,集合M={x|x<-2或x>2},N={x|2x -4x+3<0},则图中阴影部分所表示的集合是… ( )A.{x|21x -≤<}B.{x|22x -≤≤}C.{x|12x <≤}D.{x|x<2}【答案】 C2.设命题p:若a>b,则11a b <;q:若10ab <,则ab<0;给出以下3个复合命题:①p ∧q;②p ∨q;③()()p q ⌝∧⌝.其中真命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3 【答案】 B【解析】 p:若a>b,则11a b <,是假命题;q:若10ab <,则ab<0,是真命题.所以p ⌝是真命题，q ⌝是假命题.所以①p ∧q 是假命题，②p ∨q 是真命题，③（)()p q ⌝∧⌝是假命题.故选B.3.已知函数f(x)=aln 212(0)x x a +>,若对任意两个不等的正实数12x x ,都有()()12212f x f x x x ->-恒成立,则a 的取值范围是( ) A.(0,1] B.(1),+∞C.(0,1)D.[1),+∞【答案】 D【解析】 由题意得f′()2a x x a x =+≥,当且仅当a x x =,即x a =时取等号,所以()()1212f x f x f x x ->-′min ()22x a =≥,∴1a ≥. 4.函数223y x x =--log 2(2)x +的定义域为 …( )A.(1)(3)-∞,-⋃,+∞B.(1][3)-∞,-⋃,+∞C.(-2,-1]D.(21][3)-,-⋃,+∞【答案】 D【解析】 定义域满足 223020x x x ⎧--≥,⎨+>.⎩∴ 312x x x ≥≤-,⎧⎨>-.⎩或 ∴(21][3)x ∈-,-⋃,+∞.5.已知函数f(x)=log (21)(x a b a +->0,1)a ≠的图象如图所示,则a,b 满足的关系是( )A.101a b -<<<B.101b a -<<<C.101b a -<<<D.1101a b --<<<【答案】 A【解析】 由于函数()21x x b ϕ=+-为单调增函数,所以a>1;又-1<f(0)<0,即-1<log 0a b <, 所以11a b -<<,故101a b -<<<.6.设p:函数f(x)=ln 221x x mx +++在(0),+∞内为单调增函数;q:3m ≥-,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】 由条件p 可得f′1()4x x m x=++. ∵x>0,∴114244x x xx+≥⋅=, 又∵函数f(x)在(0),+∞内为单调增函数,∴f′()0x ≥在(0),+∞内恒成立.∴4m ≥-.当3m ≥-时,f′(x)>0在(0),+∞内恒成立,即函数f(x)在(0),+∞内为单调增函数,∴q p ⇒成立,即必要性成立.但p q,因此选B.7.已知1()()2x f x =,命题p:[0)()1x f x ∀∈,+∞,≤,则 ( ) A.p 是假命题,p ⌝：00[0)()1x f x ∃∈,+∞,>B.p 是假命题,p ⌝：[0)()1x f x ∀∈,+∞,≥C.p 是真命题,p ⌝：00[0)()1x f x ∃∈,+∞,>D.p 是真命题,p ⌝:[0)()1x f x ∀∈,+∞,≥【答案】 C【解析】 ∵1()()2x f x =是R 上的减函数,∴当x ∈[0),+∞时()(0)1f x f ,≤=.∴p 为真命题,p ⌝:为0x ∃∈[0),+∞0()1f x ,>,故选C.8.已知A={0,1},B={-1,0,1},f 是从A 到B 的映射,则满足f(0)>f(1)的映射有( )A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】 A【解析】 由f(0)>f(1)可知当00→时,则11→-;当01→时,则11→-或10→,故共有3个.9.设a=0.30223b c .,=,=log 30.2,则a,b,c 的大小关系是… ( )A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a 【答案】 A【解析】 a=0.320>且02131a b c .<,=>,=log 30.2<0,∴b>a>c.10.设f(x)= x 1232e x 2(x 1)x 2log -⎧,<,⎪⎨-,≥,⎪⎩ 则f[f(2)]的值为 ( ) A.0B.1C.2D.3 【答案】 C【解析】 ∵f(2)=log 23(21)-=log 331=, ∴f[f(2)]=f(1)=2e 112-=.11.(2012山东临沂质检)函数f(x)=πx+log 2x 的零点所在区间为( ) A.1[0]8, B.11[]84, C.11[]42, D.1[1]2, 【答案】 C 【解析】 因为f(x)在定义域内为单调增函数,而在4个选项中,只有11()()042f f ⋅<,所以零点所在区间为11[]42,. 12.若函数1ax y x=+的图象关于直线y=x 对称,则a 为( ) A.1 B.-1 C.1±D.任意实数 【答案】 B【解析】 可求得函数1ax y x =+的反函数是x y a x=-. ∵自身图象关于直线y=x 对称,即反函数是函数自身,∴1ax x x a x=,+-消去x 可得a=-1. 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分) 13.已知条件p:2(1)4x +>,条件q:x>a,且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是.【答案】 1a ≥【解析】 由2(1)4x +>得x>1或x<-3,∴p:x>1或x<-3.∴p:x>1或x<-3.∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p q,但q ⇒p.∴1a ≥.14.若函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则函数y=f(2x-1)的定义域是 .【答案】 5[0]2, 【解析】 据题意,得23114x x -≤≤⇒-≤+≤,∴1214x -≤-≤.∴502x ≤≤. 15.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a 、b ∈R )是偶函数,且它的值域为(4]-∞,,则该函数的解析式f(x)= .【答案】 224x -+【解析】 ∵函数f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)且f(x)=22(2)2bx a ab x a +++, ∴2222()(2)()2(2)2b x a ab x a bx a ab x a -++-+=+++.