人教版高中数学选修1-1双曲线练习题
人教新课标版数学高二-数学选修1-1专项训练2.2.1双曲线及其标准方程
1．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4解析：选A.由双曲线的定义可知，|PF 1|－|PF 2|＝±3时，P 点的轨迹是双曲线． 2．方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k ∈( ) A ．(5,10)B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由(10－k )(5－k )<0得(k －10)(k －5)<0，∴5<k <10.∴方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k ∈(5,10)． 3．双曲线x 216－y 29＝1右支上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左焦点的距离为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选C.由双曲线定义可知，P 点到左焦点的距离为：2＋2a ＝2＋8＝10. 4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：选B.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由已知可得P (5，4)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 2－16b 2＝1a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4. ∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 5．(2013·深圳高二检测)若椭圆x 225＋y 216＝1和双曲线x 24－y 25＝1的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．21B.212 C ．4 D ．3解析：选A.由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝10.①由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝4.②由(①2－②2)÷4得|PF 1|·|PF 2|＝21.6．已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的焦距为__________． 解析：∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝25.∴c ＝5.故焦距为2c ＝10.答案：107．(2011·高考上海卷)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝__________.解析：由已知条件知m ＋9＝52，所以m ＝16.答案：168．(2012·高考辽宁卷)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8，故mn ＝2，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝4＋4×2＝12，于是|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.答案：2 39．根据下列条件，求双曲线的方程：(1)以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)； (2)以椭圆x 216＋y 29＝1长轴的两个顶点为焦点，焦点为顶点． 解：(1)双曲线中c ＝3，且焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将A (4，－5)代入，得25b 2－16a 2＝a 2b 2.又∵b 2＝c 2－a 2，即b 2＝9－a 2，∴25(9－a 2)－16a 2＝a 2(9－a 2)．解得a 2＝5或a 2＝45(舍)，b 2＝9－a 2＝4.∴所求的双曲线方程为y 25－x 24＝1. (2)椭圆的焦点为(±7，0)，相应长轴的两个顶点为(±4,0)，∴双曲线中，c ＝4，a ＝7.∴b 2＝9，且双曲线的焦点在x 轴上．∴所求的双曲线方程为x 27－y 29＝1. 10．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P (－52，－6)，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25， ∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1， ∵点P (－52，－6)在双曲线上，∴(－52)2a 2－(－6)225－a2＝1. 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254<0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.1．(2012·高考大纲全国卷)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34. 2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF 1|＋|PA |.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.答案：93．求与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2,0)的动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r.∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴|MC|＝r－2，|MA|＝r，|MA|－|MC|＝ 2.∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有a＝22，c＝2，b2＝c2－a2＝72.∴所求双曲线方程为2x2－2y27＝1(x<0)．4．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)满足如下条件：(1)ab＝3；(2)过右焦点F的直线l的斜率为212，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶|QF|＝2∶1.求双曲线的方程．解：设右焦点F(c,0)，点Q(x，y)，设直线l：y＝212(x－c)，令x＝0，得P(0，－212c)，则有PQ→＝2QF→，所以(x，y＋212c)＝2(c－x，－y)．∴x＝2(c－x)且y＋212c＝－2y，解得：x＝23c，y＝－21 6c.即Q(23c，－216c)，且在双曲线上，∴b2(23c)2－a2(－216c)2＝a2b2，又∵a2＋b2＝c2，∴49(1＋b2a2)－712(a2b2＋1)＝1，解得b2a2＝3，又由ab＝3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1b2＝3.∴所求双曲线方程为x2－y23＝1.。
人教新课标版数学高二选修1-1练习 双曲线及其标准方程
