高中数学-双曲线例题
双曲线的综合问题-高中数学复习
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是双曲线 － y 2＝1上的任意一点，则｜ AP ｜＝
9
（ −
10
（
9
min＝
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5）2 ＋
9
−
− 1＝
10 2
9
− 10 + 24 ＝
（ − 5）2 ＋ 2 ＝
10
（ 2
9
− 9） + 24 ＝
9
3
9
2
） ＋ ，所以当 x ＝ 时，｜ AP ｜取得最小值，｜ AP ｜
2
2
2
3
=
3
100
300
x ，由൞
3
3
＝ ，
3
1，
可得
.
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PART
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微专题 12
“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题
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高中总复习·数学
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化直接导致曲线形状
甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率或范围问题是近几年高考的
热点，这类问题所涉及的知识点较多、综合性强，解法灵活，内涵丰
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所以 b ＜ c ，即 b ＜ c ， a － c ＜ c ， a ＜2 c ，所以 e ＞ ，
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即e＞
（
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，又因为0＜ e ＜1，所以椭圆离心率的取值范围为
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，1）.故选A.
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）
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解析：如图，以接报中心为原点 O ，正东、正北
方向分别为 x 轴， y 轴的正方向，建立平面直角坐标
高中数学双曲线练习题及答案
高中数学双曲线练习题及答案双曲线相关知识双曲线的焦半径公式：A。
$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$B。
$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$C。
$\frac{y^2}{24}-\frac{x^2}{12}=1$D。
$\frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1$3.设 $e_1,e_2$ 分别是双曲线 $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 和 $-\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 的离心率，则$e_1^2+e_2^2$ 与 $e_1e_2$ 的大小关系是 $1:$定义：双曲线上任意一点 $P$ 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。
2.已知双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$点 $P(x,y)$ 在左支上PF_1│=-(e x+a)$；$│PF_2│=-(e x-a)$点 $P(x,y)$ 在右支上PF_1│=ex+a$；$│PF_2│=ex-a$运用双曲线的定义例1.若方程 $x^2\sin\alpha+y^2\cos\alpha=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的双曲线，则角 $\alpha$ 所在象限是（）A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限练1.设双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 上的点$P$ 到点 $(5,0)$ 的距离为 $15$，则 $P$ 点到 $(-5,0)$ 的距离是（）A。
7 B。
23 C。
5 或 23 D。
7 或 232.已知双曲线的两个焦点是椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{5y^2}{32}=1$ 的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（）。
A。
$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1$ B。
高中数学-直线与双曲线的位置关系练习
高中数学-直线与双曲线的位置关系练习基础达标(水平一 )1.已知直线l过点(,0),且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有().A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】点(,0)即为双曲线的右顶点,过该点的直线有2条与双曲线渐近线平行且与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.【答案】C2.已知双曲线C:-=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2,则|PF2|等于().A.4B.6C.8D.10【解析】依题意,有=,所以a=3,因为|PF1|=2,所以点P在双曲线的左支上,所以|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF2|=8,故选C.【答案】C3.已知点P(3,-4)是双曲线-=1(a>0,b>0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若·=0,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】由题意知,点E(-c,0),F(c,0),则·=(3+c,-4)·(3-c,-4)=9-c2+16=0,所以c2=25.可排除A,B选项.又D选项中双曲线的渐近线方程为y=±x,点P不在渐近线上,排除D选项,故C正确.【答案】C4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是().A.B.C.D.【解析】由得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得解得-<k<-1.【答案】D5.过双曲线-=1(a>0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点.则双曲线离心率的取值范围为.【解析】由题意可知从而4<<9,所以e=∈(,).【答案】(,)6.已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=3,则此双曲线的离心率为.【解析】因为F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点, 所以可设点F(-c,0),A(0,b),B(x B,y B),直线AF:y=x+b.由题意知,直线AF与渐近线y=x相交.联立两直线消去x,得y B=.由=3,得y B=4b,所以=4b,解得离心率e=.【答案】7.从双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.【解析】设点P(x,y),Q(x0,y0),则点N(2x-x0,2y-y0),代入x+y=2,得2x-x0+2y-y0=2. ①因为PQ垂直于直线x+y=2,所以=1,即x-y-x0+y0=0. ②由①②得x0=x+y-1,y0=x+y-1.由点Q(x0,y0)在双曲线x2-y2=1上,代入双曲线方程,得点P的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y=1.