∴-(2a+ab)=2a+ab,即2a+ab=0.∴a=0或b=-2.当a=0时2()f x bx ,=,∵f(x)的值域为(4]-∞,,而2y bx =的值域不可能为(4]-∞,,∴0a ≠.当b=-2时22()22f x x a ,=-+,值域为2(2]a -∞,.∴224a =,即22a =.∴2()24f x x =-+.16.对a 、b ∈R ,记max{a,b}= a a b b a b ,≥,⎧⎨,<.⎩ 则函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R )的最小值是 . 【答案】 32 【解析】 方法一:画出1y =|x+1|和2y =|x-2|的图象,如图所示,由f(x)=max{|x+1|,|x-2|}知其图象为下图的折线ABC,由 12y x y x =+,⎧⎨=-,⎩ 得32B y =,∴min 3()2f x =. 方法二:由|x+1|≥|x-2|得12x ≥, 由|x+1|<|x-2|得12x <. ∴f(x)= 112122x x x x ⎧+,≥,⎪⎨⎪-,<.⎩ 由此可求得3()[)2f x ∈,+∞,即min 3()2f x =. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)设命题p:2(43)1x -≤;命题q:2x -(2a+1)x+(1)0a a +≤,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【解】 设A={x|2(43)1x -≤},B={x|2(21)(1)0x a x a a -+++≤}, 易知A={x|112x ≤≤},B={x|1a x a ≤≤+}.p q p q ⌝⌝,由是的的必要不充分条件从而是的充分不必要条件，即A B, ∴1211a a ⎧≤,⎪⎨⎪+≥.⎩故所求实数a 的取值范围是1[0]2,.18.(本小题满分12分)f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足如下两个条件:(1)对于任意的x 、y ∈R ,有f(x+y)=f(x)+f(y);(2)当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.求函数f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.【解】 任取120x x >≥,由1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+,得1212()()()f x f x f x x -=-.由条件(2)知12()0f x x -<,即12()()f x f x <,所以f(x)在[0,3]上为单调减函数.又f(x)为奇函数,所以f(x)在[-3,0]上也是减函数.从而f(x)在[-3,3]上也是减函数.所以max ()(3)(f x f f =-=-3)=-f(1+2)=-f(1)-f(1+1)=-f(1)-[f(1)+f(1)]=-3f(1)=6, min ()(3)(f x f f ==--3)=-6.19.(本小题满分12分)已知函数32()23f x x ax x =--,x ∈R .(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)当(0)x ∈,+∞时()f x ax ,≥恒成立,求a 的取值范围.【解】 (1)当a=0时3()3f x x x ,=-,故f′2()33x x =-.当x<-1或x>1时,f′(x)>0;当-1<x<1时,f′(x)<0.故函数f(x)在(1)-∞,-和(1),+∞上为单调增函数,在(-1,1)上为单调减函数.(2)由题意可知3223x ax x ax --≥在(0),+∞上恒成立,即22(3)0x ax a --+≥在(0),+∞上恒成立.令2()2(3)g x x ax a =--+, 因为2212(2)4(3)4()110a a a ∆=-++=++>, 故22(3)0x ax a --+≥在(0),+∞上恒成立等价于 0(0)0a g <,⎧⎨≥,⎩ 即 030a a <,⎧⎨--≥,⎩解得3a ≤-.故a 的取值范围是(3]-∞,-.20.(本小题满分12分)某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为2()5(05)2x R x x x =-≤≤,其中x 是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?(3)年产量是多少时,工厂才不亏本?【解】 (1)当5x ≤时,产品能售出x 百台;当x>5时,只能售出500台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x) = 2(5)(05025)05225(55)(05025)52x x x x x x ⎧--.+.,≤≤,⎪⎪⎨⎪⨯--.+.,>⎪⎩= 247505052120255x x x x x ⎧⎪.--.,≤≤,⎨⎪-.,>.⎩(2)当05x ≤≤时,L(x)=4.27502x x --.5, ∴当x=4.75时,得max ()10L x =.781 25(万元);当x>5时,L(x)<12-1.25=10.75(万元).∴生产475台时利润最大.(3)由 0524750502x x x ≤≤,⎧⎪⎨.--.≥⎪⎩ 或 5120250x x >,⎧⎨-.≥,⎩ 得0.115x ≤≤或548x <≤,即0.1148x ≤≤.∴产品年产量在11台到4 800台时,工厂不亏本.21.(本小题满分12分)已知m ∈R ,函数2()()f x x mx m =++⋅e x .(1)若函数f(x)没有零点,求实数m 的取值范围;(2)若函数f(x)存在极大值,并记为g(m),求g(m)的表达式;(3)当m=0时,求证:23()f x x x ≥+.【解】 (1)令f(x)=0得2()x mx m ++⋅e 0x =,∴20x mx m ++=.∵函数f(x)没有零点,∴240m m ∆=-<.∴0<m<4.(2)f′(x)=(2x+m)e 2()x x mx m +++e x=(x+2)(x+m)e x ,令f′(x)=0,得x=-2或-m.当m>2时,则-m<-2,此时随x 变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表:当x=-m 时,f(x)取得极大值me m-,当m=2时,f′(x)2(2)x =+e 0()x f x ≥,在R 上为增函数,∴f(x)无极大值. 