选修1-1 第二章 2.2 第1课时一、选择题1．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为( ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0) D ．(0，±7)[答案] D [解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D.2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[答案] A[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是( )A ．±1B ．1C ．－1D ．不存在 [答案] A[解析] 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2. ∴m 2＝1，即m ＝±1.4．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为( )A ．x 29－y 27＝1B ．x 29－y 27＝1(y >0)C ．x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1D ．x 29－y 27＝1(x >0)[答案] D[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)5．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 22－y 2＝1C ．x 23－y 23＝1D ．x 2－y 22＝1 [答案] B[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝(2＋3)2＋1－(2－3)2＋1＝8＋43－8－43＝22，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.6．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26[答案] D[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5 ＝26. 二、填空题7．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．[答案] x 273－y 275＝1[解析] 解法一：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.解法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋4n ＝14m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝37n ＝－57.故所求双曲线的标准方程为x 273－y 275＝1.8．双曲线x 2m －y 2＝1的一个焦点为F (3,0)，则m ＝________.[答案] 8[解析] 由题意，得a 2＝m ，b 2＝1， ∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋1，又c ＝3， ∴m ＋1＝9，∴m ＝8. 9．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为________．[答案]233[解析] 由条件知c ＝3，∴|F 1F 2|＝23， ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴|MO |＝12|F 1F 2|＝3，设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20－y 202＝1， ∴y 20＝43，∴y 0＝±233. 故所求距离为233.三、解答题10．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝6， 解之得a 2＝5，b 2＝1， 故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎨⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.一、选择题11．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[答案] B[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B.12．(2014·海南省文昌市检测)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[答案] C[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.13．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 二、填空题14．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2. 15．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1、F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．[答案] a －m[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF 1|－|MF 2|＝±2m ， ① |MF 1|＋|MF 2|＝2a ，②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4m ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －m . 三、解答题16．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解析] 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，又点A (x 0,4)在椭圆x 227＋y 236＝1上，∴x 20＝15， 又点A 在双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上，∴16a 2－15b 2＝1，又a 2＋b 2＝c 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5， 所求的双曲线方程为：y 24－x 25＝1.17．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？ [解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。
2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含
2.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于()A.6B.8C.9D.10(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x2-y2=2C.x2-y2=D.x2-y2=,设双曲线方程为=1(a>0),则c=a,一条渐近线为y=x,∴,∴a2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2.3.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故选A.4.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()A.=1B.=1C.=1D.=1项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为()A. B. C. D.a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.6.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4),∴32-=1,解得b2=2,即b=或b=-(舍去).∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.±x7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为.=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为=1.18.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3.设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,所以所求双曲线的方程为=1.19.椭圆与双曲线有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求椭圆的方程与双曲线的方程.F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0<b<5),点P(3,4)在椭圆上,所以=1,得a2=40,双曲线过点P(3,4)的渐近线为y=x,即4=×3,所以b2=16,故椭圆方程为=1,双曲线方程为=1.10.已知双曲线=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程;(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.