“点差法”在解析几何题中的应用
解析几何之定比点差法
解析几何之“定比点差法”文章来源： 作者：意琦行 时间：2016年1月5日 介绍定比点差法之前，先介绍一些解析几何中的基础知识： 一、定比分点若λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则称点M 为点A 、B 的λ定比分点． 当λ>0时，点M 在线段AB 上，称为内分点； 当λ<0(λ≠−1)时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点． 定比分点坐标公式：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为M (x 1+λx 21+λ,y 1+λy21+λ).二、点差法若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,x 22a 2±y 22b2=1, 两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2±(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0.此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．下面介绍定比点差法：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2±(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 这样就得到了1a 2⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ±1b 2⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=1. 例1 过异于原点的点P(x 0,y 0)引椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的割线PAB ，其中点A,B 在椭圆上，点M 是割线PAB 上异于P 的一点，且满足AM MB =AP PB．求证：点M 在直线x 0x a 2+y 0y b 2=1上．证明 直接运用定比点差法即可．设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )，则有 x 0=x 1+λx 21+λ,y 0=y 1+λy 21+λ;x M =x 1−λx 21−λ,y M =y 1−λy 21−λ.又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 12a 2+y 12b 2=1,λ2x 22a 2+λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 两边同除以1−λ2，即可得到x 0x M a 2+y 0y M b 2=1.命题得证．练习1 (2008高考数学安徽卷理科)设椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(√2,1)，且焦点为F 1(−√2,0)． (1)求椭圆的方程；(2)过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q 总在某定直线上． 答案 (1)x 24+y 22=1；(2)点Q 在直线2x +y −2=0上． 例2 已知椭圆x 29+y 24=1，过定点P(0,3)的直线与椭圆交于两点A,B (A,B 可以重合)，求PAPB的取值范围．解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PAPB =−λ．于是P (x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ)=(0,3)，于是x 1+λx 2=0,y 1+λy 2=3(1+λ) (1)又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 129+y 124=1,λ2x 229+λ2y 224=λ2,两式相减得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)9+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)4=1−λ2.(2)将(1)代入(2)中得到y 1−λy 2=43(1−λ).(3)由(1)(3)解得y 1=3(1+λ)+43(1−λ)2=136+56λ∈[−2,2].从而解得λ的取值范围为[−5,−15]，于是PAPB 的取值范围为[15,5]． 练习2 设D(0,16)，M,N 是椭圆x 225+y 216=1上的两个动点(可以重合)，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的取值范围． 答案 [35,53]．例3 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，直线PF 1,PF 2分别交椭圆于异于P 的点A 、B ，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2．证明 设P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则F 1(x 0+λx 11+λ,y 0+λy 11+λ),F 2(x 0+μx 21+μ,y 0+μy 21+μ).于是有x 0+λ x 1=−(1+λ )c,y 0+λ y 1=0;(4) x 0+μ x 2=(1+μ )c,y 0+μ y 2=0.(5)又由点P,A 在椭圆上得到x 02a2+y 02b 2=1,λ2x 12a 2+λ2y 12b 2=λ2,两式相减得(x 0+λx 1)(x 0−λx 1)a 2+(y 0+λy 1)(y 0−λy 1)b2=1−λ2.(6) 从而有 λx 1=a 2c(λ−1).结合(4)式可解得 2x 0=a 2c(λ−1)−c(1+λ).同理可得 x 0−μx 2=a 2c (1−μ).结合(5)式得到 x 0=a 2c(1−μ)+c(1+μ).于是有 a 2c (λ−1)−c(1+λ)=a 2c(1−μ)+c(1+μ).整理得λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2， 命题得证．练习3 已知过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 的直线交椭圆于A,B 两点，且有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点A 的坐标． 答案 A(0,±1)．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．。
“点差法”在解析几何题中的应用
三、 求直线 的斜率
【 例３ 】 已知椭圆螽＋昔一１ 上不同的三点
Ｂ瑚ｉ ｌ ＝ ｚ 】 Ｉ ｉ ｊ ｋ ＠１ ６ ３ ‘ ｃ ｏ ｍ
，
又 ｚ ｌ ＋ｚ ２ ＝２ ｘ， Ｙ １ ＋此 ＝ ２ ｙ，
’
． ．
即 Ｔ （ 嚣 ， ０ ） ，
９
。
—
ｚ＋ ４ 一 ０ ．
‘
０
［
。 弦中点轨迹 在 已知椭 圆内 ， ． ‘ ． 所 求弦 中点 的轨迹 方程为 ｚ ＋４ —Ｏ （ 在 已知椭 圆内） ． 二、 求曲线方程
２ ５＋ ９＝ Ｉ ＝ ＝ １ ， ② ：一
２ ５ （ ｙ １ ＋ ２ ）
，
２ ５。 ２ ２ ５ ｙ ｏ ‘
则等 ＋ 一１ ， ① 鲁＋ ２ 。 一１ ， ②
・
ｚ １ ｍＴ ２
二 ： ＝ ： 一 兰 ±垄 一一旦 ． 一一旦
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３ ２
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。 中点 Ｍ 在抛 物线 Ｙ ＝ｚ区域内
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Ｂ Ｃ所在直线方程为 Ｙ ＋４ 一一４ （ ｚ 一１ １ ） ，
。 ＜ 。 ， 即 （ 一 号 ） ＜ 专 ，
（ 责任编辑 黄桂 坚）
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解得一 而＜仇 ＜、 ／ ，
综上可知 ， 所求实数 ｍ的取值范围是（ 一 而 ， ４ Ｉ － ６ ） ．
四、 确定参数的范 围 【 例４ 】 若抛物线 Ｃ ： Ｙ 一 上存 在不 同的两点关于
直线 ｚ ： ｙ ＝ｍ（ ｘ －３ ） 对称 ， 求实数 优 的取值 范围． 解： 当 ｍ＝０ 时， 显然满足． 当 ｍｅ ＝ ０时 ， 设抛物线 Ｃ 上关 于直 线 ｚ ： ｙ ＝ｍ（ ｘ －３ ）
点差法求圆的轨迹
点差法求圆的轨迹
点差法是一种在数学中用于求圆的轨迹的方法。
它的基本原理是通过计算两个点之间的差异，来确定圆的轨迹。
具体来说，假设圆上有两个点，我们可以通过这两个点的坐标差异，来计算出圆心的坐标。
假设这两个点的坐标分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，那么圆心的坐标可以表示为：$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$。
通过这个公式，我们可以通过已知的两个点的坐标，来计算出圆心的坐标，从而确定圆的轨迹。
点差法在数学中应用广泛，尤其在解析几何中，可以用来求解圆的轨迹方程等问题。
需要注意的是，点差法的适用范围是有限的，对于一些复杂的问题，可能需要使用其他方法进行求解。
高中数学解析几何专题：解析几何中的设点技巧
