(完整版)小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】
四年级常考的奥数题：余数问题
四年级常考的奥数题：余数问题四年级常考的奥数题：余数问题导语：任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的!自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。
行路，还是要靠行路人自己。
下面是小编为大家整理的：奥数题。
希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!小学奥数题【例一】所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差：用一个数除以几个不同的`数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、，下同】2、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
4、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件，称为：“最小公倍加”，也称为：“公倍数作周期”。
小学奥数题【例二】基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数的性质：①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
五年级奥数题及答案-求余数问题
五年级奥数题及答案-求余数问题
编者小语：奥数教学不能单纯是传授数学知识，更重要的是培养学生数学意识、数学思想、独立获得和运用数学知识的能力和良好的数学学习习惯的过程。
让学生具备在未来的工作中科学地提出数学问题、探索数学问题、创造性地解决数学问题的能力。
为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理的五年级奥数题及参考答案：求余数问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!
求余数：
求437×319×2010+2010被7除的余数。
解答：437≡3(mod7)，319≡5(mod7)，2010≡1(mod7)
由"同余性质"可知：
437×319×2010≡3×5×1(mod7)=15(mod7)≡1(mod7)
所以：437×319×2010+2010≡1+1(mod7)=2(mod7)
即：437×319×2010+2010被7除的余数是2.这道题主要考察了同余性质。
必须注意的是同余性质只能用在加、减、乘。
五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法（B级）.学生版
五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法（B级）.学⽣版⼀、中国剩余定理——中国古代趣题1) 趣题⼀中国数学名著《孙⼦算经》⾥有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩⼆，五五数之，剩三，七七数之，剩⼆，问物⼏何？”答⽈：“⼆⼗三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，⼜被称为“韩信点兵”。
韩信点兵⼜称为中国剩余定理，相传汉⾼祖刘邦问⼤将军韩信统御兵⼠多少，韩信答说，每3⼈⼀列余1⼈、5⼈⼀列余2⼈、7⼈⼀列余4⼈、13⼈⼀列余6⼈……。
刘邦茫然⽽不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满⼀万，每5⼈⼀列、9⼈⼀列、13⼈⼀列、17⼈⼀列都剩3⼈，则兵有多少？⾸先我们先求5、9、13、17之最⼩公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最⼩公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（⼈）。
孙⼦算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上⾯这种问题的解法，中国⼈发现得⽐西⽅早，所以这个问题的推⼴及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有⼀席⾮常重要的地位。
2) 趣题⼆我国明朝有位⼤数学家叫程⼤位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆，问物⼏何？）时⽤四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三⼈同⾏七⼗稀，五树梅花廿⼀枝，七⼦团圆正⽉半，除百零五便得知．”这⾸诗就是解答此类问题的⾦钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的⼀项辉煌成果．诗中的每⼀句话都表⽰⼀个步骤：三⼈同⾏七⼗稀，是说除以3所得的余数⽤70乘．五树梅花廿⼀枝，是说除以5所得的余数⽤21乘．七⼦团圆正⽉半，是说除以7所得的余数⽤15乘．除百零五便得知，是说把上⾯乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：⽤70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它⼤于105，则减去105，所得的差如果仍⽐105⼤，则继续减知识框架中国剩余定理及弃九法去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233-=++=，233105128-=，12810523为什么70，21，15，105有此神奇效⽤？