2016-2017年辽宁省重点高中协作校高一(上)期中数学试卷及参考答案
辽宁省沈阳市重点高中协作校高一数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=( )A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．幂函数f（x）的图象过点（4，），那么f﹣1（8）的值是( )A．B．64 C．D．23．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+1在（﹣∞，2]上是单调递减的，则a的取值范围是( ) A．a≥﹣1 B．a＞1 C．a＞2 D．a≤﹣14．已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为( )A．﹣1 B．C．﹣1或D．1或﹣5．下列各组函数中，表示同一函数的是…( )A．B．y=2lgx与y=lgx2C．D．y=x0与y=16．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．已知函数f（x）对任意的x1，x2∈（﹣1，0）都有，且函数y=f （x﹣1）是偶函数．则下列结论正确的是( )A．B．C．D．8．设a=20.3，b=（），c=log2，则a、b、c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a9．已知f（x）=ax5+bx3+cx+1（a≠0），若f=m，则f（﹣2014）=( )A．﹣m B．m C．0 D．2﹣m10．函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是( )A．（，） B．（，） C．（，1）D．（1，2）11．已知函数f（2x）的定义域[1，2]，则f（log2x）的定义域是( )A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16]12．函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是( )A．（0，1）B．（1，3）C．（1，3] D．[3，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|0＜x＜c}，若A∪B=B，则c的取值范围是__________．14．函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点__________．15．对于任意实数a，b，定义设函数f（x）=﹣x+3，g（x）=log2x，则函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是__________．16．若函数y=log a（ax2+3ax+2）的值域为R，则a的取值范围是__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）×（﹣3a b﹣1）÷（4a b﹣3）；（2）log3+lg4+lg25+62+（﹣2）0．18．已知集合A={x|x≤﹣3或x≥2}，B={x|1＜x＜5}，C={x|m﹣1≤x≤2m}（Ⅰ）求A∩B，（∁R A）∪B；（Ⅱ）若B∩C=C，求实数m的取值范围．19．设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．20．已知△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t），求函数f（t）的表达式．21．函数f（x）=x2﹣4x﹣4在区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）试写出g（x）的函数表达式；（2）求g（t）的最小值．22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求b的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0有解，求k的取值范围．2015-2016学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∩B）=( )A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={2}，由全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∩B）={1，3，4}．故选：A．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查．2．幂函数f（x）的图象过点（4，），那么f﹣1（8）的值是( )A．B．64 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；反函数．【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再根据反函数的概念令f（x）=8，求出x的值即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，其图象过点（4，），∴4α=，解得α=﹣，∴f（x）=；令f（x）=8，即=8，解得x=；即f﹣1（8）=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与反函数的关系与应用问题，是基础题目．3．若函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+1在（﹣∞，2]上是单调递减的，则a的取值范围是( ) A．a≥﹣1 B．a＞1 C．a＞2 D．a≤﹣1【考点】二次函数的性质；函数单调性的性质．【专题】数形结合法；函数的性质及应用．【分析】先求出二次函数的对称轴方程，再根据二次函数的图象和性质列出不等式求解．【解答】解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+1图象为抛物线，其对称轴方程为：x=1﹣a，且开口向上，要使函数在区间（﹣∞，2]上是单调递减的，结合函数图象知，对称轴x=1﹣a≥2，解得a≤﹣1，故选D．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，主要是单调性，体现了数形结合的解题思想，属于基础题．4．已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为( )A．﹣1 B．C．﹣1或D．1或﹣【考点】函数的值；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】本题考查的分段函数的求值问题，由函数解析式，我们可以先计算当x＞0时的a值，然后再计算当x≤0时的a值，最后综合即可．【解答】解：当x＞0时，log2x=，∴x=；当x≤0时，2x=，∴x=﹣1．则实数a的值为：﹣1或，故选C．【点评】分段函数求值问题分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，属于基础题．5．下列各组函数中，表示同一函数的是…( )A．B．y=2lgx与y=lgx2C．D．y=x0与y=1【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】常规题型．【分析】判断两函数的定义域和对应关系是否相同，若是则为同一函数，否则不是同一函数．【解答】解：B选项y=2lgx的定义域为（0，+∞），y=lgx2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域不同，所以不是同一函数．排除B．C选项，y=x+2的定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数．排除C．D选项y=x0的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），y=1的定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数．排除D．故选A．【点评】判断函数定义域时切记不要化简了再求！6．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．7．已知函数f（x）对任意的x1，x2∈（﹣1，0）都有，且函数y=f（x﹣1）是偶函数．则下列结论正确的是( )A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知条件即得f（x）在（﹣1，0）上单调递减，f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），所以f（）=f（﹣），而都在f（x）的单调递减区间上，所以可比较对应三个函数值的大小．【解答】解：由已知条件可知，f（x）在（﹣1，0）上单调递减；∵y=f（x﹣1）是偶函数；∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）；∴；∵f（x）在（﹣1，0）上单调递减，且；∴；即f（）＜f（﹣）＜f（﹣1）．故选D．【点评】考查单调递减函数的定义，以及偶函数的概念，根据函数单调性比较函数值的大小．8．设a=20.3，b=（），c=log2，则a、b、c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】比较三个数与“0”，“1”的大小关系，即可推出结果．【解答】解：a=20.3＞1，b=（）∈（0，1），c=log2＜0，可得c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，是基础题．9．已知f（x）=ax5+bx3+cx+1（a≠0），若f=m，则f（﹣2014）=( )A．﹣m B．m C．0 D．2﹣m【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f=m，可以得到20145a+20143b+2014c的值，然后把x=﹣2014代入所求代数式，整体代换20145a+20143b+2014c的值，即可求得f（﹣2014）的值．【解答】解：∵f（x）=ax5+bx3+cx+1，∵1f=20135a+20133b+2013c+7=24+1=m，∴20145a+20143b+2014c=m﹣1，∴f（﹣2014）=a×（﹣2013）5+b×（﹣2013）3+c×（﹣2013）+1=﹣+1=2﹣m，∴f（﹣2014）=2﹣m．故选：D．【点评】本题考查了求函数的值，解题的关键是利用“整体代入法”求函数的值，在整体代换的过程中运用了函数的奇偶性．属于基础题．10．函数f（x）=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是( )A．（，） B．（，） C．（，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增，f（1）=1，f（）=﹣1，可判断分析．【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣1+log2x，在（0，+∞）单调递增．∴f（1）=1，f（）=﹣1，∴根据函数的零点的判断方法得出：零点所在的一个区间是（），故选：C．【点评】本题考查了函数的性质，函数的零点的判断方法，属于容易题．11．已知函数f（2x）的定义域[1，2]，则f（log2x）的定义域是( )A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16]【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由函数f（2x）的定义域[1，2]，解得2≤2x≤4，由代换知，2≤log2x≤4求解即可．【解答】解：∵函数f（2x）的定义域[1，2]，∴2≤2x≤4∴2≤log2x≤44≤x≤16∴f（log2x）的定义域是[4，16]【点评】本题主要考查抽象函数的定义域，要注意理解应用定义域的定义，特别是代换之后的范围不变．12．函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是( )A．（0，1）B．（1，3）C．（1，3] D．[3，+∞）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则解得a∈（1，3）故选B【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|0＜x＜c}，若A∪B=B，则c的取值范围是[2，+∞）．【考点】并集及其运算；指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用；集合．【分析】求出集合A，利用并集的运算求解即可．【解答】解：集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={x|0＜x＜c}，A∪B=B，可得c≥2．c的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查集合的基本运算，对数不等式的解法，考查计算能力．14．函数f（x）=a x﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（1，3）．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】根据所有的指数函数过（0，1）点，函数f（x）=a x﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3，得到函数的图象过（1，3）【解答】解：根据指数函数过（0，1）点，∴函数f（x）=a x﹣1+2当指数x﹣1=0即x=1时，y=3∴函数的图象过（1，3）故答案为：（1，3）．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，本题解题的关键是知道指数函数过一个定点，与底数是什么没有关系．15．对于任意实数a，b，定义设函数f（x）=﹣x+3，g（x）=log2x，则函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是1．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】数形结合．【分析】分别作出函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g （x）=log2x的图象可知，在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=﹣x+3＜3，g（x）=log2x∈R，分别作出函数f（x）=﹣3+x 和g（x）=log2x的图象，结合函数f（x）=﹣3+x和g（x）=log2x的图象可知，h（x）=min{f（x），g（x）}的图象，在这两个函数的交点处函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值．解方程组得，∴函数h（x）=min{f（x），g（x）}的最大值是1．故答案是1．【点评】数形结合是求解这类问题的有效方法．16．若函数y=log a（ax2+3ax+2）的值域为R，则a的取值范围是[，1）∪（1，+∞）．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，从而解a的取值范围．【解答】解：∵y=log a（ax2+3ax+2）的值域为R，∴，解得，≤a＜1或a＞1，故答案为：[，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）×（﹣3a b﹣1）÷（4a b﹣3）；（2）log3+lg4+lg25+62+（﹣2）0．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．（2）利用对数、指数的性质、运算法则、换底公式求解．【解答】解：（1）×（﹣3a b﹣1）÷（4a b﹣3）=﹣×=﹣．（2）log3+lg4+lg25+62+（﹣2）0===．【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则、换底公式的合理运用．18．已知集合A={x|x≤﹣3或x≥2}，B={x|1＜x＜5}，C={x|m﹣1≤x≤2m}（Ⅰ）求A∩B，（∁R A）∪B；（Ⅱ）若B∩C=C，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】阅读型．【分析】（I）根据定义，进行集合的交、并、补集运算，可得答案；（II）分集合C=∅和C≠∅两种情况讨论m满足的条件，再综合．【解答】解：（Ⅰ）A∩B={x|2≤x＜5}，C R A={x|﹣3＜x＜2}，∴（C R A）∪B={x|﹣3＜x＜5}．（Ⅱ）∵B∩C=C，∴C⊆B，①当C=∅时，∴m﹣1＞2m⇒m＜﹣1；当C≠∅时，∴⇒2＜m＜，综上m的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，）．【点评】本题考查了集合的交集，并集，补集运算，考查了集合包含关系的应用，体现了数形结合思想．19．设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．【考点】函数的定义域及其求法；复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由f（1）=2即可求出a值，令可求出f（x）的定义域；（2）研究f（x）在区间[0，]上的单调性，由单调性可求出其最大值．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴log a（1+1）+log a（3﹣1）=log a4=2，解得a=2（a＞0，a≠1），由，得x∈（﹣1，3）．∴函数f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2（1+x）（3﹣x）=∴当x∈[0，1]时，f（x）是增函数；当x∈[1，]时，f（x）是减函数．所以函数f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2．【点评】对于函数定义域的求解及复合函数单调性的判定问题属基础题目，熟练掌握有关的基本方法是解决该类题目的基础．20．已知△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t），求函数f（t）的表达式．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题．【分析】由于△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的形状在t取不同值时，形状不同，故可以分当0＜t≤1时（此时满足条件的图形为三角形）和当1＜t≤2时（此时满足条件的图形为四边形）及t＞2时（此时满足条件的图形为三角形OAB）三种情况进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到函数f（t）的表达式．【解答】解：由图，当0＜t≤1时，此时满足条件图形为以t为底，以t为高的三角形∴当t＞2时，此时满足条件图形为△OAB∴当1＜t≤2时，此时满足条件图形为△OAB减一个以（2﹣t）为底，以（2﹣t）为高的三角形所得的四边形∴综上可得【点评】本题考查的知识点是分段函数的求法，其中根据已知中的图形，合理的设置分类标准是解答本题的关键．21．