材料力学第9章 应力状态分析

b
σyτy d
已知s x、s y、t x、a，求sa、ta
e
τx σx a
σα a τα
n
b
f
στyy t
y
t xdAcosa n
s xdAcosa a
sa dA a t ydAsin a
a
s
a ydAsin a
ta dA t
x
解： Fn 0
sadA (t xdAcosa )sina (s xdAcosa ) cosa (t ydAsina ) cosa (s ydAsina)sina 0
Ft 0 tadA (t xdAcosa ) cosa (s xdAcosa )sina
(t ydAsina )sina (s ydAsina) cosa 0
数学整理
sadA (t xdAcosa )sina (s xdAcosa ) cosa (t ydAsina ) cosa (s ydAsina)sina 0
2a
=OC+CEcos2a0cos2a CEsin2a0sin2a
式中： OC= s x s y
τy τx
o (σy ,Dτ2y)
C F B1
σ
CEcos2a0
2
CD1cos2a0
CB1 =
sx
s
2
y
σy
CEsin2a0 CD1sin2a0 B1D1=tx
y
a τy σy τx e σα
n
OF
A2 B2
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
数值
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
方位 A1点如何得到？
τy τx
o
C
σ B1 A1 σ
( 1 ,0)
以CD1点为起始半径, 顺时针旋转2α0
(σy ,Dτ2y)
至CA1即可。
σy
y
a τy σy τx e σα
b
σyτy d
只需证明：
OF
sa
=sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
EF
ta
=sx
s
2
y
sin2a
t xcos2a
2、应力圆求斜截面上的应力 试求图示单元体α截面上的应力
t
σx
B2
证明 OF=OC CF=OC+CEcos(2a0+2a)
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2
2
sa、ta
计算公式
sa
ta
sx sx
sy
2
s y
2
s x s y cos2a
2
sin2a t xcos2a
t
xsin2a
3、讨论：
e
τx σx a
σα a τα
n
b
f
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
ta
sx
s y
2
sin2a
t xcos2a
στyy t
s a 90
sx
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
sa
c
a
EF=CEsin(2a0 +2a)
σx a ταf τσx x x
b
σyτy d
=CD1cos2a0sin2a CD1sin2a0cos2a
sx
s
2
y
sin2a
t xcos2a
ta
2、应力圆求斜截面上的应力 试求图示单元体α截面上的应力
t
1、单向应力状态
三个主应力只有一个不等于0 σ1
σ1 σ1
σ1
2、二向应力状态 三个主应力有两个不等于0
σ2
σ2
3、三向应力状态 三个主应力全不等于0
σ1
σ1
σ1
简单应力状态
σ2
单向应力状态 平面应力状态
二向应力状态
复杂应力状态
σ1
σ1 σ2 σ2 σ3
σ1
三向应力状态 空间应力状态 σ3 σ2
§9-2 平面应力状态分析
t
σx
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
1、作单元体的应力圆
2、以CD1为起始半径, 按α的旋转方 向旋转2α, 得到E点。
B2
o
C F B1
σ E点的坐标即为：（sa，ta）
τy τx
(σy ,Dτ2y) σy
y
a τy σy c n τx e σα a
σx a ταf τσx x x
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
a τy σy c n τx e σα a
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
σx a
b
ταf τσx x x
方位 A1点如何得到？
σyτy d 以CD1点为起始半径, 顺时针旋转2α0至CA1即可。
3、主应力、主平面与主单元体
t
图解法
注意A1、A2点
σx
σ( 2,0)
设ef 的面积为dA，
则eb的面积为dA cos a bf 的面积为dAsina