70，21，15，105是从何⽽来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是⼀个被3除余a⽽被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最⼩公倍数．也就是说，702115++是a b c被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不⼀定是最⼩的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上⾯的题⽬，我们都可以⽤中国剩余定理来解答．3)核⼼思想和⽅法对于这⼀类问题，我们有⼀套看似繁琐但是⼀旦掌握便可⼀通百通的⽅法，下⾯我们就以《孙⼦算经》中的问题为例，分析此⽅法:今有物，不知其数，三三数之，剩⼆，五五数之，剩三，七七数之，剩⼆，问物⼏何？题⽬中我们可以知道，⼀个⾃然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们⾸先构造⼀个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
小学奥数题库《数论》余数问题中国剩余定理3星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-中国剩余定理-3星题课程目标知识提要中国剩余定理•概述中国剩余定理即我们常说的“物不知数”，是利用同余式组来求解的一类问题。
A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法．精选例题中国剩余定理1. 某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是．【答案】41【分析】这个自然数除以2、4、5都余1，[2,4,5]=20，所以这个数应满足1+20n，同时除以3余2，所以最小是41．2. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为．【答案】148【分析】观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5＋3＝7＋1＝8,这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以满足前两个条件的自然数为a＝35m＋8,下一步只需要a除以9余4，35÷9＝3⋯8,只需8＋8m除以9余4，只需8m除以9余5，最小的m＝4，因此满足所有条件的最小自然数为8＋35×4＝148.3. 有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少个．【答案】62【分析】设有x个苹果．因为11除以3余2，所以x除以3余2；因为10除以4余2，所以x除以4余2；因为12除以5余2，所以x除以5余2．又因为x大于12，x=[3,4,5]+2=60+2=62（个）．4. 小明心里想了一个正整数．并且求出了它分别被14和21除后所得的余数，已知这两个余数的和是33，则该整数被42除的余数是．【答案】41【分析】该整数除以14的余数不大于13，除以21余数不大于20，所以这两个余数的和不大于33，而由题有这两个余数的和恰好是33，所以该整数除以14余数是13，除以21余数是20．这个数加上1就是14和21的倍数，而[14,21]=42，所以这个数可以表示成42k−1的形式，被42除的余数是41．5. 一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是．【答案】103．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺2能被整除，这样得[3、5、7]−2=103．6. 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是．【答案】998【分析】观察到11−8＝13−10＝3，因此除以11余8，除以13余10的最小自然数为11×13−3＝140,设某数为a，则a＝143m−3m为非零自然数，只需143m−3除以17余12，而143÷17＝8⋯7,只需(7m−3)÷17＝n⋯12,即7m−15是17的倍数所以，m＝7，所以a＝143×7−3＝998.7. 一个大于3的数，除以7余4，除以9余6，除以11余8，问满足条件的最小自然数是．【答案】690．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺3能被整除，这样得[7、9、11]−3=690．8. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】43．【分析】根据总结，我们发现两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7]=35，所以这个数就是35+8=43．9. 我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是：“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里．【答案】157【分析】（解法一）先考虑除以5余2，除以7余3，除以9余4；用剩余定理得5×7×5+5×9×1+7×9×4=472[5,7,9]=315，故472±315k都符合除以5余2，除以7余3，除以9余4最小是472−315=157，且也符合除以2余1．（解法二）除以2余1的数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，⋯；除以5余2的数有：2，7，12，17⋯；除以7余3的数有：3，10，17⋯；所以满足“用2除余1，用5除余2，用7除余3”的数的形式为[2,5,7]n+17=70n+17（n为自然数）此时只需要找一个最小的n，满足除以9余4即可．当n=2时，满足除以9余4，所以满足条件的最小的自然数为70⋯2+17=15710. 