2019-2020学年新导学案同步人教A版数学必修2_第3章 直线与方程3.2.1
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第三章 直线与方程
互动探究学案
数 学 必 修 ② 人 教 版
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第三章 直线与方程
命题方向1 ⇨直线的点斜式方程
典例 1 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过P(－2,3)、Q(5，－4)两点．
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕 写出满足下列条件的直线的方程． (1)斜率为 5，在 y 轴上截距为－1，___5_x_－__y－__1_＝__0___； (2)倾斜角 30°，在 y 轴上截距为 3，__x_－___3_y_＋__3_＝__0___． [解析] (1)方程为 y＝5x－1，即 5x－y－1＝0． (2)方程为 y＝xtan30°＋ 3，即 x－ 3y＋3＝0．
新课标导学
数学
必修② ·人教A版
第三章
直线与方程
3．2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
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第三章 直线与方程
自主预习学案
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第三章 直线与方程
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴， 桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的 直线．怎样表示直线的方程呢？
数
又∵直线过点 P(－2,3)，
学
必 修
∴直线的点斜式方程为 y－3＝－(x＋2)．
②
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版
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第三章 直线与方程
『规律方法』 求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0、y0)→定斜率k→写出 方程y－y0＝k(x－x0)．
点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0、y0)的所有直线，但x＝x0除 外．
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第三章 直线与方程
1．经过点(－3,2)，斜率为 3的直线方程是
A．y＋2＝ 3(x－3)
B．y－2＝ 33(x＋3)
C．y－2＝ 3(x＋3)
D．y＋2＝ 33(x－3)
数
[解析] 由直线的点斜式方程的定义可知选项C正确．
学
必
修
②
人 教
版
( C)
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第三章 直线与方程
直线(曲线)过定点问题——分离参数法与赋值法
(1)当 k 取任意实数时，方程 y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直 线．
(2)方程 y－y0＝k(x－x0)与方程 k＝yx－ －yx00不是等价的，前者是整条直线，后者 表示去掉 P0(x0，y0)的一条直线．
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第三章 直线与方程
[解析] (1)∵直线过点 P(－4,3)，斜率 k＝－3，
由直线方程的点斜式得直线方程为 y－3＝－3(x＋4)．
(2)与 x 轴平行的直线，其斜率 k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为 y
－(－4)＝0×(x－3)，
即 y＋4＝0．
(3)过点 P(－2,3)、Q(5，－4)的直线的斜率 kPQ＝5－－4－－32＝－77＝－1．
(1)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
(2)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．
[点拨] 注意斜率是否存在．
[解析] (1)由题意可知，直线的斜率k＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－
数 1)＝0，即y＝－1．
学 必 修
(2)由题意可知，直线的斜率不存在，
② 人
所以直线的方程为x＝1．
教
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数
4.∴x＝23 y＝4
即直线过定点23，4．
学
必
修
②
人 教
版
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第三章 直线与方程
解法 2：当 a＝0 时，y＝4；当 a＝1 时，y＝3x＋2.由yy＝＝34x＋2
得x＝23， y＝4.
(1)
将(1)式代入直线方程中检验知，点23，4在此直线上，因此，直线过定点
数 学 必
__截__距____.倾斜角是__9_0_°____的直线没有斜截式方程．
修
②
人 教
版
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第三章 直线与方程
强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将 其理解为“距离”．
(2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝ 2没有横截距．
数
又∵直线 l 的截距 b＝6，∴直线 l 的方程为 y＝－2x＋6．
学
必
修
②
人 教
版
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第三章 直线与方程
3．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为__x_＋__y_＋__1_＝__0___．
[解析] 由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．
4．(2018·烟台质检)写出下列直线的方程．
[解析] (1)y＝3x－3．
(2)∵k＝tan60°＝ 3，∴y＝ 3x＋5．
数
学 必 修 ②
(3)∵k＝tan150°＝－ 33，∴y＝－ 33x．
人 教
版
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第三章 直线与方程
『规律方法』 斜截式是点斜式的特例，应用斜截式方程时，应注意斜率 不存在的情形．当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y ＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距．
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第三章 直线与方程
4．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式： (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角为45°． [解析] (1)y－5＝4(x－2)，y＝4x－3． (2)k＝tan45°＝1，所以y－3＝x－2.即y＝x＋1．
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第三章 直线与方程
2．直线的斜截式方程 (1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程 ___y_＝__k_x_＋__b__叫做直线l的斜截式方程．
(2) 说 明 ： 一 条 直 线 与 y 轴 的 交 点 (0 ， b) 的 纵 坐 标 b 叫 做 直 线 在 y 轴 上 的
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习1〕
你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直
线如何表示？
(1)经过点A(－2,5)，斜率是3；
(2)经过点B(2，－3)，倾斜角是135°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．
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第三章 直线与方程
典例 3 无论a取何值，直线y＝3a(x－1)＋4＋a恒过定点__23_，__4____． [思路分析] (1)联想直线方程的点斜式，可将参数a分离求解． (2)注意到a的任意性，可给a赋值求解．
[解析] 解法 1：将直线方程变形为 y＝a(3x－2)＋4，则当 3x－2＝0 时，y＝
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第三章 直线与方程
1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线的方程是
(D)
A．y＝3x－2
B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
[解析] 由点斜式方程可知，直线的方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，
故选D．
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可知该直线的斜率为－1，过点(－1，－2)．
数 学 必 修 ②
人 教
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第三章 直线与方程