当m<2时,则-m>-2,此时随x 变化,f′(x),f(x)的变化情况如下表:当x=-2时,f(x)取得极大值(4-m)e 2-,∴g(m)= m 2e m 2(4m)e m 2m --⎧,>,⎨-,<.⎩(3)证明:当m=0时2()f x x ,=e x ,要证232()(1)f x x x x x ≥+=+,即证e 1x x ≥+,即证e 10x x --≥,令g(x)=e 1x x --,则g′(x)=e 1x -,∴当x>0时g(x)为增函数;当x<0时g(x)为减函数,∴x=0时g(x)取最小值,g(0)=0.∴()0g x ≥.∴e 10x x --≥.∴23()f x x x ≥+.22.(本小题满分10分)已知集合A={x|2560x x -+=},B={x|mx+1=0},且A B A ⋃=,求实数m 的值组成的集合.【解】 A={x|2560x x -+=}={2,3}A B A ,⋃=, ∴B A ⊆.①m=0时,B=∅B A ,⊆;②0m ≠时,由mx+1=0,得1x m =-.∵BA ,∴1A m -∈. ∴12m -=或13m -=,得12m =-或13-.∴满足题意的m 的集合为{11023,-,-}.。
【三维设计】2013高考数学一轮复习第1节函数及其表示我来演练
【三维设计】 2013 高考数学一轮复习第1节函数及其表示我来操练一、选择题b1．已知a、b为实数，会合M＝a，1， N＝{ a, 0}， f ： x→ x 表示把 M中的元素 x 映照到会合 N中仍为 x，则 a＋ b 等于()A．－ 1B．0C． 1D．±1分析： a＝1， b＝0，∴ a＋ b＝1.答案： C2．已知函数f (2x＋ 1，x<1，f(f(0)) ＝ 4a等于() ) ＝2＋ ax， x≥1，若，则实数x x a14A. 2B. 5C． 2D． 9分析：∵ f (0)＝20＋ 1＝ 2. ∴f ( f (0))＝ f (2)＝ 4＋ 2a.令 4＋2a＝ 4a，得a＝ 2.答案： C3．定义x?y＝x3－y，则h?( h?h) ＝ ()A．－h B． 0C．h D．h3分析：由定义得h?h＝ h3－h， h?( h?h)＝ h?( h3－h)＝ h3－( h3－ h)＝ h.答案： C14．已知函数f ( x) 的图象是两条线段( 如图，不含端点 ) ，则f f3＝() 11A．－3 B. 322C．－3 D. 3121分析：由函数的图象知 f f 3＝ f －3＝3.答案： B．·济南模拟)已知函数fx－1＝x21f (3)＝()＋2，则5 (2012x x A． 8B． 9C． 11D． 10分析：∵ f x－1＝x－12＋2，∴f (3)＝ 9＋ 2＝ 11. x x答案： C 二、填空题6．已知函数f ( x) ＝x2＋2ax，x≥2，若 f ( f (1))>3a2，则 a 的取值范围是________．2x＋1，x＜ 2分析：由题知， f (1)＝2＋1＝3，f ( f (1))＝ f (3)＝32＋6a，若 f ( f (1))>3a2，则9＋6a>3a2，即 a2－2a－3<0，解得－1<a<3.答案： ( － 1,3)7．已知函数f ( x) ＝ 2x＋ 1 与函数y＝g( x) 的图象对于直线x＝ 2 成轴对称图形，则函数y＝ g( x)的分析式为________．分析：设点 M( x，y)在所求函数的图象上，点M′(x′，y′)是M对于直线x＝2的对称x′＝4－ x，点，则y′＝ y，又 y′＝2x′＋1，∴ y＝2(4－ x)＋1＝9－2x，即 g( x)＝9－2x.答案： g( x)＝9－2x三、解答题x8．若函数f ( x) ＝ax＋b( a≠0) ，f (2) ＝1，又方程f ( x) ＝x有独一解，求f ( x) 的分析式．2解：由 f (2)＝1得2a＋b＝1，即2a＋ b＝2；由 f ( x)＝ x 得x＝ x，变形得 x1＋ax＋b－ 1 ＝ 0，ax b1－b解此方程得 x＝0或 x＝a，1－b又因方程有独一解，∴a＝ 0 ，1解得 b ＝1，代入2a＋ b＝2得 a＝2，2x∴ f ( x)＝x＋2.3f x－－ f x－9．设x≥0时，f ( x) ＝ 2；x<0 时，f ( x) ＝1，又规定：g( x) ＝( x>0) ，2试写出y ＝ () 的表达式，并画出其图象．g x解：当 0<x<1 时，x－ 1<0，x－ 2<0，3－ 1∴g( x)＝2＝1；当 1≤x<2 时，x－1≥0，x－ 2<0，6－15∴g( x)＝2＝2；当 x≥2时， x－1>0， x－2≥0，6－ 2∴g( x)＝2＝2.1，x，5故 g( x)＝，x，22，x其图象如图10．如图①是某公共汽车线路进出差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图①上点 A、点 B 以及射线 AB上的点的实质意义；(2) 因为当前本条线路损失，企业相关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能依据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)图①、图②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？(4)此问题中直线斜率的实质意义是什么？解：(1) 点A表示无人搭车时收入差额为－20 元，点B表示有 10 人搭车时收入差额为0元，线段 AB上的点表示损失，AB延伸线上的点表示盈利．(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增添票价．(3)图①②中的票价是 2 元．图③中的票价是 4 元．(4)斜率表示票价．。
中职数学对口升学一轮复习基础测试题：解答题(03)
中职数学对口升学一轮复习基础测试题：解答题解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
15. （本题满分12分）设函数()2sin cos cos(2)6=--f x x x x π。
（Ⅰ）设函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0,]3∈x π时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值。
16. （本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2===AE EB BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。
（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求证：AE ∥平面BFD ； （Ⅲ）求三棱锥-C BGF 的体积。
17. （本小题共12分）关于x 的方程222(1)|1|0---+=x x k 。
