矩阵行列式求导

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矩阵求导（工具书）

矩阵求导（⼯具书）⼀、基本概念与性质记号规范请参考：1. 迹对称矩阵$A$的迹定义为：\[Tr(A) = \sum_{i=1}^nA_i^i \tag{1.1} \]2. 迹的运算(1)\[Tr(A) = \sum_{i=1}^n\lambda_{i} \tag{1.2.1} \]其中$\lambda_i$为矩阵$A$的第$i$个特征值(2)\[Tr(A) = Tr(A^T) \tag{1.2.2} \](3)\[Tr(AB) = \sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^nA_i^jB_j^i\right) = \sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^nB_j^iA_i^j\right) = Tr(BA) \tag{1.2.3} \] (4)\[Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) \tag{1.2.4} \](5)\[Tr(\mathbf{x}\mathbf{x}^T) = \sum_{i=1}^n\mathbf{x}_i\cdot \mathbf{x}_i = \mathbf{x}^T\mathbf{x} \tag{1.2.5} \]3. ⾏列式对称矩阵$A$的⾏列式定义为：\[\det (A) = \sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}\prod_{i=1}^n A_i^{\sigma(i)} \tag{1.3.1} \]其中$S_n$是集合$\{1, 2, \cdots, n\}$上置换的全体，即集合$\{1, 2, \cdots, n\}$到⾃⾝的⼀⼀映射（双射）的全体；例如：$\{2, 3, 1\}$是$\{1, 3, 2\}$的置换，且满⾜$\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 3, \sigma(3) = 1$其中${\rm sgn} (\sigma)$表⽰的是置换$\sigma$中逆序对（即$\sigma(i) > \sigma(j)，1 \leq i \leq j \leq n$）的数量；例如：${\rm sgn}(\{2, 3, 1\}) = 2$对于有$n$个元素的集合⽽⾔，其置换的个数有$n!$个4. ⾏列式的计算(1)\[\det (A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i \tag{1.4.1} \]其中$S_n$是集合$\{1, 2, \cdots, n\}$上置换的全体，即集合$\{1, 2, \cdots, n\}$到⾃⾝的⼀⼀映射（双射）的全体；(2)\[\det(A) \overset{按⾏展开}{=} \sum_{j=1}^n(-1)^{i + j}A_i^{j}\det\left([A]_i^{j}\right) \overset{按列展开}{=} \sum_{i=1}^n(-1)^{i + j}A_i^{j}\det\left([A]_i^{j}\right) \tag{1.3.2} \](3)\[\det(kA) = k^n\det(A) \tag{1.3.3} \](4)\[\det(A^T) = \det(A) \tag{1.3.4} \](5)\[\det(AB) = \det(A)\det(B) \tag{1.3.5} \](6)\[\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \tag{1.3.6} \](7)\[\begin{align} \det(I + \mathbf{u} \mathbf{v}^T) &= 1 + \mathbf{u}^T\mathbf{v} \tag{1.3.7} \end{align} \](8)\[\mathrm{adj}(A) = \det(A)\cdot A^{-1} \tag{1.3.8} \]⼆、向量与矩阵的运算结论1. 矩阵相乘(1)\[\begin{align} A\cdot B &= \left((AB)_i^j\right)_{m\times n} \\ &= \left(\sum_k A_i^kB_k^j\right)_{m\times n} \end{align} \tag{2.1.1} \] (2)\[\begin{align} (A\cdot B)\cdot C &= \left(\sum_k(AB)_i^kC_k^j\right)_{m\times n}\\ &= \left(\sum_k\left(\sum_tA_i^tB_t^k\right)C_k^j \right)_{m\times n} \end{align} \tag{2.1.2} \](3)\[A\cdot [E_i^j] = \left(0, \cdots \underbrace{A^i}_{第j列},\cdots ,0 \right) \tag{2.1.3} = [A^i]^j \](4)\[[E_i^j]\cdot A = \left(\begin{array}{cc} &0\\ &\vdots\\ 第i⾏\left\{\right. &A_j\\ &\vdots \\ &0 \end{array} \right) = [A_j]_i \tag{2.1.4} \]三、向量、矩阵求导1. 