15 求解几何问题的代数法解析
解析几何知识点总结
解析几何知识点总结解析几何是数学中的一个分支，它研究几何图形在坐标系中的性质和变化规律。
在解析几何中，我们使用坐标系表示各种几何图形，通过运用代数的方法来研究它们的性质和关系。
本文将对解析几何的核心知识点进行总结，包括直线、圆、曲线以及相应的性质和公式。
直线是解析几何中最基本的图形之一。
在平面直角坐标系中，一条直线可以通过两点确定。
若给出直线上两点的坐标为（x₁, y₁）和（x₂, y₂），则可以得到直线的斜率 k 为：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)斜率表示了直线与 x 轴的夹角和斜率的大小关系。
若直线垂直于 x 轴，则斜率不存在；若直线平行于 x 轴，则斜率为零。
直线的方程可以用点斜式、斜截式和一般式等多种方式表示。
点斜式的形式为：y - y₁ = k(x - x₁)斜截式的形式为：y = kx + b一般式的形式为：Ax + By + C = 0其中 A、B、C 为常数。
圆是解析几何中的另一个重要概念。
在平面直角坐标系中，圆的方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²其中（a，b）为圆心的坐标，r 为半径。
通过圆的方程，我们可以得到圆上任意一点（x，y）满足的条件。
解析几何还涉及到曲线的研究。
常见的曲线包括抛物线、椭圆和双曲线等。
以抛物线为例，它的一般方程为：y = ax² + bx + c其中 a、b、c 为常数。
根据 a 的正负和 a 的绝对值大小，可以确定抛物线的开口方向和形状。
在解析几何中，还有一些重要的性质和公式需要掌握。
例如，两条直线的位置关系可以通过它们的斜率来判断。
如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果两条直线的斜率互为倒数，则它们垂直。
此外，解析几何还涉及到点、线、圆之间的距离计算。
点（x₁, y₁）和点（x₂, y₂）之间的距离可以通过以下公式计算：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]同样地，点（x₁, y₁）到直线 Ax + By + C = 0 的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)通过掌握以上基本原理和公式，我们可以进一步应用解析几何的知识，解决实际问题。
七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项(含解析)
一、解答题1．如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．解析：（1）见解析；（2）72°【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【详解】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠BOD=12∠AOB，∠BOE=12∠BOC，所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=12（180°–3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+12（180°–3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．2．如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O.利用尺规，按下列要求作图（只保留作图痕迹即可）：（1）在射线OA，OB，OC上作线段OA′，OB′，OC′，使它们分别与线段a相等；（2）在射线OD上作线段OD′，使OD′与线段b相等；（3）连接A′C′，C′B′，B′D′，D′A′.解析：详见解析【解析】【分析】（1）以点O为圆心，a为半径作圆，分别交射线OA，OB，OC于A′、B′、C′；、（2）以点O为圆心，b为半径作圆，分别交射线OD，于D′.（3）依次连接A′C′B′D′,即可解答.【详解】解：（1）如图所示OA′、OB′、OC′.（2）如图所示OD′.（3）如图所示A′C′B′D′.【点睛】此题考查作图—复杂作图，解题关键在于掌握尺规作图.3．如图，已知点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，且DA=5，DB=3.求CD的长.解析：1【解析】【分析】根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得AC的长，根据线段的和差，可得答案．【详解】由线段的和差，得AB=AD+BD=5+3=8.由线段中点的性质,得AC=CB=12AB=4. 由线段的和差，得CD=AD−AC=5−4=1.【点睛】此题考查两点间的距离，解题关键在于掌握各性质定义.4．如图所示，∠AOB =35°，∠BOC =50°，∠COD =22°，OE 平分∠AOD ，求∠BOE 的度数.解析：5°【解析】【分析】首先根据角的和差关系算出∠AOD 的度数，再根据角平分线的性质可得∠AOE =12∠AOD ，进而得到答案．【详解】∵∠AOB =35°，∠BOC =50°，∠COD =22°，∴∠AOD =35°+50°+22°=107°．∵OE 平分∠AOD ，∴∠AOE =12∠AOD =12×107°=53.5°，∴∠BOE =∠AOE －∠AOB =53.5°－35°=18.5°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．5．如图，直角三角形ABC 的两条直角边AB 和BC 分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC 为轴旋转一周．求所形成的立体图形的体积．解析：6π立方厘米【解析】试题分析：先根据勾股定理求出斜边为5厘米，再用“3×4÷5=2.4厘米”求出斜边上的高，绕斜边旋转一周后所得到的就是两个底面半径为2.4厘米，高的和为5厘米的圆锥体，由此利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积之和即可．试题过B作BD⊥AC，∵直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，∴AC=2234=5（厘米），斜边上的高为“3×4÷5=2.4（厘米），所形成的立体图形的体积：132.42 5 =9.6π（立方厘米）．6．如图，点B和点C为线段AD上两点，点B、C将AD分成2︰3︰4三部分，M是AD的中点，若MC＝2，求AD的长．解析：AD=36.【分析】根据点B、C将AD分成2︰3︰4三部分可得出CD与AD的关系，根据中点的定义可得MD=12AD，利用MC=MD-CD即可求出AD的长度.【详解】∵点B、C将AD分成2︰3︰4三部分，∴CD=49AD，∵M是AD的中点，∴MD=12 AD，∵MC=MD-CD=2，∴12AD-49AD=2，∴AD=36.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．7．如图，已知40AOB ∠=︒，3BOC AOB ∠=∠，OD 平分AOC ∠，求BOD ∠的度数.解析：40°【分析】根据3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒求出120BOC ∠=︒，得到∠AOC 的度数，利用OD 平分AOC ∠，求出∠AOD 的度数，即可求出BOD ∠的度数.【详解】解：∵3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒，∴120BOC ∠=︒.