一个数，除以11余7，除以13余9，除以19余15，问满足条件的最小自然数是．【答案】2713．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺4能被整除，这样得[11、13、19]−4=2713．11. 智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级人数应该是人．【答案】127【分析】根据条件，该数除以3余1，除以5余2，除以7余1，逐级满足法，令该数为a，则a÷3⋯⋯1 ①a÷5⋯⋯2 ②a÷7⋯⋯1 ③符合条件①的有1，4，7，10，13，16，⋯．同时满足①、②的最小值为7，以后a=7+15m均满足①、②；现在来看(7+15m)除以7余1，则15m除以7余1，则m最小取1，符合，最小的符合的数为a=22．以后每隔[3,5,7]=105即符合．由于该年级有100多名学生，为22+105= 127．12. 一个大于2000数，除以11余5，除以13余3，除以17余16，问满足条件的最小自然数为．【答案】2447．【分析】根据题意，我们发现三个算式中两个数的除数与余数的和都是11+5=13+3= 16，这样我们可以把余数都处理成都余16，所以[11、13、17]=2431，所以这个数就是2431+16=2447．13. 某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是．【答案】62【分析】由题可知，此数是一个2的倍数，并且除以3、4、5都余2的数，这样的数最小是2，因为这个数是两位数，2+[3、4、5]=62.14. 5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少人．【答案】59．【分析】分析题意知，这个班的人数除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，凑缺相同，这个班人数为[3、4、5、6]−1=59（人）．15. 有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块．这堆糖至少有块．【答案】354【分析】这堆水果糖的总数被8除余2，被9除余3，被10除余4，如果增加6块就刚好是8、9、10的公倍数，又8、、9、10的最小公倍数是360．所以这堆水果糖至少有360−6=354(块)．16. 一个大于100的数，除以9余3，除以11余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】111．【分析】据题意，我们发现两个数的除数与余数的和都是9+3=11+1=12，这样我们可以把余数都处理成都余12，所以[9、11]=99，所以这个数就是99+12=111．17. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为．【答案】323【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而[5,7,9]=315所以这个数最小为315+8=323.18. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为．【答案】323．【分析】根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7、9]=315，所以这个数就是315+8=323．19. 红星小学组织学生划船．若乘坐大船，除1条船坐6人外，其余每船均坐17人；若乘小船，则除1条船坐2人外，其余每船均坐10人．如果学生的人数超过100、不到200，那么学生共有人．【答案】142【分析】除1条船坐6人外，其余每船均坐17人，说明总人数可以表示成17m+6的形式；除1条船坐2人外，其余每船均坐10人，说明总人数可以表示成10n+2的形式；那么有17m+6=10n+2，化简得17m+4=10n，经分析m的个位只能是8．又学生的人数超过100、不到200，所以m=8，学生的人数是17×8+6=142．20. 一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为．【答案】1078．【分析】n除以15余13：最小为13，通式为13+15k1；n除以13余12：k1最小为6，则有13+15×6=103，通式为103+[15,13]k2=103+195k2．n除以11余0：k2最小为5，则有103+195×5=1078．21. —个自然数被3除余2，被5除余4，并且这个数大于100且小于125，那么这个数是．【答案】104或119【分析】被3除余2，被5除余4，求出3和5的最小公倍数15，估算15的哪一个倍数大于100小于125，经计算可知，105和120介于100到125之间，再用105和120分别减1即可，这个自然数是104或119．22. 在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个．【答案】6【分析】根据余数不能比除数大．一个数除以2，余数只能是1．而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3，余数只能是2．满足以上两个条件的数为6的倍数少1．有：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95．再满足被5除有余数，且余数不为1和2，（个位不能为5、1、7）．符合条件的数只有：23、29、53、59、83、89，共6个数．23. 有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数写在这里．【答案】31，94【分析】除以7余3的数有：3，10，17，24，31⋯；除以9余4的数有：4，13，22，31⋯；所以满足“除以7余3，除以9余4”的数的形式为[7,9]n+31=63n+31（n为自然数）按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数为31，94．