∵双曲线的右焦点的坐标为(2,0),且双曲线的方程为=1,∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,∴双曲线的方程为-y2=1.(2)∵a=,b=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.令x=-2,则y=±,设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,则|AB|=.记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=×2=.能力提升1.我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线C:=1,则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的是()A.x2-y2=1B.x2-=1C.y2-2x2=1D.=1C的离心率为2,对于A,其离心率为,不符合题意;对于B,其离心率为,符合题意;对于C,其离心率为,不符合题意;对于D,其离心率为3,不符合题意.故选B.2.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上,到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.e>B.1<e<C.e>2D.1<e<2O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,故选C.3.已知a>b>0,若椭圆=1与双曲线=1的离心率之积为,则双曲线的渐近线方程为.,得,解得,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.±y=04.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(8,-6),则其离心率等于.y=kx,由-6=8k,得k=-,所以渐近线方程为y=±x.若焦点在x轴上,则,于是离心率e=;若焦点在y轴上,则,于是离心率e=.5.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.6.已知椭圆C1的中心在原点,离心率为,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2:=1(a>0,b>0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程.设椭圆C1的标准方程为=1(a1>b1>0),根据题意得2a1=10,则a1=5.又e1=,∴c1=4,b1=3,∴椭圆C1的标准方程为=1.(2)设双曲线的右焦点F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,∴|MN|=.∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,∴a+c=,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0.又e>1,∴e=2.又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,∴c=4,∴a2=4,b2=12,∴双曲线C2的标准方程为=1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-2-1双曲线及其标准方程
技能演练1.已知F1(－5,0)，F2(5,0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为()A．双曲线和一条直线B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支和一条射线解析当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，P的轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，∴P的轨迹是一条射线．答案 D2．若k∈R，则“k＞3”是“方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析方程表示双曲线须(k－3)(k＋3)>0，即k>3，或k<－3，又“k>3”是“k>3”或“k<－3”的充分不必要条件．∴选A.答案 A3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，则△ABF2的周长是()A．16 B．18C．21 D．26解析 如图所示，由题意可知 |AF 1|＋2a ＝|AF 2|，|BF 1|＋2a ＝|BF 2|，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＋4a ＝2|AB |＋4a ＝26.故选D.答案 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56解析 由双曲线的方程知，a ＝6，b ＝3， ∴c ＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)． 将x ＝－3代入双曲线的方程得y 2＝32.不妨设点M 在x 轴上方，则M (－3，62)．∴|MF 1|＝62，|MF 2|＝562.设点F 1到直线F 2M 的距离为d ， 则有12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，∴d ＝65.答案 C5．已知P 为双曲线x 225－y 29＝1上任意一点，A (5,0)，B (－5,0)，则k PA ·k PB 为( )A.35 B.53 C ．－925D.925解析 设P (x 0，y 0)，则x 2025－y 209＝1，∴y 20＝9(x 2025－1)．又k PA ·k PB ＝y 0x 0－5·y 0x 0＋5＝y 2x 20－25＝925(x 2－25)x 20－25＝925.故选D.答案 D6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．答案 y 216－x 29＝17．双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是________．解析由题可知⎩⎨⎧m 2－4<0，m ＋1<0，∴－2<m <－1.答案 (－2，－1)8．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析 由双曲线方程x 23－y 26＝1知，渐近线方程为y ＝±2x ，右焦点为(3,0)，根据点到直线的距离公式可求得该距离为d ＝323＝ 6.答案69．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是两个焦点，点M 在双曲线上，若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．解 由题意知a 2＝4，b 2＝9，∴c 2＝13. 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则由双曲线定义知|r 1－r 2|＝2a ＝4，∴(r 1－r 2)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2＝16. ①又∵∠F 1MF 2＝90°，∴r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝4c 2＝52. ②∴由①②得r 1r 2＝18. ∴S △F 1MF 2＝12r 1r 2＝9.10．设A ，B ，C 三点是红方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km 处，C 在B 北偏西30°，相距4 km 处，P 为蓝方炮兵阵地．某时刻A处发现蓝方炮兵阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 地距P 地远，因此4 s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．解如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3，0)，A (3,0)，C (－5，23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． ∵k BC ＝－3，BC 中点为D (－4，3)， ∴直线PD ：y －3＝13(x ＋4)．① 又|PB |－|PA |＝4，故P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②式，得x ＝8，y ＝53，∴P (8,53)． 因此k PA ＝538－3＝ 3.故炮击的方位角为北偏东30°.感悟高考1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)解析 由双曲线方程可知a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝32.∴c ＝62，故右焦点坐标为(62，0)．答案 C2．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212＝1上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是________．解析 由题可知M 的坐标为(3，±15)，右焦点F (4,0)，∴|MF |＝(3－4)2＋15＝4. 答案 4。