∵AOC AOB BOC ∠=∠+∠， 40120=︒+︒，160=︒，又∵OD 平分AOC ∠， ∴1802AOD AOC ∠=∠=︒， ∴BOD AOD AOB ∠=∠-∠，8040=︒-︒， 40=︒.【点睛】此题考查角度的和差计算，会看图明确各角之间的大小关系，注意角平分线的运用. 8．如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题：（1）与面B 、面C 相对的面分别是 和 ；（2）若A ＝a 3+15a 2b +3，B ＝﹣12a 2b +a 3，C ＝a 3﹣1，D ＝﹣15（a 2b +15），且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E 、F 代表的代数式．解析：（1）面F ，面E ；（2）F ＝12a 2b ，E ＝1 【分析】 （1）根据“相间Z 端是对面”，可得B 的对面为F ，C 的对面是E ，（2）根据相对两个面所表示的代数式的和都相等，三组对面为：A 与D ，B 与F ，C 与E ，列式计算即可.【详解】（1）由“相间Z 端是对面”，可得B 的对面为F ，C 的对面是E.故答案为：面F ，面E. （2）由题意得：A 与D 相对，B 与F 相对，C 与E 相对，A +D =B +F =C +E将A =a 315+a 2b +3，B 12=-a 2b +a 3，C =a 3﹣1，D 15=-(a 2b +15)代入得： a 315+a 2b +315-(a 2b +15)12=-a 2b +a 3+F =a 3﹣1+E ， ∴F 12=a 2b ， E =1.【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，整式的加减，掌握正方体展开图的特点和整式加减的计算方法是正确解答的前提.9．[阅读理解]射线OC 是AOB ∠内部的一条射线，若1,2COA BOC ∠=∠则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．例如，如图1，60 20AOB AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=，，则12AOC BOC ∠=∠，称射线OC 是射线OA 的伴随线：同时，由于12BOD AOD ∠=∠，称射线OD 是射线OB 的伴随线．[知识运用]（1）如图2，120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，则AOM ∠= ，若AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线，则NOC ∠的度数是 ．（用含α的代数式表示）（2）如图，如180AOB ∠=，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒3的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒5的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．①是否存在某个时刻t （秒），使得COD ∠的度数是20，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；②当t 为多少秒时，射线OC OD OA 、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 解析：（1）40︒，16α；（2）①存在，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20︒；②当907t =，36019，1807，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．【详解】（1）∵120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线， 根据题意，12AOM BOM ∠=∠，则111204033AOM AOB ∠=∠=⨯︒=︒； ∵AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线， ∴111233BON AON AOB α∠=∠=∠=，1122BOC AOB α∠=∠=， ∴111236NOC BOC BON ααα∠=∠-∠=-=； 故答案为：40︒，16α； （2）射线OD 与OA 重合时，180365t ==（秒）， ①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能： 若在相遇之前，则1805320t t --=，∴20t =；若在相遇之后，则5318020t t +-=，∴25t =；所以，综上所述，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20°；②相遇之前：（i ）如图1，OC 是OA 的伴随线时，则12AOC COD ∠=∠， 即()13180532t t t =--， ∴907t =； （ii ）如图2，OC 是OD 的伴随线时，则12COD AOC ∠=∠， 即11805332t t t --=⨯， ∴36019t =； 相遇之后： （iii ）如图3，OD 是OC 的伴随线时，则12COD AOD ∠=∠， 即()153********t t t +-=-， ∴1807t =； （iv ）如图4，OD 是OA 的伴随线时，则12AOD COD ∠=∠， 即()118053t 5t 1802t -=+-， ∴30t =；所以，综上所述，当907t =，36019，1807，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．10．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为5cm ，长方形的长为8cm ，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm 2；体积为：200cm 3．【分析】（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．【详解】解：（1）多余一个正方形，如图所示：（2）表面积为：225285450160210()cm ⨯+⨯⨯=+=，体积为：2358200()cm ⨯=【点睛】本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．11．已知线段AB=12，CD=6，线段CD 在直线AB 上运动(C 、A 在B 左侧，C 在D 左侧)．(1)M 、N 分别是线段AC 、BD 的中点，若BC=4，求MN ；(2)当CD 运动到D 点与B 点重合时，P 是线段AB 延长线上一点，下列两个结论：①PA PB PC +是定值； ②PA PB PC-是定值，请作出正确的选择，并求出其定值． 解析：（1）MN =9；（2）①PA PB PC+是定值2． 【分析】（1）如图，根据“M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点”，可先计算出CM 、BN 的长度，然后根据MN ＝MC +BC +BN 利用线段间的和差关系计算即可；（2）根据题意可得：当CD 运动到D 点与B 点重合时，C 为线段AB 的中点，根据线段中点的定义可得AC =BC ，此时①式可变形为()()PC AC PC BC PA PB PC PC ++-+=，进而可得结论．【详解】解：（1）如图，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，∴CM =12AC =12（AB ﹣BC ）=12（12﹣4）=4， BN =12BD =12（CD ﹣BC ）=12（6﹣4）=1， ∴MN ＝MC +BC +BN ＝4+4+1＝9；（2）①正确，且PA PB PC+=2． 