河南高考数学文科试题版
2021河南高考数学试卷文科
2021年河南省高考数学联考试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合P＝{﹣2，﹣1，2}，Q＝{0，1，2}，则P∩（∁U Q）＝（）A．{﹣2}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，2}D．{﹣1，2}2．已知复数＝4﹣bi，a，b∈R，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．63．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（）A．B．C．D．4．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c，sin2A+sin2C﹣sin A sin C ﹣sin2B＝0，则C＝（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，对于函数g（x），下列说法不正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）在区间[，]上单调递增D．g（x）的图象关于点（，0）对称8．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为（）A．B．C．D．9．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）A．B．C．D．10．设抛物线C：y＝x2，点P为抛物线C上一动点，A（0，2），B（4，5），O为坐标原点，当|PA|+|PB|取得最小值时，四边形OABP的面积为（）A．18B．14C．10D．611．已知函数f（x+1）是定义在R上的偶函数，且当x≥1时，f（x）＝e x+cos x，若a＝f（（）﹣0.5），b＝f（log3），c＝f（e ln2），则A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 12．已知双曲线D：x2﹣y2＝1，点M在双曲线D上，点N在直线l：y＝kx上，l的倾斜角θ∈（，），且|ON|2＝，双曲线D在点M处的切线与l平行，则△OMN 的面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知平面向量＝（3，4），＝（﹣2λ，5），（2﹣）⊥，则λ＝．14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝﹣+e﹣2x﹣1，则不等式f （2x2﹣10x）+f（x2﹣6x﹣12）＜0的解集为．16．在正四棱锥P﹣ABCD中，＝，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为4，其前n项和为S n，且2a2为S2，S3的等比中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．某工厂在疫情形势好转的情况下，复工后的前5个月的利润情况如表所示：第1个月第2个月第3个月第4个月第5个月利润（单位：万元）111275180设第i 个月的利润为y 万元．（1）根据表中数据，求y 关于i 的回归方程＝（i ﹣1）2+（，的值要求保留小数点后四位有效数字）；（2）根据已知数据求得回归方程后，为了验证该方程的可靠性，可用一个新数据加以验证，方法如下：先计算新数据（x 0，y 0）对应的残差ɛ0（ɛ0＝y 0﹣），再计算||，若||＜0.05，则说明该方程是可靠的，否则说明不可靠．现已知该工厂第6个月的利润为120万元，试判断（1）中求得的回归方程是否可靠，说明你的理由．参考数据：14+24+34+44＝354，取＝4.8161．附：回归直线＝x +的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点．（1）证明：AB 1∥平面BC 1D ．（2）若AA 1＝2AB ＝4，求点B 1到平面BC 1D 的距离．20．已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，且点（）在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|•|BF1|＝，求|AB|．21．已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数．（1）设φ（x）＝（1﹣x）2f′（x），若函数φ（x）在区间（3m﹣1，2m﹣）上单调递增，求m的取值范围；（2）若对任意的x∈（0，1），恒有（x+1）f（x）+2﹣2a＞0（a＞1），求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l1的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若直线l1与C交于A，B两点（A点的横坐标小于B点的横坐标），直线l2：θ＝（ρ∈R）与直线l1交于点P，求．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣1≤x≤2}，求a的值；（2）若关于x的不等式f（﹣1）﹣f（+1）＜m有解，求m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合P＝{﹣2，﹣1，2}，Q＝{0，1，2}，则P∩（∁U Q）＝（）A．{﹣2}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，2}D．{﹣1，2}解：∵U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，P＝{﹣2，﹣1，2}，Q＝{0，1，2}，∴∁U Q＝{﹣2，﹣1，3}，P∩（∁U Q）＝{﹣2，﹣1}．故选：B．2．已知复数＝4﹣bi，a，b∈R，则a+b＝（）A．2B．﹣2C．4D．6解：∵＝4﹣bi，∴2+ai＝i（4﹣bi）＝b+4i，则a＝4，b＝2，故a+b＝6．故选：D．3．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（）A．B．C．D．解：已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），整理得2sinα＝3cosα，所以，故sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝＝﹣＝；故选：D．4．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．解：由cos x≠1得x≠2kπ，k∈Z，则x≠0排除C，f（﹣x）＝＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当0＜x＜时，cos x﹣1＜0，则f（x）＜0，排除A，故选：D．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大解：A：高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.5﹣8.5＝1，所以A错误；B：因为两班的德育分相等，所以除体育外，高三（1）班的各项评价得分不都高于高三（2）班对应的得分（德育分相等），所以B错误；C：（2）班平均分为（9.5+9+9.5+9+8.5）÷5＝9.1；（1）班平均分为（9.5+9.5+9+9.5+a）÷5＝7.5+，故C正确；D：两班的德育分相等，智育分相差9.5﹣9＝0.5，体育分相差9.5﹣9＝0.5，美育分相差9.5一9＝0.5，劳育得分相差9.3﹣8.5＝0.8，劳育得分相差最大，所以D错误．故选：C．6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c，sin2A+sin2C﹣sin A sin C ﹣sin2B＝0，则C＝（）A．B．C．D．解：因为sin2A+sin2C﹣sin A sin C﹣sin2B＝0，所以由正弦定理可得a2+c2﹣b2＝ac，又a＝2c，所以b2＝4c2+c2﹣2c2＝3c2，可得cos C＝＝＝，因为C∈（0，π），所以C＝．故选：A．7．函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，对于函数g（x），下列说法不正确的是（）A．g（x）的最小正周期为πB．g（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）在区间[，]上单调递增D．g（x）的图象关于点（，0）对称解：函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣+）＝2sin（2x+）的图象，对于函数g（x），它的最小正周期为＝π，故A正确；当x＝，求得g（x）＝2，为最大值，故它的图象关于直线x＝对称，故B正确；当x∈[，]，2x+∈[﹣，+]，g（x）没有单调性，故C错误；当x＝﹣，求得g（x）＝0，故它的图象关于点（，0）对称，故D正确，故选：C．8．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼•春官•大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为（）A．B．C．D．解：从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”，基本事件总数n＝＝10，其中“两音”中含“丝”包含的基本事件个数m＝＝4，∴“两音”中含“丝”的概率为P＝＝＝．故选：A．9．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）A．B．C．D．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为2l，＝×2πr×2l＝2πrl，则该圆锥的侧面积为S侧截得的小圆锥的底面半径为r，母线长为l，其侧面积为S ′侧＝×πr ×l ＝πrl ，从而圆台的侧面积为S 圆台侧＝S 侧﹣S ′侧＝2πrl ﹣πrl ＝πrl ，所以两者的面积之比为＝＝．故选：B ．10．设抛物线C ：y ＝x 2，点P 为抛物线C 上一动点，A （0，2），B （4，5），O 为坐标原点，当|PA |+|PB |取得最小值时，四边形OABP 的面积为（）A ．18B ．14C ．10D ．6解：抛物线C ：y ＝x 2，A （0，2）是抛物线的焦点坐标，准线方程为y ＝﹣2，设点P 到准线的距离为d ，BM 垂直于准线，垂足为M ，则|PA |+|PB |＝|PB |+d ≥|BM |＝7，将x ＝4代入y ＝x 2，可得y P ＝2，此时P （4，2），OA ∥BP ，所以四边形的面积为：＝10．故选：C ．11．已知函数f （x +1）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥1时，f （x ）＝e x +cos x ，若a ＝f （（）﹣0.5），b ＝f （log 3），c ＝f （e ln 2），则A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：根据题意，函数f （x +1）是定义在R 上的偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f （x ）＝e x +cos x ，其导数为f ′（x ）＝e x ﹣sin x ≥0，则f （x ）在[1，+∞）上为增函数，则c＝f（e ln2）＝f（2），a＝f（（）﹣0.5）＝f（），b＝f（log3）＝f（﹣log23）＝f（2+log23），又由＜2＜2+log23，则b＞c＞a，故选：D．12．已知双曲线D：x2﹣y2＝1，点M在双曲线D上，点N在直线l：y＝kx上，l的倾斜角θ∈（，），且|ON|2＝，双曲线D在点M处的切线与l平行，则△OMN 的面积的最大值为（）A．B．C．D．