求导布局分⼦布局：求导结果的第⼀维度以分⼦为主分母布局：求导结果的第⼀维度以分母为主例如：$m$维列向量$\mathbf{y}$对于$\mathbf{x}$求导，若分⼦布局（雅可⽐矩阵）：\[\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} \frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_1} &\cdots&\frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_n} \\ \vdots&\ddots &\vdots \\ \frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_1} &\cdots &\frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_n} \end{matrix} \right) \\ \]分母布局（梯度矩阵）：\[\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} \frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_1} &\cdots&\frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_1} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\ \frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_n} &\cdots &\frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_n} \end{matrix} \right) \\ \]注：以下所有求导结果均以分⼦布局为基础（若分⼦为标量，则为分母布局）2. 求偏微分法则\[\partial C = 0 (C为常（矩阵、向量、标量）) \tag{3.2.1} \]\[\partial A^T = (\partial A)^T \tag{3.2.2} \]\[\partial (A + B) = \partial A + \partial B \tag{3.2.3} \]\[\partial (AB) = \partial A\cdot B + A\cdot \partial B \tag{3.2.4} \]\[\partial (A\odot B) = \partial A\odot B + A\odot \partial B \tag{3.2.5} \]\[\partial( A\otimes B) = \partial A\otimes B +A\otimes \partial B \tag{3.2.6} \]\[\partial ({A^{-1}}) = -A^{-1}\cdot \partial A\cdot A^{-1} \tag{3.2.7} \]\[\partial\ Tr(A) = Tr(\partial A) \tag{3.2.8} \]\[\partial \mathrm{det}A = Tr(\mathrm{adj}A \cdot \partial A) = \mathrm{detA}\cdot Tr(A^{-1} \partial A) \tag{3.2.9} \]链式求导法则：\[\partial g\circ f(A) = \sum_k\sum_t \frac{\partial g\circ f(A)}{\partial f(A)_k^t}\cdot \partial f(A)_k^t = Tr\left(\left(\frac{\partial g\circ f(A)}{\partial f(A)}\right)^T\cdot \partial f(A)\right) \tag{3.2.10} \]3. 向量求导(1)\[\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x} = \left( \begin{array}{cc} \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}_1}{\mathrm{d}x} \\ \vdots\\\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}_m}{\mathrm{d}x} \end{array} \right) \tag{3.3.1} \](2)\[\frac{\partial \mathbf{x}^T}{\partial x} = \left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x}\right)^T \tag{3.3.2} \](3)\[\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x^T}} = \left( \begin{matrix} \frac{\partial\mathbf{y}_1} {\partial\mathbf{x}_1} &\cdots &\frac{\partial\mathbf{y}_1}{\partial\mathbf{x}_n} \\ \vdots &\ddots &\vdots \\ \frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_1} &\cdots &\frac{\partial\mathbf{y}_m}{\partial\mathbf{x}_n} \end{matrix} \right) \tag{3.3.3}\](4)\[\frac{\partial \mathbf{y}^T}{\partial \mathbf{x}} =\frac{\partial \mathbf{y}^T}{\partial \mathbf{x}^T} = \left( \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial\mathbf{x}} \right)^T \tag{3.3.4} \](5)\[\frac{\partial \mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\partial\mathbf{x}} = \left(\begin{array}{cc} \mathbf{y}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{y}_n \end{array} \right) =\mathbf{y} \tag{3.3.5} \](6)\[\frac{\partial \mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}^T} = \left( \frac{\partial \mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} \right)^T \tag{3.3.6} \](7)\[\frac{\partial A\mathbf{x}}{\partial\mathbf{x}} = \frac{\partial A\mathbf{x}}{\partial\mathbf{x}^T} = \left( \begin{array}{cc} A_{1}^1 &\cdots&A_{1}^m \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ A_{n}^1 &\cdots &A_{n}^m \\ \end{array} \right) = A \tag{3.3.7}\](8)\[\frac{\partial \mathbf{x}^TA\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{x}^TA\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}^T} = (A +A^T)\mathbf{x} \tag{3.3.8} \]4. 矩阵求导(1)\[\frac{\partial \mathbf{x}^TA\mathbf{y}}{\partial A} = \mathbf{x}\mathbf{y}^T \tag{3.4.1} \](2)\[\frac{\partial \mathbf{x}^TA^T\mathbf{y}}{\partial A} = \mathbf{y}\mathbf{x}^T \tag{3.4.2} \](3)\[\frac{\partial \mathbf{x}^TA^TA\mathbf{y}}{\partial A} = A(\mathbf{y}\mathbf{x}^T + \mathbf{x}\mathbf{y}^T ) \tag{3.4.3} \]展开证明(4)\[\frac{\partial A^TBA}{\partial B_{i}^{j}} = A_i^TA_j \tag{3.4.4} \]展开证明(5)\[\frac{\partial A^TBA}{\partial A_{i}^j} = [E_j^i]\cdot (BA) + (A^TB)\cdot [E_i^j] \tag{3.4.5} \]展开证明可简记为：$\frac{\partial A^TBA}{\partial A_i^j} = \frac{\partial A^T}{\partial A_i^j}\cdot BA + A^TB\cdot \frac{\partial A}{\partial A_i^j}$ (6)\[\frac{\partial \mathbf{y}^TA^TBA\mathbf{z}}{\partial A} = B^TA\mathbf{y}\mathbf{z}^T + BA\mathbf{z}\mathbf{y}^T \tag{3.4.6} \]展开证明(7)\[\frac{\partial }{\partial A}(A\mathbf{x} + \mathbf{y})^TD(A\mathbf{x} + \mathbf{y}) = (D + D^T)(A\mathbf{x} + \mathbf{y})\mathbf{x}^T \tag{3.4.7} \]展开证明5. ⾏列式求导(1)\[\frac{\partial \det(Y)}{\partial x} = \det(Y)\cdot Tr(Y^{-1}\frac{\partial Y}{\partial x}) \]展开证明(2)\[\frac{\partial \det(A)}{\partial A} = \det(A)\cdot \left(A^{-1}\right)^T \tag{3.5.2} \]展开证明(3)\[\frac{\partial \det(X^TAX)}{\partial X} = \det(X^TAX)\cdot\left(AX(X^TAX)^{-1} + A^TX(X^TA^TX)^{-1} \right) \tag{3.5.3} \]展开证明(4)\[\frac{\partial \ln \det(X^TX)}{\partial X}= 2(X^{L+})^T \tag{3.5.4} \]展开证明6. 矩阵逆的求导(1)\[\frac{\partial Y^{-1}}{\partial x} = -Y^{-1}\frac{\partial Y}{\partial x}Y^{-1} \tag{3.6.1} \]展开证明(2)\[\frac{\partial \mathbf{a}^TX^{-1}\mathbf{b}}{\partial X} = X^{-T}\mathbf{a}\mathbf{b}^TX^{-T} \tag{3.6.2} \]展开证明(3)\[\frac{\partial \det(X^{-1})}{\partial X} = \det(X^{-1})(X^{-1})^T \tag{3.6.3} \]展开证明(4)\[\frac{\partial Tr(AX^{-1}B)}{\partial X} = \left(X^{-1}BAX^{-1}\right)^{T} \tag{3.6.4} \]展开证明(5)\[\begin{align} \frac{\partial Tr\left((X+A)^{-1}\right) }{\partial X} &\overset{由3.6.4}{=}((X+A)^{-1}(X+A)^{-1})^T \end{align} \tag{3.6.5} \] 7. 迹的求导(1)\[\frac{\partial Tr(X)}{\partial X} = I \tag{3.7.1} \]展开证明(2)\[\frac{\partial Tr(XA)}{\partial X} = A^T \tag{3.7.2} \]展开证明(3)\[\frac{\partial Tr(AXB)}{\partial X} = A^TB^T \tag{3.7.3} \]展开证明(4)\[\frac{\partial Tr(A \otimes X)}{\partial X} = Tr(A)I \tag{3.7.4} \]展开证明。

