2013数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题及答案
计算机数值计算方法试题 计算机数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(24x l x xk k n k k( )。
,5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
广工2013年数值计算方法期末试卷
1、舍入误差是( )产生的误差。
A 只取有限位数B 模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量D 数学模型准确值与实际值2、设求方程()0=x f 的根的牛顿迭代收敛，则它具有_ __收敛。
A 线性 B 至少平方 C 平方 D 三次3、用1+3x近似表示31x +所产生的误差是( )误差。
A 舍入B 观测C 模型D 截断 4、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。
A 6 B 5 C 4 D 7 5、用选主元法解方程组b AX =，是为了_ ___。
A 提高运算速度B 减少舍入误差C 增加有效数字D 方便计算 6、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中，A 须满足的条件是( )。
A 对称阵 B 正定矩阵C 任意阵D 各阶顺序主子式均不为零广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称: 数值计算方法 试卷满分 100 分 考试时间: 年 月 日 (第 周 星期 )一、 单项选择题（每题3分，共45分）部分参考答案( A )一、选择题1、A2、C3、D4、B5、B6、D7、B 三、综合题 3、已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P 。
答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3------+------=x x x x x x x L )45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5------+------+x x x x x x差商表为)4)(3)(1(4)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P4﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2053182521432321321321x x x x x x x x x 。
答案：解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==2441321153121LU A令b y =L 得T )72,10,14(--=y ，y x =U 得T )3,2,1(=x 。
数值计算方法试题及答案
（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。
e
2
x
数值试题
四、1、（15分）方程x3x10在x不同的等价形式（1）x3对应迭代格式
xn1
1xn
1.5附近有根，把方程写成三种
x1对应迭代格式xn1xn1；(2)
x1
1x
；（3）x
3
x1对应迭代格式xn1xn1。判
六、（下列2题任选一题，4分）1、1、数值积分公式形如
0xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)（1）（1）试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）
1
2、
设f(x)C[0,1]，推导余项公式
误差。2、用二步法
4
R(x)
1
xf(x)dxS(x)
，并估计
yn10yn1yn1h[f(xn,yn)(1)f(xn1,yn1)]
4
数值试题
AX
1
__________，cond(A)
1
__________。
f(x0)f(x1)
具有最高的代
f(x)dx
5、为使两点的数值求积公式：1
x2__________。数精确度，则其求积基点应为x1__________，
6、设ARnn，ATA，则(A)（谱半径）__________
填小于、大于、等于）
1A2
147、设
012
A
2
。（此处
，则k__________。
三、简答题：（9分）1、1、方程x42x在区间1,2使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？
x
《数值计算方法》试题集及答案(1-6)-2..
《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
计算方法2013年试题
2013计算方法A一、填空（供参考）1. 1234×10−5有 有效数字；2. 简化1−COSX SINX= ；3. x =(1,1,0,2)T ,则2x = ；4. A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-031310103，则A 经LU 分解后，L= ；U= ；5. A =[3−142]，则Cond 1A= ；6. f (x )=2x 3−3ax +5；则f[1，2，3]= ；f[1，2，3，4]= ；7.g2(x)为关于权函数ω(x)的正交二次多项式，则∫ω(x )g2(x )10(1+x )= ；8．A =[3254]，初始向量为Z 0=(1,1)T ,则由乘幂法求A 的按模取最大值，迭代一次后的特征向量为ε= ；若由反幂法求A 的按模取最小值，迭代一次后的近似特征值为λ= ； 9. 解初值问题{()()(0)y x f x y y '==近似解的后退欧拉公式是1k y += ；二、线性方程组AX =b ，其中A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2153051106301020624，b =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡20522，作A 的楚列斯分解，A =GG T ，并求出方程组的解。
三、（7分）已知函数()y f x =的函数值、导数值如下：（部分函数值可能记得有出入）求满足条件的Hermite 插值多项式及截断误差表示式四、（7分）求函数xy e=在区间[−1,1]上的最优平方逼近二次多项式。
五、（8分）对线性方程组Ax b=；其中A=[1a4a1]，试求使得Jacobe和高斯赛德尔都收敛的a的范围；六、（8分）设方程式x3−3x+1=0在[1,2]内的1.5附近有根。