3．直线y＝－2x＋3的斜率是__－__2___，在y轴上的截距是___3__，在x轴上的 3
截距是__2____．
[解析] 斜率是－2；在 y 轴上的截距是 3；令 y＝0 得 x＝32，即在 x 轴上的截 距是32．
[解析] (1)y－5＝3(x＋2)．
数 学 必
(2)k＝tan135°＝－1，∴y＋3＝－(x－2)．
修 ②
(3)y＝－1．
人 教
(4)x＝1．
版
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第三章 直线与方程
命题方向2 ⇨直线的斜截式方程
典例 2 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0．
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第三章 直线与方程
1．直线的点斜式方程 (1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则 把方程___y_－__y0_＝__k_(_x_－__x0_)__叫做直线l的点斜式方程．
(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的 数 直线没有点斜式，其方程为__x_＝__x_0__．
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第三章 直线与方程
课时作业学案
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两直线还可能重合．
[思路分析] 要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否
数 学
重合．
2019-2020学年新导学案同步人教A版数学必修2_第3章 直线与方程3.1.2
第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．(2019·临沧高一检测)直线l 1、l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( D )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直[解析] 设方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1x 2＝－1． ∴直线l 1、l 2的斜率k 1k 2＝－1， 故l 1与l 2垂直．2．(2019·盐城高一检测)已知直线l 的倾斜角为20°，直线l 1∥l ，直线l 2⊥l ，则直线l 1与l 2的倾斜角分别是( C )A ．20°，20°B ．70°，70°C ．20°，110°D ．110°，20°[解析] ∵l 1∥l ，∴直线l 1与l 的倾斜角相等， ∴直线l 1的倾斜角为20°， 又∵l 2⊥l ，∴直线l 2的倾斜角为110°．3．满足下列条件的直线l 1与l 2，其中l 1∥l 2的是( B ) ①l 1的斜率为2，l 2过点A (1,2)、B (4,8)；②l 1经过点P (3,3)、Q (－5,3)，l 2平行于x 轴，但不经过P 点； ③l 1经过点M (－1,0)、N (－5，－2)，l 2经过点R (－4，3)、S (0,5)． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③[解析] k AB ＝8－24－1＝2，∴l 1与l 2平行或重合，故①不正确，排除A 、C 、D ，故选B ．4．(2018·陕西省黄陵中学高三期中)已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＝1平行，则m 的值为( B )A ．0B ．－8C ．2D ．10[解析] 已知直线2x ＋y ＝1的斜率为－2，所以4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8．经检验m ＝－8时两直线不重合，符合题意．5．(2018·辽宁省大连市检测)两直线的斜率分别是方程x 2＋2 018x －1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是( A )A ．垂直B ．斜交C ．平行D ．重合[解析] 设两直线的斜率分别为k 1，k 2，因为k 1，k 2是方程x 2＋2 018x －1＝0的两根，利用根与系数的关系得k 1k 2＝－1，所以两直线的位置关系是垂直．6．(2018·湖北省宜昌市高二月考)若直线ax ＋(1－a )y ＝3与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则a 的值为__1或－3__．[解析] 若两直线垂直，则满足a (a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，整理得a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1或a ＝－3．7．(2018·潍坊质检)直线l ：4x －3y ＋12＝0与两坐标轴相交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为__6x ＋8y －7＝0__．[解析] 易知k AB ＝43，线段AB 的中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，2，∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －2＝－34⎝⎛⎭⎫x ＋32，整理得6x ＋8y －7＝0． 8．(2018·山东省德州市质检)已知A (2,4)与B (3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为__x －y ＋1＝0__．[解析] 线段AB 的中点的坐标为⎝⎛⎭⎫52，72，直线AB 的斜率k ＝3－43－2＝－1，故所求对称轴的斜率为1且过点⎝⎛⎭⎫52，72，故所求直线l 的方程为y －72＝1×⎝⎛⎭⎫x －52，即x －y ＋1＝0． 二、填空题9．(2018·山东省菏泽市高一调研)已知直线l ：y ＝3x ＋3，则点P (4,5)关于l 的对称点的坐标为__(－2,7)__．[解析] 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上， 且直线PP ′垂直于直线l ，即⎩⎨⎧y ′＋52＝3·x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4·3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝7.故点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标为(－2,7)．10．(2018·安徽省池州市高二段考)若三条直线l 1：4x ＋y ＋4＝0，l 2：mx ＋y ＋1＝0，l 3：x －y ＋1＝0不能构成三角形，则m 的值为__4或－1或1__．[解析] 当三条直线l 1，l 2，l 3中至少有两条平行时，三条直线不能构成三角形．显然l 1与l 3不平行，只可能l 1∥l 2或l 2∥l 3．当l 1∥l 2时，m ＝4；当l 2∥l 3时，m ＝－1．当直线l 1，l 2，l 3经过同一点时，也不能构成三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，4x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.代入l 2的方程得－m ＋1＝0，即m ＝1． 综上可知，m ＝4或m ＝－1或m ＝1． 三、解答题11．已知在▱ABCD 中，A (1,2)、B (5,0)、C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[解析] (1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6．∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．12．△ABC 的顶点A (5，－1)、B (1,1)、C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值． [解析] (1)若∠A ＝90°，则AB ⊥AC ，k AB ·k AC ＝－1， k AB ＝1＋11－5＝－12，k AC ＝m ＋12－5＝－m ＋13．∴－12×(－m ＋13)＝－1，∴m ＝－7．(2)若∠B ＝90°，则BA ⊥BC ，k BA ·k BC ＝－1， k BC ＝m －12－1＝m －1，k BA ＝－12，∴(m －1)×(－12)＝1，∴m ＝3．(3)若∠C ＝90°，则CA ⊥CB ，k CA ·k CB ＝－1， k CA ＝m ＋12－5＝－m ＋13，k CB ＝m －12－1＝m －1，k CA ·k CB ＝－1，∴(－m ＋13)×(m －1)＝－1，∴m 2＝4，∴m ＝±2．综上所述，m ＝－2,2，－7,3．13．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．[解析] (1)如图，当∠A ＝∠D ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB ．∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1． (2)如图，当∠A ＝∠B ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ， ∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1．∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝2－(－1)4－5，n ＋1m －5·2－(－1)4－5＝－1，解得m ＝165、n ＝－85．综上所述，m ＝2、n ＝－1或m ＝165、n ＝－85．。
2019-2020学年数学高中人教A版必修2学案：第三章 直线与方程 本章小结 含解析
由题意得 ,
解得k=- .