24. 有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少？【答案】41【分析】详解：157、234和324的和是715，减去100的差是615．615是这个整数的倍数．而615的约数有1、3、5、15、41、123、205、615，验证只有41满足余数和是100．25. 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．【答案】2430，2431，2432．【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n+1，n+2．依题意可知：15∣n，17∣(n+1)，19∣(n+2)，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15∣n 17∣(n +1)19∣(n +2)→→→15∣2n 17∣(2n +2)19∣(2n +4)→→→15∣(2n −15)17∣(2n −15)19∣(2n −15)}⇒[15,17,19]∣(2n −15)从上面可以发现 2n −15 应为 15、17、19 的公倍数．由于 [15,17,19]=4845，所以 2n −15=4845(2k −1)（因为 2n −15 是奇数），可得 n =4845k −2415．当 k =1 时 n =2430，n +1=2431，n +2=2432，所以其中的一组自然数为 2430、2431、2432．26. 一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？【答案】 172【分析】 法一：仔细分析可以发现 3×2+1=5+2=7，所以这个数可以看成被 3、5、11 除余 7，由于 [3,5,11]=165，所以这个数最小是 165+7=172．法二：事实上，如果没有“大于 10”这个条件，7 即可符合条件，所以只需要在 7 的基础上加上 3、5、11 的最小公倍数，得到 172 即为所求的数．27. 一个三位数除以 5 余 2，除以 7 余 3．这个三位数最小是多少？【答案】 122【分析】 使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为 2、7、12、17，而 17 除以 7 余 3．那么同时满足两个条件的数最小是 17．然后依次为 52、87、122．最小的三位数是 122．28. 一个布袋中装有 5000 多个小球，如果 10 个一包，最后还剩 9 个，如果 9 个一包，最后还剩 8 个 ⋯⋯ 如果 5 个一包，最后还剩 4 个，那么如果 13 个一包，最后还剩多少个？【答案】 8 个【分析】 简答：布袋中的小球数除以 10 余 9，除以 9 余 8，除以 8 余 7⋅⋯，除以 5 余 4，[5,6,7,8,9,10]=[5,7,8,9]=5×7×8×9=2520，所以，布袋中球数是 2520−1+2520=5039，5039÷13 余 8．29. （1）—个三位数除以 4 余 2，除以 6 余 2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个三位数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 6 余 4，那么这个三位数最小是多少？（3）—个数除以 9 余 2，除以 12 余 5，那么这个数最小是多少？【答案】 （1）110；（2）106；（3）29【分析】简答：（1）[4,6]=12，14+12×8=110；（2）按“差同”计算；（3）按“差同”计算．30. 一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？【答案】1906．【分析】设这个数为x．x除以8余2：最小为2，通式为2+8k1；x除以9余7：k1最小为4，则有2+8×4=34，通式为34+[8,9]k2=34+72k2．x除以11余3：k2最小为4，则有34+72×4=322．则x=322+[8,9,11]n=322+792n．322+792n−28+322+792n−79+322+792n−311=622 40+99n+35+88n+29+72n=622259n=518n=2x=322+792×2=1906．31. 已知自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？【答案】1303【分析】本题属于“物不知数”问题，可以运用中国剩余定理，但需要先要找出11与9的公倍数中除以13余1的数、11与13的公倍数中除以9余1的数以及9与13的公倍数中除以11余1的数．比较麻烦．实际上，观察可知11+5=9+7=13+3=16,也就是说这个数减去16后是11、9、13的公倍数，那么这个数最小就是11、9、13的最小公倍数加上16，为11×9×13+16=1303.32. 今有一堆石子，三个三个数余1个，五个五个数余3个，七个七个数余5个，这堆石子最少有多少个？【答案】103【分析】三个三个、五个五个、七个七个的数都是差两个，那借来两个石子，现在的就可以被3、5和7除得开，最小是3×5×7=105，归还那两块，总计最少103个．借来还去的思想．33. 有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数中最大的一个是多少？【答案】11【分析】．简答：61、90和130的和减去26得到255，255的约数中验证得满足条件的只有17，所以这个自然数是17，所以余数中最大的是130除以17的余数1134. 已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．【答案】77和78【分析】两个连续的两位数除以5的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以5余2．