相似三角形的分类讨论(教学案)
相似三角形中分类讨论
相似三角形中分类思想一、 教学目标：1.1.进一步理解三角形相似的判定方法进一步理解三角形相似的判定方法2. 经历相似三角形中分类讨论问题的解决过程，能根据问题的条件，选择分类，进行有序的思考，掌握运用分类来讨论的方法解决相似三角形的相关问题，体会分类讨论的思想，体会数学思维的条理性、缜密性和科学性，提高分析解决问题的思维品质。
3. 使学生在遇到此类问题后知道如何下手去解决问题。
二、 教学重难点：领悟分类讨论的数学思想选择适当的分类标准三、 教学过程：（一） 复习问题1：相似三角形的判定方法有哪些？问题2：相似三角形的性质有哪些？(二) ) 新授新授相似三角形中为什么需要分类讨论？由于图形的大小，位置不确定，因而在三角形中需要分类讨论1. 1.图形大小的不确定需要分类讨论图形大小的不确定需要分类讨论如：若两个相似三角形的相似比为1∶2,且其中一个的面积为且其中一个的面积为2020，则另一个三角形，则另一个三角形的面积为的面积为的面积为____ ____2.2.图形位置不确定：图形位置不确定：对应角（或者说对应边、对应顶点）的不确定引起相似三角形对应角（或者说对应边、对应顶点）的不确定引起相似三角形的分类讨论、例题1.1.过过Rt Rt△△ABC 的斜边AB 上一点D 作一条直线与另一边ＡＣ或者BC 相交，使截得的小三角形与△相交，使截得的小三角形与△ABC ABC 相似，这样的直线有几条？例题2.2.已知如图，已知如图，已知如图，D D 点是不等边△点是不等边△ABC ABC 的边AC 上一点，过D 点画线段DE DE，使点，使点E 在△在△ABC ABC 的边上，并且点D ，点E 和△和△ABC ABC 的一个顶点组成的小三角形与△组成的小三角形与△ABC ABC 相似。
问：这样的三角形可以画几个？画出DE DE，并且写出添线方法（答出作图依据），并且写出添线方法（答出作图依据）例题 1.1.在方格纸中在方格纸中在方格纸中,,每个小格的顶点称为格点每个小格的顶点称为格点,,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形角形叫做格点三角形,,如图所示如图所示,,在1010××10的方格中的方格中,,已知△已知△OAB. OAB.作一个格点三角形△作一个格点三角形△ABC ABC 与△与△OAB OAB 相似相似,,满足条件的C 有几个？练习如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)A(4,0)、、B(0,2)B(0,2)，如果点，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合不重合))，当点C 的坐标为的坐标为 时，时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与Δ组成的三角形与ΔAOB AOB 相似。
例谈相似三角形分类讨论问题
想方法i 2021年第5期中学数学教学参考（下旬相似三角形分类讨论问题李松（四川省成都市石室天府中学）摘要：分类讨论是重要的数学思想。
分类讨论思想的关键是要清楚为什么要进行分类讨论和分类讨论的依据是什么。
分类讨论思想的培养，需要教师有一个长期的教学规划，为学生提供合适的分类讨论的情境。
关键词：分类讨论；相似三角形；动点问题；折叠问题文章编号：1002-2171 (2021)5-0063-02《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简 称《课标（2011年版）》）指出，“分类讨论是一种重要的数学思想方法，教学时要通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟这种思想方法的精髓。
”例如，在学习“图形的相似”一章时，如果两个相似三角形未指明对应顶点，那么可能存在三种情况，此时 需要分类讨论。
分类讨论思想的渗透是一个较长的过程，所以在教学活动中，教师需要精心准备适切的、足量的、螺旋上升的问题帮助学生积累活动经验，形 成技能.从而使学生体会为什么要分类、如何分类等。
笔者下面以几个经典问题为例，就教学中哪类问题需l_ln(l+f)>l=ln e#0,所以在区间(工。
，|)内/(•T)无零点。
当:|，7r)时，jy^sin单调递减，:y=ln(l+*r)单调递减，则/(X)在区间(|，7t)内单调递减，/(7t)=0—ln(l+7T)<0,所以在区间(晋，K)内 /U)存在一个零点。
当 x6(7r，+°°)时，/(:c)=sin x_ln(1+x) 1—ln(1十7T)<C0 t旦成立，则/(工）在区间（t t，+°°)内无零点。
综上可得，/U)有且仅有2个零点。
7根的分布法对于特定的二次函数零点问题，利用根的分布来 求解也是一个有效的途径。
要分类讨论做归纳整理。
1类型归纳1.1单动点运动的相似问题需要分类讨论单动点运动的相似问题是指一个点在某条直线上运动引起图形变化，而动点运动到某几个位置时，会产生相似三角形的情况。
标题：最新人教版八年级数学上册第十二章相似三角形 教案
标题：最新人教版八年级数学上册第十二章相似三角形教案一、教学目标：1. 理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定方法。
2. 掌握相似三角形的性质，能够解决与相似三角形相关的问题。
3. 进一步提高学生的几何推理和证明能力。
二、教学内容：1. 相似三角形的定义及判定方法。
2. 相似三角形的性质和应用。
三、教学步骤：1. 导入：通过引入一道生活中的问题，激发学生关于相似三角形的思考和探索。