拓展提升(水平二)8.已知双曲线-=1(a>0,b>0),若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A,B两点,且=3,则该双曲线离心率的最小值为().A.B.C.2 D.2【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点,且=3,所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即A在左支,B在右支.设点A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为=3,所以c-x1=3(c-x2),即3x2-x1=2c.因为x1≤-a,x2≥a,所以-x1≥a,3x2≥3a,所以3x2-x1≥4a,即2c≥4a,≥2,即e≥2,故选C.【答案】C9.已知双曲线-=1上存在两点P,Q关于直线y=x+b对称,且PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,则实数b的值为().A.-10B.-8C.-2D.2【解析】因为点P,Q关于直线y=x+b对称,所以线段PQ的垂直平分线的方程为y=x+b,所以直线PQ的斜率为-1.设直线PQ的方程为y=-x+m,令点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M),由得x2+4mx-2m2-6=0,所以x P+x Q=-4m,所以x M=-2m,所以点M(-2m,3m).又因为PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,所以-4m+3m-2=0,解得m=-2,由PQ的中点M也在直线y=x+b上,得b=5m,所以b=-10,故选A.【答案】A10.连接双曲线-=1和-=1(其中a>0,b>0)的四个顶点的四边形的面积为S1,连接四个焦点的四边形的面积为S2,则当的值最大时,双曲线-=1的离心率为.【解析】由题意可知S1=×2a×2b=2ab,S2=×2c×2c=2c2,∴===≤,当且仅当=,即a2=b2=c2-a2时等号成立,此时双曲线-=1的离心率为e==.【答案】11.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. ①依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得-2<k<-.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得②假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FA⊥FB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0. ③把②式及c=代入③式,化简得5k2+2k-6=0,解得k=-或k=(舍去).可知当k=-时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.。
高中数学(学生+老师)高考总复习双曲线习题及详解
高中数学高考总复习双曲线习题及详解（教师）一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是()A.17B.15C.174 D.154[答案] C[解析]设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1，则由题意得，ab＝4，∴a2c2－a2＝16，∴e＝174.(理)(2010·河北唐山)过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为()A．2 B. 5C. 2D. 3[答案] C[解析]如图，FM⊥l，垂足为M，∵M在OF的中垂线上，∴△OFM为等腰直角三角形，∴∠MOF＝45°，即ba＝1，∴e＝ 2.2．(2010·全国Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线C x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8[答案] B[解析]在△F1PF2中，由余弦定理cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1， ∵b ＝1，∴|PF 1|·|PF 2|＝4.3．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2B ．2或 3 C.3或62D.233或62[答案] A[解析] 焦点在x 轴上时，由条件知b a ＝13，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e ＝c a ＝233，同理，焦点在y 轴上时，ba＝3，此时e ＝2.(理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1[答案] D[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c . 由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝23－1＝3＋1. 4．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x[答案] D[解析] 由题意c 2＝3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2， ∴m 2＝8n 2，∴双曲线渐近线的斜率k ＝±3|n |2|m |＝±34.方程为y ＝±34x .5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.(理)(2010·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y 2m 2－16x 23m2＝1B.x 216－y 2163＝1 C.16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)D.16x 2m 2－16y 23m2＝1 [答案] C[解析] 依据正弦定理得：|AB |－|AC |＝12|BC |＝m2<|BC |∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，且a ＝m 4，c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝3m 216∴双曲线方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分[答案] D[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR |. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR |＝2a ＝|RF 2|，又|OP |＝12|RF 2|，∴|OP |＝a .7．(文)(2010·温州市十校)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)[答案] B[解析] 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝⎝⎛⎭⎫－c －a ，b 2a ·⎝⎛⎭⎫－c －a ，－b 2a >0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若FM ＝ME ，则该双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3D. 2[答案] D[解析] 由条件知l ：y ＝b a x 是线段FE 的垂直平分线，∴|OE |＝|OF |＝c ，又|FM |＝|bc |a 2＋b 2＝b ，∴在Rt △OEF 中，2c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)， ∵e ＝ca>1，∴e ＝ 2.8．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1[答案] D[解析] 直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k <－1. 9．