除以6的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以6余2或余5．除以7的余数之和是1，则可以判断出第一个数除以7余0．满足第一、三两个条件的数有7、42、77，再考虑第二个条件，只有77满足．因此这两个数为77和78．35. 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个除数为M，设它除63，90，130所得的余数依次为a，b，c，商依次为A，B，C．63÷M=A⋯⋯aa+b+c=25，则(63+90+130)−(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283−25=258=(A+B+C)×M.所以M是258的约数．258=2×3×43显然当除数M为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2−1)=3,3×(3−1)=6,3×(6−1)=15所以均不满足．而当除数M为43×2，43×3，43×2×3时，它除63的余数均是63，所以也不满足．那么除数M只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足．显然这3个余数中最大的为20．36. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？【答案】140．【分析】分析题意，我们发现这两个算式除数与余数的差都等于11−8=13−10=3，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除，所以[11、13]=143，所以这个数是143−3=140．37. 有一个整数，用它去除63，90，130所得到的3个余数之和是25，那么这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}63 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\90 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\130 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 63 + 90 + 130 - 25 =258$ 为x的倍数；②258=2×3×43③枚举验证⇒x=43．所以 $\left\{ \begin{gathered}63 \div 43 \cdots 20 \hfill \\90 \div 43 \cdots 4 \hfill \\130 \div 43 \cdots 1 \hfill \\\end{gathered} \right.$，显然这3个余数中最大的一个是20．38. （1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）—个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少？【答案】（1）122；（2）104；（3）5639. 有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，则这个数最小是．【答案】419．【分析】分析题意知，这个数加1就能被2,3,4,5,6,7整除，所以这个数为[2、3、4、5、6、7]−1=420−1=419．40. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问这个数是多少？【答案】53【分析】如果用剩余定理相信大家会做了，接下来看逐步满足法．第一个条件，除以3余2，最小是2；先记下2．第二个条件，除以5余3，原来已经有了2，要保持满足第一个条件不变，那么在2的基础上增加3的倍数，这样除以3余2不会变．2+3n的形式．这个数要满足第二个条件，除以5余3．在2+3n中，2已经余2了，3n需要余1，所以n=2即可．这样满足前两个条件的最小的数是8．第三个条件，除以7余4.8+3×5n的形式．3×5n=15n除以7要余4−1=3，15除以7余1，所以n最小是3，这个数是8+45=53满足题意．41. 今有物不知其数，三三数之剩一，四四数之剩三，五五数之剩二，问物几何？【答案】7【分析】40×1+45×3+36×2=247，3×4×5=60，247÷60=4⋯⋯7，最少是7．42. 一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？【答案】999【分析】这是一道余同的问题．满足条件的数可以表示为[4,6]×n+3，其中n为自然数．要求满足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]×83+3=999．43. 一个数被5除余3，被7除余4，被9除余5，这个数最小是几？【答案】158【分析】7和9的公倍数9和5的公倍数5和7的公倍数6345351269070135105180140225175210245280⋯⋯⋯在7和9的公倍数中，除以5余1的最小数是126；在5和9的公倍数中，除以7余1的最小数是225；在5和7的公倍数中，除以9余1的最小数是280；那么126×3+225×4+280×5=2678．[5,7,9]=315．所以，最小的数为2678−315×8=158．44. 四年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？【答案】302【分析】这个题相当于是一个数被9除余5，被7除余1，被5除余2，这个数最小是几．9、7、5三个数两两互质。
小学奥数题库《数论》余数问题带余除法5星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-带余除法-5星题课程目标知识提要带余除法•定义一般的，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q⋯⋯r，也就是说a=b×q+r，0≦r<b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