所以直线l的方程为y-2=- (x+1),即x+3y-5=0.
综上可知,所求直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
(法二)由题意知,直线l与直线AB平行或过线段AB的中点.
当直线l与直线AB平行时,因为kAB= =- ,所以直线l的方程为y-2=- (x+1),即x+3y-5=0.
答案:D
2.解析:由 =1,解得m=1.
答案:C
3.解析:对于①可将点的坐标代入验证,能使方程成立,故正确,也可以将直线方程化成点斜式求解;对于②,点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,故不正确;由斜截式方程知③正确;两点式方程不能表示斜率不存在或斜率为零的直线,故④不正确;对于过原点的直线,截距式不能表示,故⑤不正确.
答案:①③
4.解析:(1)(方法一)直线l的斜率为- ,所以所求直线的斜率k=2,所求直线方程为
y-3=2(x-2),即2x-y-1=0.
(方法二)也可以设所求直线为2x-y+c=0,将点A的坐标代入得c=-1,故所求直线方程为2x-y-1=0.
答案:2x-y+1=0
5.解析:交点坐标为(2,0)所求距离d= =2.
当m≠0时,l1:y=- x- ,l2:y=- x- .
①l1∥l2⇔- =- 且- ≠- ,解得m=-1.
∴当m=-1时,l1∥l2.
②l1⊥l2⇔(- )·(- )=-1,解得m= .
∴当m= 时,l1⊥l2.
(2)(法一)直线l2的方程可化为m(x+2)+(-2x+3y)=0,
2019-2020学年新导学案同步人教A版数学必修2_第3章 直线与方程3.2.2
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习1〕
求经过下列两点的直线方程：
(1)A(2,5)、B(4,3)；(2)A(2,5)、B(5,5)；(3)A(2,5)、B(2,7)．
[解析] (1)直线的两点式方程为3y－－55＝4x－－22，即 x＋y－坐标相等，所以不能用两点式方程，所求的直线方程
学
必 式方程．
修
②
人 教
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第三章 直线与方程
[归纳总结] 直线的两点式方程应用的前提条件是：x1≠x2，y1≠y2，即直线 的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．
当x1＝x2时，直线方程为x＝x1； 当y1＝y2时，直线方程为y＝y1．
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第三章 直线与方程
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第三章 直线与方程
命题方向1 ⇨直线的两点式方程
典例 1 在△ABC中，已知A(－3,2)、B(5，－4)、C(0，－2)， (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解析] (1)∵BC 边过两点 B(5，－4)、C(0，－2)，
数 学
∴由两点式得－y－2－－－44＝0x－－55，
必
修 ②
即 x＋3y－9＝0 或 4x－y＋16＝0．
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第三章 直线与方程
『规律方法』 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距 式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐 标轴垂直．
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为 y＝5．
(3)由于点 A 与点 B 的横坐标相等，所以不能用两点式方程，所求的直线方程
人教A版2019必修二第3章《直线与方程》导学案设计(含答案)3.3.1~3.3.2
人教版高中数学必修精品教学资料3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离[学习目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.掌握两点间距离公式并会应用.知识点一 两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1,B 1不同时为0),l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2,B 2不同时为0). (1)基本知识——点与坐标的一一对应关系(2)两条直线的交点一般地,将两条直线的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有惟一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标；若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0,y 0),则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系,不包括直线l 2.思考 若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点？答 不一定.两条直线是否相交,取决于联立两直线方程所得的方程组是否有惟一解.若方程组有无穷多个解,则两直线重合. 知识点二 两点间的距离公式 1.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|2.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ,y )的距离|OP |(2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时,|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时,|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.思考 当两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在同一坐标轴上时,两点间距离公式还适用吗？ 答 适用.当两点都在x 轴上时,|AB |＝|x 1－x 2|；当两点都在y 轴上时,|AB |＝|y 1－y 2|.题型一 两直线的交点问题例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2).∵直线过坐标原点, ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ,即x ＋y ＝0.方法二 ∵l 2不过原点,∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R ),即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ＝1,∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0,即x ＋y ＝0. 反思与感悟 过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线；②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.跟踪训练1 求经过两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.解 把直线l 1和直线l 2的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，所以交点P 的坐标是(0,2).由题意知直线l 3的斜率为34,且直线l 与直线l 3垂直, 所以直线l 的斜率为－43,所以直线l 的方程为y －2＝－43(x －0),即4x ＋3y －6＝0.题型二 两点间距离公式的应用例2 已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3,－3)、C (1,7),试判断△ABC 的形状. 解 方法一 ∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213, |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213, 又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226, ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2, 且|AB |＝|AC |,∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 ∵k AC ＝7－11－(－3)＝32,k AB ＝－3－13－(－3)＝－23,则k AC ·k AB ＝－1,∴AC ⊥AB . 又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213, |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213, ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.反思与感悟 1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑：一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理. 跟踪训练2 已知点A (3,6),在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10,求点P 的坐标.解 设点P 的坐标为(x,0),由|P A |＝10,得(x －3)2＋(0－6)2＝10,解得：x ＝11或x ＝－5. 所以点P 的坐标为(－5,0)或(11,0). 题型三 坐标法的应用例3 求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半.证明 如图,以A 为原点,边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,其中D ,E 分别为边AC 和BC 的中点. 设A (0,0),B (c,0),C (m ,n ), 则|AB |＝|c |.又由中点坐标公式,得D (m 2,n2),E (c ＋m 2,n 2),∴|DE |＝⎪⎪⎪⎪c ＋m 2－m 2＝|c 2|,∴|DE |＝12|AB |. 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半.反思与感悟 利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行：第一步：建立适当的直角坐标系,用坐标表示有关的量；第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算关系“翻译”成几何关系.跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,对角线为AC 和BD . 求证：|AC |＝|BD |.证明 如图所示,建立直角坐标系,设A (0,0),B (a,0),C (b ,c ),则点D 的坐标是(a －b ,c ).∴|AC |＝(b －0)2＋(c －0)2＝b 2＋c 2, |BD |＝(a －b －a )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2. 故|AC |＝|BD |.数形结合思想例4 已知两点A (2,3),B (4,1),直线l ：x ＋2y －2＝0,在直线l 上求一点P , (1)使|P A |＋|PB |最小； (2)使|P A |－|PB |最大.分析 作出几何图形,借助三角形的几何性质可求|P A |＋|PB |取最小值与|P A |－|PB |取最大值时的点P 的坐标.解 (1)如图,可判断A ,B 在直线l 的同侧,设点A 关于l 的对称点A ′的坐标为(x 1,y 1).