（Ⅰ）当0=k 时，写出方程的所有实数解；（Ⅱ）求实数k 的范围，使得方程恰有8个不同的实数解。
18. （本小题共14分）已知函数()ln 1,=-+∈f x x ax a R 是常数。
（Ⅰ）求函数()=y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明：函数()(1)=≠y f x x 的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）若函数()=y f x 有零点，求实数a 的取值范围。
19. （本题满分14分）已知椭圆2221:1(0)+=>>x y M a b a b的左右焦点分别为12(2,0),(2,0)-F F 。
在椭圆M中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标为(3,1)，AB 所在直线的斜率为33。
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）当△ABC 的面积最大时，求直线AB 的方程。
20. （本题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列，256,18==a a ；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且112+=n n T b 。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅲ）记=⋅n n n c a b ，求{}n c 的前n 项和n S 。
中职数学对口升学一轮复习基础测试题：选择题(03)
中职数学对口升学一轮复习基础测试题：选择题选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.复数i(i 1)+等于A. 1i +B. 1i --C. 1i -D. 1i -+ 2.设非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是 A.11a b> B. 2ab b < C. 0a b +> D. 0a b -< 3.下列极坐标方程表示圆的是A. 1ρ=B. 2πθ=C. sin 1ρθ=D. (sin cos )1ρθθ+= 4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的n 的值为6，那么运行相应程序，输出的n 的值为A. 3B. 5C. 10D. 165. 322x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为A. 12B. 12-C.6D. 6-6.若实数,x y 满足条件20,0,3,x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则34z x y =-的最大值是 A.13- B. 3- C.1- D.17.已知椭圆C :22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆C 上点A 满足212AF F F ⊥. 若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为A.B. 233C. 94D. 1548.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所开始结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有A.50种B.51种C.140种D.141种选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则AB =（A ）(0,1) （B ） (1,2) （C ）(,1)(0,)-∞-+∞ （D ） (,1)(1,)-∞-+∞（2）在复平面内，复数2ii+ 的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）设a ∈R ，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行右图所示的程序框图，输出的a 的值为（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）9（5）在△ABC 中，15a =，10b =，60A =，则cos B =（A ）13（B （C ）3 （D ）3选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）D （3）A（4）C （5）C （6）A （7）C （8）B（6）已知直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若MN ≥则k 的取值范围为 （A）[ （B ）11[,]33-（C ）(,-∞ （D）)+∞ （7）在直角梯形ABCD 中，90A ∠=，30B ∠=，AB =2BC =，点E 在线段CD上，若AE AD AB μ=+，则μ的取值范围是（A ）[0,1] （B） （C ）1[0,]2 （D ）1[,2]2（8）定义,,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩设实数,x y 满足约束条件2,2,x y ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩则max{4,3}z x y x y =+- 的取值范围是（A ）[6,10]- （B ）[7,10]- （C ）[6,8]- （D ）[7,8]-。
中职对口升学-高三数学第一轮复习：一元二次函数
2.几种常见的函数模型
（1）一次函数模型：f（x）=kx+b（k,b为常数，k≠0）.
（2）二次函数模型：f（x）=ax2+b+c（a,b，c为常数，a≠0）.
（3）幂型函数模型：f（x）=axn+b（a,b，n为常数，a≠0,n≠1）.
（4）
“对勾”函数模型：f（x）=x+ （a＞0）.
典例解析
且增长速度比前一段慢，符合题意，故选D.
技巧
点拨
抓住两个变量间的变化规律与函数的性质、图像相
吻合即可.
典例解析
例3 某工厂生产一种产品的总利润L（元）是产量件数x的二次函数：
L=-x2+2000x-10000,0<x<1900.
试问：产量是多少时，总利润最大？最大利润是多少？
解析
由于a=-1<0,因此上述二次函数在定义域内有最大值.
的图像作在同一个平面直角坐标系中.
典例解析
例2 小明去上学，一开始乘车，然后剩一段路步行，图中横
轴表示小明用的时间，纵轴表示距离，则下列图形中，正确
的是（）.