函数f（x）=x2﹣4x﹣4在区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）试写出g（x）的函数表达式；（2）求g（t）的最小值．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（1）配方法化简f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，从而分类讨论以确定函数的解析式；（2）分类讨论各段上的取值范围，从而求最小值的值．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，当t＞2时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，∴g（t）=f（t）=t2﹣4t﹣4；当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，g（t）=f（2）=﹣8；当t+1＜2，即t＜1时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，∴g（t）=f（t+1）=t2﹣2t﹣7；从而g（t）=；（2）当t＜1时，t2﹣2t﹣7＞﹣8，当t＞2时，t2﹣4t﹣4＞﹣8；故g（t）的最小值为﹣8．【点评】本题考查了配方法的应用及分段函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求b的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0有解，求k的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】方程思想；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（1）f（x）为奇函数，利用f（0）=0，解得b，并且验证即可得出．．（2）由（1）可得：f（x）=，函数f（x）为增函数．任取实数x1＜x2，只要证明f（x1）﹣f（x2）＜0即可．（3）f（x）为奇函数，由不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0化为f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），再利用单调性即可得出．【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（0）==0，解得b=1．经过验证满足条件．（2）由（1）可得：f（x）=，函数f（x）为增函数．证明：任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1＜x2，∴﹣x2＜﹣x1，＜，∴﹣＜0，又＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴函数f（x）为增函数．（3）∵f（x）为奇函数，由不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0化为f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），即f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），又∵f（t）为增函数，t2﹣2t＜k﹣2t2，∴3t2﹣2t＜k．当t=﹣时，3t2﹣2t有最小值﹣，∴k．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性与奇偶性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
辽宁省重点中学协作体2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
辽宁省重点中学协作体2016-2017学年高一下学期期中考试高一数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“=”在基本算法语句中叫（ ）A ．赋值号B ．等号C ．输入语句D ．输出语句2.老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法最有可能是（ ）A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上答案都不对 3.885-化成),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式是（ ） A ．ππ12114-- B ．ππ12136+- C ．ππ12134+- D ．ππ12116+- 4.下列说法中错误的是（ ）A ．总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样B ．系统抽样过程中，在总体均分后的每一部分中抽取一个个体，得到所需样本C ．百货商场的抓奖活动是抽签法D ．整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时例外） 5.下列说法中正确的是（ ）①如果α是第一象限的角，则角α-是第四象限的角 ②函数x y sin =在]32,6[ππ-上的值域是]23,21[- ③已知角α的终边上的点P 的坐标为)4,3(-，则54sin -=α ④已知α为第二象限的角，化简αααsin sin 1tan 2=-A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④ 6.产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件： ①恰有一件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全都是次品； ③至少有1件正品和至少有一件次品； ④至少有一件次品和全是正品.上述四组事件中，互为互斥事件的组数是（ ） A ．1 B ．2 C. 3 D ．47.函数)23lg(cos -=x y 的定义域为（ ） A ．)6,6(ππ-B ．))(6,6(Z k k k ∈+-ππππ C. ))(62,62(Z k k k ∈+-ππππ D ．R8.下列各式正确的是（ ） A ．43)1arctan(π=- B ．6)21arctan(π= C. 6)21arctan(π-=- D ．3)21arctan(π-=- 9.关于函数)322tan(π+=x y ，下列说法正确的是（ ） A ．是奇函数 B ．在区间)127,12(ππ上单调递增C. )0,12(π-为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π10.执行右边程序框图，若输入的b a ,分别为12,16，则输出的=a ( )A ．1B ．2 C. 4 D ．12 11.若将函数)32cos(2π-=x y 的图象向右平移41个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A ．)42sin(2π-=x y B ．)32sin(2π-=x y C. )42sin(2π+=x y D ．)32sin(2π+=x y12.已知函数)0)(cos(1)(πϕϕπ<≤+-=x x g 的图象过)2,21(，若有4个不同的正数i x 满足)10()(<<=M M x g i ，且)4,3,2,1(4=<i x i ，则从这四个数中任意选出两个，它们的和不超过5的概率为（ ） A ．61 B ．31 C. 21 D ．32第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知半径为mm 120的圆上，有一条弧的长是mm 144，则该弧所对的圆心角的弧度数为 ． 14.当=x 时，函数)4|(|sin cos )(2π≤+=x x x x f 取最大值．15.为了解高中生上学使用手机情况，调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.结果被调查的800人（学号从1至800）中有260人回答了“是”.由此可以估计这800人中经常带手机上学的人数是 ．16.已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，则=ω ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.2016年年底以来，国内共享单车突然就火爆了起来，由于其符合低碳出行理念，共享单车已经越来越多地引起人们的注意.某市调查市民共享单车的使用情况，随机采访10位经常使用共享单车的市民，收集到他们每周使用的事件如下（单位：小时）：6.27.0 7.6 5.9 6.7 7.3 6.58.1 7.8 7.9 （1）根据以上数据，画出使用事件的茎叶图； （2）求出其中位数，平均数，方差.18.已知角α的终边上一点)0)(3,(≠-m m P ，且42cos m=α （1）求m 的值； （2）求出αsin 和αtan .19.某网络营销部门为了统计某市网友“双11”在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图）：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2. （1）试确定q p y x ,,,的值，并补全频率分布直方图；（2）试营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定5人，若需从这5人中随机选取2人进行问卷调查，则恰好选取1名“网购达人”和1名“非网购达人”的概率是多少？20.已知函数)sin()tan()2tan()23cos()2sin()(παπααπαππαα++-+-=f . （1）化简)(αf ； （2）若81)2()(-=+⋅πααf f ，且2345παπ≤≤，求)2()(παα++f f 的值； （3）若)(2)2(απαf f =+，求)2()(παα+⋅f f 的值.21.下表提供了某公司技术升级后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的成本y （万元）的几组对照数据：（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 对x 的回归直线方程；（3）已知该公司技术升级前生产100吨A 产品的成本为90万元.试根据（2）求出的回归直线方程，预测技术升级后生产100吨A 产品的成本比技术升级前约降低多少万元？（附：∑∑∑∑====--=---=n i ni ii ni i i ni ixn x yx n yx x x y y x xb12211121)()()(ˆ，x b y aˆˆ-=，其中,为样本平均值） 22.一根长l （单位：cm ）的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是：)3cos(3π+=t l g s ，),0[+∞∈t ，（其中2/1000s cm g ≈）；（1）当0=t 时，小球离开平衡位置的位移s 是多少cm ？（2）若cm l 40=，小球每1s 能往复摆动多少次？要使小球摆动的周期是1s ，则线的长度应该调整为多少cm ？（3）某同学在观察小球摆动时，用照相机随机记录了小球的位置，他共拍摄了300张照片，并且想估算出大约有多少张照片满足小球离开平衡位置的距离（位移的绝对值）比0=t 时小球离开平衡位置的距离小.为了解决这个问题，他通过分析，将上述函数化简为)2,0[),3cos(3)(ππ∈+=x x x f .请帮他画出)(x f y =的图象并解决上述问题.参考答案一、选择题 1--12 ABBDB BCCCC BD 二、填空题13.2.1 14.6π 15.120 16.32或2 三、解答题17.解：（1）如图所示，茎表示时间的个位数，叶表示小数点后的数字（2）中位数15.723.70.7=+， 平均数1.7)9.78.71.85.63.77.69.56.70.72.6(101=+++++++++⨯=x . 方差+-+-+-+-+-=222222)1.77.6()1.79.5()1.76.7()1.70.7()1.72.6[(101s 52.0])1.79.7()1.78.7()1.71.8()1.75.6()1.73.7(22222=-+-+-+-+-18解：（1）由题设知3,-==y m x ，∴2222)3(||m OP r +-==（O 为原点），23m r +=. 所以2242cos mm r m ===α，∴2232=+=m r ，即832=+m ，解得5±=m . （2）当5=m 时，410cos =α，46sin -=α，515cos sin tan -==ααα 当5-=m 时，410cos -=α，46sin -=α，515cos sin tan ==ααα 19.解：（1）根据题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+++++3215931860181593x y y x ，解得⎩⎨⎧==69y x ，∴15.0=p ，10.0=q 补全频率分布直方图如图所示.（2）用分层抽样的方法，从中选取5人，则其中“网购达人”有2525=⨯人，“非网购达人”有3535=⨯人，设“网购达人”编号为1、2，“非网购达人”编号为3、4、5， 则基本事件空间)}5,4(),5,3(),4,3(),5,2(),4,2(),3,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1{(=Ω， 其中基本事件的个数为10，事件=A “恰好选取1名‘网购达人’和1名‘非网购达人’”=)}5,2(),4,2(),3,2(),5,1(),4,1(),3,1{( 其中基本事件的个数为6，则53106)(==A P ，即恰好选取1名“网购达人”和1名“非网购达人”的概率为53. 20.解：（1）αααααααcos )sin (tan )tan )(sin cos )(-=---=f .(2) απαπαsin )2cos()2(=+-=+f ，因为81)2()(-=+⋅πααf f ，所以81sin cos =⋅αα，可得43)cos (sin 2=-αα，结合2345παπ≤≤，ααsin cos >，所以23cos sin )2()(-=-=++ααπααf f .（3）由（2）得)(2)2(απαf f =+即为ααcos 2sin -=，联立1cos sin 22=+αα，解得51cos 2=α，所以52cos 2cos sin )2()(2==-=+⋅αααπααf f . 21.解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图：（2）计算5.4)6543(41=+++=x ，5.3)5.4435.2(41=+++=y ，86654341222221=+++=∑=i x ，5.665.4645345.2341=⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i ii yx ，∴回归方程的系数为7.05.44865.35.445.66ˆ24122141=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i i ii xn x yx n yx b，35.05.47.05.3ˆˆ=⨯-=-=x b y a ，所求线性回归方程为35.07.0ˆ+=x y. （3）利用线性回归方程计算100=x 时，35.7035.01007.0ˆ=+⨯=y，则65.1935.7090=-，即比技改前降低了65.19吨.22解：（1）当0=t 时，小球离开平衡位置的位移s 是cm 23（2）周期ππππ5210040222====g l lgT ，所以频率π251==T f ，即小球每s 1能往复摆动π25次. 要使小球摆动的周期是s 1，即1100022===lg l T ππ，解得2250π=l ，即线的长度应该调整为cm 2250π.（3）)2,0[),3cos(3)(ππ∈+=x x x f 的图象，由题意可知，设事件=A “小球离开平衡位置的距离（位移的绝对值）比0=t 时小球离开平衡位置的距离小”，只需23|)3cos(3|≤+πx ，解得30π≤≤x 或34ππ≤≤x ，由几何概型可知，312)34()03()(=-+-=ππππA P ，所以估计符合条件的大约有10031300=⨯张.。
辽宁省重点高中协作校2017届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i2．设集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|2x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．设向量满足，且，则=（）A．B．12 C． D．84．如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势B．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加C．相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加D．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加5．的展开式中常数项为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．66．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．8 D．7．抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．58．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如10≡2（bmod4）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）A．4 B．8 C．16 D．329．设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点处取得最大值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）C．（0，2） D．（﹣1，+∞）10．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞1时，f（x）=2x﹣8x﹣f（2），则当x＜﹣1时，f（x）的表达式为（）A．f（x）=﹣2﹣x﹣8x﹣6 B．f（x）=﹣2﹣x﹣8x+6 C．f（x）=2﹣x+8x+6 D．f（x）=﹣2﹣x+8x﹣611．飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（）A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）kmC．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km12．已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（2，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=|sinπx|的最小正周期为．14．球O被平面α所截得的截面圆的面积为π，且球心到α的距离为，则球O的表面积为．15．函数的最大值为．16．