（1）试说明迭代序列X k+1=13（X k3.+1)是否收敛；（2）用松弛加速技术改善迭代，使得对（1）中的迭代由不收敛变为收敛，或者加速收敛；七、对高斯型求积分公式，I [f ]=∫f(x)dx 1−1, Q [f ]=A 0f (x 0)+A 1f (x 1),且已知勒让德正交二次多项式为g 2(x )=3x 2−1；（1） 试确定A 0，A 1，x 0，x 1，使得求积公式[][]I f Q f ≈具备最高的代数精度，并且给出截断误差表达式；（2） 应用上面的公式求积分∫√1+2xdx 1 0；八、给定高阶微分方程初值问题{y ′′′−2y ′′+4y ′−4sin x =0y (0)=0,y ′(0)=0，取步长为h ，试给出标准的四阶四级龙格库塔法的数值解；九、对求解公式y i+1=αy i +h(β0f i +β1f i+1)，求系数α,β0,β1，使得求解公式具备最高的代数精度并且给出截断误差估计；十、f(x)的n +1点拉格朗日型插值表达式为L n (x )=∑l i (x)f(x i )n i=0,求证：∑l i (0)x i k={ 1 k =00 k =1,2⋯n (−1)n x 0x 1x 2⋯x n k =n +1ni=01. 4；2. sinx1+cosx3. √64. L =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1331010001，U =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32600310103 5. 4.2 6. 12, 2 7. 0 8. (5/9,1)T , 7/3 9. y k +hf (x k+1)二，G =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2410011300310002，x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-75.31475.3375.23 五．a ∈(−0.5,0.5)六．不收敛；改善的迭代格式为X k+1=−115（4X k 3.−27X k +4) 七．（1）由高斯求积分公式的特点，知x 0，x 1为g 2(x )的零点，故x 0=√33⁄，x 1=−√33⁄，对应的求积分系数为A 0=∫[(x −x 1)/(x 0−x 1)]dx 1−1=1, A 1=∫[(x −x 0)/(x 1−x 0)]dx 1−1=1，应用广义误差公式，取e (x )=f 4(ε)4!(x −x 0)2(x −x 1)2，则有误差为R (f )=R (e )=I (e )−Q (e )=∫f 4(ε)4!(x−x 0)2(x −x 1)2dx 1−1，进一步应用广义积分定理，可得R (f )=f 4(ε1)135（2）做变量替换，t =2x −1，则有∫√1+2xdx 10=∫√t+22dt 1 −1=√6+√32√3+√6−√32√3九．α=1,β0=β1=0.5，R [y ]=−112y 3(ε).ℎ3十．f (x )=L n (x )+R(x),其中R (x )=f n+1(ε)(n+1)!(x −x 0)(x −x 1)⋯(x −x n )取f (x )=x k ,(k=0,1,2…n)，则有R (x )=0，即有x k =f (x )=L n (x )=∑l i (x )x i kn i=0，其中k=0,1,2…n 当k=0时，取x=0，则有1=x 0=∑l i (0)x i 0n i=0 当k =1,2⋯n ，取x=0，则有0=0k =∑l i (0)x i k n i=0对于k=n+1的情况，R (x )=(x −x 0)(x −x 1)⋯(x −x n )，则有x n+1=f (x )=L n (x )+R(x)=∑l i (x )x in+1n i=0+(x −x 0)(x −x 1)⋯(x −x n ) 取x=0，则有∑l i (0)x i n+1ni=0=−(0−x 0)(0−x 1)⋯(0−x n )=(−1)n x 0x 1x 2⋯x n∑l i (0)x i k={ 1 k =00 k =1,2⋯n (−1)n x 0x 1x 2⋯x n k =n +1ni=0。
(完整word版)数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
《数值计算方法》试题与答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
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数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( 3 )，b =（3 ），c =（ 1 ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( 1 )，∑==nk k jk x lx 0)(( j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( 324++x x )。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ 22,22- ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ 0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。
二 选择题（每题2分） 3、有下列数表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（ （1） ）。
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 三、 2、（8分）已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。
（2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
2、（15分）解：001302.0768181121)(12][022==⨯⨯≤''--=e f h a b f R T η])()(2)([2)8(71∑=++=k k b f x f a f hT ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[161++++++⨯+=6329434.0=五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。
五、1、（15分）解：改进的欧拉法：⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),()0(111)0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y 所以1)1.0(1==y y ；经典的四阶龙格—库塔法：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),(]22[6342312143211hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k hy y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ，所以1)1.0(1==y y 。
