高一下学期期中考试数学试题(含答案)
高一下学期期中考试数学试题
(含答案)
数
学试卷
说明：本试题分第I 卷和第II 卷两部分，满分120分，时间90分钟
一、选择题（本大题共
10小题，每小题
5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
第Ⅰ卷
1.原点与点（2，3）在直线032y x 的 ( )
A ．同侧
B ．
(2,3)在直线上
C ．异侧
D ．以上都不对2. 在△ABC 中，60,1,3A
b
a ，则B 等于
（
）A ．30°
B ．60°
C 150
° D 45
°3.数列}{n a 的通项公式52n a n
，则此数列（
）
A 是公差为5的等差数列
B 是公差为2的等差数列
C 是首项为5的等差数列
D 是公差为n 的等差数列
4. 在△ABC 中，02
2
2
bc c
b
a ，则A 等于（
）A 60° B 45°
C 120°
D 30°
5．等比数列
}{n a 中，6
24
,4a a a 则（
）
A. 4
B. 8
C. 32
D. 16 6. 在△ABC 中，A C B A cos ,3:2:4sin :sin :sin 那么（）
A.
3
2 B.
4
1 C. -
4
1 D. -
3
27.在△ABC 中，A B B A 2
2
sin tan sin tan , 那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
y x
≥3
8. 设变量
满足约束条件
≥-1 ，则目标函数y x z 32的最小值
y x
2≤3
A. 6
B. 7
C.8
D.23
9. 在等比数列中等于
则84
12S ,7,91S S （
）
A ．
28
B.
32
C. 35
D.
28或-21 10. 对于任意实数
4)2(2)2,2
x a x
a x 不等式（＜0恒成立，则
a 的取值范围是
（
）A ．(－
,2) B ．（－，2]
C ．（－2，2）
D ．(-2 , 2]
二、填空题：本大题共4个小题，共20分。
（把答案填在答题卡的横线上）
11.已知△ABC 的两边分别为ABC
S
,60,5,4则C b a _______。
12.已知0＜x ＜6，则x x)6（的最大值是 __________。
13.在等比数列}{n a 中，6
8
4
,32,2a a a 则 _________。
14.已知1x
是不等式08
62
2kx
x k 的解，则k 的取值范围是 _________。
（用集合或区间表
y x,y x
示）
第II 卷
三.解答题：(本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分10分)
（1）比较两个代数式的大小：
1
212
2
y x y
x
与（2）已知
a ＞ｂ＞0, c ＞d ＞0 ，求证
d
a ＞c
b 16.（本小题满分10分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、ｂ、
c ，且B
a A
b cos 3sin （1）求角B 的大小；（2）若ｂ=3 ，的值和求
c a A C
,sin 2sin 。
17.（本题满分10分）
已知数列
}{n a 是等差数列，9
,553
a a （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列
1
1n
n a a 的前
n n n T ,T 求项和为。
18.（本题满分10分）
电视台应某企业之约播放两套连续剧。
其中，连续剧甲每次播放时间为80分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。
已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6分钟广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320分
钟的节目时间。
如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率？
19．（本题满分10分）设数列}{n a 的前2
2S n n n
项和为，}{n b 为等比数列，且1
12211
)(,b a a b b a （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（2）
设n
n n
b a
c ，求数列
}{n c 的前n n T 项和。
高一数学试题答案
一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项
C
A
B
C
D
C
D
B
A
D
二、填空题：11、3512、9
13、-8 14
、（-∞，2]∪[4,+ ∞）
三、解答题; 15、解：（1）∵
)1(212
2y x
y
x
=2
22122
y x y x
= 1)1()12
2
y x （＞0
∴12
2
y
x
＞)
1(2y x
(2)
∵ a ＞b ＞0 ,c ＞d ＞0
∴ ac ＞bd ＞0 又∵ cd ＞0 ∴
cd 1
＞0 于是
d
a ＞
c
b ＞0
∴
d
a ＞
c b 16、解：（1）∵
B a A
b cos 3sin ∴B A A
B cos sin 3sin sin B
B
cos 3sin 即
3tanB
∵0＜B ＜∴3B （2）∵A
C
sin 2sin [来源
∴a
c
2B
ac c
a
b
cos 22
2
2
9=21
2242
2
a
a a
a 解得
3
2,3c a 17、解：设数列
}{n a 首项为1a 公差为 d
（1）由
9,553a a 得521d a 941
d a 解得2,11d a ∴1
2n
a n
（2）
)
12)(12(1
1
1
n
n
a a n
n
)12)(12(153
1311n n
T n
=
)1
21
1
21
5
131311
(21n n =1
2)
1211(2
1n
n
n
18、解：设每周播放连续剧甲
x 次，播放连续剧乙
y 次，收视率为
z.。
目标函数
z=60x+20y,所以，题目中
包含的限制条件为：
80x+40y ≤320 , x+y ≥6 ,
x ≥0 , y ≥0 .
可行域如图。
解方程组
80x+40y=320 x+y=6 即
2x+y=8
x+y=6
得M 的坐标为（2，4），所以
max
z 60x+20y=200(万)
答：电视台每周应播映连续剧甲2次，播放连续剧乙
4次才能获得最高的收视率。
19、解：（1）
6
,21
221
1
S S a S a ∴d=4
∴2
4n
a n
又∵
2
11a b 1
122)(b a a b ∴21
2b ∴3
22
1n n
b （2）3
22
)24(n n n n
n b a c n
n
n
c c c c c T 13
2
1
=)1(2
)24(2)64(2
102
62
2
3
25
23
1
1
n n n n )
2(2
)24(2)
64(210262241
23
25
3
1
n n n
n n T (1)-(2)得
1
23
23
2
)24(2
42
42413n n n
n T 1
21
42
)24(41)41(2413n
n n n T 1
2122
)24()22(3413n n n n T 1
22
)9
1034(3495n n n T。
2024年大连二十四中高一下学期5月期中数学试题答案
大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学科试卷参考答案1-8.ABADB CBD 9-11 AD AC BCD 12. 13.14. 15. （1）因为，，所以，即，则，则，即与夹角的余弦值（2）因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，由，得，即，解得，当与共线时，有，即，由（1）知与不共线，所以，解得，所以当与不共线时，，所以且，即实数的取值范围为16. （1），1725-34±6π1a b == ()()223a b a b +⋅-=- 22223a ab b +⋅-=- 2123a b +⋅-=- 13a b ⋅= 1cos ,3a b a b a b ⋅==a b 13ka b + 3a b +()()30ka b a b +⋅+> ka b + 3a b +()()30ka b a b +⋅+> ()223130ka k a b b ++⋅+> ()131303k k ++⨯+>53k >-ka b + 3a b + ()3ka b a b λ+=+ 3k a b a b λλ+=+a b 13k λλ=⎧⎨=⎩13k =ka b + 3a b + 13≠k 53k >-13≠k k 511,,333⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()π3πcos sin sin cos cos 22sin 3πsin πsin sin sin x x x x x f x x x x x x⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⋅⎝⎭⎝⎭===-+--⋅-由已知，，得，所以．（2），，得，由，得，． ． ．．而，．．．17.（1）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，此时.若选①，则函数的一条对称轴，则，得，，当时，，此时，；若选②，则函数的一个对称中心，则，得，，当时，，此时，；cos 1()sin 2f ααα=-=tan 2α=-222222sin cos 2sin tan 2tan 286sin cos 2sin sin cos tan 1415ααααααααααα++-++====+++()3f α=- cos 3sin αα∴-=-1tan 3α=()2f αβ-=-1tan()2αβ-=∴tan()tan tan(2)tan[()]11tan()tan αβααβαβααβα-+-=-+==-- π,π2β⎛⎫∈⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0αβ∴-<-<1tan()02αβ-=>∴ππ2αβ-<-<-2(π,0)αβ∴-∈-∴3π24αβ-=-()y f x =2π22T ππ=⨯=222T ππωπ∴===()()2sin 21f x x ϕ=++()y f x =3x π=-()232k k Z ππϕπ-+=+∈()76k k Z πϕπ=+∈22ππϕ-<< 1k =-6πϕ=()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()y f x =5,112π⎛⎫⎪⎝⎭()56k k Z πϕπ+=∈()56k k Z πϕπ=-∈22ππϕ-<< 1k =6πϕ=()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭若选③，则函数的图象过点，则，得，，，，解得，此时，.综上所述，；（2）令，，，，当或时，即当或时，线段的长取到最大值18. （1）由图象可知则，则，又，所以，所以，又，所以，所以的解析式为；（2），令，由可得，令，由对称性可知，两式相加可得，，所以；()y f x =5,06π⎛⎫⎪⎝⎭552sin 1063f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51sin 32πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭22ππϕ-<< 7513636πππϕ∴<+<51136ππϕ∴+=6πϕ=()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()()2sin 21cos 6h x f x g x x x xπ⎛⎫=-=++- ⎪⎝⎭122cos 212cos 2102x x x x ⎫=++=+≥⎪⎪⎭()cos 21P Q h t t ∴==+[]0,t π∈ []20,2t π∴∈20t =22t π=0=t t π=PQ 22π7πππ2,441234T A ω===-=2ω=()()2sin 2f x x ϕ=+7π7π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7π3π2π,Z 62k k ϕ+=+∈π||2ϕ<π3ϕ=()f x π()2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π()2sin 3h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3π,,π32m x m ⎡⎫=+∈-⎪⎢⎣⎭π4()2sin 33h x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2sin 3m =1232sin sin sin 3m m m ===1223π,πm m m m +=-+=12320m m m ++=1234π23x x x ∴++=-()1234π1cos 2cos 32x x x ⎛⎫++=-=- ⎪⎝⎭（3），令，则，因为对于任意，当时，都有成立，所以对于任意，当时，都有成立，即对于任意，当时，都有成立，所以函数在上单调递增，由，得，所以，解得，所以的最大值为19.（1）依题意，得，所以，所以或，当时，，则，又，所以，当，则又，所以或，所以，所以方程在上的解集为πππ()2sin 22cos 2233g x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()F x f x g x =-ππ()2sin 22cos 233F x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ234x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π212x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12,[0,]x x t ∈12x x <()()()()1212f x f x g x g x -<-12,[0,]x x t ∈12x x <()()()()1122f x g x f x g x -<-12,[0,]x x t ∈12x x <()()12F x F x <()F x []0,t []0,x t ∈πππ2,2121212x t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ2122t +≤5π024t <≤t 5π2422sin cos cos 2cos sin ααααα-==-()()cos sin sin cos 10αααα-++=cos sin 0αα-=sin cos 1αα+=-cos sin 0αα-=cos 0α≠tan 1α=[]0,2πα∈π5π,44α=sin cos 1αα+=-πsin 4α⎛⎫+=-⎪⎝⎭[]ππ9π0,2π,,444αα⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦π5π44α+=7π43ππ,2α=()co s 2f x α=[]0,2ππ5π3π,π,,442⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）①设，当时，则，此时在上单调递增，在上也单调递增，所以在上单调递增，，所以在区间上有且只有一个零点；②记函数的零点为，所以，且，所以，所以，令，因为，所以，又，则，所以，则.()πsin cos 2ln 2ln 4F x x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ0,44x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭2ln y x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭()F x ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭πππππ2ln 0,2ln 044242F F ⎛⎫⎛⎫=<=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y Fx =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭()y Fx =0x 000sin cos 2ln 0x x x -+=0x ∈ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭()0001ln cos sin 2x x x =-()000000111ln sin 2cos sin sin cos 422x x x x x x +=-+000πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭0ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,0t ∈-20012sin cos t x x =-2001sin cos 2t x x -=()2220011111111111ln sin 21,42224244224t x x t t t t -⎛⎫+=+⨯=-++=--+∈- ⎪⎝⎭00111ln sin 2244x x -<+<。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
浙江省钱塘联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题(含答案)