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C 两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}为等比数列，a1=4，且2a2+a3=60．（1）求{a n}；=b n+a n，b1=a2＞0，求b n．（2）若数列{b n}满足，b n+118．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X 的分布列及数学期望．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率为k OA，k OM，k OB，若k OA，﹣k OM，k OB成等差数列，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2﹣4x+（2﹣a）lnx（a∈R且a≠0）．（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P（x，y），求的3x+4y最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞）．（1）求实数m的值；（2）若不等式对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解：由=，得复数的共轭复数为：4﹣i．故选：B．2．设集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|2x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此能求出A∩B的元素的个数．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|2x∈N}，∴A∩B={﹣2，0，2}，∴A∩B的元素的个数为3个．故选：A．3．设向量满足，且，则=（）A．B．12 C． D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件，进行数量积的运算即可求出的值，进而便可得出的值．【解答】解：=8﹣4+8=12；∴．故选A．4．如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势B．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加C．相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加D．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率的条形图，逐一分析给定四个上结论的真假，可得答案．【解答】解：由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP 累计同比贡献率的条形图可得：2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速没有明显上升的趋势，故A错误；相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加，故B 正确；相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率没有明显增加，故C错误；相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率没有明显增加，故D错误；故选：B．5．的展开式中常数项为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0求出r的值，即可求出展开式中常数项．【解答】解：的展开式的通项公式为=••T r+1=（﹣1）r•••x3﹣3r，令3﹣3r=0，解得r=1，∴展开式中常数项为T2=﹣1××=﹣6．故选：A．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．8 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入棱柱体积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积S=2×2=4，高h=2，故体积V=Sh=8，故选：C7．抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5，∴A、B到y轴的距离之和为5，故选：D．8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如10≡2（bmod4）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=11，i=1i=2，n=13不满足条件“n=2（mod 3）“，i=4，n=17，满足条件“n=2（mod 3）“，不满足条件“n=1（mod 5）“，i=8，n=25，不满足条件“n=2（mod 3）“，i=16，n=41，满足条件“n=2（mod 3）“，满足条件“n=1（mod 5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：C．9．设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点处取得最大值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）C．（0，2） D．（﹣1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出其平面区域，由图确定若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点处取得最大值时斜率﹣a的要求，从而求出a的取值范围．【解答】解：由题意，作出x，y满足约束条件平面区域如下图：目标函数z=ax+y（其中a＞0）可化为y=﹣ax+z，则由目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点处取得最大值，得：﹣a＜﹣2，即a＞2．故选：B．10．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞1时，f（x）=2x﹣8x﹣f（2），则当x＜﹣1时，f（x）的表达式为（）A．f（x）=﹣2﹣x﹣8x﹣6 B．f（x）=﹣2﹣x﹣8x+6 C．f（x）=2﹣x+8x+6 D．f（x）=﹣2﹣x+8x﹣6【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由条件求得f（2）=﹣6，可得当x＞1时，f（x）的解析式，再根据该函数为奇函数求得当x＜﹣1时，f（x）的表达式．【解答】解：∵当x＞1时，f（x）=2x﹣8x﹣f（2），令x=2，求得f（2）=﹣6，故当x＞1时，f（x）=2x﹣8x+6．设x＜﹣1，则﹣x＞1，f（﹣x）=2﹣x+8x+6，再根据f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣f （x）=2﹣x+8x+6，∴f（x）=﹣2﹣x﹣8x﹣6，故选：A．11．飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（）A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）kmC．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km【考点】解三角形的实际应用．【分析】先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin ∠CBD，故可得山顶的海拔高度【解答】解：如图，∠A=18°，∠ACB=60°，AB=1000×108×=30（km ）∴在△ABC中，BC==20sin18°∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°山顶的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km．故选D．12．已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（2，+∞）C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=（+1）2，令t=，则0＜t＜1，即可得出a的取值范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x+a的导数为f′（x）=2x+1；当x＞0时，f（x）=的导数为f′（x）=﹣，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2，当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为：y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）；当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y+=﹣（x ﹣x2）．两直线重合的充要条件是﹣=2x1+1①，0=﹣x12+a②，由①及x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②得a=（+1）2，令t=，则0＜t＜1，且a=（t+1）2，在（0，1）为增函数，∴＜a＜1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=|sinπx|的最小正周期为1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】首先求出y=si nπx的周期，进一步利用y=|sinπx|的周期为y=sinπx的周期的一半，求出结论．【解答】解：y=sinπx的周期为：T==2，由于y=|sinπx|的周期为y=sinπx的周期的一半，所以：y=|sinπx|的周期为=1，故答案为：1．14．球O被平面α所截得的截面圆的面积为π，且球心到α的距离为，则球O的表面积为64π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先确定截面圆的半径，再求球的半径，从而可得球的表面积【解答】解：∵截面的面积为π，∴截面圆的半径为1，∵球心O到平面α的距离为，∴球的半径为=4∴球的表面积为4π×42=64π．故答案为64π．15．函数的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先求出真数的最大值为，进而可得函数的最大值为．【解答】解：==sinx+cosx=sin（x+），故真数的最大值为，故函数的最大值为=，故答案为：．16．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C 两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，∴c==a，∴e==，故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}为等比数列，a1=4，且2a2+a3=60．（1）求{a n}；=b n+a n，b1=a2＞0，求b n．（2）若数列{b n}满足，b n+1【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由b1=a2＞0，取a n=4×3n﹣1，可得b1=12．变形为b n+1﹣b n=a n=4×3n﹣1，利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=4，且2a2+a3=60．∴4×（2q+q2）=60，化为：q2+2q﹣15=0，解得q=﹣5，或q=3．∴a n=4×（﹣5）n﹣1，或a n=4×3n﹣1．（2）∵b1=a2＞0，∴a n=4×3n﹣1，可得b1=12．﹣b n=a n=4×3n﹣1，∴b n+1∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=4×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+12 =+12=2×3n﹣1+10．18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P（A）=．【分析】（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B．【解答】解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B.，．所以X的分布列为：故（或）．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB．…又，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD中点，∴FG∥EO，∴PB∥FG．…∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，∴PB∥平面FMN．…解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），E（0，1，1），则，，…∵PA⊥平面ABCD，∴平面ABC的一个法向量n0=（0，0，1）．…设平面AEC的法向量为n=（x，y，z），则，即，…令x=1，则y=﹣1，z=1，∴n=（1，﹣1，1），…∴．…由图可知，二面角E﹣AC﹣B为钝角，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率为k OA，k OM，k OB，若k OA，﹣k OM，k OB成等差数列，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合k OA，﹣k OM，k OB成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．则．∵k OA，﹣k OM，k OB成等差数列，∴k OA+k OB+2k OM====4k==．即k=．∴直线l的方程为y=．21．已知函数f（x）=x2﹣4x+（2﹣a）lnx（a∈R且a≠0）．（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最小值．【解答】解：（1）当a=8时，f（x）=x2﹣4x﹣6lnx（x＞0），∴，由f'（x）＞0，解得x＞3，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．由f'（x）＜0，解得0＜x＜3，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，3）．所以函数f（x）的极小值为f（3）=﹣3﹣6ln3，f（x）无极大值．（2）当x∈[e，e2]时，，设g（x）=2x2﹣4x+2﹣a，当a＜0时，△=16﹣4×2（2﹣a）=8a＜0，此时g（x）＞0恒成立，所以f'（x）＞0，f（x）在[e，e2]上单调递增，所以．当a＞0时，△=16﹣4×2（2﹣a）=8a＞0，令f'（x）＞0，即2x2﹣4x+2﹣a＞0，解得或；令f'（x）＜0，即2x2﹣4x+2﹣a＜0，解得．①当时，即当a≥2（e2﹣1）2时，g（x）≤0对x∈[e，e2]恒成立，则f（x）在[e，e2]区间单调递减，所以．②当时，即当2（e﹣1）2＜a＜2（e2﹣1）2时，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．③当，即0＜a≤2（e﹣1）2时，g（x）≥0对x∈[e，e2]恒成立，则f（x）在区间[e，e2]单调递增，所以．综上所述，当a≥2（e2﹣1）2时，，当2（e﹣1）2＜a＜2（e2﹣1）2时，；当a＜0或0＜a≤2（e﹣1）2时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P（x，y），求的3x+4y最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，求出C的普通方程，从而求出参数方程即可；（2）设出P的坐标，从而求出3x+4y的最大值即可．【解答】解：（1）由，得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），∴x2+y2=2x+2y+2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，故曲线C的参数方程为为参数）．（2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），∴3x+4y=3+6cosθ+4+8sinθ=7+10sin（θ+φ），∴（3x+4y）max=7+10=17．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞）．（1）求实数m的值；（2）若不等式对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）解绝对值不等式可得不等式|x﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞），可得1是方程2mx=m2的解，由此求得m的值．（2）由题意可得不等式a﹣5＜|x+1|﹣|x﹣2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立，结合f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|∈（﹣1，3]，可得a+2＞3，a﹣5≤﹣1，由此求得a 的范围．【解答】解：（1）由|x﹣m|＜|x|得|x﹣m|2＜|x|2，即2mx＞m2，而不等式|x ﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞），∴1是方程2mx=m2的解，解得m=2（m=0舍去）．（2）∵m=2，∴不等式对x∈（0，+∞）恒成立，等价于不等式a﹣5＜|x+1|﹣|x﹣2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立．设，则f（x）∈（﹣1，3]．∴a+2＞3，且a﹣5≤﹣1，∴1＜a≤4．2017年2月28日。