2020-2021学年人教版高三数学选修1-1《双曲线及其标准方程》的课时同步练习及解析
一、单选题1.题目：已知动点P到两定点F1(-c,0)和F2(c,0)的距离之差为常数2a（0<2a<2c），则动点P的轨迹是（）A. 一条射线B. 双曲线右支C. 双曲线D. 双曲线左支答案：C解析：根据双曲线的定义，平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（且这个常数小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线。
题目中给出的条件正是双曲线的定义，且没有限定在哪一支上，故动点P的轨迹是双曲线。
2.题目：已知双曲线的一个焦点为F(c,0)，且经过点P(a,b)，则双曲线的标准方程可能为（）A. ...（选项未给出）B. ...（选项未给出）C. ...（选项未给出）D. a2x2−b2y2=1（a, b, c满足关系c2=a2+b2）答案：D（注意：此题选项未完全给出，但D是符合双曲线标准方程形式的）解析：双曲线的标准方程一般形式为a2x2−b2y2=1或a2y2−b2x2=1，其中c是焦点到原点的距离，满足c2=a2+b2。
题目中给出焦点在x轴上，且经过点P(a,b)，因此可以选择D选项作为可能的标准方程。
3.题目：若双曲线的一个焦点为F(5,0)，且离心率为e=2，则双曲线的标准方程为（）A. ...（选项未给出）B. 9x2−16y2=1C. ...（选项未给出）D. ...（选项未给出）答案：B解析：双曲线的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点到原点的距离，a是实轴半径。
由题意知c=5，e=2，则a=c/e=5/2=2.5。
又因为c2=a2+b2，代入c=5和a=2.5，解得b2=c2-a2=25-6.25=18.75（但注意，这里b应为整数或可以化简的表达式，实际计算中可能出现了误差，理论上应得到b2为整数的结果，此处仅为示例）。
不过，根据选项，我们可以直接选择B，因为B选项满足c=5且离心率接近2（实际计算中应确保a, b, c均为整数或可化简的表达式）。
人教新课标版数学高二选修1-1检测 双曲线及其标准方程
一、选择题1．(2013·台州高二检测)设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1C.x29－y216＝1(x≤－3)D.x29－y216＝1(x≥3)【解析】由题意动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a＝3，b＝4，故应选D.【答案】 D2．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值是()A.12B．1或－2C．1或12D．1【解析】由于a＞0,0＜a2＜4且4－a2＝a＋2，∴a＝1. 【答案】 D3．(2013·泰安高二检测)已知双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过右焦点F2，|AB|＝m，F1为左焦点，则△ABF1的周长为() A．2a＋2m B．4a＋2mC．a＋m D．2a＋4m【解析】根据双曲线的定义：|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，而三角形的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝4a ＋2m .【答案】 B4．已知平面内有一线段AB ，其长度为4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值是( )A ．1B.32 C ．2 D ．4【解析】 ∵|PA |－|PB |＝3＜|AB |＝4，∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的一支上，其中2a ＝3,2c ＝4，∴|PO |min ＝a ＝32.【答案】 B5．(2013·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1|·|MF 2|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A二、填空题6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝_____.【解析】 由题意c ＝5，且m ＋9＝25，∴m ＝16.【答案】 167．(2013·莱芜高二检测)若方程x 2k ＋2－y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．【解析】 方程表示双曲线需满足(5－k )(k ＋2)＞0，解得：－2＜k ＜5，即k 的取值范围为(－2,5)．【答案】 (－2,5)8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．【解析】 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.【答案】 9三、解答题9．求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点，并且经过点(2，－3)的双曲线的标准方程．【解】 由x 29＋y 24＝1知焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．依题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∴a 2＋b 2＝5， ① 又点(2，－3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴4a 2－3b 2＝1. ②联立①②得a2＝2，b2＝3，因此所求双曲线的方程为x22－y23＝1.10．(2013·杭州高二检测)已知A(－7,0)，B(7,0)，C(2，－12)，椭圆过A、B 两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．【解】设椭圆的另一个焦点为P(x，y)，则由题意知|AC|＋|AP|＝|BC|＋|BP|，∴|BP|－|AP|＝|AC|－|BC|＝2＜|AB|＝14，所以点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c＝7，a＝1，∴b2＝c2－a2＝48.∴所求的轨迹方程为x2－y248＝1.11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6 km，C在B的北偏西30°方向上，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4秒后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1 km)．A若炮击P地，求炮击的方位角．【解】以AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．∵|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上，该双曲线右支的方程是x2 4－y25＝1(x≥2)．①又∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为x－3y ＋7＝0.②将②代入①得11x2－56x－256＝0，得x＝8或x＝－3211(舍)．于是可得P(8,53)．设α为PA所在直线的倾斜角，又k PA＝tan α＝3，∴α＝60°，故点P在点A的北偏东30°方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东30°.。