解析几何中的设点法与应用1．两点式方程若),(11y x ，),(22y x 是直线上两定点，则过这两点的直线方程为：121121x x x x y y y y --=--.为使其更具有一般性，若将其化简为12211221)()(y x y x x y y y x x -=-+-①.①式的特征是右端出现了这两点的交叉轮换式，即二阶行列式，若①式表示过定点),(b a 的直线，则只需证明12211221)()(y x y x a y y b x x -=-+-恒成立即可.这样的话，在处理斜率问题时的关键就是构造出上述的轮换关系，单纯的斜率定义：不重合的两点),(),,(2211y x B y x A ，则1212x x y y k AB --=是难以直接构造的，所以我们需要利用斜率的点差法来构造，下面通过例子予以说明. 2.如何利用点差法构造轮换式1221y x y x ±例1.（2022新高考1卷）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ ∆的面积．解析：（1）设),(),,(2211y x Q y x P ，由点A Q P ,,都在双曲线C 上，得，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线AQ AP 、的斜率之和为0，即QA PA k k -=，所以，由得. ② 由得. ③ 12,1222222121=-=-y x y x 112222=-)1(22211111++=--=y x x y k PA )1(22212222++=--=y x x y k QA )1(22212211++-=--y x x y )422()1(221212121--+-=--+x x x x y y y y )1(22211122++=--y x x y )422()1(212211221--+-=--+x x x x y y y y由②-③，得，从而，即l 的斜率为1-.例2.（2020山东卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．解析：（1）由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.（2）设，依题意知， 因为，所以， 整理得 同理得 相减可得即直线MN 恒过定点. 又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP =．三．一般性推广设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的定点，AB 是椭圆上一条动弦，直线PB PA AB ,,的斜率分别为21,,k k k ；（1）若2221ab k k =，则有000,0x y k x -=≠，1221x x y y -=-12121-=--=x x y y k PQ ),(),,(2211y x B y x A 121212211-=--⋅--=⋅x y x y k k BM AM 212121222222-=-=++⋅--a b x y x y 212212211=++⋅--y x x y 2242212122112---+=-y y x x y x y x 2242221211221---+=-y y x x y x y x ),(31)(3212212112x x y y y x y x ---=-)31,32(-H（2）若2221ab k k ≠，则直线AB 过定点，（3）若021=+k k ，则有02020,0y a x b k y =≠，（4）若021≠+k k ，则直线AB 过定点.证明：此处用点代法证明结论（3），其余的类似证明，请读者自行尝试.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 在第一象限内有一点),(00y x P ，过点P 作两条倾斜角互补的直线PB PA ,分别交椭圆于另一点B A ,，则有02020,0y a x b k y =≠.解析 设),(),,(2211y x B y x A ，其中.所以依题意得，所以，从而 同理，有 两式相减，得所以，证毕.1222222221*********=+=+=+by a x b y a x b y a x 02022202020101220101,y y x x a b x x y y k y y x x a b x x y y k PB PA ++⋅-=--=++⋅-=--=PB PAk k -=0202220101y y x x a b x x y y ++⋅=--)()(202010212202010212x x x x x x x b y y y y y y y a --+=--+)()(201020212201020212x x x x x x x b y y y y y y y a --+=--+),()(21022102x x x b y y y a -=-02022121y a x b x x y y k AB =--=。
用点差法巧解圆锥曲线问题
用“点差法”巧解圆锥曲线问题江苏省高淳中等专业学校 喻国忠解析几何是高考的重点内容，而圆锥曲线又是解析几何的重点、难点知识。
这里面，直线与圆锥曲线的位置关系问题综合性强，涉及知识面较多，运算量大，题型灵活多变，常常是打击学生们学习兴趣的罪魁祸首。
直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题等，我们称之为圆锥曲线的“中点弦”问题。
解这类中点弦问题的常规做法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助根的判别式及韦达定理中根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算过程复杂，计算量偏大，解题效率低，尤其是对于基础较差、计算能力较弱的学生来说，很容易算错。
而使用“点差法”来进行求解中点弦问题，往往可以使解题过程化繁为简，优化解题过程，出奇制胜。
所谓“点差法”，就是在求解 “中点弦”问题时用到的一种“代点作差”的解题方法，其特点是代点作差后可巧代直线斜率和中点坐标，进而通过“设而不求”以达到减少计算量的目的。
使用“点差法”时，一般分三个步骤进行：设点、作差、检验。
下面试举几例，感受“点差法”在解题过程中的妙用。
例1．求以椭圆22185x y +=内的一点A(2,-1)为中点的弦所在的直线方程。
解法一：当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为1(2)y k x +=-，它与椭圆的交点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，则221(2)185y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(85)16(21)8[(21)5]0k x k k x k +-+++-=12216(21)85k k x x k +∴+=+ ，A 2-1又（，）MN 为弦的中点，124x x ∴+=，即216(21)=485k k k ++，54k ∴=，从而直线方程为54140x y --=。
解法二：当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为1(2)y k x +=-，它与椭圆的交点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2211222258405840x y x y ⎧+=⎨+=⎩ (1)(2)，(2)(1)-得222221215()8()0x x y y -+-=， A 2-1又（，）MN 为弦的中点，124x x ∴+=，122y y +=-，2121205=164y y x x -∴=-，即54k =，从而直线方程为54140x y --=。
中学数学解析几何点差法椭圆中点问题
一道椭圆客观题的变式探索过点M （1，1）作斜率为﹣12的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 分析：利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣12，即可求出椭圆C 的离心率． 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221122 1.x y a b +=，222222 1.x y a b+=，∵过点M （1，1）作斜率为﹣12的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得22212().02a b +-=，a ∴=∴c b ==，∴2c e a ==．故答案为：2． 点评：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况．结论：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，点P （x 0，y 0）是弦MN 中点，弦MN 所在的直线l 的斜率是MN K ,则有：MN K .2020y b x a=-.变式一：已知直线与椭圆22194x y +=交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．则1202x x x +=，1202y y y +=， 21121y y k x x -=-，020y k x =，∴2211 1.94x y +=2222 1.94x y +=两式作差并化简得∴121212129()()()()04x x x x y y y y +-++-=∴001922.04x y k +⨯=，∴12904k k +=，∴k 1k 2=﹣94．故答案为：94- 点评：本题考查了“平方差法”、设而不求，以及线段中点坐标公式、斜率计算公式的应用，属于中档题．如果知道上面的结论可以直接求解即可。
“点差法”在平面解析几何中应用举例