则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2·y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2·⎝⎛⎭⎫－12＝－1，解得⎩⎨⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由两点式求得直线A ′B 的方程为y ＝711(x －4)＋1,由平面几何知识可知,当点P 为直线A ′B与直线l 的交点时,|P A |＋|PB |最小,此时|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |,若P 不在此点时,|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＞|A ′B |,即直线A ′B 与l 的交点为P ⎝⎛⎭⎫5625，－325. (2)由两点式求得直线AB 的方程为y －1＝－(x －4),即x ＋y －5＝0.由平面几何知识可知,当点P 为直线AB 与l 的交点时,|P A |－|PB |最大,此时|P A |－|PB |＝|AB |. 直线AB 与l 的交点为所求点P (8,－3).解后反思 本题通过对称问题的转换,将求距离的最值问题转化为共线问题,这是一种常用的解题思路.另外通过图形探求问题也是一种常用方法.利用函数的几何意义求最值例5 已知函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8,求函数的最小值.分析 被开方数可以写成两个数的平方和的形式,联想到距离公式的结构特征和几何意义,从而求解.解 y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8＝(x －0)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2,上式表示：在x 轴上的一点P (x,0)到A (0,1),B (2,－2)两点距离之和,如图,|P A |＋|PB |≥|AB |,当且仅当点P 与P 0重合时,|P A |＋|PB |有最小值,最小值为|AB |＝22＋(－3)2＝13,解得此时直线AB 与x 轴的交点为P 0⎝⎛⎭⎫23，0.所以当x ＝23时,函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值是13.解后反思 因为x 2＋1＝(x －0)2＋(0－1)2表示点P (x,0)到点A (0,1)的距离,x 2－4x ＋8＝(x －2)2＋(0＋2)2表示点P (x,0)到点B (2,－2)的距离,所以函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值问题就可以转化为几何问题：在x 轴上求一点P (x,0),使其到A (0,1),B (2,－2)两点距离之和最小.这类利用几何意义转化问题的技巧在今后的学习中经常用到,注意掌握.1.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点,且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.∴交点坐标为(1,6).由垂直关系,得所求直线的斜率为－2,则所求直线方程为y －6＝－2(x －1),即2x ＋y －8＝0.2.直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点,则a 的值为( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴交点坐标为(4,－2),代入方程ax ＋2y ＋8＝0,解得a ＝－1.3.两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上,那么m 的值为( ) A.－24 B.6C.±6 D.以上答案均不对 答案 C解析 直线2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3,直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m .∵两直线的交点在y 轴上,∴12m ＝m3,解得m ＝±6.4.直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ,B 两点,若线段AB 的中点为M (1,－1),则直线l 的斜率为( ) A.32 B.23 C.－32 D.－23 答案 D解析 设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1),与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2,y 2).∵M (1,－1)为AB 的中点,∴－1＝1＋y 22,则y 2＝－3.代入直线x －y －7＝0,得x 2＝4,则点B 坐标为(4,－3).∵点B ,M 都在直线l 上,∴k l ＝－3＋14－1＝－23.5.设点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,AB 的中点是P (2,－1),则|AB |＝________. 答案 2 5解析 设A (x,0),B (0,y ),∵AB 中点P (2,－1), ∴x 2＝2,y2＝－1, ∴x ＝4,y ＝－2,即A (4,0),B (0,－2), ∴|AB |＝42＋22＝2 5.1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.一、选择题1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4,1) B.(1,4)C.⎝⎛⎭⎫43，13 D.⎝⎛⎭⎫13，43 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝13，即交点坐标是⎝⎛⎭⎫43，132.经过两点A (－2,5),B (1,－4)的直线l 与x 轴的交点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－13，0 B.(－3,0)C.⎝⎛⎭⎫13，0 D.()3，0 答案 A解析 由两点式得过A ,B 两点的直线方程为y ＋45＋4＝x －1－2－1,即3x ＋y ＋1＝0.令y ＝0,得x ＝－13.故直线l 与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，0 3.过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点,且与第一条直线垂直的直线方程是( ) A.x －3y ＋7＝0 B.x －3y ＋13＝0 C.3x －y ＋7＝0 D.3x －y －5＝0答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，即交点坐标为(－1,4).因为第一条直线的斜率为－3,所以所求直线的斜率为13.由点斜式,得y －4＝13(x ＋1),即x －3y ＋13＝0.4.若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限,则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫－23，0C.⎝⎛⎭⎫－32，2 D.(2,＋∞) 答案 C解析 解出两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －63＋m 2，6＋4m 3＋m 2.由交点在第二象限,得⎩⎪⎨⎪⎧3m －63＋m 2＜0，6＋4m 3＋m 2＞0.解得m ∈⎝⎛⎭⎫－32，2. 5.设集合A ＝{(x ,y )|4x ＋y ＝6},B ＝{(x ,y )|3x ＋2y ＝7},则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C解析 A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7＝{(1,2)},则集合C 是{(1,2)}的子集.又因为集合{(1,2)}的子集有∅,{(1,2)},共2个,所以集合C 有2个. 6.以A (5,5),B (1,4),C (4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |＝17,|AC |＝17,|BC |＝32, ∴三角形为等腰三角形.故选B.7.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ,B ,则|AB |的值为( ) A.895 B.175C.135 D.115答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0,－2),直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0,过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25,由两点间的距离公式,得|AB |＝135. 二、填空题8.点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________. 答案 (－4,－1)解析 设对称点的坐标为(x 0,y 0), 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－2·(－1)＝－1，x 0＋22＋y 0＋52＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝－1.所以所求对称点的坐标为(－4,－1).9.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0,x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点,则k ＝_______. 答案 －12解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.又因为点(－1,－2)也在直线x ＋ky ＝0上, 所以－1－2k ＝0,k ＝－12.10.若动点P 的坐标为(x,1－x ),x ∈R ,则动点P 到原点的最小值是________. 答案22解析 由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12,∴最小值为12＝22. 11.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限,则k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫33，＋∞解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限,故x >0,y >0,解得k >33. 三、解答题12.已知直线l 的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为37,求直线l 的方程. 解 设直线l 的方程为y ＝6x ＋b . 令x ＝0,得y ＝b ；令y ＝0,得x ＝－b6.所以直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－b6，0,(0,b ). 这两点间的距离为⎝⎛⎭⎫－b 6－02＋(0－b )2＝3736b 2＝376|b |. 由题意,得376|b |＝37.所以b ＝±6. 所以所求直线l 的方程为y ＝6x ＋6或y ＝6x －6, 即6x －y ＋6＝0或6x －y －6＝0.13.为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图),另外△AEF 内部有一文物保护区不能占用,经测量AB ＝100 m,BC ＝80 m,AE ＝30 m,AF ＝20 m,应如何设计才能使草坪面积最大？解 如图建立平面直角坐标系,则E (30,0),F (0,20).所以线段EF 的方程是x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).在线段EF 上取点P (m ,n ),作PQ ⊥BC 于点Q ,作PR ⊥CD 于点R ,设矩形PQCR 的面积为S ,则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n ). 又因为m 30＋n20＝1(0≤m ≤30),所以n ＝20⎝⎛⎭⎫1－m 30, 所以S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30). 于是当m ＝5时,S 有最大值.这时|EP ||PF |＝30－55＝51. 故当矩形草坪的两边在BC ,CD 上,一个顶点在线段EF 上,且|EP ||PF |＝5时,草坪的面积最大.。