浙江省钱塘联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数满足，则（ ）AB.C. 1D.2. 将水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为（ ）A.B. 6C. 5D.3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（ ）为.z (1i)i z -=||z 1214ABC V 3A C ''=2B C ''=AB(1,1),(,2)a m b m =-= 2m =a b ∥ ()(1),()log a f x a x g x x =-=A. B. C. D.5. 如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 6. 已知向量在的投影向量为，且，则（ ）A.B. C. D. 7. 在中，三个内角对应的边为，且．若仅有唯一解，则下列关于的取值不一定成立的是（ ）A. 或 B. C. D. 8. 如图，一个正三棱台的上、下底面边长分别为和，则正三棱台的侧面积及外接球体积分别为（ ）AB..ABCD2AB BC ==E CD AE BE ⋅ 72⎤⎥⎦4]72⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b ()1,1b =- a b ⋅= ABC V ,,A B C ,,a b c 3,60b B ==︒ABC V a 03a <≤a =0a <≤0a <<03a <≤3cm 6cm πC.D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列四个结论正确的有（ ）A. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台；B. 斜棱柱的侧面可能有矩形；C. 正棱锥的底面是正多边形；D. 球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若，则一定有；B. 若是锐角三角形，则一定有成立；C. 若，则一定是直角三角形；D. 若，则一定是锐角三角形．11. 已知函数．则下列说法正确的是（ ）A. 若，则偶函数；B. 若，则单调递增；C. 若，则函数的最小值为2；D. 若时，函数在区间上有且仅有一个零点，则．非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知复数为纯虚数，则=______.13. 若，则的值为______．14. 如图，在中，是的中点，与交于点．设，则______；若，则______．为πABC V A B C a b c sin sin A B >a b >ABC V sin cos cos A B C >cos cos b C c B a -=ABC V 222sin sin cos 1A C B +>+ABC V 41()2ax xf x +=1a =()f x 1a =-()f x 1a =()f x 0<a ()(|ln |1)2h x f m x =---1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1ln 22m +<≤(1)(1)a a i ++-a cos 2sin 0αα+=22sin cos πsin sin 2αααα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC V D BC 2,BE EA AD =CE O AO mAB nAC =+ m n +=6AB AC AO EC ⋅=⋅ABAC=四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知向量.（1）已知，求向量与的夹角；（2）若，求实数的值.16. 如图所示，在边长为的正三角形中，E 、F 依次是、的中点，，，，D 、H 、G 为垂足，若将绕旋转，（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.17. 在中，内角对边分别为，且．（1）求角；（2）若点为边上靠近的三等分点，且，求面积的最大值．18. 已知平面向量．设函数．（1）求的最小正周期；（2）若函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到，且关于的方程在上恰有三个不同的实数根，求实数的取值范围和的值．19. 杭州世纪中心是杭州最高楼，同时是浙江省最高的双子塔楼，建筑高度310米，以杭州拼音首字母“”为外形蓝本，被称为杭州之门，双塔的设计像一对翅膀，结合了杭州文化的城市之形，拱桥之意。
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）()242iz a a =-+-a A ．2B ．2或C ．D ．2-2-4-【答案】C【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，()242i z a a =-+-24020a a ⎧-=⎨-≠⎩2a =-所以实数的值为.a 2-故选：C2．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则的形状为ABC 2cos c a B =ABC （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等()sin sin C A B =+tan tan A B =腰三角形的结论.【详解】，由正弦定理，得，2cos c a B =()sin sin 2sin cos C A B A B=+=即sin cos cos sin 2sin cos ,A B A B A B +=∴，可得，sin cos cos sin A B A B =tan tan A B =又，∴，0π,0πA B <<<<A B =则的形状为等腰三角形.ABC 故选：A.3．某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）120︒A ．BC ．D 【答案】D【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，120︒所以该扇形的弧长为，120π32π180⨯=设圆锥的底面半径为，则，解得：，r 2π2πr =1r =因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为h =该圆锥的体积为.2211ππ133r h =⨯⨯=故选：D4．中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，B 的大ABC π4A =a =b =小为（ ）A ．B ．C ．或D ．或π6π3π65π6π32π3【答案】D【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin sin a B b A B B =⇒==由于,，所以或,()0,πB ∈b a>B =π32π3故选：D5．设点P 为内一点，且，则（ ）ABC ∆220PA PB PC ++=:ABP ABC S S ∆∆=A ．B ．C ．D ．15251413【答案】A【分析】设AB 的中点是点D ，由题得，所以点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，即14PD PC=- 得解.【详解】设AB 的中点是点D ，∵，122PA PB PD PC+==- ∴，14PD PC=- ∴点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，∴的面积为的面积的.ABP ∆ABC ∆15故选：A【点睛】本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．如图，在长方体中，已知，，E 为的中点，则异面直1111ABCD A B C D -2AB BC ==15AA =11B C 线BD 与CE 所成角的余弦值为（）ABCD【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取的中点F ，连接EF ，CF ，，易知，所以为异面直线BD11C D 11B D 11EF B D BD∥∥CEF ∠与CE所成的角或其补角.因为1112EF B D ==CE CF ====余弦定理得.222cos 2EF EC CF CEF EF EC +-∠====⋅故选：C7．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相ABCD A B C D -''''等、高为1的“刍童”，其中，“刍童”外接球的表面积为22AB A B ''==2BC B C ''==（ ）A ．B ．CD ．20π20π3【答案】A【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O ，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积．【详解】如图，连接AC 、BD 、、，设AC ∩BD ＝M ，∩＝N ，连接MN ．A C ''B D ''AC ''BD ''∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN 所在直线上，设外接球球心为ABCD A B C D -''''O ，如图当球心在线段MN 延长线上时，易得，MC ＝2，，，4AC ===2A C ''===1NC '=MN ＝1，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+，()()2222141141OM MN OM OM OM OM ++=+⇒++=+⇒=故OC ＝OC ==∴外接球表面积为．24π20π⋅=如图当球心在线段MN 上时，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+舍去，()()2222141141MN OM OM OM OM OM +-=+⇒+-=+⇒=-故选：A【点睛】关键点睛：利用刍童的几何性确定外接球的球心是解题的关键.8．如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点ABC ∆BC 30C ∠=︒,B C x y 在线段的右上方．设，（），记，，分别考查A BC OA xOB yOC =+ ,x y ∈R M OA OC =⋅N x y =+的所有运算结果，则,MN A ．有最小值，有最大值B ．有最大值，有最小值M N M N C ．有最大值，有最大值D ．有最小值，有最小值M N M N 【答案】B【分析】设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简，OCB α∠=α,M N α,M N 进而求得最值的情况.,M N 【详解】依题意，所以.设，则30,2,90BCA BC A ∠==∠=1AC AB ==OCB α∠=，所以，，所30,090ABx αα∠=+<<()())30,sin 30Aαα++()()2sin ,0,0,2cos B C αα以，当时，取得最大值()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅ 23090,30αα+==M 为.13122+=，所以，所以OA xOB yOC =+ ()sin 302cos x y αα+==时，有最小值为()sin 302cos N x y αα+=+=+ 1=290,45αα==N 故选B.1+【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、多选题9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ）21i z =-A ．z 的虚部为1B ．22iz =C ．z 的共轭复数为D ．1i -+2z =【答案】AB【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.【详解】,故虚部为1，共轭复数为，()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+1i-=，故AB 正确，CD 错误，()221i 2i z =+=故选：AB10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）ABCDEF A ．B ．AC AE BF -= 32AE AC AD+= C ．D ．在上的投影向量为AF AB CB CD ⋅=⋅ AD AB AB 【答案】BCD【分析】对A ，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B ，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C ，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D ，利用向量的几何意义的知识即可判断．【详解】连接，与交于点，如图所示，,,,,,AE AC AD BF BD CE CE AD H 对于A ：，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE AC EA EC -=+= EC BF对于B ：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法AE AC=AD EAC ∠ACE △则有，与共线且同方向，2AC AE AH += AH AD易知，均为含角的直角三角形，EDH AEH △π6，即，3AH DH = 所以，34AD AH DH DH DH DH =+=+=又因为，故，26AH DH= 232AH AD=故，故B 正确；32AE AC AD+= 对于C ：设正六边形的边长为，ABCDEF a 则，，22π1cos 32AF AB AF AB a⋅=⋅=- 22π1cos 32CB CD CB CD a ⋅=⋅=-所以，故C 正确；AF AB CB CD ⋅=⋅ 对于D ：易知，则在上的投影向量为，故D 正确，π2ABD ∠=AD AB AB故选：BCD ．11．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ）AB CD【答案】BCD【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.【详解】如图所示：①若平面，为边长为2的正三角形，，，都是等腰直角三AB ⊥BCD BCD △2AB =ABD △ABC 角形，满足题目条件，故其体积；11222sin 6032V =⨯⨯⨯⨯⨯︒=②若平面，为边长为2的正三角形，,，都是等腰直角三AB ⊥BCD ACD AB =ABD △ABC角形，满足题目条件，故其体积1132V ==③若为边长为2的正三角形，，都是等腰直角三角形，BCD △ABD △ABC，中点，因为，而2AB BC CD AD ====AC =AC E BE AC ⊥，所以，即有平面，故其体积为222DE B D E B +=BE DE ⊥BE ⊥ACD 112232V =⨯⨯=故选：BCD12．如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的O ABCD 2AB =6BC =4AD CD ==是（ ）A ．四边形的面积为B ABCDC ．D ．过作交于点，则4BO CD ⋅=- D DF BC ⊥BC F 10DO DF ⋅=【答案】BCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出1cos 7D =-1cos 7B =，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；Csin ,sin B D 选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接，在中，，，AC ACD 21616cos 32AC D +-=2436cos 24AC B +-=由于，所以，故，πB D +=cos cos 0B D +=22324003224AC AC--+=解得，22567AC =所以，，所以1cos 7D =-1cos 7B =sin sin B D ===故11sin 2622ABC S AB BC B =⋅=⨯⨯=11sin 4422ADC S AD DC D =⋅=⨯⨯= 故四边形，故A 错误；ABCD =对于B ，设外接圆半径为，则，R 2sin AC R B ===B 正确；对于C ，连接，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：BD ，122CG CD ==由于，所以，即，πA C +=cos cos 0A C +=22416163601648BD BD +-+-+=解得，所以，所以，且，BD =1cos 2C =π3C =1cos 632CE BC C =⋅=⨯=所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，321EF =-= BO CD EG CD 故，故C 正确；4BO CD EG CD ⋅=-⋅=-对于D，由C 选项可知：，故，π3C =sin 604DF CD =⋅︒== 30CDF ∠=︒因为，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故，AD CD =1302ODF ADC ∠=∠-︒由A 选项可知：，显然为锐角，1cos 7ADC ∠=-12ADC ∠故1cos 2ADC ∠==1sin 2ADC ∠==所以1cos cos 302ODF ADC ⎛⎫∠=∠-︒ ⎪⎝⎭11cos cos30sin sin3022ADCADC =∠⋅︒+∠⋅︒=所以，故D 正确.cos 10DO DF DO ODF DF ∠==⋅=⋅ 故选：BCD三、填空题13．已知向量，，若，则________．()2,4a =(),3b m =a b ⊥ m =【答案】6-【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；0a b ⋅=【详解】因为，且，()2,4a =(),3b m =a b ⊥ 所以，解得.2430a b m ⋅=⨯+⨯=6m =-故答案为：6-14．若复数所对应复平面内的点在第二象限，则实数的取值范围为________；()16z m i i=++m 【答案】60m -<<【分析】先化成复数代数形式得点坐标，再根据条件列不等式解得实数的取值范围.m 【详解】因为对应复平面内的点为，又复数所对应复平面()6z m m i=++6m m +，()16z m i i=++内的点在第二象限，所以06060m m m <⎧∴-<<⎨+>⎩【点睛】本题重点考查复数的概念，属于基本题.复数的实部为、虚部为、模为(,)a bi a b R +∈a b 、对应点为、共轭为(,)a b .-a bi15．已知，是边AB 上一定点，满足，且对于AB 上任一点P ，恒有ABC 0P 014P B AB= ．若，，则的面积为________．00PB PC P B P C ⋅≥⋅ π3A =4AC = ABC【答案】【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算公式，结合二次函数的性质、三角形面积公式进行求解即可.