【高中数学选修2-2】2.1.1合情推理
人教a版数学【选修2-2】2.1.1《类比推理》ppt课件
[答案] C
[解析] A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0 ，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法 不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n＝2显然不成 立．
4．医药研究中，研制新药初期，常用一些动物做药性、药 理试验，最后才做临床试验与应用，通过对动物的观察，得 出对人应用的一些结论，所用推理为__________________． [答案] 类比推理 [解析] 符合类比推理的方法，故应为类比推理．
相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的 ↔ ↔ ↔
截面圆， 大圆， 表面积， 球体积，
圆面积 ↔ 示：
等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所
圆的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的 连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等； 与圆心距离不等的两弦不等， 距圆心较近的弦较长 圆的切线垂直于经过切点的半 径； 经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线 必经过圆心 圆的周长 c＝πd 圆的面积 S＝πr2
3．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( ＝b”
)
A．若“a· 3＝b· 3，则 a＝b”类比推出“若 a· 0＝b· 0，则 a B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a· b)c＝ac· bc” a＋b a b C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“ c ＝c ＋c (c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
重点：类比推理． 难点：类比推理的特点及应用．
类比推理 思维导航 在学习数列一章时，我们由等差数列{an}具有性质：“已知n 、m∈N*，若n＋m＝2p，则an＋am＝2ap”，作出猜想：“ 对于等比数列{an}，若n、m∈N*，n＋m＝2p，则am·an＝a” ，这种猜想方法是否具有一般性？这样猜想出的结论是否一 定是正确的？它在数学发现中具有什么作用？
高二数学选修2-2第二章 推理与证明
§2.1.1 合情推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程一、课前准备（预习教材P 70~ P77，找出疑惑之处） 在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程.二、新课导学探究任务一：考察下列示例中的推理问题：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……所以n 边形的内角和是新知1：从以上事例可一发现： 叫做合情推理。
归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。
探究任务二：问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 ,推出该类事物的 的推理归纳是 的过程 例子:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……, 100=3+97，猜想： .归纳推理的一般步骤1 。
2 。
※ 典型例题例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7……2n-1，……的前n 项和S n 的归纳过程。
例2设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
练1. 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升※ 学习小结 1．归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）.A.4()22x f x =+B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+3.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________.4 已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n +，观察下列立方和： 13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，…… 试归纳出上述求和的一般公式。
数学选修2-2 2.1 2.1.1 合情推理
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学习目标：1.了解合情推理的含义．(易混点)2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．归纳推理与类比推理[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理[基础自测]1．思考辨析(1)利用合情推理得出的结论都是正确的．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．()(3)由个别到一般的推理为归纳推理．()[答案](1) ×(2)×(3)√2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．没有推理D．以上说法都不对B[推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]3．等差数列{a n}中有2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{b n}中类似的结论是________．[解析]类比等差数列，可以类比出结论b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)．[答案]b2n＝b n－1b n＋1(n≥2，且n∈N*)4．如图2-1-1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n ＝________(n>1，n∈N*).图2-1-1[解析]依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n－3(n>1，n∈N*)．[答案]153n－3[合作探究·攻重难](1)12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为________． (2)已知：f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． ①求a 2，a 3，a 4的值； ②猜想a n 的表达式． [解析] (1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x 1－x. 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x1－4×x 1－4x ＝x 1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x， 根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x(3)①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32， 又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34， 又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34， 解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322， a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．[规律方法]进行数、式中的归纳推理的一般规律1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式. [跟踪训练]1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________.[解析] 因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33猜测x ＝64＋1＝65. [答案] 65 2．观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；…… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. [解析] 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．[答案] 43n (n ＋1)图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.图2-1-2(2)根据图2-1-3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．①②③④图2-1-3[解析](1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.[答案](1)5n＋1(2)509[规律方法]归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：[跟踪训练]3．如图2-1-4，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：图2-1-4通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根.[解析]数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．[答案]163n＋1[探究问题]三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的积的13.(1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1n＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系，并给予必要证明．[思路探究] (1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . [解析] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以n ，即商类比成开n 次方，即在正项等比数列{b n }中，有n b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .[答案]nb 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 母题探究：1.(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体(如图2-1-5所示)性质的猜想．