“点差法”在平面解析几何中的应用举例摘要:平面解析几何是高中数学的重要部分，是高考的必考知识点，不但历年高考解答题必考，选择填空题也考查，所以高考所占分值比重大。
运算能力是数学学科素养的基本能力.在平面解析几何题中要用到大量的代数运算，特别是圆锥曲线的二次方程相对于直线一次方程来说计算难度明显加大，简化计算，提高运算水平，提升数学核心素养势在必行。
关键词: 点差法;核心素养；高中数学数学核心素养是数学学习者在学习数学时所应达到的综合性能力,运算能力是数学学科素养的基本能力.在平面解析几何题中要用到大量的代数运算，运算是平面解析几何学习中的难点。
繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题.特别是圆锥曲线由于运算量大、思维量大、推导烦琐,学生经常望题兴叹,甚至自动放弃.其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的。
“点差法”常用来解决平面解释几何有关中点弦，参数，对称等方面的问题，出奇制胜，简化解题过程。
“点差法”就是设点，作差二个步骤:若设直线与曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种设点（设而不求）代入再作差的方法为“点差法”．本文就点差法公式在平面解析几何中应用举例说明，做一些粗浅的探讨.一．求弦中点的坐标．例1．已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标．解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则210=x 12021==+x x x ， 0212y y y =+又 125752121=+xy ，125752222=+x y两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴212123y x x y y -=--32121=--=x x y y k ∴ 3230=-y ，即210-=y∴点M 的坐标为)21,21(-.二．求中点弦所在的直线方程例2 已知椭圆221164x y +=，求以点P ()2,1-为中点的弦所在的直线方程． 解析：设所求直线与椭圆相交于()()1122,,,A x y B x y ，把A ，B 的坐标代入椭圆方程并相减得12121212()()4()()0x x x x y y y y -++-+=，又因为点P 为弦AB 的中点，则12124,2x x y y +=+=-，从而得到12k =，∴所求直线方程为240x y --=． 例3．已知直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的坐标为 ．解析：设()()1122,,,A x y B x y ，由224x y y x-=⎧⎨=⎩得2480y y --=，从而1212124,48y y x x y y +=+=++=，因此，线段AB 的中点的坐标为()4,2例4双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. 12-=x yB. 22-=x yC. 32-=x yD. 32+=x y 【解析】设弦的两端分别为()()1,12,2,A x y B x y .则有：()()222222111212121222121222101x y y y x x x x y y x x y y x y ⎧-=-+⇒---=⇒=⎨-+-=⎩.∵弦中点为（2，1），∴121242x x y y +=⎧⎨+=⎩.故直线的斜率121212122y y x xk x x y y -+===-+. 则所求直线方程为：()12223y x y x -=-⇒=-，故选C.三．求弦的中点的轨迹方程例5 已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
设而不求“点差法”在解析几何中的应用
设而不求“点差法”在解析几何中的应用作者：李义军来源：《中国科技博览》2019年第06期中图分类号：TP3-4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）06-0001-04直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重点内容，也是高考重点考查的内容之一，该类题型难度较大，相对具有一定的综合性，涉及知识面较多，运算量大，题型灵活多变等特点。
直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题等，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，其运算过程复杂，解题效率低。
而解圆锥曲线的中点弦问题的巧妙方法是用“点差法”来进行求解，利用该方法可以达到“设而不求”的目的，使解题过程化繁为简，出奇制胜的效果，优化解题过程。
在直线和圆锥曲线的题目中，涉及弦的中点有关的问题时，常用“点差法”来处理，即设直线与圆锥曲线的交点（弦的两个端点）坐标为，，弦AB中点为，将这两点坐标代人圆锥曲线的方程，两式相减后分解因式，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，我们称这种代点作差的方法为“点差法”，具体地：⑴与直线l相交于，两点，设弦AB中点为，有，，又两点在椭圆上，则，，两式相减得，于是，所以，即；⑵与直线l相交于，两点，设弦AB中点为，则有，即；⑶与直线l相交于，两点，设弦AB中点为，则有，即。
下面主要从4个方面举例说明“点差法”的应用。
1. 求曲线方程例1.（2013课标Ⅰ理）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A、B两点。
若AB的中点坐标为，求椭圆E的方程。
解：与直线l相交于，两点，则有，，①②①-②得，∴ = = = ，又 = = ，∴ = ，又9= = ，解得 =9， =18，∴椭圆方程为。
点评：本题利用“点差法”，建立直线AB的斜率与弦AB的中点坐标之间的关系，得出a、b的一个关系，再根据椭圆方程中的关系得出方程组从而求出a、b。
专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步
专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步 【微点综述】在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”．相比于传统的点差法，定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．本文在定比分点的基础上，分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来，并例举该法在几类解析几何问题中的初步应用，全面系统地介绍了“定比点差法”．在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的概念． 一、定比分点若AP PB λ=，则称点P 为点,A B 的λ定比分点．若0λ>，点P 在线段AB 上，此时称点P 为内分点；若0λ<，点P 在线段AB 的延长线上，此时称点P 为外分点．①点在线段AB 上（()0,1APPBλ=∈） ①点在线段AB 的延长线上（(),1APPBλ=∈-∞-）①点在线段AB 的反向延长线上（()1,0APPBλ=∈-） 补充定义：当1λ=-时，对应的定比分点可以认为是无穷远点. 二、定比点差法原理1．线段定比分点向量公式及坐标公式已知AP PB λ=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,,111x x y y OA OB OP P λλλλλλ+++⎛⎫= ⎪+++⎝⎭．证明：证法一：设()00,P x y ，()1212,,,,111x x y y OA OB AP PB OP OA OB OP OP P λλλλλλλλ+++⎛⎫=∴-=-∴=∴ ⎪+++⎝⎭.证法二：设()00,P x y ，则()()01010202,,,AP x x y y BP x x y y λλ=--=--，利用对应坐标相等即可推出1212,11,1OA OB O x x y y P P λλλλλλ++⎛⎫⎪+⎭+=+∴+⎝． 2．“定比点差法”的由来（1）若点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ+-+=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅+-⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅--+=①（和定比分点坐标公式形式保持一致）． （2）若点()()1122,,,A x y B x y 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ---=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅--⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅---=①． （3）若点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线()220y px p =>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2112222,2,y px y px ⎧=⎨=⎩于是有()222212122y y p x x λλ-=-，变形得121212121111y y y y x x x x p λλλλλλλλ+-+-⎛⎫⋅=+ ⎪+-++⎝⎭，即12120011y y x x y p x λλλλ--⎛⎫⋅=+ ⎪-+⎝⎭①． 