【详解】以所在的直线为横轴，以线段的中垂线为纵轴建立如图所示的直角坐标系，AB AB设，，，因为，所以，()40AB t t =>()2,0A t -()2,0B t 014P B AB =()0,0P t 设，，(),C a b ()(),022P x t x t -≤≤，()()()()002,0,,,,0,,PB t x PC a x b P B t P C a t b =-=-==-由，()()()()2200220PB PC P B P C t x a x t a t x x a t at t ⋅≥⋅⇒--≥-⇒-+++≥设，该二次函数的对称轴为：，()()222f x x x a t at =-++22a tx +=当时，即，222a t x t+=<-6a t <-则有，所以无实数解，()()222042203f t t t a t at t a t-≥⇒++++≥⇒≥-当时，即，222a tx t +=>2a t >则有，所以无实数解，()()22204220f t t t a t at t a t≥⇒-+++≥⇒≤当时，即，2222a tt t +-≤≤62t a t -≤≤则有，而，所以，()()2222400a t at t a ∆=-+-+≤⇒≤⎡⎤⎣⎦20a ≥0a =显然此时在纵轴，而，所以该三角形为等边三角形，()0,C b π3A =故的面积为ABC 1442⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点睛：建立合适的直角坐标系，利用二次函数对称轴与区间的位置关系关系分类讨论是解题的关键.16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k ．已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体；以A ，B 分别为上M 下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为，平面，且距β//αβ离为h ，若平面截圆柱体N 所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，我们可以α1S αM 2S 求出的比值，进而求出环体体积为________．12S S M 【答案】28π【分析】画出示意图的截面，结合图形可得和的值，进而求出圆柱的体积，乘以，可得环1S 2S 2π体的体积，得到答案.M 【详解】画出示意图，可得，14S ==222ππS r r =-外内其中，，(224r =外(224r =内故，即，21π2πS S ==1212πS S =环体体积为.M 22π2π4π8πV =⨯=柱故答案为：28π四、解答题17．如图所示，在中D 、F 分别是BC 、AC 的中点，，，．ABC 23AE AD =AB a =AC b = (1)用，表示向量，；a bAD BF (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【答案】(1)，()12AD a b =+ 12BF b a=-(2)证明见解析【分析】（1）由向量的线性运算法则求解；（2）用，表示向量、，证明它们共线即可得证．a bBF BE 【详解】（1）∵，，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AB a =AC b = ∴，()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB a b=+=+=+-=+ ，12BF AF AB b a=-=- （2）由（1），，∴1233BE b a =- 12BF b a=-1312322332BF b a b a BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴与共线，又∵与有公共点B ，BF BE BF BE故B ，E ，F 三点共线．18．在中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且．ABC222a b c +=+(1)求C ；(2)若，求A ．tan 2tan B a cC c -=【答案】(1)45C =︒(2)75A =︒【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得，进而可求解.60B =︒【详解】（1）∵，∴，∴，222a b c +=+2222a b c ab +-=cos C =由于C 是三角形内角，∴．45C =︒（2）由正弦定理可得，tan 22sin sin tan sin B a c A CC c C --==∴sin cos 2sin sin cos sin sin B C A CB C C -=∴，∴，sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=∴，∴．()sin 2sin cos B C A B+=sin(π)sin 2sin cos A A A B ==-∵，∴，sin 0A ≠1cos 2B =由于B 是三角形内角 ，∴，则．60B =︒180456075A ︒-︒-︒==︒19．如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面,x y O θx y 21,e e 向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，OP(),x y 12OP xe ye =+ 我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.(),x y P xOy xOy(1)若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；90,OP θ=OP 1e 120 P(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值.45θ=P (OP 1e【答案】(1)1,2⎛- ⎝【分析】（1）时，坐标系为平面直角坐标系，设点利用求出，再90θ= xOy (),P x y 112⋅=- OP e x 利用模长公式计算可得答案；（2）根据向量的模长公式计算可得答案.，12==OP e e 1⋅OP e【详解】（1）当时，坐标系为平面直角坐标系，90θ=xOy 设点，则有，而，(),P x y (),OP x y =()111,0,e OP e x=⋅=又，所以，又因，111cos1202OP e OP e ⋅=⋅⋅=- 12x =-1OP ==解得的坐标是；y =P 1,2⎛- ⎝（2）依题意夹角为，21,e e 12121245,cos45⋅=⋅==e e e e OP e e12OP e e ∴====，()2111121121cos ,2OP e OP e OP e e e e e e e αα⋅=⋅⋅=⋅=+⋅=+⋅=2,cos αα==20．如图所示，在四棱锥中，平面，，E 是的中点．P ABCD -//BC PAD 12BC AD =PD（1）求证：；//BC AD （2）若M 是线段上一动点，则线段上是否存在点N ，使平面？说明理由．CE AD //MN PAB 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取中点N ，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．AD CN EN 【详解】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，P ABCD -//BC PAD BC ⊂ABCD 平面平面，ABCD ⋂PAD AD =∴，//BC AD （2）线段存在点N ，使得平面，理由如下：AD //MN PAB取中点N ，连接，，AD CN EN ∵E ，N 分别为，的中点，PD AD ∴，//EN PA ∵平面，平面，EN ⊄PAB PA ⊂PAB ∴平面，//EN PAB 取AP 中点F,连结EF,BF ，，且，//EF AN =EF AN 因为，，//BC AD 12BC AD =所以，且，//BC EF =BC EF 所以四边形BCEF 为平行四边形，所以.//CE BF 又面PAB ，面PAB ，所以平面；CE ⊄BF ⊂//CE PAB 又，CE EN E = ∴平面平面，//CEN PAB ∵M 是上的动点，平面，CE MN ⊂CEN ∴平面PAB ，//MN ∴线段存在点N ，使得MN ∥平面．AD PAB 21．合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中的三个顶点，已知,ABCAB AC ==．为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在区域内（不包括边界）且与B ,C 等距的40m BC =ABC 一点O 处建立一个蓄水池，并铺设管道OA 、OB 、OC．(1)设，记铺设的管道总长度为，请将y 表示为的函数；OBC θ∠=m y θ(2)当管道总长取最小值时，求的值．θ【答案】(1)()202sin π200cos 4y θθθ-⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)π6θ=【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示，，进而可求解，20cos BO θ=20sin cos OD θθ=（2）利用，结合三角函数的最值可得.2sin cos k θθ-=k 【详解】（1）由于,在的垂直平分线 上，AB AC ==,OB OC O =∴BC AD 若设，则, ∴OBC θ∠=20cos BO θ=20sin cos OD θθ=20sin 20cos OA θθ=-则；()202sin 202020tan 2200cos cos 4y θπθθθθ-⎛⎫=-+⨯=+<< ⎪⎝⎭（2）令得2sin cos k θθ-=2cos sin k θθ=+≤故，又，故23k≥0k >k ≥min2020y =+此时：得2sin cos θθ-=πsin 2sin 23θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πsin 13θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，故,故π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ32θ+=π6θ=22．数学史上著名的波尔约-格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以通过相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（FarksBolyai ）和保罗·格维也纳（PaulGerwien ）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明．现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分），其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个14缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【答案】(1)柱锥V V>(2)答案见解析【分析】（1）根据题中的操作过程，结合棱锥、棱锥的体积进行求解比较即可；（2）根据题中操作过程，结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义进行操作即可.【详解】（1）依上面剪拼方法，有．柱锥V V >推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正如图所示：在正四面体中，高，DO ===在图2一顶处的四边形中，如图所示：直三棱柱高，()π11tan tan 21622PN PMN MN =∠⋅=⨯⨯-==，13V V h h ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭柱锥柱锥0=>∴．柱锥V V >（2）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．。
浙江省浙里特色联盟2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学含答案
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}24A x x =≤<，集合{}2560B x x x =-+>，则集合A B = （）A ．()2,4B ．()2,3C ．()3,4D ．[)2,32．已知i 是虚数单位，则复数202433i 2i z =+在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设,,αβγ是三个不同平面，且l αγ= ，m βγ= ，则“l m ∥”是“αβ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若命题00:,0p x y ∃>，有220000x y x y +=且00x y ≠，则命题p ⌝为（）A ．22,0,x y x y xy ∀>+≠且x y =B ．22,0,x y x y xy ∀>+≠或x y =C ．22,0,x y x y xy ∀≤+≠且x y=D ．22,0,x y x y xy ∀≤+≠或x y=5．已知向量,a b，满足5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b += （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19356．已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的周期为πB ．()f x 的图象关于直线π2x =对称C ．1π,4⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器绕边BC 倾斜．随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误．．的是（）（1）（2）（3）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．棱11A D 始终与水面所在平面平行C ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值D ．当容器倾斜如图（3）所示时，BE BF ⋅是定值8．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则ABC △面积的最大值为（）A ．4B ．2C ．94D ．92二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
郑州外国语学校2023-2024学年高一下期期中试卷数 学（120分钟 150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出即可得解.【详解】复数，在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B2. 下列说法正确的是（ ）A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥B. 长方体是平行六面体C. 用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形D. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台【答案】B 【解析】【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ， 底面是正多边形，侧棱均相等的棱锥是正棱锥，故A 错误；对于B ，平行六面体是各个面都为平行四边形的棱柱，而长方体是各面为矩形的棱柱，所以长方体是平行六面体，故B 正确；对于C ，用一个平面去截圆柱，所得截面可能为椭圆，故C 错误；对于D ，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D 错误.故选：B .3. 在中，角所对边分别为，若，则（ ）A.B. 2C. 1或2D. 2的()i 1i z =+i z z 1i z =-+z (1,1)-ABC ,,A B C ,,a b c π1,6a b B ===c =【解析】【分析】由余弦定理即可求.【详解】由余弦定理得，化简得，解出或2.故选：C.4. 已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分条C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】A 【解析】【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.【详解】因为，所以，又因为，所以，即“”是“”的充分条件；如图，在长方体中，设面为面、面为面，则，且与面不垂直，即“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为222cos 2a c b B ac +-==2320c c -+=1c =m n αβn αβ= αβ⊥m β⊥m n ⊥n αβ= n β⊂m β⊥m n ⊥m β⊥m n ⊥ABCD αBCEF βm n ⊥m βm β⊥m n ⊥m β⊥m n ⊥A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.6. 已知直角三角形ABC 中，，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则的最大值为（ ）,CD a PE b ==212PO CD PE =⋅,a b ,CD a PE b ==PO ==212PO ab =22142a b ab -=24()210b b a a -⋅-=b a =90A ∠=︒PB PC ⋅A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.