图2-1-5[解] 如图所示，在四面体P －ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立”．那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．[解] 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.下面证明上述猜想成立．如图所示，连接BE ，并延长交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．[规律方法]类比推理的一般步骤[当堂达标·固双基]1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A．r22B．l22C．lr2D．无法确定C[扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr 2.]2．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()图2-1-611 A.B.△C.D.○A [观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果. ]3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7.[答案] b 4＋b 8>b 5＋b 74．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________.[解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)25．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P - A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。
人教版新课标A版高中选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习A卷
人教版新课标A版选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）下列命题中正确的是（）A . 类比推理是一般到特殊的推理B . 演绎推理的结论一定是正确的C . 合情推理的结论一定是正确的D . 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的2. （2分）下图是某光缆的结构图,其中数字为某段的最大信息量,则从M到N的最大信息量为（）A . 6B . 7C . 12D . 213. （2分） (2016高二上·衡阳期中) 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：①对任意a∈R，a*0=a；②对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（ex）* 的最小值为（）A . 2B . 3C . 6D . 84. （2分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A . aB . aC . aD . a5. （2分）观察下列各式：，则的末四位数为（）A . 3125B . 5624C . 0625D . 81256. （2分）北京市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车周一到周五都要限行一天，周末不限行．某公司有A、B、C、D、E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知：E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A、C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路．由此可知，下列推测一定正确的是（）A . 今天是周六B . 今天是周四C . A车周三限行D . C车周五限行7. （2分）根据下边给出的数塔猜测1234569+8=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111A . 1111110B . 1111111C . 1111112D . 11111138. （2分） (2016高二下·钦州期末) “因为偶函数的图象关于y轴对称，而函数f（x）=x2+x是偶函数，所以f（x）=x2+x的图象关于y轴对称”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 大前提与推理形式都错误9. （2分）下面说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
人教版高中数学选修2-2课件 2.1.1合情推理
规律方法：归纳推理和类比推理的共同点：
可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、推理、类 比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推 理． 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．
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►变式训练 4.观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， … 照此规律， 第n个等式可为____________．
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【易错剖析】三角形中的内角类比到空间中可以是 线面角，也可以是面面角，这里面面角应该合理些； 三角形中的射影定理等式右边是边长与角的余弦值 相乘，类比到空间中，应该是面积与面面角的余弦 值相乘，而不是棱长与角的余弦值相乘．这些类比 的不确定性，要根据实际情况认真分析．
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解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连 乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连 乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘 式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘 式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差 的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规 律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝ 2n×1×3×…×(2n－1)． 答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－ 1)
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析疑难 提能 力
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类比不当致误. 【典例】 如图所示，在△ABC中，射影定理 可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分 别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出 对空间四面体性质的猜想．
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解析：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2， S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面 PCA与底面ABC所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现 形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件(1) 新人教A版选修2-2
思考2 思考2：科学家们发现火星具有一些与地 球类似的特征， 球类似的特征，如火星也是围绕太阳运 绕轴自转的行星，也有大气层， 行、绕轴自转的行星，也有大气层，在 一年中也有季节的变更， 一年中也有季节的变更，而且火星上大 部分时间的温度适合地球上某些已知生 物的生存，等等.运用类比推理， 物的生存，等等.运用类比推理，你有什 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 猜想：火星上也可能有生命存在. 猜想：火星上也可能有生命存在.
不能！ 不能！
思考6 对于等式：1·2＋2·3＋ 思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 n(n＋1)＝ 3n＋ n=1， ＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1， 时等式成立吗？ 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立？ 等式对所有正整数n都成立？ 思考7：应用归纳推理可以发现一般结 思考7 其不足之处是什么？ 论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确， 由归纳推理得出的结论不一定正确，其 真实性有待进一步证明. 真实性有待进一步证明.
圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 球的类似概念和性质 球的面积 球的体积
圆心与弦（非直径）中点 球心与截面（非大圆）圆心的 球心与截面（非大圆） 圆心与弦（非直径） 连线垂直于截面 的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相 等，与圆心距离不等的两 弦不等， 弦不等，距圆心较近的弦 较长. 较长. 圆的方程为： 圆的方程为： (x－ (y－ (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 与球心距离相等的两截面积相 等，与球心距离不等的两截面 积不等， 积不等，距球心较近的截面积 较大. 较大 球的方程
如图所示， 例1 如图所示，有三根针和套在一根针 上的若干金属片，按下列规则， 上的若干金属片，按下列规则，把金属片 从一根针上全部移到另一根针上. 从一根针上全部移到另一根针上. 每次只能移动1个金属片； （1）每次只能移动1个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属 片上面. 片上面. 试推测： 个金属片从1 试推测：把n个金属片从1号针移到3号 个金属片从 号针移到3 最少需要移动多少次？ 针，最少需要移动多少次？
数学：2.1.1《合情推理与演绎推理-合情推理》PPT课件(新人教选修2-2)
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且a
n +1
=
an 1 + an
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
1 2
+
1 3
+ L + 5 2
1 n
(n Î
N )计 算 得 7 2
*
f(2)=
,f(4)>2,f(8)> 2时 ,有
, f ( 1 6 ) > 3 , f (3 2) >
-----------------.