说明：1.上述表达式①、①、①的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看出， 该法是“点差法”的更一般的推广而已，当1λ=时，“定比点差法”即为“点差法”． 2.上述表达式①、①、①的形式与()00000022221,1,x x y y x x y yy y p x x a b a b+=-==+的形式是一致的，因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理. 三、定比点差对称轴轴上点公式对于过轴上的定点(),0m 或()0,m 直线和圆锥曲线相交，一般可以都可以尝试利用定比点差法进行求解，而且会比常规的韦达定理法要简洁很多！下面给出常用的几个公式.过定点(),0M m 的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，设()11,,AM MB A x y λ=，()22,B x y ，则有①截距对偶公式：1221212,1,1x x m x x a m y y λλλλλ+⎧=⎪+⎪-⎪=⎨-⎪⎪⎪=-⎩；①坐标公式：221222122,2,a a x m m m m a m a m x m m y yλλλ⎧⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-⎨=++⎪⎪⎪⎪=-⎩； ①拓展公式之1212,x x y y ：44221222224221222112,412.4a a x x m m m m b a a y y m m a m m λλλλ⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎢⎥=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩四、定比点差法的应用（一）应用定比点差法求点的坐标 例1．已知12,F F 分别是椭圆2213x y +=的左右焦点，点,A B 在椭圆上，且125F A F B =，则点A 的坐标是 ． 【答案】()0,1±【解析】如图，延长1AF 交椭圆于点C ，由对称性得12CF F B =，则115AF FC =． 设()()1122,,,A x y C x y ，则1212155,66x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()1,0F，1212550.x x y y ⎧+=-⎪∴⎨+=⎪⎩由点,A C 在椭圆上，则2211222233,257575,x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 于是有()()()()121212125535572x x x x y y y y +-++-=-，即)1212572,5x x x x --=-∴-=125x x +=-110,1x y =∴=±，则()0,1A ±．【评注】由向量数乘的几何意义知1F A //2F B 且125F A F B =，考虑到椭圆的中心对称性，可以延长1AF 交椭圆于点C ，得到12FC F B =，从而得到2,,A F C三点共线，且115AF FC =，于是定点1F 为焦点弦AC 的定比分点，自然想到使用定比点差法．（二）应用定比点差法求离心率例2．已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l 、2l 分别与椭圆E 交于,A C 和,B D 两点，且满足AM MC λ=，BM MD λ=（其中0λ>且1λ≠），若λ变化时直线AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】D【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由AM MC λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--，据此可得：131322{1x x y y λλλλ+=++=+，同理可得：242422{1x x y y λλλλ+=++=+，则：()()()()1234123441{21x x x x y y y y λλλλ+++=++++=+，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程做差可得：2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+， 即：()()222121212212122x x b a y y b x x a y y +-=-⨯⇒+=++，同理可得：()()2234342a y y b x x +=+，两式相加可得()()()()22123412342a y y y y b x x x x ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，故：()()()()1234123421y y y y x x x x λλ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，据此可得：22221a b e =⇒=【评注】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ①只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．例3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过其左焦点F,A B两点，若2AF FB =，求椭圆的离心率．【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2AF FB =得121222,33x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，由(),0F c -得121223,20.x x c y y +=-⎧⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，则2222221122222222,444,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()22221212121222223b x x x x a y y y y a b +-++-=-，()22221212323,2a b c x x a b x x c∴--=-∴-=，联立1223x x c +=-，得22132a c x c -=，又111y y x c ∴=+2222222232a c b a a b c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422441390a a c c -+=，两边都除以4c ，得4291340e e -+=，解得23e =或1e =，又201,3e e <<∴=． 【评注】处理焦点弦问题时，相较于联立直线与曲线方程法，定比点差法运算量小，过程简洁．（三）应用定比点差法求直线方程例4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2，过点2F 作直线与椭圆C 相交于,A B 两点，且①1ABF的周长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24AB F A =，求直线AB 的方程．【解析】（1）由已知可得22,4c a ==222a c b -=，解得1,a b ==∴所求的椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由24AB F A =，得2213AF F B =．设()()1122,,,A x y B x y ，得1212233,44x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()21,0F ，121234,30.x x y y +=⎧∴⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，得2211222291818,22,x y x y ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()()1212121212123323316,4316,34x x x x y y y y x x x x +-++-=∴-=∴-=，联立1234x x +=，解得143x =，又221191818x y +=，解得21141,,,1,333AF y A k ⎛⎫=±∴±∴=±∴⎪⎝⎭直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+．【评注】由平面向量共线定理及向量数乘的几何意义，得2213AF F B =，自然考虑定比点差法（四）应用定比点差法求弦长例5．已知斜率为32的直线l 与抛物线23y x =的交于,A B 两点，与x 轴交于点P ，若3AP PB =，求AB ．【解析】设()()()()112200,,,,,00A x y B x y P x x >，由3AP PB =，得121233,44x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，则由1201234,30.x x x y y +=⎧⎨+=⎩点,A B 在抛物线上，则2112223,927,y x y x ⎧=⎨=⎩于是有()()()1212123339y y y y x x +-=-，则1290x x -=，联立12034x x x +=，得103x x =，又11032y x x =-，则103y x =，由22110001043,99,1,,3y x x x x AP x AB AP =∴=∴=∴=-=∴== 【评注】由已知条件3AP PB =可知该题可使用定比点差法，得到点A 的横坐标103x x =，再利用32AP k =，得到103y y =，利用抛物线方程得到01x =，求出AP ，最后由43AB AP=得出答案．