【详解】以为原点建系，，，即，故圆的半径为，∴圆，设中点为，，，∴，故选：D.16556525PB PC PD =- A ()()0,2,4,0BC :142x yBC +=240x y +-=r 2216:5A x y +=BC ()2,1D 22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=- max PD AD r =+==()max8156555PB PC =-=7. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，将该三角形绕AC 边旋转得一个旋转体，则该旋转体体积为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得该旋转体为大圆锥去掉小圆锥，结合圆锥的体积公式运算求解.【详解】因为，即，由余弦定理可得，且，可得，又因为，，即，解得或（舍去），如图，将该三角形绕AC 边旋转得一个旋转体，则该旋转体为大圆锥去掉小圆锥，可得，则，大圆锥的底面半径为3，高为，小圆锥的底面半径为3，所以该旋转体体积为.故选：B.8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；ABC ,,a b c 222bc a b c =--a=b =360︒2π,3A c ==CO AO 222bc a b c =--222b c a bc +-=-2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-()0,πA ∈2π3A =a =b =2213c =--2180c -=c =c =-360︒CO AO cos 60sin 603AO AB BO AB =︒==︒=CO CA AO =+=CO 119π3V =⨯⨯=AO 219π3V =⨯=12V V V =-=-=1111ABCD A B C D -BC②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面所在四边形的面积为定值；④棱始终与水面所平面平行；⑤当容器倾斜如图3所示时，是定值．其中正确命题的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据棱柱的定义判定①②，利用线面垂直的性质定理可得水面是矩形判定③，利用线面平行的判定定理判断④，利用等体积法判断⑤即可.【详解】根据棱柱的定义：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余没相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形可知，由于边固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，所以在倾斜的过程中有水的部分始终呈棱柱形，同理没有水的部分始终呈棱柱形，①②正确；在倾斜的过程中，，长度不变，不断变化，又因为，所以始终垂直于平面，又平面，所以水面是矩形，所以水面所在四边形的面积不是定值，③说法错误；因为在倾斜的过程中，始终与平行，且水面，水面，所以棱始终与水面所在平面平行，④说法正确；因为水的体积是不变的，正三棱柱的高始终是也不变，所以底面面积也不会变，即是定值，⑤说法正确；综上正确的是：①②④⑤，在EFGH 11A D ·BE BF EFGH BC AD EH FG BC ∥∥∥AEFB DHGC ,EH FG ,EF HG FG BC ∥FG 11ABB A EF ⊆11ABB A EFGH EFGH 11A D FG 11A D ⊄FG ⊆11A D BEF CHG -BC ·BE BF故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）A B. C. 与的夹角为D. 在【答案】AC 【解析】【分析】已知向量的坐标，证明向量垂直，求向量的模长、夹角、投影等都比较简单，根据公式求解即可.【详解】因为，，所以，则，所以，故A 正确；因为，所以，故B 错误；，所以，故C 正确；在方向上的投影向量是，故D 错误.故选:AC.10. 下列说法正确的是（ ）A. 若、互为共轭复数，则为实数B. 若为虚数单位，为正整数，则C. 已知是关于的方程的一个根，则D. 复数满足，则的最大值为【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数乘法可判断A 选项；利用复数的乘方可判断B 选项；分析可知为方程.的(3,1)a =- (2,1)b =()a b b-⊥ 2a b +=a b4πa b()3,1a =- ()2,1b = ()1,2a b -=-()12(2)10a b b -⋅=⨯+-⨯= ()a b b -⊥2(71)a b +=，|2|a b +==cos ,||||a b a b a b ⋅==⋅<>,[π]a b ∈ <>0，π,4a b = <>a b cos ,a a b = 1z 2z 12z z i n 43i in +=1i +x ()220,ax bx a b ++=∈R 1a b +=-z 1z =1i z --11i ±的两根，利用韦达定理可求出、的值，可判断C 选项的正误；利用复数模的三角不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，设，则，所以，为实数，A 对；对于B 选项，，B 错；对于C 选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以为方程的两根，则，所以，，解得，所以，，C 对；对于D 选项，利用复数模的三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，D 对.故选：ACD.11.在三棱锥中，已知，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则（ ）A.B. 异面直线AN ，CM所成的角的余弦值是C. 三棱锥D. 三棱锥的外接球的表面积为【答案】ABD 【解析】【分析】将三棱锥补形为长方体，向量法求直线的夹角判断A ，B ；利用体积公式求三棱锥的体积判断C ；确定三棱锥的外接球的半径，求表面积判断D.【详解】三棱锥中，已知，三棱锥补形为长方体，如图所示，()220,ax bx a b ++=∈R a b ()1i ,z a b a b =+∈R 2i z a b =-()()2212i i z z a b a b a b =+-=+433i i i n +==-1i ±()220,ax bx a b ++=∈R 0a ≠()()()()21i 1i 1i 1i ab a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪++-=-⎪⎩12a b =⎧⎨=-⎩1a b +=-1i 1i 1z z --≤++=+z =A BCD -3,2AB AC BD CD AD BC ======MNAD ⊥78A BCD -A BCD -11πA BCD -3,2AB AC BD CD AD BC ======AHDG FCEB -则有，解得，以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则有，，，，，，所以，A 选项正确；，，，所以异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是，B 选项正确； 三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，体积都为三棱锥，C 选项错误；222222222949BF BG AB BFBE BC BG BE BD ⎧+==⎪+==⎨⎪+==⎩BF BE BG ===B ,,BF BE BGx y z ())(0,0,0,,,B CAD M N ⎫⎪⎪⎭(0,0,MN = ()AD = 0MN AD ⋅=MN AD ⊥AN ⎛= ⎝ CM ⎛= ⎝ 7cos ,8AN CM AN CM AN CM ⎛⎛++ ⋅-===⋅ 78E BCD -G ABD -F ABC -H ACD -1132⨯=A BCD -4-=的外接球，其表面积为，D 选项正确.故选：ABD.12. 在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）A. 外接圆面积是 B. 面积最大值是C. 周长的取值可以是 D. 内切圆半径的取值范围是【答案】ABD 【解析】【分析】根据，结合正弦定理，可求，结合，可求角.根据三角形外接圆半径满足，可判断A 的真假；结合余弦定理和基本（均值）不等式，可判断B 的真假；利用为锐角三角形，求出角的取值范围，利用正弦定理表示出，可求周长的取值范围，判断C 的真假；根据BC 的结论，结合三角形的面积、三角形周长、三角形内切圆半径之间的关系，判断D 的真假.【详解】由，结合正弦定理，可得：.因为在锐角三角形中，，所以.由，又为锐角，所以.对A ：设的外接圆半径为，由，所以，所以外接圆的=A BCD -24π11π⨯=ABC 、、A B C a b c 、、2cos cos )a b C c B =+cos 2)1A B C ++=ABC 4πABC ABC 9ABC 1,1]-2cos cos )a b C c B =+a cos 2)1A B C ++=A 2sin aR A=ABC B b c +)2cos cos a b C c B =+)sin sin cos cos sin a A B C B C =+()B C =+A =sin 0A ≠a =()cos 21A B C ++=⇒()1cos 2B C A +=-⇒22sin A A =⇒sin A =A π3A =ABC R 2sin a R A=⇒24R ==2R =ABC面积为：.故A 正确.对B ：由余弦定理（当且仅当时取“”）.所以.故B 正确；对C ：因为为锐角三角形，所以，，，所以.由正弦定理：，所以，，所以，因为，所以，所以，所以周长的取值范围为.因为，故C 错误；对D ：设内切圆半径为，则.又， ，，所以，由.故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：（1）涉及三角形周长或面积的取值范围，可将问题转化为利用基本（均值）不等式求最值或转化为三角函数求值域的问题解决.（2）本题的关键是三角形式锐角三角形，由此确定三角形角的取值范围，是该题的一个关键点.2π4πR =2222cos a b c bc A =+-⇒2212b c bc bc +-=≥b c ==11sin 1222ABC S bc A =£´´=ABC π02B <<π02C <<2π3B C +>ππ62B <<4sin sin sin b c aB C A===4sin b B =4sin c C =()4sin sin b c B C +=+2π4sin sin 3B B ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π4sin sin 3B B ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 6B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(6,b c +∈ABC (6+(96∉+ABC r ()12ABC S a b c r =++△⇒2ABC S r a b c =++△a =()2312b c bc +-=1sin 2ABC S bc A =r ===6b c <+≤11r -<≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______．【答案】3【解析】【分析】根据圆锥底面圆的半径为1得到侧面展开图扇形的弧长为，然后根据侧面展开图扇形的圆心角为列方程，解方程即可得到圆锥的母线长.【详解】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为，设圆锥的母线长为，因为侧面展开图扇形的圆心角为，所以，解得，所以此圆锥的母线长为3.故答案为：3.14. 已知向量和满足：，，与向量的夹角为______.【答案】【解析】【分析】设向量与向量的夹角为，根据得到，再利用向量的夹角公式计算得到答案.【详解】设向量与向量的夹角为，，故，故，，故.故答案为：15. 四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则_________23π2π23π2πl 23π23222l ππππ=⨯3l =a b 1a = 2b = 2a b -= ab 2π3abθ()2212a b -=1a b ⋅=-abθ2a b -= ()22224444412a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+= 1a b ⋅=- 11cos 212a b a b θ⋅-===-⨯⋅ []0,πθ∈2π3θ=2π3P ABCD -E PD 35PE PD =PF PC λ=//BF ACE λ=【答案】【解析】【分析】连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE ，结合平面ACE ，则证明平面平面ACE ，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案.【详解】如图，连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，由是正方形，得，在线段PE 取点G ，使得，由，得，连接BG ，FG ，则，由平面，平面，得平面，而平面，，平面，因此平面平面，又平面平面，平面平面，则，所以.故答案为：16. 在锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为的面积，且，则的取值范围为______.13//BG //BF //BGF //GF EC ABCD BO OD =GE ED =35PE PD =13PG PE =//BG OE OE ⊂ACE BG ⊄ACE //BG ACE //BF ACE BG BF B ⋂=,BG BF ⊂BGF //BGF ACE PCD ACE EC =PCD BGF GF =//GF EC 13PF PG PC PE λ===13ABC ABC ()222S a b c =--22b c bc+【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，，所以，即的取值范围是.故答案为：.342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭sin 2cos 2A A +=sin A 435tan 5b c C =+tan C b cb tc =221b c t bc t+=+ABC 2222cos a b c bc A =+-ABC 1sin 2S bc A =()222S a b c =--sin 22cos bc A bc bc A =-sin 2cos 2A A +=0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin cos 1A A +=25sin 4sin 0A A -=4sin 5A =sin 0A =()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+ABC 02C π<<2B AC ππ=--<22A C ππ-<<13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭b t c=35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭221b c b c t bc c b t +=+=+1y t t =+3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =2y =35t =3415y =53t =3415y =342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭22b c bc+342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.四、解答题：本题共5小题，共70分．其中第17题12分，第18， 19题每题13分，第20题15分，第21题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知复数，，其中.（1）若，求的值；（2）若是纯虚数，求的值.【答案】（1）2 （2）或.【解析】【分析】（1）利用复数相等几何复数运算即可求出结果；（2）利用纯虚数定义即可求出结果.【小问1详解】∵，，，∴，从而，解得，所以的值为2.【小问2详解】依题意得：，因为是纯虚数，所以，解得或.435tan 5b c C =+()21i z a =+243i z =-R a ∈12i z z =a 12z z a 2a =12a =-()21i z a =+243i z =-12i z z =()22i 12i 34i a a a +=-+=+21324a a ⎧-=⎨=⎩2a =a ()()()()()2222122i 143i 464383i i 43i 2525a a a a a a a z z +-+--++-+===-12z z 2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩2a =12a =-18. （1）已知向量，点，若向量，且的坐标；（2）已知向量，若与夹角为钝角，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）且.【解析】【分析】（1）设，根据向量垂直和向量的模得到方程组，解出即可；（2）计算出与坐标形式，根据向量点乘小于0，并结合向量反向共线即可得到答案.【详解】（1）设，则因为向量，所以又，所以解得或，所以的坐标为或（2）因为，所以，因为与夹角为钝角，所以，即，解得又不反向共线，所以，解得综上，且.19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．