（1）当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；（2）当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
精选例题带余除法1. 如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数．例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1．如(21#(21#x))=5，则x可以是．（x小于50）【答案】13，29，37．【分析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题．可采用枚举与筛选的方法．第一步先把(21#x)看成一个整体y．对于21#y=5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y等于(21−5)=16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，这样满足要求的数为26，47⋯，即形如21N+5这样的数有无数个．但必须得考虑，这些解都是由y所代表的式子(21#x)运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去．现在只剩下8，与16．第二步求：(21#x)=8与(21#x)=16．对于(21#x)=8可分别解得，把21作被除数时：x=13，把21作除数时为：x=29，50，⋯形如21N+8的整数（N是正整数）．对于(21#x)=16，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x=37，58⋯所有形如21N+16这样的整数．（N是正整数）．所以符合条件的答案是13，29，37．2. 字母a,b,c,d,e,f,g分别代表1至7中的一个数字，若a+b+c=c+d+e=c+f+g，则c可取的值有个．【答案】3【分析】a+b+c=c+d+e=c+f+g,a+b+c+c+d+e+c+f+g=(a+b+c+d+e+f+g)+2c=(1+2+3+4+5+6+7)+2c=28+2c28+2c是3的倍数，28÷3⋯1,所以2c÷3⋯2,c=1或4或7都可满足；构造：当c=1时，(28+2)÷3=10,所以a+b=d+e=f+g=9,a=2,b=7,d=3,e=6,f=4,g=5;当c=4，(28+2×4)÷3=12,所以a+b=d+e=f+g=8,a=1,b=7,d=2,e=6,f=3,g=5;当c=7，(28+2×7)÷3=14,所以a+b=d+e=f+g=7,a=1,b=6,d=2,e=5,f=3,g=4.综上，共有3种情况．3. 1×3×5×⋯×1991的末三位数是多少？【答案】625【分析】首先，仅考虑后三位数字，所求的数目相当于1×3×5×⋯×991的平方再乘以993×995×997×999的末三位．而993×995×997×999=993×999×995×997=(993000−993)×(995000−995×3)=(993000−993)×(995000−2985),其末三位为7×15=105;然后来看前者．它是一个奇数的平方，设其为(5k)2（k为奇数），由于(5k)2=25k2=25+25(k2−1),而奇数的平方除以8余1，所以k2−1是8的倍数，则25(k2−1)是200的倍数，设25(k2−1)=200m，则(5k)2=25+25(k2−1)=25+200m,所以它与105的乘积(5k)2×105=(25+200m)×105=21000m+2625,所以不论m的值是多少，所求的末三位都是625．4. 如果某整数同时具备如下三条性质：（1）这个数与1的差是质数；（2）这个数除以2所得的商也是质数；（3）这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数，求出所有的两位幸运数．【答案】14【分析】条件（1）也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者是偶数，再根据条件（3），除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86，这五个数满足条件；其中86与50不符合（1），32与68不符合（2）．三个条件都符合的只有14，所以这个数是14．5. 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【答案】见解析．【分析】1996÷4=499，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数．取500个数：1，11，111，⋯⋯，111⋯⋯1（500个1）．用499去除这500个数，得到500个余数a1，a2，a3，⋯，a500．由于余数只能取0，1，2，⋯，498这499个值，所以根据抽屉原则，必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0：11⋯100⋯0．又 499 和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 的倍数，将它乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数．6. 用 1、2、3、4、5 各一个可以组成 120 个五位数，你能否从这 120 个数里面找出 11 个数来，使得它们除以 11 的余数各不相同？如果五个数字是 1、3、4、6、8 呢？【答案】 不能；不能．【分析】 （1）不能．五位数有 3 个奇位数字和 2 个偶位数字，将 1、2、3、4、5 分到奇偶位有 C 52=10 种方法，那么形成的五位数最多只能产生 10 种除以 11 的余数，无法出现 11 种除以 11 的余数．