(文)(2010·福建理)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)[答案] B[解析] 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1 ＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点) ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 [答案] B[解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 12a 2－y 12b 2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，且k AB ＝－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1，故选B. 10．(文)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54 B.52 C.32D.54[答案] B[解析] 将x ＝c 代入椭圆方程得，c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y 2＝⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2×b 2＝a 2－c 2a 2×b 2＝b 2a 2×b 2，∴y ＝±b 2a. ∴b 2a ＝14a ，∴b 2＝14a 2，e 2＝c 2a 2＝a2＋14a 2a 2＝54， ∴e ＝52，故选B. (理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定[答案] C[解析] 由题意知p2＝c ，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y 轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b 2a ，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ，∵p ＝2c ，2b 2a＝4c ，∴b 2＝2ac ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2， ∵e >1，∴e ＝1＋ 2. 二、填空题11．(文)(2010·广东实验中学)已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.[答案] 5[解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0且b ＝3可得：a ＝1，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|－3＝2，∴|PF 1|＝5.(理)(2010·东营质检)已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．[答案] y ＝±23x[解析] 由题意知9＋a ＝13，∴a ＝4，故双曲线的实半轴长为a ′＝3，虚半轴长b ′＝2， 从而渐近线方程为y ＝±23x .12．(2010·惠州市模考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．[答案] y ＝±33x[解析] y 2＝8x 焦点是(2,0)， ∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴b ＝1，又a >0，∴a ＝22－12＝3， ∴双曲线渐近线的方程是y ＝±33x .13．(2010·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案] 1<e ≤2[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a|PF 1|＝3|PF 2|，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3a |PF 2|＝a ， ∵|PF 1|≥|AF 1|，∴3a ≥a ＋c ， ∴e ＝ca ≤2，∴1<e ≤2.14．下列有四个命题：①若m 是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为35.②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22；类比到空间，若三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上) [答案] ①②④[解析] ①设双曲线方程为m 2x 2－y 2＝1， ∵a 2＝1m 2，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋1m2 ∴e ＝ca ＝m 2＋1<4，∴m <15∴m 取值1、2、3故所求概率为35，故①正确．②根据双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，可得ba ＝3，因此离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋(3a )2a＝2，②正确；③函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位得y ＝cos2(x －π6)＝cos(2x －π3)＝sin[π2＋(2x －π3)]＝sin(2x ＋π6)的图象，③错误；④将三棱锥S －ABC 补成如图的长方体，可知三棱锥S －ABC 外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R ＝a 2＋b 2＋c 22，④正确．三、解答题15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．[解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) 则有e ＝ca ＝2，c ＝2，∴a ＝1，则b ＝ 3∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0) ∴l 的斜率k 一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2) 令x ＝0得M (0,2k )∵|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ∴MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF → 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，23k ， ∵Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， ∴169－4k 227＝1，∴k ＝±212， 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，∴k ＝±32 5则所求的直线l 的方程为： y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2) (理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22得，b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2由OA →·OB →>2得，x A x B ＋y A y B >2， x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3②由①②得13<k 2<1，∴33<k <1或－1<k <－33.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. 16．(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y 24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m <n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧9－k >04－k >0，即k <4时，方程表示椭圆．