（1）求三棱柱的表面积；()2,1a =()2,1A -AB a ⊥ AB = B ()()2,1,4,3a b ==- 2a b - a b λ+ λ()3,3-()1,19λ>-12λ≠-(),B m n 2a b -a b λ+(),B m n ()2,1AB m n =-+AB a ⊥()()2210m n -++=AB =22(2)(1)5m n -++=33m n =⎧⎨=-⎩11m n =⎧⎨=⎩B ()3,3-()1,1()()2,1,4,3a b ==-()()26,7,24,3a b a b λλλ-=-+=+-2a b -a b λ+()()20a b a b λ-⋅+<()()624730λλ-++-<9λ>-,a b()()63724,0λλλ--≠+<12λ≠-9λ>-12λ≠-111ABC A B C -1AA ⊥ABC AB BC ⊥D AC 12AA AB ==3BC =111ABC A B C -（2）求证：平面．【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求三棱柱每个面的面积相加即可；（2）利用线面平行的判定定理证明即可.【小问1详解】因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，所以侧面，，均为矩形．因为，所以底面，均为直角三角形．因为，，所以．所以三棱柱的表面积为．【小问2详解】连接交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点．因为为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．20. 已知的内角的对边分别为，且，______（1）求的面积；（2）求角的平分线的长.1AB ∥1BCD 16+1AA ⊥ABC 111ABC A B C -11BCC B 11BAA B 11CAA C AB BC ⊥ABC 111A B C 12AA AB ==3BC=AC ===111ABC A B C -()(11122322231622AB BC AC AA AB BC ++⋅+⨯⋅=++⨯+⨯⨯⨯=+1B C 1BC O OD 11BCC B O 1B C D AC 1OD AB ∥1AB ⊄1BC D OD ⊂1BC D 1AB ∥1BC D ABC ,,A B C ,,a b c 7,3a b ==ABC S A AD在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答.【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）选①：根据，求得角C ，再利用三角形面积公式求解；选②：利用正弦定理得到，化简求得边c ，再利用余弦定理求得角A ，再利用三角形面积公式求解；选③：根据，根据二倍角公式求得角A ，再利用余弦定理求得边c ，再利用三角形面积公式求解；（2）选①：先利用余弦定理求得边c 和角A ，再由解；选②：由（1）得到结论利用1）得到结论利用【小问1详解】解：选①：因为，所以，又，所以，所以，所以选②：因为，所以由正弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，所以，332AC CB ⋅=- 12cos 72cos 13A B -=-2sin 2A A =158332AC CB ⋅=- 12cos 7sin 2cos 13sin A a AB b B-===-2sin 2A A =11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=332AC CB ⋅=- ()33cos 2ab C π-=-7,3a b ==11cos 14C =sin C =1sin 2ABC S ab C ==7,3a b ==12cos 7sin 2cos 13sin A a AB b B-===-sin 2sin cos 2sin cos sin -=-B B A A B A sin sin 2sin cos 2sin cos 2sin +=+=A B B A A B C 2a b c +=5c =由余弦定理可得，，由，所以，所以选③：因为，所以，由，所以，由余弦定理可得，，所以，所以【小问2详解】选①：由余弦定理可得，，所以.所以，由，所以，因为所以.选②：由（1）知：，，所以解得.选③：由（1）知：，，2221cos 22b c a A bc +-==-()0,A π∈23A π=1sin 2ABC S bc A ==2sin 2AA =22sin cos 222A A A =()0,,cos 02A A π∈>2tan 23A A π==2221cos 22b c a A bc +-==-5c =1sin 2ABC S bc A ==2222cos 25c b a ab C =+-=5c =2221cos 22b c a A bc +-==-()0,A π∈23A π=11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=158AD =3,5b c ==23A π=11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=158AD =3,5b c ==23A π=所以解得.21. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，（1）求证：平面；（2）是线段上的动点，当平面 平面时，求线段的长；（3）若为的中点，求二面角平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析； （2）； （3.【解析】【分析】（1）由，，根据线面垂直的判定定理即可证结论；（2）先证面面，因此过作交线的垂线，可得到平面，即可求得=；（3）由上一问面，故过作交所在直线为点，则为所求平面的二面角，利用三角函数即可求值．【小问1详解】证明：侧面，侧面，得，由，知，即，11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=158AD =111ABC A B C -AB ⊥11BB C C 11π1,2,3BC AB BB BCC ===∠=1C B ⊥ABC P 1BB 1C AP ⊥11AA B B 1B P E 1BB 11C AE A --12AB ⊥1C B 1C B CB ⊥11ABB A ⊥11BB C C 1C 1C P 1C AP ⊥11AA B B 1B P 121C P ⊥11AA B B P PH AE ⊥AE H 1C HP ∠AB ⊥11BB C C 1C B ⊂11BB C C AB ⊥1C B 111π1,2,3BC CC BB BCC ===∠=190C CB ∠=︒1C B CB ⊥又交于点A ，且都在面内，故平面.【小问2详解】由已知侧面，面，知面面，过作于，面，面面，则面，因面，故平面平面，此时.【小问3详解】由（2）：面，面，则过P 作交于，且都在面内，所以面，则二面角平面角为或其补角，由，则，且，所以， ，故.,CB BAABC 1C B ⊥ABC AB ⊥11BB C C AB ⊂11ABB A 11ABB A ⊥11BB C C 1C 11C P BB ⊥P 1C P ⊂11BB C C 11ABB A 111BB C C BB =1C P ⊥11AA B B 1C P ⊂1C AP 1C AP ⊥11AA B B 111ππcoscos 33B P B C BC ===121C P ⊥11AA B B AE ⊂11AA B B 1C P AE ⊥PH AE ⊥AE H 1C P PH P = 1C PH ⊥AE 1C PH 11C AE A --1C HP ∠PHE ABE PH PE AB AE =12,,2AB PE AE ===PH =1C P =11tan C P C HP PH ∠===1cos C HP ∠=。
2023-2024学年四川省绵阳市绵阳东辰高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年四川省绵阳市绵阳东辰高一下学期期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．设复数(1)z i i =⋅-，则z 的虚部是（）A ．1B ．iC ．-1D ．-i【正确答案】C【分析】结合复数的四则运算，计算z ，得到虚部，即可．【详解】1i z =--,所以z 的虚部为-1，故选C ．本道题考查了复数的运算，关键化简复数z ，难度较容易．2．平面向量()1,2a =- ，()2,b x =- ，若//a b，则x 等于（）A ．4B ．2C ．1-D ．4-【正确答案】A【分析】根据向量共线列方程，从而求得x .【详解】由于//a b，所以()()1224x x ⋅=-⋅-⇒=.故选：A3．若函数()()sin f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取的一个值为（）A ．π-B ．2π-C ．4πD ．3π【正确答案】A【分析】sin x 的图象左右平移π,k k Z ∈仍为奇函数，即可求得ϕ.【详解】sin x 的图象左右平移π,k Z k ∈仍为奇函数，则π,k k Z ϕ=∈.故选：A.4．在ABC 中，若cos a B c =，则ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】首先根据正弦定理边化角得到()sin cos sin sin A B C A B ==+，再结合三角函数恒等变换得到cos 0A =，即可得到答案.【详解】因为cos a B c =，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，所以cos sin 0=A B .因为sin 0B >，所以cos 0A =.又因为00A <<18 ，所以90A = ，ABC 为直角三角形.故选：B5．已知cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．29-B ．13-C ．29D ．13【正确答案】B 【分析】由223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题，因为223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以221sin 2sin 2cos 22cos 121312212123πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故选：B6．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图像关于直线()2k x k Z π=∈对称D ．()f x 在每一个区间,,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎝⎭内单调递增【正确答案】A【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.【详解】因为1tan ()22tan f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 错；()|tan()||tan |()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()|tan |f x x =的图像可知，C 、D 均正确，故选：A.本题考查三角函数的性质，熟练掌握正切函数的奇偶性、单调性、对称轴和对称中心是解题的关键，属于中档题.7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【正确答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,(0ω>)在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是（）A ．10,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】C解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,根据2536x ππ-≤≤,得出253363X πωππωπ-+≤≤+.再根据sin y X =的单调性得出25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得15ω≤.又因为0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,函数在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,可得5232ππππω≤+<,即可解得11366ω≤≤.解法二:(特殊值法)带入特殊值当12ω=,112ω=,逐项排除即可.【详解】解：解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,2536x ππ-≤≤,则253363X πωππωπ-+≤≤+.所以函数sin y X =在区间25,3363πωππωπ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而可得25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则22335632ππωππωππ⎧-≤-+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得15ω≤.当0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,所以函数sin y X =在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,所以5232ππππω≤+<,解得11366ω≤≤.综上所知1165ω≤≤.故选:C解法二:(特殊值法)当12ω=时,令23x X π=+,2536x ππ-≤≤,则304X π≤≤,则函数sin y X =在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,所以12ω=不合题意,排除B 、D .当112ω=时,令123x X π=+,0x π≤≤,则5312X ππ≤≤,则函数sin y X =在区间5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦取不到最大值1,所以112ω=不合题意,排除A .故选:C本题考查利用正弦型函数的单调性和最值求参数ω的取值,属于基础题.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．若||0a = ，则0a=B ．0AB BA += C ．若21,e e 为单位向量，则12e e = D ．||aa是与非零向量a 共线的单位向量【正确答案】ABD【分析】对于选项AC ，利用零向量和单位向量的定义即可判断出正误；对于选项B ，利用向量的运算法则即可判断出正误；对于选项D ，利用单位向量及共线向量的判断方法即可得到结果的正误.【详解】选项A ，因为||0a = ，根据零向量的定义知，0a=，故选项A 正确；选项B ，根据向量加法的运算法则知，0AB BA +=，故选项B 正确；选项C ，21,e e为单位向量，则有12e e = ，但1e 与2e 可以方向不同，根据向量相等的定义知，选项C 错误；选项D ，因||aa的模长为1，且与向量a 同向，故选项D 正确.故选：ABD10．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）A ．7,36b c C π===，B ．564b c C π===，，C．63a b B π===，D ．20156a b B π===，，【正确答案】BC【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.【详解】A 选项有无穷多解，显然错误；B中，因为sin 2b C =，C 为锐角，所以sin b C b c <<，所以该三角形有一解，B 正确；C中，因为sin a B =B 为锐角，所以sin b a B =，所以该三角形有一解，C 正确；D 中，因为sin 10a B =，B 为锐角，所以sin a B b a <<，所以该三角形有两解，D 错误.故选：BC11．已知函数()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称C ．函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎣⎦单调递减D ．该图象向右平移π12个单位可得2sin 3y x =的图象【正确答案】AD【分析】根据图象求出()y f x =的解析式，然后根据正弦函数的知识判断ABC ，根据图象的平移变换可判断D.【详解】由图象可得()f x 的最大值为2，即2A =，2πππ4412T ω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即3ω=，所以()()2sin 3f x x ϕ=+，因为π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=+∈，因为π||2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故正确；对于B ，因为()25π12sin π0f ⎛⎫- ⎪⎝=-=⎭，所以错误；对于C ，当2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π7ππ3,444x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，故错误；对于D ，该图象向右平移π12个单位可得ππ2sin 32sin 3124y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，故正确，故选：AD12．已知函数()sin cos f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．它是偶函数B ．它是周期为2π的周期函数C ．它的值域为⎡-⎣D ．它在()-π,2π这个区间有且只有2个零点【正确答案】ACD【分析】根据函数奇偶性定义可知，()()f x f x -=，即A 正确；由周期函数得定义可知，()2πf x +与()f x 不一定相等，故B 错误；将函数()f x 写成分段函数的形式并画出函数图像可得C 正确；结合C 以及偶函数的性质，可判断D 正确.【详解】由于()()sin cos()sin cos f x x x f x x x -=-+-==+，所以它是偶函数，故A 正确；由于π7π044f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它们不相等，所以它不是周期为2π的周期函数，即B 错误；现在来考察这个函数在[]0,2πx ∈内的情况.