2019-2020学年度最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1
2019-2020学年度最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3-1-1.1.1倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案 不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？ 答案 存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)斜率与倾斜角的对应关系知识点三 过两点的直线的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)．类型一 直线的倾斜角例1 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P (－3,1)，Q (－3,10)．解 (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°. 反思与感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解 设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率． 由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.类型三 直线的倾斜角、斜率的应用 命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2,1)，B (－2，m )，C (6,8)在同一条直线上，求m 的值． 解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， 即1－m 4＝74，∴m ＝－6.反思与感悟 斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 已知倾斜角为90°的直线经过点A (2m,3)，B (2，－1)，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 由题意可得2m ＝2，解得m ＝1. 命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围． 解 如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围． 解 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①②③正确．2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.3．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为 ．答案92解析 设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ， 即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.4．经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m ≥1) 答案 (0°，90°]解析 当m ＝1时，倾斜角α＝90°， 当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．已知交于点M (8,6)的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5,3)，求这四条直线的倾斜角． 解 l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 答案 D解析 倾斜角是直线向上方向与x 轴的正方向所成的角，故选项A 不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B 不正确；当直线与x 轴平行时，倾斜角为0°，故选项C 不正确．2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150° 答案 D解析 两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l 1的倾斜角为60°知，l 2的倾斜角为150°. 3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 A解析 由题意知k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150°答案 C解析 由题意知|tan α|＝3， 即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( ) A ．(1,3)、(5,7)、(10,12)B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7)答案 C 解析A 、B 、D 三个选项中三点均共线．6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 答案 D解析 由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.7．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α答案 D解析 如图所示，当l 方向向上的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 方向向上的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．0答案 A解析 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于 ． 答案12解析 由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a ＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线PA 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 答案 (3,0)或(0,3)解析 由题意知k PA ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m,0)，则0－2m －1＝－1，解得m ＝3；若P点在y 轴上，则设P (0，n )，则n －20－1＝－1，解得n ＝3，故P 点的坐标为(3,0)或(0,3)．11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 答案 (－2,1)解析 由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2.因为直线的倾斜角为钝角， 所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t <1.12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 答案 [0°，45°]∪(90°，180°)解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°<α<180°.∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0， 解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0， 解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．若D 为△ABC 的边AB 上一动点，则直线CD 的斜率k 的取值范围为( )A ．[33，3] B ．[0，33]∪[3，＋∞) C ．[33，＋∞) D ．[3，＋∞)答案 A15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6,2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．解考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，，由题意知tan α1＝1，tan α2＝－33故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。
2019-2020年新课标人教a版高中数学必修二第三章《直线与方程》教学设计
2019-2020年新课标人教a版高中数学必修二第三章《直线与方程》word教学设计学习目标1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.学习过程一、课前准备（预习教材P90~ P91，找出疑惑之处）复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tank .试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0o 时，则k；⑵当090oo时，则k ；⑶当90o 时，则k；⑷当090180o时，则k.新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x 的直线的斜率公式：2121y y kx x .探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a a B b b 运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※典型例题例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30；⑵135；⑶60；⑷90变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k ；⑵1k ；⑶3k ；⑷k 不存在.例2 求经过两点(2,3),(4,7)A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.※动手试试练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.⑴(2,3),(1,4)A B ；⑵(5,0),(4,2)A B .练2．画出斜率为0,1,1且经过点(1,0)的直线.练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C 三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升※学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180).2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90时，直线的斜率是不存在的3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：直线的倾斜角直线的斜率k直线的斜率公式定义tank1212x x y y k取值范围[0,180)),()(21x x 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列叙述中不正确的是（）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o或90。
人教A版高中数学必修2 第3章 直线与方程【导学案】