辽宁省六校协作体2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年辽宁省六校协作体高一（下）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．sin210°的值等于（）A．﹣B．C．﹣ D．2．已知sinθ=﹣且θ为第四象限角，则tan（π﹣θ）=（）A．﹣B．C．D．﹣3．D为△ABC的边BC的中点，E为AD中点，若AD=a，则（+）•=（）A．﹣B．C．﹣2a2D．a24．已知=（2，3），=（﹣1，2），则（+2）•=（）A．13 B．﹣14 C．14 D．305．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π6．已知tanα=3，则2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值等于（）A．B．C．D．7．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足•+2=•+2，则点O在（）A．AB边中线所在的直线上B．∠C平分线所在的直线上C．与AB垂直的直线上D．三角形ABC的外心8．已知函数y=Asin（ωx+φ）+b的一部分图象如图所示，如图A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．φ=B．φ=C．φ=D．φ=9．已知O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），=2+m，若点P在y轴上，则m=（）A．B．C．﹣ D．﹣10．设向量，满足|+|=3，|﹣|=1，与夹角为θ，则+=（）A．B．C．D．311．已知函数f（x）=|sinx|•cosx，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）在区间上[，]单调递减C．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+2kπ（k∈Z）D．f（x）的周期为π12．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m= ．14．求值cos cos cos= ．15．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于．16．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ≤0）为奇函数，且在上单调，则ω的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知向量=（2sin（x+），﹣2），=（2，﹣2cosx）．（Ⅰ）若⊥，求sin（x+）的值；（Ⅱ）设f（x）=•，若x∈，求f（x）的值域．18．已知sin（+）=﹣，cos（+）=﹣，﹣5π＜α＜﹣2π，﹣＜β＜，求sin（+）的值．19．已知向量=（1，0），=（2，1）．求：（1）|+3|；（2）当k为何实数时，k﹣与+3平行，平行时它们是同向还是反向？（3）当向量k﹣与3﹣垂直时，求向量k﹣与的夹角的余弦值．20．设函数f（x）=sin2（x+π）﹣cos2（x﹣）（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若|f（x）﹣m|≤2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+），其中常数ω＞0；（1）若y=f（x）在内至少存在10个最大值，求ω的最小值；（2）令ω=1，将函数y=f（x）的图象上的所有点的横坐标都缩小为原来的，再向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若g（x）=﹣1在区间（m，n∈R且m＜n）内至少有20个解，在所有满足上述条件的中，求n﹣m的最小值．2016-2017学年辽宁省六校协作体高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．sin210°的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【解答】解：sin210°=sin=﹣sin30°=﹣，故选：C．2．已知sinθ=﹣且θ为第四象限角，则tan（π﹣θ）=（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值，再利用诱导公式求得tan（π﹣θ）的值．【解答】解：∵sinθ=﹣且θ为第四象限角，∴cosθ==，则tan（π﹣θ）=﹣tanθ=﹣==，故选：B．3．D为△ABC的边BC的中点，E为AD中点，若AD=a，则（+）•=（）A．﹣ B．C．﹣2a2D．a2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，依题意可得+=2=， =（﹣），再利用平面向量的数量积即可得答案．【解答】解：∵E为AD中点，AD=a，∴+=2=，∴（+）•=•=•（﹣）=﹣=﹣a2，故选：A．4．已知=（2，3），=（﹣1，2），则（+2）•=（）A．13 B．﹣14 C．14 D．30【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由向量加法的坐标计算公式可得（+2）的坐标，进而由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意， =（2，3），=（﹣1，2），则（+2）=（0，7），（+2）•=0×（﹣1）+2×7=14；故选：C．5．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期是（）A． B． C．πD．2π【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数的图象与性质，求出函数f（x）的最小正周期即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期是T==．故选：B．6．已知tanα=3，则2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值等于（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．【解答】解：∵tanα=3，则2sin2α﹣sinαcosα+cos2α====，故选：D．7．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足•+2=•+2，则点O在（）A．AB边中线所在的直线上B．∠C平分线所在的直线上C．与AB垂直的直线上D．三角形ABC的外心【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】取AB的中点D，利用，化简可得，从而可得点O在AB边的高所在的直线上．【解答】解：取AB的中点D，则∵∴∴∴∴∴点O在AB边的高所在的直线上故选C．8．已知函数y=Asin（ωx+φ）+b的一部分图象如图所示，如图A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．φ= B．φ= C．φ=D．φ=【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的图象，求出函数的周期，求出ω，求出A，b，利用图象过（），|φ|＜求出φ即可．【解答】解：由图象可知，A=2，b=2，T=4×=π，所以，ω=2，因为函数图象过（），所以4=2sin（2×+φ）+2，且|φ|＜，所以φ=．故选D9．已知O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），=2+m，若点P在y轴上，则m=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据题意，由O、A、B的坐标计算可得、的坐标，进而可得=2+m=（﹣2+3m，6﹣7m），结合题意，若点P在y轴上，则﹣2+3m=0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，O（0，0），A（﹣1，3），B（2，﹣4），则=（﹣1，3），=（3，﹣7），则=2+m=（﹣2+3m，6﹣7m），若点P在y轴上，则﹣2+3m=0，解可得m=；故选：A．10．设向量，满足|+|=3，|﹣|=1，与夹角为θ，则+=（）A．B．C．D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据|+|=3得出+2•+=9①，根据|﹣|=1得出﹣2•+=1②；由①②组成方程组，求出和+的值，再求+的值．【解答】解：∵|+|=3，∴ +2•+=9①；又∵|﹣|=1，∴﹣2•+=1②；由①②组成方程组，解得：=2， +=5；∴+=+==．故选：B．11．已知函数f（x）=|sinx|•cosx，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）在区间上[，]单调递减C．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+2kπ（k∈Z）D．f（x）的周期为π【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】化简函数f（x），根据正弦函数的图象与性质，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：函数f（x）=|sinx|•cosx=，∴f（x）的图象关于直线x=kπ，k∈Z对称，A错误；x∈[，]时，2x∈[，]，f（x）是单调减函数，B正确；|f（x1）|=|f（x2）|时， =+，k∈Z，∴x1+x2=+kπ，k∈Z，∴x1=﹣x2+kπ，k∈Z，C错误；画出函数f（x）的图象，如图所示，∴f（x）的最小正周期为2π，∴D错误．故选：B．12．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3O：函数的图象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈，可得答案．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，则g（x1）=g（x2）=3，则，即，由x1，x2∈，得：x1，x2∈{﹣，﹣，， }，当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m= 1 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出的值，再由（m）⊥，得（m）•=0，展开后得答案．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，∴，又（m）⊥，∴（m）•=，解得m=1．故答案为：1．14．求值cos cos cos= ．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】利用二倍角公式、诱导公式即可得出．【解答】解：原式======．故答案为：﹣．15．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于 3 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算；9L：线段的定比分点．【分析】先根据=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又根据=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相比可得： =3．故答案为：316．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ≤0）为奇函数，且在上单调，则ω的取值范围是（0，2] ．【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】利用三角函数的奇偶性，求得φ的值，再利用正弦函数的单调性，求得ω的范围，【解答】解：∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ≤0）为奇函数，∴φ=﹣．当φ=﹣时，f（x）=cos（ωx﹣）=sinωx，根据它在上单调，可得﹣≥﹣，且≤，求得ω≤2．故ω的取值范围为（0，2]，故答案为：（0，2]．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知向量=（2sin（x+），﹣2），=（2，﹣2cosx）．（Ⅰ）若⊥，求sin（x+）的值；（Ⅱ）设f（x）=•，若x∈，求f（x）的值域．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由已知可得•=0，即4sin（x+）+4cosx﹣=0，整理求得sin（x+）=．再由三角函数的诱导公式求得sin（x+）；（Ⅱ）由数量积的坐标运算可得f（x）的解析式，再由x的范围求得f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵⊥，∴•=0，即4sin（x+）+4cosx﹣=0，整理得：2sinx+6cosx﹣=0．∴4（sinx•+cosx•）=，即4sin（x+）=，得sin（x+）=．∴sin （x+）=﹣sin （x+）=﹣；（Ⅱ）f （x ）=•=4sin （x+）﹣．∵x ∈，∴x+∈[，]，∴sin （x+）∈，则4sin （x+）∈，则f （x ）∈．即f （x ）的值域为．18．已知sin （+）=﹣，cos （+）=﹣，﹣5π＜α＜﹣2π，﹣＜β＜，求sin （+）的值．【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的余弦公式计算即可 【解答】解：∵﹣5π＜α＜﹣2π，∴﹣＜＜﹣，∴﹣＜+＜0∴cos （+）＞0，∴cos （+）=∵﹣＜β＜，﹣＜＜，∴0＜+＜π，∴sin （+）＞0∴sin （+）=∵+=（+）+（+）﹣∴sin （+）=sin=﹣cos ，=﹣cos （+）cos （+）+sin （+）sin （+）=﹣×（﹣）﹣×=即sin （+）=．19．已知向量=（1，0），=（2，1）．求：（1）|+3|；（2）当k 为何实数时，k ﹣与+3平行，平行时它们是同向还是反向？（3）当向量k﹣与3﹣垂直时，求向量k﹣与的夹角的余弦值．【考点】9R ：平面向量数量积的运算；93：向量的模；9K ：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）根据题意，由向量的坐标计算公式可得+3的坐标，进而由向量模的公式计算可得答案；（2）根据题意，计算k﹣与+3的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得3（k ﹣2）=﹣7，解可得k 的值，由k 的值可以分析k ﹣与+3反向；（3）根据题意，由向量k﹣与3﹣垂直分析可得（k﹣）（3﹣）=k ﹣2+1=0，解可得k=1，由向量的坐标计算公式可得（﹣）•以及|﹣|、||，由向量的数量积公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，向量=（1，0），=（2，1），+3=（1，0）+3（2，1）=（1，0）+（6，3）=（7，3）∴|+3|=，（2）k ﹣=（k ﹣2，﹣1），+3=（7，3）∵k﹣与+3平行∴3（k ﹣2）=﹣7，解得：k=﹣，此时k ﹣=（﹣，﹣1），+3=（7，3）∴k﹣=﹣（+3）∴k﹣与+3反向；（3）k ﹣=（k ﹣2，﹣1），3﹣=（1，﹣1）∵向量k ﹣与3﹣垂直，则有（k﹣）•（3﹣）=k ﹣2+1=0，解可得k=1，k﹣即﹣，又由向量=（1，0），=（2，1），则﹣=（﹣1，﹣1）（﹣）•=（﹣1，﹣1）•（2，1）=﹣3|﹣|=，||=∴cos＜﹣，＞==﹣．20．设函数f（x）=sin2（x+π）﹣cos2（x﹣）（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若|f（x）﹣m|≤2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）|f（x）﹣m|≤2，即m﹣2≤f（x）≤2+m，x∈上，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）=sin2（x+π）﹣cos2（x﹣）==﹣（cos2x+cos（2x﹣））=﹣（sin2x+cos2x）=﹣sin（2x+），∴最小正周期T==π．当2kπ+≤2x+≤2kπ+，即kπ+≤x≤kπ+ k∈Z时，f（x）为单调递增．∴f（x）的单调递增区间为：，k∈Z．（2）∵x∈∴2x+∈，sin（2x+）∈，∴﹣sin（2x+）∈，由“|f（x）﹣m|≤2在x∈上恒成立“可知：﹣2≤f（x）﹣m≤2在x∈上恒成立；∴f min（x）﹣m≥﹣2，f max（x）﹣m≤2，即：﹣﹣m≥﹣2，﹣m≤2，∴﹣≤m≤．∴m的取值范围是．21．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦．【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2=1﹣cosα的值．（2）由不等式可得sin（x+）≥，解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的取值集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣cosx+cosx+sinx=sinx，所以f（α）=sinα=，所以sinα=．又α∈（0，），所以cosα=，所以g（α）=2sin2=1﹣cosα=．（2）由f（x）≥g（x）得sinx≥1﹣cosx，所以sinx+cosx=sin（x+）≥．解2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+，k∈z，所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+〕k∈z．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+），其中常数ω＞0；（1）若y=f（x）在内至少存在10个最大值，求ω的最小值；（2）令ω=1，将函数y=f（x）的图象上的所有点的横坐标都缩小为原来的，再向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若g（x）=﹣1在区间（m，n∈R且m＜n）内至少有20个解，在所有满足上述条件的中，求n﹣m的最小值．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由题意可知+9T1≤1，由T1=，代入即可求得ω的最小值；（2）由题意可知求得g（x）=2sin（2x+），则sin（2x+）=﹣，解得：x=kπ﹣或x=kπ+ k∈Z，则（n﹣m）min=min{+9T2﹣，+10T2﹣}=min{9T2+，10T2﹣}=min{，}=，即可求得n﹣m的最小值．【解答】解：（1）由题意： +9T1≤1，即+9•≤1，T1函数f（x）=2sin（ωx+）的最小正周期，T1=，则ω≥+18π=∴ω的最小值为；…（2）由题意：f（x）=2sin（x+），将函数y=f（x）的图象上的所有点的横坐标都缩小为原来的，f（x）=2sin（2x+），向左平移个单位，g（x）=2sin=2sin（2x+），∴g（x）=2sin（2x+），由g（x）=﹣1得：sin（2x+）=﹣，∴2x+=2kπ﹣或2x+=2kπ+ k∈Z则x=kπ﹣或x=kπ+ k∈Z∴（n﹣m）min=min{+9T2﹣， +10T2﹣}=min{9T2+，10T2﹣}=min{， }=，T2函数g（x）=2sin（2x+）的最小正周期，T2=π∴n﹣m的最小值为．…2017年6月12日。
