八年级数学上册第13章三角形中的边角关系命题与证明知识点总结沪科版.doc
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沪科版数学八年级上册 第13章 小结与复习
例3 下列说法错误的是（ B ） A.三角形的三条中线都在三角形内，且平分三角形面积 B.直角三角形的高线只有一条 C.三角形的三条角平分线都在三角形内 D.钝角三角形内只有一条高线 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念逐一 进行判断.【答案】B
方法总结
三角形的三条角平分线、三条中线、三条 高 (或延长线) 分别相交于一点，其中中线平分 三角形面积，直角三角形有两条高线在直角边上， 钝角三角形有两条高在三角形的外面.
第 13 章 三角形中的边角 关系、命题与证明
小结与复习
一、三角形的相关概念
A
不在同一直线上的三条线段首尾依次相接
组成的图形叫做三角形． ①三角形有三条边，三个内角，三个顶点；
②组成三角形的线段叫做三角形的边； B
C
③相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角；
④相邻两边的公共端点是三角形的顶点；
⑤三角形 ABC 用符号表示为△ABC；
方法总结 三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三
条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查 是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查 较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在 求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有 着重要的作用.
针对训练 1.已知四组线段的长分别如下，以各组线 段为边，能组成三角形的是( C ) A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10 2.在等腰三角形 ABC 中，它的两边长分别为 8 cm 和 3 cm，则它的周长为___1_9____cm. 3.以线段 3、4、x - 5 为边组成三角形，那么 x 的取 值范围是 6＜x＜12 .
⑥三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的角 C 的小 写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示.
方法总结
三角形的三条角平分线、三条中线、三条 高 (或延长线) 分别相交于一点，其中中线平分 三角形面积，直角三角形有两条高线在直角边上， 钝角三角形有两条高在三角形的外面.
第 13 章 三角形中的边角 关系、命题与证明
小结与复习
一、三角形的相关概念
A
不在同一直线上的三条线段首尾依次相接
组成的图形叫做三角形． ①三角形有三条边，三个内角，三个顶点；
②组成三角形的线段叫做三角形的边； B
C
③相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角；
④相邻两边的公共端点是三角形的顶点；
⑤三角形 ABC 用符号表示为△ABC；
方法总结 三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三
条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查 是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查 较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在 求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有 着重要的作用.
针对训练 1.已知四组线段的长分别如下，以各组线 段为边，能组成三角形的是( C ) A．1，2，3 B．2，5，8 C．3，4，5 D．4，5，10 2.在等腰三角形 ABC 中，它的两边长分别为 8 cm 和 3 cm，则它的周长为___1_9____cm. 3.以线段 3、4、x - 5 为边组成三角形，那么 x 的取 值范围是 6＜x＜12 .
⑥三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的角 C 的小 写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示.
三角形中的边角关系、命题与证明(知识点汇总 沪科8上)
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明一、三角形（一）、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。
（二）、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a -b<c,a -c<b,b -c<a 。
2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a 同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.4、作用：∠判断三条已知线段能否组成三角形；∠当已知两边时，可确定第三边的范围；∠证明线段不等关系。
（三）、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
沪科版八年级数学上第13章三角形中的边角关系、命题与证明13
其要注意的是等等边边三角三形角形是等腰三角形的特例．
3．三角形中任何两边的和大大于于第三边，任何两边的差小小于 于第三
边．
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典例导学 现有四根木棒，它们的长度分别是 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，任取
其中三根，可以组成几种不同的三角形？请将其一一列举出来． 【思路分析】由三角形任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第 三边即可得出答案．
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13．已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，b，c 满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且
a 为方程|x－4|＝2 的解，求△ABC 的周长，判断△ABC 的形状． 解：因为(b－2)2＋|c－3|＝0，所以 b－2＝0，c－3＝0，
(D )
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6．已知三角形的两边长分别为 3 cm 和 8 cm，则此三角形的第三边的长
可能是
(C)
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．13 cm
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7．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图所示
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解：(1)三角形两边之和大于第三边． (2)延长 AD 交 BC 于点 E， 因为在△ABE 中，AB＋BE>AE， 在△DEC 中，DE＋EC>DC， 所以 AB＋BE＋DE＋EC>AE＋DC， 所以(AB＋BE＋EC)＋DE>DE＋(AD＋DC)， 所以 AB＋BC>AD＋DC， 所以人们从 A 步行到 C 喜欢走小路．
沪科版八年级数学上第13章三角形中的边角关系、命题与证明13
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典例导学 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：△CDB 是直角
三角形．
【思路分析】要证△CDB 是直角三角形，可证∠B＋∠DCB＝90°，在△ABC
中，已知∠ACB＝90°，易证△CDB 是直角三角形．
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A．85° B．90° C．95° D．100°
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9．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，则∠B 为 A．15° B．30° C．50° D．60°
(D)
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10．已知三角形 ABC 的三个内角满足关系∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形 (D)
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第 3 课时 三角形内角和定理的证明及 推论
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要点感知 1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于 18180°0°. 2．为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅辅助线助线． 3．直角三角形的两锐角互互余 余． 4．有两个角互余的三角形是直直角角三三角形角形．
1 ∴∠EGD＝3×(180°－60°)＝40°， ∴∠1＝40°.