解析
A中可以看出后一段时间增加，距离未变，不符
合题意，排除A；B中后一段距离增加，时间未变，
不符合题意，排除B；C中后一段距离缩短，不符
合题意，排除C；D中后一段距离增加，时间增加，
例6 已知分段函数
求函数f(x) 的定义域,计算f (3)-f (-2)+
f (1)的值,并作出函数f(x) 的图像.
解析
分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集.求分段函数的函数值f
（x0） 时,应该首先判断x0所属的取值范围,再把x0 代入相应的解析式中进行计算.
2013高考数学第一轮基础复习课后作业 2-1 函数及其表示 新人教B版
2-1 函数及其表示1.(2011·浙江嘉兴一中模拟)设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )[答案] B[解析] 函数的定义要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中x ∈(0,2]时没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2．(文)(2011·广州市综合测试)函数y ＝1－2x 的定义域为集合A ，函数y ＝l n (2x ＋1)的定义域为集合B ，则A ∩B 等于( )A ．(－12，12]B ．(－12，12)C ．(－∞，－12)D ．[12，＋∞)[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥02x ＋1>0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，x >－12.∴－12<x ≤12，故A ∩B ＝(－12，12]．(理)(2010·湖北文，5)函数y ＝1log 0.5x －的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) [答案] A[解析] log 0.5 (4x －3)>0＝log 0.51，∴0<4x －3<1， ∴34<x <1. 3．(2011·山东潍坊模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，x ≥3，f x ＋，x <3，则f (log 23)的值是( )A.112 B.124C ．24D ．12 [答案] A[解析] ∵1<log 23<2，∴3<log 23＋2<4， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1) ＝f (log 23＋2)＝f (log 212) ＝(12)log 212＝112. 4．(2011·福建文，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 [答案] A[解析] ∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a＝－2不成立．当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3.5．(文)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈－∞，2]log 2x x ∈，＋，则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16 [答案] C[解析] 当f (x )＝2x时.2x＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－ 1x lg x x，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎨⎧x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.6．(2010·山东肥城联考)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x 的解集为( ) A ．{1} B ．{2} C ．{3} D ．∅[答案] C[解析] g [f (1)]＝g (2)＝2，g [f (2)]＝g (3)＝1；g [f (3)]＝g (1)＝3，故选C.7．(文)(2011·济南模拟)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋f (1x)＝________. [答案] 0[解析] ∵f (1x )＝1x －11x＋1＝1－x1＋x，∴f (x )＋f (1x )＝x －1x ＋1＋1－x1＋x＝0.(理)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则ff＋f f＋f f＋…＋f f＝________.[答案] 2011 [解析] 令b ＝1，则f a ＋f a＝f (1)＝1，∴f f＋f f＋f f＋…＋f f＝2011.8．(2011·武汉模拟)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.[答案] lg2x －1(x >1) [解析] 令2x ＋1＝t ，∵x >0，∴t >1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，f (x )＝lg 2x －1(x >1)． 9．(文)(2011·广东文，12)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. [答案] －9[解析] 令g (x )＝x 3cos x ，则f (x )＝g (x )＋1，g (x )为奇函数．f (a )＝g (a )＋1＝11，所以g (a )＝10，f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝－9.(理)(2011·安徽省淮南市高三第一次模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (2011)＝________.[答案]132[解析] ∵f (x ＋4)＝13f x ＋＝1313f x＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为4，所以f (2011)＝f (4×502＋3)＝f (3)＝13f＝132. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12， －1<x <0e x －1 x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，求a 的值．[解析] ∵f (1)＝e 1－1＝1，又f (1)＋f (a )＝2，∴f (a )＝1.若－1<a <0，则f (a )＝a 2＋12＝1，此时a 2＝12，又－1<a <0，∴a ＝－22. 若a ≥0，则f (a )＝ea －1＝1，∴a ＝1.综上所述，a 的值是1或－22.11.(文)(2011·天津一中)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，34)C ．(34，＋∞)D ．[0，34)[答案] D[解析] ①m ＝0时，分母为3，定义域为R.②由⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ<0得0<m <34.综上得0≤m <34.(理)(2011·黑龙江哈尔滨模拟)如果函数f (x )对于任意实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M |x |恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛涵．下面有4个函数：①f (x )＝1;②f (x )＝x 2；③f (x )＝(sin x ＋cos x )x;④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中有两个属于有界泛涵，它们是( ) A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．③④ [答案] D[解析] 由|f (x )|≤M |x |对x ∈R 恒成立，知|f xx|max ≤M . ①中|f x x |＝|1x |∈(0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立； ②中|f xx|＝|x |∈[0，＋∞)，故不存在常数M 使不等式恒成立；③中|f x x |＝|sin x ＋cos x |＝2|sin(x ＋π4)|≤2，故存在M 使不等式恒成立； ④中|f x x |＝|1x 2＋x ＋1|＝|1x ＋122＋34|≤43， 故存在M 使不等式恒成立．[点评] 作为选择题判断①后即排除A 、C ，判断②后排除B ，即可选出D.12．(文)(2011·海南海口模拟)对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，函数f (x )＝min{12x ，－|x －1|＋2}(x ∈R)的最大值为________．[答案] 1[解析] y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.(理)(2011·山东烟台模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x K ，K ， f x K .取函数f (x )＝a－|x |(a >1)．当K ＝1a时，函数f K (x )在下列区间上单调递减的是( )A ．(－∞，0)B ．(－a ，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] 当K ＝1a 时，f K(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －|x |，a －|x |≤1a ，1a ，a －|x |>1a＝⎩⎪⎨⎪⎧1a |x |，x ≤－1或x ≥1，1a ，－1<x <1.∵a >1，∴0<1a<1，如图，作出函数f K (x )的图象可得其单调减区间为(1，＋∞)．13．(文)(2011·上海交大附中月考)函数f (x )＝x 2x 2＋1，则f (14)＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.[答案] 72[解析] f (1)＝12，f (x )＋f (1x )＝x 2x 2＋1＋1x 21x2＋1＝x 2x 2＋1＋11＋x 2＝1，则f (14)＋f (13)＋f (12)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝3＋12＝72.