解：设M（x0，y0），又因为在第一象限，则双曲线D在M处的切线方程为：x0x﹣y0y ＝1，所以k＝，又因为x02﹣y02＝1，联立，解得，点M到直线l的距离d＝＝＝，因为|ON|2＝，所以|ON|＝＝＝，＝|ON|•d＝••＝，所以S△OMN令t＝k2﹣1，则k2＝t+1，因为θ∈（，），所以k＞1，所以t＞0，S△OMN＝•＝•≤＝＝，当且仅当t＝，即t＝时，面积取到最大值．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知平面向量＝（3，4），＝（﹣2λ，5），（2﹣）⊥，则λ＝﹣5．解：根据题意，向量＝（3，4），＝（﹣2λ，5），则（2﹣）＝（6+2λ，3），若（2﹣）⊥，则（2﹣）•＝30+6λ＝0，解可得λ＝﹣5，故答案为：﹣5．14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值是7．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，3），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．故答案为：7．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝﹣+e﹣2x﹣1，则不等式f （2x2﹣10x）+f（x2﹣6x﹣12）＜0的解集为（﹣∞，﹣）∪（6，+∞）．解：函数f（x）＝﹣+e﹣2x﹣1在[0，+∞）上为减函数，因为函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）在R上为减函数，不等式f（2x2﹣10x）+f（x2﹣6x﹣12）＜0可化为f（2x2﹣10x）＜f（﹣x2+6x+12），所以2x2﹣10x＞﹣x2+6x+12，即3x2﹣16x﹣12＞0，解得x＜﹣或x＞6，即不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（6，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（6，+∞）．16．在正四棱锥P﹣ABCD中，＝，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则该四棱锥外接球的体积为π．解：设AC，BD的交点为E，球心为O，设AB＝a，∵＝，则AE＝a，PA＝a，∴PE＝＝a，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴•a2•PE＝⇒a＝4，在RT△OBE中，OB2＝OE2+EB2⇒R2＝（8﹣R）2+16⇒R＝5，∴该四棱锥外接球的体积为：＝π．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为4，其前n项和为S n，且2a2为S2，S3的等比中项．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）因为数列{a n}是公差为4的等差数列，所以．又，所以，即（a1+4）（a1﹣2）＝0，解得a1＝2或a1＝﹣4（舍去），所以a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）因为，所以T n＝b1+b2+…+b n﹣1+b n＝＝＝．18．某工厂在疫情形势好转的情况下，复工后的前5个月的利润情况如表所示：第1个月第2个月第3个月第4个月第5个月111275180利润（单位：万元）设第i个月的利润为y万元．（1）根据表中数据，求y关于i的回归方程＝（i﹣1）2+（，的值要求保留小数点后四位有效数字）；（2）根据已知数据求得回归方程后，为了验证该方程的可靠性，可用一个新数据加以验证，方法如下：先计算新数据（x0，y0）对应的残差ɛ0（ɛ0＝y0﹣），再计算||，若||＜0.05，则说明该方程是可靠的，否则说明不可靠．现已知该工厂第6个月的利润为120万元，试判断（1）中求得的回归方程是否可靠，说明你的理由．参考数据：14+24+34+44＝354，取＝4.8161．附：回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．解：（1）设t＝（i﹣1）2，则＝6，＝34，则b＝＝，所以＝5.1034，所以y关于i的回归方程为；（2）由（1）知，当i＝6时，，因为，所以（1）中求得的回归方程可靠．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点．（1）证明：AB1∥平面BC1D．（2）若AA1＝2AB＝4，求点B1到平面BC1D的距离．【解答】（1）证明：连结B1C，设B1C∩BC1＝E，连结DE，由直棱柱的性质可知，四边形BCC1B1是矩形，则E为B1C的中点，因为D是AC的中点，所以DE∥AB1，因为AB1⊄平面BC1D，DE⊂平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D；（2）解：连结AC1，由（1）可知，AB1∥平面BC1D，所以点B1到平面BC1D的距离等于点A到平面BC1D的距离，因为底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，所以BD⊥AC，因为AB＝2，所以AD＝1，则BD＝，从而△ABD的面积为，故三棱锥C1﹣ABD的体积为，由直棱柱的性质可知，平面ABC⊥平面ACC1A1，则BD⊥平面ACC1A1，因为C1D⊂平面ACC1A1，所以BD⊥C1D，又C1D＝，所以△BC1D的面积为，设点A到平面BC1D的距离为h，则，解得h＝，故点B1到平面BC1D的距离为．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且点（）在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|•|BF1|＝，求|AB|．解：（1）由题意可知：，解得：，∴椭圆C的标准方程为：．（2）易知F2（1，0），①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，，∴|AF1|＝＝＝，∴|BF1|＝＝＝，∵|AF1|•|BF1|＝，∴•＝，∴，整理得：，把x1+x2＝，x1•x2＝代入上式得：++2＝，整理得：k2＝1，∴，x1•x2＝0，∴|AB|＝＝，②当直线l的斜率不存在时，点A（1，），B（1，﹣），∴|AF1|＝|BF1|＝＝＝，∴|AF1|•|BF1|，不符合题意，舍去，综上所述，|AB|＝．21．已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数．（1）设φ（x）＝（1﹣x）2f′（x），若函数φ（x）在区间（3m﹣1，2m﹣）上单调递增，求m的取值范围；（2）若对任意的x∈（0，1），恒有（x+1）f（x）+2﹣2a＞0（a＞1），求a的取值范围．解：（1）f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠1}，f′（x）＝，则φ（x）＝1﹣﹣lnx（x＞0且x≠1），又因为φ′（x）＝，当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，所以φ（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，所以（3m﹣1，2m﹣）⊆（0，1），从而，解得≤m＜，即m的取值范围是[，）．（2）对任意的x∈（0，1），恒有（x+1）f（x）+2﹣2a＞0（a＞1），即lnx+＜0恒成立，令g（x）＝lnx+（0＜x＜1），则g′（x）＝，令h（x）＝x2+（6﹣4a）x+1，△＝（6﹣4a）2﹣4＝16（a﹣1）（a﹣2），当1＜a≤2时，△≤0，h（x）≥0，从而g′（x）≥0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，所以g（x）＜g（1）＝0，所以1＜a≤2符合条件；当a＞2时，△＞0，且h（0）＝1＞0，h（1）＝4（2﹣a）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，当x∈（x0，1）时，h（x）＜0，从而g′（x）＜0，g（x）在区间（x0，1）上单调递减，所以g（x）＞g（1）＝0，这与lnx+＜0恒成立矛盾，所以a＞2不符合条件．综上可知1＜a≤2，即a的取值范围是（1，2]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l1的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若直线l1与C交于A，B两点（A点的横坐标小于B点的横坐标），直线l2：θ＝（ρ∈R）与直线l1交于点P，求．解：（1）直线l1的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为；曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0．（2）把直线l1的参数方程为（t为参数），代入x2+y2﹣2x＝0，得到，所以|AB|＝，由于直线l2：θ＝（ρ∈R）转换为直角坐标方程为y＝与直线l1交于点P，故，解得，所以|PB|＝|t|＝2，故，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣1≤x≤2}，求a的值；（2）若关于x的不等式f（﹣1）﹣f（+1）＜m有解，求m的取值范围．解：（1）不等式f（x）≤a，即|2x﹣1|≤a，故﹣a≤2x﹣1≤a，解得：≤x≤，而不等式f（x）≤a的解集是{x|﹣1≤x≤2}，故，解得：a＝3；（2）∵f（﹣1）﹣f（+1）＝|x﹣3|﹣|x+1|，故f（﹣1）﹣f（+1）＜m有解等价于|x﹣3|﹣|x+1|＜m有解，令g（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|，则m＞g（x）min，∵g（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|＝，故g（x）的最小值是﹣4，故m的取值范围是（﹣4，+∞）．。
2017年河南省全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．A∪B=R2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．C．D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3 8．（5分）函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+211．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．12．（5分）设A，B是椭圆C：+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，]∪[9，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．（0，]∪[4，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年河南高考文科数学真题及答案
2019年河南高考文科数学真题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[-π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．-2-3B ．-2+3C ．2-3D ．2+38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考河南文科数学试卷
高考河南文科数学试卷A卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题有4个选项，其中有一个正确答案。