如图，当CD 运动到D 点与B 点重合时，∵AB =12，CD =6，∴C 为线段AB 的中点，∴AC =BC ，∴()()22PC AC PC BC PA PB PC PC PC PC ++-+===， 而()()212PC AC PC BC PA PB AC PC PC PC PC +---===，不是定值．∴①PA PBPC+是定值2．【点睛】本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算等知识，正确画出图形、熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．12．如图所示，A ，B 两条海上巡逻船同时在海面发现一不明物体，A 船发现该不明物体在他的东北方向（从靠近A 点的船头观测），B 船发现该不明物体在它的南偏东60︒的方向上（从靠近B 点的船头观测），请你试着在图中确定这个不明物体的位置．解析：见解析 【分析】根据题意这个不明物体应该在这两个方向的交叉点上，根据图示方向在A 点向东北方向作一条线，在B 点向南偏东60°方向作一条线，交点即是． 【详解】根据题意，分别以A 和B 所在位置作出不明物体所在它们的方向上的射线， 两线的交点D 即为不明物体所处的位置． 如图所示，点D 即为所求：．【点睛】本题考查了方位角在生活中的应用，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 13．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点A ，B ，C ，D 表示．（1）连接AB ，作射线AD ，作直线BC 与射线AD 交于点E ；（2）若要建一供电所M，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？请画出点M的位置并说明理由．解析：（1）如图所示．见解析；（2）如图，见解析；供电所M应建在AC与BD的交点处．理由：两点之间，线段最短．【分析】（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．【详解】（1）如图所示：点E即为所求；（2）如图所示：点M即为所求．理由：两点之间，线段最短．【点睛】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．14．如图是由几个完全相同的小立方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体从正面和左面看到的形状图.解析：见解析.【解析】【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为１，４，２；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为３，４，２．据此可画出图形．【详解】解：如图所示.【点睛】本题考查了作图-三视图，由三视图判断几何体，能根据俯视图对几何体进行推测分析,有一定的挑战性,关键是从俯视图中得出几何体的排列信息.15．如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．解析：画图见详解.【分析】分别画出从正面看、左面看、上面看的图形，注意所有看到的棱都要表示到三视图中.【详解】如图所示：【点睛】本题主要考查了三视图的画法，所有看到的棱都要在三视图中表示出来是画图的关键. 16．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm ，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm ，求这个长方体纸盒的体积． 解析：（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米 【分析】1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；（3）设底面边长为acm ，根据棱长的和是880cm ，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【详解】解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱， 故答案为：8．（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长acm ，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm ，长方体纸盒高为20cm ， ∴4×20+8a ＝880， 解得a ＝100，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米． 【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．17．已知90AOB ∠=︒，OC 为一条射线，OE ，OF 分别平分AOC ∠，BOC ∠，求EOF ∠的度数．解析：45︒【分析】本题需要分类讨论，当OC 在AOB ∠内部时，根据OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，即可求出EOF ∠的度数；当OC 在AOB ∠外部时，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠，所以1122EOF FOC EOC BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠，即可解决．【详解】解：①如图，当OC 在AOB ∠内部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，所以1122COE COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠， 即12EOF AOB =∠∠． 又因为90AOB ︒∠=， 所以45EOF ︒∠=．②如图，当OC 在AOB ∠外部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠， 所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠， 所以1111()452222EOF FOC EOC BOC AOC BOC AOC AOB ︒∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=．综上所述，45EOF ︒∠=．本题主要考查了角度的计算和角平分线的定义，熟练分类讨论思想，并且画出图形是解决本题的关键．18．如图，已知点C 为线段AB 上一点，15cm AC =，35CB AC =，D ，E 分别为线段AC ，AB 的中点，求线段DE 的长．解析：5cm 【分析】根据线段的中点定义即可求解． 【详解】解：因为15cm AC =，35CB AC =， 所以3159(cm)5CB =⨯=， 所以15924(cm)AB =+=．因为D ，E 分别为线段AC ，AB 的中点，所以112cm 2AE BE AB ===，17.5cm 2DC AD AC ===． 所以127.5 4.5(cm)DE AE AD =-=-=．【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段的中点定义．19．如图，射线ON ，OE ，OS ，OW 分别表示以点O 为中心的北，东，南，西四个方向，点A 在点O 的北偏东45︒方向，点B 在点O 的北偏西30方向．