对行列式求导

对行列式求导
行列式是矩阵的一个重要性质，它在数学中有着广泛的应用。

在求解一些问题时，需要对行列式进行求导，以便得到更加精确的结果。

对于一个n阶行列式，其求导可以通过以下公式进行计算：
d(det(A))/dx = det(A) * tr(A^-1 * dA/dx)
其中，A为n阶方阵，tr表示矩阵的迹，^-1表示矩阵的逆。

这个公式的意义是，求导后的行列式等于原行列式乘以一个矩阵的迹，这个矩阵是原矩阵的逆矩阵和原矩阵对x的偏导数的乘积。

对于二阶行列式而言，其求导公式就变成了：
d(det(A))/dx = (a11*a22 - a12*a21)*(da11/dx*a22 +
a11*dA22/dx - da12/dx*a21 - a12*da21/dx)
其中，a11、a12、a21、a22表示二阶矩阵A的四个元素。

需要注意的是，行列式的求导需要一定的数学基础，且计算过程可能会比较复杂，需要耐心和细心。

但是，求导的结果能够为后续的计算提供更加精确的数据，因此对于需要精确计算的问题而言，行列式的求导是非常重要的。

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行列式的计算

行列式的计算LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径．关键词：行列式计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n 2个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．例1 计算行列式这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4=项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑32=j ，23=j ，14=j 这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)4321(=τ，这一项前面的符号应该是正的．所以原式=244321004003002001000=⋅⋅⋅= 3.化为三角形计算法例2 计算行列式解：这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．各行(或列)加减同一行(或列)的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形例3 计算行列式解：当3≥n 时，各列减去第一列得：之所以等于零，是因为有两列成比例．另外，当2=n 时，这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．各行(或列)加到同一行(或列)上去适用于各列(行)诸元素之和相等的情况. 例4 计算行列式解：把所有各列都加到第一列上去，得：逐行(或列)相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。

矩阵求导法则教学教材

矩阵求导法则乘积的导数d(f*g) /dx= (df5 /dx)g+ (dg/dx) f'姫阵.向董束导法则U>设-*d>*] A A *f行何■ x 畏元萦.DW Stftr dr■严-/|Rv dx是网權列施］畫* X是元畫.闻丄=也.L- p■ -1Srr■(4> /遷对齐向#草与<•>中輯对九*犠Q4 dti jt 暑元11* AM诩F ?:.斤囁"X r證厂匸殆II去**|<*■y r-”］暑片sfintnil- x = dt p殖冷洞・・PJdi a(»)洌向■対行佝療卡岭2）行佝畀对行向量蜡设y一仏… 片］是«筑行両篡丿二区…x f］星q维行向童聊F1「i.亠卄i ft y=7i'■是m雉列向置.I =t£ p雑列向■则dy■■L”y■-吟L：丁—L M九-巾设厂工: r ft wxw拒嵐t r = ■-當」是卒雉行向倉*则.儿L 刀叫设X->11儿/是WXW矩薛* H =巧一儿1 -r n_a? &Yu 1 ---S JC砌r』绒列页莖・刖址叽4吕h*I dz Adx t(u ＞那】賈时期耕庆牛卄峠悌对聘牢导设f-皿i+ ■九"鼻triV J *足啊F 矩阵・X 4兔1…抵■■p *儿 "X-…叽十』叩豊”学距£咧设y r，二 t 片 tififiJlB-誉二号p .i 淫巨.则13J V 1£啊早厂电矩凉- nil*==—-3X将Y 的毎一列对丫或偏导，将备列构成一个矩阵.dX'/dX =1 d(AX)VdX 凯4+列向量丫炖行向量:f 求导'转化为fj 向量0对列向量X 的导数『黙后转耳注意MX 1向址对1XN 向挺求导箱呆为MXN 矩阵。

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矩阵求导的一些公式讲解学习

精品文档在网上看到有人贴了如下求导公式：Y = A * X --> DY/DX = A'Y = X * A --> DY/DX = AY = A' * X * B --> DY/DX = A * B'Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：1. 矩阵Y 对标量x 求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M k N矩阵求导后变成NXM 了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y 对列向量X 求导：N k 1 向注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N k1 向量求导后还是量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'3. 行向量Y'对列向量X求导：注意1k M 向量对N k1 向量求导后是N k M 矩阵。

