ARIMA模型

0 1t t [ 0 1 (t 1) t 1 ] 1 t t 1 经一阶差分后， {xt } 为平稳序列
二阶差分 2 xt xt xt 1
1 t t 1 ( 1 t 1 t 2 ) t 2 t 1 t 2
第七章 ARIMA模型
前面的章节我们围绕着平稳时间序列的问题进行讨论。 但是，在实际应用中，我们经常会遇见不满足平稳性的时 间序列，尤其在经济领域和商业领域中的时间序列都是非 平稳的。例如，美国1961年1月—1985年12月16-19岁失 业女性的月度数据。
大量的非平稳时间使我们不禁提出这样的疑问： 1.遇到非平稳时间序列怎么办？ 我们知道平稳序列有许多好的性质，便于我们进行建 模、检验与预测 。因此，我们引入了差分方法，希望 通过差分能使非平稳时间序列转化为平稳时间序列。 2.差分方法如何使非平稳时间序列转化为平稳时间序列？ 我们将通过直观上观察与理论证明分析差分对一个非 平稳时间序列的作用。
这时因为，过多阶数的差分导致信息损失，从而降低了估计 的精度 。
7.6 ARIMA模型分析
1.确定差分的阶数 通过观察差分后的时序图、自相关图、偏相关图。
2.观察时序图和自相关图，确定模型形式 3.拟合模型 若为确定性趋势模型，直接根据最小二乘法拟合。 若为随机趋势模型，则需要通过自相关图、偏相关图定阶。
t ~ WN (0, 2 )
当a k 0, 且k 1时
一阶差分
xt xt xt 1 a1[t (t 1)] ak 1[t k 1 (t 1) k 1 ] a k [t k (t 1) k ] t t 1
d阶差分
xt (1 B) xt (1)
d d i 0
d
i
i Cd xt i
直观上，差分能够把均值非平稳的时间序列不断的修匀。
• 7.2 确定性趋势模型
如果时间序列 {Xt} 带有显著的线性趋势，而季节性影响又不 明显，那么可以利用确定性的线性趋势模型：
xt a0 a1t a2t 2 ak 1t k 1 a k t k t
{ 2 xt }也是平稳序列。但是， {2 xt } 的方差大于{xt } 的 显然，
方差：
Var(xt ) Var( 1 t t 1 ) Var( t t 1 ) 2 2
Var( 2 xt ) Var( t 2 t 1 t 2 ) 6 2
d ( B) 0
的根都在单位圆之外，因此有 d xt 为平稳时间序列。 小结：( B) 0 存在d个单位根的随机趋势模型可以通过d次 差分转化为平稳时间序列。
7.4 ARIMA模型的定义
如果时间序列{Xt}的d阶差分 xt (1 B) xt 是一个平稳的 ARMA序列，其中 d 1 是整数，则称{Xt}为具有p,d和q的 自回归求和移动平均模型（ARIMA）。
7.3 随机趋势模型 考虑 ( B) xt ( B) t
t ~ N (0, 2 )
（1）当 ( B) 0 的根都落在单位圆之外时，我们称之为 平稳时间序列 （2）当 ( B) 0 存在小于1的根时，考虑最简单的AR(1) X t X t 1 t 经过迭代 X t X 0 i t i
由此，我们得到 xt 比 xt 低了一次幂，且 xt 的最高次项 1 为 a k Ck t k 1 。 不失一般性地有，任意确定性的线性趋势时间序列均比一阶 差分多一次幂。
所以有
k xt ak k ! G ( B ) t G ( B) (1 B) k
小结：确定性的线性趋势时间序列可以通过k次差分 （k为原时间序列的最高次幂），将时间序列转化为 截距为 ak k ! 的MA模型。
• 7.1 差分运算的定义
一阶差分的定义
xt xt xt 1
二阶和d阶差分定义为
2 xt xt xt 1 ( xt xt 1 ) ( xt 1 xt 2 ) xt 2 xt 1 xt 2 xt
d d 1
xt
d d
( B) d xt ( B ) t E ( t ) 0，Var ( t ) 2，E ( t s ) 0，s t E ( x ) 0，s t t
ARIMA模型不一定是非平稳的，非平稳时间序列不一定是 符合ARIMA模型。 例： xt 0.5 xt 1 t
t i 0
t

2t 1 1 2 2i 2 计算其方差 var X t 2 1 i 0
当 t 时，时间序列的均值和方差都趋向于 ，这 种过程称为爆炸性的。这种模型没有现实意义。
（3）当 ( B) 0存在单位根时（且不存在小于1的根），自 回归参数不满足平稳条件的ARMA模型，我们称之为随机 趋势模型。通过差分的方法可以使随机趋势模型转化为平 稳模型。 当 ( B) 0 存在单位根，根据多项式因式分解定理有
xt 10.5 xt 1 t
• 7.5 过差分
适当阶数的差分运算可充分提取原序列中的非平稳部分的信 息，但是，并非阶数的越大越好。因为差分运算是对信息 的提取、加工过程，每次差分都会有信息损失，所以，差 分运算的阶数要适当，避免过度差分，即过差分。 例： xt 0 1t t 其中 E ( t ) 0 , Var( t ) 2 , Cor( t , t 1 ) 0 , i 1 一阶差分 xt xt xt 1
xt 0.5xt 1 t t 1
经一阶差分后序列是平稳的 x 因此， t 0.5 xt 1 t 符合ARIMA模型定义，但它确是平稳的。 例： xt 10.5 xt 1 t 无论经过几阶差分，其差分方程都是不平稳的。 因此，非平稳时间序列 不符合ARIMA模型。
( B ) 1 ( B)(1 B) ( B ) [ 2 ( B)(1 B)](1 B) 2 ( B)(1 B) 2 ( B ) d ( B )(1 B ) d
则原模型可写成
d ( B)(1 B) d xt ( B) t d ( B) d xt ( B) t
d 1
i xt 1 (1)i Cd xt i i 0
d
k阶差分总是k-1阶差分的1阶差分
k xt k 1xt k 1xt 1
差分的算子表示 一阶差分
xt xt xt 1 xt Bxt (1 B) xt
二阶差分
2 xt (xt ) xt xt 1 ( xt xt 1 ) ( xt 1 xt 2 ) xt 2 xt 1 xt 2 (1 2 B B 2 ) xt (1 B ) 2 xt