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(2)∠AEF＋∠FGC＝90°. 理由：∵AB∥CD， ∴∠AEG＋∠CGE＝180°， 即∠AEF＋∠FEG＋∠EGF＋∠FGC＝180°， 又∵∠FEG＋∠EGF＝90°， ∴∠AEF＋∠FGC＝90°.
沪科版八年级上册数学教学课件 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 三角形中的边角关系
结论
（1） 三角形两边的和大于第三边 （2） 三角形两边的差小于第三边
a
b
c
∴a+b>c b+c>a c+a>b
三角形的三边关系
三角形的任意两边和大于第三边. 三角形的任意两边差小于第三边. 两边差<第三边<两边和
已知等腰三角形周长为18 cm，如果一边长等于4 cm，求 另外两边的长？ 解：若底边长为4 cm，设腰长为x cm，则有 2x+4=18，解得x=7. 若一条腰长为4 cm，设底边长为x cm，则有 2×4+x=18，解得x=10. 因为4+4<10，所以以4 cm为腰不能构成三角形. 所以三角形另外两个边长都是7 cm.
合作探究
下图中有你熟悉的图形吗？
由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所 组成的图形叫做三角形
当堂训练
如图是用三根细棍组成的图形， 其中符合三角形
概念的图形是（ D ）
A
B
C
D
三角形用符号“△”表示，如图，记作“△ABC ”， 读作“三角形ABC ”。
A
B
C
A
记作：△ABC
cb
读作：三角形ABC
3. 一个等腰三角形的一边是5 cm，另一边是9 cm， 则这个三角形的周长是__1_9__c_m_或__2_3__c_m_.
13.1 三角形中的边角关系 （第2课时）
教学目标
• 1、会按角对三角形进行分类. • 2、理解和掌握小学学习的三角形内角和定理. • 3、会用三角形内角和定理解决实际问题.
预学检测
• 1、本节课主要学习哪些内容？ • 2、你认为本节课的重点内容是什么？ • 3、你对哪些内容有疑问？
沪科版八年级上册数学教学课件 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 命题与证明
三角形的外角和
对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个 外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的 和，叫做三角形的外角和.
结论： 三角形的外角和等于360°.
1.三角形的外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
2 .三角形的内角和等于180˚ 三角形的外角和等于360 ˚
画图并思考：
画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动 手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？
归纳：
每一个三角形都有６个外角. 每一个顶点相对应的外角都有2个．它们是对顶角. 所以我们习惯性的认为三角形的外角有三个（每 个顶点处只取一个）.
三角形的外角与三角形的内角之
间有怎样的数量关系?
三角形的外角与内角的关系：
①互补关系：三角形的外角与和它相邻的内角互补； ②相等关系：三角形的外角等于与它不相邻的两 个内角之和； ③不等关系：三角形的外角大于与它不相邻的任何一 个内角.
你选谁 ？
A
B
C
D
∠ACD ＞ ∠A (<、>)； ∠ACD ＞ ∠B (<、>)
练一练：1、求下列各图中∠1的度数.
A
∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
D
能证明这个
结论吗？
如图, ∠ACD 是△ABC的一个外角,试说明∠ACD=∠B+∠A. 你能说出三角形的外角与每一个不相邻的内角之间的关系吗?
A
∵ ∠ACD= ∠B+ ∠A，
∴∠ACD＞∠A, ∠ACD ＞∠B.
D
B
C
结论1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
沪科版八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明章末小结与提升课件
半,求这个三角形的三边长.
解:设这个三角形的两边长分别为x,y,且x≥y,
则第三边长为24-x-y,根据题意得
+ = 3(24--),
= 10.5,
解得
1
= 7.5,
- = (24--),
2
∴24-x-y=6.