）1.若实数a的平方根是正数，则a的取值范围是A.(0,+∞)B.（-∞,+∞）C.[-1,1]D.(-1,+∞)2.不等式x^2-4x-21<0的解集是A.(-3,7)B.[3,7)C.[3,7]D.(3,7)3.二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)的图象是一个抛物线，则a的符号与下列哪个关系正确定义A.抛物线开口朝上B.抛物线开口朝下C.抛物线与x轴相交D.抛物线在一侧4.x^2+px-12的判别式不小于0，则A.p>=-4B.p<=-4C.p>=4D.p<=45.若根号 a +1=3，则 a=（）。
A.4B.8C.3D.96.已知 2x-y=2 ，求 ax+by=7 的几个解中， a:b=（）。
A.1:2B.2:-1C.1:-2D.-1:27.若x,y均为整数且x^2+y^2=2，则 xy=（）A.2B.-2C.1D.-18.函数 y=ax^2+bx+c恒大于0，解得a=3,b=-6,则c=（）。
A.-3B.3C.-4D.49.若函数f(x)=x^2+bx+c恒大于0，解得b=6，则c=（）。
A.9B.18C.21D.3610.记函数y=ax^2+bx+c的最小值为m，则a>0时，m=（）。
A.-b/(4a)B.b/(4a)C.c-b^2/(4a)D.c+b^2/(4a)B卷二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分）11.数列1，5，9，13，……的第n项为12.若a+b=3 ，则(a^2+b^2)的最小值为13.若x^2-4x+2=0的两根为α,β,则（α/β+β/α）=14.已知点M（2,3），则过点M的平行于x轴的直线方程为15.设函数y=ax^2+bx+c的图象和x轴相交于两点A（1,0）和B （3,0），则a的值为C卷三、简答题（本题共4小题，每小题12分，共48分）16.求函数y=x^2-x的最小值。
河南高考数学(文科)模拟考试卷附带答案
河南高考数学(文科)模拟考试卷附带答案一、选择题（共12小题，每小题5分）1．设集合{}2{326},log 2A x m x m B x x =-<<+=<，若A B A =，则实数m 的取值范围是（）A ．∅B ．[3,1]--C ．(1,3)-D ．[1,3]- 2．下列各命题中正确命题的序号是（）①“若a ，b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是“a b +不是偶数，则a ，b 都不是奇数”； ②命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；③“函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<” A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．②④3．在ABC △中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若,36C c π==．且该三角形有两解，则a 的值可以为（）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()(4)f x f x =-，当20x -≤<时1()f x x=，则1672f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（）A ．2-B ．2C ．27 D ．27- 5．已知实数a ，b ，c 满足13220ab +⨯-=，且()22log 2()ac x x x R =+-+∈，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>6．如图所示，ABC △的面积为2，其中2,60,AB ABC AD ∠=︒=为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的值为（）A ．23-B ．12C ．23D ．537．若直线4y x m =+是曲线313y x nx =-+与曲线22ln y x x =+的公切线，则n m -=（）A ．11B ．12C ．8-D ．7-8．在ABC △中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6,3c a b C π=-+=，则ABC △的面积是（）A ．3B ．2 C ．2D ．9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A ．函数()f x 的周期为4πB ．对任意的x R ∈，都有2()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间[0,5]π上恰好有三个零点D ．函数4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 10．已知函数321,0()23,0x e x f x x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，对于实数a ，使()23(2)(0)f a f a f -->成立的一个必要不充分条件是（）A ．31a -<<B ．10a -<<C ．31a -≤≤D ．1a <-或3a > 11．若1sin 2,,tan tan 2k k k Z πααβπαβπαβ⎛⎫=≠+≠±∈⎪-⎝⎭且，则cos(2)αβ-=（） A ．12-B ．0C ．12D ．1 12．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点；③()f x 在0,10π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 其中所有正确结论的编号是（）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题（共4小题，每小题5分）13．已知点(2,)P y -是角θ终边上一点，且sin θ=y =___________． 14．非零向量,a b 满足||2||a b =，且()(3)a b a b +⊥-，则向量,a b 夹角的余弦值为_________． 15．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么min t 后物体的温度θ（单位：℃）可由公式()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有63℃的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39℃．要使物体的温度变为21℃，还要经过__________分钟．16．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2x f x a ex =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是_____________．三、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题12分）17．已知集合51,{2137},{}7A x B x x C x x a x ⎧⎫=≥=-<=<⎨⎬-⎩⎭．（1）求(),R A B A B ；（2）若AC ≠∅，求a 的取值范围．18．已知p ：对任意x R ∈，都有212(1)02x a x --+>；q ：存在x R ∈，使得4210x x a -⋅+=． （1）若“p 且q ”为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．19．在ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2a C C b c +=+． （1）求角A ；（2）D 为BC 边上一点DA BA ⊥，且4BD DC =，求cos C ． 20．已知2sin,2cos,3cos ,cos (0)2222xx x x a b ωωωωω⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎭，函数()f x a b =⋅的周期为π，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时函数()()g x f x m =-有两个不同的零点12,x x ．（1）求函数()f x 的对称中心的坐标；（2）（ⅰ）实数m 的取值范围；（ⅱ）求()12f x x +的值． 21．已知函数()()1,xf x x e m m R =--∈．（Ⅰ）若1m =-，求曲线()y f x =在点()()1,1f 切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式()2ln f x x +≥在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围． 22．已知函数()xf x e ax =-和()lng x ax x =-有相同的最小值． （1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．参考答案一、选择题（共12小题）1．解：∵集合{}2{326},log 2{04}A x m x m B x x x x =-<<+=<=<<∵AB A =，可得B A ⊆ ∴30264326m m m m -≤⎧⎪+≥⎨⎪-<+⎩，可得13m -≤≤，故选：D ． 2．解：对于①：“若a ，b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是“a b +不是偶数，则a ，b 不都是奇数”；故①错误．对于②：命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,1,3x R x x ∀∈+；故②正确． 对于③：“函数22()cos sin cos2f x ax ax ax =-=的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件，故③正确．对于④：“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<且a 和b 不共线”，故④错误．故选：C ．3．解：因为三角形有两解，,36C c π==，所以由正弦定理得，sin ,sin3,366a C c a a a a π<<<<<<由选项知4a =符合条件，故选：B ．4．解：因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()(4)f x f x =-，所以()()(4)f x f x f x -=-=-- 所以()(4),(4)()f x f x f x f x =-++=-，所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为8 所以167771180(2)222222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+===--=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B ． 5．解：∵13220ab +⨯-= ∴32220ab⨯-⨯= ∴22ab<，即a b <；又∵2217224x x x ⎛⎫-+=-+⎪⎝⎭ ∴．()22log 20a c x x -=-+>，故a c >，故b a c >>，故选：B ．6．解：1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠==△，所以3BC =，因为AD 为BC 边上的高 所以1sin 13BD AB ABC BC =∠==，因为M 为AD 的中点，所以11()22AM AD AB BD ==+=111111()232336AB BC AB AC AB AB AC ⎛⎫⎡⎤+=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为AM AB AC λμ=+，所以13λ=，16μ=所以223λμ+=．故选：C ．7．解：由22ln y x x =+，得22y x x '=+，由224x x+=，解得1(0)x x =>，则直线4y x m =+与曲线22ln y x x =+相切于点(1,4)m + ∴412ln11m +=+=，得3m =-．