（1）画出射线OB ，若BOC ∠与AOB ∠互余，请在图（1）或备用图中画出BOC ∠； （2）若OP 是AOC ∠的平分线，直接写出AOP ∠的度数．（不需要计算过程） 解析：（1）见解析；（2）45︒或30． 【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据角平分线的定义即可得到结论．（1）如图所示，BOC ∠与BOC '∠即为所求．（2）AOP ∠的度数为45︒或30︒． ∵∠AON=45°，∠BON=30°， ∴∠AOB=75°， ∵∠BOC 与∠AOB 互余， ∴∠BOC=∠BOC′=15°， ∴∠AOC=90°，∠AOC=60°， ∵OP 是∠AOC 的角平分线， ∴∠AOP=45°或30°． 【点睛】本题主要考查了方向角的定义，余角的定义，作出图形，正确掌握方向角的定义是解题关键．20．如图，C ，D 两点将线段AB 分成2:3:4三部分，E 为线段AB 的中点，6cm AD =．求：（1）线段AB 的长； （2）线段DE 的长．解析：（1）10.8cm ；（2）0.6cm 【分析】（1）设2cm AC x =，3cm CD x =，4cm BD x =，则根据6cm AD =列式计算即可. （2）由E 为线段AB 的中点，且根据（1）知AB 的长为10.8cm ，即可求出DE 的长． 【详解】（1）设2cm AC x =，3cm CD x =，4cm BD x =． 则有236x x +=， 解得 1.2x =．则234910.8x x x x ++==． 所以AB 的长为10.8cm ． （2）因为E 为线段AB 的中点，所以15.4cm 2AE AB ==． 所以6 5.40.6cm DE AD AE =-=-= 【点睛】本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和及倍数关系是解答此题的关键． 21．如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A ．正方体B ．长方体C ．三棱柱D ．四棱锥 （2）求该几何体的体积． 解析：（1）C ；（2）4 【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案． （2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可． 【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C ．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积12222=⨯⨯=；该几何体的高为2；故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯． 【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可． 22．射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE 有公共端点O ．（1）若OA 与OE 在同一直线上，如图（1），试写出图中小于平角的角．（2）如图（2），若108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，OB 平分AOE ∠，OD平分COE ∠，求BOD ∠的度数．解析：（1）AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠；（2）54︒【分析】（1）根据角的定义即可解决；（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=12∠AOC+12∠COE ，进而求出即可． 【详解】（1）题图（1）中小于平角的角有AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠．（2）因为OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，所以1111()2222BOD BOE DOE AOE COE AOE COE AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠．因为108AOC ∠=︒，所以54BOD ∠=︒ 【点睛】本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键，23．如图，点O 是直线AB 上一点，OC 为任一条射线，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ． （1）分别写出图中∠AOD 和∠AOC 的补角 （2）求∠DOE 的度数．解析：（1）∠BOD ，∠BOC ；（2）90°． 【分析】（1）由题意根据补角的定义即和是180度的两个角互补，一个角是另一个角的补角进行分析；（2）根据角平分线的性质，可得∠COE ，∠COD ，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：（1）根据补角的定义可知，∠AOD 的补角是∠BOD ； ∠AOC 的补角是∠BOC ；（2）∵OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ， ∴∠COD=12∠AOC ，∠COE=12∠BOC ．由角的和差得∠DOE=∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=90°． 【点睛】本题考查余角和补角，利用了补角的定义和角的和差以及角平分线的性质进行分析求解． 24．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 的长； （2）求线段MN 的长；（3）若C 在线段AB 延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请写出你的结论（不需要说明理由） 解析：（1）BC= 7cm ；（2）MN= 6.5cm ；（3）MN=2b【分析】（1）根据线段中点的性质，可得MC 的长，根据线段的和差，可得BC 的长； （2）根据线段中点的性质，可得MC 、NC 的长，根据线段的和差，可得MN 的长； （3）根据（1）（2）的结论，即可解答． 【详解】解：（1）∵AC=6cm ，点M 是AC 的中点， ∴12MC AC ==3cm ， ∴BC=MB ﹣MC=10﹣3=7cm ． （2）∵N 是BC 的中点， ∴CN=12BC=3.5cm ， ∴MN=MC+CN=3+3.5=6.5cm ． （3）如图，MN=MC ﹣NC=1122AC BC -=12（AC ﹣BC ）=12b ．MN=2b． 【点睛】本题考查两点间的距离．25．作图：如图，平面内有 A ，B ，C ，D 四点 按下列语句画图：（1）画射线 AB ，直线 BC ，线段 AC（2）连接 AD 与 BC 相交于点 E.解析：答案见解析【分析】利用作射线，直线和线段的方法作图．【详解】如图：【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．26．如图所示，点A 、O 、C 在同一直线上，OE 是BOC ∠的平分线，90EOF ∠=︒，()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒.（1）求1∠的度数（请写出解题过程）.（2）如以OF 为一边，在COF ∠的外部画DOF COF ∠=∠，问边OD 与边OB 成一直线吗？请说明理由.解析：（1）1140∠=︒；（2）边OD 与边OB 成一直线，理由详见解析.