带电粒子在电场中运动的综合问题

课时跟踪检测（二十四） 带电粒子在电场中运动的综合问题

对点训练：示波管的工作原理

1．(多选)有一种电荷控制式喷墨打印机，它的打印头的结构简图如图所示。其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒，此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字符。不考虑墨汁的重力，为使打在纸上的字迹缩小，下列措施可行的是( )

A ．减小墨汁微粒的质量

B ．减小墨汁微粒所带的电荷量

C ．增大偏转电场的电压

D ．增大墨汁微粒的喷出速度

2.在示波管中，电子通过电子枪加速，进入偏转电场，然后射到荧光屏上，如图所示，设电子的质量为m (不考虑所受重力)，电荷量为e ，从静止开始，经过加速电场加速，加速电场电压为U 1，然后进入偏转电场，偏转电场中两板之间的距离为d ，板长为L ，偏转电压为U 2，求电子射到荧光屏上的动能为多大？

3．制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d 的两平行极板，如图甲所示。加在极板A 、B 间的电压U AB 做周期性变化，其正向电压为U 0，反向电压为－kU 0(k ＞1)，电压变化的周期为2τ，如图乙所示。在t ＝0时，极板B 附近的一个电子，质量为m 、电荷量为e ，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板A ，且不考虑重力作用。若k ＝54，电子在0～2τ时间内不能到达极板A ，

求d 应满足的条件。

4．两块水平平行放置的导体板如图甲所示，大量电子(质量为m、电荷量为e)由静止开始，经电压为U0的电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入两板之间。当两板均不带电时，这些电子通过两板之间的时间为3t0；当在两板间加如图乙所示的周期为2t0、最大值恒为U0的周期性电压时，恰好能使所有电子均从两板间通过(不计电子重力)。问：

(1)这些电子通过两板之间后，侧向位移(垂直于入射速度方向上的位移)的最大值和最小值分别是多少；

(2)侧向位移分别为最大值和最小值的情况下，电子在刚穿出两板之间时的动能之比为多少。

5．如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中，两金属极板AB、OD平行正对放置，OD 板与x轴重合，OD板的左端与原点O重合，两极板板长均为L＝2 m，板间距离d＝1 m，紧靠两极板右端有一荧光屏。两极板间电压U AO随时间的变化规律如图乙所示，变化周期T ＝2×10－3s，U0＝1×103V。若t＝0时刻一带正电的粒子从A点附近沿x轴正方向以速度v0＝1×103 m/s射入两极板间，粒子所带电荷量为q＝1×10－5 C，质量m＝1×10－7 kg，粒子重力不计。

(1)求粒子在极板间运动的最长时间；

(2)若在0～T时间内均有同种粒子从A

点附近沿x轴正方向以速度v0射入两极板

间，求这些粒子打到荧光屏上的纵坐标的范

围；

(3)在(2)条件下，求粒子打到荧光屏上时的动能。

6.如图所示，一个带正电的粒子以平行于x轴正方向的初速度v0从y轴上a点射入第一象限内，为了使这个粒子能经过x轴上定点b，可在第一象限的某区域内加一方向沿y轴负方向的匀强电场。已知所加电场的场强大小为E，电场区域沿x方向

的宽度为s，Oa＝L，Ob＝2s，粒子的质量为m，带电量为q，重力

不计，试讨论电场的左边界与b的可能距离。

7．如图甲所示，一光滑绝缘细杆竖直放置，在细杆右侧d＝0.30 m的A点处有一固定的点电荷。细杆上套有一带电荷量q＝1×10－6C、质量m＝0.05 kg的小环。设小环与点电荷的竖直高度差为h，将小环由静止释放后，其动能E k随h的变化曲线如图乙所示。已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，重力加速

度g＝10 m/s2。(计算结果保留两位有效数

字)

(1)试估算点电荷所带电荷量Q的大小；

(2)求小环位于h1＝0.40 m处时的加速

度a；

(3)求小环从h2＝0.30 m处下落到h3＝

0.12 m处的过程中，其电势能的改变量。

课时跟踪检测（二十四） 带电粒子在电场中运动的综合问题

对点训练：示波管的工作原理

1．(多选)有一种电荷控制式喷墨打印机，它的打印头的结构简图如图所示。其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒，此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字符。不考虑墨汁的重力，为使打在纸上的字迹缩小，下列措施可行的是( )