∴直线43y x =-是曲线313y x nx =-+的切线由313y x nx =-+，得23y x n '=-，设切点为()3,13t t nt -+，则234t n -=，且31343t nt t -+=-，联立可得32124816640n n n ++-=，即2(8)(10)1080n n ⎡⎤-++=⎣⎦，得8n =．∴8(3)11n m -=--=．故选：A ．8．解：因为若22()6,3c a b C π=-+=，所以22226c a b ab =+-+，所以22226ab a b c =+-+所以22cos63ab ab π=+ ∴6ab =，所以ABC △的面积1sin 323S ab π===．故选：C ．9．解：根据图象对称性可知3|0|2a b π-=- ∴33||0222T a b ππ-=-== ∴3T π= ∴2233πωπ==又(0)2sin 1f ϕ== ∴1sin 2ϕ=，且(0,1)为上升点 ∴2,6k k Z πϕπ=+∈ ∴2()2sin 2,36f x x k k Z ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，2()2sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对A ，函数()f x 的周期3T π= ∴A 错误：对B ∵242sin 2396f πππ⎛⎫⎛⎫=+≠⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ∴B 错误； 对C ，令()0f x =，得2,36x k k Z ππ+=∈ ∴3,42x k k Z ππ=-+∈，又[0,5]x π∈∴51117,,444x πππ= ∴()f x 在区间[0,5]π上恰好有三个零点 ∴C 正确；对D ∵222sin 2sin 43463f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数 ∴D 错误．故选：C ． 10．解：当0x <时32()23f x x x =-，则()6(1)0,()f x x x f x =->'是增函数，当0x ≥时()1,()xf x e f x =-是增函数，又(0)0f = ∴函数3223,0()1,0x x x x f x e x ⎧-<=⎨-≥⎩在R 上是增函数∵()23(2)(0)f a f a f -->∴()23(2)f af a ->，则232aa ->，即2230a a +-<，解得31a -<< ∴使()23(2)(0)f a f a f -->成立的一个必要不充分条件是31a -≤≤，故选：C ．11．解：由于1sin 2tan tan ααβ=-，由于,2k παβπ≠+，且,k k Z αβπ≠±∈，整理得1tan tan sin 2αβα-= 故2sin 12sin 1cos2sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2cos αααβααααααβ---===，整理得：cos2cos sin2sin 0αβαβ+= 故cos(2)cos2cos sin2sin 0αβαβαβ-=+=．故选：B ． 12．解：依题意作出()sin 5f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象如图，其中2m n π≤<，显然①正确，②错误；当[0,2]x π∈时,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭∵()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点 ∴5,265πππωπ+< ∴1229510ω≤<，故④正确 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是香正确，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时(2),5510x ππωπω+⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<∵1229510ω≤<，故③正确．故选：D ． 二、填空题（共4小题）13．解：因为点(2,)P y -是角θ终边上一点，且sin 04θ==<解得4y =-．故答案为：4-．14．解：根据题意，设向量,a b 夹角为θ，||b t =则||2a t =，若()(3)a b a b +⊥-，则2222()(3)234cos 0a b a b a a b b t t θ+⋅-=-⋅-=-=，变形可得：1cos 4θ=；故答案为：14． 15．解：∵现有63℃的物体，放在15℃的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是39℃ ∴6015(6315)39k e -+-=，即6012k e -=①，要使物体的温度变为21℃，则154821kt e -+=，即18kt e -=②，联立①②，解得180t =，故还要经过18060120-=分钟．故答案为：120． 16．解：对原函数求导()()2ln xf x a a ex '=-，分析可知：()f x '在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得2()2(ln )2x f x a a e ='-'，当1a >时易知()f x ''在R 上单调递增，此时若存在0x ，使得()00f x ''=则()f x '在()0,x -∞单调递减，()0,x +∞单调递增，此时若函数()f x 在1x x =和2x x =，分别取极小值点和极大值点应满足12x x >，不满足题意；当01a <<时易知()f x ''在R 上单调递减，此时若存在0x ．使得()00f x ''=，则()f x '在()0,x -∞单调递增，()0,x +∞单调递减，且02log (ln )aex a =，此时若函数()f x 在1x x =和2x x =分别取极小值点和极大值点，且12x x <，故仅需满足()00f x '>，即：11ln ln 222log ln ln ln (ln )(ln )(ln )a ae e e e e a a a a a a a >⇒<⇒<⇒21ln 1ln(ln )ln a a a <-，解得：1a e e<<，又因为01a <<，故11a e <<综上所述：a 的取值范围是1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 三、解答题（共6小题）解：（1）51{27},{2137}{310},{}7A x x x B x x x x C x x a x ⎧⎫=≤=≥<=-<=<<=<⎨⎬-⎩⎭．所以(){2,10},{710}R AB x x A B x x =<=≥<； （2）若AC ≠∅，则2a >，故a 的取值范围为{2}a a >．18．解：（1）因为“p 且q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题．若p 为真命题，则2(1)4(1)(3)0a a a =--=+-<△解得13a -<<，若q 为真命题，则1222xx a =+≤=，当且仅当122x x=，即0x =时等号成，此时2a ≤．故实数a 的取值范围是[2,3)．（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 一真一假．若p 真q 假，则132a a -<<⎧⎨<⎩，得12a -<<若p 假q 真，则,132a a a -≤⎧⎨≤⎩或，得3a ≤，综上实数a的取值范围为(1,2)[3,)-+∞．19．解：（1）∵cos sin 2a C C b c +=+ ∴由正弦定理可得，sin cos sin sin 2sin A C A C BC +=+∵A B C π++= ∴sin cos sin sin()2sin sin cos cos sin 2sin A C A C A CC A C A C C +=++=++sin cossin 2sin A C A C C =+∵sin 0C ≠ cos 2A A -=，即2sin 26A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又∵0A π<< ∴23A π=． （2）由（1）可知，23A π= ∴2326CAD πππ∠=-=，在CAD △中sin sin 6CD b ADC π=∠，在BAD △中sin sin 2BD cADB π=∠，又∵sin sin ,4ADBADC BD CD ∠=∠= ∴2c b = ∴由余弦定理可得，a== ∴a == ∴222cos 27a bc C ab +-==．20．（1）由题意2()cos2cos cos 12sin 12226xxxf x x x x ωωωπωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的周期为π，所以2ω=．所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由26x k ππ+=，得212k x ππ=-，所以()f x 的对称中心为,1()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭． （2）由()0g x =，得2sin 216x m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，作出函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，如图所示．（ⅰ）由图可知112m ≥-<，所以m 的取值范围为[2,3)； （ⅱ）由图可知123x x π+=，所以()122sin 21236f x x ππ⎛⎫+=⨯++= ⎪⎝⎭． 21．解：（Ⅰ）当1m =-时()()11xf x x e =-+，则(1),()(1)1xf e f x x e ==+-' ∴(1)21f e =-' ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为(21)(1)y e e x -=--，即(21)10e x y e ---+=． （Ⅱ）由题意得，()1ln 2xm x e x ≥--+．令()()1ln 2(0)xF x x e x x =--+>，则1()(1)x F x x e x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'．令1()(0)xh x e x x =->，易得()h x 为单调递增函数，且10,(1)02h h ⎛⎫<> ⎪⎝⎭ ∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即001xe x =∴00ln x x =-，当()00,x x ∈时()0,()0h x F x ''<<，当()0,x x ∈+∞时()0,()0h x F x ''>>，则()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增 ∴()()00min?00000000()1ln 2ln 2123x x F x F x x e x x e x x x x ==--+=--+=-++=∴m 的取值范围为(,3]-∞．22．