当π30,π,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭当π3,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：由此可知函数值域为⎡-⎣，即选项C 正确；又由于这个函数是偶函数，它在[]π,π-内没有零点，而在[]π,2π有2个零点，故D 正确.故选：ACD.方法点睛：在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可.例如在判断C 选项时，首先可讨论[]0,2πx ∈时的函数解析式，画出图形；当[]2π4πx ∈，时图像重复[]0,2πx ∈的图像，而[]2π0x ∈-，时，关于y 轴作出对称图像即可.三、填空题13．已知复数21iz i=-，则z =________．【详解】试题分析：()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以z =复数模的概念与复数的运算.14．已知非零向量a 与b 的夹角为23π，2b = ，若()a ab ⊥+ ，则a = ______.【正确答案】1由()a a b ⊥+，得到22cos 03a ab π+= ，进而得到20a a -= ，即可求解.【详解】由()a a b ⊥+ ，可得()0a a b ⋅+= ，所以20+⋅= a a b ，即22cos03a ab π+= ，又由2b = ，可得20a a -=，解得0a = (舍)或1a = .故1.本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量垂直条件的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量垂直条件的运算方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．化简：(4010sin tan ︒︒-＝________.【正确答案】－1【详解】原式sin10sin 40 (cos10＝︒︒︒()sin402sin40 sin1 0 0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1 0 0)2︒︒2sin40sin80cos 401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16．如图，直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且PQ =，2QR =，2PQR π∠=，则AB 长度的最大值为_________【正确答案】3【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【详解】正三角形ABC 中，,60AB BC B C =∠=∠=︒，设QRC θ∠=，则根据题意有：180120RQC C QRC θ∠=︒-∠-∠=︒-，9030BQP RQC θ∠=︒-∠=-︒BPQ 中，180150BPQ B BQP θ∠=︒-∠-∠=︒-BQP中，根据正弦定理得：()150·sin sin sin sin sin 60BQ PQ PQ BPQBQ BPQ B B θ︒-∠=∴==∠∠∠︒RQC 中，根据正弦定理得：·sin 2sin sin sin sin sin 60CQ RQ RQ QRC CQ QRC C C θ∠=∴==∠∠∠︒()1502sin sin 60sin 60AB BC BQ QC θθ︒-∴==+=+︒︒化简计算得：()3AB θϕ=+（tan ϕ=当()sin 1θϕ+=时，AB 有最大值故答案为.3四、解答题17．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，求：(1)求向量a b +与a b - ；(2)求向量a 与b的夹角.【正确答案】(1)()2,1a b +=-- ，()4,3a b -=- (2)135【分析】（1）利用向量的坐标运算可得答案；（2）利用向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）()2,1a b +=-- ，()4,3a b -=- .（2）a =，a = ，325a b ⋅=--=-，cos 2a b a bθ⋅===- ，∴135θ= .18．已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【正确答案】(1)π，π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)最大值为2，最小值为1-.【分析】（1）将简函数为π()2sin(2)6f x x =+，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；（2）通过x 的范围，求出π26x +的范围，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；【详解】（1）因为22π()cos cos sin cos22sin(2)6f x x x x x x x x =+-=+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===，由ππ63π2π22π,Z 22k x k k +≤+≤+∈得到π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）因为π()2sin(2)6f x x =+，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据函数sin y x =的图像与性质知，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最大值为2，最小值为1-.19．在①222cos sin sin 1sin sin A B C B C ++=+；②2cos cos cos c A a B b A =+；③sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．(1)求角A ；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，()c b c <，若已知a =ABC S = ,b c 的值．【正确答案】(1)3A π=(2)2b =，6c =【分析】（1）若选①，首先转化221cos sin A A -=，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角A ；若选②，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角A ；若选③，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角A ；（2）首先根据面积公式求bc ，再结合余弦定理求b c +，即可求解,b c 的值.【详解】（1）若选①：由已知得：222sin sin 1cos sin sin B C A B C+=-+222sin sin sin sin sin B C A B C +=+由正弦定理可得222b c a bc +=+，可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=．若选②：因为2cos cos cos c A a B b A=+由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，所以()2sin cos sin sin C A A B C=+=因为0C π<<，所以sin 0C >，所以1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=若选③：因为sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦定理得sin sin sin cos 6A C C A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0C π<<，所以sin 0C >，故可得1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即1sin 2A A ,所以tan A =0A π<<，所以3A π=；（2）由（1）可得3A π=，1sin 24ABC S bc A bc ===△12bc =，由余弦定理得：()22222cos 328a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以8+=b c ，又因为b c <，解得2b =，6c =．20．已知sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，.(1)求tan α的值;(2)若()sin 10αβ-=，且π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求角β.【正确答案】(1)tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出sin ,cos αα，()cos αβ-，再根据()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin cos 3sin cos αααα+=-，所以tan 13tan 1αα+=-，解得tan 2α=；（2）解：因为tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，解得sin αα==，又π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因()sin 10αβ-=，所以()cos 10αβ-==，则()sin sin 5105102βααβ=--=⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以4πβ=.21．如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=︒，求三角形铁皮PMN 的面积；(2)求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.【正确答案】(1)348=+ PMN S【分析】（1）设MN 交AD 交于E 点由30MOD ∠=︒，利用锐角三角函数可求ME ，OE ，进而可求MN ，BN ，代入12PMN S MN BN =⋅ 可求（2）设MOQ θ∠=，由[0θ∈，]2π，结合锐角三角函数的定义可求sin MQ θ=，cos OQ θ=，代入三角形的面积公式1(1sin )(1cos )122PMN MN B S N θθ∆=++⋅=展开利用换元法，令sin cos 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，转化为二次函数的最值求解.【详解】（1）解：设MN AD E ⋂=，则cos OE OM MOD =∠=1sin 2ME OM MOD =∠=则1BN AE AO OE ==+=+32MN ME AB =+=，故1324PMN S MN BN =⋅= （2）设MOD θ∠=，[)0,θπ∈，MN AD E ⋂=，则sin 1MN θ=+，cos 1BN AE θ==+1sin cos sin cos 122PMN S MN BN θθθθ+++=⋅= ，令sin cos 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，则21sin cos 2x θθ-=，[)0,θπ∈，5,444πππθ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，则sin ,142πθ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(x ∈-()2212130,444PMN x x x S ⎛++++==∈ ⎝⎦△，即三角形PMN 面积的最大值为34+.22．如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知c ＝1且2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，cos ∠BAD =(1)求b 边的长度；(2)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.【正确答案】(1)4(2)2【分析】（1）根据2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，利用正弦定理和余弦定理化简求解；（2）设,AE x AF y == 利用D 为中点，得到2AB AC AD += ，两边平方，设,AB AC θ=uu u r uuu r，结合cos 7AB AD BAD AB AD⋅=∠=⋅ ，求得θ，进而得到ABC S ，再根据AEF △的面积为ABC 面积的一半，得到2xy =，然后利用E ，G ，F 共线和基本定理，利用数量积运算求解.【详解】（1）解：因为2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，所以，所以222221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得：4c ＝b ，又c ＝1，所以b ＝4．（2）设,AE x AF y == ，因为D 为中点，所以2AB AC AD += ，设,AB AC θ=uu u r uuu r ，则θθ++⋅⋅+== 2222cos 178cos 44AB AC AB AC AD ，所以= 2AD ，而()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+= ，⋅=∠==⋅ cos AB AD BAD AB AD 即228cos 8cos 110θθ+-=，解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-，因为14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，sin 2θ=，所以1sin 2ABC S bc θ== 因为AEF △的面积为ABC 面积的一半，所以1sin 22AEF S xy θ== ，即2xy =，设AG AD λ= ，则22AG AD AB AC λλλ==+ ，又E ，G ，F 共线，设()1AG AD AF μμ=+-，则()()114y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+ ，所以：()2142x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：4y x y μ=+，所以：2244AG AB AC x y x y =+++ ，又4y EF AC xAB =- ，所以22444y AG EF AB AC AC xAB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ,222964444y y y x AC xAB x AC AB x y x y ⎡⎤-⎛⎫=-+-⋅= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦，又xy ＝2，化简得：22296186321442242y x x AG EF x y x x --⋅===-++++ ，又y ≤4，所以112x ≥≥，所以2AG EF ⋅≥ ，当x ＝1时等号成立．。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