2. 讲解：给出相似三角形的定义，并介绍判定相似三角形的方法。
3. 实例演练：通过一些具体的实例，让学生掌握判定相似三角形的方法。
4. 性质探究：引导学生发现相似三角形的性质，进行讨论和证明。
5. 应用拓展：提供一些应用题，让学生运用相似三角形的知识解决问题。
6. 练巩固：提供一些练题，巩固学生对相似三角形的理解和应用能力。
7. 总结反思：总结相似三角形的知识点，让学生进行反思和思考。
8. 课堂作业：布置相似三角形相关的作业，检查学生的掌握情况。
四、教学资源：1. 人教版八年级数学上册教材。
2. 相关练题、应用题和思考题。
五、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与度、思维活跃度和回答问题的准确性。
2. 作业评价：检查学生作业的完成情况和准确度。
3. 测验评价：通过小测验检查学生对相似三角形知识的掌握程度。
六、教学后记：根据学生的表现和反馈情况，及时调整教学策略，对未掌握的知识点进行复习和强化训练。
同时，鼓励学生在课外自主学习，进一步提升对相似三角形的理解和应用能力。
九年级数学下册《相似三角形》优秀教学案例
3.教师在小组合作过程中，要关注学生的参与情况，适时给予指导和鼓励，确保每个学生都能在合作学习中得到提升。
（四）反思与评价
1.鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法和经验，提高他们的自主学习能力。
结合学科特点，本案例将引导学生通过观察、猜想、验证、应用等环节，深入理解相似三角形的本质。在课程设计上，充分考虑学生的认知水平和兴趣，注重知识点的层次性，由浅入深，逐步引导学生掌握相似三角形的判定方法及其在实际问题中的应用。
此外，本案例还注重情感目标的实现，通过鼓励学生积极参与、勇于探索，培养他们面对困难时坚持不懈的精神，使学生在掌握知识的同时，也能获得成功的体验和自信心的提升。在教学过程中，教师将以亲切、鼓励的语言，营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦的情感状态下主动探索、积极思考，实现知识与能力的全面发展。
4.教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，培养他们独立解决问题的习惯。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生积极参与、勇于探索的精神，使他们面对数学问题充满好奇心和求知欲。
2.通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高他们对数学学科的兴趣和认识。
3.培养学生合作学习的意识，让他们在团队中相互帮助、共同进步，增强集体荣誉感。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，涵盖本节课所学知识点，让学生通过练习巩固知识。
2.布置一些拓展性的作业，如研究相似三角形在其他领域的应用，激发学生的探究欲望。
3.要求学生完成作业后进行自我检查，对自己的学习情况进行评价，培养他们的自主学习能力。
相似三角形中的分类讨论实录加反思
无可奈何“落去”，似曾“相似”归来——“一题一课”模型下的相似复习课课堂实录与反思背景介绍“一题一课”，倡导一个题目上一节课，就是围绕着说题时抽到的那一题来上一节课。
我抽到的题是第18题，主要考查相似三角形的判定与性质，涉及到分类讨论。
这道题对学生来讲说不上难，因为从学生接触相似三角形开始就已经在接触这类题了；可也说不上简单，毕竟分类讨论不是每个学生都能理解的了的。
可光就这个题目讲上一节课，是根本不可能的。
对这课我最初的设想是由浅入深，先温习或做些铺垫性的问题，把起点放在相似三角形的判定的复习上，编制单一的不涉及分类的相似题目，再重点像讲课文例题那样去启发分析，最后拓展提炼。
因此刚开始花了大量的时间去寻找合适的题目，无果之后又尝试着自己去改编题目：赋予△ABC为等腰三角形的背景下，DE∥BC，在BC边上寻一点F，使△DEF与△ABC相似。
试上之后，这道题反响还不错，引入等方面修正完善一下就好。
杭州听课回来还没缓过神来连着清明放假三天，期间我仔细思考教学设计中的这道题目，总觉得偏离了“一题一课”的理念。
可是箭在弦上不得不发，没机会再试上再磨课了！比赛当天，心里还是隐隐觉得不好，于是开始两手准备：一方面将这个课再次仔细整理准备上课；另一方面再次去找寻其他题目，最终决定只将该题作为课后拓展题让学生拓展提升。
感谢教研组听课的同事，每一位都给出了非常宝贵的意见和建议，帮我不断修正与完善。
在磨课的过程中，我受益良多。
课堂实录师：今天这节课我们一起探讨相似三角形中的分类讨论。
首先我们拿出练习纸，动手画画看。
（媒体显示题目，学生动手作图）如图，△ABC中，AB=12，AC=15。
D为AB 边上一点，过点D作一条截线交AC于点E，使△ADE与△ABC相似，你能作出几条？请画出图形。
师：谁来说说看你是怎么画的？生：先做BC的平行线，交AC于点E。
还有一个是做的那条线和AD相等……师：做的那条线和AD相等？生：作AD=AE师：在AC上取一点E，使得AD=AE师：说说看你是怎么想的?（学生回答不出）为什么这种情况下这两个三角形相似？生：因为平行师：依据的是什么？生：相似三角形中（学生说不出来师补充）师：作DE∥BC时，就是说∠ADE与∠ABC相等。
初中数学相似教案