(理)(2011·襄樊检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 法一：若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b －＋c ＝c ，－2＋b－＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1； 当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．法二：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．14．(2011·洛阳模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．[答案] 5 [解析] 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2得 0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．[点评] 数对(a ，b )的取值必须能够使得|x |的取值最小值为0，最大值为2，才能满足f (x )的值域为[0,1]的要求．15．(文)已知函数f (x )＝xax ＋b(ab ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．[解析] 由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b＝x ， 变形得x (1ax ＋b－1)＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又因方程有唯一解，∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2x x ＋2. (理)(2011·广东普宁模拟)已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．[解析] (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax >0，a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)． a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg(x ＋ax －2)在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2，∴a >2.16．(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)；∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80， 得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张．1．(2011·江西文，3)若f (x )＝,则f (x )的定义域为( )A ．(－12，0)B ．(－12，＋∞)C ．(－12，0)∪(0，＋∞)D ．(－12，2)[答案] C[解析] 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>02x ＋1≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－12x ≠0.故选C.2．(2010·浙江宁波十校联考)值域为{2,5,10}，对应关系为y ＝x 2＋1的函数个数为( )A ．1B ．8C ．27D ．39 [答案] C[解析] 本题的关键是寻找满足条件的定义域有多少种情况．当y ＝2，即x 2＝1时，x ＝1，－1或±1有三种情况，同理当y ＝5,10时，x 的值各有三种情况，由分步乘法计数原理知，共有3×3×3＝27种可能．故选C.3．(2010·陕西理，5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 [答案] C[解析] f (0)＝20＋1＝2，f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.4．(2010·天津理，8)设函数f (x )＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] C[解析] 解法1：由图象变换知函数f (x )图象如图，且f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数，∴f (a )>f (－a )化为f (a )>0，∴当x ∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f (a )>f (－a )，故选C.解法2：当a >0时，由f (a )>f (－a )得，log 12 og 2a >log 12 a ，∴a >1；当a <0时，由f (a )>f (－a )得，log 12(－a )>log 2(－a )，∴－1<a <0，故选C.5．a 、b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有b a＝1，与集合元素的互异性矛盾， ∴f (b a)＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.6．(2011·温州十校二模)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510][答案] B[解析] 当x 除以10的余数为0,1,2,3,4,5,6时，由题设知y ＝[x 10]，且易验证此时[x10]＝[x ＋310]．当x 除以10的余数为7,8,9时，由题设知y ＝[x10]＋1，且易验证知此时[x10]＋1＝[x ＋310]．综上知，必有y ＝[x ＋310]．故选B.7．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且F G .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，且g (x )为偶函数，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2|x |B ．g (x )＝log 2|x |C ．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |D ．g (x )＝log 12|x |[答案] A[解析] 由延拓函数的定义知，当x ≤0时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，当x >0时，－x <0，∴g (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2x ， ∵g (x )为偶函数，∴g (x )＝2x， 故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x x ≤02x x >0，即g (x )＝2|x |.8．(2011·广东揭阳一模)函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，1)[答案] B[解析] 要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧2－x >0x －1>0，∴1<x <2，∴函数的定义域为(1,2)．9．(2011·合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，f x －＋1，x >0，则f (2011)等于( )A ．2008B ．2009C ．2010D ．2011 [答案] D[解析] 当x >0时，f (x )－f (x －1)＝1，∴f (2011)＝[f (2011)－f (2010)]＋[f (2010)－f (2009)]＋…＋[f (1)－f (0)]＋f (0)＋f (0)＝2011＋log 21＝2011.10.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f(l)的图象大致是( )[答案] C[解析] 函数在[0，π]上的解析式为 d ＝12＋12－2×1×1×cos l ＝2－2cos l ＝4sin 2l2＝2sin l 2.在[π，2π]上的解析式为d ＝2－2cos π－＝2sin l2，故函数的解析式为d ＝2sin l2，l∈[0,2π]．[点评] 这类题目解决的基本方法通过分析变化趋势或者一些特殊的点，采用排除法；或求函数解析式．11．(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x)2＋1192·(60－x)万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x)×5＝－5(x －30)2＋4950.当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值， 从而10年的总利润为39758＋4950(万元)．∵39758＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．。
2013届高考数学第一轮基础课后作业 导数的实际应用