各面上的力
y
t xdAcosa n
s xdAcosa a
sa dA a t ydAsin a
a
s
a ydAsin a
ta dA t
x
§9-2 平面应力状态分析
一、斜截面上的应力
y
a τy σy c n
τx e
a
σx a f τσx x x
dy dz
单元体的特点： dx dy dz 0
A
①单元体各个面上的应力是均匀分布的；
②两个平行面上的应力大小相等。
dx
（一个面的两侧）
y sy
只要知道单元体三对相互平行面上的应力, 其它任意截面上的应力均可用截面法求出, 因此可用单元体三个互相垂直平面上的应 力来表示一点的应力状态。
sx
tyx txy
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
计算s
a
、
90
ta 90
ta 90
sx
s
2
y
sin2a
t
xcos2a
tsaa
sa 90 ta 90
sБайду номын сангаас
x
sy
常数
结论：任意两个相互垂直截面上的正应力之和为常数, 切应力符 合切应力互等定理。
y sy
空间应力状态（弹性力学）
sx
tyx txy
ttzyyz tzx
B
方位角α, 对应于应力圆上为2 α
a τy σy τx e σα σx a ταf
n
c
τ
a
B 2a
τσx x x o C
角, 自起始半径旋转, 且与α转向 一致；
A 单元体上A、B面夹角α, σ 应力圆上弧长AB的圆心角
b
σyτy d
为2 α角, 且转向一致。
3、主应力、主平面与主单元体
t
图解法
y
一、斜截面上的应力
已知s x、s y、t x、a，求sa、ta
1、正负号规定：
a
τx
τy σy e
σ：拉为正压为负, τ：绕单 σx a f
n
c
a
e
τx
τσx x
x σx a
b
σα a τα
f
n
元体内部一点顺时针转为正, 逆时针为负。α逆时针为正,
b
σyτy d
στyy t
顺时针为负。 2、解： 截面法 应力平衡（×） 力平衡（√）
σx a ταf
b
σyτy
c
a
τσx x
d
tan(2a0 )
n
B1D1 CB1
tx sx s
2
y
tan
2a0
2t x sx s
y
将负号放在分子上, 以此确定的2α0的象限,
α0为σ1与σx之间的夹角。
x
tan
2a0
1;
tan
2a0
a a
( ) ; tan
2a0
a a
(
)
3、主应力、主平面与主单元体
a
σa
τa
③ 同时存在s和t：梁截面其它各点 y
s a s m a x t a t m a x 如何进行强度计算, 强度条件如何建立？
§9-1 应力状态的概念
F
二、研究一点应力状态的方法
F A
单元体：为了研究一点的应力状态, 通常是围绕该点取一个无限 小的微体, 称为单元体。（正六面体, 三棱柱）
CB1 OB1 OC
=s
x
s
x
s
2
y
=sx sy
2
(σy ,Dτ2y) σy
y
a τy σy c
B1D1 t x
τx
该圆即为方程
CD1=
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
σx
b
(sa
sx
sy
2
)2
t
2 a
s
(
x
s y
2
)2
t
2所表示的圆。
x
τσx x x σyτy d
2、应力圆求斜截面上的应力 试求图示单元体α截面上的应力
定存在三对相互垂直的截面, 这些截面上的切应力
t =0, 只有正应力s。三个主应力记为：
σ2 σ3
s1、s 2、s 3 且s1 s 2 s 3
σ1
σ1
例：已知三个主应力数值为：
50MPa 0MPa 100MPa
σ3 σ2
s1 50 MPa s 2 0 MPa s3 100 MPa
四、应力状态分类
即为σ 1方向。 K点称为主点。
y
a τy σy c n τx e σα a
D1A1 A1K ,
D1
A1对应的圆心角为2a
，
0
σ σ 故A1K对应的圆周角为a0 1
2
σx a ταf τσx x x
b
σyτy d
主单元体
σa1x σ2
3、主应力、主平面与主单元体 解析法
σx
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
B2
o
C B1
σ
作应力圆应注意的几点：
①σ、τ正负号, 与应力圆上点的象 限关系。 ②点面对应关系：应力圆上一点 对应于单元体中某一截面；
τy τx
(σy ,Dτ2y) σy
y
③起始半径选择：需视α角从哪
A
一个轴开始度量；
④α与2α对应：单元体上斜截面
τy σy c
τσx x σyτy d
x
二、应力圆 1、应力圆的绘制
t
σx
试作图示单元体的应力圆
D1σ( x ,τ x )
圆心：( s x s y ，0)
2