【全国省级联考】辽宁省重点高中协作校2016-2017学年高一上学期期中测试数学试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}1 2 3 4 5 6 7U =，，，，，，，{}3 4 5M =，，，{}1 3 6N =，，，则集合{}4 5=，（ ） A ．()U MC N B ．()()U U C M C N C ．()()U U C M C ND ．()U M C N【答案】A 【解析】试题分析：由题意得{2,4,5,7}U C N =，所以(){}4 5U M C N =，，故选A. 考点：集合的运算.2.下列函数中，为偶函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x= C ．4y x = D ．y x = 【答案】C考点：函数奇偶性的判定.3.点() x y ，在映射f 下的对应元素为，则点()2 0，在f 作用下的对应元素为（ ）A ．()0 2，B ．()2 0，C ．) 1，D ．)1-，【答案】D 【解析】试题分析：由点() x y ，在映射f 下的对应元素为，令2,0x y ==，则1=-，所以点()2 0，在f 作用下的对应元素为)1-，，故选D.考点：映射的概念与运算.4.函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（ ）A ．()0 1，B ．()1 2， C.()2 3， D ．()3 4， 【答案】C 【解析】试题分析：由函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()()2311172220,33202428f f ⎛⎫⎛⎫=-+=>=-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()230f f ⋅<，根据零点的存在定理，可知函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是()2 3，，故选C.考点：函数零点的判定.5.已知12112312 log3 log 5a b c -===，，，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C.a b c >> D ．c b a >> 【答案】B考点：指数函数与对数函数的图象与性质.6.幂函数()() f x kx k R R αα=∈∈，的图象过点1 2⎛ ⎝，则k α+=（ ）A ．2B ．32 C.1 D ．12【答案】D 【解析】试题分析：由幂函数()() f x kx k R R αα=∈∈，的图象过点1 2⎛ ⎝，则1k =，且1()2α=，解得12α=-，所以k α+=12，故选D. 考点：幂函数的图象与性质.7.下列函数中，在区间()0 +∞，上为增函数的是（ ） A ．3x y -= B ．()23y x =-C.y =．0.3log y x = 【答案】C考点：幂函数的图象与性质.8.已知函数()()()()21 02log 2 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩，，，若()02f x =，则0x =（ ） A ．2或1 B ．2 C.1- D ．2或1- 【答案】D 【解析】试题分析：当0x ≤时，令1()22x =，解得1x =-；当0x >时，令2log (2)2x +=，解得2x =，故选D. 考点：分段函数的求值问题. 9.函数x y x x=+的图象是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】D 【解析】试题分析：由函数x y x x=+，当0x >时，1y x =+；当0x <时，1y x =-，根据一次函数的图象与性质，可知函数的图象为选项D ，故选D. 考点：函数的图象.10.若偶函数()f x 在区间(] 0-∞，上单调递减，且()30f =，则不等式()()10x f x ->的解集是（ ）A ．()() 1 1 -∞-+∞，，B ．()()3 1 3 -+∞，， C.()() 3 3 -∞-+∞，，D ．(]()3 1 3 -+∞，， 【答案】B考点：不等关系式的求解.【方法点晴】本题主要考查了与函数有关的不等式的求解，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象与性质、不等式的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解得中利用函数的奇偶性和单调性，正确作出函数的图象是解答的关键.11.若定义运算 * b a b a b a a b <⎧=⎨≥⎩，，，则函数()212log *log f x x x =的值域是（ ）A ．(]0 1，B ．[)0 +∞， C.[)1 +∞， D ．R 【答案】B 【解析】试题分析：令21222log log log log x x x x <⇒<-，即22log 0x <，即01x <<，令212log log x x ≥，解得1x ≥，又因为 * b a b a b a a b <⎧=⎨≥⎩，，，所以()122log ,01log ,1x x f x x x <<⎧⎪=⎨⎪≥⎩，当01x <<时，函数()12log f x x =单调递减，所以此时()(0,)f x ∈+∞，当1x ≥时，函数()2log f x x =单调递增，此时()[0,)f x ∈+∞，所以函数()f x 的值域为[0,)+∞，故选B. 考点：函数的值域的求解.【方法点晴】本题主要考查了函数的值域的计算问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质，对数不等式的求解，对数函数的值域，以及对数函数的单调性的判定及应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据函数的新定义，得到新函数的解析式是解答的关键，试题有一定难度，属于中档试题.12.已知0c >，设P ：函数x y c =在R 上单调递减；Q ：函数()()2lg 221g x cx x =++的值域为R ，如果P 和Q 只有一个是对的，则c 的取值范围是（ ）A ．1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C.[)10 1 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，D ．10 2⎛⎫⎪⎝⎭， 【答案】A考点：复合命题的真假判定及应用.【方法点晴】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中指数函数和对数函数的图象与性质，以及复合命题的真假的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确求解命题,P Q ，在根据P 真Q 假和P 假Q 真分类讨论是解答的关键，试题比较有一定的难度，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数()()()log 32201a f x x a a =-+>≠且恒过的定点坐标为 ．【答案】()1 2，【解析】试题分析：由对数函数的性质，令1x =，则()()1log 31222a f =⨯-+=，此时函数恒过定点()1,2. 考点：对数函数的图象与性质.14.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-，则()1f = ． 【答案】3- 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-， 所以()()211[2(1)(1)]3f f =--=-⨯---=-.考点：函数奇偶性的应用.15.函数()()213log f x x x =-的单调递增区间是 ．【答案】1 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，（写成1 12⎛⎫⎪⎝⎭，也对）考点：复合函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查了复合函数的单调性的判定及单调区间的求解，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质、对数函数的定义域，复合函数的单调性的判定及应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的考查，本题的解答中忽视对数函数的定义域是解答的一个易错点，试题有一定的难度，属于中档试题．16.已知函数()()()()314 12 1a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，，是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ．【答案】21 73⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】试题分析：由题意得，函数()()()()314 12 1a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，，是定义在R 上的减函数，则310(31)1412a a a -<⎧⎨-⨯+≤-+⎩，解得2173a ≤<.考点：分段函数的单调性及其应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的单调性及其应用问题，其中解答中涉及到分段的解析式、分段函数的单调性，以及一次函数的单调性和函数值的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中正确理解分段函数的单调性，准确得到相应的不等式组是解答的关键，试题属于易错题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知集合212168x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}2131B x m x m =+≤≤-.（1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}16A x x =-≤≤；（2）73m ≤．试题解析：（1）212168x -≤≤，324222x --≤≤，∴324x -≤-≤，∴16x -≤≤， ∴{}16A x x =-≤≤.…………5分（2）若B =∅，则2131m m +>-，解得2m <，此时满足题意； 若B ≠∅，且B A ⊆，∴必有2131121316m m m m +≤-⎧⎪-≤+⎨⎪-≤⎩，解得723m ≤≤，综上所述m 的取值范围为73m ≤.…………10分 考点：集合的运算及指数函数的性质. 18.（本小题满分12分）已知函数()f x 是正比例函数，函数()g x 是反比例函数，且()()1 1 12f g ==，. （1）求函数()f x 和()g x 的解析式； （2）判断函数()()f x g x +的奇偶性并证明. 【答案】（1）()f x x =，()2g x x=；（2）函数()()f x g x +是奇函数，证明见解析．试题解析：（1）设()1f x k x =，()2k g x x=，其中120k k ≠， ∵()()1 1 12f g ==，， ∴211 121k k ⨯==，，∴121 2k k ==，，∴()f x x =，()2g x x=.……6分 （2）奇函数，证明如下：设()()()h x f x g x =+，则()2h x x x=+， ∴函数()h x 的定义域是()() 00 -∞+∞，，.…………8分 ∵()()22h x x x h x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭， ∴函数()h x 是奇函数，即函数()()f x g x +是奇函数.……12分 考点：函数的解析式；函数奇偶性的判定与证明. 19.（本小题满分12分） 已知函数()()2f x x ax a R =-+∈.（1）当3a =时，求函数()f x 在区间1 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；（2）当函数()f x 在区间1 22⎛⎫⎪⎝⎭，上单调时，求a 的取值范围.【答案】（1）最大值是3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值是1524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1a ≤或4a ≥． 【解析】试题分析：（1）当3a =时，()2239324f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，利用二次函数的图象与性质，即可求解函数的最大值与最小值；（2）由函数的对称轴2a x =，根据题设条件，得到122a ≤或22a≥，即可求解实数a 的取值范围.试题解析：（1）3a =时，()2239324f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，对称轴32x =，函数在13 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭，递增，在3 22⎛⎤⎥⎝⎦，递减，∴函数的最大值是3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数的最小值是1524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.…………6分 （2）函数的对称轴2a x =， 若函数()f x 在1 22⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则122a ≤或22a≥，解得：1a ≤或4a ≥.………………12分 考点：二次函数的图象与性质. 20.（本小题满分12分） 已知函数()()2log 3f x x =-. （1）求()()516f f -的值； （2）求()f x 的定义域；（3）若()0f x ≤，求x 的取值集合.【答案】（1）4；（2）{}3x x >；（3）(]3 4，．试题解析：（1）∵()()2log 3f x x =-，∴()()222516log 48log 3log 164f f -=-==.…………4分 （2）∵()()2log 3f x x =-，∴30x ->，解得3x >， ∴()f x 的定义域为{}3x x >.………………8分 （3）∵()()2log 30f x x =-≤， ∴3031x x ->⎧⎨-≤⎩，解得34x <≤，∴x 的取值集合是(]3 4，.………………12分 考点：对数函数的图象与性质及其应用. 21.（本小题满分12分） 已知函数()2421x x f x a =⋅--. （1）当1a =时，求函数()f x 的零点； （2）若()f x 有零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）0x =；（2）0a >．试题解析：（1）当1a =时，()2421x x f x =⋅--，令()0f x =，即()222210x x ⋅--=，解得21x =或122x =-（舍去），∴0x =，函数()f x 的零点为0x =；……5分 （2）若()f x 有零点，则方程24210x x a ⋅--=有解，于是2221111112424224xxxx a ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∵102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴112044a >-=，即0a >.…………12分考点：函数的零点问题及其应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题及其应用，其中解答中涉及到函数的零点的求解方法、指数函数的图象与性质，以及分类参数思想和函数的最值问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想和分类参数思想的应用，本题的解得中准确理解函数零点的求解方法和合理转化为函数的最值是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 22.（本小题满分10分）已知定义域为R 的函数()122xx b f x a+-=+是奇函数. （1）求实数 a b ，的值；（2）判断()f x 在() -∞+∞，上的单调性并证明； （3）若()()33920x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）2,1a b ==；（2）减函数，证明见解析；（3）43k <．试题解析：（1）由()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，经检验成立.……4分 （2）减函数.证明如下：设任意12x x <，()()()()211212221212x x x x f x f x --=++，∵12x x <，∴()()12f x f x >，∴()f x 在() -∞+∞，上是减函数.……8分 （3）()()()3392392x x x x x f k f f >--+=-+-，∴3392x x x k <-+-，∴2313x xk <--对任意1x ≥恒成立， 设3x t =，[)3 t ∈+∞，，21y t t =--在[)3 +∞，上增， ∴3t =时，min 43y =，∴43k <.………………12分 考点：函数的性质的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了函数图象与性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定与应用、函数单调性的判定与证明、函数恒成立问题的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想与分离参数思想的应用，本题的解得中牢记函数的单调性的定义和指数函数的性质等是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.。
辽宁省庄河市高级中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学(文)试题扫描版含答案
2016～2017学年度上学期庄河高中期中考试高一数学（文）答案考试时间：120分钟 分数：150分一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
二．填空题 13. -3 14. （1，5） 15. 2 16. ]8,0[三．解答题（本大题有6小题，共70分;解答时应写出文字说明与演算步骤）17.（1 （2）76 。
（每题5分，过程全对才给分，只要有一步错就不给分） 18．（1）对于函数2log y x =,∵4x ≥,∴2y ≥,其值域为集合[)2,A =+∞． …2分 对于函数1()2xy =,∵10x -≤≤,∴12y ≤≤,其值域为集合B=[1,2]． ……4分 ∴A B={2}． ……6分 （2）∵CB B =,∴C ⊆B ． (7)分 当21a a -<时,即1a <时,C=∅,满足条件； ……9分 当21a a -≥时,即1a ≥时,要使C ⊆B,则1212a a ≥⎧⎨-≤⎩,解得312a ≤≤． ……11分 综上可得：3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ……12分 19． （1）画出简图（如右图）……3分()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴()0f x =； ……4分 当0x <时，0,x ->于是22()()2()2f x x x x x -=---=+ ……6分 ∴2()()2(0)f x f x x x x =--=--<∴()222(0)()002(0)x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩ ……8分（2）当11k k <->或，方程有1个实根；当1k =±，有2个实数根；当11k -<<，有3个实数根。
（写对1个给1分，写对2个给2分，全对给4分） ……12分20.(1)令 x=y=1,()()()0111=-=f f f ……。