A ．减小墨汁微粒的质量

B ．减小墨汁微粒所带的电荷量

C ．增大偏转电场的电压

D ．增大墨汁微粒的喷出速度

解析：选BD 根据偏转距离公式y ＝qUl 2

2md v 02

可知，为使打在纸上的字迹缩小，要增大

墨汁微粒的质量，减小墨汁微粒所带的电荷量，减小偏转电场的电压，增大墨汁微粒的喷出速度，B 、D 正确。

2.在示波管中，电子通过电子枪加速，进入偏转电场，然后射到荧光屏上，如图所示，设电子的质量为m (不考虑所受重力)，电荷量为e ，从静止开始，经过加速电场加速，加速电场电压为U 1，然后进入偏转电场，偏转电场中两板之间的距离为d ，板长为L ，偏转电压为U 2，求电子射到荧光屏上的动能为多大？

解析：电子在加速电场加速时，根据动能定理eU 1＝1

2m v x 2

进入偏转电场后L ＝v x t ，v y ＝at ，a ＝eU 2

md

射出偏转电场时合速度v ＝

v x 2＋v y 2，

由以上各式得E k ＝12m v 2

＝eU 1＋eU 22L 24d 2U 1。

答案：eU 1＋eU 22L 2

4d 2U 1

对点训练：带电粒子在交变电场中的运动

3．制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d 的两平行极板，如图甲所示。

加在极板A 、B 间的电压U AB 做周期性变化，其正向电压为U 0，反向电压为－kU 0(k ＞1)，电压变化的周期为2τ，如图乙所示。在t ＝0时，极板B 附近的一个电子，质量为m 、电荷量为e ，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板A ，且不考虑重力作用。若k ＝5

4

，电子在0～2τ时间内不能到达极板A ，求d 应满足的条件。

解析：电子在0～τ时间内做匀加速运动 加速度的大小a 1＝eU 0

md

位移x 1＝1

2

a 1τ2

在τ～2τ时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动 加速度的大小a 2＝keU 0

md 初速度的大小v 1＝a 1τ 匀减速运动阶段的位移x 2＝v 12

2a 2

由题知d ＞x 1＋x 2，解得d ＞ 9eU 0τ2

10m

。 答案：d ＞

9eU 0τ2

10m

4．两块水平平行放置的导体板如图甲所示，大量电子(质量为m 、电荷量为e )由静止开始，经电压为U 0的电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入两板之间。当两板均不带电时，这些电子通过两板之间的时间为 3t 0；当在两板间加如图乙所示的周期为2t 0、最大值恒为U 0的周期性电压时，恰好能使所有电子均从两板间通过(不计电子重力)。问：

(1)这些电子通过两板之间后，侧向位移(垂直于入射速度方向上的位移)的最大值和最小值分别是多少；

(2)侧向位移分别为最大值和最小值的情况下，电子在刚穿出两板之间时的动能之比为多少。

解析：以电场力的方向为y轴正方向，画出电子在t＝0时和t＝t0时进入电场后沿电场力方向的速度v y随时间t变化的v y-t图像分别如图(a)和图(b)所示，设两平行板之间的距离为d。

(1)图中，v1y＝

eU0

md t0，v2y＝

eU0

md2t0，由图(a)可得电子的最大侧向位移为x y max＝2????

1

2

v1y t0＋v1y t0＝3v1y t0＝3eU0t0

2

md

而x y max＝

d

2，解得d＝t0

6eU0

m

由图(b)可得电子的最小侧向位移为x y min＝

1

2

v1y t0＋v1y t0＝

3

2

v1y t0＝

3eU0t02

2md＝

d

4所以x y max＝

d

2＝

t0

2

6eU0

m，x y min＝

d

4＝

t0

4

6eU0

m。

(2)v1y2＝????

eU0

md t02＝

eU0

6m，v2y

2＝????

eU0

md2t02＝

2eU0

3m

电子经电压U0加速，由动能定理知，

1

2m v0

2＝eU0

所以

E kmax

E kmin＝

1

2m v2

2

1

2m v1

2

＝

1

2m(v0

2＋v2y2)

1

2m(v0

2＋v1y2)

＝

eU0＋

eU0

3

eU0＋

eU0

12

＝

16

13。

答案：见解析

对点训练：带电粒子的力电综合问题

5．(2017·深圳模拟)如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中，两金属极板AB、OD平行正对放置，OD板与x轴重合，OD板的左端与原点O重合，两极板板长均为L＝2 m，板间距离d＝1 m，紧靠两极板右端有一荧光屏。两极板间电压U AO随时间的变化规律如图乙所示，变化周期T＝2×10－3s，U0＝1×103V。若t＝0时刻一带正电的粒子从A点附近沿x轴正方向以速度v0＝1×103m/s射入两极板间，粒子所带电荷量为q＝1×10－5C，质量m＝1×10－7 kg，粒子重力不计。

