高考数学-圆锥曲线-双曲线题型总结
圆锥曲线题型总结
圆锥曲线题型总结圆锥曲线题型总结圆锥曲线是二维平面上的一类曲线，由圆锥与平面相交而得。
圆锥曲线的重要性在于它们广泛应用于数学、物理、工程等领域，在解决实际问题时具有重要的作用。
在学习圆锥曲线时，我们通常会遇到一些不同类型的题目，下面我将对常见的圆锥曲线题型进行总结并提供解题方法。
一、椭圆的题型1. 求椭圆的焦点和准线：椭圆的焦点可以通过求解直角三角形或利用椭圆方程的性质来得出，准线可以通过将椭圆的方程化为标准方程来得到。
2. 椭圆的离心率问题：椭圆的离心率是一个重要的特征，可以通过利用椭圆的定义和性质来求解。
3. 椭圆的对称性问题：椭圆具有关于x轴和y轴的对称性，通过利用这一性质可以得到一些关于椭圆对称性的结论。
4. 椭圆与直线的交点问题：通过直线方程与椭圆方程联立解方程组，可以求得椭圆与直线的交点。
二、双曲线的题型1. 求双曲线的焦点和准线：双曲线的焦点和准线可以通过双曲线方程的性质来求解，特别是焦点的坐标可以通过解方程组得出。
2. 双曲线的渐近线问题：双曲线具有两条渐近线，可以通过设定x或y趋于无穷大时双曲线方程的极限来求解渐近线的方程。
3. 双曲线与直线的交点问题：通过直线方程与双曲线方程联立解方程组，可以求得双曲线与直线的交点。
三、抛物线的题型1. 求抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点和准线可以通过抛物线方程的性质来求解，特别是焦点的坐标可以通过解方程组得出。
2. 抛物线的对称性问题：抛物线具有关于其焦点或顶点的对称性，可以通过利用这一性质来求解抛物线的一些问题。
3. 抛物线与直线的交点问题：通过直线方程与抛物线方程联立解方程组，可以求得抛物线与直线的交点。
四、圆的题型1. 求圆的方程：圆的方程可以通过给定圆的半径和圆心坐标来得到，也可以通过给定圆上一点的坐标或两点的坐标来得到。
2. 圆与直线的位置关系问题：可以通过将直线方程代入圆的方程，求解方程组来判断圆与直线的位置关系。
3. 圆与圆的位置关系问题：可以通过将两个圆方程联合解方程组来判断圆与圆的位置关系。
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中数学中的圆锥曲线是指椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线。
下面是一些常见的高中圆锥曲线题型及其解题方法：
1.椭圆题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定椭圆的中心、长轴和短轴的长度。
o图形性质：通过关键参数判断椭圆的形状，并确定焦点和直径等性质。
2.双曲线题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定双曲线的中心、焦距和各轴的长度。
o图形性质：通过关键参数判断双曲线的形状，确定焦点、渐近线和渐近角等性质。
3.抛物线题型：
o方程转化：将标准方程转化为顶点形式或焦点式。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定抛物线的顶点、焦距和开口方向。
o图形性质：通过关键参数判断抛物线的形状，确定
对称轴、焦点和准线等性质。
解题方法的关键在于确定关键参数，然后利用这些参数来判断曲线的形状和性质。
同时，要熟练掌握方程转化的方法，以便在解题过程中将方程转化为更容易分析的形式。
除了掌握相应的公式和技巧，还需要多做练习，加深对圆锥曲线图形和性质的理解。
同时，理论和实践相结合，通过画图、观察和推理的方式加深对圆锥曲线的认识。
最重要的是理解概念和思想，而不只是死记硬背。
只有真正理解了圆锥曲线的几何性质，才能更好地应用于解题，并在应用过程中灵活运用。
圆锥曲线高考题型总结
圆锥曲线高考题型总结一、曲线与方程的结合问题，它是高考中最为常见也是最难把握住解答要领的题型之一。
由于这种题目涉及到了圆锥曲线的基本性质（椭圆），在考查学生对圆锥曲线的理解掌握情况以及图形转化等综合能力上占有很大的比重，而且各地区高考卷中此类试题所占分值相当多。
特别是2008年高考数学江苏卷（第27题）、广东卷（第18题）都对此进行了精彩展示。
该类问题经过几次高考的检验，仍然存在不少“陷阱”，导致部分同学得分率低下，甚至失误，因此我们必须认真总结出高考圆锥曲线的解法思路与技巧并熟练运用才可取得好成绩。
对待此类题目应注意：1.审清已知条件确定曲线方程；2.寻找未知量间的函数关系；3.联立方程求解。
二、点斜式、斜截式和截距式方程的结合问题，尤其是若干个解直角三角形及相似三角形的综合问题，在考查学生的运算能力和空间想象能力上具有较强的灵活性和综合性，命题具有较大的开放度，给学生留下更多自主发挥的余地。
另外还包括简单的不等式（组）的应用题、几何变换等问题。
对待此类问题，首先要明确目标——根据题意设出两点间的一般式，从中找出满足条件的 x 值，再通过列表或图像转化来求得方程。
具体方法如下：1．根据实际情境建立直角坐标系，并利用向量来求点的坐标；2．利用解析几何证明点的轨迹是某条抛物线或双曲线。
其次要正确处理好以下几点：①抓紧一般式，分离出未知量，②利用向量化归出方程③建立新坐标系列方程④求出新方程⑤判断正确否⑥写出文字叙述二、点斜式、斜截式和截距式方程的结合问题，尤其是若干个解直角三角形及相似三角形的综合问题，在考查学生的运算能力和空间想象能力上具有较强的灵活性和综合性，命题具有较大的开放度，给学生留下更多自主发挥的余地。
另外还包括简单的不等式（组）的应用题、几何变换等问题。
对待此类问题，首先要明确目标——根据题意设出两点间的一般式，从中找出满足条件的 x 值，再通过列表或图像转化来求得方程。
具体方法如下：1．根据实际情境建立直角坐标系，并利用向量来求点的坐标；2．利用解析几何证明点的轨迹是某条抛物线或双曲线。
高考数学 圆锥曲线-双曲线题型总结
二、双曲线1、（21）（本小题满分14分）08某某已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x . （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值X 围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）．由题设得2295a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l22145y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-． 从而线段MN 的垂直平分线方程为22514()5454m kmy x k k k-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，29(0,)54mk -．由题设可得2219981||||254542km m k k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或5||4k >．所以k 的取值X 围是5555,)(,0)(0,)(,)4224(∞-+--∞ 2、（2008某某理18）已知双曲线22: 14x C y -=，P 为C 上的任意点。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
高考圆锥曲线题型归类总结
圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题例1、动圆M 与圆C 1：()22136x y ++=内切,与圆C 2：()2214x y -+=外切,求圆心M 的轨迹方程。
例2、方程()()2222668x y x y -+-++=表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由22x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线：由22x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