当且仅当(9－k )(4－k )<0，即4<k <9时，方程表示双曲线． (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 29－k ＋y 24－k ＝1化简得， (13－2k )x 2＋2(9－k )x ＋(9－k )(k －3)＝0 ∵Δ≥0，∴k ≥6或k ≤4(舍)∵双曲线实轴最长，∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长， 此时双曲线方程为x 23－y 22＝1.解法二：若C k 表示双曲线，则k ∈(4,9)，不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2a 2－y 25－a 2＝1消去y 得， (5－2a 2)x 2－2a 2x －6a 2＋a 4＝0 ∵C k 与直线y ＝x ＋1有公共点， ∴Δ＝4a 4－4(5－2a 2)(a 4－6a 2)≥0， 即a 4－8a 2＋15≥0，∴a 2≤3或a 2≥5(舍)， ∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.解法三：双曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1中c 2＝(9－k )＋(k －4)＝5，∴c ＝5，∴F 1(－5，0)，不妨先求得F 1(－5，0)关于直线y ＝x ＋1的对称点F (－1,1－5)，设直线与双曲线左支交点为M ，则 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝|MF 2|－|MF |≤|FF 2| ＝(－1－5)2＋(1－5)2＝2 3∴a ≤3，∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.(3)由(1)知C 1、C 2、C 3是椭圆，C 5、C 6、C 7、C 8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，m ∈{1,2,3}，n ∈{5,6,7,8}则根据椭圆、双曲线定义及PF 1→·PF 2→＝0(即PF 1⊥PF 2)，应有⎩⎨⎧d 1＋d 2＝29－m |d 1－d 2|＝29－n d 12＋d 22＝20，所以m ＋n ＝8.所以这样的C m 、C n 存在，且⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝5.17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．[解析] (1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b 2b 2－a2①由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2b 2－a 2＝1即b 2＝3a 2② 故c ＝a 2＋b 2＝2a ， ∴C 的离心率e ＝ca＝2.(2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2，A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a 22<0，故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ，|BF |＝(x 1－2a )2＋y 12＝(x 1－2a )2＋3x 12－3a 2＝a －2x 1， |FD |＝(x 2－2a )2＋y 22＝(x 2－2a )2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1，或a ＝－95.故|BD |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝6 连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(理)(2010·广东理)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2.求h 的值． [分析] (1)由条件写出直线A 1P 与A 2Q 的方程，两式相乘后消去x 1，y 1得交点E 的方程；(2)l 1，l 2与E 只有一个交点，写出l 1与l 2的方程与曲线E 的方程联立，运用Δ＝0求解． [解析] (1)由条件知|x 1|>2，∵A 1、A 2为双曲线的左、右顶点∴，A 1(－2，0)，A 2(2，0)．A 1P y ＝y 1－0x 1＋2(x ＋2)，A 2Q y ＝－y 1－0x 1－2(x －2)，两式相乘得y 2＝－y 12x 12－2(x 2－2)，① 而点P (x 1，y 1)在双曲线上，所以x 122－y 12＝1，即y 12x 12－2＝12，代入①式，整理得， x 22＋y 2＝1. ∵|x 1|>2，∴点A 1(－2，0)，A 2(2，0)均不在轨迹E 上，又双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，故过点(0,1)和A 2(2，0)的直线与双曲线仅有一个交点A 2(2，0)，故点(0,1)不在轨迹E 上，同理点(0，－1)也不在轨迹E 上，∴轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2，且x ≠0)．(2)设l 1y ＝kx ＋h ，则由l 1⊥l 2知，l 2y ＝－1kx ＋h .将l 1y ＝kx ＋h 代入x 22＋y 2＝1得x 22＋(kx ＋h )2＝1，即(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0， 由l 1与E 只有一个交点知，Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0， ∴1＋2k 2＝h 2.同理，由l 2与E 只有一个交点知，1＋2·1k 2＝h 2，消去h 2得1k2＝k 2，即k 2＝1，从而h 2＝1＋2k 2＝3，即h ＝ 3.又分别过A 1、A 2且互相垂直的直线与y 轴正半轴交于点(0，2)，∴h ＝2符合题意，综上知h ＝2或 3.高中数学高考总复习双曲线习题（学生）一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是 ( )A.17B.15C.174D.154(理)(2010·河北唐山)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 5 C. 2D. 32．(2010·全国Ⅰ文)已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．83．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2B ．2或 3C.3或62D.233或62(理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋14．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20(理)(2010·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y 2m 2－16x 23m2＝1B.x 216－y 2163＝1 C.16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)D.16x 2m 2－16y 23m2＝1 6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分7．(文)(2010·温州市十校)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若FM ＝ME ，则该双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3D. 28．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 9．(文)(2010·福建理)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 10．(文)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54 B.52 C.32D.54(理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定二、填空题11．(文)(2010·广东实验中学)已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.(理)(2010·东营质检)已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．