将Y 的每一列对X 求偏导，将各列构成一个矩阵。

重要结论：dX'/dX = Id(AX)'/dX = A'4. 列向量Y对行向量X'求导：转化为行向量Y'对列向量X的导数，然后转置。

注意M k 1 向量对1k N 向量求导结果为M k N 矩阵。

dY/dX' = (dY'/dX)'5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。

d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U重要结论：精品文档d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = Ad(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X6. 矩阵Y 对列向量X 求导：将Y 对X 的每一个分量求偏导，构成一个超向量。

矩阵求导的一些公式

在网上看到有人贴了如下求导公式：Y = A * X --> DY/DX = A'Y = X * A --> DY/DX = AY = A' * X * B --> DY/DX = A * B'Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A'于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下：1. 矩阵Y对标量x求导：相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]2. 标量y对列向量X求导：注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'3. 行向量Y'对列向量X求导：注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。

将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。

重要结论：dX'/dX = Id(AX)'/dX = A'4. 列向量Y对行向量X’求导：转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。

注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。

dY/dX' = (dY'/dX)'5. 向量积对列向量X求导运算法则：注意与标量求导有点不同。

d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U重要结论：d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = Ad(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = Ad(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X6. 矩阵Y对列向量X求导：将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。

矩阵求导(本质、原理与推导)详解

矩阵求导(本质、原理与推导)详解1.引言矩阵求导是数学分析中重要的一部分，广泛应用于机器学习、数据挖掘和优化问题中。

本文将介绍矩阵求导的本质、原理以及推导过程，为读者提供一个比较全面的了解。

2.矩阵的本质及相关概念在矩阵求导前，我们需要先了解矩阵的本质及相关概念。

矩阵是一个按照规律排列的方阵，其中每个元素通常是实数或者复数。

以$n$行$m$列的矩阵$A$为例，可以表示为：$$A=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,m}\\\end{bmatrix}$$其中$a_{i,j}$表示矩阵$A$中第$i$行第$j$列的元素。

矩阵还有一些相关的概念，如矩阵的转置、逆矩阵、伴随矩阵等等，这里不一一赘述。

3.标量函数对向量、矩阵的导数在开始矩阵求导之前，我们需要先了解标量函数对向量或矩阵的导数。

设矩阵$A$是一个$m\times n$的矩阵，$x$是一个$n \times1$的向量，函数$f(x)$将$x$映射为一个标量。

我们定义$f(x)$对$x$的导数为：$$\frac{\partial f(x)}{\partial x}=\begin{bmatrix}\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}&\frac{\partial f(x)}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}\end{bmatrix}$$其中每一项$\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$表示$f(x)$对$x_i$的偏导数。