典型例题例1、已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程15922=---ky k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解2、12PF m PF n ==，，22m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题例1、椭圆x a yba b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ，求21PF F ∆的面积。
例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021=∠PF F ，31221=∆PF F S ．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B. 13-C.213+ D. 13+ 例2、双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13，C.(3,+∞)D.[)3,+∞例3、椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；例4、已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x点在椭圆上⇔12222=+b y a x点在椭圆外⇔12222>+by a x2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：∆>0⇔相交∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离3、弦长公式： =AB )(11212212x x k x x k -+=-+ak ∆+=21 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+ak ∆+=2114、圆锥曲线的中点弦问题： 1、韦达定理： 2、点差法：（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x 2－4y 2=4的弦AB －被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l :x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。
高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值（范围）问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值（范围）问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，12y y =，即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l 的方程为2222y x y x =-=--或． 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 （1=22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值， 于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x （0≠y ） 【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程； 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y yx x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±． （2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭． 当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k -=+．()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞． 【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点，22•2MF NF =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0； 当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、双曲线1、（21）（本小题满分14分）08天津已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,31-F，一条渐近线的方程是025=-yx.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k的取值范围.（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为22221x ya b-=（0,0a b>>）．由题设得229a bba⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245ab⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y-=．的方程为y kx m=+（0k≠）．点11(,)M x y，22(,)N x y的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l22145y kx mx y=+⎧⎪⎨-=⎪⎩将①式代入②式，得22()145x kx m+-=，整理得222(54)84200k x kmx m----=．此方程有两个一等实根，于是2504k-≠，且222(8)4(54)(420)0k m k m∆=-+-+>．整理得22540m k+->．③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标00(,)x y满足12024254x x kmxk+==-，002554my kx mk=+=-．从而线段MN的垂直平分线方程为22514()5454m kmy xk k k-=----．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为29(,0)54kmk-，29(0,)54mk-．由题设可得2219981||||254542km mk k⋅=--．整理得222(54)||kmk-=，0k≠．将上式代入③式得222(54)540||kkk-+->，整理得22(45)(4||5)0k k k--->，0k≠．解得0||k <<或5||4k >．所以k 的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)44(∞-+--∞ 2、（2008上海理18）已知双曲线22: 14x C y -=，P 为C 上的任意点。