例6．（2022·上海徐汇·三模）已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>焦距为⎭，斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点A ､B ． （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，AB 的最大值；（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ､D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线，求实数k 的值．【答案】（1）2213x y +=；（2；（3）2.【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到12AB x =-=m 的取值范围，求出最大值；（3）设出直线方程，表达出,C D 两点坐标，由Q ､C ､D 三点共线得到方程，化简后得到12122y y k x x -==-． 【解析】（1）由题意得：焦距为2222c a b ==-，点坐标⎭代入椭圆方程得：222113a b +=， 222221132a b a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：23a =，21b =， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得2246330x mx m ++-=，则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m =时，max ABAB ． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y +=①，222233x y +=①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 由1112y k x =+，及①221133y x =-，代入可得13171247x x x --=+， 又3111322y y k x x ==++，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,， 同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,．故3371,42QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，4471,42QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为Q ､C ､D 三点共线，所以3443717104242x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．将点C ，D 的坐标代入，通分化简得22112424y x y x -=-，即12122y y k x x -==-． 【评注】处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数． 例7.（2022·山西太原·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点)P，离心率为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点M （4，1）的动直线与椭圆C 相交于不同的两点A ，B 时，在线段AB 上取点N ，满足MB A N M N B A λλ=-=，求线段PN 长的最小值．【答案】（1）22142x y +=；（2. 【分析】（1）由椭圆的几何性质列方程组求解；（2）由定比分点公式化简得N 点轨迹方程，由点到直线距离公式求解.【解析】（1）根据题意，22211c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2242a b ==，，椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），N （x ，y ）， 由λλAM MB AN NB =-=，，得 12121212λλ41λ1λλλ11λ1λx x x x x y y y y y -+⎧⎧==⎪⎪⎪⎪-+⎨⎨-+⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩，，①222222121222λλ41λ1λx x y y x y --==--，， 又222211222424x y x y +=+=，，①2244λ4241λx y -+==-，①点N 在直线220x y +-=上，①PN ===最小．【总结】定比点差法，实际上是直线参数方程的变异形式，核心思想是“设而不求”．它是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，代点、扩乘、作差，解决相应的圆锥曲线问题，尤其是遇到定点、成比例等条件时，定比点差法有独特的优势． 【针对训练】（2018年高考浙江卷）1．已知点P (0，1)，椭圆224x y m += (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),P a b 为椭圆外一点，斜率为12-的直线与椭圆交于A ，B 两点，过点P 作直线PA ，PB 分别交椭圆于C ，D 两点．当直线CD 的斜率为12-时，此椭圆的离心率为______．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过椭圆的左焦点Fl 与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．（2022·吉林市教育学院模拟预测）4．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点F ．(1)求抛物线1C 的方程及a ；(2)已知O 为坐标原点，过点(1,1)M 的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，若=AM mMB ，点N 满足=-AN mNB ，且||ON 最小值为125，求椭圆2C 的离心率． （2022·山东济南·二模）5．已知椭圆C 的焦点坐标为()11,0F -和()21,0F ，且椭圆经过点31,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若()1,1T ，椭圆C 上四点M ，N ，P ，Q 满足3MT TQ =，3NT TP =，求直线MN 的斜率.（2022·重庆南开中学模拟预测） 6．已知0a b>>，直线l 过椭圆22122:1x y C a b+=的右焦点F 且与椭圆1C 交于A 、B 两点，l 与双曲线22222:1x y C a b-=的两条渐近线1l 、2l 分别交于M 、N 两点．(1)若OF =l x ⊥轴时，①MON 的面积为32，求双曲线2C 的方程；(2)如图所示，若椭圆1C 的离心率e =1l l ⊥且()0FA AN λλ=>，求实数λ的值． （2022云南红河·模拟预测）7．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是以原点O 为圆心，半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心，半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ，作MD x ⊥轴于点D ，作NQ MD ⊥于点Q .(1)令MOD α∠=，若4a =，1b =，3πα=，求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(3)设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正负半轴分别交于点1B ，2B ，若点E ､F 分别满足3AE OE =-，243AF OB =，证明直线1B E 和2B F 的交点K 在曲线C 上.（2022重庆·模拟预测）8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，其中A 点在第一象限内，射线AF ，BF 与椭圆C 的交点分别为M ，N . （1）若AF FM =，2BF FN =，求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍，求椭圆C 的方程. （2022·全国·高三专题练习）9．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （①）求椭圆M 的方程； （①）若1k =，求||AB 的最大值；（①）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .参考答案：1．5【分析】方法一：先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出. 【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=- 因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+= 22224(23)4x y m ∴+-=，即22223()424x m y +-=，与22224x y m +=相减得：234m y +=，所以，()222211(109)54444x m m m =--+=--+≤，当且仅当5m =时取最等号，即5m =时，点B横坐标的绝对值最大. 