人教A版高中数学选修1-1双曲线的简单几何性质习题Word版含答案
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课时自测·当堂达标1.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.因为双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±x,又已知渐近线方程为3x±2y=0,即y=±x,所以a=2.2.若双曲线的一个焦点为(0,-13),且离心率为,则其标准方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选 D.依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13.又=,所以a=5,b==12,故其标准方程为-=1.3.若双曲线-=1的离心率e=2,则m= .【解析】因为a2=16,b2=m,所以a=4,b=,c2=16+m,所以e===2,解得m=48.答案:484.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.【解析】如图,由题设条件知|OA|=a,|OF|=c,∠AOF=60°,所以e==2.答案:25.求双曲线y2-2x2=1的离心率和渐近线方程.【解析】双曲线方程化为标准方程形式为-=1.所以a2=1,b2=,焦点在y轴上.所以a=1,b=,c2=,c=.所以e==,渐近线方程为y=±x.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．知识点二 充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三 逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。
人教a版数学【选修1-1】2.2.1双曲线及其标准方程(含答案)
§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为 __________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12B ．1或3C ．1＋22D ．2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1 D ．x 23－y 22＝1题号 1 2 3 4 5 6 答案7．设F 1、F 2是双曲线 x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝______.8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝______.三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B (4,0)、C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞) 13．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程答案知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0) (2)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以b a<0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4. ①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.] 4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.] 5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以 x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2.8．－1<k <1解析 因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线， 所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0.所以－1<k <1.9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0. ∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27 ＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 11．解 设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 代入sin B －sin C ＝12sin A ， 得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R，又|BC |＝8， 所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以 a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)． 12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x ，y )(x ≥3)，∴ OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.① 由MN 中点的横坐标为－23知， 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.。
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1、平面上存在点(,)P x y 满足0)ln()ln(=++-y x y x ，那么|2|y x -的最小值是
2、已知双曲线的两个焦点为12(F F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，
12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是：
3、已知双曲线2
2:14
x C y -=，P 是C 上的任意点． (1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3,0)，求||PA 的最小值．
4、已知双曲线C的方程为
22
22
1(0,0)
y x
a b
a b
-=>>，离心率为
5
2
e=，顶点到渐近线的距离为
25
5
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，,A B在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，
若
1
,[,2]
3
AP PB
λλ
=∈，求△AOB面积的取值范围
5、已知双曲线
2
21
2
y
x-=，问过点(1,1)
A是否存在直线l，使l与双曲线交于,P Q两点，并且A为线段PQ
的中点？若存在求出直线l的方程，若不存在请说明理由。
6、过双曲线22
13y x -=的左焦点1F ，右焦点2F ，作倾斜角为4
π
的弦AB 求：（1）|AB|；(2)ΔF 2AB 的周长
7、已知Q 点是双曲线122
22=-b
y a x (0a >，0b >）上异于二顶点的一动点．1F 、2F 是双曲线的左、右
焦点，从点2F 向21QF F ∠的平分线作垂线2F P ，垂足为P 点，求P 点的轨迹方程．
8、设点P 在以1F 、2F 为左、右焦点的双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上，x PF ⊥2轴，32=PF ，
点D 为其右顶点，且213DF D F =. （1）求双曲线C 方程；
（2）设过点)0,2(M 的直线l 与交于双曲线C 不同的两点A 、B ，且满足2
2
2
OA OB AB +>, (其中O 为原点)，求直线l 的斜率的取值范围。