（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为(3,0)，求||PA 的最小值；解；（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. 点11(,)Px y，⋅2211|4|455x y -==.点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一常数.（2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+22(3)14x x =-+-25124()455x =-+ ||2x ≥， ∴ 当125x =时，2||PA 的最小值为45， 即||PA . 3、（2007湖南理20）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点. （I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标； 若不存在，请说明理由. 解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，.解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，.当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--.又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y--=-.将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=. 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=. （II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数. 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±.代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=. 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-， 于是22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--.因为是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时=1-.当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(2，(2，， 此时.故在x 轴上存在定点(10)C ，，使为常数.解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩，当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±.代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=.则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-. 21212244(4)411k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭. 由①②③得22441k x k -=-.…………..…④241k y k =-.…………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x k y -=，将其代入⑤有2222444(4)(4)(4)1x y x yy x x y y -⨯-==----.整理得22(6)4x y --=.当0k =时，点M 坐标为(40)，，满足上述方程.当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程. 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=. （II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数， 当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-. 以上同解法一的（II ）.4、21．（本小题满分12分）06山东双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点，直线y =为C 的一条渐近线。
（1）求双曲线C 的方程；（2）过点(0,4)P 的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），当12PQ QA QB λλ==，且1283λλ+=-时，求Q 点的坐标。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b -= 由椭圆22184x y += 求得两焦点为(2,0),(2,0)-，∴对于双曲线:2C c =，又y =为双曲线C 的一条渐近线∴b a=解得 221,3a b ==，∴双曲线C 的方程为2213y x -= （Ⅱ）解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。
设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y则4(,0)Q k -1PQ QA λ=11144(,4)(,)x y k kλ∴--=+111111114444()44x k k x k k y y λλλλ⎧=--⎧⎪-=+⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎪⎩11)(,A x y 在双曲线C 上，∴2121111616()10k λλλ+--= ∴222211161632160.3k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3k k λλ-++-= 同理有：2222216(16)32160.3k k λλ-++-=若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.122328163k λλ∴+==--24k ∴=，此时0,2k ∆>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)±.解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k -.1PQ QA λ=，Q ∴分PA 的比为1λ.由定比分点坐标公式得1111111111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ⎧⎧-==-+⎪⎪+⎪⎪→⎨⎨+⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k-. 12PQ QA QB λλ==， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k k k λλ∴--=+=+.11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，224y λ=-，又1283λλ+=-，121123y y ∴+=即12123()2y y y y += 将4y kx =+代入2213y x -=得222(3)244830k y y k --+-= 230k -≠，否则l 与渐近线平行。
212122224483,33k y y y y k k -∴+==--。
222244833233k k k -∴⨯=⨯-- 2k ∴=± (2,0)Q ∴±解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y则4(,0)Q k - 1PQ QA λ=, 11144(,4)(,)x y k k λ∴--=+。
∴1114444k kx x kλ-==-++ 同理 1244kx λ=-+ 1212448443kx kx λλ+=--=-++. 即 2121225()80k x x k x x +++=。