初中数学相似教案教学目标：1. 理解相似三角形的定义和性质；2. 学会运用相似三角形解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 相似三角形的定义和性质；2. 相似三角形的判定；3. 相似三角形的应用。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的三角形相关知识，如三角形的分类、三角形的性质等；2. 提问：同学们，你们知道什么是相似三角形吗？有没有谁能举个例子来说明一下？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形；2. 讲解相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等；3. 讲解相似三角形的判定：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似；4. 举例说明相似三角形的应用，如解决实际问题中的测量问题、几何图形的构造等。
三、课堂练习（15分钟）1. 请同学们完成教材上的练习题，巩固相似三角形的定义和性质；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和解析，解答学生的疑问。
四、课后作业（5分钟）1. 请同学们完成教材上的课后作业，加深对相似三角形的理解和应用；2. 教师布置一些相关的拓展题目，提高学生的思维能力。
教学评价：1. 课堂讲解：教师对学生的学习情况进行观察和评估，了解学生对相似三角形知识的掌握程度；2. 课堂练习：教师对学生的练习情况进行批改和评价，及时发现和纠正学生的错误；3. 课后作业：教师对学生的作业情况进行批改和评价，了解学生对相似三角形知识的应用能力。
教学反思：本节课通过讲解相似三角形的定义、性质和判定，以及应用，使学生掌握了相似三角形的基本知识。
在教学过程中，要注意引导学生主动参与，积极思考，通过举例和练习题来巩固所学知识。
同时，还要注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高他们对数学学科的兴趣和信心。
北师大版九上数学(教案)第四章：第五节：相似三角形判
北师大版九年级上第四章《图形的相似》《相似三角形判定定理的证明》教案【教学目标】1.知识与技能①了解相似三角形判定定理②会证明相似三角形判定定理2.过程与方法掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力3.情感态度和价值观经历自主探究、合作交流等学习方式的学习及激励评价，让学生在学习中锻炼能力.【教学重点】相似三角形判定定理【教学难点】掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习导入问题：相似三角形的判定方法有哪些？①两角对应相等，两三角形相似.②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.③三边对应成比例,两三角形相似.在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。
二、探究新知（1）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'证明相似三角形的判定定理1已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'．分析：根据证明两三角形相似的定义，需要三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似.证明：在 △ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D 作BC 的平行线，交 AC 于点E ，则∠1=∠B ，∠2 =∠C ，ACAEAB AD = 过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F, CB CFAB AD =∴CBCFAC AE =∴∵ DE ∥BC, DF ∥AC,∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ DE = CF. CBDEAC AE =∴BCDEAC AE AB AD ==而 ∠ 1 = ∠ B ，∠ DAE = ∠ BAC ，∠ 2=∠ C ， ∴ △ADE ∽ △ABC.∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．∴ △ABC ∽△A'B'C.例1.已知:如图，ΔABC 中，∠ACB=90°，F 为AB 的中点，EF ⊥AB ．求证：ΔCDF ∽ΔECF ．证明∵F 是Rt △ABC 斜边的中点∴CF=AB 21=BF ∴∠B=∠BCF ∵∠ACB=90°∴∠ACF+∠BCF=90° ∵EF ⊥AB∴∠B+∠E=90° ∴∠DCF=∠E 又∠DFC=∠CFE∴△CDF ∽△ECF （两角对应相等,两三角形相似）练习：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE.证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴AD ⊥BC. 又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°. 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABD ∽△CBE （2）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 用数学符号表示：∵∠A=∠A' ,''''C A ACB A AB = ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'证明相似三角形的判定定理2如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知∠A= ∠A ′,''''C A ACB A AB =,求证：△A ′B ′C ′∽△ABC.