12．(2010·惠州市模考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．13．(2010·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．14．下列有四个命题：①若m 是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为35.②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22；类比到空间，若三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上) 三、解答题15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．(理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．16．(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y 24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m <n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x轴相切．(理)(2010·广东理)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2.求h 的值．。
【高中数学】3.2.1 双曲线及其标准方程
3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程基础过关练题组一 双曲线的定义及其应用1.(2020辽宁六校协作体高二上月考)已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P 的轨迹是( )A.一条射线B.双曲线右支C.双曲线D.双曲线左支2.设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y29=1的左、右焦点.若点P 在双曲线上,且|PF 1|=5,则|PF 2|=( )A.5B.3C.7D.3或73.(2019河北唐山一中高二上月考)已知平面内两定点F 1(-2,0),F 2(2,0),下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是( ) A.|PF 1|-|PF 2|=±3 B.|PF 1|-|PF 2|=±4 C.|PF 1|-|PF 2|=±5 D.|PF 1|2-|PF 2|2=±44.已知双曲线x 24-y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7B.6或14C.3D.75.已知F 1,F 2分别为双曲线C:x 2-y 2=1的左,右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|等于 .6.已知双曲线的左,右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线的左支交于A,B 两点,线段AB 的长为5.若2a=8,那么△ABF 2的周长是 .题组二 双曲线的标准方程 7.(2019北京一一中学高二上期中)双曲线x 23-y 24=1的焦点坐标为()A.(±1,0)B.(±√7,0)C.(±√5,0)D.(±4,0) 8.已知动点P 到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差等于6,则P 点的轨迹方程是( )A.x 29-y 216=1B.y 29-x 216=1 C.x 29-y 216=1(x ≤3) D.x 29-y 216=1(x ≥3) 9.已知双曲线的一个焦点为F 1(-√5,0),点P 在该双曲线上,线段PF 1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )A.x 24-y 2=1 B.x 2-y24=1C.x 22-y 23=1 D.x 23-y 22=1 10.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A,B 为左,右焦点,且双曲线过C,D 两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 .11.经过点P(-3,2√7)和Q(-6√2,-7)的双曲线的标准方程是 .12.已知与双曲线x 216-y 29=1共焦点的双曲线过点P (-√52,-√6),求该双曲线的标准方程.题组三 双曲线的综合运用13.椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a -y 22=1有相同的焦点,则a 的值为( )A.1B.1或-2C.1或12D.1214.已知方程x 21+k -y 21−k=1表示双曲线,则k 的取值范围是( )A.(-1,1)B.(0,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)15.若ax 2+by 2=b(ab<0),则这个曲线是( ) A.双曲线,焦点在x 轴上 B.双曲线,焦点在y 轴上 C.椭圆,焦点在x 轴上 D.椭圆,焦点在y 轴上16.(2020湖南长沙长郡中学高二上期中) 设F 1,F 2是双曲线x 25-y 24=1的两个焦点,P 是该双曲线上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△PF 1F 2的面积等于 .能力提升练题组一 双曲线的定义及其应用 1.(2020辽宁大连二十四中高二期中,)已知双曲线x 216-y 220=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点,且PF 2的中点M 在以O 为圆心,OF 1为半径的圆上,则|PF 2|=( )A.6B.4C.2D.12.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)已知双曲线C:x 216-y 29=1的左,右焦点分别是F 1,F 2,P 是双曲线C 的右支上的一点(不是顶点),过F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足是M,O 是原点,则|MO|=( ) A.随P 点变化而变化 B.2C.4D.53.(2020广东东莞高二上期末教学质量检查,)已知双曲线C:x 216-y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2, P 为双曲线C 上一点,直线l 分别与以F 1为圆心,F 1P 为半径的圆和以F 2为圆心,F 2P 为半径的圆相切于点A,B,则|AB|=( ) A.2√7 B.6 C.8 D.104.()给出问题:F 1,F 2分别是双曲线x 216-y 220=1的左,右焦点,点P 在双曲线上,若点P 到焦点F 1的距离等于9,求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下: 由||PF 1|-|PF 2||=2a=8,即|9-|PF 2||=8,得|PF 2|=1或|PF 2|=17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在横线上..题组二 双曲线的标准方程及其应用 5.()在平面直角坐标系Oxy 中,点B 与点A(-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13,则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 2-3y 2=-2 B.x 2-3y 2=2(x ≠±1) C.x 2-3y 2=2 D.x 2-3y 2=-2(x ≠±1) 6.(2020山东菏泽一中高二期中,)“实数mn<0”是“方程x 2m +y 2n=1表示焦点在x 轴上的双曲线”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.(2019河北邯郸一中高二期末,)如图,F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F 1(-√7,0)的直线l 与双曲线的左,右两支分别交于点A,B.若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的方程为( )A.5x 27-5y 228=1B.x 26-y 2=1 C.x 2-y 26=1 D.5x 228-5y 27=1 8.