【分析】（1）因为OE 是∠BOC 的平分线 所以∠BOC=2∠2，再根据点A 、O 、C 在一直线上，求出∠1和∠2关于x 的关系式，列出等式求出x 的值；（2）根据∠EOF=∠EOC+∠COF=90°和∠EOC=12∠BOC ，∠FOC=12∠DOC ，12∠BOC+12∠DOC=90°，得出∠BOC+∠DOC=180°，进而可可判断边OD 与边OB 成一直线．【详解】（1）因为OE 是BOC ∠的平分线，所以22BOC ∠=∠，因为点A 、O 、C 在同一直线上，所以1180BOC ∠+∠=︒，又因为()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒，所以()()420210180x x ++-=，解得：30x =，1140∠=︒（2）边OD 与边OB 成一直线.理由：因为90EOF EOC COF ∠=∠+∠=︒， 又因为12EOF BOC ∠=∠，12FOC DOC ∠=∠. ∴119022BOC DOC ∠+∠=︒， 即180BOC DOC ∠+∠=︒，所以点D 、O 、B 在同一直线上，即边OD 与边OB 成一直线.【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线的知识点，解答本题的关键是熟练运用角之间的等量关系.27．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）解析：见解析．【分析】根据正方体展开图直接画图即可．【详解】解：【点睛】正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．28．已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE ＝50°，求：∠BHF的度数．解析：∠BHF=115° .【分析】由AB∥CD得到∠AGE=∠CFG，由此根据邻补角定义可得∠GFD的度数，又FH平分∠EFD，由此可以先后求出∠GFD，∠HFD，继而可求得∠BHF的度数．【详解】∵AB∥CD，∴∠CFG=∠AGE=50°，∴∠GFD=130°；又FH平分∠EFD，∴∠HFD=1∠EFD=65°；2∵AB∥CD，∴∠BHF=180°-∠HFD=115°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角等知识，两直线平行时，应该想到它们的性质；由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．29．如图所示，已知射线OC将∠AOB分成1∶3的两部分，射线OD将∠AOB分成5∶7的两部分，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数．解析：90°【分析】设∠AOB的度数为x，根据题意用含x的式子表示出∠AOC，∠AOD，根据角的关键列出方程即可求解．【详解】解：设∠AOB的度数为x．因为射线OC将∠AOB分成1∶3两部分，所以∠AOC＝14 x．因为射线OD将∠AOB分成5∶7两部分，所以∠AOD＝512x．又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，∠COD＝15°，所以15°＝512x－14x．解得x＝90°，即∠AOB的度数为90°．【点睛】本题考查了角的和差，设出未知数，表示出∠AOC，∠AOD，列出方程是解题关键．30．仓库里有以下四种规格且数量足够多的长方形、正方形的铁片（单位：分米）．从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或正方体）铁盒（不浪费材料），甲型盒是由2块规格①，1块规格②和2块规格③焊接而成的铁盒，乙型盒是容积最小的铁盒．（1）甲型盒的容积为________立方分米；乙型盒的容积为________立方分米；（直接写出答案）（2）现取两个装满水的乙型盒，再将其内部所有的水都倒入一个水平放置的甲型盒，甲型盒中水的高度是多少分米？（铁片厚度忽略不计）解析：（1）40，8；（2）甲型盒中水的高度是2分米【分析】（1）甲型盒是由2块规格①、1块规格②和2块规格③焊接而成的铁盒，可得一个长为2分米，宽为4分米，高为5分米的长方体，其中规格②为长方体的底，可求体积为40立方分米，乙型盒是容积最小，即长宽高最小，可得到长宽高都为2分米的正方体，体积为8立方分米，（2）甲盒的底面为长2分米，宽为4分米的长方形，根据体积相等，可求出高度．【详解】（1）因为甲型盒是由2块规格①，1块规格②和2块规格③焊接而成的，⨯⨯=（立方分米）．所以甲型盒的容积为24540乙型盒容积最小，即长、宽、高最小，因此乙型盒为长、宽、高均为2分米的正方体，⨯⨯=（立方分米），容积为2228故答案为40，8．⨯=（平方分米），（2）甲型盒的底面积为248⨯=（立方分米），两个乙型盒中的水的体积为8216÷=（分米）．所以甲型盒内水的高度为1682答：甲型盒中水的高度是2分米．【点睛】考查长方体、正方体的展开与折叠，长方体、正方体的体积的计算方法，掌握折叠后的长方体或正方体的棱长以及体积相等是解决问题的关键．。
代数问题的几何解法例析
代数问题的几何解法例析
张笃芳
【期刊名称】《数学教育研究》
【年(卷),期】2004(000)001
【摘要】解析几何是用代数方法研究几何图形问题的一门学科．具体的说，就是
借助于坐标系，用坐标表示点，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接的研究曲线的性质，从而把几何上的许多图形和概念给出了其代数表示．反过来，许多代数问题，如果我们能联想到它们对应的图形，借助于图形，转化为几何问题去解决，则显得简捷、明了、形象、直观．本文归纳介绍代数上可转化为几何问题解决的若干方面，供同学们在学习中参考．
【总页数】3页(P45-47)
【作者】张笃芳
【作者单位】山东省淄博四中,255100
【正文语种】中文
【中图分类】G623.503
【相关文献】
1.代数问题图形化和几何问题代数化 [J], 何晓静;
2.几何综合题中函数关系问题的归类思考——一类中考压轴题的解法例析 [J], 吴
龙梅
3.代数与几何齐飞\r——破解高考解析几何中的定值、定点问题 [J], 夏锦
4.代数与几何齐飞——破解高考解析几何中的定值、定点问题 [J], 夏锦
5.几何图形中存在性问题的解法例析 [J], 李胜军
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
代数方法求解几何问题
几何问题概述
几何问题的定义
几何问题是指研究几何图形的性质、关系和度量等问题 几何问题包括平面几何、立体几何、解析几何等 几何问题的研究方法包括代数方法、几何方法、解析方法等 几何问题的应用广泛，如建筑设计、机械设计、计算机图形学等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
通用性强：代数方法可以应用于各 种几何问题，具有广泛的应用范围。
易于计算：代数方法可以方便地进 行计算，提高解题效率。
代数方法在几何问题中的具体应用
向量法：利用向量的加减法、数乘、内积等运算解决几何问题 坐标法：将几何问题转化为代数方程组，利用代数方法求解 解析几何法：利用解析几何中的直线、圆、椭圆等概念解决几何问题 矩阵法：利用矩阵的运算解决几何问题，如线性变换、投影等
代数方法求解几何问题的未来 展望
代数方法的发展趋势
发展更加高效的代数方法， 提高求解几何问题的效率
更加注重几何与代数的结合， 实现几何问题的代数化
探索新的代数方法，解决传 统方法难以解决的几何问题
结合计算机技术，实现代数 方法的自动化和智能化
代数方法在几何问题中的新应用
几何问题的代数化：将几何问题转化为代数问题，便于求解 代数方法的扩展：引入新的代数方法，如矩阵、向量等，提高求解效率 几何问题的计算机求解：利用计算机技术，实现几何问题的快速求解 几何问题的优化：通过代数方法，对几何问题进行优化，提高求解精度