答:这个三角形的三边长分别为10.5 cm,7.5 cm,6 cm.
∠C=120°,则∠AED的度数是 80° .
-11-
章末小结与提升
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重难点突破
10.已知△ABC中,∠B=∠C,D为边BC上一点(不与点B,C重合),
E为边AC上一点,∠ADE=∠AED,∠BAC=44°.
(1)求∠C的度数;
(2)若∠ADE=75°,求∠CDE的度数.
解:(1)∵∠BAC=44°,
C.同位角相等
D.如果x与y互为相反数,那么x与y的和等于0吗
-16-
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重难点突破
15.命题:若a>b,则a2>b2.请判断这个命题的真假.若是真命题,
请证明;若是假命题,请举一个反例并适当修改命题的题设使
其成为一个真命题.
解:是假命题.
反例:当a=1,b=-2时,满足a>b,但a2=1,b2=4,a2<b2,
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
∴∠GFB=90°,即FG⊥AB.
(2)∵FG⊥AB,CD⊥AB,
∴FG∥DC,∴∠2=∠3,
又∵∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴DE∥BC.
-18-
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
章末小结与提升
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重难点突破
解:设这个三角形的两边长分别为x,y,且x≥y,
则第三边长为24-x-y,根据题意得
+ = 3(24--),
= 10.5,
解得
1
= 7.5,
- = (24--),
2
∴24-x-y=6.
答:这个三角形的三边长分别为10.5 cm,7.5 cm,6 cm.
∠C=120°,则∠AED的度数是 80° .
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重难点突破
10.已知△ABC中,∠B=∠C,D为边BC上一点(不与点B,C重合),
E为边AC上一点,∠ADE=∠AED,∠BAC=44°.
(1)求∠C的度数;
(2)若∠ADE=75°,求∠CDE的度数.
解:(1)∵∠BAC=44°,
C.同位角相等
D.如果x与y互为相反数,那么x与y的和等于0吗
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15.命题:若a>b,则a2>b2.请判断这个命题的真假.若是真命题,
请证明;若是假命题,请举一个反例并适当修改命题的题设使
其成为一个真命题.
解:是假命题.
反例:当a=1,b=-2时,满足a>b,但a2=1,b2=4,a2<b2,
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
∴∠GFB=90°,即FG⊥AB.
(2)∵FG⊥AB,CD⊥AB,
∴FG∥DC,∴∠2=∠3,
又∵∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴DE∥BC.
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13.1.2 三角形中角的关系(课件)沪科版数学八年级上册
课堂小结
三角形中角的关系
三角
直角三角形
内角和 三个内角的 形中 按角的大
等于180° 数量关系 角的 小分类
关系
斜三角形
感悟新知
例 2 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
知2－练
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B
的度数；
(3)已知∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B，∠C的度数. 解题秘方：紧扣三角形的内角和定理建立方程(组)求解.
感悟新知
21.2-2)、剪拼(图13.1.2-3)的方法，将
三角形的三个角拼在一起，得到三角形的内角和，这体现
了数学中的转化思想.
感悟新知
知2－讲
特别解读 “三角形的内角和等于180°”揭示了三角形的三个内
角之间的数量关系. 若已知三角形中任意两个角的度数， 则可以求得第三个角的度数;若已知三个角的关系或三个 角的度数之比，可以求各个角的度数.
感悟新知
知1－练
解：(1)因为三个角都是锐角，所以△ABC是锐角三角形. (2)因为∠C＝120°＞90°，所以△ABC是钝角三角形. (3)因为∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形. 由角的大小判断三角形形状的方法： (1)若最大角为锐角，则该三角形为锐角三角形； (2)若最大角为直角，则该三角形为直角三角形； (3)若最大角为钝角，则该三角形为钝角三角形.
两个锐角.
2. 三角形按边分类和按角分类是两种不同的分类方式，各
自独立，无论按哪种标准分类,原则都是不重不漏.
3. 等腰直角三角形，按边分类属于等腰三角形，按角分类
属于直角三角形.
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第十三章三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类：
2、按角分类：
不等边三角形直角三角形
三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形
钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。
3、三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高
（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
四、命题
1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。
2、命题分类
真命题：正确的命题
命题
假命题：错误的命题
3、互逆命题
4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子
原命题：如果p，那么q；
逆命题：如果q，那么p。
称为反例。
（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。
）。