()已知双曲线的两个焦点分别是F 1(-√5,0),F 2(√5,0),P 是双曲线上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程为 . 题组三 双曲线的综合运用 9.()已知点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上,点Q 在曲线C 2:(x+5)2+y 2=1上,点R 在曲线C 3:(x-5)2+y 2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( ) A.6 B.8 C.10 D.1210.(2019黑龙江齐齐哈尔四校联盟高二上期中,)已知双曲线x 2m -y 23m=1的一个焦点是(0,2),椭圆y 2n -x 2m=1的焦距等于4,则n= .11.(2019江西南昌二中高二上期中,)若点(x,y)在双曲线x 24-y 2=1上,则3x 2-2y 的最小值是 . 12.()已知双曲线x 24-y 29=1,F 1,F 2是其两个焦点,点M 在双曲线上.(1)若∠F 1MF 2=90°,求△F 1MF 2的面积;(2)若∠F 1MF 2=120°,△F 1MF 2的面积是多少?若∠F 1MF 2=60°,△F 1MF 2的面积又是多少?答案全解全析基础过关练1.A因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.故选A.2.D依题意得,a=1,b=3,因此c=√10,因为|PF1|=5>a+c=1+√10,所以点P可以在双曲线的左、右两支上,因此|PF1|-|PF2|=±2,即5-|PF2|=±2,所以|PF2|=3或7,故选D.3.A当|PF1|-|PF2|=±3时,||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4,满足双曲线的定义,所以点P的轨迹是双曲线.故选A.4.A连接ON,PF2(F2为双曲线的右焦点),则ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|,∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或3.5.答案4解析在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2√2)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.6.答案26解析|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16.∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.7.B由题意得双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=4,∴半焦距c=√a2+b2=√7,∴双曲线的焦点坐标为(±√7,0).故选B.8.D由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由半焦距c=5,实半轴长a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为x29-y216=1(x≥3).故选D.9.B 设双曲线的标准方程为x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),因为半焦距c=√5,c 2=a 2+b 2,所以b 2=5-a 2,所以x 2a2-y 25−a 2=1.因为线段PF 1的中点坐标为(0,2),所以点P 的坐标为(√5,4).将P(√5,4)代入双曲线方程,得5a2-165−a 2=1,解得a 2=1或a 2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x 2-y24=1.故选B.10.答案 x 2-y23=1解析 设双曲线的标准方程为x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),∴{4=a 2+b 2,4a2-9b2=1,解得{a 2=1,b 2=3或{a 2=16,b 2=−12(舍去).∴双曲线的标准方程为x 2-y23=1.11.答案y 225-x 275=1解析 设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1(mn<0), 则{9m +28n =1,72m +49n =1,解得{m =−175,n =125,故双曲线的标准方程为y 225-x 275=1.12.解析 已知双曲线x 216-y 29=1,则c 2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0).∵所求双曲线与双曲线x 216-y 29=1共焦点,∴b 2=25-a 2,故所求双曲线方程可写为x 2a 2-y 225−a 2=1.∵点P (-√52,-√6)在所求双曲线上, ∴(-√52)2a 2-(-√6)225−a 2=1,化简得4a 4-129a 2+125=0,解得a 2=1或a 2=1254.当a 2=1254时,b 2=25-a 2=25-1254=-254<0,不合题意,舍去,∴a 2=1,b 2=24,∴所求双曲线的标准方程为x 2-y224=1.13.A 由题意知{a >0,0<a 2<4,4−a 2=a +2,解得a=1.14.A 由题意得(1+k)(1-k)>0, 所以(k-1)(k+1)<0,所以-1<k<1. 故选A.15.B 原方程可化为x 2b a+y 2=1,因为ab<0,所以ba<0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y 轴上.16.答案 12解析 ∵F 1,F 2是双曲线x 25-y 24=1的两个焦点,∴可设F 1(-3,0),F 2(3,0),∴|F 1F 2|=6,∵|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,∴设|PF 2|=x(x>0),则|PF 1|=2x. 由双曲线的性质知2x-x=2√5,解得x=2√5. ∴|PF 1|=4√5,|PF 2|=2√5, ∴cos ∠F 1PF 2=2×4√5×2√5=45,∴sin ∠F 1PF 2=35.∴△PF 1F 2的面积为12×4√5×2√5×35=12.能力提升练 1.B 依题意得,a 2=16,b 2=20,∴c 2=36,从而c=6. 且|OM|=|OF 2|=c=6,由M 是PF 2的中点,O 是F 1F 2的中点得,|PF 1|=2|OM|=12. ∵P 在双曲线的右支上,∴|PF 1|-|PF 2|=2a=8,因此|PF 2|=12-8=4,故选B.2.C 延长F 2M 交PF 1于Q,据题意得PM 是线段F 2Q 的中垂线,即|PQ|=|PF 2|,由双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ|=|QF 1|=8,又线段MO 是△F 2F 1Q 的中位线,所以|MO|=4.3.B 依题意得,a=4,b=3,c=√a 2+b 2=5.设点P 在双曲线的右支上,如图所示,过F 2作F 2D ⊥AF 1于点D.易得四边形ABF 2D 为矩形.∵|AF 1|=|PF 1|,|BF 2|=|PF 2|,∴|F 1D|=|AF 1|-|AD|=|AF 1|-|BF 2|=|PF 1|-|PF 2|=2a=8. 又∵|F 1F 2|=2c=10,∴在Rt △F 1DF 2中,|F 2D|=√|F 1F 2|2-|F 1D|2=√102-82=6, ∴|AB|=|F 2D|=6.4.答案 学生的解答不正确,|PF 2|=17解析 由双曲线的定义知,||PF 1|-|PF 2||=2a,即|PF 1|-|PF 2|=±2a.正负号的取舍取决于点P 的位置是在双曲线的左支上还是右支上.因为点(4,0)到左焦点(-6,0)的距离为10>9,所以点P 只能在双曲线的左支上. 所以|PF 2|=17.5.D 由题意得,A(-1,1),B(1,-1),设P(x,y)(x ≠±1),则k AP =y -1x+1,k BP =y+1x -1.由k AP ·k BP =13,得x 2-3y 2=-2(x ≠±1).6.B 若曲线x 2m+y 2n=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m>0,n<0,因此mn<0;若mn<0,可能有m<0,n>0的情况,此时双曲线的焦点在y 轴上,因此“mn<0”是“曲线x 2m+y 2n=1是焦点在x 轴上的双曲线”的必要而不充分条件.