矩阵求导法则的解析与应用

矩阵求导法则的解析与应用矩阵求导法则是矩阵微积分中的基本概念，它在众多领域中都有广泛的应用，尤其是在优化算法、机器学习和信号处理等领域中。

本文将深入探讨矩阵求导法则的解析和应用，并分享对这一主题的观点和理解。

一、矩阵求导法则的基本概念1. 矩阵求导的定义和目的在矩阵微积分中，矩阵求导是指对矩阵中的每个元素进行求导运算。

其目的是为了描述矩阵变量函数在某一点的变化率，从而可以进一步分析函数在该点的性质和优化问题的解。

2. 矩阵对标量的导数当矩阵中的元素都是标量时，矩阵对标量的导数就是普通的微积分中的导数。

它遵循标量的求导法则，如常数因子法则、求和法则和链式法则等。

3. 矩阵对向量的导数当矩阵中的元素是向量时，矩阵对向量的导数运算更为复杂。

需要使用矩阵求导法则来进行推导和计算。

常见的矩阵求导法则包括向量对向量的导数、向量对标量的导数、标量对向量的导数等。

二、矩阵求导法则的应用1. 优化算法中的应用在优化算法中，矩阵求导法则被广泛应用于求解最优化问题。

梯度下降算法通过计算函数的梯度（即矩阵对向量的导数）来寻找函数的最小值。

矩阵求导法则为梯度下降算法提供了有效的计算方式，提高了算法的收敛速度和性能。

2. 机器学习中的应用在机器学习中，矩阵求导法则用于对损失函数进行求导，以便于参数的优化和模型的训练。

反向传播算法中就需要对损失函数对参数矩阵的导数进行计算和更新。

矩阵求导法则的正确应用可以简化计算过程，提高训练效率和模型的准确性。

3. 信号处理中的应用在信号处理领域，矩阵求导法则被广泛应用于信号的滤波和特征提取等任务中。

基于最小均方误差准则的线性滤波器设计中，需要对损失函数对滤波器系数矩阵的导数进行计算。

矩阵求导法则为滤波器设计提供了理论基础和数值计算方法。

三、个人观点和理解作为一名文章写手，在撰写这篇文章的过程中，我对矩阵求导法则的重要性有了更深入的认识和理解。

矩阵求导法则不仅对于理解优化算法、机器学习和信号处理等领域的核心概念至关重要，而且在实际应用中也发挥着重要的作用。

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矩阵函数求导
首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵
（1）函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。

函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。

单变量函数矩阵的微分与积分
考虑实变量t 的实函数矩阵
()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。

定义函数矩阵的微分与积分
0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ⎛⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质：
（1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt
+=+；（2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt
=+；特殊情形
（a ）若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt
=；（b ）若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt
=+；（3） ()
111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－；（4）对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt
==；（5）若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。

如果,A B 可交换，则许多三角不等
式可以推广到矩阵上。

如sin(),sin(2)A b A +等。

参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。

（2）矩阵函数，就是自变量为矩阵的函数映射；根据函数的自变量和因变量的
形式可分为多种。

矩阵函数的导数
定义（向量导数）：映射:n m f →\\，()()12(),(),,()
(), 1...T m i f f x f x f x f x i m ==="，
定义映射的导数为一个m n ×的偏导数矩阵 (), 1..., 1...i ij j df x Df i m j n dx ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦. 例如 dAx A dx
=， ⇒
()()()(),,D f x g x Df x Dg x αβαβαβ⎡⎤+=+∈∈⎢⎥⎣⎦\\
()()''()()()D f g x f g x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
''()()()()()(),,T T T n m D f x g x g x f x f x g x f g ⎡⎤=+∈→⎢⎥⎣⎦
\\ ⇒
()()T T T T T dx Ax x A Ax x A A dx
=+=+
定义（矩阵导数）：
()vec ()()vec()
d A X dA X dX d X 有
符号说明
•d/dx (y)是一个向量，其第(i)个元素是dy(i)/dx
•d/d x (y) 是一个向量，其第(i)个元素是dy/dx(i)
•d/d x (y T) 是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(j)/dx(i)•d/dx (Y) 是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy(i,j)/dx •d/d X (y) 是一个矩阵，其第(i,j)个元素是dy/dx(i,j)
注意 Hermitian 转置不能应用，因为复共轭不可解析，x,y是向量，X，Y是矩阵，x,y是标量。