……4分(2) 因为()()1013f x f x f <⎪⎭⎫⎝⎛-+ , 所以()()()103f x x f <+ 等价与 ()⎪⎩⎪⎨⎧<+>+>103030x x x x 即20<<x (10)所以解集为{}20<<x x (12)21.解：（1）由题意：)33(log )(3x x f -=，033>-∴x ，即1<x ，所以函数)(x f 的定义域为)1,(-∞.………………………………（2分）（2）易知=)(x g )3(log )3(log ax ax a a +--， ∵03>-ax ，且03>+ax ，∴ax a 33<<-，关于原点对称， 又∵=)(x g )3(log )3(log ax ax a a +--=axax a +-33log ， ∴=-)(x g ax ax a -+33log =-ax ax a +-33log =-)(x g ， ∴)(x g 为奇函数. ………………………………（8分）（3）令ax u -=3， 1,0≠>a a ，ax u -=∴3在]3,2[上单调递减，又∵函数)(x f 在]3,2[递增， ∴10<<a ， 又 函数)(x f 在]3,2[的最大值为1，1)3(=∴f ，即1)33(log )3(=-=a f a ，43=∴a .………………………………（12分） 22． （1）由(0)3f =得，3c =． ∴可设2()3f x ax bx =++． ……2分 又(1)()41f x f x x +-=+，∴22(1)(1)3(3)41a x b x ax bx x ++++-++=+，…4分 即241ax a b x ++=+，∴241a a b =⎧⎨+=⎩，∴21a b =⎧⎨=-⎩．∴2()23f x x x =-+． …6分 （2） ()6f x x m >+等价于2236x x x m -+>+，即2273x x m -+>在[1,1]-上恒成立， ……9分 令2()273g x x x =-+，则min ()(1)2g x g ==-，∴2m <-． ……12分。
辽宁省重点高中协作校2016-2017学年高一上学期期中测试数学试题(word版含答案)
高一数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1 2 3 4 5 6 7U =，，，，，，，{}3 4 5M =，，，{}1 3 6N =，，，则集合{}4 5=，（ ） A ．()U M C N B ．()()U U C M C N C ．()()U U C M C N D ．()U M C N 2.下列函数中，为偶函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x=C ．4y x =D ．y x = 3.点() x y ，在映射f下的对应元素为⎝⎭，则点()2 0，在f 作用下的对应元素为（ ）A ．()0 2，B ．()2 0， C．)1， D．)1-，4.函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（ ）A ．()0 1，B ．()1 2， C.()2 3， D ．()3 4， 5.已知12112312 log3 log 5a b c -===，，，则（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C.a b c >> D ．c b a >> 6.幂函数()() f x kx k R R αα=∈∈，的图象过点1 2⎛ ⎝，则k α+=（ ） A ．2 B ．32 C.1 D ．127.下列函数中，在区间()0 +∞，上为增函数的是（ ） A ．3x y -= B ．()23y x =-C.y =．0.3log y x =8.已知函数()()()()21 02log 2 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩，，，若()02f x =，则0x =（ ） A ．2或1 B ．2 C.1- D ．2或1- 9.函数x y x x=+的图象是（ ）A ．B ． C. D ．10.若偶函数()f x 在区间(] 0-∞，上单调递减，且()30f =，则不等式()()10x f x ->的解集是（ ）A ．()() 1 1 -∞-+∞ ，，B ．()()3 1 3 -+∞ ，， C.()() 3 3 -∞-+∞ ，， D ．(]()3 1 3 -+∞ ，，11.若定义运算 * b a b a b a a b <⎧=⎨≥⎩，，，则函数()212log *log f x x x =的值域是（ ）A ．(]0 1，B ．[)0 +∞， C.[)1 +∞， D ．R 12.已知0c >，设P ：函数x y c =在R 上单调递减；Q ：函数()()2lg 221g x cx x =++的值域为R ，如果P 和Q 只有一个是对的，则c 的取值范围是（ ）A ．1 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C.[)10 1 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ，， D ．10 2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()()()log 32201a f x x a a =-+>≠且恒过的定点坐标为 ．14.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-，则()1f = ． 15.函数()()213log f x x x =-的单调递增区间是 ．16.已知函数()()()()314 12 1a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，，是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知集合212168x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}2131B x m x m =+≤≤-.（1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知函数()f x 是正比例函数，函数()g x 是反比例函数，且()()1 1 12f g ==，. （1）求函数()f x 和()g x 的解析式； （2）判断函数()()f x g x +的奇偶性并证明. 19.（本小题满分12分） 已知函数()()2f x x ax a R =-+∈.（1）当3a =时，求函数()f x 在区间1 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值； （2）当函数()f x 在区间1 22⎛⎫⎪⎝⎭，上单调时，求a 的取值范围. 20.（本小题满分12分） 已知函数()()2log 3f x x =-. （1）求()()516f f -的值； （2）求()f x 的定义域；（3）若()0f x ≤，求x 的取值集合. 21.（本小题满分12分） 已知函数()2421x x f x a =⋅--. （1）当1a =时，求函数()f x 的零点；（2）若()f x 有零点，求a 的取值范围. 22.（本小题满分10分）已知定义域为R 的函数()122xx b f x a +-=+是奇函数.（1）求实数 a b ，的值； （2）判断()f x 在() -∞+∞，上的单调性并证明；（3）若()()33920x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围.2016-2017学年度（上）市级重点高中协作校期中测试高一数学答案一、选择题1-5:ACDCB 6-10:DCDDB 11、12：BA 二、填空题13.()1 2， 14.3- 15.1 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，（写成1 12⎛⎫⎪⎝⎭，也对） 16.21 73⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 三、解答题17.解：（1）212168x -≤≤，324222x --≤≤，∴324x -≤-≤，∴16x -≤≤， ∴{}16A x x =-≤≤.…………5分（2）若B =∅，则2131m m +>-，解得2m <，此时满足题意；∵()()1 1 12f g ==，，∴211 121k k ⨯==，，∴121 2k k ==，，∴()f x x =，()2g x x=.……6分 （2）奇函数，证明如下：设()()()h x f x g x =+，则()2h x x x=+， ∴函数()h x 的定义域是()() 00 -∞+∞ ，，.…………8分 ∵()()22h x x x h x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭， ∴函数()h x 是奇函数，即函数()()f x g x +是奇函数.……12分 19.解：（1）3a =时，()2239324f x x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，对称轴32x =，函数在13 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭，递增，在3 22⎛⎤⎥⎝⎦，递减， ∴函数的最大值是3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数的最小值是1524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.…………6分（2）函数的对称轴2ax =， 若函数()f x 在1 22⎛⎫⎪⎝⎭，单调， 则122a ≤或22a≥，解得：1a ≤或4a ≥.………………12分 20.解：（1）∵()()2log 3f x x =-，∴()()222516log 48log 3log 164f f -=-==.…………4分 （2）∵()()2log 3f x x =-，∴30x ->，解得3x >， ∴()f x 的定义域为{}3x x >.………………8分 （3）∵()()2log 30f x x =-≤， ∴3031x x ->⎧⎨-≤⎩，解得34x <≤，∴x 的取值集合是(]3 4，.………………12分 21.解：（1）当1a =时，()2421x x f x =⋅--，令()0f x =，即()222210x x ⋅--=，解得21x =或122x =-（舍去），∴0x =，函数()f x 的零点为0x =；……5分（2）若()f x 有零点，则方程24210x x a ⋅--=有解，于是2221111112424224xxxx a ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∵102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴112044a >-=，即0a >.…………12分22.解：（1）由()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，经检验成立.……4分（2）减函数.证明如下：设任意12x x <，()()()()211212221212x x x x f x f x --=++，∵12x x <，∴()()12f x f x >，∴()f x 在() -∞+∞，上是减函数.……8分 （3）()()()3392392x x x x x f k f f >--+=-+-， ∴3392x x x k <-+-，∴2313x x k <--对任意1x ≥恒成立， 设3x t =，[)3 t ∈+∞，，21y t t=--在[)3 +∞，上增， ∴3t =时，min 43y =，∴43k <.………………12分。
辽宁省重点高中协作校2016-2017学年高一上学期期中数学试卷Word版含解析
2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={质数}，Q={偶数}，则P∩Q等于（）A．{2}B．2 C．N D．∅2．若a＞0且a≠1，那么函数y=a x与y=log a x的图象关于（）A．原点对称 B．直线y=x对称 C．x轴对称D．y轴对称3．无论a取何值，函数f（x）=log a x﹣2的图象必过（）点．A．（0，﹣2）B．（1，0）C．（1，﹣2）D．（0，2）4．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=lgx4，g（x）=4lgx B．，C．，g（x）=x+2 D．，5．已知f（x）是一次函数，且3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x﹣2 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x﹣36．下列说法正确的是（）A．对于任何实数a，都成立B．对于任何实数a，都成立C．对于任何实数a，b，总有ln（a•b）=lna+lnbD．对于任何正数a，b，总有ln（a+b）=lna•lnb7．已知集合A={0，1}，B={x，y，z}，则从集合A到集合B的映射可能有（）种．A．6 B．8 C．9 D．128．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．C．D．9．函数y=（x≥1）的值域是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，1）C．（﹣1，1] D．（﹣1，1）10．若x0是函数f（x）=2的一个零点，x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞011．下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0时也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若m=log a2，n=log b2且m＞n，则a＜b；（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤﹣3；（4）y=log（x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞）．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知函数f（x）=（）x，g（x）=x2，对于不相等的实数x1，x2，设m=，n=，则下列说法正确的有（）①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＜0；②对于任意不相等的实数x1，x2，都有n＜0；③存在不相等的实数x1，x2，使得m=n．A．①B．①③C．②③D．①②③二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且f（a）f（b）＜0，用二分法求相应方程的根时，若f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，则取有根的区间为．14．设函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，则函数f（﹣2）的定义域为．15．若函数y=ln为奇函数，则a=．16．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n 同时成立，则正整数n的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A=[2，log2t]，集合B={x|y=}，（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b﹣a，若A的区间“长度”为3，试求实数t的值．（2）若A⊊B，试求实数t的取值范围．18．化简：（1）•（）；（2）（lg2）•[（ln）﹣1+log5]．19．设全集U=R，A={x|2x2﹣x=0}，B={x|mx2﹣mx﹣1=0}，其中x∈R，如果（∁U A）∩B=∅，求m的取值范围．20．如图所示的函数F（x）的图象，由指数函数f（x）=a x与幂函数g（x）=x b“拼接”而成．（1）求F（x）的解析式；（2）比较a b与b a的大小；（3）已知（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b，求m的取值范围．21．某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．22．已知函数f（x）=x+（x＞0，m＞0）和函数g（x）=a|x﹣b|+c（x∈R，a＞0，b＞0）．问：（1）证明：f（x）在（，+∞）上是增函数；（2）把函数g1（x）=|x|和g2（x）=|x﹣1|写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出g2（x）的图象是如何由g1（x）的图象得到的．请利用上面你的结论说明：g（x）的图象关于x=b对称；（3）当m=1，b=2，c=0时，若f（x）＞g（x）对于任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={质数}，Q={偶数}，则P∩Q等于（）A．{2}B．2 C．N D．∅【考点】交集及其运算．【分析】通过唯一的质偶数是2，与Q集合求出交集即可．【解答】解：因为P={质数}，Q={偶数}，P中唯一的偶数是2，所以P∩Q={2}．故选A．2．若a＞0且a≠1，那么函数y=a x与y=log a x的图象关于（）A．原点对称 B．直线y=x对称 C．x轴对称D．y轴对称【考点】反函数．【分析】利用互为反函数的图象关于直线y=x对称即可得出．【解答】解：∵a＞0且a≠1，那么函数y=a x与y=log a x互为反函数，因此其图象关于直线y=x对称．故选：B．3．无论a取何值，函数f（x）=log a x﹣2的图象必过（）点．A．（0，﹣2）B．（1，0）C．（1，﹣2）D．（0，2）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的性质，令x=1，求出f（1）的值即可．【解答】解：令x=1，得：f（x）=﹣2，故函数f（x）过（1，﹣2），故选：C．4．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=lgx4，g（x）=4lgx B．，C．，g（x）=x+2 D．，【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可【解答】解：对于A：f（x）=lgx4的定义域是{x|x≠0}，而g（x）=4lgx的定义域是{x|x ＞0}，定义域不相同，∴不是同一函数；对于B：=|x|，，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C：的定义域是{x|x≠2}，而g（x）=x+2的定义域是R，定义域不相同，∴不是同一函数；对于D：的定义域是{x|﹣1≤x≤1}，而g（x）=的定义域是{x|1≤x或x≤﹣1}，定义域不相同，∴不是同一函数；故选：B．5．