故选B.7.C 根据双曲线的定义,有|AF 2|-|AF 1|=2a ①,|BF 1|-|BF 2|=2a ②,由于△ABF 2为等边三角形,因此|AF 2|=|AB|=|BF 2|,①+②,得|BF 1|-|AF 1|=4a, 则|AB|=|AF 2|=|BF 2|=4a,|BF 1|=6a,又∠F 1BF 2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a 2=c 2=7,解得a 2=1,则b 2=c 2-a 2=6,所以双曲线的方程为x 2-y26=1.8.答案x 24-y 2=1解析 由题意得,双曲线的焦点在x 轴上,且|F 1F 2|=2c=2√5.由双曲线的定义,知||PF 1|-|PF 2||=2a,得|PF 1|2-2|PF 1|·|PF 2|+|PF 2|2=4a 2.① 由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0知PF 1⊥PF 2,∵|PF 1|·|PF 2|=2, ∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20. 代入①式,解得a 2=4. 又c=√5,∴b 2=c 2-a 2=1, ∴双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.9.C 由双曲线的知识,不妨设C 1:x 216-y 29=1的两个焦点分别是F 1(-5,0)与F 2(5,0),且|PF 1|-|PF 2|=8,而这两点恰好是两圆(x+5)2+y 2=1和(x-5)2+y 2=1的圆心,且两圆的半径分别是r 2=1,r 3=1,所以|PQ|max =|PF 1|+1,|PR|min =|PF 2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF 1|+1)-(|PF 2|-1)=|PF 1|-|PF 2|+2=8+2=10. 故选C. 10.答案 5解析 因为双曲线的一个焦点是(0,2),所以设双曲线的标准方程为y 2a2-x 2b 2=1,a>0,b>0,又由题意得,双曲线的标准方程是y 2-3m -x 2-m=1,所以a 2=-3m,b 2=-m,所以c 2=-4m=4,即m=-1,所以椭圆方程是y 2n+x 2=1,因为椭圆的焦距2c=4,所以c=2,所以n-1=4,解得n=5.11.答案14312解析 因为点(x,y)在双曲线x 24-y 2=1上,所以x 24=1+y 2,则3x 2-2y=3(1+y 2)×4-2y=12y 2-2y+12,令f(y)=12y 2-2y+12,则二次函数的图象的对称轴为y=112,结合二次函数的图象及性质可知,当y=112时,f(y)最小,为14312.12.解析 设|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2(不妨设r 1>r 2),θ=∠F 1MF 2, 因为S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ,θ已知,所以只需求r 1r 2即可.(1)当θ=90°时,S △F 1MF 2=12r 1r 2sin θ=12r 1r 2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=√13,由双曲线的定义,得r 1-r 2=2a=4,两边平方,得r 12+r 22-2r 1r 2=16,又r12+r22=|F1F2|2,即|F1F2|2-4S△F1MF2=16,也即52-16=4S△F1MF2,求得S△F1MF2=9.(2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,|F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,求得S△F1MF2=12r1r2sin120°=3√3.同理,可求得∠F1MF2=60°时,S△F1MF2=9√3.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学双曲线经典考点及例题讲解
双曲线考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题．[基础梳理]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程与几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( )A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45答案：C2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案：B3.x 22＋m －y 2m ＋1＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x考点一 双曲线定义及应用|易错突破[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B.x 22－y 214＝1(x ≥2) C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，求△F 1PF 2的面积．[解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2.故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1.(2)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.[答案] (1)D[易错提醒][纠错训练]1．(2018·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50解析：如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.答案：B2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，求|AP |＋|AF 2|的最小值．解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.考点二 双曲线的方程及性质|方法突破命题点1 求双曲线的方程[例2] (1)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的标准方程为( )A.y 29－x 23＝1 B.x 29－y 23＝1 C.y 24－x 26＝1 D.x 24－y 26＝1 (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________。
高中数学选择性必修一课件：双曲线及其标准方程(第2课时)
(2)已知 F1，F2 分别为双曲线x52－y42＝1 的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一
点，点 A 在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( C )
A. 37＋4
B. 37－4
C. 37－2 5
D. 37＋2 5
【解析】 因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2 5，所以要求|AP|＋|AF2|的最小 值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．
【解析】 双曲线的两个焦点 F1(－4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且 两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM| －|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
(2)如图，已知双曲线的方程为 x2－y42＝1，点 A 的坐标为(－ 5，0)，B 是圆 x2＋(y－ 5)2＝1 上的点，点 C 为其圆心，点 M 在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB| 的最小值．