故答案为：5．［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理由条件知直线AB 的斜率存在，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立221,,4y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22418440k x kx m +++-=，根据韦达定理得122841k x x k +=-+，由2AP PB =知122x x =-，代入上式解得22841kx k =+，所以228||821414||||k x k k k ==≤=++．此时214k =，又21222442841m x x x k -==-=-+，解得5m =． ［方法三］：直线的参数方程+基本不等式设直线AB 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩其中t 为参数，α为直线AB 的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得()2213sin 8sin 440t t m αα+++-=，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则122t t =-．由韦达定理知1212228sin 44,13sin 13sin m t t t t ααα-+=-=++，解得228sin 13sin t αα=+，所以()222222222222222222cos 4sin 64sin cos cos 4sin 13sin 13sin cos 1616413sin 13sin 213sin x t αααααααααααα⎛⎫+ ⎪++===⨯⋅≤⨯= ⎪+++ ⎪⎪⎝⎭，此时22cos 4sin αα=，即222241cos ,sin ,555t αα===，代入12122442,13sin m t t t t α-=-=+，解得5m =．［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质设()()1122,,,A x y B x y ，因为2AP PB =，所以()()1122,12,1x y x y --=-． 即122x x =- ①，1223y y += ①，又因为22221212,44x x y m y m +=+=，所以222144x y m +=．不妨设20y >，因此12y y ==①式可得(223=．化简整理得22224109(5)16xm m m =-+-=--+．由此可知，当5m =时，上式有最大值16，即点B 横坐标的绝对值有最大值2． 所以5m =．［方法五］：【最优解】仿射变换如图1，作如下仿射变换112x x y y =⎧⎨=⎩，则2211(1)x y m m +=>为一个圆．根据仿射变换的性质，点B 的横坐标的绝对值最大，等价于点1B 的横坐标的绝对值最大，则11cos 2||cos 2||sin cos B x PB POM PM POM OP POM POM =∠=∠=∠∠||sin2||OP POM OP =⋅∠≤．当π4POM ∠=时等号成立，根据||1OP =易得1OB =5m =． ［方法六］：中点弦性质的应用设()22,B x y ，由2AP PB =可知()22,232A x y --，则AB 中点223,22x y M -⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为22AB CM b k k a ⋅=-，所以22223114y y x x --⋅=-，整理得()2222214x y +-=，由于22x ≤，则2max 2x =时，22y =，所以4454m =+=．【整体点评】方法一：由题意中点,A B 的坐标关系，以及点差法可求出点B 的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出；方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点B 的横坐标，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点B 的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解；方法四：利用题目条件硬算求出点B 的横坐标，再根据二次函数的性质解出；方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解；方法六：利用中点弦的性质找出点B 的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点B 的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法． 2【分析】由题意，不妨设直线AB 过原点O ，则 //CD AB ，设CD 及中点的坐M 标，再利用点差法求出OM 和CD 斜率的关系，然后根据O ，M ，P 三点共线，求出a ，b 的关系即可. 【详解】如图所示：设直线AB 过原点O ，由题意得 //CD AB ， 设()()1122,,,C x y D x y ，CD 的中点为()00,M x y ，则012012y y y x x x +=+， 因为C ，D 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2201212221212012x y y x x b b x x a y y a y -+=-⋅=-⋅=--+， 所以20202OMy b k x a==， 因为O ，M ，P 三点共线， 所以OM OP bk k a==， 即222b b a a=，解得12b a =，所以c e a ===，【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 3．23【分析】利用点差法，设()11,A x y 、()22,B x y ，代入椭圆方程中，变形后作差，由2AF FB =可得1223x x c +=-，1220y y +=，从而可得2122a x x c-=，求出点A 的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率【详解】因为2AF FB =，设()11,A x y 、()22,B x y ，2211222222221444x y a b x y a b ⎧+=⋅⋅⋅⎪⎪⎨⎪+=⋅⋅⋅⎪⎩①② ①-①得：()()()()121212122222223x x x x y y y y a b +-+-+=-，1223x x c +=-，1220y y +=， 则2122a x x c-=，得222113322a a c x c c c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，①11y x c =+，①22132a c y c c ⎫-=+=⎪⎭，将A 代入椭圆方程 整理得：422241390a a c c -+=，所以2249a c =或22a c =（舍） 故23c e a ==． 4．(1)28y x =；2a = (2)12【分析】(1)由条件列方程求p ，由此可得抛物线方程及其焦点坐标，再由条件求a ，(2)联立方程组，利用设而不求法结合条件求出点N 的轨迹，列方程求b ，由此可得离心率.【详解】（1）抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4可得4p =抛物线1C 的方程：28y x =椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的右顶点为(2,0)F ， 所以2a =．（2）①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()()()1122001(1),,,,,,-=-y k x A x y B x y N x y 由()222141x y b y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩得()2222248(1)4(1)40++-+--=b k x k k x k b ， ()222163210∆=+-+>b k k b22121222228(1)4(1)4,44---+=-=++k k k b x x x x b k b k①,==-AM mMB AN mNB①()()12012011,-=--=--x m x x x m x x ，即①10122011--=---x x xx x x ①()212120212244424-++-==+-+x x x x k b x x x k b ，①()22004144-+=-k x b x b又①()0011-=-y k x①()22004144-+=-y b x b ，即①2200440+-=b x y b①N 点轨迹为直线22440+-=b x y b①当直线AB 斜率不存在时，经检验点231,4⎛⎫⎪⎝⎭b N 在直线22440+-=b x y b 上． ①N 点轨迹方程为22440+-=b x y b||ON 最小值即点O 到直线22440+-=b x y b 的距离2125=，即23b = 椭圆2C的离心率为12c e a ==．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 5．(1)22143x y +=(2)34-【分析】（1）根据题意得到c =1，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程求解；（2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ，由3MT TQ =得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，得到()()111122143x y -+-=，同理得()()331122143x y -+-=，两式相减求解. 