2013届高考数学第一轮基础课后作业：导数的实际应用1.(文)(2010·某某省质检)函数f (x )＝x 3－ax 2＋x 在x ＝1处的切线与直线y ＝2x 平行，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ． 3 [答案] B[解析] 由条件知，f ′(1)＝3×12－2a ×1＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·某某市诊断)曲线y ＝2cos x 在x ＝π4处的切线方程是( ) A ．x －y －4＋π4＝0 B ．x ＋y ＋4－π4＝0C ．x ＋y －4＋π4＝0D ．x ＋y ＋4＋π4＝0[答案] C [解析]y ′|x ＝π4 ＝－2sin x |x ＝π4＝－2sin π4＝－1，∴切线方程为y －2cosπ4＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即x ＋y －1－π4＝0，故选C.2．(文)(2011·某某某某市质检)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值；④当x ＝7时，函数f (x )有极小值． 则其中正确的是( ) A ．②④B ．①④ C ．①③D ．②③ [答案] A[解析] 由图象可知函数f (x )在(－3,1)内单调递增，在(1,7)内单调递减，所以①是错误的；②是正确的；③是错误的；④是正确的．故选A.(理)(2010·某某某某市质检)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.3．(2010·某某文，8)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 [答案] C[解析]∵y ＝－13x 3＋81x －234，∴y ′＝－x 2＋81(x >0)．令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.[点评] 利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定．4．(文)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( )A.S3πB.3πSC.6πS6πD．3π·6πS[答案] C[解析]设圆柱底面半径为r，高为h，∴S＝2πr2＋2πrh∴h＝S－2πr2 2πr又V＝πr2h＝rS－2πr32，则V′＝S－6πr22，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝6πS 6π.(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为( ) A．R B．2RC.43R D.34R[答案]C[解析]设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2∴r2＝2Rh－h2∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3V′＝43πRh－πh2，令V′＝0得h＝43R.5．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )A.33cm B.1033cmC.1633cm D.2033cm[答案] D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为202－x2，其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0所以当x ＝2033时，V 取最大值．6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系是R ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000， x ＞400.则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 [答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x .所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x ＞400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400.令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大．‘7．(文)用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是________．[答案]3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <2)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1，∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3. (理)用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么容器的容积最大时，容器的高为________．[答案]1.2m[解析]设容器的短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为14.8－4x－4x＋0.54＝3.2－2x.由3.2－2x>0和x>0，得0<x<1.6，设容器的容积为y m3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0<x<1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－415(不合题意，舍去)，∴高＝3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8 答：高为1.2m时容积最大．8．(2011·模拟)若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值X围是________．[答案][－1，＋∞)[分析] 函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f′(x)<0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值X围．[解析]解法1：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f′(x)<0有实数解，∵x>0，∴ax2＋2x－1>0有实数解．当a≥0时，显然满足；当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，综上知a>－1.解法2：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意可知f′(x)<0在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax2－2x<0在(0，＋∞)内有实数解．即a>1x2－2x在(0，＋∞)内有实数解．∵x∈(0，＋∞)时，1x2－2x＝(1x－1)2－1≥－1，∴a>－1.1.(2010·某某质检)已知非零向量a ，b 满足：|a |＝2|b |，若函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·bx 在R 上有极值，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ的取值X 围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 [答案] D[解析]∵函数f (x )在R 上有极值，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两不等实根，∴Δ＝|a |2－4|a |·|b |cos θ＝4|b |2－8|b |2cos θ>0，∴cos θ<12，∴选D.[点评] 若f (x )为三次函数，f (x )在R 上有极值，则f ′(x )＝0应有二不等实根，当f (x )有两相等实根时，不能保证f (x )有极值，这一点要特别注意，如f (x )＝13x 3，f ′(x )＝x 2＝0有实根x ＝0，但f (x )在R 上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．2．(文)(2010·某某市检测)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a 、b ∈R)在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( )A.23B.32 C ．2 D ．3 [答案] C [解析]f ′(x )＝x2＋2ax －b ，在[－1,3]上有f ′(x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f－1≤0f 3≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥16a －b ≤－9，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝16a －b ＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，∴当直线a ＋b ＝z 经过点A (－1,3)时，z min ＝2.(理)(2010·某某一中)函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值X 围是( )A ．a >－316B ．－65<a <－316C ．a >－65D ．－65≤a ≤－316[答案] B[解析]f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f (x )的一个极大值点和一个极小值点，∵f (x )的图象经过4个象限，∴f (－2)·f (1)<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫16a 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫56a ＋1<0，∴－65<a <－316，故选B. 3．在内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )A.R 2和32RB.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对 [答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0＜x ＜R )，l ′＝2－4xR 2－x2，令l ′＝0，解得x ＝55R . 当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0. 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R ，455R . 4．(文)如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图象上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )[答案] A[解析]∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，易知其图象为A.