半径：(s
x
s
2
y
)2
t
2 x
o
B2 C B1
σ
τy τx
证明：
OC= OB1 OB2 = s x s y
2
2
2
2
CD1= CB1 B1D1
第九章 应力状态 分析
• 本章主要内容 • 应力状态的概念 • 二向应力状态分析的解析法 • 二向应力状态分析的图解法 • 三向应力状态简介 • 广义胡克定律 • 复杂应力状态下的应变比能
§9-1 应力状态的概念
F
α
F
一、为什么要研究一点的应力状态
σ
1、sa和ta是a的函数, 需要研究一 F
点处不 同方位上的应力情况, 找
ttzyyz tzx
txz tzx sz tzy
ttyyxz
sz txz
txy
sx
x
z
sy
三、主平面、主应力与主单元体
σy σz
主平面：切应力为零的截面（t =0）。
主应力：主平面上的正应力。
σx
σx
主单元体：三对相互垂直的平面均为主平面的单元体。σz σy
可以证明, 通过一点处的各不同方位的截面中, 一
t
图解法
注意A1、A2点
σx
σ( 2,0)
A2 B2
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
数值 方位
τy τx
o
σ a C B1 A1 σ
( 1,0) 主点法
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
tan
2a0
2t x sx s
y
(σy ,Dτ2y) σy
K
s1的方位
作D1K⊥σ轴, 交圆与K点, 则A2K方向
txz tzx sz tzy
ttyyxz
sz txz
txy
应力张量的第一、第二和第三不变量。
sx x I1 s x s y +s z
z
sy
I2
sxs y
s ysz -szsx
t
2 xy
t
2 yz
t
2 zx
s x t xy t xz I3 t yx s y t yz
t zx t zy s z
二、应力圆
注意A1、A2点
τy τx
σx
σ( 2,0)
A2 B2 o
(σy ,Dτ2y) σy
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
σ C B1 A1 σ
( 1 ,0)
y
数值
s1 OA1=OC CA1
=sx sy
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
s2 OA2 =OC CA2
=sx sy
2
s
到smax和tmax
s a s cos2a
ta
s 2
sin2a
F
FN
paσα
FN
α τα
一点处的应力状态：受力构件内一点处不同方位上应力的集合。
2、全面进行强度计算的需要
σmax
τmin
①只存在s：
s
≤
m ax
s
轴向拉压、梁截面上下边缘 z
τmax
②只存在t： t m ax ≤ t
自由扭转、梁截面中性轴处
B2
②: 确定点D1(sx, tx) ③: 确定点D2(sy, ty) tx= -ty ④: 连接D1D2与s 轴交于C点
o
C B1
σ
(σy ,Dτ2y) σy
⑤: 以C为圆心, CD1（ CD2 ）为半径画圆。
圆心C点坐标为（s x s y ，0）
2
半径为
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
a
τx σx
b
y
sy
2
)2
t
2 a
s
(
x
s y
2
)2
t
2 x
圆的方程
s a、 t a 在 s
t 直角坐标系内的轨迹是以(s
x
s
2
y
, 0)为 圆 心 ，
（s
x
2
s
y
）2
t
2为半径的圆，此圆称为应力圆，或莫尔圆。
x
二、应力圆 1、应力圆的绘制 试作图示单元体的应力圆
t
σx
D1σ( x ,τ x )
τy τx
①: 建立σ-τ坐标系
tadA (t xdAcosa ) cosa (s xdAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina) cosa 0
关系式
t x =t
(负号已包含在指向中）；
y
sin
2a
2 sin a
cosa；
cos2 a 1 cos 2a ； sin2 a 1 cos 2a
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
e
τx σx a
σα a τα
n
ta
sx
s y
2
sin2a
t xcos2a
s a、t a 均以2a 为参变量
b
f
στyy t
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
t xsin2a
ta
s
x
s
2
y
sin2a
t xcos2a
德国 1895年提出
(s a
sx