【详解】（1）解：由题意可知，c =1，设椭圆方程为222211x y a a +=-，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得()()224410a a --=，解得214a =（舍），24a =， 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ， 因为3MT TQ =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，即12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，所以2211143x y +=，2211441114333x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()221122111431144943x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩①②，①-①得()()1111424424843x y -⋅+-⋅=， 即()()111122143x y -+-=……①， 又3NT TP =，同理得()()331122143x y -+-=……① ①-①得()()131311043x x y y -+-=， 所以1313134143MNy y k x x --===--.6．(1)2214x y -=；(2)λ=【分析】（1）由题设可得F、||MN =2a b =，由椭圆参数关系求a 、b ，即可写出双曲线方程.（2）由椭圆离心率可得a =，进而可得双曲线渐近线，假设1:b l y x x a ==，写出2l 、l 方程，联立求N 坐标，由向量的数量关系及向量坐标表示求A 坐标，根据A 在椭圆上求λ值.【详解】（1）由题设F ，且双曲线22222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±，当l x ⊥轴时，||MN =OF ①MON 的面积为32，所以13||||22OF MN ⋅=，故2a b =，而2223a b c -==，可得224,1a b ==，所以双曲线2C 的方程为2214x y -=.（2）对于椭圆有c e a ==，而222a c b -=，则a =，不妨假设1:b l y x a =，则2:b l y x a =-=且l为)y x c =-，所以(2,)N c ，又(c,0)F ，()0FA AN λλ=>，令(,)A x y，则(,),(2,)FA x c y AN c x y =-=--，故(2))x c c x y y λλ-=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，所以211x c y λλ+⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩，而A 在椭圆22122:12x y C c c +=上，则2222222(21)2(21)412(1)(1)2(1)λλλλλλλ++++==+++，整理得261λ=，综上，可得λ=. 7．(1)2,Q ⎛± ⎝⎭ (2)()222210x y a b a b+=>> (3)证明见解析【分析】（1）根据数形结合直接可得点Q 坐标；（2）由题意列出点Q 轨迹的参数方程，进而可得点Q 轨迹的普通方程； （3）由题意写出直线1B E 和2B F 方程，进而可得交点K 的坐标，进而得证.【详解】（1）解：设(),Q x y，则由题知4cos 23sin 3M Nx x y y ππ==±=±=⎧⎪⎪⎨=±=⎪⎪⎩因此2,Q ⎛± ⎝⎭； （2）解：设MOD α∠=及(),Q x y ，则由题知cos sin x a y b αα=±⎧⎨=±⎩，则点Q 的轨迹C 为椭圆，方程为：()222210x y a b a b+=>>；（3）设(),K x y ，由知，()10,B b ，,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()20,B b -，3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1:14B E x yl a b +=，即4bx ay ab +=， 2:34B F y b xl a b b +=-+，即44bx ay ab -=， 联列上述直线方程，解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222222281511717x y a b 2+=+=，因此交点K 在椭圆C 上. 8．（1）22154x y +=；（2）22132x y +=. 【分析】（1）由AF FM =结合椭圆的对称性知AM x ⊥轴，从而得出点,,A B M 的坐标，再由2BF FN =得出点N 的坐标，代入椭圆方程可得答案.（2）设()00,A x y ，()00,B x y --，设FM AF λ=，FN BF μ=，表示出点M N ，的坐标，代入椭圆方程，结合点,A B 在椭圆上分别得到0x 与,λμ的式子，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得0x 关于,λμ的式子，从而可得答案.【详解】解：（1）由AF FM =，根据椭圆的对称性知AM x ⊥轴，AM 过右焦点()1,0F所以21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()21,2N N b BF FN x y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，，，由2BF FN =，可得()22212N Nx b y a⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得22,2b N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得42224114b a b a +⋅=，解得22164b a +=，所以221164a a -+=，即25a =，所以2224b a c =-=，故椭圆方程为22154x y +=； （2）设()00,A x y ，()00,B x y --，令()00=1,FM AF x y λλ=--，则()001,M x y λλλ+--，代入椭圆方程得()()22002211x y a b λλλ+--+=，即()()22222000221211x x y a bλλλλλ+-+++=，又2200221x y a b +=，所以()()20221211x a λλλλ+-++=，化简得到()()20121x a λλλ+-=- ① 同理：令FN BF μ=，同理解得()001,N x y μμμ++，代入椭圆方程同理可得()()20121x a μμμ++=- ①由题知()()()()000000211M N M N y y y y yx x x x x λμλλμμ---==⋅-+--++，解得()()02x λμλμ+=-，①①-①得()()()202x a λμλμμλ--+=-，将①式代入得()()()24a λμλμμλ---=-，故23a =，故椭圆方程为22132x y +=. 【点睛】关键点睛：本题考查向量在椭圆中的应用以及直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是设FM AF λ=，得出()001,M x y λλλ+--代入椭圆方程可得()()20121x a λλλ+-=-，同理设FN BF μ=，可得()()20121x a μμμ++=-，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得()()02x λμλμ+=-，联立可得解，属于难题. 9．（①）2213x y +=；（①；（①）1.【分析】（①）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（①）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（①）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（①）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=； （①）设直线AB 的方程为y x m =+， 由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m=时，max ||ABAB ；（①）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 将点,C D 的坐标代入化简可得12121y yx x -=-，即1k =．【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x-变形为||AB =，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。
定比点差法妙解解析几何问题
定比点差法妙解解析几何问题
虞哲骏
【期刊名称】《中学数学教学》
【年(卷),期】2022()3
【摘要】点差法在处理中点问题的时侯往往能够大大简化计算,它是每一个学生都必须掌握的一个方法.但在实际解题过程中我们碰到的往往都不是线段AB的中点这么筒单,但是只要是同一条直线上的点都可以利用向量的比例来求得它们的坐标关系,这类问题称之为定比分点问题.作为处理定比分点问题的主要方法,点差法的升级版“定比点差法”便应运而生了.