(1)求粒子在极板间运动的最长时间；

(2)若在0～T 时间内均有同种粒子从A 点附近沿x 轴正方向以速度v 0射入两极板间，求这些粒子打到荧光屏上的纵坐标的范围；

(3)在(2)条件下，求粒子打到荧光屏上时的动能。

解析：(1)粒子在极板间沿x 轴正方向做匀速运动，设运动时间为t ，则有L ＝v 0t 解得t ＝L

v 0

＝2×10－3 s 。

(2)粒子在板间运动的时间恰好等于T ，即在y 轴方向，粒子有一半时间做匀加速运动。粒子在t ＝0时刻射入极板间时，y 轴方向的分速度v y 随粒子在极板间运动的时间t ′变化的关系图线如图中Ⅰ所示，粒子在t ＝T

2－t 1时刻射入极板间时，v y 随t ′变化的关系图线如图中

Ⅱ所示。图线与t ′轴所围面积表示粒子沿y 轴方向的位移，可知在t ＝0时刻射入极板间的粒子在极板间偏转量最大，则打到荧光屏上的纵坐标值最小，在t ＝T

2时刻射入极板间的粒

子在极板间偏转量最小，则打到荧光屏上的纵坐标值最大。

t ＝0时刻射入极板的粒子沿y 轴方向运动的位移为 y 1＝12a ???

?T 22＋a ????T 22

，又a ＝qU 0md t ＝T

2时刻射入极板的粒子在板间沿y 轴方向的位移为 y 2＝12a ???

?T 22

代入已知数据得y 1＝0.15 m ，y 2＝0.05 m

可得粒子打到荧光屏上的纵坐标的范围为0.85～0.95 m 。

(3)粒子打到荧光屏上时的速度v大小恒定，由动能定理有

q

U0

d y2＝E k－

1

2m v0

2

解得E k＝

1

2m v

2＝5.05×10－2 J。

答案：(1)2×10－3 s(2)0.85～0.95 m(3)5.05×10－2 J

考点综合训练

6.如图所示，一个带正电的粒子以平行于x轴正方向的初速度

v0从y轴上a点射入第一象限内，为了使这个粒子能经过x轴上定

点b，可在第一象限的某区域内加一方向沿y轴负方向的匀强电场。

已知所加电场的场强大小为E，电场区域沿x方向的宽度为s，Oa

＝L，Ob＝2s，粒子的质量为m，带电量为q，重力不计，试讨论

电场的左边界与b的可能距离。

解析：设电场左边界到b点的距离为Δx，已知电场宽度为s，Ob＝2s，分以下两种情况讨论：

(1)若粒子在离开电场前已到达b点，如图甲所示，即Δx≤s，则Δx＝v0t

y＝L＝

qE

2m t

2

联立解得Δx＝

2m v02L

qE。

(2)若粒子离开电场后做匀速直线运动到达b点，如图乙所示，即s<Δx≤2s，

则s＝v0t y＝

qE

2m t

2

由几何关系知tan θ＝

qE

m t

v0＝

L－y

Δx－s

联立解得Δx＝

m v02L

qEs＋

s

2。

答案：见解析

7．(2017·亳州模拟)如图甲所示，一光滑绝缘细杆竖直放置，在细杆右侧d ＝0.30 m 的A 点处有一固定的点电荷。细杆上套有一带电荷量q ＝1×10－

6 C 、质量m ＝0.05 kg 的小环。设小环与点电荷的竖直高度差为h ，将小环由静止释放后，其动能E k 随h 的变化曲线如图乙所示。已知静电力常量k ＝9.0×109 N·m 2/C 2，重力加速度g ＝10 m/s 2。(计算结果保留两位有效数字)

(1)试估算点电荷所带电荷量Q 的大小； (2)求小环位于h 1＝0.40 m 处时的加速度a ；

(3)求小环从h 2＝0.30 m 处下落到h 3＝0.12 m 处的过程中，其电势能的改变量。 解析：(1)由题图乙可知，当h ′＝0.36 m(或h ′＝0.12 m)时，小环所受合力为零，则有k Qq d 2＋h ′

2×

h ′

d 2＋h ′2

＝mg

代入已知数据解得Q ＝

mg

(d 2＋h ′2)3

kqh ′

＝1.6×10－5 C 。

(2)小环加速度沿杆方向，则mg －F 1h 1

d 2＋h 12

＝ma

又F 1＝k Qq

d 2＋h 12

。

代入已知数据解得a ＝0.78 m/s 2，方向竖直向下。

(3)设小环从h 2＝0.30 m 处下落到h 3＝0.12 m 处的过程中，电场力对小环做功为W E 根据动能定理有mg (h 2－h 3)＋W E ＝ΔE k ＝0.055 0 J －0.068 5 J ＝－0.013 5 J 代入已知数据解得W E ＝ΔE k －mg Δh ≈－0.10 J 所以小环的电势能增加了0.10 J 。

答案：(1)1.6×10－

5 C (2)0.78 m/s 2 方向竖直向下 (3)增加0.10 J