解：（1）()f x 定义域为R ∵()x f x e ax =- ∴()xf x e a =-'，若0a ≥，则()0,()f x f x >'无最小值故0a >，当()0f x '=时ln x a =，当()0g x '=时1x a=，当ln x a <时()0f x '<，函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，当ln x a >时()0f x '>，函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，故min ()(ln )ln ,()f x f a a a a g x ==-的定义域为(0,)+∞，()ln g x ax x =-∴1()g x a x=-'，令g ()0g x '=，解得1x a =，当10x a <<时()0g x '<，函数()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1x a >时()0g x '>，函数()g x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，故min ()1ln g x a=+ ∵函数()xf x e ax =-和()lng x ax x =-有相同的最小值∴ln 1ln a a a a -=+∵0a > ∴ln 1ln a a a a -=+化为1ln 1a a a --=+，令1()ln ,01x h x x x x -=->+，则222211(1)121()(1)(1)(1)x x x h x x x x x x x +--+=-=-=++'+∵0x > ∴221()0(1)x h x x x +=>+'恒成立 ∴()h x 在(0,)+∞上单调递增 又∵(1)0h = ∴()(1)h a h =，仅有此一解 ∴1a =．（2）证明：由（1）知1a =，函数()xf x e x =-在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增 函数()lng x x x =-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，设()()()2ln (0)x u x f x g x e x x x =-=-+>则1()22xx u x e e x=-+>-'，当1x ≤时()20u x e ≤->'，所以函数()u x 在(1,)+∞上单调递增，因为(1)20u e =->所以当1x ≤时()(1)0u x u ≤>恒成立，即()()0f x g x ->在1x ≤时恒成立，所以1x ≤时()()f x g x > 因为(0)1f =，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，(1)1g =，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以函数()f x 与函数()g x 的图象在(0,1)上存在唯一交点，设该交点为(,())(01)m f m m <<，此时可作出函数()y f x =和()y g x =的大致图象，由图象知当直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点时直线y b =必经过点(,())M m f m ，即()b f m =因为()()f m g m =，所以ln me m m m -=-，即2ln 0me m m -+=令()()f x b f m ==得ln xme x e m m m -=-=-，解得x m =或ln x m =，由01m <<，得ln 0m m << 令()()g x bf m ==得ln ln mx x e m m m -=-=-，解得x m =或mx e =，由01m <<，得1mm e << 所以当直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点时从左到右的三个交点的横坐标依次为，ln ,,m m m e 因为2ln 0me m m -+=，所以ln 2me m m += 所以ln ,,m m m e 成等差数列．∴存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．。
2020年河南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)
2020年河南省高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A＝{x|x2−3x−4<0}，B＝{−4, 1, 3, 5}，则A∩B＝（）A.{−4, 1}B.{1, 5}C.{3, 5}D.{1, 3}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求解一元二次不等式得到集合A，再由交集运算得答案．【解答】集合A＝{x|x2−3x−4<0}＝(−1, 4)，B＝{−4, 1, 3, 5}，则A∩B＝{1, 3}，2. 若z＝1+2i+i3，则|z|＝（）A.0B.1C.√2D.2【答案】C【考点】复数的模【解析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．【解答】z＝1+2i+i3＝1+2i−i＝1+i，∴|z|=√12+12=√2．3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+12【答案】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论．【解答】设正四棱锥的高为ℎ，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为ℎ′，则依题意有：{ℎ2=12aℎℎ2=ℎ2−(a2)2，因此有ℎ′2−(a2)2=12aℎ′⇒4(ℎa)2−2(ℎa)−1＝0⇒ℎa=√5+14（负值舍去）；4. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A.1 5B.25C.12D.45【答案】A【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】根据古典概率公式即可求出．【解答】O，A，B，C，D中任取3点，共有C53=10种，其中共线为A，O，C和B，O，D两种，故取到的3点共线的概率为P=210=15，5. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：∘C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i, y i)(i＝1, 2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10∘C至40∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A.y＝a+bxB.y＝a+bx2C.y＝a+be xD.y＝a+b ln x【答案】求解线性回归方程【解析】直接由散点图结合给出的选项得答案．【解答】由散点图可知，在10∘C至40∘C之间，发芽率y和温度x所对应的点(x, y)在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a+b ln x可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．6. 已知圆x2+y2−6x＝0，过点(1, 2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】由相交弦长|AB|和圆的半径r及圆心C到过D(1, 2)的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值．【解答】由圆的方程可得圆心坐标C(3, 0)，半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D(1, 2)的直线与圆的相交弦长|AB|＝2√r2−d2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，所以最小的弦长|AB|＝2√32−(2√2)2=2，7. 设函数f(x)＝cos(ωx+π6)在[−π, π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为（）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【考点】三角函数的周期性【解析】由图象观察可得最小正周期小于13π9，大于10π9，排除A，D；再由f(−4π9)＝0，求得ω，对照选项B，C，代入计算，即可得到结论．【解答】由图象可得最小正周期小于π−(−4π9)=13π9，大于2×(π−4π9)=10π9，排除A，D；由图象可得f(−4π9)＝cos(−4π9ω+π6)＝0，即为−4π9ω+π6=kπ+π2，k∈Z，(∗)若选B，即有ω=2π7π6=127，由−4π9×127+π6=kπ+π2，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω=2π4π3=32，由−4π9×32+π6=kπ+π2，可得k＝−1，成立．8. 设a log34＝2，则4−a＝（）A.1 16B.19C.18D.16【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】因为a log34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9则4−a=14a =19，9. 执行如图的程序框图，则输出的n＝（）A.17B.19C.21D.23【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】n＝1，S＝0，第一次执行循环体后，S＝1，不满足退出循环的条件，n＝3；第二次执行循环体后，S＝4，不满足退出循环的条件，n＝5；第三次执行循环体后，S＝9，不满足退出循环的条件，n＝7；第四次执行循环体后，S＝16，不满足退出循环的条件，n＝9；第五次执行循环体后，S＝25，不满足退出循环的条件，n＝11；第六次执行循环体后，S＝36，不满足退出循环的条件，n＝13；第七次执行循环体后，S＝49，不满足退出循环的条件，n＝15；第八次执行循环体后，S＝64，不满足退出循环的条件，n＝17；第九次执行循环体后，S＝81，不满足退出循环的条件，n＝19；第十次执行循环体后，S＝100，不满足退出循环的条件，n＝21；第十一次执行循环体后，S＝121，满足退出循环的条件，故输出n值为21，10. 设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】根据等比数列的性质即可求出．【解答】{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，则a2+a3+a4＝q(a1+a2+a3)，即q＝2，∴a6+a7+a8＝q5(a1+a2+a3)＝25×1＝32，11. 设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（）A.7 2B.3C.52D.2【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．【解答】由题意可得a＝1，b=√3，c＝2，∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝2，∴|OP|=12|F1F2|，∴△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16，∵||PF1|−|PF2||＝2a＝2，∴|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|＝4，∴|PF1|⋅|PF2|＝6，∴△PF1F2的面积为S=12|PF1|⋅|PF2|＝3，12. 已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A【考点】球的表面积和体积【解析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积．【解答】由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则3 2AO1＝AB sin60∘，32AO1=√32AB，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2√3，外接球的半径为：R=√AO12+OO12=4，球O的表面积：4×π×42＝64π．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)