1§3.1直线的倾斜角与斜率1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.9091复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination ）.关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tan k α=.试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0o α=时，则k ；⑵当090o o α<<时，则k ；⑶当90o α=时，则k ；⑷当090180oα<<时，则k .新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-.探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a a B b b 运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y 轴时，或与y 轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※典型例题例1已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30οα=；⑵135οα=；⑶60οα=；⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k =；⑵1k =；⑶k =；⑷k 不存在.例2求经过两点(2,3),(4,7)A B 的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.2※动手试试练1.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.⑴(2,3),(1,4)A B -；⑵(5,0),(4,2)A B -.练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升※学习小结1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：直线的倾斜角α直线的斜率k直线的斜率公式定义αtan =k 1212x x y y k --=取值[0,180)︒),(+∞-∞)(21x x ≠范围※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列叙述中不正确的是（）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90οD ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α2.经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（）.A ．45οB ．135οC ．90οD ．60ο3.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为().A.1 B.4 C.1或3 D.1或44.直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为角；k 的取值范围.5．已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________.1.已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.2.已知直线l 过2211(2,(),(2,())A t B t t t-+-两点，求此直线的斜率和倾斜角.3§3.2两直线平行与垂直的判定1.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．9598复习1：1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为；已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率为.2.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为,倾斜角为.3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值分别为.4．已知12,l l 的斜率都不存在且12,l l 不重合，则两直线的位置关系.5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --，且直线的倾斜角为60ο，则m =.复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?二、新课导学：※学习探究问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为，两直线位置关系是.(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为，两直线的位置关系是.问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .⑴两条直线平行的情形．如果21//l l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k 注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．⑵两条直线垂直的情形.如果12l l ⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-※典型例题例1已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA与PQ 的位置关系,并证明你的结论.例2已知(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使直线CD AB ⊥，且//CB AD .4变式：已知(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，试判断三角形ABC 的形状.※动手试试练1.试确定m 的值，使过点(,1),(1,)A m B m -的直线与过点(1,2),(5,0)P Q -的直线⑴平行；⑵垂直练2.已知点(3,4)A ，在坐标轴上有一点B ，若2AB k =，求B 点的坐标.三、总结提升：※学习小结：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法正确的是（）.A ．若12l l ⊥，则121k k =-B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2.过点(1,2)A 和点(3,2)B -的直线与直线1y =的位置关系是（）.A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3.经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（）.A ．75-B ．75C ．145-D ．1454.已知三点(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -在同一直线上，则a 的值为.5．顺次连结(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --，所组成的图形是.1.若已知直线1l 上的点满足260ax y ++=，直线2l 上的点满足2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠，试求a 为何值时，⑴12//l l ；⑵12l l ⊥.2．已知定点(1,3),(4,2)A B -，以,A B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.5§3.2.1直线的点斜式方程1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.101104，找出疑惑之处）复习1．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则；如果12l l ⊥，则.2．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为.3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标.4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学：※学习探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：⑴x 轴所在直线的方程是，y 轴所在直线的方程是.⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是.⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是.问题4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.新知2：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距（intercept ）.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线?斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※典型例题例1直线过点(1,2)-，且倾斜角为135ο，求直线l 的点斜式和斜截式方程，并画出直线l .变式：⑴直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程；⑵直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程；⑶直线过点(1,2)-，且过原点的直线方程.例2写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：⑴斜率是2，在y 轴上的距截是－2；⑵斜角是0135，在y 轴上的距截是06变式：已知直线的方程3260x y +-=，求直线的斜率及纵截距.※动手试试练1.求经过点(1,2)，且与直线23y x =-平行的直线方程.练2.求直线48y x =+与坐标轴所围成的三角形的面积.三、总结提升：※学习小结1.直线的方程：⑴点斜式00()y y k x x -=-；⑵斜截式y kx b =+；这两个公式都只能在斜率存在的前提※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（）.A20y ++-B360y +++=C．40x +-=D ．40x +=2.已知直线的方程是21y x +=--，则（）.A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1-B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1-D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-3.直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（）.A ．(0,0)B ．（3，1）C ．(1,3)D ．(1,3)--4.直线l 的倾斜角比直线122y =+的倾斜角大45ο，且直线l 的纵截距为3，则直线的方程.5.已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程.1.已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -，求这个三角形的三边所在的直线方程.2.直线l 过点(2,3)P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.7§3.2.2直线的两点式方程1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.105106，找出疑惑之处）复习1：直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为.2．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为.3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.4．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.二、新课导学：※学习探究新知1：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.问题1：哪些直线不能用两点式表示？例已知直线过(1,0),(0,2)A B -，求直线的方程并画出图象.新知2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1=+bya x 叫做直线的截距式方程.注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.