（2）不能．与（1）同理．当然，想不到这个的同学一一枚举即可，（1）中很明显余数为 0 的是构造不出来的，此外，余数为 2、4、6 也无法构造出来．（2）中余数为 6、7、10 的是构造不出来的．7. 任意给定一个正整数 n ，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由 0 和 7 组成的数．【答案】 见解析．【分析】 考虑如下 n +1 个数：7，77，777，⋯⋯，77⋯7⏟n 位，77⋯7⏟n+1位，这 n +1 个数除以 n 的余数只能为 0，1，2，⋯⋯，n −1 中之一，共 n 种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以 n 的余数相同，不妨设为 77⋯7⏟p 位和 77⋯7⏟q 位（p >q ），那么 77⋯7⏟p 位−77⋯7⏟q 位=77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位 是 n 的倍数，所以 n 乘以适当的整数，可以得到形式为 77⋯7⏟(p−q)位00⋯0⏟q 位的数，即由 0 和 7 组成的数．8. 两个不等的自然数 a 和 b ，较大的数除以较小的数，余数记为 a ⊙b ，比如 5⊙2=1，7⊙25=4，6⊙8=2．（1）求 1991⊙2000，(5⊙19)⊙19，(19⊙5)⊙5；（2）已知 11⊙x =2，而 x 小于 20，求 x ；（3）已知 (19⊙x)⊙19=5，而 x 小于 50，求 x ．【答案】 （1）9；3；1；（2）x =3,9,13；（3）x =12,26,33,45．【分析】 （1）1991⊙2000=9；由5⊙19=4，得(5⊙19)⊙19=4⊙19=3；由19⊙5=4，得(19⊙5)⊙5=4⊙5=1．（2）我们不知道11和x哪个大（注意，x≠11），即哪个作除数，哪个作被除数，这样就要分两种情况讨论．①x<11，这时x除11余2，x整除11−2=9．又x⩾3（因为x应大于余数2），所以x=3或9．②x>11，这时11除x余2，这说明x是11的倍数加2，但x<20，所以x=11+2=13．因此（2）的解为x=3,9,13．（3）这个方程比（2）又要复杂一些，但我们可以用同样的方法来解．用y表示19⊙x，不管19作除数还是被除数，19⊙x都比19小，所以y应小于19．方程y⊙19=5，说明y除19余5，所以y整除19−5=14，由于y⩾6，所以y=7,14．当y=7时，分两种情况解19⊙x=7．①x<19，此时x除19余7，x整除19−7=12．由于x⩾8，所以x=12．②x>19，此时19除x余7，x是19的倍数加7，由于x<50，所以x=19+7= 26，x=19×2+7=45．当y=14时，分两种情况解19⊙x=14．①x<19，这时x除19余14，x整除19−14=5，但x大于14，这是不可能的．②x>19，此时19除x余14，这就表明x是19的倍数加14，因为x<50，所以x=19+14=33．总之，方程(19⊙x)⊙19=5有四个解，x=12,26,33,45．9. 箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值．【答案】107，109，111，113，115，117【分析】设19克的珠子有a个，17克的珠子有b个，根据题意列方程得19a+17b=2017利用余数分析法解不定方程．由于2017÷19余3所以有17b÷19余3，解得b=8从而得出a=99，即19×99+17×8=2017,即找到一组解为{a=99b=8此时a+b=99+8=107，由于19和17互质，那么只需要将a顺次减少17，b顺次增大19即可得出其他解{a=82b=27{a=65b=46{a=48b=65{a=31b=84{a=14b=103对于a+b的和而言，共可算得6个答案，分别为：107，109，111，113，115，117．10. 一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13．求所有满足条件的自然数．【答案】108，100，92，84，76，68，60，52，44．【分析】本题考査学生掌握带余除法及枚举筛选的综合能力．设所求的自然数为n，且设n除以8商x余r，n除以9商a余y，于是有n=8x+r=9a+y(其中x+y=13)．又已知0⩽y⩽8，0⩽r⩽7，下面分类讨论：若y=0，则x=13，得8×13+r=9a，解出r=4，故n=8×13+4=108；若y=1，则x=12，得8×12+r=9a+1，解出r=4，故n=8×12+4=100；类似地，若y=2、3、4、5、6、7、8，则分别有x=11、10、9、8、7、6、5，解得r=4，故n=8×11+4=92；n=8×10+4=84；n=8×9+4=76；n=8×8+4=68；n=8×7+4=60；n=8×6+4=52；n=8×5+4=44．答：满足条件的然数共有9个：108、100、92、84、76、68、60、52、44．说明：本题也可以先确定r=4．由y=13−x代人可得8x+r=9a+(13−x)，即9x−9a=13−r，于是13−r的差应是9的倍数，又0⩽r⩽7，故r=4．。
五年级奥数余数问题
五年级奥数余数问题一、题目。
1. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数最小是多少？解析：我们先列出除以3余2的数：2、5、8、11、14、17、20、23、26…再列出除以5余3的数：3、8、13、18、23、28…然后列出除以7余2的数：2、9、16、23、30…可以发现23同时满足这三个条件，所以这个数最小是23。
2. 有一个数，除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？解析：这个数加上3就能被4、5、6整除。
4、5、6的最小公倍数是4 = 2×2，5 = 5，6=2×3，最小公倍数LCM = 2×2×3×5 = 60。