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 证明的，称为陈氏定理(Chen„s Theorem) ? “ 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数 之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通 常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
【高中数学选修2-2】2.1.1合情推理 精品优选公开课件
：河内塔（Tower of Hanoi）
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。 跟佛家学放得下 。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到《金刚经》所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到《心经》所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。 什么是“放得下”？且看这个“佛”字——左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。
合情推理.
练 .在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为
三们角可形以内得任 到一 结点 论,:P到相p应a三边的p距b 离分p别c 为p1a,pb,pc,我 ha hb hc
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
A
B
pbPppac
C
pa pb pc 1 ha hb hc
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3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤:
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：空间中到一个定点的距离等于定 长的点的集合.
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
不是归纳推理，是一种类比。
观察下面推理问题
根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体. 这还是从部分到整体,从特殊到一般的归纳推理.
归纳推理定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为 归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
不变性
a+0=a
通过例1，例2你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试 给出空间中四面体性质的猜想．
A Ｂ
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a1 ＝1 n ＝1时，
第1个圆环从1到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a1 ＝1 n ＝1时， n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到3. 前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
64
前2个圆环从2到3.
2
1
3
小结：
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
类比推理
观察下面推理问题
关于锯子的一个传说：春秋时代鲁国的公输班 （后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次 去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
需证明
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n 个数是_______. 2n 1
这就是从部分到整体,从特殊到一般的归纳推理.
统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观 测或试验，进而对整体做出推断. 这也是从部分到整体,从特殊到一般的归纳推理.
成语”一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落，知道秋
(3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 不一定正确，需要证明。
观察下面推理问题
火星上是否有生命？
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
这个推理过程是归纳推理么？这里的猜想一定正确么？
歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等 于两个奇质数之和”
归纳推理定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为 归纳推理.(简称：归纳) 说明：归纳推理的几个特点;
1.归纳是由特殊到一般、由部分到整体的推理,因 而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上,提出带有规律性的结 论。
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
an = 1 + an
1 猜想： an n
点评：虽然这个猜想是 否正确还需要严格的逻 辑证明，但这个猜想可 以为我们研究问题提供 一个方向。
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则 n ＝1时， a1 ＝1 第1个圆环从1到3.
n ＝2时， a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.
猜想 an= 2n -1
n＝3时， a3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;
64个圆环需要： 2 1次
c2=a2+b2
c
a
Ｃ
s1 o s2 s3
b
Ａ
B
C
2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC
归纳推理和类比推理的共同点:
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经 过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类 比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为 合情推理.
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
小结
1.类比推理的定义： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已 知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推 理.(简称：类比) 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2.归纳推理和类比推理的共同点:
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
不是归纳推理，是一种类比；猜想结论不一定正确，需要证明。
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理.(简称：类比) 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理 ---归纳推理、类比推理
推理是人们思维活动的过程，是根据一个 或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维 过程。
观察下面一个推理问题，你有什么想法？ 史话：歌德巴赫猜想的提出过程：
（1)他先无意中发现：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， （2)他后来又把上面的式子改写为: 10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 6＝3+3， 1000＝29+971， 8＝3+5， 1002=139+863, 10＝5+5, … 12＝5+7， 14＝7+7， 综上述他得出一个规律： 16＝5+11, 偶数＝奇质数＋奇质数 18 =7+11, „，
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、 比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们 把它们统称为合情推理.
具体的材料的第1项a1=1且 a n +1
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式. 解： 当n＝ 1时，a 1＝ 1
1 当n＝2时， a 2 2 11
1 当n＝3时，a3 1 3 1 2 1 1 3 当n＝4时，a4 1 4 1 3 1 2
练 .在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为 三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我 pa pb pc 们可以得到结论:
ha
平面上 图 形 结 论
B P pb pc pa A
hb