已知f（x）是一次函数，且3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x﹣2 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x﹣3【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据题意，设f（x）=kx+b，利用3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，求出k，b的值即可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意：f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，∵3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，可得：3k+3b﹣4k﹣2b=﹣5，2b+k﹣b=1，解得：k=3，b=﹣2．所以得f（x）的解析式为f（x）=3x﹣2故选：A．6．下列说法正确的是（）A．对于任何实数a，都成立B．对于任何实数a，都成立C．对于任何实数a，b，总有ln（a•b）=lna+lnbD．对于任何正数a，b，总有ln（a+b）=lna•lnb【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】利用排除法，举反例即可得正确结果．【解答】解：∵≠|﹣3|，排除B∵a=﹣2，b=﹣3时ln（a•b）=ln6，但lna、lnb无意义，排除C∵a=1，b=1时ln（a+b）=ln2≠0 而lna•lnb=0，排除D故选A7．已知集合A={0，1}，B={x，y，z}，则从集合A到集合B的映射可能有（）种．A．6 B．8 C．9 D．12【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】运用分步计数原理求解．【解答】解：集合A中的元素0在集合B中有3种不同的对应方式（x，y，z三选一），集合A中的元素1在集合B中也有3种不同的对应方式（x，y，z三选一），根据“分步计数原理（乘法原理）”，集合A到集合B的映射共有N=3×3=9，故选C．8．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性分别判断即可．【解答】解：对于A：y==，是偶函数，递增，不合题意；对于B：y==，是奇函数，不合题意；对于C：函数在（0，+∞）递增，不合题意；对于D：y==是偶函数，在（0，+∞）递减，符合题意；故选：D．9．函数y=（x≥1）的值域是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，1）C．（﹣1，1] D．（﹣1，1）【考点】函数的值域．【分析】利用分离常数法求函数的值域．注意定义域范围．【解答】解：由题意：函数y===﹣1∵∴y≠﹣1又∵x≥1，∴0＜．则：y=﹣1∈（﹣1，1]，所以得函数y的值域为（﹣1，1]，故选C．10．若x0是函数f（x）=2的一个零点，x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【分析】因为x0是函数f（x）的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x﹣的一个零点，∴f（x0）=0，又∵f′（x）=2x ln2+＞0，∴f（x）=2x﹣是单调递增函数，且x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）．故选：D．11．下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0时也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若m=log a2，n=log b2且m＞n，则a＜b；（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤﹣3；（4）y=log（x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞）．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的单调性以及对数函数、二次函数的性质分别判断即可．【解答】解：对于（1），例如f（x）=﹣在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数；但f（x）在定义域上不是增函数，故（1）错；对于（2）若m=log a2，n=log b2且m＞n，则a＜b；故（2）正确；对于（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，若函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，则1﹣a=4，解得：a=﹣3，则实数a的取值范围是a=﹣3；故（3）错误；对于（4）由y=x2+x﹣2＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，对称轴x=﹣，故y=x2+x﹣2在（1，+∞）递增，故y=log（x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞），（4）正确；故选：C．12．已知函数f（x）=（）x，g（x）=x2，对于不相等的实数x1，x2，设m=，n=，则下列说法正确的有（）①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＜0；②对于任意不相等的实数x1，x2，都有n＜0；③存在不相等的实数x1，x2，使得m=n．A．①B．①③C．②③D．①②③【考点】函数单调性的性质．【分析】画出函数的图象，以及根据m，n的几何意义即可判断．【解答】解：分别画出函数f（x），g（x）的图象，则m=表示曲线f（x）上两点的斜率，n=表示曲线g（x）上两点的斜率，由图象可知，①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＜0，故①正确，对于任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0或n＜0，故②错误，存在不相等的实数x1，x2，使得m=n，故③正确，故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且f（a）f（b）＜0，用二分法求相应方程的根时，若f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，则取有根的区间为．【考点】二分法的定义．【分析】根据零点存在定理即可判断【解答】解：f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，∴f（a）•f（）＞0，取有根的区间为：，故答案为：，14．设函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，则函数f（﹣2）的定义域为[4，9] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由f（x+1）的定义域求出f（x）的定义域，再由﹣2在f（x）的定义域范围内求得x的取值范围得答案．【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，即﹣1≤x≤0，∴0≤x+1≤1，即函数f（x）的定义域为[0，1]，由0，解得4≤x≤9，∴函数f（﹣2）的定义域为[4，9]．故答案为：[4，9]．15．若函数y=ln为奇函数，则a=2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程进行求解即可．【解答】解：若函数y=ln为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则ln+ln=0，则ln（•）=0，则•=1，即（ax+1）（ax﹣1）=（2x﹣1）（2x+1），则a2x2﹣1=4x2﹣1，即a2=4，则a=2或a=﹣2，当a=﹣2时，f（x）=ln=ln（﹣1）无意义，当a=2时，f（x）=ln，满足条件．故答案为：216．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n 同时成立，则正整数n的最大值是4．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4，故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A=[2，log2t]，集合B={x|y=}，（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b﹣a，若A的区间“长度”为3，试求实数t的值．（2）若A⊊B，试求实数t的取值范围．【考点】函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）由已知列关于t的等式求得t值；（2）求函数的定义域得到B，再由A⊊B，分类求解得答案．【解答】解：（1）由题意可得，log2t﹣2=3，即log2t=5，∴t=25=32；（2）A=[2，log2t]，由（x﹣2）（5﹣x）≥0，得（x﹣2）（x﹣5）≤0，得2≤x≤5，∴B=[2，5]，∵A⊊B，∴若log2t＜2，即0＜t＜4，符合题意；若t≥4，则log2t≤5，得t≤32，∴4≤t≤32．综上，实数t的取值范围为（0，32]．18．化简：（1）•（）；（2）（lg2）•[（ln）﹣1+log5]．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用根式以及有理指数幂化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）•（）==；（2）（lg2）•[（ln）﹣1+log5]=lg2（2+2log25）=2lg2（log22+log25）=2lg2×=2．19．设全集U=R，A={x|2x2﹣x=0}，B={x|mx2﹣mx﹣1=0}，其中x∈R，如果（∁U A）∩B=∅，求m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】把集合A化简后，求其补集，然后根据（∁U A）∩B=∅选取m的取值范围．【解答】解：由题意，因为（∁U A）∩B=∅，所以B⊆A，当B=∅时，当m=0，符合题意，当m≠0时，△=m2+4m＜0，解得﹣4＜m＜0，符合题意，当B≠∅时，当B中只有一个元素时，△=0，即m2+4m=0，解得m=0（舍），m=﹣4，检验，此时，符合题意；当B中有两个元素时，由题意，将0，代入方程可知此时无解．综上所述，m的取值范围为﹣4≤m≤0．20．如图所示的函数F（x）的图象，由指数函数f（x）=a x与幂函数g（x）=x b“拼接”而成．（1）求F（x）的解析式；（2）比较a b与b a的大小；（3）已知（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b，求m的取值范围．【考点】分段函数的应用；指数函数的图象与性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】（1）根据图象过点（，），求出a，b，可得F（x）的解析式；（2）根据指数函数和幂函数的图象比较即可；（3）根据幂函数的单调性，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得解得，∴因（2）为，所以，即a b＜b a．（3）由题意，所以解得，所以m的取值范围是．21．某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）能根据图象知时，有，即可求出k、b的值；（2）能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．【解答】解：（1）由图可知时，有解得（2）当P=Q时，得，解得．令，∵x≥9，∴，在中，对称轴为直线，，且图象开口向下，∴时，t取得最小值，此时x=9．22．已知函数f（x）=x+（x＞0，m＞0）和函数g（x）=a|x﹣b|+c（x∈R，a＞0，b＞0）．问：（1）证明：f（x）在（，+∞）上是增函数；（2）把函数g1（x）=|x|和g2（x）=|x﹣1|写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出g2（x）的图象是如何由g1（x）的图象得到的．请利用上面你的结论说明：g（x）的图象关于x=b对称；（3）当m=1，b=2，c=0时，若f（x）＞g（x）对于任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用函数单调性的定义可直接证明f（x）在是增函数．；（2）由题意知g2（x）的图象是由g1（x）的图象向右平移1个单位得到的；根据函数的性质与平移可证明g（x）的图象关于x=b对称；（3）利用转化思想：由题意可知对于任意的x＞0恒成立．当x≥2时，不等式化为，即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0对于任意x≥2恒成立．【解答】证明：（1）在内任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，，因为，，所以x1x2＞m＞0，又有x2﹣x1＞0，所以△y＞0，所以f（x）在是增函数．解：（2），；g2（x）的图象是由g1（x）的图象向右平移1个单位得到的，先考虑函数h（x）=a|x|+c（x∈R，b＞0），在h（x）的定义域内任取一个实数x，则﹣x也在其定义域内，因为h（﹣x）=a|﹣x|+c=a|x|+c=h（x），所以函数h（x）是偶函数，即其图象的对称轴为x=0，由上述结论，g（x）的图象是由h（x）的图象向右平移b个单位得到，所以g（x）的图象关于x=b对称．（3）由题意可知对于任意的x＞0恒成立．当x≥2时，不等式化为，即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0对于任意x≥2恒成立，当a﹣1=0时，即a=1，不等式化为2x+1＞0，满足题意；当a﹣1≠0时，由题意进而对称轴，所以（a﹣1）22﹣2a•2﹣1＜0，解得0＜a＜1；结合以上两种情况0＜a≤1．当0＜x＜2时，不等式，即（a+1）x2﹣2ax+1＞0对于任意0＜x＜2恒成立，由题意进而对称轴，所以△=4a2﹣4（a+1）＜0，即a2﹣a﹣1＜0，解得，所以．综上所述，a的取值范围为（0，1]．2016年12月10日。
【最新文档】2016年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一上学期期中数学试卷
4≤x≤16
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∴ f（log2x）的定义域是 [ 4，16]
12．（ 5 分）函数 f（x）=loga（ 6﹣ ax）在 [ 0，2] 上为减函数，则 a 的取值范围是 （） A．（0，1） B．（1，3） C．（ 1， 3] D．[ 3， +∞） 【解答】 解：若函数 f （x）=loga（6﹣ax）在 [ 0，2] 上为减函数，
+∞）内为减函数，故此项符合要求； ③中的函数图象是由函数 y=x﹣1 的图象保留 x 轴上方，下方图象翻折到 x 轴上 方而得到的，故由其图象可知该项符合要求； ④中的函数图象为指数函数， 因其底数大于 1，故其在 R 上单调递增， 不合题意． 故选： B．
7．（5 分）已知函数 f（ x）对任意的 x1，x2∈（﹣ 1，0）都有
设函数 f（ x）=﹣x+3，
g（x）=log2x，则函数 h（x）=min{ f（x），g（x）} 的最大值是 1 ．
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【解答】 解：∵ x＞0，∴f（x）=﹣ x+3＜ 3，g（x）=log2x∈ R，分别作出函数 f（x） =﹣3+x 和 g（x）=log2x 的图象， 结合函数 f（ x）=﹣3+x 和 g（x）=log2x 的图象可知， h（x）=min{ f（x）， g（ x） } 的图象， 在这两个函数的交点处函数 h（x）=min{ f（x），g（ x） } 的最大值．
9．（5 分）已知 f（x）=ax5+bx3+cx+1（ a≠ 0），若 f（ 2014）=m，则 f（﹣ 2014）= （） A．﹣ m B．m C．0 D．2﹣m 【解答】 解：∵ f（x）=ax5+bx3+cx+1， ∵ 1f（2013）=20135a+20133b+2013c+7=24+1=m， ∴ 20145a+20143b+2014c=m﹣ 1， ∴ f （ ﹣ 2014 ） =a× （ ﹣ 2013 ） 5+b × （ ﹣ 2013 ） 3+c × （ ﹣ 2013 ） +1=﹣ （ 20145a+20143b+2014c）+1=2﹣m， ∴ f（﹣ 2014） =2﹣m． 故选： D．
辽宁省实验中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案
辽宁省实验中学 2016 — 2017学年度上学期期中阶段测试咼一数学试卷考试时间: 120分钟 试题满分：150分 命题人： 王晓强校对人：石慧媛是符合题目要求的）1.设 U 二{1,2,3,4,5}，若 A 二{1 ,3,5}, B 二{1 ,2,3,4} , (C d Ap B=( )、选择题（本大题共 12小题，每题 5分，满分60分.在每题给出的四个选项中，只有一个A {1 ,2,4}B . {1 ,2}C{1 ,4}D• {2 ,4}2.以下各组两个函数是相同函数的是（ A. f x = . x -1 一 x 1 ,g x = . x 2 -1B. _______ 2f x -、2x -5 ,g x i=2x -5C.f (x) =| x -1|, g(x)二，x 2 - 2x 1D. f (n) =2n -1(n Z), g(n) =2n 1(n Z)3. 函数f （x ）二 1 -x 2 2」 (x ：： 1)f(f(-2))=( A.B.4. 函数f (x)x二 e -eA. 奇函数, C. 偶函数, (x-1)C.2D.且在（_：：,•：：）上是增函数奇函数，且在 （-：：,=）上是减函数 且在（」：，丫：）上是增函数偶函数，且在 （-：：,=）上是减函数5.已知函数2f （x ）二log 2（4x - X ），函数的值域A.(0 , 4)B. (一:：,2]C.(0 , 2)D.(」=,2)6.幕函数y =x ＞的图像如右图所示，则 :的值可以为(8.二次函数y =ax 2・bx 与指数函数y =(—)x 的图象只可能是()a19.已知f (x) =X 3 -()心则其零点所在区间为()2A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)② 函数图像关于原点中心对称； ③ 函数是值域是R ；④ 函数图像经过第一、三象限 .其中正确命题的个数是(A. 3B. -3C. 2D.-27.已知 X =1.10.1, 1.1y=0.9z 二 log 42 ，则(33A. x y zB.y x z C. y z xD.110. 定义在R 上的奇函数f (x)，满足f (? x)A f (0.3) ：：： f ( 、2) ：： f(20)B.C. f (0.3) ：：： f (20) ：： f(、2)D.11. 关于函数y =lnC x 2，1 -x)有如下命题：① 函数是R 上的单调递减函数； 1 1= f(—-x)，在区间［,0］上递增，则()2 2f(20) ：： f (0.3) ：：： f C ，2)12. 定义在R 上的奇函数f (x),当X _ 0时，x ・[t,t ・2], f(x ・t)_2f(x)恒成立，则实数t 的范围是(、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分) 13.已知函数f(x) =a x +b(a >0且a 幻)的图像经过点(1, —2)，它的反函数的图像经过点 (-4, 0)，则 f (2)=a b1 1 1 nt[14. 已知 2 =7 = m ，•则 m =a 2b 215. 函数f (x) =| x 2 • 2x -4| _k 有两个不同的零点则 k 的取值范围是16. 定义区间 c,d 、C,d 、c,d 1、lc,d 1的长度均为d-cd c .已知实数a, b a b .23则满足1的x 构成的区间的长度之和为x-a x-b三、解答题(本大题共 6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明或演算步骤) 17. (本小题满分10分)已知关于x 的方程(m 2「1)x 2「(m • 1)x 「2 = 0 (x • R)，若方程的两根一个比 「1大，一个比-1小，求实数m 的取值范围18. (本小题满分12分)记函数f(x)=lg(x -X-2)的定义域为集合 A ，函数g(x)「3-|x|的定义域为集合 B . (1) 求 A - B 和 A_ B ;(2) 若= ^x| 4x p :: 0｝， C 二A ，求实数p 的取值范围. 19. (本小题满分12分)1 133A.4B. 3C. 2D. 1of (x) =x ,对任意的A. t _ 2B.t _2 C.已知函数f(x)=( - -) x310 -1 2(1)求函数f (x)的定义域；⑵判定并证明f(x)的奇偶性；⑶求证：f (x) 020. (本小题满分12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元, 但实际出厂单价不能低于51元。