在下面的表达中 A, B, C 是不依赖于 X的矩阵，a,b是不依赖于x的向量，线性积
•d/dx (AYB) =A * d/dx (Y) * B
o d/dx (Ay) =A * d/dx (y)
•d/d x(x T A) =A
o d/d x(x T) =I
o d/d x(x T a) = d/d x(a T x) = a
•d/d X(a T Xb) = ab T
o d/d X(a T Xa) = d/d X(a T X T a) = aa T
•d/d X(a T X T b) = ba T
•d/dx (YZ) =Y * d/dx (Z) + d/dx (Y) * Z
二次积
•d/d x (Ax+b)T C(D x+e) = A T C(Dx+e) + D T C T(Ax+b)
o d/d x (x T Cx) = (C+C T)x
[C: symmetric]: d/d x (x T Cx) = 2Cx
d/d x (x T x) = 2x
o d/d x (Ax+b)T (D x+e) = A T (Dx+e) + D T (Ax+b)
d/d x (Ax+b)T (A x+b) = 2A T (Ax+b)
o[C: symmetric]: d/d x (Ax+b)T C(A x+b) = 2A T C(Ax+b)
•d/d X(a T X T Xb) = X(ab T + ba T)
o d/d X(a T X T Xa) = 2Xaa T
•d/d X(a T X T CXb) = C T Xab T + CXba T
o d/d X(a T X T CXa) = (C + C T)Xaa T
o[C:Symmetric]d/d X(a T X T CXa) = 2CXaa T
•d/d X((Xa+b)T C(Xa+b)) = (C+C T)(Xa+b)a T
三次积
•d/d x(x T Axx T) = (A+A T)xx T+x T AxI
逆
•d/dx (Y-1) = -Y-1d/dx (Y)Y-1
迹
Note: matrix dimensions must result in an n*n argument for tr().
•d/d X(tr(X)) = I
•d/d X(tr(X k)) =k(X k-1)T
•d/d X(tr(AX k)) =SUM r=0:k-1(X r AX k-r-1)T
•d/d X(tr(AX-1B)) = -(X-1BAX-1)T
o d/d X(tr(AX-1)) =d/d X(tr(X-1A)) = -X-T A T X-T
•d/d X(tr(A T XB T)) = d/d X(tr(BX T A)) = AB
o d/d X(tr(XA T)) = d/d X(tr(A T X)) =d/d X(tr(X T A)) = d/d X(tr(AX T)) = A •d/d X(tr(AXBX T)) = A T XB T + AXB
o d/d X(tr(XAX T)) = X(A+A T)
o d/d X(tr(X T AX)) = X T(A+A T)
o d/d X(tr(AX T X)) = (A+A T)X
•d/d X(tr(AXBX)) = A T X T B T + B T X T A T
•
•[C:symmetric]d/d X(tr((X T CX)-1A) = d/d X(tr(A (X T CX)-1) =
-(CX(X T CX)-1)(A+A T)(X T CX)-1
•[B,C:symmetric]d/d X(tr((X T CX)-1(X T BX)) = d/d X(tr( (X T BX)(X T CX)-1) = -2(CX(X T CX)-1)X T BX(X T CX)-1 + 2BX(X T CX)-1
•
行列式
•d/d X(det(X)) = d/d X(det(X T)) = det(X)*X-T
o d/d X(det(AXB)) = det(AXB)*X-T
o d/d X(ln(det(AXB))) = X-T
•d/d X(det(X k)) = k*det(X k)*X-T
o d/d X(ln(det(X k))) = k X-T
•[Real] d/d X(det(X T CX)) = det(X T CX)*(C+C T)X(X T CX)-1
o[C: Real,Symmetric]d/d X(det(X T CX)) = 2det(X T CX)* CX(X T CX)-1•[C: Real,Symmetricc]d/d X(ln(det(X T CX))) = 2CX(X T CX)-1
Jacobian
如果y 是x的函数，则d y T/d x是y关于x的Jacobian 矩阵。

其行列式|d y T/d x|是表示了d y和d x的超体积比值. Jacobian行列式出现在变元积分中: Integral(f(y)d y)=Integral(f(y(x)) |d y T/d x| d x).
Hessian矩阵
如果f是x的函数，则对称矩阵d2f/d x2= d/d x T(df/d x)就是f(x)的Hessian 矩阵。

满足df/d x = 0 的x的值，当Hessian是正定、负定、不定时，就是相应的最小值、最大值、或者是鞍点。

•d2/d x2 (a T x) = 0
•d2/d x2 (Ax+b)T C(D x+e) = A T CD + D T C T A
o d2/d x2 (x T Cx) = C+C T
d2/d x2 (x T x) = 2I
o d2/d x2 (Ax+b)T (D x+e) = A T D + D T A
d2/d x2 (Ax+b)T (A x+b) = 2A T A
o[C: symmetric]: d2/d x2 (Ax+b)T C(A x+b) = 2A T CA。