2020年河南省髙考数学试卷(文科)(新课标I )一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合Λ = {%∣X 2-3X -4<0}, B={-4, 1, 3, 5},则AC ∖B=() A.{-4, 1}B.{l, 5}C.{3, 5}D.{l, 3}【答案】D【考点】 交集及其运算 【解析】求解一元二次不等式得到集合4,再由交集运算得答案• 【解答】集⅛4={%∣%2-3X -4 <0} = (-l, 4), B={-4, 1,3,5}, 则AnB=(1, 3}, 2.若z=l +2i + iS 则IZl=()A.0B.lC.√2D.2【答案】C【考点】 复数的模 【解析】根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即町. 【解答】z=l + 2i + i 3= l + 2i - i = l + i, .∙. IZI =√12÷ I 2= ∖[2.3•埃及胡夫金字塔是占代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四 棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面枳，则其侧面三角形 底边上的高与底面正方形的边长的比值为()【答案】A. √5-lD.√5+lB •导C【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论.【解答】设正四棱锥的高为/1，底面边长为6侧面三角形底边上的高为∕Λ则依题意有：h2 = ^ah h2 = h2-φ2'因此有护-φ2 = lαΛ,=> 4（》2 _ 2（》一1 =O » =字（负值舍去）;4・设O为正方形ABCD的中心，在O, A9 B、C9 D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）【答案】A【考点】占典概型及其概率计算公式【解析】根据古典概率公式即可求出.【解答】O, A f B, C, D中任取3点，共有屈=10种, 其中共线为4，O, C和B, O, D两种，故取到的3点共线的概率为P =5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度％（单位：9）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（X it y i Xi = I t 220）得到下面的散点图：由此散点图，在10。
高考数学(文科)试题及答案
高考数学（文）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝Z ，集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，3}，则(∁U M )∩N ＝（A ）{－1} （B ）{3} （C ）{0，1} （D ）{－1，3} 2．下列命题中的假命题是（A ）∀x ＞0且x ≠1，都有x ＋1x＞2（B ）∀a ∈R ，直线ax ＋y －a ＝0恒过定点（1，0）（C ）∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)x m 2－4m ＋3是幂函数 （D ）∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数3．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝（A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－104．函数y ＝12－x＋lg x 的定义域是（A ）（0，2] （B ）（0，2） （C ）（1，2） （D ）[1，2）5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1。
则函数y ＝f (x )－log 2x 的零点的个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）127．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (0)＝（A ）－12（B ）－1 （C ）－32（D ）－ 38．设O 为△ABC 所在平面内一点．若实数x 、y 、z 满足x →OA ＋y →OB ＋z →OC ＝0（x 2＋y 2＋z 2≠0），则“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若(Ax 1＋By 1＋C )( Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l （A ）与直线P 1P 2不相交 （B ）与线段P 2P 1的延长线相交 （C ）与线段P 1P 2的延长线相交 （D ）与线段P 1P 2相交10．已知圆M ：x 2＋y 2－8x －6y ＝0，过圆M 内定点P （1，2）作两条相互垂直的弦AC 和BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为（A ）2015 （B ）16 6 （C ）515 （D ）40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 11．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i （i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的坐标为 ． 12．设F 1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的两焦点，点P 在双曲线上．若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于 ．13．已知某程序框图如图所示，若分别输入的x 的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y 的值分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝ ．14．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1、s 2、s 3，则它们的大小关系为 ．（用“＞”连接）15．若不等式x 2－kx ＋k －1＞0对x ∈（1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 16．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为 ．17．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )，这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c －a ）是（b －c ）和（b －a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，求△ABC 的面积． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点．已知PD ＝2，CD ＝4，AD ＝3．（Ⅰ）若∠ADE ＝π6，求证：CE ⊥平面PDE ；（Ⅱ）当点A 到平面PDE 的距离为2217时，求三棱锥A -PDE的侧面积． 20．（本小题满分13分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中未知量n ，x ，y ，z 的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率． 21．（本小题满分14分）设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax ．（Ⅰ）讨论函数f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x 1＝e （e 为自然对数的底数）和x 2是函数f (x )的两个不同的零点，求a 的值并证明：x 2＞e 23． 22．（本小题满分14分）已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为23，半焦距为c （c ＞0），且a －c ＝1．经过椭圆的左焦点F ，斜率为k 1（k 1≠0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）当k 1＝1时，求S △AOB 的值； （Ⅲ）设R （1，0），延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分．1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．D 二、填空题：每小题5分，满分35分．11．（15，35） 12．17 13．6 14．s 1＞s 2＞s 3 15．（－∞，2]16．433 17．5－12三、解答题：本大题共5小题，共65分．18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝1－(－1114)2＝5314，∴cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C ) cos B ＋sin(B ＋C ) sin B＝－1114×12＋5314×32＝17．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(17)2＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314．在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得5 5314＝c 437，∴ c ＝8， 故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝103．…………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt △DAE 中，AD ＝3，∠ADE ＝π6，∴AE ＝AD ·tan ∠ADE ＝3·33＝1． 又AB ＝CD ＝4，∴BE ＝3．在Rt △EBC 中，BC ＝AD ＝3，∴tan ∠CEB ＝BC BE ＝33，∴∠CEB ＝π6．又∠AED ＝π3，∴∠DEC ＝π2，即CE ⊥DE ．∵PD ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ， ∴PD ⊥CE ．∴CE ⊥平面PDE ．……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，PD ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面ABCD ．如图，过A 作AF ⊥DE 于F ，∴AF ⊥平面PDE ，∴AF 就是点A 到平面PDE 的距离，即AF ＝2217．在Rt △DAE 中，由AD ·AE ＝AF ·DE ，得 3AE ＝2217·3＋AE 2，解得AE ＝2．∴S △APD ＝12PD ·AD ＝12×2×3＝62，S △ADE ＝12AD ·AE ＝12×3×2＝3，∵BA ⊥AD ，BA ⊥PD ，∴BA ⊥平面P AD ，∵P A ⊂平面P AD ，∴BA ⊥P A ．在Rt △P AE 中，AE ＝2，P A ＝PD 2＋AD 2＝2＋3＝5，∴S △APE ＝12P A ·AE ＝12×5×2＝5．∴三棱锥A -PDE 的侧面积S 侧＝62＋3＋5．…………………………（12分） 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n ，由2n＝0.04，得n ＝50．∴x ＝2550＝0.5，y ＝50－3－6－25－2＝14，z ＝y n ＝1450＝0.28．……………（6分）（Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为a ，b ，c ，在（5.1，5.4]的2人为d ，e ． 