几何问题求解的重要性
添加标题
几何问题是数学中的重要组成部分，求解几何问题有助于提高数学思维能力和求解是数学教育的重要内容，有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
高考解析几何题
高考解析几何题高考解析几何题的解题技巧与方法解析几何作为高中数学的重要组成部分，在高考数学试题中占有不可忽视的地位。
它主要研究图形的几何性质与代数表达式之间的联系，通过坐标系将几何问题转化为代数问题进行求解。
本文将从几个方面探讨高考解析几何题的解题技巧与方法，帮助考生在面对这类题目时能够更加得心应手。
一、掌握基本概念和公式解析几何的基本概念包括点、线、面的位置关系，以及圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的性质。
熟练掌握这些概念及其相关公式是解题的基础。
例如，直线的方程有一般式、点斜式、两点式等，每种形式都有其适用的场合。
圆的标准方程、椭圆的焦点性质等，都需要考生牢记于心。
二、培养图形的直观感知能力解析几何题目往往需要考生能够在脑海中构建出题目所描述的图形，并能够对图形进行操作和变换。
因此，培养良好的图形直观感知能力对于解题至关重要。
考生可以通过多做练习题、观察生活中的几何图形等方式来提高这方面的能力。
三、运用代数方法解决问题解析几何的特点就是将几何问题转化为代数问题。
因此，考生需要掌握如何通过代数运算来求解几何问题。
例如，通过联立方程组求交点，利用向量方法求解角度和距离，或者运用坐标变换简化问题等。
这些方法都需要考生在解题时灵活运用。
四、注意解题步骤的条理性在高考中，解析几何题目往往步骤较多，需要考生条理清晰地进行解题。
首先，要仔细审题，弄清楚题目的要求和所给条件；其次，要合理规划解题步骤，避免在解题过程中出现混乱；最后，要仔细检查，确保每一步的计算都是正确的。
五、总结常见题型和解题模板高考解析几何题目虽然千变万化，但总有规律可循。
考生可以通过总结历年高考题，找出常见的题型和解题模板。
例如，直线与圆的位置关系、动点轨迹问题、最值问题等，都有其特定的解题思路和方法。
掌握这些模板，可以帮助考生在面对新题目时能够迅速找到解题的切入点。
六、提高解题速度和准确性高考是一场与时间赛跑的考试，提高解题速度和准确性是提高分数的关键。
高中数学备课教案解直线与圆的交点问题的方法总结
高中数学备课教案解直线与圆的交点问题的方法总结直线与圆的交点问题是高中数学中重要的几何问题之一，解题方法多样，但核心思想是要利用几何知识和代数运算相结合，从而找到直线与圆的交点坐标。
本文将总结几种常用且有效的方法，并分步解析每种方法的具体操作。
一、利用代数方法解直线与圆的交点问题代数方法是解决直线与圆的交点问题常用的一种方法，其基本思想是计算直线和圆方程的交点坐标。
下面以一道例题来说明代数方法的具体步骤：例题：已知直线L过点A(2, 3)，斜率为k，与圆C：(x-4)² + (y+1)²= 25 相交于点B和点C，求直线L的斜率k的范围。
解答：1. 设直线L的方程为y = kx + b，其中b为待定常数。
2. 由直线L过点A(2, 3)，可以得到3 = 2k + b。
3. 将直线L的方程代入圆C的方程中，得到(kx + b - 4)² + (x + 1)² = 25。
4. 化简上述方程，得到(k² + 1)x² + (2kb - 8)x + (b² - 4b + 20) = 0。
5. 根据直线与圆的交点性质，上述方程有两个解，即判别式Δ = (2kb - 8)² - 4(k² + 1)(b² - 4b + 20) > 0。
6. 化简判别式，得到k² + 4k²b - 16kb + 16 - (4k²b - 16kb + 4b² - 16b + 80) > 0。
7. 化简判别式，得到5(k² + 4b² - 4) > 0。
8. 解方程5(k² + 4b² - 4) = 0，得到k² + 4b² = 4。
9. 根据上述方程，可以得到斜率k的范围为k ∈(-∞, -2) U (2, +∞)。
解析几何十一种方法
解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。
以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。
3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。
4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。
通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。
5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。
6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。
7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。
8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。
10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。
11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。
以上就是解析几何的11种方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。
代数法求几何最值
代数法求几何最值题目：代数法求几何最值导语：代数法是数学中的一种常用技巧，可以通过代数运算和方程求解的方法来求解几何问题中的最值。
在解决几何问题时，我们可以通过使用代数法，将几何问题转化为代数问题，从而更方便求解。
本文将详细介绍代数法在求解几何最值问题中的应用，并给出具体的步骤和例子，旨在帮助读者全面理解和掌握代数法求几何最值的方法。
一、代数法求几何最值的基本思想几何最值问题是指在几何图形中，求解与某个特定条件相关的最大值或最小值的问题。
通过使用代数法，可以将几何问题转化为代数问题，通过代数运算和方程求解的方法，找到与几何问题等价的数学表达式，从而求解几何最值问题。
代数法求几何最值的基本思想是：1. 确定几何问题中所涉及的变量和条件；2. 将几何问题转化为代数问题，建立数学模型；3. 使用代数运算和方程求解的方法，解决从而获取几何问题的最值。
二、代数法求几何最值的具体步骤代数法求几何最值的具体步骤如下：1. 分析几何问题，确定所涉及的变量和条件；2. 根据问题的几何特征，建立相应的数学模型；3. 将几何问题转化为代数问题，通过变量和条件建立数学表达式；4. 根据代数表达式，利用代数运算和方程求解的方法，找到与几何问题等价的数学表达式的最值；5. 根据最值问题的定义，解释最值对应的几何特性。
三、代数法求几何最值的例子例（1）：求给定周长条件下，矩形面积的最大值。
分析：假设矩形的长为x，宽为y，周长为2x+2y=C（C为常数）。
步骤：1. 建立数学模型：矩形的面积A为xy，周长为2x+2y=C；2. 转化为代数问题：建立方程2x+2y=C，将y表示为x的函数，得到y=C/2 - x；3. 代入面积表达式：将y代入A=xy，得到A=x(C/2 - x)=Cx/2-x^2；4. 求导数：对A求导数，得到A'=(C-2x)/2；5. 解方程：令A'=0，解得x=C/4；6. 确定最值：代入x=C/4到面积表达式A=C^2/16，得到最大面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以向量数量积为工具，解决立体几何中求角度、
距离等问题，可以减少辅助线的添加，还可避 开一些较复杂的空间图形，降低了解题难度， 且思路明确，易于下手，过程程序化，易于接 受.