(理)做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2a[答案] C[解析] 如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ，则y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R， ∴y ′＝4πaR －2bV R 2.令y ′＝0并将V ＝πR 2h 代入解得，2R h ＝b a.5．(2010·某某，14)将边长为1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是________．[答案]3233[解析] 设DE ＝x ， 则梯形的周长为：3－x ，梯形的面积为：12(x ＋1)·32(1－x )＝34(1－x 2)∴s ＝3－x 2341－x2＝433·x 2－6x ＋91－x2，x ∈(0,1)， 设h (x )＝x 2－6x ＋91－x 2，h ′(x )＝－6x 2＋20x －61－x22. 令h ′(x )＝0，得：x ＝13或x ＝3(舍)，∴h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8， ∴s 最小值＝433×8＝3233. 6．(文)(2010·某某某某市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a 台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．[解析] (1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台， 则y ＝a (1－x 2)[6000(1＋x )－4500]， 即y ＝1500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0<x <1)． (2)由(1)知y ′＝1500a (－12x 2－2x ＋4)， 令y ′＝0得，6x 2＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6000×32＝9000元．故笔记本电脑的销售价为每台9000元时，该公司的月利润最大．(理)(2010·某某模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是P ＝119200v 4－1160v 3＋15v ，(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值． [解析] (1)汽车从甲地到乙地需用400v 小时，故全程运输成本为Q ＝400Pv ＝v 348－5v22＋6000 (0<v ≤100)．(2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0得，v ＝80，∴当v ＝80千米/小时时，全程运输成本取得最小值，最小值为20003元．7．(2011·某某文，21)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值X 围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[解析]∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，即g (x )的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞)．因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点． 所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减 当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)综上知，当x∈(0,1)时，g(x)>g(1x )，当x＝1时，g(x)＝g(1 x )当x∈(1，＋∞)时，g(x)<g(1 x )(3)由(1)可知g(x)最小值为1，所以g(a)－g(x)<1a对任意x>0成立等价于g(a)－1<1a，即ln a<1，解得0<a<e.所以a的取值X围是(0，e)1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[答案] C[解析]设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．2．曲线y＝1x和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．[答案]3 4[解析]y ＝1x与y ＝x 2的交点P (1,1)，如右图易求得K AP ＝2，K BP ＝－1，因此可求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B (2,0)，故S △ABP ＝34. 3．某工厂要围建一个面积为128m 2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．[答案]16m8m[解析] 解：设场地宽为x m ，则长为128xm ，因此新墙总长度为y ＝2x ＋128x(x ＞0)，y ′＝2－128x 2，令y ′＝0，∵x >0，∴x ＝8.因为当0＜x ＜8时，y ′＜0；当x ＞8时，y ′＞0， 所以当x ＝8时，y 取最小值，此时宽为8m ，长为16m. 即当堆料场的长为16m ，宽为8m 时，可使砌墙所用材料最省．4.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m 2的正四棱锥形有盖容器(如下图)．设容器的高为h m ，盖子边长为a m.(1)求a 关于h 的函数解析式；(2)设容器的容积为V m 3，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值．(容器的厚度忽略不计)[解析] (1)如下图，作PO ⊥平面ABCD ，O 为垂足，作OE ⊥BC 于E ，连结PE ，则PE ⊥BC ，正四棱锥的全面积为2＝4×12×a ×h 2＋a22＋a 2.所以a ＝11＋h2(h >0)．(2)V ＝13a 2h ＝13·h 1＋h 2(h >0)，V ′＝13·1＋h2－h 2h1＋h22＝1－h 231＋h22.所以当0<h <1时，V ′>0.所以V (h )在(0,1]上为增函数． 当h >1时，V ′<0，所以V (h )在[1，＋∞)上为减函数． 故h ＝1为函数V (h )的唯一极大值点也是最大值点， ∴V max ＝16.答：当高h ＝1m 时，容积取最大值16m 3.5.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析] 依题意，有xy ＋12x ·x2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0<x <42)， 于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2×2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2x ＋16x ，l ′＝32＋2－16x 2， 令l ′＝0，即32＋2－16x 2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)，当0<x <8－42时，l ′<0；当8－42<x <42时，l ′>0；所以当x ＝8－42时，l 取得最小值，此时，x ＝8－42≈2.343m，y ≈2.828m. 即当x 约为2.343m ，y 约为2.828m 时，用料最省．6．已知某厂生产x 件产品的成本为c ＝25000＋200x ＋140x 2(元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ [解析] (1)设平均成本为y 元，则y ＝25000＋200x ＋140x 2x＝25000x＋200＋x40(x >0)，y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫25000x ＋200＋x 40′＝－25000x 2＋140.令y ′＝0，得x 1＝1000，x 2＝－1000(舍去)． 当在x ＝1000附近左侧时，y ′<0； 在x ＝1000附近右侧时，y ′>0； 故当x ＝1000时，y 取得极小值．由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品．(2)利润函数为L ＝500x －(25000＋200x ＋x 240)＝300x －25000－x 240. ∴L ′＝300－x20.令L ′＝0，得x ＝6000，当x 在6000附近左侧时，L ′>0；当x 在6000附近右侧时，L ′<0，故当x ＝6000时，L 取得极大值．由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6000件产品．7.如图所示，有一块半椭圆形钢板，长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形面积为S.(1)求面积S关于自变量x的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值．[解析] (1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O－xy(如图)，则点C的横坐标为x、纵坐标y满足方程x2r2＋y24r2＝1(y≥0)，解得y＝2r2－x2(0<x<r)，S＝12(2x＋2r)×2r2－x2＝2(x＋r)·r2－x2，其定义域为{x|0<x<r}．(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0<x<r，则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．令f ′(x )＝0，得x ＝12r .因为当0<x <r2时，f ′(x )>0，当r2<x <r 时，f ′(x )<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 是f (x )的最大值． 因此，当x ＝12r 时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ＝332r 2，即梯形面积S 的最大值为332r 2.。