问题3：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？※典型例题例1求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程.⑴(2,1),(0,3)A B -；⑵(4,5),(0,0)A B --.例2已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3)A B --，(0,2)C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.8※动手试试练1.求出下列直线的方程，并画出图形.⑴倾斜角为045，在y 轴上的截距为0；⑵在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6；⑶在x 轴上截距是－3，与y 轴平行；⑷在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.三、总结提升：※学习小结1．直线方程的各种形式总结为如下表格：2．中点坐标公式:已知1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线l 过点(1,1),(2,5)--两点，点(1002,)b 在l上，则b 的值为（）.A ．2003B ．2004C ．2005D ．20062.若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件()A.,,A B C 同号 B.0,0AC BC <<C.0,0C AB =< D.0,0A BC =<3.直线y ax b =+（0a b +=）的图象是()线方程.5.直线21y x =-关于x 轴对称的直线方程，关于y 轴对称的直线方程关于原点对称的方程.1.过点P (2，1）作直线l 交,x y 正半轴于AB 两点，当||||PA PB ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.2.已知一直线被两直线1:460l x y ++=，2l ：3x 560y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.直线名称已知条件直线方程使用范围点斜式111(,),P x y k11()y y k x x -=-k 存在斜截式bk ，y kx b =+k 存在两点式),(11y x （),22y x 112121y y x x y y x x --=--12x x ≠12y y ≠截距式b a ,1x y a b+=0a ≠0b ≠§3.2.3直线的一般式方程1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.一、课前准备：（预习教材P107~P109，找出疑惑之处）复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程.⑵在x轴上截距为1-，在y轴上的截距为3的直线方程.⑶已知点(1,2),(3,1)A B，则线段AB的垂直平分线方程是.复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗？二、新课导学：※学习探究新知：关于,x y的二元一次方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4：在方程0Ax By C++=中，,,A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵平行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合.※典型例题例1已知直线经过点(6,4)A-，斜率为12，求直线的点斜式和一般式方程.例2把直线l的一般式方程260x y-+=化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形⑴350x y+-=；⑵145x y-=；⑶20x y+=；⑷7640x y-+=；⑸270y-=.910※动手试试练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴斜率是12-，经过点(8,2)A -；⑵经过点(4,2)B ，平行于x 轴；⑶在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-；⑷经过两点12(3,2),(5,4)P P --.练2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线P A 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程三、总结提升：※学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：0Ax By C ++=（A 、B 不全为0）；2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C +=学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --=2.若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（）.A ．1A ≠B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠3.已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+=4.直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b +=.5.直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y +20-=平行，则m =.课后作业1.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.2．光线由点(1,4)A -射出，在直线:2360l x y +-=上进行反射，已知反射光线过点62(3,)13B ，求反射光线所在直线的方程.§3.1两条直线的交点坐标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.112114，找出疑惑之处）1．经过点(1,2)A -，且与直线210x y +-+垂直的直线.2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：※学习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※典型例题例1求下列两直线1:3420l x y +-=，2:22l x y ++0=的交点坐标.变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=；⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.例2求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例3已知两点(2,1),(4,3)A B -，求经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程.※动手试试练1.求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程.练2.已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l 的方程为2340x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.三、总结提升：※学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（）.A ．13(,24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,24-2.两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（）.A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．与n 的值有关3.与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是（）.A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2380x y ++=4.光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程.5.已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标.1.直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.2.已知a 为实数，两直线1l ：10ax y ++=，2l ：0x y a +-=相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.§3.3.2两点间的距离1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.115116，找出疑惑之处）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点.2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -=.3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?二、新课导学：※学习探究问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =特殊地：(,)P x y与原点的距离为OP =.※典型例题例1已知点(8,10),(4,4)A B -求线段AB 的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值.例2证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.※动手试试练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C，求证：ABC∆是等腰三角形.练2.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.三、总结提升：※学习小结1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.两点(1,3),(2,5)A B-之间的距离为（）.A．B．CD．32.以点(3,0),(3,2),(1,2)A B C---为顶点的三角形是（）三角形.A．等腰B．等边C．直角D．以上都不是3.直线a x＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值（）.A．2-B．2C．1D．1-4.已知点(1,2),A B-，在x轴上存在一点P，使PA PB=，则PA=. 5.光线从点M(－2，3）射到x轴上一点P(1，0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线的方程.1.经过直线23y x=+和320x y-+=3的交点，且垂直于第一条直线.2.已知a为实数，两直线1l：01=++yax，2l：0=-+ayx相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上.§3.3点到直线的距离及两平行线距离1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题117119，找出疑惑之处）复习1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为，AB 间的长度为.复习2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?二、新课导学：※学习探究新知1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l的距离为：d =.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y --0=的距离.