所以这个数最小是60 3=57。
3. 一个数除以5余4，除以8余3，求这个数最小是多少？解析：设这个数为x。
根据除以5余4，可设x = 5a+4（a为整数）。
又因为除以8余3，所以5a + 4=8b+3（b为整数），即5a=8b 1。
通过试值法，当b = 2时，a = 3。
此时x=5×3 + 4=19，19除以8余3，所以这个数最小是19。
4. 一个数除以9余7，除以11余9，这个数最小是多少？解析：这个数加上2就能被9和11整除。
9和11互质，它们的最小公倍数是9×11 = 99。
所以这个数最小是99 2 = 97。
5. 某数除以7余1，除以8余2，除以9余3，求这个数最小是多少？解析：这个数加上6就能被7、8、9整除。
7、8、9的最小公倍数为7×8×9=504。
所以这个数最小是504 6 = 498。
6. 一个数除以3余1，除以5余2，除以7余3，这个数最小是多少？解析：中国剩余定理：先求5×7 = 35，35除以3余2，2×2 = 7，7除以3余1。
再求3×7=21，21除以5余1，1×2 = 2，2除以5余2。
然后求3×5 = 15，15除以7余1，1×3=3，3除以7余3。
小学奥数题及答案余数问题
小学奥数题及答案余数问题
小学奥数题及答案余数问题
1.应用题
用一根既细又直的竹竿测量游泳池的水深，把竹竿的一端插入水中(碰到池底)后，没浸湿的部分长120厘米，把竹竿掉过头来，再插入水中(也碰到池底)，此时没浸湿的'部分长30厘米，问游泳池有多深?
解答：第二次浸湿的部分就是游泳池的深度，所以游泳池深为：120-30=90(厘米)
【小结】。
第一次浸湿的长度实际上也是游泳池的深度。
2.余数问题
人教版小学五年级奥数题及答案余数问题：一批图书，数量在20到30本之间，平均分给7个同学，结果剩余的图书每比个人分到的书多2本，那么这批图书有多少本?
解答：
【小结】先估算出每个人可能分到几本，再分情况依次考虑。
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.3.除以99,余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.4.求下列各式的余数：(1)2461×135×6047÷11(2)19992000÷7分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.【第四篇】1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.2.除以99的余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.【第五篇】。
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小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】
分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.
分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.
3.除以99,余数是______.
分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.
4.求下列各式的余数：
(1)2461×135×6047÷11
(2)19992000÷7
分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .
【第二篇】
(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够
分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加
分水果
分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-
2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306
恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—
7=306(个) ,(238,306)=34(人) .
【第三篇】
有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有
1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
【第四篇】
1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的
余数都是3,求a和b的值.
分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.
2.除以99的余数是______.
分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.
【第五篇】
19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是______.
分析：法1：从简单情况入手找规律,发现1994÷15余
14,19941994÷15余4,199419941994÷15余9,
1994199419941994÷15余14,......,发现余数3个一循
环,1994÷3=664...2,19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2：我们利用最后一个例题的结论能够发现199419941994能被3整除,那么19941994199400…0能被15整
除,1994÷3=664...2,19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是4.。