利用数量积，建立平面方程是很方便的.
向量的外积
两向量的向量积与两向量的模构成的平行四边
形面积紧密联系在一起，从而运用向量积可以 处理立体几何的有关面积问题. 同时，还可得到:
例5 三对偶命题： 命题1 若两条直线都和第三条直线平行，则互相平 行. 命题2 若两个平面都和第三个平面平行，则互相平 行.
对偶规律的理论解释：同一个向量等式，不同的几何解释。 对于向量等式
(a1,a2,a3)=k(b1,b2,b3)(k≠0)，(1) 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)均是直线的方向向量或均是平面的法向 量时，它是两直线或两平面平行(包括重合意义下的平行)的 充要条件; 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)之一为直线的方向向量，另一为平面的 法向量时，它是直线与平面垂直的充要条件. 对于向量等式 (a1,a2,a3) · (b1,b2,b3)=0，(2) 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)均是直线的方向向量或均是平面的法向 量时，它是两直线或两平面垂直的充要条件; 当(a1,a2,a3), (b1,b2,b3)之一为直线的方向向量，另一为平面的 法向量时，它是直线与平面平行的充要条件.
利用上述特点，一方面很多时候利用向量知识能求解
的几何问题，用复数法也可以解出. 另一方面，有时 复数在解决某些几何问题（如旋转问题）时，比向量 更显得方便.
4 解析法
所谓解析法，就是经过建立坐标系，设定所论
图形上有关点的坐标和曲线的方程后，将几何 间题转化为代数间题，然后应用代数知识进行 求解或求证，再赋予几何意义，从而获得几何 证明的一种方法。
应用解析法证题主要有三个步骤：
第一步，选取恰当的坐标系，以便于确定关键点的坐标
和曲线的方程，并易于计算为原则，例如，可选取图形 的对称轴，相交直线或某一特殊直线为坐标轴，可选定 线段的端点、中点、中心对称图形的对称中心或某一特 殊点为原点。 第二步，设定点的坐标和曲线的方程为尽可能地减少参 数，常将所论图形在坐标轴上或沿坐标轴方向上的两条 边长取为单位长，或单位长的倍数． 第三步，进行计算与推理．对此，除明确有关概念，熟 知有关公式和方程外，还应注意利用所论图形的几何性 质，注意利用置换关系，求出点的坐标和曲线的方程， 注意将所论问题中的已知与求证作适当转化，注意所论 问题中有关线段、角度等的方向．
若存在结合关系，必须把这一直线结合在一起的平面 同时换成与平面结合在一起的直线.把平面换成直线时 也一样.
例4 三对偶命题： 命题1 若一个平面M平行于两条相交直线p, q，则平 行于这两条直线上的平面N. 命题2 若一个平面M垂直于两个相交平面P, Q，则 垂直于在这两个平面上的直线(即交线)n.
常用面积公式
面积比定理
2 三角法
所谓三角法，就是将几何命题中的边、角等元
素之间的关系，转换成三角函数关系，然后应 用三角恒等变形或解三角方程等知识来给出几 何证明的一种方法．
3 复数法
平面上的点Z(x,y)可以用复数z=x+yi来表示，平
面上的点集可以与复数集构成一一对应。 根据复数及其运算的几何意义，平面上某些图 形的几何关系可以通过复数关系式来刻画，而 一些平面几何问题就可以通过一系列复数运算 导出所需的结果。这种运用复数知识来求解问 题的方法称为复数法.
例2 下列六个命题是同真的 命题1 若直线a和直线b不平行，则不存在直线c，使得c//a, c//b. 命题2 若平面α 和直线b不垂直，则不存在直线c ，使得 c⊥α , c//b. 命题3 若平面α 和平面β 不平行，则不存在直线c，使得 c⊥α , c⊥β . 命题4 若平面α 和平面β 不平行，则不存在平面γ，使得 γ//α , γ //β . 命题5 若直线a和平面β 不平行，则不存在平面γ，使得γ⊥a, γ //β . 命题6 若直线a 和直线b不平行，则不存在平面γ，使得γ⊥a, γ⊥b.
利用空间向量的向量积，建立空间直线的方程
是方便的
把向量作为工具来研究与求解有关数学问题的方法称
之为向量方法。向量法的特点是形数结合、运算有法 可循，因此向量法既有综合法的灵巧，又有坐标法的 方便，能把综合法与坐标法有机地结合在一起. 因而平面几何问题如用向量法来研究与求解，往往用 计算代替演绎论证而显得明快、简捷和容易入手，它 克服了几何综合论证中常常要添置若干辅助线而显得 不易捉摸的缺点，同时又因为向量公式不依赖于坐标 系，故向量法求解平面几何问题较之于坐标法也具有 一定的优越性.