思考题 1 (1)如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满 足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程． 【解析】 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面 直角坐标系如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．
如图，连接 F1P 交双曲线的右支于点 A0.当点 A 位于点 A0 处时，|AP|＋|AF1| 最小，最小值为|PF1|＝ [3－（－3）]2＋12＝ 37.故|AP|＋|AF2|的最小值为 37－ 2 5.
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题
高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。
2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。
3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。
4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。
5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。
6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。
7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。
重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。
2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。
3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。
4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。
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高中数学-双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论19252
2=-+-k
y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，
16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0）
，（4，0）． （2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．
二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-5316
，Q 且焦点在坐标轴上．
（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．
（3）与双曲线14162
2
=-y x 有相同焦点，且经过点()223，
解：（1）设双曲线方程为12
2=+n y m x
∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+=+1
25
92561
162259n m n m 解得⎩⎨⎧=-
=916
n m ∴所求双曲线方程为19162
2=+-y x
说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．
（2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162
2=--λλy x （其中60<<λ）
∵双曲线经过点（－5，2），∴164
25=--λλ
∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15
22
=-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．
（3）设所求双曲线方程为：()16014162
2<<=+--λλ
λy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λ
λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18
122
2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。
例3 已知双曲线116
92
2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小．
解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴10022
21=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F
∴ο9021=∠PF F
（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
例 4 已知1F 、2F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．
分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．
解：∵P 为双曲线14
22
=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F
∵ο9021=∠PF F
∴在21F PF Rt ∆中，202
2122
21==+F F PF PF
∵()162212
221221=-+=-PF PF PF PF PF PF ∴1622021=-PF PF ∴221=⋅PF PF ∴12
12121=⋅=
∆PF PF S PF F 五、根据双曲线的定义求其标准方程。
例5 已知两点()051，
-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线． ∵5=c ，3=a
∴164352
22222==-=-=a c b ∴所求方程116
92
2=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 例 P 是双曲线136
642
2=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值． 解：在双曲线136
642
2=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ． ∴12=PF 或332=PF ． 又22=-≥a c PF ，得332=PF ．
六、求与圆有关的双曲线方程。
例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：
（1）与⊙()2222
=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()412
22=++y x C ：都外切． （3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()1322
2=+-y x C ：内切． 解：设动圆M 的半径为r
（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA
∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有： 22=
a ，2=c ，27222=-=a c b
∴双曲线方程为()
217222
2-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ， 112=-MC MC
∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有： 21=a ，1=c ，4
3222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为： ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=-43134422
y x y （3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切 ∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有： 2=a ，3=c ，5222=-=a c b ∴所求双曲线方程为：
()215
42
2≥=-x y x。