由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，e }，{c ，d }，{c ，e }，{d ，e }，共10种． 设事件A 表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A 包含的可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{d ，e }，共4种．∴P (A )＝410＝25．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为25．…………………………（13分）21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞）．求导数，得f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x．①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )是（0，＋∞）上的增函数，无极值； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a．当x ∈（0，1a ）时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈（1a，＋∞）时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．∴当x ＝1a 时，f (x )有极大值，极大值为f (1a )＝ln 1a－1＝－ln a －1．综上所述，当a ≤0时，f (x )的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a ＞0时，f (x )的递增区间为（0，1a ），递减区间为（1a ，＋∞），极大值为－ln a －1．…（8分）（Ⅱ）∵x 1＝e 是函数f (x )的零点，∴f (e )＝0，即12－a e ＝0，解得a ＝12e ＝e2e ．∴f (x )＝ln x －12ex ．∵f (e 23)＝32－e 2＞0，f (e 25)＝52－e 22＜0，∴f (e 23)f (e 25)＜0．由（Ⅰ）知，函数f (x )在（2e ，＋∞）上单调递减， ∴函数f (x )在区间（e 23，e 25）上有唯一零点，因此x 2＞e 23．………………………………………………………………（14分）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a －c ＝1。
2023年河南省商丘市部分学校高考数学段考试卷(文科)(六)+答案解析(附后)
2023年河南省商丘市部分学校高考数学段考试卷（文科）（六）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数，则( )A. B. C. D.3. 在某次演讲比赛中，由两个评委小组分别为专业人士记为小组和观众代表记为小组给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论错误的是( )A. 小组A打分的分值的平均数为48B. 小组B打分的分值的中位数为66C. 小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差D. 小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差4. 已知，则( )A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A.B.C.D.6. 执行如图所示的程序框图，输出的( )A. B. C. D. 07. 已知电磁波在空间中自由传播时的损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的200倍，传输损耗增加90dB，则传输距离约为原来的参考数据：( )A.倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍8. 已知是定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为( )A. B.C. D.9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的值域为( )A. B. C. D.10. 已知抛物线C：的焦点为F，，M为C上位于第一象限的一点，且点M 的横坐标小于2，则的面积的最大值为( )A. 2B.C. 1D.11. 已知四棱锥的底面ABCD是矩形，高为，则四棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M，N是C的一条渐近线上的两点，且为坐标原点，若P为C的左顶点，且，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D.13. 已知在平行四边形ABCD中，点E满足，，则实数______ .14. 已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为______ .15. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则的面积为______ .16. 若过点有n条直线与函数的图象相切，则当n取最大值时，a的取值范围为______ .17. 已知数列是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列满足，求的通项公式；记，求数列的前n项和18. 某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间单位：时的频率分布表：日均收看世界杯时间时频率如果把日均收看世界杯的时间高于小时的观众称为“足球迷”.根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；非足球迷足球迷合计女70男40合计从样本中为“足球迷”的观众中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人进行交流，求3人都是男性观众的概率.参考公式：，其中参考数据：19.如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面ABC，E，F分别为棱，BC的中点.证明：平面；若三棱柱的体积为，求点C到平面的距离.20. 已知椭圆的上顶点为A，右顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，的面积为求椭圆C的方程；若过点且不过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线MQ与直线交于点E，证明：21. 已知函数当时，求的极小值；若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为设曲线与曲线交于A，B两点，求；若M，N是曲线上的两个动点，且，求的取值范围.23. 已知函数求不等式的解集；若的最小值为t，a，b，c为正实数，且，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合，，则故选：利用交集的定义可求．本题主要考查交集的运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】因为，所以，故选：根据复数的除法运算求得z，根据共轭复数的概念可得答案．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由图可知，小组A打分的平均数为，故A正确；将小组B打分从小到大排列为36、55、58、62、66、68、68、70、75，所以中位数为66，故B正确；小组A打分的分值的极差为，小组B打分的分值的极差为，故C错误；小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确；故选：根据平均数公式判断A，将小组B打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差判断C，根据数据的分布情况判断本题主要考查了平均数、中位数和极差的计算，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为，所以故选：利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得．本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系在三角函数值求解中的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图得该几何体为如图所示的多面体，且，，所以，则其表面积为故选：根据三视图得到几何体的直观图，从而求出几何体的表面积．本题主要考查三视图，几何体的表面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由程序框图知，第一次循环，判断不成立，，；第二次循环，判断不成立，，；第三次循环，判断不成立，，；第四次循环，判断成立，，；第五次循环，判断成立，，；第六次循环，判断成立，，，跳出循环，输出故选：根据给定的程序框图，依次计算直到条件被满足即可作答．本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设原来的传输损耗、载波频率、传输距离分别为L，F，D，变化后的传输损耗、载波频率、传输距离分别为，，，则，，因此，于是，解得，所以传输距离约为原来的倍．故选：设出变化前后的相关量，再结合已知列式，借助对数运算求解作答．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，所以，在上单调递增，由，得，当时，由，得，当时，由，得，所以原不等式的解集为故选：由题意不等式等价于，再根据函数的单调性分和两种情况讨论即可得解．本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到，所以，所以，，所以，，当，时，，时，则，即；当，时，，时，则，即；综上可得的值域为故选：根据三角函数的变换规则得到的解析式，即可得到的解析式，再将函数写成分段函数，利用辅助角公式化简，最后结合正、余弦函数的性质计算可得．本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意，可得，则，直线FN的方程为，设与直线FN平行且与抛物线C相切的直线的方程为，联立抛物线C的方程可得，由，可得，所以当M点为直线与抛物线C相切的切点时，M点到直线FN的距离最大，当时，由式可得，则M点的坐标为，此时点M到直线FN的距离为，所以的面积的最大值为故选：求出与直线FN平行且与抛物线C相切的直线的方程，切点为M时，三角形面积最大，即可得解．本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，属中档题．11.【答案】B【解析】解：如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，记，则点F为矩形ABCD的外接圆圆心，取AD的中点E，连接PE，EF，记的外接圆圆心为G，易知，，且P，E，G共线．因为，，，AD，平面PAD，所以平面PAD，所以平面PAD，平面PAD，，，EF，平面ABCD，所以平面ABCD，所以，所以，易得，所以由正弦定理得的外接圆半径为，即过G作平面PAD，且，连接FO，由平面PAD，可知，则四边形EFOG为矩形，所以，则平面根据球的性质，可得点O为四棱锥的外接球的球心．因为，所以四棱锥的外接球的体积为故选：作出辅助线，求出平面PAD外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的体积．