基于Ansys固定弦自由振动驻波能量守恒数值模拟分析

基于Ansys固定弦自由振动驻波能量守恒
数值模拟分析
摘要：本文将基于Ansys有限元软件对两端固定的弦的自由振动进行数值模拟分析。

由于弦的自由振动可以看作是一系列不同的驻波叠加而成，因此在数值模拟的
过程当中，分别输出各个驻波的能量与总能量对比，验证能量定律。

关键词：Ansys；弦；自由振动；数值分析
0前言
“弦振动形成驻波”一直是高校普通物理试验中的传统力学试验之一，它是研究波的形成和干涉的重要途径之一。

研究弦振动有利于研究钢琴弦的声学特性。

两端固定弦的自由振动书最常见的琴弦振动模型。

两端固定的弦自由振动的可以看作是一系列频率成倍增长、位相不同、振幅不同的驻波叠加形成。

而在本文中，主要将对弦振动驻波的能量进行研究，利用有限元软件Ansys 进行数值分析，分别输出了各个驻波的能量以及弦的总能量进行分析，研究各个驻波的能量与弦自由振动总能量之间的联系。

图 1 两端固定弦形成驻波
1问题类型分析
1.1问题概述
固定端点有界弦的自由振动可以分解
成各种不同固有频率的驻波（谐波）的叠加，试计算各个驻波的动能和位能，并证明弦振动的总能量等于各个驻波能量的叠加。

1.2问题分析
为了建立弦自由振动的有限元模型，必须给出弦的材料参数。

而且在ansys的数值输出中我们只能输出弦振动的总能量，因此，为了在输出各个驻波的能力，所以只能输入不同驻波的位移初值条件进行模拟。

考虑到驻波个数的无限性，所以只能输出有限个驻波能量来分析。

一般来说，弦需要有初始激励才能发生自由振动的，所以这里只考虑了一种情况：在弦中间向上拉起h，而后放开作自由振动。

2实验研究方案
2.1计算参数
2.1.1材料参数
假设弦为低碳钢材料，则有弹性模量为200GPa，泊松比为0.3，密度为3
7800/
Kg m.
2.1.2几何参数
弦长：L=1.00m
拉起的位置和高度：h=0.01m，c=0.5m 2.1.3荷载参数
由于弦作自由振动，所以并没有施加力荷载，只是在初始的时候施加了位移边界条件。

2.2理论分析
以(,)
u x t表示弦上各点的振动，由前面的问题分析中可以知道初始条件可以写
为
,(0)(,0)()(),()(,0)()0h
x x c c
u x x h l x c x l l c
u
x x t
ϕψ⎧<≤⎪⎪==⎨
⎪-<≤⎪-⎩∂=≡∂ (1)
弦作自由振动的物理过程的表达式为
22
222
0,0:(),(),0&:0u u a t x u t u x x t x x l u ϕψ⎧∂∂-=⎪∂∂⎪
∂⎪
===⎨∂⎪
===⎪⎪⎩
(2)
则(2)式的解的表达式为
1(,)(cos
sin )sin n
n k k k k a k a k u x t A t B t x l l l
πππ==+∑ 其中，各阶驻波为
(,)(cos
sin )sin k k k k a k a k u x t A t B t x l l l
πππ=+ 由于()0x ψ≡ ，故所有的0k B = ，则有
0022
222212()sin 22sin ()sin 2()21(,)sin sin cos ()l k c l l c k k A d l l h k h k d l l c l l l c l
hl k c c l c k l
hl k c k k a
u x t x t c l c k l l l
π
ϕξξ
ππξξξξππππππ-∞
===+--=-=-⎰⎰⎰∑代入所有的计算参数后得到
21
2(,)sin(0.5)sin()cos0.0716k t 25k u x t k k x ππππ∞
==
∑ 其中，各阶驻波为
2
2
(,)sin(0.5)sin()cos 0.0716k t 25k u x t k k x ππππ=
2.3 单元选取
考虑到研究对象为弦，在弹性条件下选
取合适的有限单元。

在Ansys 中单元3D finit stn 180与实际情况较为接近，因此3D finit stn 180将作为数值模拟分析的单元。

2.4 网格划分
在网格划分的过程当中，网格划分de
大小为0.02，也就是No. of element divisions 设置为50，如图
2.
图2 网格划分
2.5 边界条件
由于弦两端固定作自由振动，则初始边界条件为
0||0x x l u u ====
如图 3.
而且初始时，弦中点处向上拉起h ，则有初始条件为
,(0)(,0)()(),()h
x x c c
u x x h l x c x l l c ϕ⎧<≤⎪⎪==⎨
⎪-<≤⎪-⎩
如图
4.
图 3 两端固定约束
2.6
3 结论。