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2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设P={质数}，Q={偶数}，则P∩Q等于（）A．{2}B．2 C．N D．∅2．（5分）若a＞0且a≠1，那么函数y=a x与y=log a x的图象关于（）A．原点对称B．直线y=x对称C．x轴对称D．y轴对称3．（5分）无论a取何值，函数f（x）=log a x﹣2的图象必过（）点．A．（0，﹣2）B．（1，0） C．（1，﹣2）D．（0，2）4．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=lgx4，g（x）=4lgx B．，C．，g（x）=x+2 D．，5．（5分）已知f（x）是一次函数，且3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x﹣2 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x﹣36．（5分）下列说法正确的是（）A．对于任何实数a，都成立B．对于任何实数a，都成立C．对于任何实数a，b，总有ln（a•b）=lna+lnbD．对于任何正数a，b，总有ln（a+b）=lna•lnb7．（5分）已知集合A={0，1}，B={x，y，z}，则从集合A到集合B的映射可能有（）种．A．6 B．8 C．9 D．128．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=（x≥1）的值域是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．（﹣1，1）10．（5分）若x0是函数f（x）=2的一个零点，x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞011．（5分）下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0时也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若m=log a2，n=log b2且m＞n，则a＜b；（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤﹣3；（4）y=（x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞）．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x2，对于不相等的实数x1，x2，设m=，n=，则下列说法正确的有（）①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＜0；②对于任意不相等的实数x1，x2，都有n＜0；③存在不相等的实数x1，x2，使得m=n．A．①B．①③C．②③D．①②③二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且f（a）f（b）＜0，用二分法求相应方程的根时，若f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，则取有根的区间为．14．（5分）设函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，则函数f（﹣2）的定义域为．15．（5分）若函数y=ln为奇函数，则a=．16．（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A=[2，log2t]，集合B={x|y=}，（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b﹣a，若A的区间“长度”为3，试求实数t的值．（2）若A⊊B，试求实数t的取值范围．18．（12分）化简：（1）；（2）（lg2）•[（ln）﹣1+5]．19．（12分）设全集U=R，A={x|2x2﹣x=0}，B={x|mx2﹣mx﹣1=0}，其中x∈R，如果（∁U A）∩B=∅，求m的取值范围．20．（12分）如图所示的函数F（x）的图象，由指数函数f（x）=a x与幂函数g （x）=x b“拼接”而成．（1）求F（x）的解析式；（2）比较a b与b a的大小；（3）已知（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b，求m的取值范围．21．（12分）某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=x+（x＞0，m＞0）和函数g（x）=a|x﹣b|+c（x ∈R，a＞0，b＞0）．问：（1）证明：f（x）在（，+∞）上是增函数；（2）把函数g1（x）=|x|和g2（x）=|x﹣1|写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出g2（x）的图象是如何由g1（x）的图象得到的．请利用上面你的结论说明：g（x）的图象关于x=b对称；（3）当m=1，b=2，c=0时，若f（x）＞g（x）对于任意的x＞0恒成立，求a 的取值范围．2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设P={质数}，Q={偶数}，则P∩Q等于（）A．{2}B．2 C．N D．∅【解答】解：因为P={质数}，Q={偶数}，P中唯一的偶数是2，所以P∩Q={2}．故选：A．2．（5分）若a＞0且a≠1，那么函数y=a x与y=log a x的图象关于（）A．原点对称B．直线y=x对称C．x轴对称D．y轴对称【解答】解：∵a＞0且a≠1，那么函数y=a x与y=log a x互为反函数，因此其图象关于直线y=x对称．故选：B．3．（5分）无论a取何值，函数f（x）=log a x﹣2的图象必过（）点．A．（0，﹣2）B．（1，0） C．（1，﹣2）D．（0，2）【解答】解：令x=1，得：f（x）=﹣2，故函数f（x）过（1，﹣2），故选：C．4．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=lgx4，g（x）=4lgx B．，C．，g（x）=x+2 D．，【解答】解：对于A：f（x）=lgx4的定义域是{x|x≠0}，而g（x）=4lgx的定义域是{x|x＞0}，定义域不相同，∴不是同一函数；对于B：=|x|，，定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C：的定义域是{x|x≠2}，而g（x）=x+2的定义域是R，定义域不相同，∴不是同一函数；对于D：的定义域是{x|﹣1≤x≤1}，而g（x）=的定义域是{x|1≤x或x≤﹣1}，定义域不相同，∴不是同一函数；故选：B．5．（5分）已知f（x）是一次函数，且3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3x﹣2 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=2x+3 D．f（x）=2x﹣3【解答】解：由题意：f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，∵3f（1）﹣2f（2）=﹣5，2f（0）﹣f（﹣1）=1，可得：3k+3b﹣4k﹣2b=﹣5，2b+k﹣b=1，解得：k=3，b=﹣2．所以得f（x）的解析式为f（x）=3x﹣2故选：A．6．（5分）下列说法正确的是（）A．对于任何实数a，都成立B．对于任何实数a，都成立C．对于任何实数a，b，总有ln（a•b）=lna+lnbD．对于任何正数a，b，总有ln（a+b）=lna•lnb【解答】解：∵≠|﹣3|，排除B∵a=﹣2，b=﹣3时ln（a•b）=ln6，但lna、lnb无意义，排除C∵a=1，b=1时ln（a+b）=ln2≠0 而lna•lnb=0，排除D故选：A．7．（5分）已知集合A={0，1}，B={x，y，z}，则从集合A到集合B的映射可能有（）种．A．6 B．8 C．9 D．12【解答】解：集合A中的元素0在集合B中有3种不同的对应方式（x，y，z三选一），集合A中的元素1在集合B中也有3种不同的对应方式（x，y，z三选一），根据“分步计数原理（乘法原理）”，集合A到集合B的映射共有N=3×3=9，故选：C．8．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A：y==，是偶函数，递增，不合题意；对于B：y==，是奇函数，不合题意；对于C：函数在（0，+∞）递增，不合题意；对于D：y==是偶函数，在（0，+∞）递减，符合题意；故选：D．9．（5分）函数y=（x≥1）的值域是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，1）C．（﹣1，1]D．（﹣1，1）【解答】解：由题意：函数y===﹣1∵∴y≠﹣1又∵x≥1，∴0＜．则：y=﹣1∈（﹣1，1]，所以得函数y的值域为（﹣1，1]，故选：C．10．（5分）若x0是函数f（x）=2的一个零点，x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x﹣的一个零点，∴f（x0）=0，又∵f′（x）=2x ln2+＞0，∴f（x）=2x﹣是单调递增函数，且x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）．故选：D．11．（5分）下列四个命题：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0时也是增函数，所以f（x）是增函数；（2）若m=log a2，n=log b2且m＞n，则a＜b；（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≤﹣3；（4）y=（x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞）．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于（1），例如f（x）=﹣在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数；但f（x）在定义域上不是增函数，故（1）错；对于（2）若m=log a2，n=log b2且m＞n，a＞1，b＞1时则a＜b；0＜a＜1，0＜b ＜1时，a＞b，故（2）错误；对于（3）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，若函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，则1﹣a≥4，解得：a≤﹣3，则实数a的取值范围是a≤﹣3；故（3）正确；对于（4）由y=x2+x﹣2＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，对称轴x=﹣，故y=x2+x﹣2在（1，+∞）递增，故y=log（x2+x﹣2）的减区间为（1，+∞），（4）正确；故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x2，对于不相等的实数x1，x2，设m=，n=，则下列说法正确的有（）①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＜0；②对于任意不相等的实数x1，x2，都有n＜0；③存在不相等的实数x1，x2，使得m=n．A．①B．①③C．②③D．①②③【解答】解：分别画出函数f（x），g（x）的图象，则m=表示曲线f（x）上两点的斜率，n=表示曲线g（x）上两点的斜率，由图象可知，①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＜0，故①正确，对于任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0或n＜0，故②错误，存在不相等的实数x1，x2，使得m=n，故③正确，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且f（a）f（b）＜0，用二分法求相应方程的根时，若f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，则取有根的区间为．【解答】解：f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，∴f（a）•f（）＞0，取有根的区间为：，故答案为：，14．（5分）设函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，则函数f（﹣2）的定义域为[4，9] ．【解答】解：∵函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，即﹣1≤x≤0，∴0≤x+1≤1，即函数f（x）的定义域为[0，1]，由0，解得4≤x≤9，∴函数f（﹣2）的定义域为[4，9]．故答案为：[4，9]．15．（5分）若函数y=ln为奇函数，则a=2．【解答】解：若函数y=ln为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，则ln+ln=0，则ln（•）=0，则•=1，即（ax+1）（ax﹣1）=（2x﹣1）（2x+1），则a2x2﹣1=4x2﹣1，即a2=4，则a=2或a=﹣2，当a=﹣2时，f（x）=ln=ln（﹣1）无意义，当a=2时，f（x）=ln，满足条件．故答案为：216．（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4，故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A=[2，log2t]，集合B={x|y=}，（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b﹣a，若A的区间“长度”为3，试求实数t的值．（2）若A⊊B，试求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，log2t﹣2=3，即log2t=5，∴t=25=32；（2）A=[2，log2t]，由（x﹣2）（5﹣x）≥0，得（x﹣2）（x﹣5）≤0，得2≤x≤5，∴B=[2，5]，∵A⊊B，∴若log2t＜2，即0＜t＜4，符合题意；若t≥4，则log2t＜5，得t＜32，∴4≤t＜32．综上，实数t的取值范围为（0，32）．18．（12分）化简：（1）；（2）（lg2）•[（ln）﹣1+5]．【解答】解：（1）==；（2）（lg2）•[（ln）﹣1+5]=lg2（2+2log 25）=2lg2（log22+log25）=2lg2×=2．19．（12分）设全集U=R，A={x|2x2﹣x=0}，B={x|mx2﹣mx﹣1=0}，其中x∈R，如果（∁U A）∩B=∅，求m的取值范围．【解答】解：由题意，因为（∁U A）∩B=∅，所以B⊆A，当B=∅时，当m=0，符合题意，当m≠0时，△=m2+4m＜0，解得﹣4＜m＜0，符合题意，当B≠∅时，当B中只有一个元素时，△=0，即m2+4m=0，解得m=0（舍），m=﹣4，检验，此时，符合题意；当B中有两个元素时，由题意，将0，代入方程可知此时无解．综上所述，m的取值范围为﹣4≤m≤0．20．（12分）如图所示的函数F（x）的图象，由指数函数f（x）=a x与幂函数g （x）=x b“拼接”而成．（1）求F（x）的解析式；（2）比较a b与b a的大小；（3）已知（m+4）﹣b＜（3﹣2m）﹣b，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题意得解得，∴因（2）为，所以，即a b＜b a．（3）由题意，所以解得，所以m的取值范围是．21．（12分）某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．【解答】解：（1）由图可知时，有解得（2）当P=Q时，得，解得．令，∵x≥9，∴，在中，对称轴为直线，，且图象开口向下，∴时，t取得最小值，此时x=9．22．（12分）已知函数f（x）=x+（x＞0，m＞0）和函数g（x）=a|x﹣b|+c（x ∈R，a＞0，b＞0）．问：（1）证明：f（x）在（，+∞）上是增函数；（2）把函数g1（x）=|x|和g2（x）=|x﹣1|写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出g2（x）的图象是如何由g1（x）的图象得到的．请利用上面你的结论说明：g（x）的图象关于x=b对称；（3）当m=1，b=2，c=0时，若f（x）＞g（x）对于任意的x＞0恒成立，求a 的取值范围．【解答】证明：（1）在内任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，，因为，，所以x 1x2＞m＞0，又有x2﹣x1＞0，所以△y＞0，所以f（x）在是增函数．解：（2），；g2（x）的图象是由g1（x）的图象向右平移1个单位得到的，先考虑函数h（x）=a|x|+c（x∈R，b＞0），在h（x）的定义域内任取一个实数x，则﹣x也在其定义域内，因为h（﹣x）=a|﹣x|+c=a|x|+c=h（x），所以函数h（x）是偶函数，即其图象的对称轴为x=0，由上述结论，g（x）的图象是由h（x）的图象向右平移b个单位得到，所以g（x）的图象关于x=b对称．（3）由题意可知对于任意的x＞0恒成立．当x≥2时，不等式化为，即（a﹣1）x2﹣2ax﹣1＜0对于任意x≥2恒成立，当a﹣1=0时，即a=1，不等式化为2x+1＞0，满足题意；当a﹣1≠0时，由题意进而对称轴，所以（a﹣1）22﹣2a•2﹣1＜0，解得0＜a＜1；结合以上两种情况0＜a≤1．当0＜x＜2时，不等式，即（a+1）x2﹣2ax+1＞0对于任意0＜x＜2恒成立，由题意进而对称轴，所以△=4a2﹣4（a+1）＜0，即a2﹣a﹣1＜0，解得，所以．综上所述，a的取值范围为（0，1]．。