复旦附中2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷2024.04一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.函数y cosx =的最小正周期为.2.若02π-<α<,则点()cot ,cos αα在第象限.3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点,且13AP PB =,则点P 的坐标为.4.若2AB AC AB AC ==-= ,则AB AC +=.5.若α为第二象限角,且2sin cos α=α,则sin α=.6*.已知平面向量a 与b 的夹角为3π,若()1,12a b ,== ,则a在b 方向上的投影向量的坐标为.7.在ABC ∆中,,tanA tanB 是方程2670x x -+=的两个根,则tanC =.8.已知()()f x sin x =ω+ϕ,其中0,02ω>≤ϕ<π,满足以下三个条件:(1)函数()y f x =的最小正周期为π;(2)函数()y f x =的图像关为直线4x π=对称;(3)函数()y f x =在04,π⎛⎫⎪⎝⎭上足严格㺂函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =.9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10,点P 在其边上运动,则121A A A P ⋅的取值范围是.10.已知()()f x sin x =ω,其中0ω>.若函数()y f x =在区间36,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则ω的取值范围为.11.设()()244,,,48,.sin x a x a a R f x a x a x a x ⎧π-π<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点,则a 的取值范围是.12*.若,a b均为单位向量,下列结论中正确的是(填写你认为所有正确结论的序号)(1)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤ ,且1c = ,则a b c +-的取值范围为11,⎤-⎦;(2)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤,且22c =,则a b c +- 的取值范围为2622⎢⎥⎣⎦;(3)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则abc b ++-(4)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则1122ab bc ++-二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题,第1314-题每题4分,第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）.A.若//,//a b b c ,则//a cB.若,a b b c == ,则a c= C.若a 与b 都是非零向照且//a b ,则a与b 的方向相同或者相反D.若a与b 都是单位向量,则a b= 14.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c,其中a b ==.若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）.A.03,π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.06,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.32,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2033,,ππ⎛⎫⎛⎫⋃π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.设n 是正整数,集合2|,k A x x cosk Z nπ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭.当2024n =时,集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.202416*.对于实数x ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()f x sin x sinx =+,()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦,则下列3个命题4,真命题的个数为（）.(1)函数()y g x =是周期函数;(2)函数()y g x =的图像关于直线2x π=对称;(3)方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0B.1C.2D.3三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题17.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()2,3, 5.a b a b b ==-⋅=-(1)若ka b - 与2a b +垂直,求实数k 的值;(2)若ka b - 与2a kb -方向相反,求实数k 的值.18.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题满分4分.已知向量)()22,12a x ,cosx b ,cosx =-=.设()f x a b =⋅.（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图像对称轴的方程;（2）将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位,得到函数()y g x =的图像,直接写出函数()y g x =的表达式;（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集.19.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.简车是我国古代发明的一种水利利溉T.具.如图,假定在水流挺稳定的情况下,一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动,每分钟转1圈,筒车的轴心O 距离水面的高度为52米.设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y (单位:米)(在水面下则y 为负数).若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间,则y 与时少t (单位:秒)之少的关系为()y Asin t K =ω+ϕ+,其中0,0,2A π>ω>ϕ<.（1）求,,,A K ωϕ的值;（2）当()4050t ,∈时,判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态),并说明理由.20*.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如图所示,已知3,5,OA OB OA == 与OB 的夹角为23π,点C 是ABO ∆的外接圆优孤AB 上的一个动点(含端点,A B ),记OA 与OC的夹角为θ,并设OC xOA yOB =+ ,其中,x y 为实数.（1）求ABO ∆外接圆的直径;（2）试将OC表示为θ的函数()y f =θ，并指出该函数的定义域;（3）求OC 为直径时,x y +的值.21.(本题满分18分)本共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()y g x =,若存在常数0T >,使得()()y sin g x =是以T 为周期的周期函数,则称()y g x =为“正弦周期函数”,且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数2xy x cos=+是否为“正弦周期函数”，并说明理由;（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ,且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“止弦周期函数”,若()()90,22g g T ππ==,且存在()00x ,T ∈,使得()052g x π=,求()2g T 的值;（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >,使得对任意x R ∈,都有()()h x a Ah x +=,证明:()y h x =是周期函数.复旦附中2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷2024.04一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1.函数y cosx =的最小正周期为.【答案】π2.若02π-<α<,则点()cot ,cos αα在第象限.【答案】二3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点,且13AP PB =,则点P 的坐标为.【答案】()54,4.若2AB AC AB AC ==-= ,则AB AC +=.【答案】5.若α为第二象限角,且2sin cos α=α,则sin α=.【答案】126*.已知平面向量a 与b 的夹角为3π,若()1,12a b ,== ,则a在b 方向上的投影向量的坐标为.【答案】105⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭7.在ABC ∆中,,tanA tanB 是方程2670x x -+=的两个根,则tanC =.【答案】18.已知()()f x sin x =ω+ϕ,其中0,02ω>≤ϕ<π,满足以下三个条件:(1)函数()y f x =的最小正周期为π;(2)函数()y f x =的图像关为直线4x π=对称;(3)函数()y f x =在04,π⎛⎫⎪⎝⎭上足严格㺂函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =.【答案】()2sin x +π（也可化简为2)sin x -9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10,点P 在其边上运动,则121A A A P ⋅的取值范围是.【答案】100⎡-+⎣10.已知()()f x sin x =ω,其中0ω>.若函数()y f x =在区间36,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则ω的取值范围为.【答案】993,022,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭也算对11.设()()244,,,48,.sin x a x a a R f x a x a x a x ⎧π-π<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点,则a 的取值范围是.【答案】4387,,23254⎡⎤⎧⎫⎛⎤⋃⎨⎬ ⎢⎥⎥⎣⎦⎩⎭⎝⎦12*.若,a b均为单位向量,下列结论中正确的是(填写你认为所有正确结论的序号)(1)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤ ,且1c = ,则a b c +-的取值范围为11,⎤-⎦;(2)若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅-≤,且2c =,则a b c +-的取值范围为22⎢⎥⎣⎦;(3)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则a b c b ++- (4)若12a c ⋅= 且12a c a c +λ≥- 对任意实数λ恒成立,则1122a b b c ++-.【答案】(1)(2)(3)(4)二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题,第1314-题每题4分,第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）.A.若//,//a b b c ,则//a cB.若,a b b c == ,则a c= C.若a 与b 都是非零向照且//a b ,则a与b 的方向相同或者相反D.若a与b 都是单位向量,则a b= 【答案】A14.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中a b ==.若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）.A.03,π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.06,π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.32,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.2033,,ππ⎛⎫⎛⎫⋃π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A15.设n 是正整数,集合2|,k A x x cosk Z nπ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭.当2024n =时,集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.2024【答案】B16*.对于实数x ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()f x sin x sinx =+,()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦,则下列3个命题4,真命题的个数为（）.(1)函数()y g x =是周期函数;(2)函数()y g x =的图像关于直线2x π=对称;(3)方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0B.1C.2D.3【答案】B三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题17.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()2,3, 5.a b a b b ==-⋅=-(1)若ka b - 与2a b +垂直,求实数k 的值;(2)若ka b - 与2a kb -方向相反,求实数k 的值.【答案】（1）1712k =（2）k =18.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题满分4分.已知向量)()22,12a x ,cosx b ,cosx =-=.设()f x a b =⋅.（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图像对称轴的方程;（2）将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位,得到函数()y g x =的图像,直接写出函数()y g x =的表达式;（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集.【答案】（1）,62k x k Z ππ=+∈（2）()2216g x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（3）526,ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】(1)()2222221,36f x x cos x sin x π⎛⎫=-+=+-⋅ ⎪⎝⎭ 分令262x k ππ+=π+,得对称轴为直线,62k x k Z ππ=+∈..6分（2）()2216g x sin x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（3）由()20f x +=得1262sin x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,由于[]130,2,2666x ,x ,πππ⎡⎤∈π+∈⋅⎢⎣⎦分所以7266x ππ+=或116π,故所求解集为5.426,ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭分另解:由1262sin x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得2266x k ππ+=π-或526k ππ-,得6x k π=π-或,22k ππ- 分而[]0x ,∈π,所以56x π=或2π,所求解集为526,ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.19.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.简车是我国古代发明的一种水利利溉T.具.如图,假定在水流挺稳定的情况下,一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动,每分钟转1圈,筒车的轴心O 距离水面的高度为52米.设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y (单位:米)(在水面下则y 为负数).若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间,则y 与时少t (单位:秒)之少的关系为()y Asin t K =ω+ϕ+,其中0,0,2A π>ω>ϕ<.（1）求,,,A K ωϕ的值;（2）当()4050t ,∈时,判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态),并说明理由.【答案】（1）55,2A K ==30πω=6πϕ=-（2）y 单调递减,6分所以盛水筒P 处于向下运动的状态.【解析】(1)如图,设简车与水面的交点为,M N ，连接OM ,过点P 作PB MN ⊥于点B ,过点O 分别作OD MN ⊥于点,D OC PB ⊥于点C ,则55,2A OM K OD ====.因为筒车转一周需要1分钟,所以26030ππω==,故30MOP t π∠=.在Rt OMD ∆中,12OD sin OMD OM ∠==,所以6COM OMD π∠=∠=,即6πϕ=-.(四个答案各2分)（2）盛水筒P 处于向下运动的状态 (3)分理由如下:553062y sin t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,当()734050,30662t ,t ,ππππ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭,此时y 单调递减,6分所以盛水筒P 处于向下运动的状态.20*.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.如图所示,已知3,5,OA OB OA == 与OB 的夹角为23π,点C 是ABO ∆的外接圆优孤AB 上的一个动点(含端点,A B ),记OA 与OC的夹角为θ,并设OC xOA yOB =+ ,其中,x y 为实数.（1）求ABO ∆外接圆的直径;（2）试将OC表示为θ的函数()y f =θ，并指出该函数的定义域;（3）求OC 为直径时,x y +的值.【答案】(1)7AB =(2)()23,03f cos ,π⎡⎤θ=θ+θθ∈⎢⎥⎣⎦(3)18845x y +=【解析】(1)在AOB ∆中,由余弦定理222249AB OA OB OA OBcos AOB =+-⋅∠=,即7,2AB = 分(2)连接2,03AC ,π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦,在AOC ∆中,由正弦定理2OA R sin OCA =∠,则33,2214OA sin OCA R ∠== 分又02OCA ,π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,则1314cos OCA ∠==,于是()33131414sin OAC sin OCA sin OCA cos cos OCA sin cos sin ∠=∠+θ=∠⋅θ+∠⋅θ=θ+θ则由正弦定理得132314OC Rsin OAC sin cos ⎫=∠=θ+θ=θ+θ⎪⎪⎝⎭ .