本题主要考查多面体外接球问题，球的体积问题，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦距为，因为，所以，所以M，N关于原点对称，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，因为以为直径的圆的方程为，不妨设M，N所在的渐近线方程为，则，由解得或，不妨设，，因为P为双曲线的左顶点，所以，所以，又，，由余弦定理得，即，整理得，所以离心率故选：根据，可得M，N关于原点对称，从而可得四边形为平行四边形，再根据，可得四边形为矩形，再求出M，N的坐标，求出，，再利用余弦定理构造齐次式即可得解．本题主要考查了双曲线的性质，考查了双曲线离心率的求解，属于中档题．13.【答案】【解析】解：如图所示：则，，解得：故答案为：利用向量的四则运算化简求值．本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图所示：过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为，由得，则圆的半径，所以圆的方程为故答案为：由两圆外切，两圆心所在直线与圆中弦的垂直平分线交点即为，再求出半径，即可得圆的方程．本题主要考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为，由正弦定理得，即，得，又，所以因为，所以由余弦定理可得，即，所以，故的面积为故答案为：根据正弦定理以及同角关系可得，进而根据余弦定理即可得ab的值，由面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设过点的直线l与的图象的切点为，因为，所以切线l的斜率为，所以切线l的方程为，将代入得，即，设，则，由，得或，当或时，，所以在，上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以，，又，所以恒成立，所以的图象大致如图所示，由图可知，方程最多3个解，即过点的切线最多有3条，即n的最大值为3，此时故答案为：设过点的直线l与的图象的切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，可得，则方程解的个数即为切线的条数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．17.【答案】解：由数列是首项为2，公差为4的等差数列，可得；等比数列的公比设为q，由，，即，解得，则：，则数列的前n项和，，上面两式相减可得，化为【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，计算可得所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为所以在抽取的200人中，“足球迷”有人．故列联表如下：非足球迷足球迷合计女701080男8040120合计15050200所以因为，所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关．样本中为“足球迷”的观众有50人，男、女人数之比为4：故用分层抽样方法从中抽出5人，男性有4人，记为，，，，女性有1人，记为B，从这5人中再随机抽取3人，有，，，，，，，，，共10个结果，其中3人都是男性观众的结果有4个，所以3人都是男性观众的概率为【解析】由频率分布表填写列联表，计算，与临界值比较确定结论；由分层抽样确定男性和女性人数，5人中随机抽取3人，列举所有可能的结果，由古典概型公式计算概率．本题考查独立性检验以及古典概型相关知识，属于中档题．19.【答案】解：证明：如图，取AB的中点G，连接，GF，则，所以，，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面取AC的中点D，连接BD，因为是等边三角形，所以又平面平面ABC，且平面平面，所以平面因为平面，所以因为，，BD，平面ABC，所以平面所以，得因为平面ABC，所以在和中，由勾股定理可得，所以设点C到平面的距离为d，由，得，解得所以点C到平面的距离为【解析】利用中位线得线线平行，进而可证平行四边形，由线面平行的判断定理即可求证．根据面面垂直可得线面垂直，利用体积公式可求解，进而根据等体积法即可求解．本题考查线面平行以及点到平面的距离相关知识，属于较难题．20.【答案】解：依题意，，，有，因为的面积为2，则，又点O到直线AB的距离为，则有，于是，而，解得，所以椭圆C的方程为；证明：直线PQ的斜率，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，代入椭圆方程得，不妨设此时，，则，直线NE的斜率，因此；当直线l的斜率存在时，设其方程为，设，，则直线MQ的方程为，令，得，由消去y得：，由于点P在椭圆C内，必有，则，，，因此，即，所以【解析】根据给定条件，结合点到直线的距离、三角形面积列出关于a，b的方程组，求解作答；直线l的斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，求出直线MQ的方程，求出点E的坐标，利用韦达定理结合斜率坐标公式求出直线NE的斜率即可判断，再验证直线l的斜率不存在的情况作答．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：当时，，则，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以由，可得，故在上恒成立，令，若，则恒成立，不合题意．若，则令则在上恒成立，所以在上单调递减．当时，，即，所以在上单调递减，故，即在上恒成立，满足题意．当时，，所以存在，使得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以存在，使得，不合题意．综上，实数m的取值范围是【解析】求出函数的导函数，利用研究函数单调性，从而求出极小值；构造函数，即只需寻找函数恒小于零时实数m的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的最值与极值，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：因为曲线的参数方程为为参数，所以，又，所以曲线的普通方程为，又曲线的极坐标方程为，由，所以曲线的直角坐标方程为，由，解得或，所以又，所以，所以，即曲线的极坐标方程为，因为，所以设，，所以，所以当时取得最小值，当时取得最大值8，所以的取值范围为【解析】首先将曲线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立两曲线方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得；首先求出曲线的坐标方程，设，，即可表示出，再利用二倍角公式公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，可化为，解得，所以；当时，可化为，解得，此时无解；当时，可化为，解得，所以；综上，不等式的解集为；证明：因为，当时等号成立，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，又，当且仅当，即时，等号成立，所以【解析】分和两种情况，分别求出不等式的解集，最后取并集即可；先求出的最小值为，所以，再结合基本不等式证明即可．本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题．。
2024年河南高考数学真题(含答案) (2)
2024年河南高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m- B. 3m -C.3m D. 3m5.（ ）A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><的的10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.的则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．为19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只的有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2. 若1i 1zz =+-，则z =（ ）A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（ ）A. 2-B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5. （ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a =，4a =，解得2a =-，故A 正确.对于B24=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin C ===的的又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.小问2详解】由（1）可得π3B =，cos C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 12462A ⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin 22ABC S ab C === ，由已知ABC面积为323=+，所以c =16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；【的（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b=⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP 沿着与AP 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，6C=或18C=-，当6C=时，联立221129260x yx y⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得3xy=⎧⎨=-⎩或332xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B-或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B-时，此时32lk=，直线l的方程为332y x=-，即3260x y--=，当33,2B⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk=，直线l的方程为12y x=，即20x y-=，当18C=-时，联立2211292180x yx y⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y-+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.法二：同法一得到直线AP的方程为260x y+-=，点B到直线AP的距离d=设()00,B x y22001129x y⎪+=⎪⎩，解得332xy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩或03xy=⎧⎨=-⎩，即()0,3B-或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为260x y+-=，点B到直线AP的距离d=设(),3sinBθθ，其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443kx k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d =，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =，故tan DFE∠==x =AD =．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析 （3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。