【总页数】3页(P47-49)
【作者】虞哲骏
【作者单位】浙江省宁波市镇海中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.用“点差法”妙解圆锥曲线“中点弦”的问题
2.慎用“点差法”解解析几何综合题
3.巧用点的坐标差，妙解解析几何题
4.例谈"定比点差法"在解几问题中的应用
5.例谈“定比点差法”在解析几何问题中的应用
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“点差法”在解析几何题中的应用
东北师大附属中学 2012.6.1 朱屿
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程
例1
已知椭圆2
212
x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .
则22
1112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得：
()22
22121202x x y y -+-=， ()1212
1212
02x x y y y y x x +-∴
++=-. 又12
121212
2,2,
2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.
弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在
已知椭圆内）.
例2
直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()
2
:1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .
解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=
.
()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5
1
AB MN y k k x +∴==-. 又()2
111y x =+，（1）()2
221y x =+，（2）
()()12-得：()
()()()2
2
12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，
12
1212
2AB y y k x x x x -∴=
=++-. 于是
5
221
y x x +=+-，即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内，
∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）. 2 求曲线方程
例3
已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，
且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.
解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则
A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是
022812
82012
x y +⎧=⎪⎪+⎨
+⎪=⎪⎩+， 解得0011
4
x y =⎧⎨=-⎩，()11,4M ∴-.
设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又21132y x =，（1）22232y x =，（2）
()()12-得：()22121232y y x x -=-，
1212123232
48
BC y y k x x y y -∴====--+-.
BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=. 例4
已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的一条准线方程是1x =，有一
条倾斜角为4π的直线交椭圆于A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，求椭圆方程.
解 设()()1122,,A x y B x y 、，则12121
1,2x x y y +=-+=，且2211221x y a b +=，
（1）2222221x y a b +=，（2）()()12-得：2222121222
x x y y a b --=-，
()()2212122212121
12
b x x y y b x x a y y a +--∴=-=-⋅-+，21221221AB y y b k x x a
-∴===-，222a b ∴=，（3）又2
1a c
=，2a c ∴=，（4） 而222a b c =+，（5）由（3），（4），（5）可得2211
,24a b ==，
∴所求椭圆方程为22
11124
x y +=.
3 求直线的斜率
例5
已
知
椭
圆
22
1259
x y +=上不同的三点
()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫
⎪⎝⎭与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：
128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的
斜率k .
（1）证 略.
（2）解
128x x +=，∴设线段AC 的中点为()04,D y .
又A C 、在椭圆上，∴22111259x y +=，（1）22
221259x y +=，（2） ()()12-得：
22221212259
x x y y --=-， ()()1212121200
99836
2525225x x y y x x y y y y +-∴
=-=-⋅=-
-+. ∴直线DT 的斜率0
2536
DT y k =
，∴直线DT 的方程为()0025436y y y x -=
-.令0y =，得64
25x =，即64,025T ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴直线BT 的斜率90
5
5644425k -==-
.
4 确定参数的范围
例6 若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数m 的取值范围.
解 当0m =时，显然满足.
当0m ≠时，设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为
()()1122,,P x y Q x y 、，
且PQ 的中点为()00,M x y ，则211y x =，（1）222y x =，（2）()()12-得：221212y y x x -=-，1212120
11
2PQ y y k x x y y y -∴=
==-+， 又1PQ k m =-
，02
m y ∴=-
. 中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上，()003y m x ∴=-，于是
05
2x =
.中点M 在抛物线2y x =区域内 2
00y x ∴<，即2
522m ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，解得m <<综上可知，所求实数m
的取值范围是(. 5 证明定值问题
例7
已知AB 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>不垂直于x 轴的任意一
条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明
设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，
则2211221x y a b +=，（1）22
22221x y a b +=，（2） ()()12-得：2222
121222x x y y a b
--=-，
()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()21212
21212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP
y y k x x +=+，221
AB OP
b k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）.
6 处理存在性问题
例8
已知双曲线22
112
x y -
=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
解 假设这样的直线存在，设,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则
122x x +=，122y y +=，又2211112x y -
=，
（1）22221
12x y -=，（2） ()()
12-得：()()()()121212121
02
x x x x y y y y +--+-=， ∴()()121220x x y y ---=
PQ ∴的斜率 12
12
2y y k x x -=
=-
又直线l 过,,P Q B 三点，l ∴的方程为 ()121y x -=-，即21y x =-.
但若将21y x =-代入22
112
x y -
=整理得方程22430x x -+=，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.。