问题3：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y +10-=的距离.新知2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.※典型例题例1已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求三角形ABC 的面积.例2求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：46x y +10-=的距离.※动手试试练1.求过点(1,2)A -，且到原点的距离等于2的直线方程.练2．求与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线方程.三、总结提升：※学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．求点(5,7)P -到直线12530x y +-=的距离（）A ．1B ．0C ．1413D ．28132.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）.A.250x y +-= B.240x y +-=C.370x y +-= D.350x y +-=3.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）.A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x y -=D ．0x y -=4.两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离5.在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有条.1．已知正方形的中心为(1,0)G -，一边所在直线的方程为350x y +-=，求其他三边所在的直线方程.2．,A B 两个厂距一条河分别为400m 和100m ，,A B 两厂之间距离500m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供,A B 两厂用水，要使提水站到,A B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？§3.3.3章未复习提高1．掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；2．掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；3．掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用.一．直线的倾斜角与斜率1．倾斜角的定义，倾斜角α的范围，斜率公式k =，或.二．直线的方程1．点斜式：00()y y k x x -=-2．斜截式：y kx b=+3．两点式：112121y y x x y y x x --=--4．截距式：1x ya b+=5．一般式：0Ax By C ++=三．两直线的位置关系1．两直线平行2．两直线相交.⑴两直线垂直，⑵两直线相交3．两直线重合四．距离1．两点之间的距离公式，2．点线之间的距离公式，3．两平行直线之间的距离公式.二、新课导学：※典例分析例1如图菱形ABCD 的60O BAD ∠=，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.例2已知在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例3求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例5过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.※动手试试练1.设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值.⑴l 在x 轴上的截距为2-；⑵斜率为1-.练2．已知直线l 经过点(2,2)-且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．三、总结提升：※学习小结1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的位置关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（）.A ．(1,3)-- B.(17,9)-C ．(1,3)-D ．(17,9)-2．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（）.A ．恒过定点(2,3)-B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(2,3)-和(2,3)D ．都是平行直线3．已知点(3,)m到直线40x -=的距离等于1，则m =（）.AB．C．3D3-4．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a =.5．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是.1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=.⑴若12//l l ，试求a 的值；⑵若12l l ⊥，试求a 的值2．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ，⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程；⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围.。
2019-2020学年新导学案同步人教A版数学必修2_第3章 直线与方程3.2.3
数学
必修② ·人教A版
第三章 直线与方程
第三章 直线与方程
3.2 直线的方程
3.2.3 直线方程的一般式
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自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
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第三章 直线与方程
自主预习学案
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第三章 直线与方程
1．点线接合关系 若点P在曲线(直线)C上，则点P的坐标满足曲线(直线)C的方程，反之也成 立．
典例 4
(2018·青岛检测)已知直线 l 过点 P(－2,3)，且与 x 轴、y 轴分
别交于 A，B 两点，若点 P 恰为 AB 的中点，则直线 l 的方程为( A )
数 学
A．3x－2y＋12＝0
必
修 ②
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第三章 直线与方程
[解析] ∵点(－3，－1)在直线3x－2y－a＝0上， ∴3×(－3)－2×(－1)－a＝0，解得a＝－7. 又点(b，－4)在直线3x－2y＋7＝0上， ∴3b＋8＋7＝0，解得b＝－5， ∴ab＝35.
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第三章 直线与方程
则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即 3x＋y＝0；
若 a≠2，由题设 l 在两轴上的截距相等，∴aa－＋21＝a－2，
即 a＋1＝1，∴a＝0，方程即 x＋y＋2＝0.
∴l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0.
(2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2，
数 学 必 修
C．2x－3y＋12＝0
2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修2__第3章 直线3.2.2-3
方法归纳
解决直线的一般式方程的有关问题的方法(或思路) 1．直线的一般式方程 Ax＋By＋C＝0 中要求 A，B 不同时为 0. 2．由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、 移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的 限制条件就消失了)；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截 式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件． 3．解决直线的图象问题时，常通过把直线的一般式方程化为 斜截式，利用直线的斜率和纵截距作出判断．
故 BC 所在直线的方程为 2x＋5y＋10＝0. (2)设 BC 的中点为 M(x0，y0)，则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝－4＋2 －2
＝－3，∴M52，－3. 又 BC 边上的中线所在直线经过点 A(－3,2)，∴由两点式得
－y－3－22＝52x－－－－33，即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
综合各选项，先假定 l1 的位置，判断出 a，b 的正负，然后确 定 l2 的位置，知 A 项符合．
【答案】 (1)C (2)A
(1)用直线的截距式方程解题时要注意截距式方程存在的条件， 特别是要考虑直线过原点的情况．
(2)先将直线方程化为截距式的标准形式，然后结合图形来判 断．
方法归纳
用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的坐标， 因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长 等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过 原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解 决问题过程中要注意分类讨论．
高中数学新学案同步 必修2 人教A版 全国通用版 第三章 直线与方程 3.3.1~3.3.2
跟踪训练 3 并求|PA|的值.
解
已知点 A(－1,2)， B(2， 7)， 在 x 轴上求一点 P， 使|PA|＝|PB|，
设 P(x,0)，|PA|＝ x＋12＋－22，
2 2
|PB|＝ x－2 ＋－ 7 ，
例 1
kx－6y＝0， (1)若方程组 1 1 y＝ x＋ 3 2
有且只有一组解，则 k 的取值范围是
{k|k≠2} ________.
解析 1 1 当直线 kx－6y＝0 与 y＝3x＋2平行时，k＝2，
此时方程组无解，又两直线不重合，
故当方程组有且只有一组解时，k≠2.
解析 答案
±6 (2)若两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k＝_____.
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
3 得 3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得 λ＝－4，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
解答
反思与感悟
求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交
点坐标，再结合其他条件写出直线方程 .也可用过两条直线l1：A1x＋B1y
＝0的交点，则直线l的方程为
解析 设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0， 因为l过原点，所以λ＝8. 则所求直线l的方程为2x－y＝0.
解析 答案
类型二 两点间的距离公式及其应用
例3 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)， B(3，－3)，C(1,7)， (1)判断△ABC的形状；
跟踪训练1 已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象 3 － ， 2 2 限，则a的取值范围是________.