将向量应用到立体几何教学中，不但使有关问
题处理得简洁漂亮，而且反复的应用，还使学 生熟悉了向量的线性运算和内积运算，更重要 的是学会了运用空间结构解决问题的思维方法， 即:将相关向量表示为基向量的线性组合，把问 题转化为基向量的运算问题.这与综合法(主要 是把空间图形关系转化为平面图形关系)相比， 显然是更高的数学思维方式，它抓住了空间的 主要特征和内在规律，使“纷繁复杂的现象变 得井然有序”.
向量知识在处理立体几何问题中的重要应用主
要是通过向量的各种运算来体现的. 这一节，我们重点来看一看向量的内积与外积 在处理立体几何问题中的一些应用与应用方法.
向量的内积
空间向量的数量积与两向量所成的角紧密联系
在一起，因此，在讨论空间直线与直线、直线 与平面、平面与平面的位置关系时，常可运用 向量的数量积运算来处理.在讨论空间二直线共 面或异面时，因均可归结为共面的情形处理， 因而也可运用向量的数量积运算来处理. 这样处理，可以把几何论证代数化. 立体几何中的一些垂直问题，运用向量的空间 结构特点及数量积来处理非常方便.
平面上的点集与平面上从原点出发的向量集(位置向量
集)也可以构成一一对应。 复数运算与向量运算的几何意义既有相同的地方，又 有不同之处。
复数的加、减法的几何表示就是向量的加、减法；用一个 实数去乘复数的几何表示相当于数乘向量的运算. 复数乘法的几何表示不同于向量的一般乘法(数量积或向量 积)，它表示为向量的拉伸与旋转的合成。
除运用向量运算法则与性质外，运用向量法还
常用到如下一系列公式:
用向量法求解平面几何问题通常需要按以下步骤进行: 首先是建立恰当的向量坐标系， 然后将问题中的条件、结论翻译成向量关系式， 其次是设置好“媒介向量”.很多时候条件中的向量关系式 与结论中的向量关系式常常有距离.例如，结论中出现的某 些向量，条件中没有，这就需要在图形中选择出若干已知 向量以这些向量为基础，将结论中出现的那些向量表示出 来，以沟通已知和未知的关系，但媒介向量的个数选取要 恰当，少了不能达到证题目的，多了会使问题复杂化而不 利于证题. 最后是化简或证明向量关系式，从作为条件的向量关系出 发应用向量性质，结合有关代数、几何知识，推得表示结 论的向量关系式.
5 向量法
向量是数学中的重要概念之一，它广泛应用于生产实
践和科学研究中.向量在立体几何中应用更为直接，是 因为立体几何中的两类主要问题:几何元素间的位置关 系和度量关系几乎都可以通过向量运算来解决. 与一个非零向量共线(平行)的向量的充要条件、平面 向量的分解定理、空间向量的分解定理，这三个逐步 深入的定理是应用向量解决问题的理论基础.在中学阶 段，可以根据不同的教学目标采用证明或者直接用向 量图加以说明的方法使学生理解.此时学生对空间结构 能有初步的认识，了解直线上的向量可以由一个非零 向量生成，平面上的向量可以由两个不共线的向量生 成，空间中的向量可以由三个不共面的向量生成，建 立基的概念.
立体几何中的这个规律与射影几何中的对偶原
则有些类似。但是，上述理论解释说明两者在 本质上是不同的。 理论解释启示我们，在立体几何中，应适当加 强向量法解决立体几何问题的训练.这也可能是 国内、外有些中学教材已把立体几何与空间解 析几何融为一体的一个缘故.
单对偶命题，双对偶命题，三对偶命题，… 有时为了保证对偶命题有意义，必须同时调换一个 命题中的多个元素及其相应的关系。
• 例如，若是平面换直线，则“在平面上的直线”必须相 应地换成“在直线上的平面”，反之亦然.
例1 下列四个命题是同真的. 命题l 通过空间一点能作且仅能作一条直线与已知 直线平行. 命题2 通过空间一点能作且仅能作一个平面与已知 直线垂直. 命题3 通过空间一点能作且仅能作一个平面与已知 平面平行. 命题4 通过空间一点能作且仅能作一条直线与已知 平面垂直.
求解几何问题的代数法
所谓代数法，就是将儿何命题中的有关线段、
角度、面积等元素间的相互关系表示成相应的 代数关系式，然后应用代数恒等变形或解方程 等知识来给出几何证明的一种方法．
代数法包括：面积法、三角法、复数法、解析
法、向量法等。
1 面积法
面积很早就成为人们认识几何图形性质和证明几何命
由于在位置关系中，线面的垂直和平面、平 面与平面互相垂直或平行的判定定理和性质定 理的运用是学习的重点，也是学习的难点;在度 量问题中，角和距离的计算是基础，面积、体 积的计算是通过求有关的角和距离来得到的， 立体几何中角和距离的计算也是难点. 因此，求解这两大难点的问题，往往要采用各 种各样的方法，还常常添作一些辅助图，须运 用综合的思路.或者说，立体几何中很多问题的 求解不可忽视运用综合法.
这样，在等式(1)或(2)中，对其中任一向
量给以不同的几何解释，相应地便得出不 同的几何命题. 当等式(1)或(2)为真(伪)时， 由不同的几何解释所相应的不同的几何命 题也就同真(伪). 另一方面，由一个有关平行或垂直的几何 命题为真，也可以相应地列出等式(1)或 (2)，从而由不同的几何解释所引出的其他 几何命题亦真。