证明：在△A ′B ′C ′的边A ′B ′上截取点D,使A ′D=AB ．过点D 作DE ∥B ′C ′,交A ′C ′于点E.∵DE ∥B ′C ′,∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′..''''''∴C A E A B A D A =∵A ′D=AB ，''''CA ACB A AB = .''''''''∴C A AC C A E A B AD A ==∴A ′E=AC. 又∠A ′=∠A.∴△A ′DE ∽△ABC ， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC.例2.如图，∠B=90°，AB=BE=EF=FC=1。
动点相似
平面直角坐标系中的相似三角形的分类讨论一、教学目标：1、进一步掌握相似三角形的判定和性质。
2、能在平面直角坐标系中通过点的坐标及线段的数量关系求出特殊角3、通过问题的研究，初步学会依据相似三角形角的不同的对应关系，对其进行分类讨论。
4、经历相似三角形分类讨论问题的研究过程，体会数学思维的条理性、缜密性。
教学重点：根据相似三角形对应角的不确定性对其进行分类讨论并解答 教学难点：在解题中领悟分类讨论的数学思想。
4、领悟相似三角形分类讨论的数学思想二、教学重点：根据相似三角形对应角的不确定性对其进行分类讨论并解答 三、教学难点：在解题中领悟分类讨论的数学思想。
四、教学过程：1、已知在平面直角坐标系中点D 的坐标为（0,2），点C 的坐标为（7,3）过点C 向x 轴做垂线垂足为B ，在线段OB 上是否存在点P ，使得点O 、D 、P 所组成的三角形与点P 、B 、C 所组成的三角形相似，如存在求点P 的坐标；如不存在请说明理由。
(初步理解因动点导致图形的变化从而分类讨论的思想；确定解此类题目的基本思路 1、首先确定不需要讨论的角。
2、抓住需要讨论的一个角来分类讨论，做到不遗漏和重复。
3、在讨论框架下进一步分析题意，利用相似三角形的性质来探索解题方法，求出答案)2、如图：直线b x y +=与双曲线)0(<=x xmy 交于点A （-1，-5），并分别与x 轴y 轴交于点C 、B 。
（1） 求b ，m 的值（2） 连接OA ，求∠OAB 的正切值；（3） 点P 在x 轴的正半轴上，若以点P 、C 、B 组成的三角形与△OAB 相似，试求点P 的坐标yxO y3、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为()3,0，与y 轴交于点C ，顶点为D （2，-1）。
（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是抛物线的对称轴上一点，当△PBD 与△CAB 相似时，求点P 坐标。
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相似三角形的分类讨论（教学案）
一、教学目标：
1．进一步理解三角形相似的判定方法
2．初步领悟分类讨论的数学思想
3．培养学生的合作意识、探究意识。
二、教学重难点：领悟分类讨论的数学思想
三、教学过程：
（一）复习
相似三角形的判定方法有哪些？
你能画出几种常见的相似三角形吗？
（二）新授
A 由于对应边不确定，需要分类讨论。
例1 已知△ABC的三边长分别是4、6、8，△DEF的一条边为24，要使△DEF与△ABC相似，则另两边的长分别是
B 由于对应角不确定，需要分类讨论。
例2 均有一个角为84°的两个等腰三角形一定相似吗？
均有一个角为104°的两个等腰三角形一定相似吗？
C 三角形的形状不确定，需要分类讨论。
例3 在△ABC中∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD×DC,则∠BCA=
D 由于位置的不确定，需要分类讨论。
例4 在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似。
例5 已知：如图，P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似。
D A B C
P B
C
例6 已知BD 是矩形ABCD 的对角线，AB=30cm ，BC=40cm ，点P 、Q 同时从A 点出发，分别以2cm/s ，4cm/ s 的速度由A →B →C →D →A 的方向在矩形边上运动，在点Q 回到点A 的整个运动过程中：① PQ 能否与BD 平行？② PQ 能否与BD 垂直？请分别作出判断。
如果存在，请分别求出时间t,如果不存在，请说明理由。
E 计数中进行分类讨论。
例7 如图，在有边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ，在网格上画出与△ABC 相似的三角形（全等的只需画一个，与△ABC 全等的不再画），使它的3个顶点都落在小正方形的顶点上。
这样的三角形能画几个，最短的边长分别是多少？
（三） 课堂小结： 分类讨论、有序思考的回顾。
（四）、课后作业：已知Rt △OAB 在直角坐标系中的位置如图，P （3，4）为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt △OAB 分成两部分，问点C 在什么位置时，分割得到的三角形与△OAB 相似？画出所有符合要求的线段，写出点C 的坐标。