数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一成立。
（ ）２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
（ ） 1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ）3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。
（ ）４、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210111012A 的２－范数2A ＝９。
（ ） 5、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。
（用∞⋅） （ ） 6、设n n R A ⨯∈，nn RQ ⨯∈，且有I Q Q T=（单位阵），则有22QA A =。
7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。
8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6001032211012001542774322b a A ，则b a ,的值分别为=a 2，=b 2。
（ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ）二、填空题：（共20分，每小题2分） ３、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_______二___阶的连续导数。
4、向量TX )2,1(-=,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1327A ，则=1AX _16 __，=∞)(A cond _____90______。
5、为使两点的数值求积公式：⎰-+≈1110)()()(x f x f dx x f 具有最高的代数精确度，则其求积基点应为=1x _31,31-，=2x __________。
6、设n n R A ⨯∈，A A T =，则)(A ρ（谱半径）_=_2A 。
（此处填小于、大于、等于）7、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2141021A ，则=∞→k k A lim ___0_。
数值计算方法试题三一、（24分）填空题(1) (2分)改变函数f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确 ()x x x f ++=11(2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10次。
(3) (2分)设()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=212221x x x x x f ，则()=x f ' ⎪⎪⎭⎫⎝⎛122122x x x x(4)(3分)设()⎩⎨⎧≤≤+++≤≤=21,10,2233x c bx ax x x x x S 是3次样条函数，则 a= , b= , c= 。
(4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分)若用复化梯形公式计算⎰1dxe x ，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。
(6) (6分)写出求解方程组⎩⎨⎧=+-=+24.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--64.006.10 ，迭代矩阵为 ， 此迭代法是否收敛 收敛 。
(7) (4分)设A =⎛⎝ ⎫⎭⎪5443,则=∞A 9 ，()Cond ∞=A 91 。
(8) (2分)若用Euler 法求解初值问题()10,10'=-=y y y ，为保证算法的绝对稳定，则步长h 的取值范围为 h<0.2 。
二. (64分)(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。
(4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分()⎰=10sin dxx x I 的近似值，要求误差限为5105.0-⨯。
()()0.9461458812140611=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=f f f S()()0.94608693143421241401212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f f f f f S 5-12210933.0151⨯=-≈-S S S I 9460869.02=≈S I 或利用余项：()()-+-+-==!9!7!5!31sin 8642x x x x x x x f () -⨯+⨯-=!49!275142)4(x x x f()51)4(≤x f ()()54)4(45105.05288012880-⨯≤⨯≤-=n f n a b Rη，2≥n ， =≈2S I(5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++276234532424321321321x x x x x x x x x(6) (8分)求方程组 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12511213121x x 的最小二乘解。
(7) (8分)已知常微分方程的初值问题：⎩⎨⎧=≤≤=2)1(2.11,y x y x dx dy用改进的Euler 方法计算y (.)12的近似值，取步长2.0=h 。
三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：()151=p ，()201'=p ，()301''=p ，()572=p ，()722'=p三. (12分) (1) 差分表：1 1 12 2 1515155757202042721522307 8 1()()()()()()4323322345211711512015x x x x x x x x x x p ++++=--+-+-+-+=其他方法：设()()()()()b ax x x x x p +-+-+-+=32111512015令()572=p ，()722'=p ，求出a 和b。