所以()23,0.63OC f cos ,π⎡⎤=θ=θ+θθ∈⎢⎥⎣⎦ 分（定义域1分，注意格式）另解:()13222,0143OC Rsin OAC Rsin B arccos ,π⎛⎫⎡⎤=∠=π-θ-=θ+θ∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（3）设AB 与OC 交于点D ,当OC 为直径时,2OAC π∠=,此时13,214sin cos OCA cos sin OCA θ=∠=θ=∠= 分又由正弦定理可得5311,.21414OB sin BAO cos BAO R ∠==∠==于是()47,449sin ADO sin BAO sin cos BAO cos sin BAO ∠=θ+∠=θ⋅∠+θ⋅∠= 分因此由正弦定理得,694OA OD sin BAO sin ODA =⋅∠=∠ 分而由向量的共线定理可得存在()01,λ∈,使得()1OD OA OB =λ+-λ,且2R OC ODOD=⋅ 故()221881,.845R R OC xOA yOB OA OB x y OD OD ⎡⎤=+=λ+-λ+==⎣⎦分另解:22159,25,2OA OB OA OB ==⋅=- .由于此时22,OA AC xOA yOB OA OC OA OA ⊥+⋅=⋅= ,得1599,42x y -= 分同理,由OB BC ⊥得,22xOA OB yOB OC OB OB ⋅+=⋅= ,得1525252x y -+=.解得()2226915x,y ,⎛⎫= ⎪⎝⎭,因此188.845x y += 分21.(本题满分18分)本共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()y g x =,若存在常数0T >,使得()()y sin g x =是以T 为周期的周期函数,则称()y g x =为“正弦周期函数”,且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数2xy x cos=+是否为“正弦周期函数”，并说明理由;（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ,且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“止弦周期函数”,若()()90,22g g T ππ==,且存在()00x ,T ∈,使得()052g x π=,求()2g T 的值;（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >,使得对任意x R ∈,都有()()h x a Ah x +=,证明:()y h x =是周期函数.【答案】（1）是（2）()1272g T =π（3）见解析【解析】(1)()4422x x sin x cos sin x cos +π⎛⎫⎛⎫+π+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2xy x cos =+是正弦周期函数.……过程、结论各2分（2）由()()()021sing x T sing T sing T +===，故()()02,22,222g x T m g T t m t Z ππ+=π+=π+∈ 、、分则由02T x T T <+<,且()y g x =严格增,得其中整数3,4m t ≥≥,下证4t =.若不然,5t ≥,则()2122g T π≥,由()y g x =的值域为R 知,存在()1212,2,x x T ,T x x ∈≠使得()1132g x π=,()2172g x π=,则()()()()1212121,0sing x sing x sing x T sing x T x T x T T ==-=-=<-<-<由()()()()()()121290,122g g x T g x T g T sing x T sing x T ππ=<-<-<=-=-=得120x T x T x -=-=,这与12x x ≠矛盾..4 分17π因此综上所述,()2,6217g T =π分（3）假设()y h x =不是周期函数,则()()h x T h x +=与()()h x a h x +=均不恒成立.特别地,1A ≠.因为()()h x T h x +=不恒成立,所以存在0x R ∈,使得()()00h x T h x +≠.......反证法2分因为()()011A ,,∈⋃+∞,所以存在n Z ∈,使得()01n A h x <且()01n A h x T +<.其中若1A >,取n 为负整数;若01A <<,取A 为正整数..5 分此时,由正弦周期性得()()()()00sin h x na T sin h x na ++=+,即()()()()00n n sin A h x T sin A h x +=,综上,()y h x =是周期函数.另解:若1A =,则由()()h x a h x +=可知()y h x =为周期函数.2 分若01A <<,则对任意0x R ∈,存在正整数n ,使得()01n A h x ≤且()01n A h x T +≤.此时,()()()()()()()()0000n n sin A h x T sin h x na T sin h x na sin A h x +=++=+=.若1A >，则同理可证（取n 为负整数即可）..8 分综上,得证.。
湖北省襄阳市鄂北六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学含答案
2023—2024学年下学期高一期中考试数学试题（答案在最后）试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号﹑座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()1,2a = ，(),4b x = ，若2b a =，则x =（）A ．5B ．2C ．3D ．42．已知点()1,2落在角α的终边上，则cos 2α=（）A ．1B ．1-C ．35-D ．353．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图示，则图象解析式为（）A ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．cos 2y x =C ．sin 2y x=D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．若两个单位向量a，b的夹角为3π，则2a b += （）A ．2B ．C ．1D5．化简(sin 40tan10︒︒-得（）A ．B ．2-C ．1-D ．12-6．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且劣弧 AB 的长等于半径OA 长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（）A ．99sin 22-B ．9sin 22C ．12sin 22-D ．97．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，当8BC =时，则BA BC ⋅=（）A ．64B ．32C ．24D ．88．如图，在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，2A π>，过点A 作与AC 垂直的单位向量j ，将j 与向量表达式AC CB AB +=两边进行数量积的运算，即()j AC CB j AB ⋅+=⋅ ，化简后得到的结论是（）A ．sin sin a c A C =B ．sin sin b c B C =C ．sin sin a b A B =D ．cos cos a cA C=二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．已知a ，b为平面内两个不共线的向量，则{},3a b a b +-+ 可作为平面的一组基底B ．已知两个非零向量a ，b ，若a b a b +=+ ，则a 与b同向C ．在△ABC 中，若12AB AC AB AC ⋅= ，()()0AB AC AB AC -⋅+=，则△ABC 为等边三角形D ．若向量a ，b 满足a b ∥ ，则存在唯一实数λ，使得a bλ=10．把函数()4sincos 226x x f x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ωπ<<）的图象向左平移6π个单位长度，得到的函数图象恰好关于y 轴对称，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 在区间,126ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增C ．当0,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()f x 的值域为[]0,1D ．若()f x 在区间[],a π-上至少存在六个零点，则实数a 的取值范围为4,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．在△ABC 中，7AB =，5AC =，3BC =，点D 在线段AB 上，下列结论正确的是（）A ．若CD 是中线，则192CD =B ．若CD 是高，则1514CD =C ．若CD 是角平分线，则158CD =D ．若4CD =，则D 是线段AB 的三等分点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量()1,1a = ，()1,2b =- ，则向量a b - 在向量a上的投影向量为（用坐标表示）．13．已知1tan 3tan θθ+=，则44sin cos θθ+=．14．定义：a b ad bc cd =-．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若2cos 12cos 1cos C C C-+0=，且5a b +=，则边c 的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知()1,3a = ，()2,4b =-．（1）求a b + 与a b -的夹角的余弦值；（2）若()a ab λ⊥-，求λ值．16．（本小题满分15分）已知cos 5α=，()sin 10αβ-=，且α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin ,cos a αα= ，()()()cos ,sin b αβαβ=--，求：（1）a b ⋅的值；（2）β的值．17．（本小题满分15分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin A B a b c C B +-=-．（1）求角A 的大小；（2）若1cos 3ABC ∠=-，D 是线段AC 上的一点，ABD CBD ∠=∠，BD =c ．18．（本小题满分17分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ．（1）令AB a = ，AC b = ，用a ，b表示AP ；（2）证明：AM = （3）若4AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，求MPN 的余弦值．19．（本小题满分17分）已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b = 为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM的相伴函数．（1）记向量(ON = 的相伴函数为()f x ，若()45f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin x 的值；（2）设()cos 3cos 44g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x R ∈），试求函数()g x 的相伴特征向量OM ，并求出与OM方向相反的单位向量﹔（3）已知()2,3A -，()2,6B ，()OT = ，为函数()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m R ∈）的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2023—2024学年下学期高一期中考试数学试题参考答案及评分标准题号1234567891011答案BCDBCABAABCBCDAC12．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13．7914．215．解：（1）()1,7a b+=- ，()3,1a b -=-∴ab +=a b -=22cos ,5a b a b <+->=-（2）()12,34a b λλλ-=+-∴()a ab λ-= ∴1λ=16．解：（1）∵α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭sin 5α==，()cos 10αβ-==∴()()()()sin 2sin sin coscos sin a b αβααβααβααβ⋅=-=+-=⋅-+⋅-51051010=⋅+⋅=（2）由（1）可得∴()()()cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ=--=-+-=⎡⎤⎣⎦又∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴4πβ=17．解：（1）因为()()()sin sin sin A B a b c C B +-=-，所以由正弦定理可得()()()a b a b c c +-=-，即222b c a +-=，所以222cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以6A π=（2）设ABD θ∠=（02πθ<<），则2ABC θ∠=，所以21cos 22cos 13θθ=-=-，解得cos 3θ=，sin 3θ=所以sin sin 66BDA πθ+⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，由正弦定理，sin sin c BDBDA A=∠，所以c =18．解：（1）连接MN ，则MN 平行于AB 且MN 为中位线，12MP PA =所以()21113333AP AM AB AC a b==+=+ （2）△ABC 中，由余弦定理得222cos 2a c b ABC ac+-∠=△ABM 中，由余弦定理得AM ===（3）∵,AM BN MPN<>=∠1122AM a b =+ ，12BN a b=-+ 22111852512244AM BN a ab b ⋅=--+=--+=AM ====cos ,91AM BN AM BN AM BN ⋅<>==⋅19．解：（1）由题意知，向量(ON =的相伴函数为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题意()42sin 35f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且0,32x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21cos 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故212sin sin sin cos cos sin 333333525210x x x x ππππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）因为()cos 3cos 44g x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故函数()g x的相伴特征向量OM =，则与OM反向的单位向量为,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（3）因为()1sin sin cos 622h x m x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其相伴特征向量()OT =，故2112m m =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2m =-，则()2sin 6h x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，()2sin 2sin 2cos23236222x x x x x h ππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦设点,2cos2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()2,3A -，()2,6B ，所以2,2cos 32x AP x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，2,2cos 62x BP x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若AP BP ⊥，则()()222cos 32cos 6022x x AP BP x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，即2244cos18cos 18022x x x -+-+=，229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为22cos22x -≤≤，13952cos 2222x ---≤≤，故22591692cos 4224x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤≤，又2252544x -≤，故当且仅当0x =时，22925252cos 2244x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭成立故在()y x ϕ=的图象上存在一点()0,2P ，使得AP BP⊥。